OpenAIのAIが証明した「πの無理数度は2」：フリント・ヒルズ級数も収束する

この記事の要点

無理数度: 無理数が分数でどれだけよく近似できるかを、分母 $q$ に対する誤差の指数で測る量です。どの無理数でも2以上で、2なら「ふつうの近さ」の近似しかできないことを表します。
今回の結果: OpenAIのモデルが書いた論文が、 $\pi$ の無理数度はちょうど2だと証明しました。これまでの上限は約7.10で、2になるという予想が長く残っていました。
級数への応用: 無理数度が $5/2$ より小さければ、フリント・ヒルズ級数 $\sum 1/(n^3\sin^2 n)$ は収束すると分かっていました。今回の結果でこの級数の収束が決まりました。
確かさ: 主定理はLeanで形式化され、リポジトリの照合の対象になっています。論文は査読前のプレプリントです。

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The irrationality exponent of π is 2

OpenAI　2026年9月24日付　プレプリント（査読前）　PDF 494KB

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PDFは2026年10月9日にGitHubから取得した版のコピーで、Apache License 2.0（全文）に従って掲載しています。修正版が出た場合は、GitHubのほうが新しくなります。

定義・命題の下の「証明」は、開くとステップが並びます。もう少し詳しくは大学1〜2年程度の数学の補足、専門的な話は論文の中身に踏み込む補足です。どちらも開かずに読み進められます。

$\pi$ の近似についての予想が証明された

2026年10月6日、OpenAIは未公開の社内モデルが書いた数学の論文をGitHubのリポジトリ openai/math で公開しました^[1]。その017番が、この記事で読む「The irrationality exponent of $\pi$ is 2」です^[2]。

主張は「 $\pi$ の無理数度は2である」という一文です。あわせて、収束するかどうか長く分からなかったフリント・ヒルズ級数が収束することも示しています。

無理数度は、大学の講義でもあまり出てこない量です。そこでこの記事では、まず無理数度の定義と例を丁寧に見ます。そのあとで、今回の定理と、それが級数の収束を決める仕組みを証明つきで説明します。

この論文は、10月7日付の修正・取り下げには含まれていません。リポジトリの更新は修正と取り下げの記録にまとめています。

分数で近似するとは

$\pi$ を分数で近似するとき、よく使うのは $3.14=157/50$ と $22/7$ です。誤差を比べると次のとおりです。

\left|\pi-\frac{157}{50}\right|=0.00159\ldots\qquad \left|\pi-\frac{22}{7}\right|=0.00126\ldots

\begin{gathered}\left|\pi-\frac{157}{50}\right|=0.00159\ldots\\\left|\pi-\frac{22}{7}\right|=0.00126\ldots\end{gathered}

\begin{aligned}\left|\pi-\frac{157}{50}\right| &= 0.00159\ldots\\[4pt]\left|\pi-\frac{22}{7}\right| &= 0.00126\ldots\end{aligned}

分母が $50$ の分数より、分母が $7$ の分数のほうが $\pi$ に近いわけです。小さい分母で近いほど、よい近似だと言えます。そこで、誤差を分母の大きさと比べて測ることにします。

まず、どんな実数 $x$ でも当たり前に達成できる近さを確かめます。分母 $q$ を決めると、分数 $p/q$ は数直線上に間隔 $1/q$ で並びます。 $x$ にいちばん近いものを選べば、誤差は間隔の半分以下です。

\min_{p\in\mathbb{Z}}\left|x-\frac pq\right|\le\frac1{2q}

\begin{aligned}\min_{p\in\mathbb{Z}}\left|x-\frac pq\right| &\le \frac1{2q}\end{aligned}

誤差を $1/q$ 程度にするのは誰にでもできる、ということです。問題は、これよりずっと小さい誤差が出る分母がどれくらいあるかです。

この記事では、実数 $t$ からいちばん近い整数までの距離を $\|t\|$ と書きます。

\|t\|=\min_{p\in\mathbb{Z}}|t-p|

\begin{aligned}\|t\| &= \min_{p\in\mathbb{Z}}|t-p|\end{aligned}

たとえば $7\pi=21.991\ldots$ にいちばん近い整数は $22$ なので、 $\|7\pi\|=|7\pi-22|=0.00885\ldots$ です。

$|x-p/q|=|qx-p|/q$ なので、分母 $q$ での最良の誤差は $\|qx\|/q$ です。 $\|qx\|$ はいつも $1/2$ 以下で、たいていは $0.1$ から $0.5$ くらいの値をとります。

$\pi$ について、分母 $q=1,\dots,8$ の最良の誤差を並べます。右の列の $\nu$ は、誤差を $q^{-\nu}$ の形に書いたときの指数で、 $\nu=-\log|\pi-p/q|/\log q$ です。

$q$	最良の $p$	誤差 $\|\pi-p/q\|$	$q^2\times$ 誤差	指数 $\nu$
$1$	$3$	$0.1416$	$0.142$	—
$2$	$6$	$0.1416$	$0.566$	$2.82$
$3$	$9$	$0.1416$	$1.27$	$1.78$
$4$	$13$	$0.1084$	$1.73$	$1.60$
$5$	$16$	$0.0584$	$1.46$	$1.77$
$6$	$19$	$0.0251$	$0.903$	$2.06$
$7$	$22$	$0.00126$	$0.0620$	$3.43$
$8$	$25$	$0.0166$	$1.06$	$1.97$

$q=7$ だけが飛び抜けて近く、誤差は $7^{-3.43}$ 程度です。 $q=2,3$ の最良の分数は $6/2,\ 9/3$ で、約分すると $3/1$ と同じものです。このように分母が小さいうちは指数 $\nu$ がばらつくので、無理数度は「十分大きな分母で、無限回」達成できる指数として定義します。

無理数度の定義

定義1 無理数度 [2, §1]

$x$ を無理数とする。 $\nu>0$ が $x$ で無限回達成されるとは、次をみたす互いに素な整数の組 $(p,q)$ （ $q\ge2$ ）が無限個あることをいう。

0<\left|x-\frac pq\right|<\frac1{q^{\nu}}

\begin{aligned}0 &< \left|x-\frac pq\right|\\&< \frac1{q^{\nu}}\end{aligned}

無限回達成される $\nu$ の上限を $x$ の無理数度（irrationality exponent、irrationality measure）と呼び、 $\mu(x)$ と書く。上限が無限大のときは $\mu(x)=\infty$ とする。

$q\ge2$ なので、 $\nu$ を大きくすると $q^{-\nu}$ は小さくなり、条件は厳しくなります。ある $\nu$ が無限回達成されれば、それより小さい指数も無限回達成されます。つまり達成される指数の全体は $(0,\mu(x))$ か $(0,\mu(x)]$ の形の区間です。

無理数度が大きいほど、 $x$ は分数でよく近似できます。条件の $0<$ は、 $x$ 自身が分数のときに $p/q=x$ を数えないためのものです。この記事では無理数だけを考えるので、この条件は自動的にみたされます。

例2 $22/7$ と $355/113$

$|\pi-22/7|=0.001264\ldots$ なので、 $7^{-\nu}=0.001264$ を解くと

\nu=\frac{-\log 0.001264}{\log 7}=\frac{6.674}{1.946}=3.43

\begin{aligned}\nu &= \frac{-\log 0.001264}{\log 7}\\&= \frac{6.674}{1.946}\\&= 3.43\end{aligned}

同じように $|\pi-355/113|=2.668\ldots\times10^{-7}$ から $\nu=15.14/4.727=3.20$ となる。

この2つから $\mu(\pi)\ge3.2$ とは言えません。定義は無限個の分数を要求するので、2つだけ近い分数があっても無理数度には影響しないからです。無理数度は、分母を大きくしていったときの近似の「行きつく先」を測る量です。

今回の定理は「下からの評価」の形で書かれています。そこで、無理数度を下からの評価で言い換えておきます。

命題3 無理数度の言い換え

$x$ を無理数、 $\nu>0$ とする。

(1)　 $\nu>\mu(x)$ なら、ある整数 $Q$ があって、 $q\ge Q$ のすべての整数 $p,q$ について $|x-p/q|\ge q^{-\nu}$ が成り立つ。
(2)　逆に、そのような $Q$ があれば $\mu(x)\le\nu$ である。

したがって $\mu(x)$ は、「十分大きなすべての分母 $q$ で $|x-p/q|\ge q^{-\nu}$ 」が成り立つ $\nu$ の下限に等しい。

証明

(1) を示す。 $\nu>\mu(x)$ なので $\nu$ は無限回達成されず、 $|x-p/q|<q^{-\nu}$ をみたす互いに素な組（ $q\ge2$ ）は有限個である。
約分していない分数も含めて、 $|x-p/q|<q^{-\nu}$ をみたす組 $(p,q)$ の分母が有界であることを示す。

そのような組で $q$ がいくらでも大きいものがあったとする。 $p/q$ を約分して $p'/q'$ （ $1\le q'\le q$ ）とすると、次が成り立つ。
$\left|x-\frac{p'}{q'}\right|=\left|x-\frac pq\right|<q^{-\nu}\le q'^{-\nu}$ $\begin{aligned}\left|x-\frac{p'}{q'}\right| &= \left|x-\frac pq\right|\\&< q^{-\nu}\\&\le q'^{-\nu}\end{aligned}$
$q'\ge2$ なら $(p',q')$ は上の有限個の組のどれかである。 $q'=1$ なら $|x-p'|<1$ なので $p'$ は有限通りしかない。よって $p'/q'$ は有限個の有理数のどれかになる。

$x$ は無理数なので、それらの有理数と $x$ の距離の最小値 $\delta$ は正である。一方で $|x-p/q|<q^{-\nu}$ は $q\to\infty$ で $0$ に近づくので、いずれ $\delta$ より小さくなる。これは矛盾である。
分母の上限より大きい $Q$ をとれば、 $q\ge Q$ では $|x-p/q|\ge q^{-\nu}$ である。これで (1) が示せた。
(2) を示す。 $\nu'>\nu$ とすると、 $|x-p/q|<q^{-\nu'}\le q^{-\nu}$ をみたす組は $q<Q$ に限られる。

各 $q$ について、 $|x-p/q|<1$ をみたす $p$ は有限個である。分母も $q<Q$ の有限通りなので、組は全部で有限個になる。
よって $\nu'$ は無限回達成されず、 $\mu(x)\le\nu'$ である。 $\nu'>\nu$ は任意なので $\mu(x)\le\nu$ が従う。

どの無理数も指数2までは近づける

表の $q^2\times$ 誤差の列を見ると、 $1$ 前後の値が多く並んでいます。じつは、どの無理数でも $q^2\times$ 誤差が $1$ より小さくなる分母が無限にあります。証明は鳩の巣原理だけで済みます。

命題4 ディリクレの近似定理

$x$ を無理数とする。整数 $N\ge1$ に対して、 $1\le q\le N$ の整数 $q$ と整数 $p$ で次をみたすものがある。

|qx-p|<\frac1N\qquad \left|x-\frac pq\right|<\frac1{qN}\le\frac1{q^2}

\begin{gathered}|qx-p|<\frac1N\\\left|x-\frac pq\right|<\frac1{qN}\le\frac1{q^2}\end{gathered}

\begin{aligned}|qx-p| &< \frac1N\\[4pt]\left|x-\frac pq\right| &< \frac1{qN}\\&\le \frac1{q^2}\end{aligned}

さらに、 $|x-p/q|<1/q^2$ をみたす既約分数 $p/q$ は無限個ある。とくに $\mu(x)\ge2$ である。

証明

$N+1$ 個の数 $\{0\cdot x\},\{1\cdot x\},\dots,\{Nx\}$ を考える（ $\{t\}=t-\lfloor t\rfloor$ は小数部分）。どれも区間 $[0,1)$ に入る。
$[0,1)$ を長さ $1/N$ の $N$ 個の箱 $[j/N,(j+1)/N)$ に分けると、 $N+1$ 個の数のうち2つは同じ箱に入る（鳩の巣原理）。それを $\{k_1x\},\{k_2x\}$ （ $k_1<k_2$ ）とする。
$q=k_2-k_1$ 、 $p=\lfloor k_2x\rfloor-\lfloor k_1x\rfloor$ とおくと、 $1\le q\le N$ かつ $|qx-p|<1/N$ である。

$qx-p=(k_2x-\lfloor k_2x\rfloor)-(k_1x-\lfloor k_1x\rfloor)=\{k_2x\}-\{k_1x\}$ で、同じ箱の2数の差なので絶対値は $1/N$ より小さい。

両辺を $q$ で割ると $|x-p/q|<1/(qN)$ となる。 $q\le N$ なので $1/(qN)\le1/q^2$ である。
こうして得た分数は無限個ある。

$x$ は無理数なので $|qx-p|>0$ である。 $1/N'<|qx-p|$ となる $N'$ で同じことをすると、 $|q'x-p'|<1/N'<|qx-p|$ をみたす組が得られる。これは前の組と違う。

くり返すと、 $|qx-p|$ が真に小さくなっていく組が無限に得られる。約分しても $|x-p/q|<1/q^2$ は保たれる（約分すると分母は小さくなり、右辺は大きくなる）。各分母について $x$ の近くの分数は有限個なので、分母はいくらでも大きくなる。
$\nu<2$ なら $q\ge2$ で $1/q^2<q^{-\nu}$ なので、 $\nu$ は無限回達成される。よって $\mu(x)\ge2$ である。

下の図で、この証明を $x=\pi$ で動かせます。スライダーで箱の数 $N$ を変えると、同じ箱に入った2点（橙）から分数 $p/q$ が作られます。

0

1

N

$0,\pi,2\pi,\dots,N\pi$ の小数部分を 8 個の箱に入れると、 $k=$ 1 と $k=$ 8 の $k\pi$ が同じ箱に入ります。差から $q=$ 7、 $p=$ 22 となり、 $|q\pi-p|=$ 0.00885　 $<$ 　 $1/N=$ 0.12500　です。

図1具体例命題4の証明を

x=\pi

で描いた図です。同じ箱に2点が入る組のうち、いちばん近い組を橙で示します。

N

が

8

から

105

までは

22/7

、

106

から

113

までは

333/106

、

114

以上では

355/113

が見つかります。

\|7\pi\|=0.00885

はとても小さいので、

22/7

は長いあいだ選ばれ続けます。

命題4により、無理数度はいつも $2$ 以上です。問われるのは、 $2$ よりどれだけ大きくなれるかです。

無理数度の例

無理数度が分かっている数を、計算できるものから順に見ます。

例5 $\sqrt2$ の無理数度は2

$1\le p/q\le2$ なら $p^2-2q^2$ は $0$ でない整数なので $|p^2-2q^2|\ge1$ 。よって

\left|\sqrt2-\frac pq\right|=\frac{|2q^2-p^2|}{q^2\,(\sqrt2+p/q)}\ge\frac1{(\sqrt2+2)\,q^2}>\frac1{3.5\,q^2}

\begin{aligned}\left|\sqrt2-\frac pq\right| &= \frac{|2q^2-p^2|}{q^2\,(\sqrt2+p/q)}\\&\ge \frac1{(\sqrt2+2)\,q^2}\\&> \frac1{3.5\,q^2}\end{aligned}

$p/q$ が $[1,2]$ の外なら誤差は $0.4$ 以上である。どちらの場合も $\nu>2$ なら、十分大きな $q$ で $|\sqrt2-p/q|\ge q^{-\nu}$ となる。命題3と命題4から $\mu(\sqrt2)=2$ 。

たとえば $99/70$ では $99^2-2\cdot70^2=9801-9800=1$ なので、誤差はちょうど次の値になります。

\left|\sqrt2-\frac{99}{70}\right|=\frac{1}{70^2\,(\sqrt2+99/70)}=7.215\ldots\times10^{-5}\qquad 70^2\left|\sqrt2-\frac{99}{70}\right|=0.354\ldots

\begin{gathered}\left|\sqrt2-\frac{99}{70}\right|=\frac{1}{70^2\,(\sqrt2+99/70)}=7.215\ldots\times10^{-5}\\70^2\left|\sqrt2-\frac{99}{70}\right|=0.354\ldots\end{gathered}

\begin{aligned}\left|\sqrt2-\frac{99}{70}\right| &= \frac{1}{70^2\,(\sqrt2+99/70)}\\&= 7.215\ldots\times10^{-5}\\[4pt]70^2\left|\sqrt2-\frac{99}{70}\right| &= 0.354\ldots\end{aligned}

この例の議論は、 $\sqrt2$ が整数係数の2次式 $t^2-2$ の根であることだけを使っています。同じ考え方で、一般の代数的数について次が言えます。

命題6 リウヴィルの定理

$x$ が $d$ 次の代数的数（ $d\ge2$ ）なら $\mu(x)\le d$ である。

証明

$x$ を根にもつ整数係数の既約多項式で、次数が $d$ のものを $f$ とする。 $d\ge2$ なので、 $f$ は有理数の根をもたない。
分数 $p/q$ について $q^df(p/q)$ は $0$ でない整数なので、 $|f(p/q)|\ge q^{-d}$ である。
$|x-p/q|\le1$ のとき、平均値の定理から $|f(p/q)|=|f(p/q)-f(x)|\le M\,|x-p/q|$ となる。ここで $M$ は $[x-1,x+1]$ での $|f'|$ の最大値である。
2つを合わせると $|x-p/q|\ge 1/(Mq^d)$ である（ $|x-p/q|>1$ の分数は、 $q\ge2$ なら $q^{-\nu}<1$ なので考えなくてよい）。 $\nu>d$ なら十分大きな $q$ で $1/(Mq^d)\ge q^{-\nu}$ なので、命題3(2) から $\mu(x)\le\nu$ 。よって $\mu(x)\le d$ である。

リウヴィルの定理の上限 $d$ は、のちに大きく改良されました。ロスは1955年に、無理数の代数的数の無理数度はいつも $2$ であることを証明しています^[3]。

定理7 ロスの定理 ^[3]

$x$ が無理数の代数的数なら $\mu(x)=2$ である。

逆に、無理数度が $\infty$ の数は、どの次数の代数的数でもありえません。リウヴィルはこれを使って、超越数の最初の例を作りました。

例8 リウヴィル数

$L=\sum_{k\ge1}10^{-k!}=0.110001000000000000000001\ldots$ とする。 $q_n=10^{n!}$ 、 $p_n=q_n\sum_{k=1}^{n}10^{-k!}$ とおくと、 $p_n$ の一の位は $1$ なので $p_n/q_n$ は既約で、

0<L-\frac{p_n}{q_n}=\sum_{k>n}10^{-k!}<2\cdot10^{-(n+1)!}=\frac{2}{q_n^{\,n+1}}

\begin{aligned}0 &< L-\frac{p_n}{q_n}\\&= \sum_{k>n}10^{-k!}\\&< 2\cdot10^{-(n+1)!}\\&= \frac{2}{q_n^{\,n+1}}\end{aligned}

どんな $\nu$ に対しても、 $n+1>\nu$ となる大きな $n$ では右辺が $q_n^{-\nu}$ より小さい。よって $\mu(L)=\infty$ で、リウヴィルの定理から $L$ は代数的数でない。

一方で、無理数度が $\infty$ になる数はごく少数です。ほとんどすべての実数の無理数度は $2$ です。

命題9 ほとんどすべての実数は無理数度2

$\mu(x)=2$ とならない実数 $x$ の集合は、ルベーグ測度が $0$ である。

証明

$\nu>2$ を固定し、区間 $[0,1]$ の中で考える（整数を足しても無理数度は変わらないので、これで十分である）。分母 $q$ の分数の $q^{-\nu}$ 近くにある点の集合を $E_q$ とすると、その長さは $4q^{1-\nu}$ 以下である。

$[0,1]$ に近い分数 $p/q$ は $p=0,\dots,q$ の $q+1$ 個で、それぞれのまわりの長さ $2q^{-\nu}$ の区間を合わせたものが $E_q$ である。長さは $(q+1)\cdot2q^{-\nu}\le4q^{1-\nu}$ 以下になる。
$\nu>2$ なので $\sum_q 4q^{1-\nu}<\infty$ である。ボレル＝カンテリの補題により、無限個の $E_q$ に入る点の集合は測度 $0$ である。
無限個の $E_q$ に入らない点 $x$ では $\nu$ は無限回達成されないので、 $\mu(x)\le\nu$ である。
$\nu=2+1/m$ （ $m=1,2,\dots$ ）の可算個の例外集合を合わせても測度 $0$ である。有理数も測度 $0$ なので、残りの $x$ は無理数で $\mu(x)\le2$ 、命題4と合わせて $\mu(x)=2$ となる。

まとめると次のようになります。ネイピア数 $e$ の無理数度も $2$ であることが、規則的な連分数展開 $e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,\dots]$ から分かっています。

数	無理数度	理由
$\sqrt2$	$2$	例5の直接の計算
無理数の代数的数	$2$	ロスの定理
$e$	$2$	連分数展開が規則的に分かる
ほとんどすべての実数	$2$	命題9
リウヴィル数 $L$	$\infty$	例8
$\pi$	$2\le\mu(\pi)\le7.103\ldots$ （今回より前）	次の節

「ほとんどすべての実数」が $2$ なので、特別な理由がなければ $\pi$ も $2$ だろうと予想されていました。ただ、 $\pi$ について使える情報は少なく、示すのは難しい問題でした。

$\pi$ の近似分数と指数

無理数度を計算するには、よい近似分数だけを調べれば足ります。そうした分数は連分数から得られます。 $\pi$ の連分数展開は次のとおりです。

\begin{aligned} \pi&=3+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{15+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{292+\cdots}}}}\\ &=[3;7,15,1,292,1,1,1\\ &\qquad 2,1,3,1,14,\dots]\end{aligned}

途中で打ち切った分数 $p_k/q_k$ を近似分数（収束分数）と呼びます。 $\pi$ の近似分数は $3/1$ 、 $22/7$ 、 $333/106$ 、 $355/113$ 、 $103993/33102$ 、 $\dots$ です。どれも $|\pi-p_k/q_k|<1/q_k^2$ をみたします。

近似分数ごとに指数 $\nu=-\log|\pi-p_k/q_k|/\log q_k$ を計算すると、次のようになります。

近似分数 $p/q$	誤差 $\|\pi-p/q\|$	指数 $\nu$
$22/7$	$1.26\times10^{-3}$	$3.43$
$333/106$	$8.32\times10^{-5}$	$2.01$
$355/113$	$2.67\times10^{-7}$	$3.20$
$103993/33102$	$5.78\times10^{-10}$	$2.04$
$104348/33215$	$3.32\times10^{-10}$	$2.10$
$5419351/1725033$	$2.21\times10^{-14}$	$2.19$
$21053343141/6701487259$	$2.62\times10^{-22}$	$2.20$

10^{0}

10^{2}

10^{4}

10^{6}

10^{8}

10^{10}

2

5/2

3

3.5

\nu=2

\nu=5/2

22/7

355/113

分母

q

（目盛りは

10

倍ずつ）

\nu

図2具体例

\pi

の近似分数（分母が

2

以上

10^{10}

未満の20個）について、誤差を

q^{-\nu}

と書いたときの指数

\nu

を打った図です。

\nu

が

5/2

を超えるのは

22/7

と

355/113

だけで、ほかは

2

と

2.25

のあいだにあります。

$22/7$ と $355/113$ が飛び抜けているのは、連分数の次の項 $15$ と $292$ が大きいからです。次の項が大きいほど、その手前の近似分数はよく近似します。

図2の点は有限個なので、これだけで無理数度は決まりません。無理数度が $2$ とは、どんな高さ $\nu>2$ の線を引いても、その線より上の点が有限個しかないということです。数値計算でいくら点を増やしても、この主張は確かめられません。

もう少し詳しく近似分数だけ調べればよい理由と、連分数の項との関係

連分数の理論では、次の2つが知られています。1つ目は、近似分数の誤差が次の項 $a_{k+1}$ でほぼ決まることです。

\frac{1}{q_k(q_k+q_{k+1})}<\left|x-\frac{p_k}{q_k}\right|<\frac{1}{q_kq_{k+1}}\qquad q_{k+1}=a_{k+1}q_k+q_{k-1}

\begin{gathered}\frac{1}{q_k(q_k+q_{k+1})}<\left|x-\frac{p_k}{q_k}\right|<\frac{1}{q_kq_{k+1}}\\q_{k+1}=a_{k+1}q_k+q_{k-1}\end{gathered}

\begin{aligned}\frac{1}{q_k(q_k+q_{k+1})} &< \left|x-\frac{p_k}{q_k}\right|\\&< \frac{1}{q_kq_{k+1}}\\[4pt]q_{k+1} &= a_{k+1}q_k+q_{k-1}\end{aligned}

2つ目は、既約分数 $p/q$ が $|x-p/q|<1/(2q^2)$ をみたせば、 $p/q$ は近似分数であることです（ルジャンドルの定理）。 $\nu>2$ なら、大きな $q$ では $q^{-\nu}<1/(2q^2)$ なので、 $\nu$ を達成する分数はいずれ近似分数に限られます。

2つを合わせると、無理数度は連分数の項の増え方で書けます。

\mu(x)=2+\limsup_{k\to\infty}\frac{\log a_{k+1}}{\log q_k}

\begin{aligned}\mu(x) &= 2+\limsup_{k\to\infty}\frac{\log a_{k+1}}{\log q_k}\end{aligned}

したがって $\mu(\pi)=2$ は、 $\pi$ の連分数の項 $a_{k+1}$ が、分母 $q_k$ のどんな正のべき $q_k^{\varepsilon}$ よりもゆっくり増えることと同じです。項がいくらでも大きくなることは、これと矛盾しません。

これまでの上限

$\pi$ の無理数度が有限であることは、1953年にマーラーが初めて示しました^[4]。そこから上限は少しずつ下がってきました^[5,6,7,8,9]。

年	示した人	$\mu(\pi)$ の上限
1953	マーラー	$42$ （大きな分母に限れば $30$ ）
1974	ミニョット	$21$ （大きな分母に限れば $20$ ）
1993	Hata	$8.0160\ldots$
2008	サリホフ	$7.6063\ldots$
2020	ツァイルバーガー、ズディリン	$7.1032\ldots$
2026年9月	Bai（プレプリント）	$7.1018\ldots$
2026年9月	OpenAI（今回）	$2$

1993年以降の改良は、積分で作った近似の列を工夫するもので、上限は $8$ から $7.1$ へと小数点以下を削る進み方でした。今回の論文は、これらの評価を使わずに、別の方法で一気に $2$ まで下げています。論文自身も、これまでの評価は背景であって証明には使っていない、と書いています[2, §1.1]。

今回の定理

定理10 OpenAI, 2026 [2, Theorem 1.1]

$\pi$ の無理数度は $2$ である。より詳しく、どんな実数 $\nu>2$ に対しても整数 $Q(\nu)$ があり、次が成り立つ。

\left|\pi-\frac pq\right|\ge\frac1{q^{\nu}}\qquad(p,q\in\mathbb{Z},\ q\ge Q(\nu))

\begin{gathered}\left|\pi-\frac pq\right|\ge\frac1{q^{\nu}}\\(p,q\in\mathbb{Z},\ q\ge Q(\nu))\end{gathered}

\begin{aligned}\left|\pi-\frac pq\right| &\ge \frac1{q^{\nu}}\\[4pt]&(p,q\in\mathbb{Z},\ q\ge Q(\nu))\end{aligned}

命題3(2) から $\mu(\pi)\le\nu$ がすべての $\nu>2$ で成り立ち、 $\mu(\pi)\le2$ です。命題4と合わせて $\mu(\pi)=2$ となります。

$\varepsilon=\nu-2$ と書けば、「十分大きな分母では $|\pi-p/q|\ge q^{-2-\varepsilon}$ 」と言っても同じです。図2でいえば、どの高さ $2+\varepsilon$ の線より上にも点は有限個しかありません。

定理を読むときに気をつけたい点が3つあります。最初の2つは論文の序文にも書かれています[2, §1]。

$Q(\nu)$ の値は分からない。証明は背理法で、 $Q(\nu)$ の存在は示しますが、具体的な値は出しません。たとえば $\nu=2.1$ のとき、どの分母から先で評価が成り立つかは分かりません。
$c/q^2$ の形の評価ではない。「ある定数 $c>0$ があって、すべての $q$ で $|\pi-p/q|\ge c/q^2$ 」はもっと強い主張です。これは連分数の項が有界であることと同値で、今回の定理からは出ません。
よい近似がなくなるわけではない。 $355/113$ のような近似分数は、これからも現れえます。言えるのは、指数 $\nu>2$ を超える近似が有限個しかないことです。

フリント・ヒルズ級数

無理数度が役に立つ例として、論文はフリント・ヒルズ級数の収束を示しています[2, Corollary 1.2]。ピックオーバーが広めた問題で、角度はラジアンで測ります^[10]。

定義11 フリント・ヒルズ級数

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3\sin^2 n}

$1/n^3$ だけなら収束します。問題は $\sin^2 n$ で、整数 $n$ が $\pi$ の整数倍に近いと $\sin n$ はとても小さくなり、項が大きくなります。

$n=355$ がその例です。 $355$ は $113\pi$ にとても近いので、次のようになります。

\begin{aligned} 355-113\pi&=3.0144\ldots\times10^{-5}\\ \sin355&=\sin(355-113\pi)\\ &\quad\cdot(-1)^{113}\\ &=-3.0144\ldots\times10^{-5}\end{aligned}

\begin{aligned} &\frac{1}{355^3\sin^2355}\\ &=\frac{1}{(4.474\times10^{7})\times(9.087\times10^{-10})}\\ &=24.598\ldots \end{aligned}

$1$ 項だけで $24.6$ あり、 $n=355$ までの部分和が $4.8$ から $29.4$ に跳ね上がります。

10^{0}

10^{1}

10^{2}

10^{3}

10^{4}

10^{5}

10^{6}

0

10

20

30

n=355

：

+24.6

n=22

30.3145\ldots

N

（目盛りは

10

倍ずつ）

S_N

図3具体例フリント・ヒルズ級数の部分和

S_N=\sum_{n\le N}1/(n^3\sin^2n)

です。横軸は

N

を

10

倍ずつの目盛りで描いています。

N=355

で

24.6

跳ね、

N=10^6

までの部分和は

30.3145\ldots

です。この数値は計算結果で、極限の値が

30.3145\ldots

だと示されたわけではありません。

次によい近似分数 $103993/33102$ でも $\sin103993$ は $-1.9\times10^{-5}$ と小さくなります。それでも $n^3$ のほうが大きく、項は $2.4\times10^{-6}$ しかありません。項が大きくなるかどうかは、 $\sin n$ の小ささと $n^3$ の大きさの競争で決まります。

$5/2$ が境目になる理由

その競争を、指数で比べてみます。よい近似 $|\pi-p/q|\approx q^{-\nu}$ があると、分子 $n=p$ での $\sin$ の値は次のように見積もれます。

|\sin p|=|\sin(p-q\pi)|\approx|p-q\pi|=q\left|\pi-\frac pq\right|\approx q^{1-\nu}

\begin{aligned}|\sin p| &= |\sin(p-q\pi)|\\&\approx |p-q\pi|\\&= q\left|\pi-\frac pq\right|\\&\approx q^{1-\nu}\end{aligned}

$p\approx\pi q$ なので、項の大きさはおよそ次のとおりです。

\frac{1}{p^3\sin^2p}\approx\frac{1}{\pi^3q^3\cdot q^{2-2\nu}}=\frac{q^{2\nu-5}}{\pi^3}

\begin{aligned}\frac{1}{p^3\sin^2p} &\approx \frac{1}{\pi^3q^3\cdot q^{2-2\nu}}\\&= \frac{q^{2\nu-5}}{\pi^3}\end{aligned}

$\nu>5/2$ なら指数 $2\nu-5$ が正で、項は大きくなっていきます。 $\nu<5/2$ なら項は $0$ に近づきます。ここから、境目は無理数度 $5/2$ だと見当がつきます。

$355/113$ で確かめると、 $\nu=3.202$ なので $113^{2\cdot3.202-5}/\pi^3=113^{1.404}/31.0=24.6$ となり、上で計算した項と一致します。

必要条件のほうは、この見積もりをそのまま証明にできます[10, Corollary 4, p.3]。

命題12 アレクセーエフ [10, Corollary 4, p.3]

フリント・ヒルズ級数が収束するなら $\mu(\pi)\le5/2$ である。

証明

対偶を示す。 $\mu(\pi)>5/2$ と仮定し、 $5/2<\nu<\mu(\pi)$ をとる。 $\nu$ は無限回達成されるので、 $|\pi-p/q|<q^{-\nu}$ をみたす既約分数 $p/q$ が無限個ある。
それらの分数で $|\sin p|<q^{1-\nu}$ かつ $1\le p\le4q$ である。

$\sin(p-q\pi)=\pm\sin p$ と $|\sin t|\le|t|$ から、 $|\sin p|\le|p-q\pi|=q|\pi-p/q|<q^{1-\nu}$ である。

また $q\ge2$ と $\nu>5/2$ から $|\pi-p/q|<2^{-5/2}<1/4$ なので $2.8<p/q<3.4$ 、とくに $1\le p\le4q$ である。
よって分子 $n=p$ の項は $1/64$ 以上である。
$\frac{1}{p^3\sin^2p}>\frac{1}{(4q)^3\,q^{2-2\nu}}=\frac{q^{2\nu-5}}{64}\ge\frac1{64}\qquad(2\nu-5>0)$ $\begin{gathered}\frac{1}{p^3\sin^2p}>\frac{1}{(4q)^3\,q^{2-2\nu}}=\frac{q^{2\nu-5}}{64}\ge\frac1{64}\\(2\nu-5>0)\end{gathered}$ $\begin{aligned}\frac{1}{p^3\sin^2p} &> \frac{1}{(4q)^3\,q^{2-2\nu}}\\&= \frac{q^{2\nu-5}}{64}\\&\ge \frac1{64}\\[4pt]&(2\nu-5>0)\end{aligned}$
分母 $q$ はいくらでも大きくなり、 $p>2q$ なので分子 $p$ も無限個ある。項が $0$ に近づかないので、級数は発散する。

逆向きの十分条件は、メイバーグが2022年に示しました[11, Theorem 2.5, p.4]。 $\sin$ を分母にもつ級数に近似の評価を使う考え方は、マーラーの1953年の論文にもあります^[4]。今回の論文は、使う形だけを短い証明つきで載せています[2, Lemma 5.1]。

補題13 2倍ずつの区間での間隔の評価 [2, Lemma 5.1]

$\alpha>0$ を無理数とする。ある $c>0$ と $1<\nu<5/2$ について

\|q\alpha\|\ge c\,q^{1-\nu}\qquad(q=1,2,3,\dots)

\begin{gathered}\|q\alpha\|\ge c\,q^{1-\nu}\\(q=1,2,3,\dots)\end{gathered}

\begin{aligned}\|q\alpha\| &\ge c\,q^{1-\nu}\\[4pt]&(q=1,2,3,\dots)\end{aligned}

が成り立つなら、 $\displaystyle\sum_{q=1}^{\infty}\frac{1}{q^3\|q\alpha\|^2}$ は収束する。

証明

正の整数 $K$ を固定し、 $d=c(2K)^{1-\nu}$ とおく。 $K\le q<2K$ なら $\|q\alpha\|\ge d$ である（ $1-\nu<0$ なので $q^{1-\nu}>(2K)^{1-\nu}$ ）。
長さ $1$ の円周 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ の上で、 $K\le q<2K$ の点 $q\alpha$ どうしの距離も $d$ 以上である。

$q\ne q'$ の2点の円周上の距離は $\|(q-q')\alpha\|$ である。 $0<|q-q'|<2K$ なので、仮定から $\|(q-q')\alpha\|\ge c|q-q'|^{1-\nu}>c(2K)^{1-\nu}=d$ 。

図4のように、2点が近いことは、その差 $q-q'$ がよい近似の分母であることを意味する。仮定はそれを禁じている。
$0$ から左右に伸びる半円周のそれぞれで、点を $0$ からの距離の順に並べると、 $j$ 番目の点の距離は $jd$ 以上である。

最初の点は $0$ から $d$ 以上離れている。同じ半円周の上で隣り合う2点の $0$ からの距離の差は、2点の間の弧の長さで、これは円周上の距離 $d$ 以上である。よって距離は $d,2d,3d,\dots$ 以上になる。
したがって、この区間の和は $K^{2\nu-5}$ の定数倍で抑えられる。
$\begin{aligned} &\sum_{K\le q<2K}\frac{1}{q^3\|q\alpha\|^2}\\ &\le\frac{1}{K^3}\cdot2\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{(jd)^2}\\ &=\frac{\pi^2}{3K^3d^2}=\frac{\pi^2\,2^{2\nu-2}}{3c^2}\,K^{2\nu-5}\end{aligned}$
係数 $2$ は半円周が2つあることから来ている。
$K=1,2,4,8,\dots$ の区間を合わせるとすべての $q\ge1$ を覆う。 $2\nu-5<0$ なので $\sum_m(2^m)^{2\nu-5}$ は等比級数として収束し、全体も収束する。

0

8\pi

9\pi

10\pi

11\pi

12\pi

13\pi

14\pi

15\pi

\|7\pi\|

\mathbb{R}/\mathbb{Z}

（一周の長さ

1

）

図4具体例補題13の証明の2番目のステップを、

\alpha=\pi

、

K=8

で描いた図です。円周の長さを

1

とし、

8\pi,9\pi,\dots,15\pi

の小数部分を打っています。いちばん近いのは

8\pi

と

15\pi

で、距離は差の

7

について

\|7\pi\|=0.0088

です。

22/7

がよい近似であることが、点の近さとして表れています。

系14 フリント・ヒルズ級数の収束 [2, Corollary 1.2]

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3\sin^2n}$ は収束する。

証明

$2<\nu<5/2$ を1つ固定する。定理10から、 $q\ge Q(\nu)$ で $\|q\pi\|\ge q^{1-\nu}$ である。

$p$ を $q\pi$ にいちばん近い整数とすると、定理から $\|q\pi\|=|q\pi-p|=q|\pi-p/q|\ge q\cdot q^{-\nu}=q^{1-\nu}$ 。
次のように $c$ をおく。 $\begin{aligned} c=\min\bigl(&\{1\}\cup\{q^{\nu-1}\|q\pi\|:\\ &\quad 1\le q<Q(\nu)\}\bigr) \end{aligned}$ すると $c>0$ で、すべての $q\ge1$ で $\|q\pi\|\ge c\,q^{1-\nu}$ である（ $\pi$ は無理数なので $\|q\pi\|>0$ ）。
補題13から $\sum_q 1/(q^3\|q\pi\|^2)$ は収束する。
各 $n\ge1$ を、 $n/\pi$ にいちばん近い整数 $q\ge0$ で分類する。 $q=0$ になるのは $n=1$ だけである。 $q\ge1$ なら、その組の $n$ は4個以下で、どれも $|n-q\pi|\le\pi/2$ をみたす。

$n/\pi$ にいちばん近い整数が $q$ であることは $|n/\pi-q|\le1/2$ 、つまり $|n-q\pi|\le\pi/2$ と同じである。これをみたす整数 $n$ は長さ $\pi<4$ の区間に入るので、4個以下である。
組 $q\ge1$ の各項は $\dfrac{2}{\pi}\cdot\dfrac{1}{q^3\|q\pi\|^2}$ 以下である。

$n\ge\pi(q-1/2)\ge\pi q/2$ である。また $|t|\le\pi/2$ で $|\sin t|\ge(2/\pi)|t|$ が成り立つ（ $\sin$ が $[0,\pi/2]$ で上に凸なため）。 $n$ は整数なので $|n-q\pi|\ge\|q\pi\|$ であり、
$|\sin n|=|\sin(n-q\pi)|\ge\frac2\pi|n-q\pi|\ge\frac2\pi\|q\pi\|$ $\begin{aligned}|\sin n| &= |\sin(n-q\pi)|\\&\ge \frac2\pi|n-q\pi|\\&\ge \frac2\pi\|q\pi\|\end{aligned}$ $\frac{1}{n^3\sin^2n}\le\frac{1}{(\pi q/2)^3\cdot(2/\pi)^2\|q\pi\|^2}=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{1}{q^3\|q\pi\|^2}$ $\begin{aligned}\frac{1}{n^3\sin^2n} &\le \frac{1}{(\pi q/2)^3\cdot(2/\pi)^2\|q\pi\|^2}\\&= \frac{2}{\pi}\cdot\frac{1}{q^3\|q\pi\|^2}\end{aligned}$
組ごとの和は $\dfrac{8}{\pi}\cdot\dfrac{1}{q^3\|q\pi\|^2}$ 以下で、3番目のステップからその総和は有限である。よって級数は収束する。

流れをまとめると、次のようになります。1本目の矢印が定理10、2本目が補題13、3本目が $n$ を $q$ ごとに分ける議論です。

\mu(\pi)=2\ \Longrightarrow\ \|q\pi\|\ge c\,q^{1-\nu}\ \ (2<\nu<\tfrac52)\ \Longrightarrow\ \sum_{q\ge1}\frac{1}{q^3\|q\pi\|^2}<\infty\ \Longrightarrow\ \sum_{n\ge1}\frac{1}{n^3\sin^2n}<\infty

\begin{aligned}\mu(\pi) &= 2\\&\Longrightarrow \|q\pi\|\\&\ge c\,q^{1-\nu}\ \ (2<\nu<\tfrac52)\\&\Longrightarrow \sum_{q\ge1}\frac{1}{q^3\|q\pi\|^2}\\&< \infty\\&\Longrightarrow \sum_{n\ge1}\frac{1}{n^3\sin^2n}\\&< \infty\end{aligned}

収束が決まるのは無理数度が $5/2$ より小さいことからで、 $2$ である必要はありません。これまでの上限 $7.1$ と $5/2$ のあいだには大きな差があり、そこを今回の定理が一度に埋めた形です。

もう少し詳しく一般化：

\sum 1/(n^a|\sin n|^b)

が収束する範囲

論文は、指数を一般にした級数についても、収束する範囲をちょうど決めています[2, Corollary 5.2]。

系15 一般化したフリント・ヒルズ級数 [2, Corollary 5.2]

$a,b>0$ とする。 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^a|\sin n|^b}$ が収束するのは $a>\max\{1,b\}$ のとき、そのときに限る。

証明

$a>\max\{1,b\}$ なら収束する。 $\varepsilon>0$ を $a>\max\{1,b\}+b\varepsilon$ となるようにとり、 $\|q\pi\|\ge c\,q^{-1-\varepsilon}$ から補題13と同じ区間ごとの評価をする。

$d=c(2K)^{-1-\varepsilon}$ とすると、区間 $K\le q<2K$ の和は $2K^{-a}d^{-b}\sum_{j=1}^{K}j^{-b}$ 以下である。 $b<1,\ b=1,\ b>1$ で場合を分けると、それぞれ $K^{1-a+b\varepsilon}$ 、 $K^{1-a+\varepsilon}\log2K$ 、 $K^{b-a+b\varepsilon}$ の定数倍になり、どれも指数が負である。あとは系14と同じ分類で $n$ の和に戻す。
$a\le1$ なら発散する。 $|\sin n|\le1$ なので各項は $n^{-a}$ 以上で、 $\sum n^{-a}$ は発散する。
$1<a\le b$ なら発散する。近似分数 $p_j/q_j$ の分子で項が $0$ に近づかない。

$|\sin p_j|\le|p_j-\pi q_j|<1/q_j$ と、十分大きな $j$ で $p_j\le(\pi+1)q_j$ となることから、
$\frac{1}{p_j^a|\sin p_j|^b}>p_j^{-a}q_j^{\,b}\ge(\pi+1)^{-b}\,p_j^{\,b-a}\ge(\pi+1)^{-b}$ $\begin{aligned}\frac{1}{p_j^a|\sin p_j|^b} &> p_j^{-a}q_j^{\,b}\\&\ge (\pi+1)^{-b}\,p_j^{\,b-a}\\&\ge (\pi+1)^{-b}\end{aligned}$

1

2

3

4

1

2

3

4

5

b

a

(b,a)=(2,3)

収束：

a>\max\{1,b\}

a\le1

：

\sum n^{-a}

より大きく発散

1<a\le b

：近似分数の

項が

0

に近づかず発散

図5具体例系15の範囲を

(b,a)

平面に描いた図です。緑の領域

a>\max\{1,b\}

で収束し、境界の線の上を含めて外側では発散します。フリント・ヒルズ級数は点

(2,3)

です。

$1<a\le b$ で発散することは、近似分数の性質 $|\pi-p_j/q_j|<1/q_j^2$ だけから従い、無理数度は使いません。無理数度 $2$ が効くのは、収束の側を境界ぎりぎりまで広げるところです。

主定理の証明の考え方

主定理の証明は論文の大部分を占め、この記事では再現しません。ここでは骨組みだけを紹介します。基本の考え方は、超越数の証明で昔から使われてきた「 $0$ でない整数の絶対値は $1$ 以上」という原理です。

1
よい近似がたくさんあると仮定する
ある $\nu>2$ について、 $|\pi-p/q|\le q^{-\nu}$ をみたす分母がいくらでも大きくとれると仮定し、矛盾を導く。
2
分母が大きく離れた近似を有限個選ぶ
次元 $m$ を先に決め、近似 $p_1/q_1,\dots,p_m/q_m$ を、分母が次々に大きく離れるように選ぶ。
3
補間で0でない行列式を作る
多変数の多項式の係数を、対数曲線に沿ったテイラー係数で指定できるという補間定理を示す。これを使い、成分が $\mathbb{Q}(i)$ に入る、0でない行列式を作る。
4
下からの評価と上からの評価を比べる
分母を払うと行列式は0でない代数的整数になり、下から抑えられる。一方、 $2p_i/q_i$ が周期 $2\pi$ に近いことから、行列式は非常に小さくなる。2つが両立しない。

論文はこの方法を、ローランの補間行列式の方法と関連づけています[2, §1.2]。分母を次々に大きく離して選ぶ点は、ロスの定理の証明で使われる工夫と同じ種類のものだと述べています。

専門的な話補間と行列式の評価

座標 $Y,X_1,\dots,X_m$ に正の重みをつけ、重み付き次数が一定以下の単項式だけを使います。指数のベクトルは単体を埋めます。各点 $(1,c_{j1},\dots,c_{jm})$ で、次の代入をして展開します。

Y=1+t\qquad X_i=c_{ji}+u_i+\log(1+t)

\begin{gathered}Y=1+t\\X_i=c_{ji}+u_i+\log(1+t)\end{gathered}

\begin{aligned}Y &= 1+t\\[4pt]X_i &= c_{ji}+u_i+\log(1+t)\end{aligned}

\begin{aligned}Y &= 1+t\\[4pt]X_i &= c_{ji}+u_i\\&\phantom{=}{} +\log(1+t)\end{aligned}

$t$ は対数曲線に沿った変数、 $u_i$ はそれを横切る方向の変数です。論文の補間定理は、重み付きの閾値より下のテイラー係数の組を、すべての中心で同時に指定できることを主張します[2, §2]。証明では、ブローアップ上の正値性と、特異点をもちうるスキームの上での重み付きの曲線の不等式を使います。

中心には $c_{ji}=2ijp_i/q_i$ をとります（この $i$ は虚数単位）。これは指数関数の周期 $2\pi ij$ の近似です。補間から $\mathbb{Q}(i)$ 上の行列が得られ、その0でない小行列式の分母を払って算術的な下限を出します。

解析的な上限では、各行を正確な周期 $2\pi ij$ に平行移動して展開します。横方向の添字が同じ行は、同じ整関数のテイラー係数を調べることになり、テイラー次数が重なると行列式の項が消えます。この打ち消しが、行の数の2乗に比例する節約を生みます[2, §3]。

最後に、次元 $m$ 、重み、中心を先に固定し、多項式の次数だけを無限大に送ります。選ぶ順番を守ることで、閾値が中心に依存して循環する問題を避けています[2, §4]。

どこまで確かなのか

論文は2026年9月24日付のプレプリントで、査読はまだです^[2]。
リポジトリの照合（Comparator）の設定で、主定理 OAI.PiExponent.main が検査の対象になっています^[12]。許可された公理は、Leanで標準的な propext、Quot.sound、Classical.choice の3つです。
形式化の範囲の説明では、フリント・ヒルズ級数の収束は「選ばれた主張の外」とされています^[13]。同じファイルに flint_hills_summable という定理はありますが、照合の対象には入っていません。
2026年10月7日付の更新では、この論文は修正も取り下げもされていません^[14]。

Leanで照合される主張は次のとおりです。前半が定理10の評価、後半が「無限回達成される $\nu$ の上限が $2$ 」という定義どおりの形です。

theorem main :
  (∀ ν : ℝ, 2 < ν → ∃ Q : ℤ, 2 ≤ Q ∧
    ∀ p q : ℤ, Q ≤ q →
      (q : ℝ) ^ (-ν) ≤ |Real.pi - (p : ℝ) / (q : ℝ)|) ∧
  sSup {ν : ℝ | 0 < ν ∧
    Set.Infinite {r : ℚ | 2 ≤ r.den ∧
      0 < |Real.pi - (r : ℝ)| ∧
      |Real.pi - (r : ℝ)| < (r.den : ℝ) ^ (-ν)}} = 2

後半の集合は、分母 $2$ 以上の既約分数 $r$ で $0<|\pi-r|<(\text{den}\,r)^{-\nu}$ をみたすものです。定義1をそのまま書いたものだと読めます。なお、筆者はこの記事を書いた時点で、Leanの検査を手元で再実行していません。

フリント・ヒルズ級数については、2025年に収束を主張した論文がありましたが、証明が成り立たないとして2026年9月に取り下げられています[2, §1.1]。今回の系は、定理10と上の短い議論から従うので、主定理が正しければ確かだと言えます。

残された問題

具体的な $Q(\nu)$ ：たとえば「分母が $10^{100}$ 以上なら $|\pi-p/q|\ge q^{-2.1}$ 」のような、値つきの評価はまだありません。
連分数の項は有界か： $\pi$ の連分数の項が有界かどうか（ $|\pi-p/q|\ge c/q^2$ となる $c$ があるか）は分かっていません。
ほかの定数： $\log2$ や $\zeta(3)$ のように、無理数度の上限だけが知られている定数はたくさんあります。今回の方法がそれらにも使えるかは、これからの研究を待つことになります。

OpenAIの数学論文には、ほかに平面の彩色数の記事で読んだ「平面は5色では塗れない」もあります。

参考文献

OpenAI, openai/math: mathematical manuscripts and supporting proof artifacts, GitHub, 2026.
OpenAI, The irrationality exponent of π is 2, OpenAI Math Release preprint, September 24, 2026.
K. F. Roth, Rational approximations to algebraic numbers, Mathematika 2(1), 1955, pp. 1–20.
K. Mahler, On the approximation of π, Proceedings of the KNAW, Series A 56, 1953, pp. 30–42.
M. Mignotte, Approximations rationnelles de π et quelques autres nombres, Mémoires de la SMF 37, 1974, pp. 121–132.
M. Hata, Rational approximations to π and some other numbers, Acta Arithmetica 63(4), 1993, pp. 335–349.
V. Kh. Salikhov, On the irrationality measure of π, Russian Mathematical Surveys 63(3), 2008, pp. 570–572.
D. Zeilberger, W. Zudilin, The irrationality measure of π is at most 7.103205334137…, Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory 9(4), 2020, pp. 407–419.
Y. Bai, The Irrationality Measure of π Is at Most 7.101862832357, arXiv:2609.11276v2, 2026.
M. A. Alekseyev, On convergence of the Flint Hills series, arXiv:1104.5100v1, 2011.
A. Meiburg, Bounds on irrationality measures and the Flint-Hills series, arXiv:2208.13356v1, 2022.
OpenAI, Lean formalization: OAI/NumberTheory/PiExponent/Main.lean and ComparatorChallenges/PiExponent.json, openai/math, 2026.
OpenAI, Lean formalization scope: The irrationality exponent of π is 2, openai/math, lean/docs/017.md, 2026.
OpenAI, openai/math: History, GitHub, 2026.

In short

Irrationality exponent: A number that measures how well an irrational number can be approximated by fractions: the exponent of the denominator $q$ in the error. It is at least 2 for every irrational number, and 2 means that only “ordinary” approximations exist.
The new result: A manuscript written by an OpenAI model proves that the irrationality exponent of $\pi$ is exactly 2. The best upper bound before was about 7.10, and the value 2 had long been conjectured.
A series: It was known that the Flint–Hills series $\sum 1/(n^3\sin^2 n)$ converges if the irrationality exponent of $\pi$ is less than $5/2$ . The new result settles its convergence.
How sure: The main theorem is formalized in Lean and is among the statements the repository checks. The manuscript is a preprint and has not been peer reviewed.

The manuscript

The irrationality exponent of π is 2

OpenAI · September 24, 2026 · preprint (not peer reviewed) · PDF 494KB

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The PDF is a copy of the version on GitHub as of October 9, 2026, shared under the Apache License 2.0 (full text). If a revised version appears, the one on GitHub will be newer.

The “Proof” under a statement opens into a list of steps. A closer look asides use first- and second-year university mathematics; For specialists asides go into the manuscript itself. You can read on without opening either.

A conjecture about approximating $\pi$ , proved

On October 6, 2026, OpenAI released mathematical manuscripts written by an unreleased internal model, in the GitHub repository openai/math^[1]. Number 017 is the one this article reads, “The irrationality exponent of $\pi$ is 2”^[2].

Its claim fits in one sentence: the irrationality exponent of $\pi$ is 2. As a consequence, it also shows that the Flint–Hills series converges, a question that had long been open.

The irrationality exponent rarely comes up even in university courses. So this article first explains its definition and examples with care. It then explains the new theorem and how it decides the convergence of the series, with proofs.

The manuscript is not among those corrected or withdrawn in the update of October 7. The repository's updates are recorded in our record of corrections and withdrawals.

Approximating by fractions

Two fractions often used for $\pi$ are $3.14=157/50$ and $22/7$ . Their errors are as follows.

\left|\pi-\frac{157}{50}\right|=0.00159\ldots\qquad \left|\pi-\frac{22}{7}\right|=0.00126\ldots

\begin{gathered}\left|\pi-\frac{157}{50}\right|=0.00159\ldots\\\left|\pi-\frac{22}{7}\right|=0.00126\ldots\end{gathered}

\begin{aligned}\left|\pi-\frac{157}{50}\right| &= 0.00159\ldots\\[4pt]\left|\pi-\frac{22}{7}\right| &= 0.00126\ldots\end{aligned}

The fraction with denominator $7$ is closer to $\pi$ than the one with denominator $50$ . The smaller the denominator for the same closeness, the better the approximation. So we measure the error against the size of the denominator.

First, the closeness any real number $x$ gets for free. Once the denominator $q$ is fixed, the fractions $p/q$ lie on the number line $1/q$ apart. Taking the one nearest to $x$ , the error is at most half the spacing.

\min_{p\in\mathbb{Z}}\left|x-\frac pq\right|\le\frac1{2q}

\begin{aligned}\min_{p\in\mathbb{Z}}\left|x-\frac pq\right| &\le \frac1{2q}\end{aligned}

So anyone can make the error about $1/q$ . The question is how many denominators give a much smaller error than that.

In this article, $\|t\|$ denotes the distance from a real number $t$ to the nearest integer.

\|t\|=\min_{p\in\mathbb{Z}}|t-p|

\begin{aligned}\|t\| &= \min_{p\in\mathbb{Z}}|t-p|\end{aligned}

For example, the integer nearest to $7\pi=21.991\ldots$ is $22$ , so $\|7\pi\|=|7\pi-22|=0.00885\ldots$ .

Since $|x-p/q|=|qx-p|/q$ , the best error with denominator $q$ is $\|qx\|/q$ . The value $\|qx\|$ is always at most $1/2$ , and is usually somewhere between $0.1$ and $0.5$ .

Here are the best errors for $\pi$ with denominators $q=1,\dots,8$ . The last column, $\nu$ , is the exponent when the error is written as $q^{-\nu}$ , that is $\nu=-\log|\pi-p/q|/\log q$ .

$q$	best $p$	error $\|\pi-p/q\|$	$q^2\times$ error	exponent $\nu$
$1$	$3$	$0.1416$	$0.142$	—
$2$	$6$	$0.1416$	$0.566$	$2.82$
$3$	$9$	$0.1416$	$1.27$	$1.78$
$4$	$13$	$0.1084$	$1.73$	$1.60$
$5$	$16$	$0.0584$	$1.46$	$1.77$
$6$	$19$	$0.0251$	$0.903$	$2.06$
$7$	$22$	$0.00126$	$0.0620$	$3.43$
$8$	$25$	$0.0166$	$1.06$	$1.97$

Only $q=7$ stands out, with an error of about $7^{-3.43}$ . For $q=2,3$ the best fractions are $6/2$ and $9/3$ , which reduce to $3/1$ . Since the exponent $\nu$ scatters like this while the denominators are small, the irrationality exponent is defined as an exponent achieved “infinitely often, for large denominators”.

The definition

Definition 1 irrationality exponent [2, §1]

Let $x$ be irrational. We say that $\nu>0$ is achieved infinitely often by $x$ if there are infinitely many pairs of coprime integers $(p,q)$ with $q\ge2$ such that

0<\left|x-\frac pq\right|<\frac1{q^{\nu}}

\begin{aligned}0 &< \left|x-\frac pq\right|\\&< \frac1{q^{\nu}}\end{aligned}

The supremum of the $\nu$ achieved infinitely often is the irrationality exponent (or irrationality measure) of $x$ , written $\mu(x)$ . If the supremum is infinite, $\mu(x)=\infty$ .

Since $q\ge2$ , a larger $\nu$ makes $q^{-\nu}$ smaller and the condition stricter. If some $\nu$ is achieved infinitely often, so is every smaller exponent. So the set of exponents achieved is an interval of the form $(0,\mu(x))$ or $(0,\mu(x)]$ .

The larger the irrationality exponent, the better $x$ can be approximated by fractions. The condition $0<$ is there so that $p/q=x$ is not counted when $x$ itself is a fraction. This article only considers irrational numbers, for which it holds automatically.

Example 2 $22/7$ and $355/113$

Since $|\pi-22/7|=0.001264\ldots$ , solving $7^{-\nu}=0.001264$ gives

\nu=\frac{-\log 0.001264}{\log 7}=\frac{6.674}{1.946}=3.43

\begin{aligned}\nu &= \frac{-\log 0.001264}{\log 7}\\&= \frac{6.674}{1.946}\\&= 3.43\end{aligned}

In the same way, $|\pi-355/113|=2.668\ldots\times10^{-7}$ gives $\nu=15.14/4.727=3.20$ .

These two do not show $\mu(\pi)\ge3.2$ . The definition asks for infinitely many fractions, so two good fractions do not affect the irrationality exponent. It measures where the approximations end up as the denominators grow.

The new theorem is stated as a lower bound for the error. So we rephrase the irrationality exponent in that form.

Proposition 3 a reformulation

Let $x$ be irrational and $\nu>0$ .

(1)　If $\nu>\mu(x)$ , there is an integer $Q$ such that $|x-p/q|\ge q^{-\nu}$ for all integers $p,q$ with $q\ge Q$ .
(2)　Conversely, if there is such a $Q$ , then $\mu(x)\le\nu$ .

Hence $\mu(x)$ is the infimum of the $\nu$ for which $|x-p/q|\ge q^{-\nu}$ holds for all large enough denominators $q$ .

Proof

We prove (1). Since $\nu>\mu(x)$ , $\nu$ is not achieved infinitely often, so only finitely many coprime pairs (with $q\ge2$ ) satisfy $|x-p/q|<q^{-\nu}$ .
We show that the denominators of all pairs $(p,q)$ , reduced or not, with $|x-p/q|<q^{-\nu}$ are bounded.

Suppose there were such pairs with arbitrarily large $q$ . Reduce $p/q$ to $p'/q'$ with $1\le q'\le q$ . Then
$\left|x-\frac{p'}{q'}\right|=\left|x-\frac pq\right|<q^{-\nu}\le q'^{-\nu}$ $\begin{aligned}\left|x-\frac{p'}{q'}\right| &= \left|x-\frac pq\right|\\&< q^{-\nu}\\&\le q'^{-\nu}\end{aligned}$
If $q'\ge2$ , then $(p',q')$ is one of the finitely many pairs above. If $q'=1$ , then $|x-p'|<1$ , which leaves finitely many $p'$ . So $p'/q'$ is one of finitely many rational numbers.

Since $x$ is irrational, the smallest distance $\delta$ from $x$ to these rational numbers is positive. On the other hand, $q^{-\nu}\to0$ as $q\to\infty$ , so eventually $|x-p/q|<q^{-\nu}<\delta$ . This is a contradiction.
Taking $Q$ larger than the bound on the denominators, $|x-p/q|\ge q^{-\nu}$ for $q\ge Q$ . This proves (1).
We prove (2). Let $\nu'>\nu$ . The pairs with $|x-p/q|<q^{-\nu'}\le q^{-\nu}$ all have $q<Q$ .

For each $q$ , only finitely many $p$ satisfy $|x-p/q|<1$ . The denominators $q<Q$ are also finitely many, so there are finitely many pairs in all.
So $\nu'$ is not achieved infinitely often, and $\mu(x)\le\nu'$ . Since $\nu'>\nu$ was arbitrary, $\mu(x)\le\nu$ .

Every irrational number reaches exponent 2

In the table, the column $q^2\times$ error has many values around $1$ . In fact, for every irrational number there are infinitely many denominators for which $q^2\times$ error is less than $1$ . The pigeonhole principle is all the proof needs.

Proposition 4 Dirichlet's approximation theorem

Let $x$ be irrational. For each integer $N\ge1$ there are integers $p$ and $q$ with $1\le q\le N$ such that

|qx-p|<\frac1N\qquad \left|x-\frac pq\right|<\frac1{qN}\le\frac1{q^2}

\begin{gathered}|qx-p|<\frac1N\\\left|x-\frac pq\right|<\frac1{qN}\le\frac1{q^2}\end{gathered}

\begin{aligned}|qx-p| &< \frac1N\\[4pt]\left|x-\frac pq\right| &< \frac1{qN}\\&\le \frac1{q^2}\end{aligned}

Moreover, infinitely many reduced fractions $p/q$ satisfy $|x-p/q|<1/q^2$ . In particular $\mu(x)\ge2$ .

Proof

Consider the $N+1$ numbers $\{0\cdot x\},\{1\cdot x\},\dots,\{Nx\}$ , where $\{t\}=t-\lfloor t\rfloor$ is the fractional part. All of them lie in $[0,1)$ .
Cut $[0,1)$ into $N$ boxes $[j/N,(j+1)/N)$ of length $1/N$ . Two of the $N+1$ numbers fall into the same box (the pigeonhole principle); call them $\{k_1x\},\{k_2x\}$ with $k_1<k_2$ .
Put $q=k_2-k_1$ and $p=\lfloor k_2x\rfloor-\lfloor k_1x\rfloor$ . Then $1\le q\le N$ and $|qx-p|<1/N$ .

We have $qx-p=(k_2x-\lfloor k_2x\rfloor)-(k_1x-\lfloor k_1x\rfloor)=\{k_2x\}-\{k_1x\}$ , the difference of two numbers in one box, so its absolute value is less than $1/N$ .

Dividing by $q$ gives $|x-p/q|<1/(qN)$ , and $1/(qN)\le1/q^2$ since $q\le N$ .
The fractions obtained this way are infinitely many.

Since $x$ is irrational, $|qx-p|>0$ . Doing the same with an $N'$ such that $1/N'<|qx-p|$ gives a pair with $|q'x-p'|<1/N'<|qx-p|$ , which differs from the first.

Repeating this gives infinitely many pairs with strictly decreasing $|qx-p|$ . Reducing a fraction keeps $|x-p/q|<1/q^2$ (the denominator gets smaller and the right-hand side larger). For each denominator only finitely many fractions are near $x$ , so the denominators grow without bound.
If $\nu<2$ , then $1/q^2<q^{-\nu}$ for $q\ge2$ , so $\nu$ is achieved infinitely often. Hence $\mu(x)\ge2$ .

The figure below runs this proof for $x=\pi$ . Moving the slider changes the number of boxes $N$ , and the two points in the same box (orange) give a fraction $p/q$ .

0

1

N

Putting the fractional parts of $0,\pi,2\pi,\dots,N\pi$ into 8 boxes, $k\pi$ for $k=$ 1 and $k=$ 8 land in the same box. Their difference gives $q=$ 7 and $p=$ 22, with $|q\pi-p|=$ 0.00885　 $<$ 　 $1/N=$ 0.12500.

Figure 1ExampleThe proof of Proposition 4 for

x=\pi

. Of the pairs sharing a box, the closest pair is orange. For

N

from

8

105

it finds

22/7

, from

106

113

it finds

333/106

, and from

114

355/113

. Since

\|7\pi\|=0.00885

is very small,

22/7

keeps being chosen for a long time.

By Proposition 4, the irrationality exponent is always at least $2$ . The question is how far above $2$ it can be.

Examples

Here are numbers whose irrationality exponents are known, starting with the ones we can compute.

Example 5 the irrationality exponent of $\sqrt2$ is 2

If $1\le p/q\le2$ , then $p^2-2q^2$ is a nonzero integer, so $|p^2-2q^2|\ge1$ . Hence

\left|\sqrt2-\frac pq\right|=\frac{|2q^2-p^2|}{q^2\,(\sqrt2+p/q)}\ge\frac1{(\sqrt2+2)\,q^2}>\frac1{3.5\,q^2}

\begin{aligned}\left|\sqrt2-\frac pq\right| &= \frac{|2q^2-p^2|}{q^2\,(\sqrt2+p/q)}\\&\ge \frac1{(\sqrt2+2)\,q^2}\\&> \frac1{3.5\,q^2}\end{aligned}

If $p/q$ lies outside $[1,2]$ , the error is at least $0.4$ . In both cases, if $\nu>2$ then $|\sqrt2-p/q|\ge q^{-\nu}$ for all large $q$ . By Proposition 3 and Proposition 4, $\mu(\sqrt2)=2$ .

For example, for $99/70$ we have $99^2-2\cdot70^2=9801-9800=1$ , so the error is exactly

\left|\sqrt2-\frac{99}{70}\right|=\frac{1}{70^2\,(\sqrt2+99/70)}=7.215\ldots\times10^{-5}\qquad 70^2\left|\sqrt2-\frac{99}{70}\right|=0.354\ldots

\begin{gathered}\left|\sqrt2-\frac{99}{70}\right|=\frac{1}{70^2\,(\sqrt2+99/70)}=7.215\ldots\times10^{-5}\\70^2\left|\sqrt2-\frac{99}{70}\right|=0.354\ldots\end{gathered}

\begin{aligned}\left|\sqrt2-\frac{99}{70}\right| &= \frac{1}{70^2\,(\sqrt2+99/70)}\\&= 7.215\ldots\times10^{-5}\\[4pt]70^2\left|\sqrt2-\frac{99}{70}\right| &= 0.354\ldots\end{aligned}

This argument only uses that $\sqrt2$ is a root of the integer polynomial $t^2-2$ of degree 2. The same idea gives the following for algebraic numbers in general.

Proposition 6 Liouville's theorem

If $x$ is an algebraic number of degree $d\ge2$ , then $\mu(x)\le d$ .

Proof

Let $f$ be an irreducible polynomial with integer coefficients of degree $d$ with root $x$ . Since $d\ge2$ , $f$ has no rational roots.
For a fraction $p/q$ , $q^df(p/q)$ is a nonzero integer, so $|f(p/q)|\ge q^{-d}$ .
If $|x-p/q|\le1$ , the mean value theorem gives $|f(p/q)|=|f(p/q)-f(x)|\le M\,|x-p/q|$ , where $M$ is the maximum of $|f'|$ on $[x-1,x+1]$ .
Together, $|x-p/q|\ge 1/(Mq^d)$ (fractions with $|x-p/q|>1$ need no attention, since $q^{-\nu}<1$ for $q\ge2$ ). If $\nu>d$ , then $1/(Mq^d)\ge q^{-\nu}$ for all large $q$ , so $\mu(x)\le\nu$ by Proposition 3(2). Hence $\mu(x)\le d$ .

The bound $d$ in Liouville's theorem was later improved a great deal. In 1955 Roth proved that the irrationality exponent of every irrational algebraic number is $2$ ^[3].

Theorem 7 Roth's theorem ^[3]

If $x$ is an irrational algebraic number, then $\mu(x)=2$ .

Conversely, a number with irrationality exponent $\infty$ cannot be algebraic of any degree. Liouville used this to construct the first examples of transcendental numbers.

Example 8 Liouville's number

Let $L=\sum_{k\ge1}10^{-k!}=0.110001000000000000000001\ldots$ . Put $q_n=10^{n!}$ and $p_n=q_n\sum_{k=1}^{n}10^{-k!}$ . The last digit of $p_n$ is $1$ , so $p_n/q_n$ is reduced, and

0<L-\frac{p_n}{q_n}=\sum_{k>n}10^{-k!}<2\cdot10^{-(n+1)!}=\frac{2}{q_n^{\,n+1}}

\begin{aligned}0 &< L-\frac{p_n}{q_n}\\&= \sum_{k>n}10^{-k!}\\&< 2\cdot10^{-(n+1)!}\\&= \frac{2}{q_n^{\,n+1}}\end{aligned}

For any $\nu$ , the right-hand side is less than $q_n^{-\nu}$ for large $n$ with $n+1>\nu$ . So $\mu(L)=\infty$ , and by Liouville's theorem $L$ is not algebraic.

Numbers with irrationality exponent $\infty$ are very rare, though. The irrationality exponent of almost every real number is $2$ .

Proposition 9 almost every real number has exponent 2

The set of real numbers $x$ with $\mu(x)\ne2$ has Lebesgue measure $0$ .

Proof

Fix $\nu>2$ and work in $[0,1]$ (adding an integer does not change the irrationality exponent, so this is enough). Let $E_q$ be the set of points within $q^{-\nu}$ of a fraction with denominator $q$ . Its length is at most $4q^{1-\nu}$ .

The fractions $p/q$ relevant to $[0,1]$ are the $q+1$ ones with $p=0,\dots,q$ , and $E_q$ is the union of the intervals of length $2q^{-\nu}$ around them. Its length is at most $(q+1)\cdot2q^{-\nu}\le4q^{1-\nu}$ .
Since $\nu>2$ , $\sum_q 4q^{1-\nu}<\infty$ . By the Borel–Cantelli lemma, the set of points lying in infinitely many $E_q$ has measure $0$ .
At a point $x$ lying in only finitely many $E_q$ , $\nu$ is not achieved infinitely often, so $\mu(x)\le\nu$ .
The countably many exceptional sets for $\nu=2+1/m$ ( $m=1,2,\dots$ ) together still have measure $0$ . So do the rationals, so the remaining $x$ are irrational with $\mu(x)\le2$ , and $\mu(x)=2$ by Proposition 4.

To sum up: the irrationality exponent of Euler's number $e$ is also known to be $2$ , from its regular continued fraction $e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,\dots]$ .

Number	Irrationality exponent	Why
$\sqrt2$	$2$	direct computation, Example 5
irrational algebraic numbers	$2$	Roth's theorem
$e$	$2$	its continued fraction is known explicitly
almost every real number	$2$	Proposition 9
Liouville's number $L$	$\infty$	Example 8
$\pi$	$2\le\mu(\pi)\le7.103\ldots$ (before this result)	next section

Since almost every real number has exponent $2$ , $\pi$ was expected to have exponent $2$ as well, unless there was a special reason otherwise. But little is known about $\pi$ that can be used here, and proving it was hard.

The convergents of $\pi$ and their exponents

To compute an irrationality exponent, it is enough to look at the good approximations. These come from the continued fraction. The continued fraction of $\pi$ is

\begin{aligned} \pi&=3+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{15+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{292+\cdots}}}}\\ &=[3;7,15,1,292,1,1,1\\ &\qquad 2,1,3,1,14,\dots]\end{aligned}

The fractions $p_k/q_k$ obtained by cutting it off are the convergents. The convergents of $\pi$ are $3/1$ , $22/7$ , $333/106$ , $355/113$ , $103993/33102$ , $\dots$ , and each satisfies $|\pi-p_k/q_k|<1/q_k^2$ .

Computing the exponent $\nu=-\log|\pi-p_k/q_k|/\log q_k$ for each convergent gives the following.

convergent $p/q$	error $\|\pi-p/q\|$	exponent $\nu$
$22/7$	$1.26\times10^{-3}$	$3.43$
$333/106$	$8.32\times10^{-5}$	$2.01$
$355/113$	$2.67\times10^{-7}$	$3.20$
$103993/33102$	$5.78\times10^{-10}$	$2.04$
$104348/33215$	$3.32\times10^{-10}$	$2.10$
$5419351/1725033$	$2.21\times10^{-14}$	$2.19$
$21053343141/6701487259$	$2.62\times10^{-22}$	$2.20$

10^{0}

10^{2}

10^{4}

10^{6}

10^{8}

10^{10}

2

5/2

3

3.5

\nu=2

\nu=5/2

22/7

355/113

denominator

q

(ticks a factor

10

apart)

\nu

Figure 2ExampleFor the convergents of

\pi

with denominator from

2

up to

10^{10}

(twenty of them), the exponent

\nu

with error

q^{-\nu}

. Only

22/7

and

355/113

are above

5/2

; the others lie between

2

and

2.25

$22/7$ and $355/113$ stand out because the next terms of the continued fraction, $15$ and $292$ , are large. The larger the next term, the better the convergent before it.

Figure 2 has finitely many points, so it does not decide the irrationality exponent. That the exponent is $2$ means that above any line at height $\nu>2$ there are only finitely many points. No amount of numerical computation can check this.

A closer lookWhy the convergents are enough, and the terms of the continued fraction

Two facts from the theory of continued fractions. First, the error of a convergent is essentially set by the next term $a_{k+1}$ :

\frac{1}{q_k(q_k+q_{k+1})}<\left|x-\frac{p_k}{q_k}\right|<\frac{1}{q_kq_{k+1}}\qquad q_{k+1}=a_{k+1}q_k+q_{k-1}

\begin{gathered}\frac{1}{q_k(q_k+q_{k+1})}<\left|x-\frac{p_k}{q_k}\right|<\frac{1}{q_kq_{k+1}}\\q_{k+1}=a_{k+1}q_k+q_{k-1}\end{gathered}

\begin{aligned}\frac{1}{q_k(q_k+q_{k+1})} &< \left|x-\frac{p_k}{q_k}\right|\\&< \frac{1}{q_kq_{k+1}}\\[4pt]q_{k+1} &= a_{k+1}q_k+q_{k-1}\end{aligned}

Second, if a reduced fraction $p/q$ satisfies $|x-p/q|<1/(2q^2)$ , then $p/q$ is a convergent (Legendre's theorem). If $\nu>2$ , then $q^{-\nu}<1/(2q^2)$ for large $q$ , so the fractions achieving $\nu$ are eventually all convergents.

Together they express the irrationality exponent through the growth of the terms:

\mu(x)=2+\limsup_{k\to\infty}\frac{\log a_{k+1}}{\log q_k}

\begin{aligned}\mu(x) &= 2+\limsup_{k\to\infty}\frac{\log a_{k+1}}{\log q_k}\end{aligned}

So $\mu(\pi)=2$ says that the terms $a_{k+1}$ of the continued fraction of $\pi$ grow more slowly than any positive power $q_k^{\varepsilon}$ of the denominators. This is compatible with the terms being unbounded.

Upper bounds so far

Mahler first proved in 1953 that the irrationality exponent of $\pi$ is finite^[4]. The bound has come down step by step since^[5,6,7,8,9].

Year	By	Upper bound for $\mu(\pi)$
1953	Mahler	$42$ ( $30$ for large denominators)
1974	Mignotte	$21$ ( $20$ for large denominators)
1993	Hata	$8.0160\ldots$
2008	Salikhov	$7.6063\ldots$
2020	Zeilberger, Zudilin	$7.1032\ldots$
September 2026	Bai (preprint)	$7.1018\ldots$
September 2026	OpenAI (this result)	$2$

The improvements since 1993 refine sequences of approximations built from integrals, shaving digits off the bound from $8$ to $7.1$ . The new manuscript does not use these bounds; it goes straight to $2$ by a different method. The manuscript itself says that the earlier bounds are context, not inputs to its proof[2, §1.1].

The theorem

Theorem 10 OpenAI, 2026 [2, Theorem 1.1]

The irrationality exponent of $\pi$ is $2$ . More precisely, for every real $\nu>2$ there is an integer $Q(\nu)$ such that

\left|\pi-\frac pq\right|\ge\frac1{q^{\nu}}\qquad(p,q\in\mathbb{Z},\ q\ge Q(\nu))

\begin{gathered}\left|\pi-\frac pq\right|\ge\frac1{q^{\nu}}\\(p,q\in\mathbb{Z},\ q\ge Q(\nu))\end{gathered}

\begin{aligned}\left|\pi-\frac pq\right| &\ge \frac1{q^{\nu}}\\[4pt]&(p,q\in\mathbb{Z},\ q\ge Q(\nu))\end{aligned}

By Proposition 3(2), $\mu(\pi)\le\nu$ for every $\nu>2$ , so $\mu(\pi)\le2$ . Together with Proposition 4, $\mu(\pi)=2$ .

Writing $\varepsilon=\nu-2$ , this says: for all large denominators, $|\pi-p/q|\ge q^{-2-\varepsilon}$ . In Figure 2, above any line at height $2+\varepsilon$ there are only finitely many points.

Three points are worth keeping in mind when reading the theorem. The first two are also made in the manuscript's introduction[2, §1].

The value of $Q(\nu)$ is not known. The proof is by contradiction and shows that $Q(\nu)$ exists without giving a value. For $\nu=2.1$ , say, we do not know from which denominator on the bound holds.
It is not a bound of the form $c/q^2$ . “There is a constant $c>0$ with $|\pi-p/q|\ge c/q^2$ for all $q$ ” is a stronger claim. It is equivalent to the terms of the continued fraction being bounded, and does not follow from the theorem.
Good approximations do not stop. Convergents like $355/113$ can still appear. What the theorem says is that only finitely many approximations beat any exponent $\nu>2$ .

The Flint–Hills series

As an application of the irrationality exponent, the manuscript proves that the Flint–Hills series converges[2, Corollary 1.2]. The question was popularized by Pickover; angles are in radians^[10].

Definition 11 the Flint–Hills series

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3\sin^2 n}

With $1/n^3$ alone the series would converge. The trouble is $\sin^2 n$ : when the integer $n$ is close to a multiple of $\pi$ , $\sin n$ is very small and the term is large.

$n=355$ is such a case. Since $355$ is very close to $113\pi$ ,

\begin{aligned} 355-113\pi&=3.0144\ldots\times10^{-5}\\ \sin355&=\sin(355-113\pi)\\ &\quad\cdot(-1)^{113}\\ &=-3.0144\ldots\times10^{-5}\end{aligned}

\begin{aligned} &\frac{1}{355^3\sin^2355}\\ &=\frac{1}{(4.474\times10^{7})\times(9.087\times10^{-10})}\\ &=24.598\ldots \end{aligned}

This one term is $24.6$ , and the partial sum jumps from $4.8$ to $29.4$ at $n=355$ .

10^{0}

10^{1}

10^{2}

10^{3}

10^{4}

10^{5}

10^{6}

0

10

20

30

n=355

：

+24.6

n=22

30.3145\ldots

N

(ticks a factor

10

apart)

S_N

Figure 3ExampleThe partial sums

S_N=\sum_{n\le N}1/(n^3\sin^2n)

of the Flint–Hills series, with

N

on a scale where each tick is a factor

10

. The sum jumps by

24.6

N=355

, and the partial sum up to

N=10^6

30.3145\ldots

. This value is a computation; it has not been shown that the limit is

30.3145\ldots

At the next good convergent, $103993/33102$ , $\sin103993$ is also small, $-1.9\times10^{-5}$ . But $n^3$ wins, and the term is only $2.4\times10^{-6}$ . Whether a term gets large is a race between how small $\sin n$ is and how large $n^3$ is.

Why $5/2$ is the threshold

Let us compare the race in exponents. If $|\pi-p/q|\approx q^{-\nu}$ , the sine at the numerator $n=p$ is about

|\sin p|=|\sin(p-q\pi)|\approx|p-q\pi|=q\left|\pi-\frac pq\right|\approx q^{1-\nu}

\begin{aligned}|\sin p| &= |\sin(p-q\pi)|\\&\approx |p-q\pi|\\&= q\left|\pi-\frac pq\right|\\&\approx q^{1-\nu}\end{aligned}

Since $p\approx\pi q$ , the term is about

\frac{1}{p^3\sin^2p}\approx\frac{1}{\pi^3q^3\cdot q^{2-2\nu}}=\frac{q^{2\nu-5}}{\pi^3}

\begin{aligned}\frac{1}{p^3\sin^2p} &\approx \frac{1}{\pi^3q^3\cdot q^{2-2\nu}}\\&= \frac{q^{2\nu-5}}{\pi^3}\end{aligned}

If $\nu>5/2$ , the exponent $2\nu-5$ is positive and the terms grow. If $\nu<5/2$ , the terms tend to $0$ . This suggests that the threshold is irrationality exponent $5/2$ .

For $355/113$ , $\nu=3.202$ , so $113^{2\cdot3.202-5}/\pi^3=113^{1.404}/31.0=24.6$ , matching the term computed above.

For the necessary condition, this estimate turns directly into a proof[10, Corollary 4, p.3].

Proposition 12 Alekseyev [10, Corollary 4, p.3]

If the Flint–Hills series converges, then $\mu(\pi)\le5/2$ .

Proof

We prove the contrapositive. Suppose $\mu(\pi)>5/2$ and take $5/2<\nu<\mu(\pi)$ . Since $\nu$ is achieved infinitely often, infinitely many reduced fractions $p/q$ satisfy $|\pi-p/q|<q^{-\nu}$ .
For these fractions, $|\sin p|<q^{1-\nu}$ and $1\le p\le4q$ .

From $\sin(p-q\pi)=\pm\sin p$ and $|\sin t|\le|t|$ , we get $|\sin p|\le|p-q\pi|=q|\pi-p/q|<q^{1-\nu}$ .

Also $q\ge2$ and $\nu>5/2$ give $|\pi-p/q|<2^{-5/2}<1/4$ , so $2.8<p/q<3.4$ ; in particular $1\le p\le4q$ .
So the term at $n=p$ is at least $1/64$ .
$\frac{1}{p^3\sin^2p}>\frac{1}{(4q)^3\,q^{2-2\nu}}=\frac{q^{2\nu-5}}{64}\ge\frac1{64}\qquad(2\nu-5>0)$ $\begin{gathered}\frac{1}{p^3\sin^2p}>\frac{1}{(4q)^3\,q^{2-2\nu}}=\frac{q^{2\nu-5}}{64}\ge\frac1{64}\\(2\nu-5>0)\end{gathered}$ $\begin{aligned}\frac{1}{p^3\sin^2p} &> \frac{1}{(4q)^3\,q^{2-2\nu}}\\&= \frac{q^{2\nu-5}}{64}\\&\ge \frac1{64}\\[4pt]&(2\nu-5>0)\end{aligned}$
The denominators $q$ are unbounded and $p>2q$ , so there are infinitely many such numerators $p$ . The terms do not tend to $0$ , and the series diverges.

The sufficient condition in the other direction was proved by Meiburg in 2022[11, Theorem 2.5, p.4]. The idea of applying approximation bounds to series with $\sin$ in the denominator also appears in Mahler's 1953 paper^[4]. The new manuscript includes just the form it needs, with a short proof[2, Lemma 5.1].

Lemma 13 spacing on dyadic ranges [2, Lemma 5.1]

Let $\alpha>0$ be irrational. If for some $c>0$ and $1<\nu<5/2$

\|q\alpha\|\ge c\,q^{1-\nu}\qquad(q=1,2,3,\dots)

\begin{gathered}\|q\alpha\|\ge c\,q^{1-\nu}\\(q=1,2,3,\dots)\end{gathered}

\begin{aligned}\|q\alpha\| &\ge c\,q^{1-\nu}\\[4pt]&(q=1,2,3,\dots)\end{aligned}

then $\displaystyle\sum_{q=1}^{\infty}\frac{1}{q^3\|q\alpha\|^2}$ converges.

Proof

Fix a positive integer $K$ and put $d=c(2K)^{1-\nu}$ . If $K\le q<2K$ , then $\|q\alpha\|\ge d$ (since $1-\nu<0$ , $q^{1-\nu}>(2K)^{1-\nu}$ ).
On the circle $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ of length $1$ , the points $q\alpha$ with $K\le q<2K$ are also at distance at least $d$ from each other.

For $q\ne q'$ , the distance between the two points on the circle is $\|(q-q')\alpha\|$ . Since $0<|q-q'|<2K$ , the hypothesis gives $\|(q-q')\alpha\|\ge c|q-q'|^{1-\nu}>c(2K)^{1-\nu}=d$ .

As in Figure 4, two points being close means that their difference $q-q'$ is the denominator of a good approximation, which the hypothesis forbids.
On each of the two half-circles starting at $0$ , order the points by their distance from $0$ . The $j$ -th point is at distance at least $jd$ .

The first point is at least $d$ from $0$ . For neighbouring points on the same half-circle, the difference of their distances from $0$ is the arc between them, which is at least their distance on the circle, $d$ . So the distances are at least $d,2d,3d,\dots$ .
So the sum over this range is bounded by a constant times $K^{2\nu-5}$ .
$\begin{aligned} &\sum_{K\le q<2K}\frac{1}{q^3\|q\alpha\|^2}\\ &\le\frac{1}{K^3}\cdot2\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{(jd)^2}\\ &=\frac{\pi^2}{3K^3d^2}=\frac{\pi^2\,2^{2\nu-2}}{3c^2}\,K^{2\nu-5}\end{aligned}$
The factor $2$ comes from the two half-circles.
The ranges for $K=1,2,4,8,\dots$ cover all $q\ge1$ . Since $2\nu-5<0$ , $\sum_m(2^m)^{2\nu-5}$ is a convergent geometric series, and so is the whole sum.

0

8\pi

9\pi

10\pi

11\pi

12\pi

13\pi

14\pi

15\pi

\|7\pi\|

\mathbb{R}/\mathbb{Z}

(circumference

1

)

Figure 4ExampleThe second step of the proof of Lemma 13 for

\alpha=\pi

and

K=8

. On a circle of length

1

, the fractional parts of

8\pi,9\pi,\dots,15\pi

. The closest pair is

8\pi

and

15\pi

, at distance

\|7\pi\|=0.0088

for their difference

7

. That

22/7

is a good approximation shows up as two points being close.

Corollary 14 the Flint–Hills series converges [2, Corollary 1.2]

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3\sin^2n}$ converges.

Proof

Fix $2<\nu<5/2$ . By Theorem 10, $\|q\pi\|\ge q^{1-\nu}$ for $q\ge Q(\nu)$ .

With $p$ the integer nearest to $q\pi$ , the theorem gives $\|q\pi\|=|q\pi-p|=q|\pi-p/q|\ge q\cdot q^{-\nu}=q^{1-\nu}$ .
Put $\begin{aligned} c=\min\bigl(&\{1\}\cup\{q^{\nu-1}\|q\pi\|:\\ &\quad 1\le q<Q(\nu)\}\bigr) \end{aligned}$ Then $c>0$ and $\|q\pi\|\ge c\,q^{1-\nu}$ for all $q\ge1$ (since $\pi$ is irrational, $\|q\pi\|>0$ ).
By Lemma 13, $\sum_q 1/(q^3\|q\pi\|^2)$ converges.
Group each $n\ge1$ by the integer $q\ge0$ nearest to $n/\pi$ . Only $n=1$ has $q=0$ . For $q\ge1$ , the group has at most four $n$ , each with $|n-q\pi|\le\pi/2$ .

That $q$ is the integer nearest to $n/\pi$ means $|n/\pi-q|\le1/2$ , that is $|n-q\pi|\le\pi/2$ . The integers $n$ satisfying this lie in an interval of length $\pi<4$ , so there are at most four.
Each term in the group $q\ge1$ is at most $\dfrac{2}{\pi}\cdot\dfrac{1}{q^3\|q\pi\|^2}$ .

We have $n\ge\pi(q-1/2)\ge\pi q/2$ . Also $|\sin t|\ge(2/\pi)|t|$ for $|t|\le\pi/2$ (since $\sin$ is concave on $[0,\pi/2]$ ). As $n$ is an integer, $|n-q\pi|\ge\|q\pi\|$ , and
$|\sin n|=|\sin(n-q\pi)|\ge\frac2\pi|n-q\pi|\ge\frac2\pi\|q\pi\|$ $\begin{aligned}|\sin n| &= |\sin(n-q\pi)|\\&\ge \frac2\pi|n-q\pi|\\&\ge \frac2\pi\|q\pi\|\end{aligned}$ $\frac{1}{n^3\sin^2n}\le\frac{1}{(\pi q/2)^3\cdot(2/\pi)^2\|q\pi\|^2}=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{1}{q^3\|q\pi\|^2}$ $\begin{aligned}\frac{1}{n^3\sin^2n} &\le \frac{1}{(\pi q/2)^3\cdot(2/\pi)^2\|q\pi\|^2}\\&= \frac{2}{\pi}\cdot\frac{1}{q^3\|q\pi\|^2}\end{aligned}$
The sum over a group is at most $\dfrac{8}{\pi}\cdot\dfrac{1}{q^3\|q\pi\|^2}$ , and by the third step these add up to a finite total. So the series converges.

In summary, the first arrow below is Theorem 10, the second is Lemma 13, and the third is the grouping of $n$ by $q$ .

\mu(\pi)=2\ \Longrightarrow\ \|q\pi\|\ge c\,q^{1-\nu}\ \ (2<\nu<\tfrac52)\ \Longrightarrow\ \sum_{q\ge1}\frac{1}{q^3\|q\pi\|^2}<\infty\ \Longrightarrow\ \sum_{n\ge1}\frac{1}{n^3\sin^2n}<\infty

\begin{aligned}\mu(\pi) &= 2\\&\Longrightarrow \|q\pi\|\\&\ge c\,q^{1-\nu}\ \ (2<\nu<\tfrac52)\\&\Longrightarrow \sum_{q\ge1}\frac{1}{q^3\|q\pi\|^2}\\&< \infty\\&\Longrightarrow \sum_{n\ge1}\frac{1}{n^3\sin^2n}\\&< \infty\end{aligned}

Convergence follows from the irrationality exponent being less than $5/2$ ; it does not need to be $2$ . There was a wide gap between the previous bound $7.1$ and $5/2$ , and the new theorem closes it in one go.

A closer lookThe generalization: when

\sum 1/(n^a|\sin n|^b)

converges

The manuscript also settles exactly when the series with general exponents converges[2, Corollary 5.2].

Corollary 15 generalized Flint–Hills series [2, Corollary 5.2]

Let $a,b>0$ . The series $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^a|\sin n|^b}$ converges if and only if $a>\max\{1,b\}$ .

Proof

If $a>\max\{1,b\}$ , it converges. Take $\varepsilon>0$ with $a>\max\{1,b\}+b\varepsilon$ , and from $\|q\pi\|\ge c\,q^{-1-\varepsilon}$ bound each range as in Lemma 13.

With $d=c(2K)^{-1-\varepsilon}$ , the sum over $K\le q<2K$ is at most $2K^{-a}d^{-b}\sum_{j=1}^{K}j^{-b}$ . For $b<1$ , $b=1$ and $b>1$ this is a constant times $K^{1-a+b\varepsilon}$ , $K^{1-a+\varepsilon}\log2K$ and $K^{b-a+b\varepsilon}$ , all with negative exponents. Then return to the sum over $n$ by the same grouping as in Corollary 14.
If $a\le1$ , it diverges. Since $|\sin n|\le1$ , each term is at least $n^{-a}$ , and $\sum n^{-a}$ diverges.
If $1<a\le b$ , it diverges: the terms at the numerators of the convergents $p_j/q_j$ do not tend to $0$ .

From $|\sin p_j|\le|p_j-\pi q_j|<1/q_j$ and $p_j\le(\pi+1)q_j$ for large $j$ ,
$\frac{1}{p_j^a|\sin p_j|^b}>p_j^{-a}q_j^{\,b}\ge(\pi+1)^{-b}\,p_j^{\,b-a}\ge(\pi+1)^{-b}$ $\begin{aligned}\frac{1}{p_j^a|\sin p_j|^b} &> p_j^{-a}q_j^{\,b}\\&\ge (\pi+1)^{-b}\,p_j^{\,b-a}\\&\ge (\pi+1)^{-b}\end{aligned}$

1

2

3

4

1

2

3

4

5

b

a

(b,a)=(2,3)

converges:

a>\max\{1,b\}

a\le1

: diverges, above

\sum n^{-a}

1<a\le b

: the terms at

convergents stay large

Figure 5ExampleThe range in Corollary 15, drawn in the

(b,a)

plane. The series converges in the green region

a>\max\{1,b\}

and diverges outside it, including on its boundary. The Flint–Hills series is the point

(2,3)

Divergence for $1<a\le b$ follows from the property $|\pi-p_j/q_j|<1/q_j^2$ of convergents alone and does not use the irrationality exponent. Where exponent $2$ matters is in pushing the convergent side all the way to the boundary.

How the main theorem is proved

The proof of the main theorem takes up most of the manuscript, and this article does not reproduce it. Here is only its outline. The basic idea is a principle long used in proofs of transcendence: a nonzero integer has absolute value at least $1$ .

1
Assume many good approximations
Assume that for some $\nu>2$ there are arbitrarily large denominators with $|\pi-p/q|\le q^{-\nu}$ , and derive a contradiction.
2
Pick finitely many with widely separated denominators
Fix a dimension $m$ first, then choose approximations $p_1/q_1,\dots,p_m/q_m$ whose denominators are successively far apart.
3
Build a nonzero determinant by interpolation
Prove an interpolation theorem: the coefficients of a polynomial in several variables can be chosen to prescribe Taylor coefficients along logarithmic curves. Use it to build a nonzero determinant with entries in $\mathbb{Q}(i)$ .
4
Compare a lower and an upper bound
Clearing denominators makes the determinant a nonzero algebraic integer, bounded below. On the other hand, since $2p_i/q_i$ is close to the period $2\pi$ , the determinant is very small. The two cannot both hold.

The manuscript relates its method to Laurent's interpolation determinants[2, §1.2]. It also notes that choosing denominators successively far apart is the same kind of device as in the proof of Roth's theorem.

For specialistsInterpolation and the determinant bounds

Give the coordinates $Y,X_1,\dots,X_m$ positive weights and keep only the monomials of weighted degree up to a cutoff; their exponent vectors fill a simplex. At each point $(1,c_{j1},\dots,c_{jm})$ , expand after the substitution

Y=1+t\qquad X_i=c_{ji}+u_i+\log(1+t)

\begin{gathered}Y=1+t\\X_i=c_{ji}+u_i+\log(1+t)\end{gathered}

\begin{aligned}Y &= 1+t\\[4pt]X_i &= c_{ji}+u_i+\log(1+t)\end{aligned}

\begin{aligned}Y &= 1+t\\[4pt]X_i &= c_{ji}+u_i\\&\phantom{=}{} +\log(1+t)\end{aligned}

The variable $t$ follows the logarithmic curve and the $u_i$ are transverse to it. The manuscript's interpolation theorem says that every packet of Taylor coefficients below a weighted threshold can be prescribed at all the centres at once[2, §2]. Its proof uses positivity on a blowup and a weighted curve inequality on possibly singular schemes.

The centres are $c_{ji}=2ijp_i/q_i$ (here $i$ is the imaginary unit), approximations of the periods $2\pi ij$ of the exponential function. Interpolation gives a matrix over $\mathbb{Q}(i)$ ; clearing the denominators of a nonzero minor gives an arithmetic lower bound.

For the analytic upper bound, each row is moved to the exact period $2\pi ij$ and expanded. Rows with the same transverse index test Taylor coefficients of the same entire functions, and repeated Taylor degrees make terms of the determinant vanish. This cancellation saves a factor quadratic in the number of rows[2, §3].

Finally, the dimension $m$ , the weights and the centres are fixed first, and only the polynomial degree goes to infinity. Keeping this order avoids a circular choice in which thresholds would depend on the centres[2, §4].

How sure is it?

The manuscript is a preprint dated September 24, 2026, and has not been peer reviewed^[2].
The repository's Comparator setup checks the main theorem OAI.PiExponent.main^[12]. The permitted axioms are the three standard ones in Lean: propext, Quot.sound and Classical.choice.
The description of the formalization's scope says that the convergence of the Flint–Hills series is outside the selected statement^[13]. The same file has a theorem flint_hills_summable, but it is not among the checked statements.
The update of October 7, 2026 neither corrected nor withdrew this manuscript^[14].

The statement checked in Lean is below. Its first half is the bound in Theorem 10, and its second half is the definition itself: the supremum of the $\nu$ achieved infinitely often is $2$ .

theorem main :
  (∀ ν : ℝ, 2 < ν → ∃ Q : ℤ, 2 ≤ Q ∧
    ∀ p q : ℤ, Q ≤ q →
      (q : ℝ) ^ (-ν) ≤ |Real.pi - (p : ℝ) / (q : ℝ)|) ∧
  sSup {ν : ℝ | 0 < ν ∧
    Set.Infinite {r : ℚ | 2 ≤ r.den ∧
      0 < |Real.pi - (r : ℝ)| ∧
      |Real.pi - (r : ℝ)| < (r.den : ℝ) ^ (-ν)}} = 2

The set in the second half consists of the reduced fractions $r$ with denominator at least $2$ and $0<|\pi-r|<(\text{den}\,r)^{-\nu}$ , which reads as Definition 1 written out. We have not rerun the Lean check ourselves at the time of writing.

A 2025 manuscript also claimed that the Flint–Hills series converges, but it was withdrawn in September 2026 because its proof did not hold[2, §1.1]. The corollary here follows from Theorem 10 by the short argument above, so it stands if the main theorem does.

Open questions

An explicit $Q(\nu)$ : there is still no bound with values, such as “ $|\pi-p/q|\ge q^{-2.1}$ for denominators at least $10^{100}$ ”.
Are the terms of the continued fraction bounded? Whether the terms of the continued fraction of $\pi$ are bounded (whether some $c$ gives $|\pi-p/q|\ge c/q^2$ ) is unknown.
Other constants: for many constants, such as $\log2$ and $\zeta(3)$ , only upper bounds for the irrationality exponent are known. Whether the new method applies to them remains to be seen.

Another OpenAI manuscript, “the plane is not five-colorable”, is the subject of our article on the chromatic number of the plane (in Japanese).

References

OpenAI, openai/math: mathematical manuscripts and supporting proof artifacts, GitHub, 2026.
OpenAI, The irrationality exponent of π is 2, OpenAI Math Release preprint, September 24, 2026.
K. F. Roth, Rational approximations to algebraic numbers, Mathematika 2(1), 1955, pp. 1–20.
K. Mahler, On the approximation of π, Proceedings of the KNAW, Series A 56, 1953, pp. 30–42.
M. Mignotte, Approximations rationnelles de π et quelques autres nombres, Mémoires de la SMF 37, 1974, pp. 121–132.
M. Hata, Rational approximations to π and some other numbers, Acta Arithmetica 63(4), 1993, pp. 335–349.
V. Kh. Salikhov, On the irrationality measure of π, Russian Mathematical Surveys 63(3), 2008, pp. 570–572.
D. Zeilberger, W. Zudilin, The irrationality measure of π is at most 7.103205334137…, Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory 9(4), 2020, pp. 407–419.
Y. Bai, The Irrationality Measure of π Is at Most 7.101862832357, arXiv:2609.11276v2, 2026.
M. A. Alekseyev, On convergence of the Flint Hills series, arXiv:1104.5100v1, 2011.
A. Meiburg, Bounds on irrationality measures and the Flint-Hills series, arXiv:2208.13356v1, 2022.
OpenAI, Lean formalization: OAI/NumberTheory/PiExponent/Main.lean and ComparatorChallenges/PiExponent.json, openai/math, 2026.
OpenAI, Lean formalization scope: The irrationality exponent of π is 2, openai/math, lean/docs/017.md, 2026.
OpenAI, openai/math: History, GitHub, 2026.

π\piπ の近似についての予想が証明された

分数で近似するとは

無理数度の定義

どの無理数も指数2までは近づける

無理数度の例

π\piπ の近似分数と指数

これまでの上限

今回の定理

フリント・ヒルズ級数

5/25/25/2 が境目になる理由

主定理の証明の考え方

どこまで確かなのか

残された問題

参考文献

A conjecture about approximating π\piπ, proved

Approximating by fractions

The definition

Every irrational number reaches exponent 2

Examples

The convergents of π\piπ and their exponents

Upper bounds so far

The theorem

The Flint–Hills series

Why 5/25/25/2 is the threshold

How the main theorem is proved

How sure is it?

Open questions

References

$\pi$ の近似についての予想が証明された

$\pi$ の近似分数と指数

$5/2$ が境目になる理由

A conjecture about approximating $\pi$ , proved

The convergents of $\pi$ and their exponents

Why $5/2$ is the threshold