素イデアルを点にする：Spec と生成点

この記事の要点

点を増やす: 環 $A$ の素イデアルをすべて「点」とみなした空間が $\operatorname{Spec}A$ です。第1回の点（極大イデアル）に加えて、曲線や平面全体に対応する点が現れます。
生成点: 閉包が曲線全体になるような点を、その曲線の生成点と呼びます。 $\operatorname{Spec}A$ では、既約な閉集合とその生成点がちょうど1対1に対応します。
例を比べる: $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 、 $\operatorname{Spec}k[x]$ 、 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{(5)}$ 、 $\operatorname{Spec}k[x,y]$ 、 $\operatorname{Spec}k[x]/(x^2)$ 、 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]$ を図で比べます。整数の環と多項式環が同じ形の空間になり、 $x$ と $x^2$ の違いが「重なった点」として残ります。
図の見方: Spec の図では、閉点を床に置き、閉包が $d$ 次元の点を高さ $d$ に浮かべます。真上から見ると第1回と同じ図に見え、横に回すと、増えた点が段に分かれて見えます。

証明は、ステップの流れだけを短く書いています。「詳しく」の付いた行をクリックすると、そのステップの詳しい説明が開きます。説明の中にも開ける行があります。
定義・命題・定理には、記事全体で通し番号を振っています。
もう少し詳しくは補足、専門的な話は先の回につながる話題です。どちらも開かずに読み進められます。
各ブロックの「AIに質問」を押すと、その部分の内容を入れた質問文で、お使いのAIを開けます。

前回の宿題

第1回では、体 $k$ が代数閉体のとき、アフィン空間の点と多項式環の極大イデアルが1対1に対応することを見ました。最後のまとめの表には、次の2つの気になる点が残りました。

点に対応するのは極大イデアルだけです。 $k[x,y]$ の素イデアル $(y-x^2)$ は放物線という図形に対応しますが、1つの点には対応しません。
零点集合からは $x$ と $x^2$ の違いが分かりません。 $V(x)=V(x^2)$ なので、根基イデアルでないイデアルは、零点集合の言葉では表せません。

この記事では、1つめの点に「素イデアルをすべて点とみなす」という答えを出します。そうして作る空間が $\operatorname{Spec}A$ です。

2つめの点についても、 $\operatorname{Spec}k[x]/(x^2)$ という例で、何が残り何が見えないかを確かめます。

この記事で扱うのは、位相空間としての $\operatorname{Spec}A$ だけです。参考文献のハーツホーン『代数幾何学』では、 $\operatorname{Spec}A$ に関数の情報（構造層）を載せたものまでを $A$ のスペクトラムと呼んでいます[1, §II.2, p.96–97]。構造層は次回の層と茎の回で扱います。

ハーツホーンは素イデアルを $\mathfrak{p}$ と書きますが、この連載では $P$ と書きます。

Spec：素イデアルを点にする

環はすべて単位元をもつ可換環とします。

定義1 素スペクトル [1, §II.2, p.95; 2, 演習問題1.15, p.19]

環 $A$ の素イデアル全体の集合を $\operatorname{Spec}A$ と書き、 $A$ の素スペクトルと呼ぶ。 $\operatorname{Spec}A$ の元を点と呼ぶ。部分集合 $S\subseteq A$ に対して

V(S)=\{\,P\in\operatorname{Spec}A \mid S\subseteq P\,\}

とおく。

第1回の $V(S)$ は「 $S$ の式がすべて0になる点の集合」でした。ここでは「 $S$ を含む素イデアルの集合」と定義しています。この2つが同じ考え方であることは、点での関数の値を次のように決めると分かります。

定義2 剰余体と値

$P\in\operatorname{Spec}A$ とする。 $A/P$ は整域なので、その商体

\kappa(P)=\operatorname{Frac}(A/P)

が作れる。これを点 $P$ の剰余体と呼ぶ。 $f\in A$ の $\kappa(P)$ での像を $f(P)$ と書き、点 $P$ での $f$ の値と呼ぶ。

$f(P)$ は、 $f$ を $P$ で割った余りを、体 $\kappa(P)$ の元とみたものです。矢印で書くと、値をとる操作は次の2段の写像です。

\begin{array}{ccccc} A & \longrightarrow & A/P & \hookrightarrow & \kappa(P)=\operatorname{Frac}(A/P) \\ f & \longmapsto & f+P & \longmapsto & f(P) \end{array}

1つめの矢印は $P$ で割った余りをとる写像、2つめは整域をその分数体に埋め込む写像です。2つめは単射なので、定義から

f(P)=0 \iff f+P=0 \iff f\in P

です。よって $V(S)$ は「 $S$ のすべての元の値が0になる点の集合」です。第1回の零点集合と同じ形になりました。

値の入る体 $\kappa(P)$ が点ごとに違うことに注意してください。いくつか例を見ます。

まず $A=\mathbb{Z}$ 、 $f=12$ とします。素数 $p$ に対して $\mathbb{Z}/(p)=\mathbb{F}_p$ はすでに体なので、 $\kappa((p))=\mathbb{F}_p$ で、値は $p$ で割った余りです。点 $(0)$ では $\mathbb{Z}/(0)=\mathbb{Z}$ なので、 $\kappa((0))=\mathbb{Q}$ です。

\begin{aligned} f((2)) &= 12 \bmod 2 = 0 \in\mathbb{F}_2, \\ f((3)) &= 12 \bmod 3 = 0 \in\mathbb{F}_3, \\ f((5)) &= 12 \bmod 5 = 2 \in\mathbb{F}_5, \\ f((7)) &= 12 \bmod 7 = 5 \in\mathbb{F}_7, \\ f((0)) &= 12 \in\mathbb{Q}. \end{aligned}

値が0になるのは、 $12=2^2\cdot 3$ を割り切る素数の点だけです。よって

V(12)=\{(2),(3)\}

です。

次は $A=k[x,y]$ で、 $P=(x-a,\ y-b)$ とします。 $f\mapsto f(a,b)$ で $A/P\cong k$ となるので、 $f(P)$ は普通の値 $f(a,b)$ です。例えば $f=y-x^2$ なら、点 $(x-1,\ y-1)$ と点 $(x,\ y-1)$ で

\begin{aligned} f\big((x-1,\ y-1)\big) &= 1-1^2=0, \\ f\big((x,\ y-1)\big) &= 1-0^2=1 \end{aligned}

です。

$A=k[x,y]$ 、 $P=(y-x^2)$ とします。 $x\mapsto t,\ y\mapsto t^2$ で $A/P\cong k[t]$ となるので、 $\kappa(P)=k(t)$ で、 $f(P)=f(t,t^2)$ です。これは $f$ を放物線に制限した関数です。

\begin{aligned} (y-x)(P) &= t^2-t \neq 0, \\ (y^2-x^4)(P) &= t^4-t^4 = 0. \end{aligned}

2つめは $y^2-x^4=(y-x^2)(y+x^2)$ が $P$ に入ることと合っています。 $k$ が無限体なら、値 $f(t,t^2)$ が0になるのは、 $f$ が放物線の上のすべての点で0になるときです。

最後に $A=k[x,y]$ 、 $P=(0)$ なら、 $\kappa(P)=k(x,y)$ で、値は $f$ そのものです。0でない $f$ の値は0になりません。

素イデアル $P$ が小さくなるにつれて、値は「数」から「曲線の上の関数」、「平面全体の関数」へと変わっていきます。点の種類ごとに、同じ $f=y-x^2$ の値を並べると次のようになります（上から順に包含の鎖になっているわけではありません）。

\begin{array}{c|c|c} P & \kappa(P) & f(P) \\ \hline (x,\ y-1) & k & 1 \\ (y) & k(x) & -x^2 \\ (y-x^2) & k(t) & 0 \\ (0) & k(x,y) & y-x^2 \end{array}

点 $(y)$ では $A/(y)\cong k[x]$ （ $y\mapsto0$ ）なので、値は $y$ に0を入れた $-x^2$ です。

$V$ は、第1回の $V$ とほぼ同じ性質をもちます。

命題3 [1, 補題2.1, p.95; 2, 演習問題1.15, p.19]

$A$ を環、 $J,K$ をイデアル、 $S_\lambda$ （ $\lambda\in\Lambda$ ）を部分集合とする。

(1)　 $V(0)=\operatorname{Spec}A$ 、 $V(1)=\varnothing$ 。
(2)　 $\bigcap_\lambda V(S_\lambda)=V\big(\bigcup_\lambda S_\lambda\big)$ 。
(3)　 $V(J)\cup V(K)=V(JK)=V(J\cap K)$ 。
(4)　 $V(J)\subseteq V(K)\iff\sqrt{K}\subseteq\sqrt{J}$ 。とくに $V(J)=V(\sqrt{J})$ 。

証明

(1) どの素イデアルも0を含み、1は含まない（素イデアルは $A$ と異なる）。
(2) 「 $P$ がすべての $S_\lambda$ を含む」と「 $P$ が和集合 $\bigcup_\lambda S_\lambda$ を含む」は同じ条件である。
(3) $JK\subseteq J\cap K\subseteq J,\,K$ から $V(J)\cup V(K)\subseteq V(J\cap K)\subseteq V(JK)$ 。
残りは $V(JK)\subseteq V(J)\cup V(K)$ 。 $P\supseteq JK$ かつ $P\not\supseteq J$ なら $P\supseteq K$ を示す。
1. $P\not\supseteq J$ なので、 $f\notin P$ となる $f\in J$ がある。
2. 任意の $g\in K$ について $fg\in JK\subseteq P$ 。
3. $P$ は素イデアルで $f\notin P$ なので $g\in P$ 。よって $K\subseteq P$ 。
(4) 根基は「それを含む素イデアル全体の共通部分」である： $\sqrt{J}=\bigcap_{P\supseteq J}P$ [2, 命題1.14, p.13]。これを使う。
( $\Leftarrow$ ) $P\supseteq J$ なら $P\supseteq\sqrt{J}\supseteq\sqrt{K}\supseteq K$ 。

$f\in\sqrt{J}$ なら、ある $n$ で $f^n\in J\subseteq P$ 。 $P$ は素イデアルなので $f\in P$ 。よって $\sqrt{J}\subseteq P$ 。
( $\Rightarrow$ ) $J$ を含むどの素イデアルも $K$ を含むので、 $K\subseteq\bigcap_{P\supseteq J}P=\sqrt{J}$ 。両辺の根基をとって $\sqrt{K}\subseteq\sqrt{J}$ 。

$\sqrt{\sqrt{J}}=\sqrt{J}$ を使う。 $f^n\in\sqrt{J}$ なら、ある $m$ で $f^{nm}=(f^n)^m\in J$ となり、 $f\in\sqrt{J}$ 。
最後の主張は、 $\sqrt{\sqrt J}=\sqrt J$ なので (4) を両向きに使えばよい。

例4 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ で命題を確かめる

$\mathbb{Z}$ では、 $m\neq0$ について $V(m)$ は $m$ を割り切る素数 $p$ の点 $(p)$ の集合である（ $(p)\supseteq(m)\iff p\mid m$ ）。これを使うと、命題3の各項は次のようになる。

(2)　共通部分は、生成されるイデアルの $V$ になる（素イデアルが $S$ を含めば、 $S$ が生成するイデアル $(S)$ も含むので $V(S)=V((S))$ ）。 $(12,18)=(\gcd(12,18))=(6)$ なので

\begin{aligned} V(12)\cap V(18) &= V(\{12,18\})=V\big((12,18)\big) \\ &= V(6)=\{(2),(3)\}. \end{aligned}

(3)　 $(12)(10)=(120)$ 、 $(12)\cap(10)=(\operatorname{lcm}(12,10))=(60)$ で、どちらの素因数も $2,3,5$ なので

\begin{aligned} V(12)\cup V(10) &= \{(2),(3)\}\cup\{(2),(5)\} \\ &= \{(2),(3),(5)\} \\ &= V(120)=V(60). \end{aligned}

(4)　 $\sqrt{(12)}=(6)$ なので $V(12)=V(6)$ 。同じように $\sqrt{(8)}=(2)$ なので $V(8)=V(2)=\{(2)\}$ で、 $V$ からは $8$ と $2$ の違いが見えない。

多項式環でも同じ計算ができます。 $k$ を代数閉体とすると、 $k[x]$ では $\sqrt{(x^2)}=(x)$ なので、第1回と同じく

V(x^2)=V(x)=\{(x)\}

です。 $k[x,y]$ では (3) から

V(xy)=V\big((x)(y)\big)=V(x)\cup V(y)

となり、2本の座標軸の和になります。 $V(x)$ と $V(y)$ の共通部分は、(2) から $V(x,y)=\{(x,y)\}$ 、つまり原点だけです。

(1)〜(3) は、 $V(S)$ の形の集合が閉集合の公理をみたすことを言っています。

定義5 ザリスキー位相 [1, p.96; 2, 演習問題1.15, p.19]

$V(S)$ （ $S\subseteq A$ ）の形の集合を閉集合とする $\operatorname{Spec}A$ の位相を、ザリスキー位相と呼ぶ。

第1回の補足（専門的な話）で紹介したザリスキー位相と同じ形の定義です。違いは、点の集合が素イデアル全体に増えたことだけです。

開集合は閉集合の補集合です。例えば $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ で $V(12)$ の補集合をとると

\begin{aligned} \operatorname{Spec}\mathbb{Z}\setminus V(12) &= \{(0)\}\cup\{(p)\mid p\neq2,3\} \\ &= \{(0),(5),(7),(11),(13),\dots\} \end{aligned}

で、これは「 $12$ の値が0でない点の集合」です。生成点 $(0)$ がこの開集合に入っていることに注意してください。

閉包と生成点

点が増えると、1点だけからなる集合が閉集合になるとは限らなくなります。点 $P$ の閉包は、 $P$ を含む素イデアルの全体です。

命題6 [2, 演習問題1.18, p.20]

$P\in\operatorname{Spec}A$ とする。

(1)　1点集合 $\{P\}$ の閉包は $V(P)$ である。
(2)　 $Q$ が $\{P\}$ の閉包に入る $\iff$ $P\subseteq Q$ 。
(3)　 $\{P\}$ が閉集合 $\iff$ $P$ は極大イデアル。

証明

(1) $V(P)$ は $P$ を含む閉集合である。逆に、 $P$ を含む閉集合 $V(S)$ はどれも $V(P)$ を含む。よって最小の閉集合は $V(P)$ 。

$P\in V(S)$ は $S\subseteq P$ という意味である。このとき、 $Q\supseteq P$ となる素イデアル $Q$ は $Q\supseteq S$ もみたすので、 $V(P)\subseteq V(S)$ 。閉包は $P$ を含む閉集合すべての共通部分なので、 $V(P)$ に等しい。
(2) (1) と $V(P)$ の定義から従う。
(3) (1) から、 $\{P\}$ が閉集合であることは $V(P)=\{P\}$ 、つまり「 $P$ を真に含む素イデアルがない」ことと同じ。これは $P$ が極大であることと同値である。
1. $P$ が極大なら、 $P$ を含む素イデアル $Q$ は $A$ と異なるので $Q=P$ 。
2. $P$ が極大でなければ、 $P$ を真に含む極大イデアル $M$ がある。極大イデアルは素イデアルなので、 $M\in V(P)\setminus\{P\}$ 。
  
  $P\subsetneq J\subsetneq A$ となるイデアル $J$ があるとき、 $J$ を含む極大イデアルが存在する（ツォルンの補題による。どの真のイデアルも、ある極大イデアルに含まれる）。

極大イデアルに対応する点を閉点と呼びます。第1回の点は、すべて閉点でした。新しく増えた点は閉点ではなく、その閉包は自分より大きな集合になります。

$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ で確かめます。 $(0)$ はどの素イデアルにも含まれ、 $(7)$ を真に含む素イデアルはないので

\begin{aligned} \overline{\{(0)\}} &= V(0)=\operatorname{Spec}\mathbb{Z}, \\ \overline{\{(7)\}} &= V(7)=\{(7)\} \end{aligned}

です（ $\overline{\{P\}}$ は $\{P\}$ の閉包）。 $(7)$ は極大イデアルなので閉点で、 $(0)$ は極大でないので閉点ではありません。

(2) は、包含の向きが逆になることを言っています。素イデアル $P$ が小さいほど、点 $P$ の閉包は大きくなります。例えば $k[x,y]$ の中で

y-x^2=(y-1)-(x+1)(x-1)\in(x-1,\ y-1)

なので $(y-x^2)\subseteq(x-1,\ y-1)$ で、閉点 $(x-1,\ y-1)$ （座標 $(1,1)$ の点）は点 $(y-x^2)$ の閉包に入ります。一方、 $(x,\ y-1)$ での $y-x^2$ の値は $1\neq0$ なので、座標 $(0,1)$ の閉点は入りません。

素イデアルの包含の列と閉包の包含の列を上下に並べると、向きが逆になっていることが分かります。縦の矢印は $P\mapsto\overline{\{P\}}=V(P)$ です。

\begin{array}{ccccc} (0) & \subsetneq & (y-x^2) & \subsetneq & (x-1,\ y-1) \\ \big\downarrow & & \big\downarrow & & \big\downarrow \\ \operatorname{Spec}k[x,y] & \supsetneq & V(y-x^2) & \supsetneq & \{(x-1,\ y-1)\} \end{array}

閉包が大きい点ほど「大きい点」だと考えると、図が描きやすくなります。

第1回で、和集合に分けられない集合を既約と呼びました。この記事でも同じ言葉を使います。

定義7 既約・生成点 [1, 演習2.9, p.109]

位相空間 $X$ の閉集合 $Z$ が既約であるとは、 $Z\neq\varnothing$ であり、閉集合 $Z_1,Z_2$ を使って $Z=Z_1\cup Z_2$ と書くと、必ず $Z=Z_1$ または $Z=Z_2$ となることをいう。

点 $\eta\in Z$ で、 $\{\eta\}$ の閉包が $Z$ に等しいものを、 $Z$ の生成点と呼ぶ。

次の定理が、この記事の中心です。

定理8 既約な閉集合と点 [3, 命題・定義1.141, p.62; 2, 演習問題1.19, p.20; 1, 演習2.9, p.109]

$A$ を環とする。対応 $P\mapsto V(P)$ は、 $\operatorname{Spec}A$ から、 $\operatorname{Spec}A$ の既約な閉集合全体への全単射である。言い換えると、 $\operatorname{Spec}A$ の既約な閉集合は、どれもちょうど1つの生成点をもつ。

証明

$V(P)$ が既約であることを示す。 $V(P)$ は点 $P$ の閉包なので、2つの閉集合の和に分けると、 $P$ を含む方が全体になる。

$V(P)=Z_1\cup Z_2$ （ $Z_i$ は閉集合）とする。 $P\in V(P)$ なので、例えば $P\in Z_1$ 。 $Z_1$ は $P$ を含む閉集合なので、 $P$ の閉包 $V(P)$ （命題6(1)）を含む。よって $Z_1=V(P)$ 。

$V(P)$ は $P$ を含むので空でもない。
単射であることを示す。 $V(P)=V(Q)$ なら、 $Q\in V(P)$ かつ $P\in V(Q)$ なので、 $P\subseteq Q\subseteq P$ 。
全射であることを示す。既約な閉集合 $Z=V(J)$ に対して、 $\sqrt{J}$ が素イデアルになり、 $Z=V(\sqrt{J})$ となることを確かめる。
1. $\sqrt{J}\neq A$ ：もし $1\in\sqrt{J}$ なら $1\in J$ で、 $Z=V(J)=\varnothing$ となり、既約であることに反する。
2. $fg\in\sqrt{J}$ とすると、 $Z$ は $Z\cap V(f)$ と $Z\cap V(g)$ の和になる。
  
  命題3(4) より $Z=V(J)=V(\sqrt{J})$ 。 $fg\in\sqrt{J}$ なので $V(\sqrt{J})\subseteq V(fg)$ 。命題3(3) より $V(fg)=V\big((f)(g)\big)=V(f)\cup V(g)$ 。よって
  $Z=\big(Z\cap V(f)\big)\cup\big(Z\cap V(g)\big).$
  右辺の2つは閉集合の共通部分なので、閉集合である。
3. 既約性から、例えば $Z\subseteq V(f)$ 。命題3(4) より $f\in\sqrt{(f)}\subseteq\sqrt{J}$ 。よって $\sqrt{J}$ は素イデアル。
4. $P=\sqrt{J}$ とおくと、 $Z=V(\sqrt{J})=V(P)$ 。

証明から、逆向きの写像も読み取れます。既約な閉集合 $Z=V(J)$ の生成点は $\sqrt{J}$ で、これは $Z$ の点（ $J$ を含む素イデアル）すべての共通部分です[2, 命題1.14, p.13]。

P\ \longmapsto\ V(P),\qquad Z\ \longmapsto\ \bigcap_{Q\in Z}Q

$Z=V(P)$ なら、右の共通部分は $\sqrt{P}=P$ に戻ります。

既約でない閉集合では、生成点にあたる素イデアルがありません。 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ の $V(12)=\{(2)\}\cup\{(3)\}$ は2つの閉集合の和なので既約ではなく、実際 $\sqrt{(12)}=(6)$ は素イデアルではありません。 $k[x,y]$ の $V(xy)=V(x)\cup V(y)$ も同じで、 $(xy)$ は素イデアルではありません（ $x,y\notin(xy)$ なのに $xy\in(xy)$ ）。

第1回では、 $k$ が代数閉体のとき、既約なアフィン代数的集合と素イデアルが1対1に対応することを見ました（第1回の命題14）。Spec では、その素イデアルがそのまま1つの点になっています。放物線 $V(y-x^2)$ は、点 $(y-x^2)$ の閉包です。

$k[x,y]$ の3つの点で、定理の対応を並べておきます。

\begin{array}{rcl} (x-1,\ y-1) & \longmapsto & \{(x-1,\ y-1)\} \\ (y-x^2) & \longmapsto & V(y-x^2) \\ (0) & \longmapsto & V(0)=\operatorname{Spec}k[x,y] \end{array}

上から順に、1点、放物線、平面全体です。閉点の閉包は自分だけなので、閉点は「1点からなる既約な閉集合」の生成点でもあります。

とくに $A$ が整域なら、 $(0)$ は素イデアルで、どの素イデアルにも含まれます。よって点 $(0)$ の閉包は $\operatorname{Spec}A$ 全体で、 $(0)$ は空間全体の生成点です。

1次元の例：整数と1変数多項式

最初の例は整数の環です。

例9 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ [3, 例1.131, p.59; 1, 演習2.5, p.109]

$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}=\{(0)\}\cup\{(p)\mid p\in\mathcal{P}\}$ （ $\mathcal{P}$ は素数全体）。 $(p)$ は閉点で、 $(0)$ は全体の生成点である。閉集合は、 $(0)$ を含まない有限集合と、全体だけである。

証明

$\mathbb{Z}$ は単項イデアル整域なので、イデアルは $(m)$ （ $m\geq0$ ）の形で、素イデアルは $m=0$ か $m$ が素数のもの。
$(p)$ は極大イデアルなので閉点（命題6(3)）。 $(0)$ は整域の零イデアルなので全体の生成点。
閉集合は $V(m)$ の形。 $m=0$ なら全体、 $m\neq0$ なら $V(m)$ は $m$ の素因数 $p$ の $(p)$ からなる有限集合（ $m=1$ なら空集合）。

閉集合をいくつか計算します。素因数分解から $V(m)$ が読み取れます。

\begin{aligned} V(360) &= V(2^3\cdot3^2\cdot5)=\{(2),(3),(5)\}, \\ V(-91) &= V(7\cdot13)=\{(7),(13)\}, \\ V(1) &= \varnothing,\qquad V(0)=\operatorname{Spec}\mathbb{Z}. \end{aligned}

逆に、 $(0)$ を含まない有限集合 $\{(p_1),\dots,(p_r)\}$ は $V(p_1\cdots p_r)$ です。例えば $\{(2),(7),(11)\}=V(154)$ です。

例10 $\operatorname{Spec}k[x]$ [1, 例2.3.3, p.102]

$k$ を代数閉体とする。 $\operatorname{Spec}k[x]=\{(0)\}\cup\{(x-a)\mid a\in k\}$ 。閉点 $(x-a)$ は $k$ の元 $a$ と1対1に対応し、 $(0)$ は全体の生成点である。閉集合は、閉点の有限集合と、全体だけである。

証明

$k[x]$ は単項イデアル整域なので、素イデアルは $(0)$ と、既約多項式 $f$ が生成する $(f)$ 。
$k$ が代数閉体なので、既約多項式は1次式 $x-a$ の定数倍だけ。
閉集合は $V(f)$ の形で、 $f\neq0$ なら $f$ の根の閉点からなる有限集合、 $f=0$ なら全体。

こちらも、1次式の積に分解すれば $V(f)$ が読み取れます。重なった根は1点にまとまります。

\begin{aligned} V(x^3-x^2) &= V\big(x^2(x-1)\big)=\{(x),(x-1)\}, \\ V(x^2-2x+1) &= V\big((x-1)^2\big)=\{(x-1)\}. \end{aligned}

値も見ておきます。閉点 $(x-a)$ では $k[x]/(x-a)\cong k$ （ $x\mapsto a$ ）なので、値は $a$ を代入した $f(a)$ です。生成点 $(0)$ では $\kappa((0))=k(x)$ で、値は $f$ そのものです。

\begin{aligned} (x^2-1)\big((x-3)\big) &= 3^2-1=8\in k, \\ (x^2-1)\big((0)\big) &= x^2-1\in k(x). \end{aligned}

$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ と $\operatorname{Spec}k[x]$ は、同じ形をしています。どちらも閉点が無限個あり、その上にただ1つの生成点があります。言葉を並べると、次の対応になります。

	$\mathbb{Z}$	$k[x]$
閉点	$(p)$	$(x-a)$
関数	整数 $m$	多項式 $f$
閉点での値	$m\bmod p\in\mathbb{F}_p$	$f(a)\in k$
分解の例	$12=2^2\cdot3$	$x^2(x-1)$
その $V$	$\{(2),(3)\}$	$\{(x),(x-1)\}$

閉集合は「有限個の閉点」か「全体」だけで、生成点を含む閉集合は全体しかありません。空でない開集合はどれも「全体から有限個の閉点を除いたもの」なので、どの2つも交わります。

素数 $p$ で割り切れる整数が「点 $(p)$ で0になる関数」だと考えると、整数を $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ の上の関数とみることができます。例えば $12$ は点 $(2)$ と $(3)$ で0になり、ほかの閉点では0になりません。多項式 $f(x)$ が根で0になるのと同じ見方です。

ドラッグで回せます

$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 。床の黒い点が閉点 $(p)$ （ $p$ は素数）、上に浮かぶ雲が生成点 $(0)$ です。 $(0)$ は1点ですが、閉包が全体なので、どこか1か所に置かず全体の上に広げて描いています。矢印は「この点は $(0)$ の閉包に入る」を表します。

$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{(5)}$ は2点 $(5)$ と $(0)$ だけです。 $\{(0)\}$ は開集合、 $\{(5)\}$ は閉集合です。

$\operatorname{Spec}\mathbb{C}[x]$ 。床を複素平面とみると、閉点 $(x-a)$ は複素数 $a$ と1対1に対応します。生成点 $(0)$ は平面全体の上の雲です。

$\operatorname{Spec}\mathbb{R}[x]$ 。実数 $a$ の閉点 $(x-a)$ に加えて、共役な2つの複素数 $a\pm bi$ が1つの閉点 $(x^2-2ax+a^2+b^2)$ になります。複素平面を実軸で折り返した上半分が、閉点の全体です。

図1概念図1次元の Spec。床（高さ0）に閉点を、高さ1に生成点を描きます。生成点は1点ですが、閉包が全体なので、どこか1か所には置けません。そこで、閉包の上に雲のように広げて描いています。床の上の位置は閉包の場所を、高さは閉包の次元を表します。灰色の矢印は「この閉点は上の点の閉包に入る」を表します。「真横」から見ると、閉点と生成点が別の段に分かれます。

もう少し詳しく代数閉体でないとき：

\operatorname{Spec}\mathbb{R}[x]

$\mathbb{R}$ は代数閉体ではないので、 $\mathbb{R}[x]$ には2次の既約多項式があります[1, 演習2.10, p.109]。実数係数の多項式の複素数の根は、共役な組 $a\pm bi$ で現れるので、2次の既約多項式は

x^2-2ax+a^2+b^2=\big(x-(a+bi)\big)\big(x-(a-bi)\big)\qquad(b>0)

の定数倍です。

よって $\operatorname{Spec}\mathbb{R}[x]$ の閉点は、実数 $a$ に対応する $(x-a)$ と、上半平面の複素数 $a+bi$ （ $b>0$ ）に対応する $(x^2-2ax+a^2+b^2)$ です。複素平面を実軸で折り返して、 $a+bi$ と $a-bi$ を1点にまとめたものが、閉点の全体になります（図1の4つめ）。例えば点 $(x^2+1)$ は $\pm i$ をまとめた点で、剰余体は $\mathbb{R}[x]/(x^2+1)\cong\mathbb{C}$ です。

もう1つ例を挙げます。 $a=1$ 、 $b=2$ とすると

x^2-2x+5=\big(x-(1+2i)\big)\big(x-(1-2i)\big)

で、点 $(x^2-2x+5)$ は $1\pm2i$ をまとめた点です。剰余体は $x\mapsto 1+2i$ で $\mathbb{R}[x]/(x^2-2x+5)\cong\mathbb{C}$ です。

2次の閉点での値は複素数です。ただし、 $x\mapsto1+2i$ と $x\mapsto1-2i$ のどちらで $\mathbb{C}$ とみなすかで、値は複素共役だけずれます。例えば $f=x^2$ の点 $(x^2-2x+5)$ での値は、次の2つのどちらかになります。

(1+2i)^2=-3+4i,\qquad (1-2i)^2=-3-4i

どちらを選んでも、値が0かどうかは変わりません。

閉集合も、実数の範囲で因数分解して読み取ります。

x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)

なので、 $V(x^4-1)=\{(x-1),(x+1),(x^2+1)\}$ です。複素数で見た4つの根 $\pm1,\pm i$ のうち、 $\pm i$ が1点にまとまって3点になります。

図1の2つめは、生成点の閉包が全体になることを、点を減らして見る例です。

例11 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{(5)}$ [1, 例2.3.2, p.102]

$\mathbb{Z}_{(5)}=\{\,a/b\in\mathbb{Q}\mid 5\nmid b\,\}$ とする。 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{(5)}$ は2点 $(0)$ と $(5)$ からなる。 $\{(5)\}$ は閉集合で、 $\{(0)\}$ は開集合であり、その閉包は全体である。

証明

0でない $\mathbb{Z}_{(5)}$ の元は、 $5^n u$ （ $n\geq0$ 、 $u$ は $\mathbb{Z}_{(5)}$ の単元）と書ける。

$a/b$ （ $5\nmid b$ ）の分子を $a=5^n a'$ （ $5\nmid a'$ ）と分けると、 $a/b=5^n\cdot a'/b$ で、 $a'/b$ の逆元 $b/a'$ も $\mathbb{Z}_{(5)}$ に入る。
よってイデアルは $(0)$ か $(5^n)$ で、素イデアルは $(0)$ と $(5)$ だけ。
$\{(5)\}=V(5)$ は閉集合で、その補集合 $\{(0)\}$ は開集合。閉包は命題6(1) から $V(0)$ ＝全体。

証明の1つめのステップを、数で確かめます。

\frac{3}{7}=5^0\cdot\frac{3}{7},\qquad \frac{10}{3}=5\cdot\frac{2}{3},\qquad \frac{75}{2}=5^2\cdot\frac{3}{2}

$3/7$ は逆元 $7/3$ も $\mathbb{Z}_{(5)}$ に入るので単元です。イデアルは

\mathbb{Z}_{(5)}\supsetneq(5)\supsetneq(25)\supsetneq(125)\supsetneq\cdots\supsetneq(0)

と1列に並び、このうち素イデアルは $(5)$ と $(0)$ だけです。

$\mathbb{Z}_{(5)}$ の元は、分母が5で割り切れない分数、つまり「点 $(5)$ で分母が0にならない関数」です。 $\mathbb{Z}_{(5)}/(5)\cong\mathbb{F}_5$ で、 $a/b$ の値は $a\cdot b^{-1}\bmod5$ です。 $5\nmid b$ なので、 $b$ は $\mathbb{F}_5$ で逆元をもちます。

\begin{aligned} \frac{3}{7}\Big((5)\Big) &= 3\cdot7^{-1}=3\cdot2^{-1}=3\cdot3=9=4\in\mathbb{F}_5, \\ \frac{10}{3}\Big((5)\Big) &= 0\in\mathbb{F}_5,\qquad \frac{3}{7}\Big((0)\Big)=\frac{3}{7}\in\mathbb{Q}. \end{aligned}

1行目は $\mathbb{F}_5$ で $7=2$ 、 $2\cdot3=6=1$ を使っています。検算すると $7\cdot4=28\equiv3\pmod5$ です。

一方、 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ のほかの閉点、例えば $(7)$ は $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{(5)}$ には残りません。 $1/7\in\mathbb{Z}_{(5)}$ を使うと

1=7\cdot\frac{1}{7}\in7\mathbb{Z}_{(5)}

となるので、 $7$ が生成するイデアル $7\mathbb{Z}_{(5)}$ は環全体で、素イデアルではありません。

$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{(5)}$ は、 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ から点 $(5)$ と生成点 $(0)$ だけを残した空間で、「点 $(5)$ のまわりだけを見る」ことに当たります。

このような環は離散付値環の例で、次回の茎の話につながります。

2次元の例： $\operatorname{Spec}k[x,y]$

平面になると、点が3種類に増えます。

例12 $\operatorname{Spec}k[x,y]$ [1, 例2.3.4, p.102–103]

$k$ を代数閉体とする。 $\operatorname{Spec}k[x,y]$ の点は、次の3種類である。

$(0)$ ：全体の生成点。
$(g)$ （ $g$ は既約多項式）：既約な曲線 $V(g)$ の生成点。
$(x-a,\ y-b)$ （ $a,b\in k$ ）：閉点。

証明

3種類とも素イデアルである。 $(0)$ は $k[x,y]$ が整域だから、 $(g)$ は $k[x,y]$ が一意分解整域だから、 $(x-a,\ y-b)$ は $f\mapsto f(a,b)$ の核で、剰余環が $k$ だから（極大イデアル）。
残りは、0でなく単項でもない素イデアル $P$ が $(x-a,\ y-b)$ の形であることを示す。まず $P$ は既約多項式 $g$ を含む。

0でない $f\in P$ を既約多項式の積に分解すると、 $P$ が素イデアルなので、どれかの因子が $P$ に入る。
$P\neq(g)$ なので、 $g$ で割り切れない $h\in P$ がある。
$g$ と $h$ から、 $x$ だけの0でない多項式 $d(x)\in P$ が作れる。
1. $g\in k[x]$ （ $y$ を含まない）なら、 $d=g$ とすればよい。以下、 $g$ は $y$ を含むとする。
2. $K=k(x)$ とおく。ガウスの補題より、 $g$ は $K[y]$ でも既約で、 $K[y]$ で $h$ を割り切らない。
  
  $k[x,y]=k[x][y]$ とみる。 $g$ は既約で $y$ を含むので、 $k[x]$ 係数の多項式として原始的（係数に共通の因子がない）。原始的な既約多項式は $K[y]$ でも既約である。
  
  また、 $K[y]$ で $g$ が $h$ を割り切れば、ガウスの補題により $k[x][y]$ でも割り切ってしまう。
3. $K[y]$ は単項イデアル整域なので、 $ug+vh=1$ （ $u,v\in K[y]$ ）と書ける。
  
  $g$ は $K[y]$ で既約で $h$ を割り切らないので、 $g$ と $h$ の最大公約元は1。単項イデアル整域では、最大公約元はイデアル $(g,h)$ の生成元になる。
4. $u,v$ の分母を払うと、 $u'g+v'h=d(x)$ （ $u',v'\in k[x,y]$ 、 $0\neq d\in k[x]$ ）。左辺は $P$ に入る。
$k$ は代数閉体なので $d(x)$ は1次式の積に分解し、 $P$ が素イデアルなので、ある $x-a$ が $P$ に入る。
$x$ と $y$ の役割を入れ替えた同じ議論で、ある $y-b$ も $P$ に入る。
$(x-a,\ y-b)\subseteq P\neq k[x,y]$ で、左辺は極大イデアルなので $P=(x-a,\ y-b)$ 。

閉点は、第1回の $\mathbb{A}^2$ の点 $(a,b)$ と1対1に対応します。それに加えて、既約な曲線ごとに1つの生成点と、平面全体の生成点 $(0)$ が増えました。点 $(g)$ の閉包 $V(g)$ は、曲線上のすべての閉点と、 $(g)$ 自身からなります。

例13 $\operatorname{Spec}k[x,y]$ の閉包

$k$ を代数閉体とする。 $\operatorname{Spec}k[x,y]$ で、点 $(y-x^2)$ と点 $(y)$ の閉包は次のとおりである。

\begin{aligned} V(y-x^2) &= \{(y-x^2)\}\cup\{(x-a,\ y-a^2)\mid a\in k\}, \\ V(y) &= \{(y)\}\cup\{(x-a,\ y)\mid a\in k\}. \end{aligned}

また $V(xy)=V(x)\cup V(y)$ は、2つの生成点 $(x)$ 、 $(y)$ と、閉点 $(x,\ y-b)$ 、 $(x-a,\ y)$ （ $a,b\in k$ ）からなる。

証明

例12の3種類の点のうち、 $y-x^2$ を含むものを調べる。 $(0)$ は含まない。
$(g)\ni y-x^2$ なら $g$ は $y-x^2$ を割り切る。 $y-x^2$ は既約なので、 $g$ はその定数倍で $(g)=(y-x^2)$ 。

$y-x^2$ は $y$ について1次で、 $y$ の係数が1である。積に分解すると、 $y$ を含まない方の因子は $y$ の係数1を割り切るので定数になる。よって既約。
$(x-a,\ y-b)\ni y-x^2$ は、点 $(a,b)$ での値 $b-a^2$ が0であること、つまり $b=a^2$ と同じ。
$V(y)$ も同じ。 $y$ を割り切る既約多項式は $y$ の定数倍で、 $(x-a,\ y-b)\ni y$ は $b=0$ と同じ。
$V(xy)$ は命題3(3) から $V(x)\cup V(y)$ で、 $V(x)$ は $x,y$ を入れ替えた同じ計算で $\{(x)\}\cup\{(x,\ y-b)\mid b\in k\}$ 。

原点 $(x,y)$ は $V(x)$ にも $V(y)$ にも入り、2本の軸の交点になっています。生成点 $(x)$ と $(y)$ は、どちらも相手の閉包には入りません。

ドラッグで回せます

床は閉点の全体です（ $k$ が代数閉体なら、閉点 $(x-a,\ y-b)$ は $k^2$ の点 $(a,b)$ と1対1）。第1回の $\mathbb{A}^2$ と同じものが見えています。

高さ1に、既約な曲線の生成点を描いています。放物線の生成点 $(y-x^2)$ は放物線の上の雲、直線の生成点 $(y)$ は直線の上の雲です。「真上」から見ると曲線と重なって見えなくなり、「真横」から見ると床とは別の段に分かれます。

高さ2の雲が、平面全体の生成点 $(0)$ です。段は3つで、これは素イデアルの鎖 $(0)\subsetneq(y-x^2)\subsetneq(x-1,\ y-1)$ の長さ2に対応します。

放物線の生成点の閉包 $V(y-x^2)$ は、生成点そのものと、放物線上のすべての閉点です。矢印は代表としていくつかの閉点だけに引いています。

図2概念図

\operatorname{Spec}k[x,y]

。床が閉点の全体で、放物線

V(y-x^2)

（オレンジ）と直線

V(y)

（緑）を描いています。高さ1の雲が曲線の生成点、高さ2の雲が平面の生成点です。床の上の位置は閉包の場所を、高さは閉包の次元を表します。「真上」から見ると、雲はそれぞれの閉包に重なり、第1回と同じ平面の図になります。「真横」から見ると、点が3段に分かれます。

図2の段の数は、素イデアルの鎖の長さと関係しています。例えば次の2本の鎖があります。

\begin{aligned} &(0)\subsetneq(y-x^2)\subsetneq(x-1,\ y-1), \\ &(0)\subsetneq(y)\subsetneq(x,\ y). \end{aligned}

実は、素イデアルは最大で3つまでしか真に増える列に並べられません。高さ0の閉点、高さ1の曲線の生成点、高さ2の平面の生成点という3段は、この鎖の各段に当たります。

素イデアルの鎖の長さの最大値（ここでは2）を、環のクルル次元と呼びます。最大値が2であることは、次元を扱う先の回で証明します。

重なった点： $\operatorname{Spec}k[x]/(x^2)$

次は、第1回の2つめの宿題「 $x$ と $x^2$ の違い」です。

例14 $\operatorname{Spec}k[x]/(x^2)$

$\operatorname{Spec}k[x]/(x^2)$ は1点 $(x)$ からなり、位相空間としては $\operatorname{Spec}k$ （1点）と同じである。しかし $k[x]/(x^2)$ では $x\neq0$ 、 $x^2=0$ であり、関数 $x$ はただ1つの点で値0をとるのに、0ではない。

証明

対応定理により、 $k[x]/(x^2)$ の素イデアルは、 $(x^2)$ を含む $k[x]$ の素イデアルと1対1に対応する。
$(x^2)$ を含む素イデアルは $x$ を含むので、 $(x)$ だけ。

$x\cdot x\in P$ なら、 $P$ が素イデアルなので $x\in P$ 。 $k[x]$ で $x$ を含む素イデアルは $(x)$ だけ（ $(x)$ は極大で、 $P\supseteq(x)$ なら $P=(x)$ ）。
$x$ は $(x^2)$ に入らないので $k[x]/(x^2)$ で $x\neq0$ 。点 $(x)$ での値は $x\in(x)$ なので0。

ある $n$ で $f^n=0$ となる元 $f$ をべき零元と呼びます。

べき零元はどの素イデアルにも入るので、どの点でも値が0です。空間の点と値だけを見ていると、べき零元は0と区別できません。

$k[x]/(x^2)$ の元は $a+bx$ と一通りに書けます。掛け算は $x^2=0$ として計算します。

\begin{aligned} (a+bx)(c+dx) &= ac+(ad+bc)x+bd\,x^2 \\ &= ac+(ad+bc)x \end{aligned}

とくに $a\neq0$ なら $a+bx$ は単元です。逆元は次のとおりです。

(a+bx)\big(a^{-1}-a^{-2}b\,x\big)=1+(a^{-1}b-a^{-1}b)x=1

単元でないのは $a=0$ の元、つまりイデアル $(x)$ の元だけです。素イデアルが $(x)$ の1つしかないことと合っています。

多項式 $f$ の像は $f(0)+f'(0)x$ で、点での値 $f(0)$ に加えて、微分 $f'(0)$ の情報も残しています。例えば $f=x^3+2x+1$ なら

x^3+2x+1=1+2x+x^2\cdot x\equiv1+2x \pmod{x^2}

で、 $f(0)=1$ 、 $f'(0)=2$ と一致します。

値をとる写像まで並べると、次のようになります。最初の矢印は $x^2$ で割った余り、次の矢印は $x$ で割った余りです。

\begin{array}{ccccc} k[x] & \longrightarrow & k[x]/(x^2) & \longrightarrow & k[x]/(x)\cong k \\ f & \longmapsto & f(0)+f'(0)\,x & \longmapsto & f(0) \end{array}

$\operatorname{Spec}$ で見ると、真ん中と右はどちらも1点です。違いは真ん中の環にだけある $f'(0)$ の部分で、これは点の値には現れません。

$\operatorname{Spec}k[x]/(x^2)$ は、「1点と、そこから出る無限に短い向き」をもった点だと考えられます。

この点は、平面の中で2つの曲線が接するところに現れます。放物線 $y=x^2$ と直線 $y=0$ （図2のオレンジと緑）は原点で接しています。2つの曲線の交わりを表す環を計算すると

\begin{aligned} (y-x^2,\ y) &= (x^2,\ y) \qquad\big(x^2=y-(y-x^2)\big), \\ k[x,y]/(x^2,\ y) &\cong k[x]/(x^2) \qquad(y\mapsto0) \end{aligned}

となります。

一方、 $\sqrt{(x^2,y)}=(x,y)$ なので、閉集合としては $V(y-x^2,\ y)=V(x,y)$ で、ただの1点です。接している交点は、空間としては1点でも、環としては「2点分」の重さをもっています。

このことを、直線を動かして確かめます。

命題15 [2, 命題1.10, p.10]

$k$ を標数が2でない代数閉体、 $c\in k$ とする。

(1)　 $k[x,y]/(y-x^2,\ y-c)\cong k[x]/(x^2-c)$ で、これは $1,x$ を基底とする2次元の $k$ ベクトル空間である。
(2)　 $c\neq0$ なら、 $s^2=c$ となる $s\in k$ について $k[x]/(x^2-c)\cong k\times k$ で、 $\operatorname{Spec}$ は2点 $(x-s)$ 、 $(x+s)$ からなる。
(3)　 $c=0$ なら、 $\operatorname{Spec}k[x]/(x^2)$ は1点で、 $x$ は0でないべき零元である。

証明

(1) $y\mapsto x^2$ で $k[x,y]/(y-x^2)\cong k[x]$ となり、 $y-c$ は $x^2-c$ に移る。よって $k[x]/(x^2-c)$ と同型。
$x^2-c$ はモニックな2次式なので、どの多項式も $x^2-c$ で割った余り $a+bx$ とただ一通りに合同である。よって $1,x$ が基底。
(2) $s\neq0$ かつ標数が2でないので $s\neq-s$ 。 $(x-s)$ と $(x+s)$ は互いに素で、中国剰余定理から $k[x]/(x^2-c)\cong k\times k$ 。

$(x+s)-(x-s)=2s$ は0でない定数（単元）なので、 $(x-s)+(x+s)=k[x]$ 。このとき $(x-s)(x+s)=(x-s)\cap(x+s)$ で、中国剰余定理から
$k[x]/(x^2-c)\cong k[x]/(x-s)\times k[x]/(x+s)\cong k\times k.$
$(x^2-c)=(x-s)(x+s)$ を含む素イデアルは、 $x-s$ か $x+s$ を含む。どちらも極大イデアルを生成するので、点は $(x-s)$ 、 $(x+s)$ の2つ。
(3) は例14 そのもの。

(2) の同型は、2つの点での値を並べる写像です。

\begin{array}{ccc} k[x]/(x^2-c) & \xrightarrow{\ \sim\ } & k\times k \\ f & \longmapsto & \big(f(s),\ f(-s)\big) \end{array}

$c=4$ 、 $s=2$ で具体的に見ます。 $x$ は $(2,-2)$ に移り、元

e=\frac{x+2}{4}

は $(e(2),\ e(-2))=(1,0)$ に移ります。つまり $e$ は「点 $(x-2)$ で1、点 $(x+2)$ で0」の関数です。

実際、 $x^2=4$ を使って $e^2$ を計算すると、 $e^2=e$ になります。

e^2=\frac{x^2+4x+4}{16}=\frac{4+4x+4}{16}=\frac{x+2}{4}=e

ここで $4$ で割れるのは、標数が2でないからです。同じように $1-e=(2-x)/4$ は $(0,1)$ に移り、 $k[x]/(x^2-4)$ は $e$ と $1-e$ で2つの $k$ に分かれます。

$c=0$ ではこうはなりません。 $k[x]/(x^2)$ で $e^2=e$ をみたす元は $0$ と $1$ だけです。

$e=a+bx$ とおくと、 $e^2=a^2+2abx$ なので、 $a^2=a$ と $2ab=b$ が条件です。 $a=0$ なら $b=0$ 、 $a=1$ なら $2b=b$ から $b=0$ となります。

$c\neq0$ では2点、 $c=0$ では1点になります。それでも環の次元はいつも2です。

$c\to0$ のとき2点が近づいてぶつかり、ぶつかった後の1点が $k[x]/(x^2)$ という「2点分の重さ」を残している、と見ることができます。

ドラッグで回せます

$x^2=1$ の解は $x=\pm1$ の2点です。環は $k[x]/(x^2-1)\cong k\times k$ 。

$c$ を小さくすると、2点 $\pm\sqrt c$ が近づきます。

$c=0$ で2点がぶつかり、1点 $x=0$ になります。環 $k[x]/(x^2)$ は $k$ 上2次元のままで、この点は「2点分の重さ」をもちます。

$c<0$ では解 $\pm i\sqrt{|c|}$ が虚軸の方向に出ます。「正面」から見ると2点は $c$ 軸の上で重なり、実数の解しか見えない図では「点がなくなった」ように見えます。回すと、2点は消えずに向きを変えただけだと分かります。

図3具体例

x^2=c

の解を、

k=\mathbb{C}

として、横の2軸に

x

の実部と虚部、縦軸に実数

c

をとって描いた図です。

x^2=c

が実数になるのは、

x

が実数（オレンジ、

c=x^2\geq0

）か純虚数（紫、

c\leq0

）のときです。水平な板が

c

の値を表し、板と曲線の交わりが解です。

c=0

で2点が1点にぶつかります。「正面」から見ると虚部が見えなくなり、

c<0

の2つの解は

c

軸の上で重なって見えます。

図3の $c<0$ の段階は、第1回の「図は実数点だけを描いている」という注意の具体例にもなっています。実数の解だけを見ると、 $c$ が0を通るとき2点が1点になって消えるように見えます。複素数で見ると、2点は消えずに向きを変えているだけです。

この記事の立場では、 $c$ がどんな値でも、交わりは「2点分」あります。

ハーツホーンは同じ現象を、次元を1つ上げて見ています。放物線 $ay=x^2$ の族で $a\to0$ とすると、極限は被約でない「2重の直線」 $x^2=0$ になります[1, 例3.3.1, p.123]。

整数と多項式を合わせる： $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]$

$\mathbb{Z}$ と $k[x]$ が同じ形の空間になったので、両方を合わせた $\mathbb{Z}[x]$ は、平面 $\operatorname{Spec}k[x,y]$ に似た2次元の空間になると予想できます。アティヤ・マクドナルドの演習問題は、 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]$ の図を描くよう求めています[2, 演習問題1.16, p.19]。

例16 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]$

$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]$ の点は、次の4種類である。

$(0)$ ：全体の生成点。
$(p)$ （ $p$ は素数）：閉集合 $V(p)$ の生成点。
$(f)$ （ $f$ は $\mathbb{Z}[x]$ の既約多項式で、次数が1以上）：曲線 $V(f)$ の生成点。
$(p,\ f)$ （ $p$ は素数、 $f$ は $p$ で割った余りの多項式 $\bar f\in\mathbb{F}_p[x]$ が既約になる多項式）：閉点。剰余体は有限体 $\mathbb{F}_p[x]/(\bar f)$ 。

証明

$P$ を素イデアルとする。 $P\cap\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}$ の素イデアルなので、 $(p)$ か $(0)$ 。
$P\cap\mathbb{Z}=(p)$ のとき、 $P$ は $\mathbb{Z}[x]/(p)\cong\mathbb{F}_p[x]$ の素イデアルに対応し、それは $(0)$ か $(\bar f)$ （ $\bar f$ は既約）。よって $P=(p)$ か $(p,\ f)$ 。

対応定理により、 $p$ を含む $\mathbb{Z}[x]$ の素イデアルは、 $\mathbb{F}_p[x]$ の素イデアルと1対1に対応する。 $\mathbb{F}_p[x]$ は単項イデアル整域なので、素イデアルは $(0)$ と、既約多項式が生成するイデアル。

$\mathbb{Z}[x]/(p,f)\cong\mathbb{F}_p[x]/(\bar f)$ は体なので、 $(p,f)$ は極大イデアル。
$P\cap\mathbb{Z}=0$ で $P\neq0$ のとき、 $P$ の0でない元のうち次数が最小のものから、既約多項式 $f$ で $P=(f)$ となるものが取れる。
1. 次数最小の $f_0\in P\setminus\{0\}$ を取り、係数の最大公約数 $c$ で割って $f_0=cf$ とする。 $c\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ は $P$ に入らないので $f\in P$ 。
2. $f$ の次数は1以上。次数0なら $f=\pm1$ となり、 $P=\mathbb{Z}[x]$ になってしまう。
3. $g\in P$ を任意に取る。 $\mathbb{Q}[x]$ で $g$ を $f$ で割り、分母を払うと $dg=qf+r$ （ $d\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ 、 $q,r\in\mathbb{Z}[x]$ 、 $\deg r<\deg f$ ）。
4. $r=dg-qf\in P$ で次数が $f$ より小さいので、 $r=0$ 。よって $f$ は $dg$ を割り切る。
5. ガウスの補題より、係数が互いに素な $f$ は $g$ を割り切る。よって $P=(f)$ 。
  
  $f$ の係数の最大公約数は1なので、 $f\mid dg$ から $f\mid g$ が従う。
  
  $f$ は既約でもある。 $f=f_1f_2$ と分解できたとすると、 $P$ が素イデアルなので $f_1$ か $f_2$ が $P$ に入るが、次数の最小性から、その因子の次数は $f$ と同じ。係数の最大公約数が1なので、残りの因子は $\pm1$ 。
逆に、上の4種類はどれも素イデアルである。 $(p)$ は $\mathbb{Z}[x]/(p)\cong\mathbb{F}_p[x]$ が整域だから、 $(f)$ は $\mathbb{Z}[x]$ が一意分解整域だから（ガウスの補題）、 $(p,f)$ は剰余環が体だから。
閉点は $(p,\ f)$ の形のものだけ。 $(0)\subsetneq(p)\subsetneq(p,\ x)$ で、 $(f)$ も、 $f$ の最高次係数を割り切らない素数 $p$ と $\bar f$ の既約因子 $g$ を使った $(p,\ g)$ に真に含まれる。

4種類の点の例と、その剰余体を並べます。

\begin{array}{c|c|c} P & A/P & \kappa(P) \\ \hline (0) & \mathbb{Z}[x] & \mathbb{Q}(x) \\ (3) & \mathbb{F}_3[x] & \mathbb{F}_3(x) \\ (x-2) & \mathbb{Z} & \mathbb{Q} \\ (x^2+1) & \mathbb{Z}[i] & \mathbb{Q}(i) \\ (5,\ x-2) & \mathbb{F}_5 & \mathbb{F}_5 \\ (3,\ x^2+1) & \mathbb{F}_9 & \mathbb{F}_9 \end{array}

$\mathbb{Z}[x]/(x-2)\cong\mathbb{Z}$ は $x\mapsto2$ 、 $\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)\cong\mathbb{Z}[i]$ は $x\mapsto i$ で与えられます。 $\mathbb{F}_9=\mathbb{F}_3[x]/(x^2+1)$ は元が9個の体です。

例17 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]$ の点での値

$f=x^2+1\in\mathbb{Z}[x]$ の値は、点の種類ごとに次のようになる。

\begin{aligned} f\big((7,\ x-3)\big) &= 3^2+1=10=3\in\mathbb{F}_7, \\ f\big((5,\ x-2)\big) &= 2^2+1=5=0\in\mathbb{F}_5, \\ f\big((x-2)\big) &= 2^2+1=5\in\mathbb{Q}, \\ f\big((3)\big) &= x^2+1\neq0\in\mathbb{F}_3(x), \\ f\big((3,\ x^2+1)\big) &= f\big((x^2+1)\big)=0. \end{aligned}

とくに、閉点 $(5,\ x-2)$ は $V(f)$ に入り、閉点 $(7,\ x-3)$ は入らない。点 $(x-2)$ の値は整数 $5$ で、それを $5$ で割った余りが閉点 $(5,\ x-2)$ での値 $0$ になっている。

最後の文は、点 $(5,\ x-2)$ が点 $(x-2)$ の閉包に入っていることの表れです。 $(x-2)\subseteq(5,\ x-2)$ なので、値をとる写像は次のように2段に分かれます。

\begin{array}{ccccc} \mathbb{Z}[x] & \longrightarrow & \mathbb{Z}[x]/(x-2)\cong\mathbb{Z} & \longrightarrow & \mathbb{Z}/(5)=\mathbb{F}_5 \\ x^2+1 & \longmapsto & 5 & \longmapsto & 0 \end{array}

閉集合 $V(p)$ の点は、 $p$ を含む素イデアル、つまり $\mathbb{F}_p[x]$ の素イデアルです。 $V(p)$ は1次元の空間 $\operatorname{Spec}\mathbb{F}_p[x]$ と同じ形をしていて、射影 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ の、点 $(p)$ の上のファイバーになっています。

ここで射影とは、 $\mathbb{Z}[x]$ の素イデアル $P$ に、 $\mathbb{Z}$ の素イデアル $P\cap\mathbb{Z}$ を対応させる写像です。4種類の点は次のように移ります。

\begin{array}{rcl} (0),\ (f) & \longmapsto & (0), \\ (p),\ (p,\ f) & \longmapsto & (p). \end{array}

点 $(p)$ の上のファイバーは $V(p)$ で、閉集合です。一方、生成点 $(0)$ の上のファイバーは $\{(0)\}\cup\{(f)\}$ で、閉集合ではありません。このファイバーの点は $\mathbb{Q}[x]$ の素イデアル $(0)$ 、 $(f)$ と1対1に対応します。

環の側では、次の図式が可換です。横の矢印は $\mathbb{Z}$ から $\mathbb{Q}$ への埋め込みと、 $p$ で割った余りをとる写像です。

\begin{CD} \mathbb{Q} @<<< \mathbb{Z} @>>> \mathbb{F}_p \\ @VVV @VVV @VVV \\ \mathbb{Q}[x] @<<< \mathbb{Z}[x] @>>> \mathbb{F}_p[x] \end{CD}

図式は、係数を $\mathbb{Z}$ から $\mathbb{F}_p$ や $\mathbb{Q}$ に取り替える操作を表しています。右の正方形は「 $\mathbb{Z}[x]$ を $p$ で割ると $\mathbb{F}_p[x]$ 」（ $\mathbb{Z}[x]/(p)\cong\mathbb{F}_p[x]$ ）、左の正方形は「分母を許すと $\mathbb{Q}[x]$ 」に当たり、それぞれ点 $(p)$ の上と生成点の上のファイバーの環です。

ハーツホーンは、 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ の上の族を、生成点 $(0)$ の上では $\mathbb{Q}$ 上の空間、閉点 $(p)$ の上では $\mathbb{F}_p$ 上の空間を与えるもの（ $p$ を法とした還元）として紹介しています[1, p.122]。

一方、 $V(f)$ は、ファイバーを横切る「横向きの曲線」です。 $f$ の最高次係数を割り切らない素数 $p$ では、 $\bar f$ の次数が1以上なので、 $V(f)$ はファイバー $V(p)$ と必ず交わります。最高次係数を割り切る $p$ では交わらないことがあり、例えば $f=2x-1$ では

\begin{aligned} &1=x\cdot2-(2x-1)\in(2,\ 2x-1), \\ &V(2x-1)\cap V(2)=V(2,\ 2x-1)=\varnothing \end{aligned}

です。 $\mathbb{F}_2[x]$ で $2x-1$ は単元 $1$ になってしまうからです。

代表として $f=x^2+1$ を見ます。 $V(x^2+1)$ とファイバー $V(p)$ の交わりの点は、 $\mathbb{F}_p[x]$ で $x^2+1$ を割り切る既約多項式に対応します。

例18 $x^2+1$ を素数で割る

$V(x^2+1)\cap V(p)$ の点は次のとおりである。

$p=2$ ： $x^2+1=(x+1)^2$ なので1点 $(2,\ x+1)$ 。環 $\mathbb{F}_2[x]/(x^2+1)=\mathbb{F}_2[x]/\big((x+1)^2\big)$ には0でないべき零元 $x+1$ がある。
$p=3,7,11$ ： $x^2+1$ は $\mathbb{F}_p$ に根をもたず既約なので、1点 $(p,\ x^2+1)$ 。剰余体は元が $p^2$ 個の有限体。
$p=5$ ： $x^2+1=(x-2)(x+2)$ なので2点 $(5,\ x-2)$ 、 $(5,\ x+2)$ 。 $p=13$ ： $x^2+1=(x-5)(x+5)$ なので2点。

証明

$\mathbb{F}_p$ の元を全部代入して根を調べる。2次式は、根をもたなければ既約で、根 $a$ をもてば $(x-a)(x+a)$ と分解する。

例えば $p=3$ では $0^2+1=1$ 、 $1^2+1=2$ 、 $2^2+1=5\equiv2$ で、根がない。 $p=5$ では $2^2+1=5\equiv0$ 、 $p=13$ では $5^2+1=26\equiv0$ 。 $p=2$ では $1^2+1\equiv0$ で、 $(x+1)^2=x^2+2x+1\equiv x^2+1$ 。

図4を作るプログラムも、同じ計算を全部の素数について確かめている。

命題3(2) から、交わりは $V(x^2+1)\cap V(p)=V(p,\ x^2+1)$ です。対応定理により、交わりの点は $\mathbb{Z}[x]/(p,\ x^2+1)\cong\mathbb{F}_p[x]/(x^2+1)$ の素イデアルと1対1に対応します。

素数を増やしても、同じ計算で分かれ方が決まります。根 $a$ の確かめ方は $a^2+1\equiv0\pmod p$ です。

\begin{array}{c|c|c} p & a^2+1 & x^2+1 \bmod p \\ \hline 17 & 4^2+1=17 & (x-4)(x+4) \\ 29 & 12^2+1=5\cdot29 & (x-12)(x+12) \\ 37 & 6^2+1=37 & (x-6)(x+6) \end{array}

一方、 $p=19,23,31$ では $\mathbb{F}_p$ のどの元を入れても $a^2+1$ が0にならず、 $x^2+1$ は既約です。2点に分かれる素数 $5,13,17,29,37$ はどれも4で割って1余り、1点のままの $3,7,11,19,23,31$ はどれも4で割って3余ります。

剰余体が2次になる点の例として、 $p=3$ の点 $(3,\ x^2+1)$ の剰余体 $\mathbb{F}_3[x]/(x^2+1)$ を見ます。元は $a+bx$ （ $a,b\in\mathbb{F}_3$ ）の9個で、 $x^2=-1$ として計算します。例えば

\begin{aligned} (1+x)^2 &= 1+2x+x^2=2x, \\ (1+x)(2+x) &= 2+3x+x^2=1 \end{aligned}

で、 $1+x$ の逆元は $2+x$ です。複素数で $i^2=-1$ として計算するのと同じ形です。

どの $p$ でも、 $\mathbb{F}_p[x]/(x^2+1)$ は $\mathbb{F}_p$ 上2次元です。図3の $x^2=c$ と同じで、「2点」「重なった1点」「1点だが剰余体が2次」のどれかになります。 $p=2$ の点は、 $c=0$ の重なった点と同じ形です。

ドラッグで回せます

縦の線が、素数 $p$ の上のファイバー $V(p)\cong\operatorname{Spec}\mathbb{F}_p[x]$ です。縦の位置が $a$ の黒い点が閉点 $(p,\ x-a)$ で、 $a$ は $p$ で割った余りを $-p/2$ から $p/2$ の範囲で表しています。緑の横線 $V(x)$ は、各ファイバーの $a=0$ の点を通ります。

各ファイバー $V(p)$ の生成点 $(p)$ は、縦の線の上の雲です。

曲線 $V(x^2+1)$ は、 $p\equiv1\pmod 4$ のファイバーでは2つの閉点を、 $p\equiv3\pmod 4$ のファイバーでは1つの2次の点（剰余体が $\mathbb{F}_{p^2}$ 、上端の紫）を通ります。 $p=2$ では $x^2+1=(x+1)^2$ なので2本の枝が1点で接し、図3の $c=0$ と同じ「重なった点」になります。曲線の生成点 $(x^2+1)$ が高さ1の雲です。点を結ぶ線の形には意味がありません。

高さ2の雲が $(0)$ です。 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]$ も、 $\operatorname{Spec}k[x,y]$ （図2）と同じく3段に分かれます。

図4概念図

\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]

。横に素数

p

を並べ、各

p

の上の縦の線がファイバー

V(p)

です。黒い点は閉点

(p,\ x-a)

で、縦の線の上の位置が余り

a

を表します。紫の点は2次の閉点

(p,\ x^2+1)

です。オレンジの線が曲線

V(x^2+1)

で、通る閉点だけに意味があり、点と点を結ぶ線の形には意味がありません。図2と同じく、閉包が1次元の点を高さ1に、全体の生成点を高さ2に描いています。「真上」から見ると、マンフォードの有名な図と同じ配置になります。

別の横向きの曲線でも、同じことが起こります。

例19 $x^2+x+1$ を素数で割る

$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]$ の曲線 $V(x^2+x+1)$ とファイバー $V(p)$ の交わりの点は次のとおりである。

$p=3$ ： $x^2+x+1\equiv(x-1)^2$ なので1点 $(3,\ x-1)$ で、重なった点になる。
$p=7$ ： $x^2+x+1\equiv(x-2)(x-4)$ なので2点。 $p=13$ ： $(x-3)(x-9)$ 、 $p=19$ ： $(x-7)(x-11)$ でどちらも2点。
$p=2,5,11,17$ ： $\mathbb{F}_p$ に根がなく既約なので、剰余体が2次の1点 $(p,\ x^2+x+1)$ 。

証明

$p=3$ ： $(x-1)^2=x^2-2x+1$ で、 $-2\equiv1\pmod3$ なので $x^2+x+1$ に等しい。
$p=7,13,19$ ：根を代入して確かめる。

$2^2+2+1=7$ 、 $4^2+4+1=21=3\cdot7$ 。 $3^2+3+1=13$ 、 $9^2+9+1=91=7\cdot13$ 。 $7^2+7+1=57=3\cdot19$ 、 $11^2+11+1=133=7\cdot19$ 。

2つの根 $a,b$ があれば $x^2+x+1=(x-a)(x-b)$ で、実際 $a+b\equiv-1$ 、 $ab\equiv1$ になっている（例えば $p=7$ で $2+4=6\equiv-1$ 、 $2\cdot4=8\equiv1$ ）。
$p=2,5,11,17$ ： $\mathbb{F}_p$ の元をすべて代入しても0にならない。2次式は根がなければ既約である。

例えば $p=5$ では、 $a=0,1,2,3,4$ に対して $a^2+a+1=1,3,7,13,21$ で、5で割った余りは $1,3,2,3,1$ 。 $p=2$ では $1$ と $1+1+1\equiv1$ 。

今度は、2点に分かれる $7,13,19$ が3で割って1余り、1点のままの $2,5,11,17$ が3で割って2余ります。 $p\neq3$ では、 $x^2+x+1$ の根は $a^3=1$ 、 $a\neq1$ をみたす元（1の原始3乗根）です。 $\mathbb{F}_p^\times$ は位数 $p-1$ の巡回群なので、位数3の元があるのは $3\mid p-1$ 、つまり $p\equiv1\pmod3$ のときです。

$\mathbb{Z}[x]/(x^2+x+1)$ は、 $\omega=(-1+\sqrt{-3})/2$ を添加した環 $\mathbb{Z}[\omega]$ です。 $x^2+1$ では $p=2$ で接し、 $x^2+x+1$ では $p=3$ で接します。

専門的な話どの素数で2点に分かれるか

奇素数 $p$ について、 $x^2+1$ が $\mathbb{F}_p$ に根をもつのは $p\equiv1\pmod 4$ のときで、そのときに限ります（平方剰余の第1補充法則）。よって $V(x^2+1)$ は、 $p\equiv1\pmod4$ のファイバーで2点、 $p\equiv3\pmod4$ のファイバーで2次の1点を通り、 $p=2$ で接します。

$\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$ はガウス整数の環 $\mathbb{Z}[i]$ なので、 $V(x^2+1)$ は $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[i]$ と同じものです。

整数論では、素数 $p$ が $\mathbb{Z}[i]$ で2つの素元の積に分かれることを「分解する」、素元のままであることを「惰性的」、重なった因子が出ることを「分岐する」と呼びます。図4は、これを $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ の上の曲線の形として見せています。

まとめ：点の種類の表

この記事の例を表にまとめます。「段」は、図で点を浮かべた高さの種類の数（素イデアルの鎖の長さに1を足したもの）です。

$\operatorname{Spec}A$	閉点	閉点でない点	段
$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$	$(p)$	$(0)$	2
$\operatorname{Spec}k[x]$	$(x-a)$	$(0)$	2
$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{(5)}$	$(5)$	$(0)$ （開集合）	2
$\operatorname{Spec}k[x,y]$	$(x-a,\ y-b)$	$(g)$ 、 $(0)$	3
$\operatorname{Spec}k[x]/(x^2)$	$(x)$	なし（環にはべき零元 $x$ がある）	1
$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]$	$(p,\ f)$	$(p)$ 、 $(f)$ 、 $(0)$	3

第1回の辞書の言葉で言い直すと、「既約な閉集合」と「点」が同じものになりました。点 $P$ の閉包が $V(P)$ で、包含が逆向きになることも第1回と同じです。

この記事の対応を式でまとめると、次のようになります。

\begin{array}{ccc} P\in\operatorname{Spec}A & \longmapsto & \overline{\{P\}}=V(P) \\ P\subseteq Q & \iff & V(P)\supseteq V(Q) \\ f(P)=0 & \iff & f\in P \end{array}

1行目が命題6(1)（と定理8）、2行目が命題6(2)、3行目が値の定義から出る関係です。

次回：点のまわりの関数

この記事の Spec は、まだ位相空間にすぎません。 $\operatorname{Spec}k$ と $\operatorname{Spec}k[x]/(x^2)$ は、位相空間としては区別できませんでした。違いは環の側、つまり「その空間の上の関数」にあります。

次回は、開集合ごとに関数の集まりを決める前層と層を定義し、点のまわりの関数の集まりである茎と、その元である芽を図で見ます。点 $(5)$ での $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ の茎は、この記事の環 $\mathbb{Z}_{(5)}$ になります[1, 命題2.2, p.97]。

0 でない元どうしの積が0にならない可換環（ $ab=0$ なら $a=0$ または $b=0$ ）。例： $\mathbb{Z}$ 、体上の多項式環。 $A/P$ が整域であることと、 $P$ が素イデアルであることは同値。

整域 $A$ の元の分数 $a/b$ （ $b\neq0$ ）全体がなす体。 $\operatorname{Frac}A$ と書く。例： $\mathbb{Z}$ の商体は $\mathbb{Q}$ 、 $k[x]$ の商体は有理関数体 $k(x)$ 。

元を無限個もつ体。 $\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ など。無限体の上では、すべての点で0になる多項式は0だけである。

位相空間の閉集合の全体が満たす条件：空集合と全体は閉集合、有限個の閉集合の和集合は閉集合、任意個の閉集合の共通部分は閉集合。これを満たす集合族を決めると位相が1つ決まる。

すべてのイデアルが1つの元で生成される整域。例： $\mathbb{Z}$ 、体上の1変数多項式環 $k[x]$ 。素イデアルは $(0)$ と、既約元が生成する $(p)$ だけで、 $(p)$ は極大イデアルになる。

定数でなく、定数でない2つの多項式の積に分解できない多項式。例： $\mathbb{R}[x]$ の $x^2+1$ 。 $\mathbb{C}[x]$ では $(x+i)(x-i)$ と分解するので既約ではない。

素イデアルがちょうど2つ（ $(0)$ と極大イデアル）の単項イデアル整域。例： $\mathbb{Z}_{(p)}$ 、 $k[x]_{(x)}$ 。0でない元は $\pi^n u$ （ $\pi$ は極大イデアルの生成元、 $u$ は単元）と一通りに書け、 $n$ が「その点で何位の零点か」を表す。

0 でも単元でもない元が、既約元の積に、順番と単元倍を除いて一通りに分解できる整域。例： $\mathbb{Z}$ 、体上の多項式環 $k[x_1,\dots,x_n]$ 。ここでは既約元が生成するイデアルは素イデアルになる。

一意分解整域 $R$ と商体 $K$ について、係数に共通の因子がない（原始的な） $f\in R[y]$ が $K[y]$ で $g\in R[y]$ を割り切れば、 $R[y]$ でも割り切る。また、次数1以上の原始的な既約多項式は $K[y]$ でも既約である。とくに $R[y]$ も一意分解整域になる。

環 $A$ とイデアル $J$ について、 $A/J$ のイデアルは、 $J$ を含む $A$ のイデアル $K$ の像 $K/J$ と1対1に対応する。素イデアルは素イデアルに、極大イデアルは極大イデアルに対応する。

環 $A$ のイデアル $J,K$ が $J+K=A$ をみたすとき、 $JK=J\cap K$ で、 $A/JK\cong A/J\times A/K$ 。整数なら、互いに素な $m,n$ について $\mathbb{Z}/mn\cong\mathbb{Z}/m\times\mathbb{Z}/n$ 。

既約な閉集合 $Z$ に対して、閉包がちょうど $Z$ になる点を $Z$ の生成点と呼ぶ。 $\operatorname{Spec}k[x,y]$ では、素イデアル $(0)$ に対応する点が平面全体の生成点になる。

定数でない1変数多項式が、必ずその体の中に根をもつ体。例： $\mathbb{C}$ 。 $\mathbb{R}$ は代数閉体ではない（ $x^2+1$ に根がない）。代数閉体は必ず無限体である。

掛けて1になる相手（逆元）をもつ環の元。例： $\mathbb{Z}$ の単元は $\pm1$ 、体では0以外のすべての元。

環 $A$ をイデアル $J$ で割った環 $A/J$ 。差が $J$ に入る元どうしを同じとみなす。例： $k[x,y]/(y)\cong k[x]$ 。

参考文献

R. ハーツホーン（高橋宣能・松下大介訳）, 『代数幾何学 1』, 丸善出版, 2013.
M. F. アティヤ, I. G. マクドナルド（新妻弘訳）, 『可換代数入門』, 共立出版, 2006.
後藤四郎, 渡辺敬一, 『可換環論』, 日本評論社, 2011.

前回の宿題

Spec：素イデアルを点にする

閉包と生成点

1次元の例：整数と1変数多項式

2次元の例：Spec⁡k[x,y]\operatorname{Spec}k[x,y]Speck[x,y]

重なった点：Spec⁡k[x]/(x2)\operatorname{Spec}k[x]/(x^2)Speck[x]/(x2)

整数と多項式を合わせる：Spec⁡Z[x]\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]SpecZ[x]

まとめ：点の種類の表

次回：点のまわりの関数

参考文献

2次元の例： $\operatorname{Spec}k[x,y]$

重なった点： $\operatorname{Spec}k[x]/(x^2)$

整数と多項式を合わせる： $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]$