数学ビジュアライズ
定義を
-
方
程式の 解を 形と して 見る ：アフィン代数的集合と イデアル 代数幾何は、
多項式の 方 程式の 解の 集まりを 「形」と して 調べる 分野です。 零点集合 V と イデアル I の 定義から 始めて、 和集合と 共通部分、 イデアルが 大きいほど 形が 小さくなる 対応、 既約成分、 射影と 消去までを、 回せる 立体図で 確かめます。 -
素イデアルを
点に する ：Spec と 生成点 環の
素イデアルを すべて 点とみなすと、 曲線や 平面全体に 対応する 「生成点」が 現れます。 Spec と ザリスキー位相を 定義し、 既約な 閉集合と 生成点の 1対1対応を 示したうえで、 Spec Z、 Spec k[x]、 Spec k[x,y]、 Spec k[x]/(x^2)、 Spec Z[x] を 回せる 立体図で 比べます。 -
点の
まわりの 関数：層・茎・芽 空間の
上の 関数を 開集合ごとに 考える 前層と 層を 定義し、 点の いくらでも 小さい 近傍で 決まる 茎と 芽を 図で 確かめます。 Spec の 構造層を 作って 茎が 局所化 A_P に なる ことを 示し、 Spec Z、 Spec k[x]/(x^2)、 Spec Z/12 で、 芽が 値より 多くを 覚えている ことを 見ます。 -
貼り合わせて
作る 空間：射影直線 どの
点の まわりも Spec の 形を した 空間と して スキームを 定義し、 2本の 直線を 貼り合わせて 射影直線を 作ります。 射影直線の 上の 関数は 定数だけで、 どの 環の Spec とも 違う 空間に なる ことを 示し、 原点が 2つある 直線とも 比べます。 複素数の 射影直線は 回せる リーマン球面で 確かめます。