OpenAIのAIが見つけた「小さいコーエン・マコーレー加群予想」の反例：平面の4点と6本の直線から作る3次元の環

この記事の要点

コーエン・マコーレー: 局所環や加群が「次元と同じ長さの正則列をもつ」という、扱いやすさの条件です。環そのものがこの条件をみたさなくても、深さが環の次元に等しい有限生成の加群（小さいCM加群）があれば、多くの問題が解けると考えられてきました。
小さいCM加群予想: ホックスターが1970年代初めに立てた予想で、完備局所整域には必ず小さいCM加群がある、という主張です。2次元以下と、標数 $p$ の次数付き3次元の場合などが知られていました。
今回の結果: OpenAIのモデルが書いた論文が、小さいCM加群を1つももたない3次元の完備局所整域を、複素数の上で具体的に作ったと主張しています。論文が正しければ、予想は成り立たないことになります。
確かさ: Leanで照合される主張は、 $\mathbb{C}$ を含み剰余体が $\mathbb{C}$ の3次元の完備正規局所整域が存在する、ということだけです。この主張だけなら $\mathbb{C}[[x,y,z]]$ でも成り立ち、加群がないことは含まれていません。論文は査読前のプレプリントです。

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A Complete Local Domain without a Small Cohen–Macaulay Module

OpenAI　2026年9月23日付　プレプリント（査読前）　17ページ　PDF 0.4MB

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PDFは2026年10月12日にGitHubから取得した版のコピーで、Apache License 2.0（全文）に従って掲載しています。修正版が出た場合は、GitHubのほうが新しくなります。

定義・命題の下の「証明」は、開くとステップが並びます。もう少し詳しくは大学1〜2年程度の数学の補足、専門的な話は論文の中身に踏み込む補足です。どちらも開かずに読み進められます。

「よい加群は必ずある」という予想に反例

2026年10月6日、OpenAIは未公開の社内モデルが書いた数学の論文をGitHubのリポジトリ openai/math で公開しました^[1]。その195番が、この記事で読む「A Complete Local Domain without a Small Cohen–Macaulay Module」です^[2]。

可換環論では、コーエン・マコーレー（CM）という性質をもつ環がとても扱いやすいことが知られています。環がCMでないときも、深さが環の次元に等しい有限生成加群（小さいCM加群）があれば代わりに使えます。ホックスターは1970年代初めに、完備局所整域には必ず小さいCM加群があると予想しました。論文は、それをもたない3次元の環を作りました。

以下では、正則列と深さ、CM加群の具体例から始めて、予想の主張とこれまでに分かっていたこと、反例の作り方を順に見ます。作り方には、平面の4点と6本の直線という具体的な図形が出てきます。

この論文は、10月7日付の修正・取り下げには含まれていません。リポジトリの更新は修正と取り下げの記録にまとめています。

正則列と深さ

局所環 $(R,\mathfrak{m})$ と、有限生成の $R$ 加群 $M$ を考えます。代表例は、べき級数環 $\mathbb{C}[[x_1,\dots,x_n]]$ と、それを多項式のイデアルで割った環です。これらは「原点のごく近く」だけを見る環で、完備局所環と呼ばれます。

定義1 正則列と深さ [3, §16, p.148, p.157]

$\mathfrak{m}$ の元の列 $x_1,\dots,x_r$ が $M$ 正則列であるとは、各 $i$ について $x_i$ を掛ける写像が $M/(x_1,\dots,x_{i-1})M$ の上で単射で、 $M/(x_1,\dots,x_r)M\ne0$ となることをいう。 $M$ 正則列の長さの最大値を $M$ の深さといい、 $\operatorname{depth}M$ と書く。

深さは次元を超えません。 $\operatorname{depth}M\le\dim M$ です[3, 定理17.2, p.161]。等号が成り立つ加群は扱いやすく、次の名前で呼ばれます。

定義2 コーエン・マコーレー加群 [3, §17, p.161]

$M\ne0$ で $\operatorname{depth}M=\dim M$ のとき、 $M$ をコーエン・マコーレー加群（CM加群）という。 $R$ 自身がCM加群のとき $R$ をCM環という。 $\operatorname{depth}M=\dim R$ となる有限生成の $M\ne0$ を、 $R$ の小さいCM加群（極大CM加群）という。

「小さい」は有限生成という意味で、有限生成でないものまで許した「大きいCM加群」と区別するための言葉です。たとえば $\mathbb{C}[[x,y]]$ では $x,y$ が正則列で、深さと次元はどちらも $2$ なのでCM環です。CM環なら、環そのものが小さいCM加群です。

CMでない例は、2次元ですでに現れます。

例3 CMでない2次元の局所整域

$R=\mathbb{C}[[s^4,\ s^3t,\ st^3,\ t^4]]$ は2次元の局所整域で、 $\operatorname{depth}R=1$ である。とくに $R$ はCM環でない。

証明

$R$ は $\mathbb{C}[[s^4,t^4]]$ の上で有限なので2次元である。整域なので、 $x=s^4$ は非零因子で、 $\operatorname{depth}R\ge1$ 。
$R$ の単項式 $s^at^b$ の指数は、 $(4,0),(3,1),(1,3),(0,4)$ の和で書けるものである。4次では $s^2t^2$ だけが作れない（図1）。
$u=(s^3t)^2=s^6t^2$ とおく。 $u/s^4=s^2t^2\notin R$ なので $u\notin s^4R$ 。
一方、生成元のどれを $u$ に掛けても $s^4R$ に入る。たとえば $t^4u=s^4\cdot(st^3)^2$ 、 $s^3t\cdot u=s^4\cdot s^5t^3$ 、 $st^3\cdot u=s^4\cdot s^3t^5$ で、 $s^5t^3,\ s^3t^5$ は $R$ に入る。
よって $R/s^4R$ の $0$ でない元 $u$ を、 $\mathfrak{m}$ のどの元も $0$ にする。 $R/s^4R$ には長さ $1$ の正則列もとれない。極大な正則列の長さはどれも等しく、 $\operatorname{depth}R=1+\operatorname{depth}R/s^4R=1<2=\dim R$ 。

s

の指数

t

の指数

次数

4

次数

8

s^2t^2

だけが抜けている

図1具体例例3の環に入る単項式

s^at^b

の指数

(a,b)

を、次数

0,4,8

について描いた図です。青は

R

に入るもの、橙の白丸は入らないものです。次数4の

s^2t^2

だけが抜けていて、この穴が深さを

1

に下げています。点が入るかどうかは、記事の生成のときに数え上げで確かめています。

穴をふさいだ $V=\mathbb{C}[[s^4,s^3t,s^2t^2,st^3,t^4]]$ は、 $R$ の正規化（整閉包）です。 $(s^2t^2)^2=s^4\cdot t^4\in R$ なので $s^2t^2$ は $R$ 上整で、 $V=R+R\,s^2t^2$ は有限生成の $R$ 加群です。 $V$ は2次元の正規環なのでCMで[3, 問題17.3, p.168]、 $R$ 加群としても深さ $2$ をもちます。つまり $V$ は $R$ の小さいCM加群です。環 $R$ はCMでなくても、深さが環の次元に等しい加群ならあるわけです。

小さいCM加群予想

次元が $2$ 以下の完備局所整域では、いつもこの方法で小さいCM加群が見つかります。1次元なら整域そのものがCMで、2次元なら正規化がCMだからです[4, §2][5, p.14]。ホックスターは、これがどの次元でも成り立つと予想しました。

予想4 ホックスター, 1970年代初め [4, Conjecture 2.1]

完備局所整域には、小さいコーエン・マコーレー加群がある。

この予想が注目されたのは、正しければほかの多くの予想が従うからです。たとえば、セールの正値性予想は、小さいCM加群があれば従います[4, §4][5, p.14]。有限生成でない「大きいCM加群」からも多くの予想が従いますが、セールの予想は導けていません。ホックスターは「だから小さいCM加群のほうがよい」と書いています[4, §2]。

一方でホックスター自身は、2004年の講義録で、優秀な局所環についての版を「一般には偽だろう。ただし標数 $p$ では成り立つ見込みがある」と述べています[6, p.3]。2017年の概説では、2000年代に立てた反対の予想（反例がある）も並べて、「どちらかは必ず正しい」と書いています[4, Conjecture 2.2]。

もう少し詳しく「完備」と「整域」が付いている理由

完備でない局所環には、もともと小さいCM加群をもてない例があります（ネーター環なのに鎖の長さがそろわない「カテナリーでない」環）。ロバーツは、それは病的な例で、多くの予想は完備な場合に帰着できると書いています[5, p.14]。

整域でない完備局所環 $R$ では、次元が最大の極小素イデアル $P$ で割った $R/P$ は完備局所整域で、 $R/P$ の小さいCM加群は $R$ の小さいCM加群にもなります。だから整域の場合が核心です。論文の主定理はこの「整域の形」を否定しています[2, §1]。

これまでに分かっていたこと

ここでは、ホックスターの2017年の概説、ロバーツの概説、バット・ホックスター・マの論文、今回の論文の序論をもとにまとめます^[4,5,7,2]。

2次元以下：上で見たとおり、正規化が小さいCM加群になります。
標数 $p$ の次数付き3次元：ハーツホーン、ペスキーヌとスピロ、ホックスターによる、フロベニウス写像を使う結果です。いまの形は、次数0の部分が完全体である3次元の等次元な次数付き環には次数付きの小さいCM加群がある、というホックスターとヤオの定理5.2です[8, Theorem 5.2]。
そのほかの特別な場合： $p$ 乗根を足した拡大（カッツ、1999年）、標数 $p$ の弱F分裂な3次元環（ショウテンス、2017年）、変形を使う場合（下元・タヴァンファル、2023年）などがあります[5, p.14]^[9]。ホックスターは2017年に「40年間あまり進展がない」と書いています[4, §2]。
大きいCM加群・代数：有限生成を求めなければ、存在が分かっています。等標数はホックスター（1975年）、標数 $p$ では絶対整閉包 $R^+$ がCMになること（ホックスター・ヒューニッケ、1992年）、混標数はアンドレ（2018年）とバットの仕事です^[10]^[11]。
反対側の兆候：バットは2014年に、有限なCM拡大環（小さいCM代数）をもたない標数 $p$ の完備局所環を作りました。ただし代数の話で、加群の存在は否定していません^[12]。

バット、ホックスター、マは2026年8月の版で、「代数閉体の上の3次元アフィン整域の極大イデアルでの局所化でさえ、標数 $0$ でも標数 $p$ でも存在は分かっていない」と書いています[7, §1.3]。今回の論文の系7.1の環は、ちょうどこの形をしています。

今回の論文の直前の2026年9月には、関連するプレプリントが2本出ていました。アンゲルは、 $\mathbb{C}$ の上の3次元の次数付き整域で、次数付きの小さいCM加群をもたないものを作りました^[13]。チェンは、 $K_X\equiv4H$ などの条件のもとで完備化した錐についての障害を主張し、それを仮定して完備局所環の反例も提案していました^[14]。今回の論文によれば、アンゲルの不等式（ $K_X^2-2c_2>3H^2$ ）のほうが鋭いものの、アンゲルは次数を仮定しない加群がないことまでは主張していません。チェンとは、完備局所環の反例の存在という主張が重なります[2, §1]。なお論文の脚注によれば、アンゲルの2本（もう1本はウルリッヒ加群の存在問題の反例）はChatGPTとClaude、チェンはChatGPTの助けを得たことを明記しています[2, §1 脚注1]。

曲面の上の錐

反例の環は、複素射影曲面 $X$ と、その上の豊富な直線束 $\mathcal{O}_X(H)$ から作ります。各 $j$ について $jH$ の大域切断を集めた次数付き環

T(X,H)=\bigoplus_{j\ge0}H^0\bigl(X,\mathcal{O}_X(jH)\bigr)

\begin{aligned}T(X,H) &= \bigoplus_{j\ge0}H^0\bigl(X,\mathcal{O}_X(jH)\bigr)\end{aligned}

を作り、次数が正の部分が生成する極大イデアルで完備化したものを $R(X,H)$ とします[2, §1]。図形でいえば、 $H$ が十分に豊富なら $X$ を射影空間に埋め込んで、その上に頂点をもつ錐（ $X$ の各点と頂点を結ぶ直線を集めたもの）を作り、頂点のごく近くを見た環にあたります。

例5 いちばん簡単な錐

(1)　 $X=\mathbb{P}^2$ 、 $H$ を直線とすると、 $T(X,H)=\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2]$ で、 $R(X,H)=\mathbb{C}[[x_0,x_1,x_2]]$ である。

(2)　 $X=\mathbb{P}^1$ 、 $H$ を2点とすると、 $T(X,H)=\mathbb{C}[x^2,xy,y^2]\cong\mathbb{C}[a,b,c]/(ac-b^2)$ で、これは錐面 $ac=b^2$ の環である。

どちらも環そのものがCMなので、小さいCM加群があります。論文は、曲面 $X$ の数の性質から、小さいCM加群がないことを導く不等式を示しました。

定理6 OpenAI, 2026 [2, Theorem 1.2]

$X$ を $\mathbb{C}$ 上の滑らかで既約な射影曲面、 $H$ を豊富で大域切断で生成される因子とする。 $R(X,H)$ に小さいCM加群があれば、次が成り立つ。

K_X^2-2c_2(X)\le6H^2

\begin{aligned}K_X^2-2c_2(X) &\le 6H^2\end{aligned}

$c_2(X)$ は $X$ を実4次元の図形とみたときのオイラー標数、 $K_X$ は標準因子、 $K_X^2$ と $H^2$ は自己交点数です。たとえば $X=\mathbb{P}^2$ と直線 $H$ では $K_X^2=9$ 、 $c_2=3$ 、 $H^2=1$ で、 $9-6=3\le6$ となり、不等式は成り立っています。

証明のあらすじは次のとおりです[2, §1, §2–5]。

1
小さいCM加群は自由加群になる
3つの切断で有限写像 $f\colon X\to\mathbb{P}^2$ を作ると、 $R$ は正則局所環 $A=\mathbb{C}[[x_0,x_1,x_2]]$ の上で有限になる。小さいCM加群 $M$ は $A$ 上でも深さ $3$ なので、アウスランダー・バックスバウムの公式で $A$ 上の自由加群 $A^N$ になる[3, 定理19.1, p.187]。
2
曲面の上の層に移す
頂点を除いたところで $M$ はベクトル束になる。頂点を曲面 $X$ に置き換えた正則なモデル（直線束 $\mathcal{O}_X(-H)$ の全空間を完備化したもの）まで延ばし、例外曲面 $X$ に制限して、 $X$ の上の層 $P$ を得る。 $P$ のハーダー・ナラシムハン因子の傾きの幅が $1$ 以下になるように調整する（ $P$ が半安定になる必要はない）。
3
下からの評価
$M$ が $A$ 上自由であることを $\mathbb{P}^2$ に押し出すと、 $f_*P$ のチャーン類から作ったある「分散」が $0$ 以上になる。
4
上からの評価
ボゴモロフの不等式、ホッジの指数定理、リーマン・ロッホの定理から、同じ分散が $\frac12-\frac{K_X^2-2c_2(X)}{12H^2}$ 以下になる。2つを合わせると定理の不等式が出る。

専門的な話次数付きの加群との違い

次数付きの加群なら、錐の上のCM加群は $X$ の上の「中間のコホモロジーが消えるベクトル束」に対応し、曲面の議論に直接持ち込めます。アンゲルの結果はこの形で、 $K_X^2-2c_2(X)>3H^2$ なら次数付きの加群がないことを示しています。完備化した環の上の加群は次数をもつとは限らないので、論文は加群を次数付きに戻さず、頂点を除いたところのベクトル束をブローアップの上に延ばして、例外曲面の上で比べています。その代わりに不等式の右辺が $6H^2$ になっています[2, §1]。

ボゴモロフの不等式は標数 $p$ では一般に成り立ちません。アンゲルは自分の証明について、これが標数 $p$ で使えない唯一の部分だと書いています[13, p.2]。今回の論文も補題5.1でボゴモロフの不等式を使うので、同じ理由でこの方法は標数 $0$ に限られると考えられます。

平面の4点と6本の直線から曲面を作る

あとは、 $K_X^2-2c_2(X)$ が $6H^2$ より大きい曲面を作れば反例になります。論文は、ヒルツェブルフが直線の配置から曲面を作った方法を使います[2, §6]^[15]。

出発点は、平面 $\mathbb{P}^2$ の4点 $p_1,\dots,p_4$ （どの3点も一直線に並ばない）と、それらを2点ずつ結ぶ6本の直線です。端点を共有しない2本（たとえば $p_1p_2$ と $p_3p_4$ ）は「向かい合う」組で、3組あります。

p_1

p_2

p_3

p_4

図2具体例4点

p_1,\dots,p_4

（橙）と、2点ずつを結ぶ6本の直線（青）です。向かい合う2本は、4点以外の1点で交わります（白丸、3つ）。この図では

p_4

を三角形

p_1p_2p_3

の内側にとったので、白丸がすべて三角形の辺の上に来ています。座標から交点を計算して描いています。

4点でブローアップした曲面 $B$ の上では、6本の直線と、4点を置き換えた4本の例外曲線の、合わせて10本の曲線が、15個の点で2本ずつ交わります。各例外曲線は、その点を通る3本の直線と1回ずつ交わります（12点）。端点を共有する2本の直線は、ブローアップすると交わらなくなり、向かい合う3組はそれぞれ別々の1点で交わります（3点）。この交わり方をグラフに描くと、有名なピーターセングラフになります。

e_1

L_{13}

L_{12}

L_{34}

e_2

L_{24}

L_{23}

e_3

L_{14}

e_4

図3概念図10本の曲線を頂点、15個の交点を辺としたグラフです。

e_i

は点

p_i

の例外曲線、

L_{ij}

は

p_i

と

p_j

を結ぶ直線です。どの頂点からも3本の辺が出ています。

e_i

を

\{i,5\}

、

L_{ij}

を

\{1,2,3,4\}

から

i,j

を除いた2元集合に対応させると、「交わる」が「共通の元がない」になり、ピーターセングラフと一致します。この対応は記事の生成のときに確かめています。

次に、6本の直線の式 $l_1,\dots,l_6$ の比の $n$ 乗根を5つ足します。

y_a^n=\frac{l_a}{l_6}\qquad(a=1,\dots,5)

\begin{gathered}y_a^n=\frac{l_a}{l_6}\\(a=1,\dots,5)\end{gathered}

\begin{aligned}y_a^n &= \frac{l_a}{l_6}\\[4pt]&(a=1,\dots,5)\end{aligned}

この5つを足した関数体で $B$ を正規化した曲面 $X$ は、 $B$ の上の次数 $d=n^5$ の被覆で、10本の曲線に沿ってだけ分岐します。 $n$ を3以上の素数とすると $X$ は滑らかです[2, Lemma 6.2]。 $X$ の数は次のように数えられます。

命題7 被覆曲面の数 [2, Proposition 6.1, (13)–(17)]

$n$ を3以上の素数、 $d=n^5$ とすると、次が成り立つ。

\begin{aligned} K_X^2&=5d\Bigl(1-\frac2n\Bigr)^2\qquad c_2(X)=d\Bigl(2-\frac{10}{n}+\frac{15}{n^2}\Bigr)\\ K_X^2-2c_2(X)&=n^3(n^2-10)\qquad H^2=5n^3\end{aligned}

ここで $H$ は $nH\sim\pi^*(-K_B)$ となる因子で、豊富で大域切断で生成される。

証明

$c_2(X)$ は位相的なオイラー標数で、図形を分けて足し合わせて数えられる。 $B$ のオイラー標数は $\mathbb{P}^2$ の $3$ に、ブローアップした4点の分 $4$ を足して $7$ である。
1. 1点のブローアップは、点（オイラー標数 $1$ ）を直線 $\mathbb{P}^1$ （オイラー標数 $2$ ）に置き換えるので、オイラー標数を $1$ 増やす。
10本の曲線はどれも $\mathbb{P}^1$ （オイラー標数 $2$ ）で、それぞれ3つの交点をもつ。交点を除いた部分は $10(2-3)=-10$ 、交点は $15$ 個なので、曲線の外は $7-(-10)-15=2$ 。
被覆 $X\to B$ は、曲線の外では $d$ 対1、交点以外の曲線の上では $d/n$ 対1、交点の上では $d/n^2$ 対1である。よって $c_2(X)=2d-10d/n+15d/n^2$ 。
分岐指数が $n$ なので $K_X=\pi^*\bigl(K_B+(1-1/n)\Delta\bigr)$ （ $\Delta$ は10本の曲線の和）。4点を通る直線を足し合わせると $\Delta\sim-2K_B$ なので、 $K_X\sim_{\mathbb{Q}}(1-2/n)\,\pi^*(-K_B)$ となる。 $K_B^2=5$ なので $K_X^2=5d(1-2/n)^2$ 。同じく $H^2=5d/n^2=5n^3$ 。
引き算すると $K_X^2-2c_2(X)=d\bigl(5-20/n+20/n^2-4+20/n-30/n^2\bigr)=d(1-10/n^2)=n^3(n^2-10)$ 。

定理の不等式 $K_X^2-2c_2(X)\le6H^2$ は、 $n^3(n^2-10)\le30n^3$ 、つまり $n^2\le40$ と同じです。素数 $n=3,5$ ではこれが成り立ち、 $n=7$ で初めて破れます。

n=3

-1/30

n=5

15/30

n=7

39/30

n=11

111/30

ここを超えると小さいCM加群がない

図4具体例被覆の次数を決める

n

ごとに、比

(K_X^2-2c_2)/(6H^2)=(n^2-10)/30

を並べた図です。

1

を超えると定理6の不等式が破れ、小さいCM加群はありません。

n=7

の値は

39/30=13377/10290

で、初めて

1

を超えます（

n=3

は負なので棒がありません）。値は記事の生成のときに分数で計算して確かめています。

もう少し詳しく

n=5

の曲面

同じ式で $n=5$ とすると $K_X^2=5625=3\cdot1875=3c_2(X)$ になります。滑らかな一般型の曲面では宮岡・ヤウの不等式 $K_X^2\le3c_2(X)$ が成り立つので、 $n=5$ の曲面はその等号を実現しています。それでも $K_X^2-2c_2=1875$ は $6H^2=3750$ に届かず、反例にはなりません。この方法で反例を得るには $H^2$ に比べて $K_X^2-2c_2$ が大きいことが必要で、それは $n$ を大きくすると得られます。

今回の定理

定理8 OpenAI, 2026 [2, Theorem 1.1]

$\mathbb{C}$ を含み剰余体が $\mathbb{C}$ の、3次元の完備ネーター正規局所整域 $R$ で、深さ $3$ の有限生成 $R$ 加群が $0$ しかないものが存在する。

証明

命題7の $n=7$ の曲面と因子 $H$ をとり、 $R=R(X,H)$ とする。 $R$ は3次元の完備ネーター正規局所整域で、剰余体は $\mathbb{C}$ である（論文の§2）。
$H^2=5\cdot7^3=1715$ 、 $K_X^2-2c_2(X)=39\cdot7^3=13377$ で、 $13377>10290=6H^2$ である。
小さいCM加群があれば定理6で $13377\le10290$ となり矛盾する。

論文が正しければ、予想4は成り立たないことになります。完備化する前の環 $T(X,H)$ を頂点で局所化した3次元の局所環も、 $\mathbb{C}$ 上の有限型の環の局所化で、やはり小さいCM加群をもちません（系7.1）[2, Corollary 7.1]。

この反例は、セールの正値性予想などの下流の予想を否定するものではありません。小さいCM加群は、それらを導くための十分条件の1つでした。セールの予想は、OpenAIの別の論文が小さいCM加群を使わずに証明したと主張しています（セールの正値性予想の記事）。また、同じ日付のレックの予想の論文は、この反例を「どの環にも加群があることを前提にする方法は一般には使えない」理由として挙げています[16, §1]。

どこまで確かなのか

論文は2026年9月23日付のプレプリントで、査読はまだです^[2]。
Leanで形式化されているのは、 $\mathbb{C}$ 上の3次元の完備ネーター整閉局所整域で剰余体が $\mathbb{C}$ のものが存在する、という主張だけです（証明の中では論文の環を構成して使っていますが、照合される主張は存在の形です）。小さいCM加群がないこと（定理8の核心）と、有限型の局所化の系は、形式化の範囲に入っていません^[17]。
2026年10月7日付の更新では、この論文は修正も取り下げもされていません^[18]。
アンゲルとチェンの9月のプレプリントと内容が重なる部分があり、論文自身がその関係を説明しています[2, §1]。

この記事の例3の指数の計算、図3のグラフの対応、命題7と図4の数値は、記事の生成のときに計算して確かめています。論文の証明そのものは、筆者は検証していません。

残された問題

標数 $p$ ：反例の鍵になるボゴモロフの不等式は標数 $p$ では一般には成り立たず、次数0の部分が完全体の3次元の次数付き整域なら、標数 $p$ では小さいCM加群が必ずあります。標数 $p$ の完備局所整域についての予想は、未解決のままです[7, §1.3][8, Theorem 5.2]。
混標数：反例は $\mathbb{C}$ を含む環です。混標数の完備局所整域についての予想も、未解決のままです[7, §1.1, §1.3]。
弱い代わり：バット、ホックスター、マの lim コーエン・マコーレー列のように、小さいCM加群の代わりになる対象がどこまで存在するかは、引き続き研究されています^[7]。
独立した検証：ブローアップの上での層の比較と曲面の数の計算を組み合わせた議論で、専門家による確認が待たれます。

OpenAIの数学論文には、同じ可換環論のレックの予想、セールの正値性予想、ガーステン予想の反例の記事もあります。

極大イデアルがただ1つの可換環。極大イデアルに入らない元はすべて単元になる。例：素イデアル $P$ での局所化 $A_P$ （極大イデアルは $a/s$ （ $a\in P$ ）の全体）、 $k[x]/(x^2)$ 、 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 。

環 $A$ の上の加群（ $A$ 加群）とは、足し算について可換群で、 $A$ の元を掛けられ、分配法則などベクトル空間と同じ規則をみたすもの。体の上の加群はベクトル空間で、 $A$ のイデアルも $A$ 加群。

環 $A$ の元の列 $x_1,\dots,x_r$ で、各 $x_i$ が $A/(x_1,\dots,x_{i-1})$ の非零因子であり、 $A/(x_1,\dots,x_r)\neq0$ となるもの。例： $k[x,y]$ の $x^2,\ y^3$ 。 $k[x,y]/(x^2,xy)$ の $y$ は $xy=0$ なので正則列でない。

0 でない元どうしの積が0にならない可換環（ $ab=0$ なら $a=0$ または $b=0$ ）。例： $\mathbb{Z}$ 、体上の多項式環。 $A/P$ が整域であることと、 $P$ が素イデアルであることは同値。

体 $k$ で $1+1+\dots+1$ （ $p$ 個） $=0$ となる最小の正の整数 $p$ 。そのような $p$ がなければ標数0と言う。標数は0か素数で、 $\mathbb{F}_p$ の標数は $p$ 、 $\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ の標数は0。体でない環でも同じように定める（ $\mathbb{Z}$ の標数は0、 $\mathbb{Z}/6$ の標数は6）。0か素数になるのは体や整域の場合。

環 $A$ の元 $x$ で、 $xy=0$ なら $y=0$ となるもの。整域では0でない元はすべて非零因子。例： $k[x,y]/(xy)$ の $x+y$ は非零因子だが、 $x$ は $x\cdot y=0$ なので非零因子でない。

整域 $A$ が整閉とは、商体の元 $x$ が $A$ 係数の最高次の係数1の多項式の根になるなら $x\in A$ となること。例： $\mathbb{Z}$ や $k[t]$ は整閉。 $k[t^2,t^3]$ は、 $t$ が $x^2-t^2$ の根なのに $t$ を含まないので整閉でない。

すべてのイデアルが有限個の元で生成される可換環。イデアルの増大列 $J_1\subseteq J_2\subseteq\cdots$ が必ずどこかで止まる、と言っても同じ。

イデアル $J$ を含む素イデアルのうち、包含について極小なもの。 $V(J)$ の既約成分の生成点に当たる。ネーター環では有限個しかない。

定数でない1変数多項式が、必ずその体の中に根をもつ体。例： $\mathbb{C}$ 。 $\mathbb{R}$ は代数閉体ではない（ $x^2+1$ に根がない）。代数閉体は必ず無限体である。

局所環 $A$ とその極大イデアル $M$ について、 $A/M^n$ （ $n=1,2,\dots$ ）の極限としてできる環 $\hat A$ 。点のごく近くだけを見ることに当たる。例： $k[x,y]_{(x,y)}$ の完備化は形式的べき級数環 $k[[x,y]]$ 。

各点の上に1次元のファイバー（直線）が乗り、局所的には直積 $U\times\mathbb{A}^1$ の形をした空間。その切断の層が可逆層（局所的に $\mathcal{O}_X$ と同型な $\mathcal{O}_X$ 加群）で、2つはよく同じものとして扱われる。連載第11回で扱う。

多様体 $X$ の上の有理関数（空でない開集合の上の正則関数を、重なりで一致するものどうし同じとみなしたもの）全体の体 $k(X)$ 。アフィン多様体なら座標環の商体に等しい。例： $k(\mathbb{A}^1)=k(t)$ 。

参考文献

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