OpenAIのAIが証明した「逆ゴールドバッハ予想」：素数は2つの集合の和に分けられない

素数は足し算で分解できない

2026年10月6日、OpenAIは未公開の社内モデルが書いた数学の論文をGitHubのリポジトリ openai/math で公開しました^[1]。その013番が、この記事で読む「The additive indecomposability of the primes」（素数の加法的な分解不可能性）です^[2]。

主張は、素数の集合を「2つの集合（どちらも2個以上の数を含む）の要素どうしの和の全体」として書くことはできない、というものです。問題の形は中学生でも分かりますが、1956年に予想されてから70年、解かれていませんでした。

この記事では、まず問題を正確に述べ、自分で試すとどこでうまくいかなくなるかを図で確かめます。そのうえで、初等的に示せる部分を証明し、論文の証明の骨組みを紹介します。

この論文は、10月7日付の修正・取り下げには含まれていません。リポジトリの更新は修正と取り下げの記録にまとめています。

和の集合

この記事では、$0$ 以上の整数の全体を $\mathbb{N}_0=\{0,1,2,\dots\}$、素数の全体を $\mathcal{P}=\{2,3,5,7,11,\dots\}$ と書きます。

集合の「和集合」$A\cup B$ とは別のものです。$A\cup B$ は $A$ と $B$ を合わせた集合ですが、$A+B$ は要素どうしを足し算した結果の集合です。

(3) から分かるように、$A$ が1つの数だけなら $A+B$ は $B$ をずらしただけです。$A=\{0\}$、$B=\mathcal{P}$ とすれば $A+B=\mathcal{P}$ となり、素数の集合は当たり前に和の集合になります。そこで、$A$ と $B$ はどちらも2個以上の数を含む、という条件をつけて考えます。

ゴールドバッハ予想と、その逆

素数どうしの足し算といえば、ゴールドバッハ予想が有名です。和の集合の言葉で書くと次のようになります。

$4=2+2$、$6=3+3$、$8=3+5$、$100=3+97$ のように確かめられ、$4\times10^{18}$ までの偶数では計算で確認されています^[3]。それでも証明はなく、未解決です。

ゴールドバッハ予想は「素数の和の集合はどうなっているか」という問いです。その逆に、「素数の集合そのものが、何かの和の集合になっているか」と問うことができます。これが逆ゴールドバッハ問題です。

素数の集合とぴったり等しい和の集合を探すと、$2$ や $3$ のような小さい素数の扱いに振り回されます。そこで、小さいところの有限個の違いは気にしないことにします。

有限集合には最大の数があるので、これは「ある $N$ があって、$N$ より大きい数については $X$ に入ることと $Y$ に入ることが同じ」と言い換えられます。

$A+B$ と $\mathcal{P}$ が有限個の違いを除いて等しいとは、次の2つがどちらも成り立つことです。

• 取りこぼさない：十分大きな素数は、すべて $A+B$ に入る。
• はみ出さない：十分大きな $A+B$ の数は、すべて素数である。

この予想はオストマンの1956年の本にさかのぼります。有限個の違いを除いて等しいという今の形と用語は、エルスホルツとハーパーが明示しました[2, §1]。素数の集合は（有限個の違いを除いて）足し算で2つに分解できない、という主張です。

試してみる

$A=\{0,2\}$ として、$B$ をうまく選べるか試してみます。すぐに思いつくのは次の2通りです。

• $B$ を $3$ 以上の素数の全体にする：$A+B$ は $3$ 以上のすべての素数を含みます。しかし $7+2=9$ のように、素数 $p$ に対して $p+2$ が合成数になるものが混ざります。
• $B$ を双子素数の小さいほうにする：$b$ と $b+2$ がともに素数になる $b$（$3,5,11,17,29,\dots$）だけを集めます。今度は $A+B$ が素数だけになりますが、$23$ のように双子素数に入らない素数を取りこぼします。

はみ出しをなくそうとして $B$ を減らすと取りこぼしが増え、取りこぼしをなくそうとして $B$ を増やすとはみ出しが出ます。オストマンの予想は、$A$ と $B$ をどう選んでも、この綱引きが無限に多くの数で必ず破綻することを主張しています。

素数で割った余りで見る

はみ出さない条件だけから、$A$ と $B$ の形にかなり強い制限がつきます。論文の議論の出発点になる観察です[2, §2.3]。

図1の2つめの試し方（$B$ が双子素数の小さいほう）は、はみ出しがないので、この命題が当てはまります。下の図で $p$ を変えて確かめられます。

$b$ と $b+2$ がともに $p$ より大きい素数なら、どちらも $p$ で割り切れないので、$b\not\equiv0$ かつ $b\not\equiv-2\pmod p$ です。これは $-b\not\equiv0,2$ と同じで、図の結果と合っています。

$p=2$ の場合を見ると、偶数と奇数の話になります。

命題6は、どの素数 $p$ でも、$p$ 個の余りを「$A$ が使う余り」と「$-B$ が使う余り」に分け合うことを言っています。片方が多くの余りを使えば、もう片方は少ない余りしか使えません。$A$ と $B$ は、すべての素数で同時にこの制限を受けます。

一方、取りこぼさない条件からは、$A$ と $B$ はある程度たくさんの数を含まなければなりません。$x$ 以下の大きな素数はどれも $x$ 以下の $a$ と $b$ の和なので、$x$ 以下の $A,B$ の数の個数を $A(x),B(x)$ と書くと、次が成り立ちます。

多くの余りを避けながら、それでも個数は多い。この2つの要求の衝突が、問題の核心です。エルスホルツは、仮にそのような $A,B$ があれば、$A(x)$ と $B(x)$ はどちらも $\sqrt{x}$ に近い大きさになることを示していました[2, Lemma 2.4]。

片方が有限集合の場合

図1の試し方は $A=\{0,2\}$ のように $A$ が有限集合でした。この場合は、篩法（ふるいの方法）の古典的な評価を使って、うまくいかないことを証明できます。もとはラファーとマンの結果で、論文はそれに短い証明をつけています[2, Lemma 2.2]。

$j=2$、$h_1=0$、$h_2=2$ とすると、$Y$ 以下の双子素数の組の個数が $Y/(\log Y)^2$ の定数倍以下だという、篩法の古典的な評価になります。論文はこの補題を大きな篩の不等式から証明しています。この記事では証明を省きます。

図1の双子素数の試し方で、この数え方を実際の数で確かめます。$B$ の個数（双子素数の組の数）は、素数の個数よりもゆっくりしか増えません。

比はおよそ $1/\log Y$ と同じ速さで小さくなります。$|A|=2$ 倍しても、取りこぼす素数の割合は $Y$ とともに $1$ に近づいていきます。

命題9によって、問題は $A$ と $B$ がどちらも無限集合の場合に絞られます。こちらが本当に難しい場合で、論文の残りの約70ページがこれに充てられています。

今回の定理

$(A+B)\mathbin{\triangle}\mathcal{P}$ が無限集合だということは、$A+B$ が素数を無限個取りこぼすか、合成数を無限個含むか（または両方）だということです。論文の序文は、次の2点も述べています。

• 十分大きな素数をすべて含むなら、合成数を無限個含む。取りこぼしをなくすと、はみ出しは必ず無限に起きます。
• 割合の条件に弱めていない。取りこぼしとはみ出しのどちらも、例外が有限個しかないという条件のまま扱っています。裏を返すと、割合が $0$ に近づくような無限個の例外を許す「ほぼ分解」までは、この定理は否定していません。

証明は命題9で両方が無限集合の場合に帰着し、次の定理を示します。

証明の考え方

論文は80ページあり、証明はこの記事では再現しません。論文の序文に沿って骨組みだけを紹介します[2, §1]。定理11の $A,B$ があると仮定し、$D=-B$ とおいて矛盾を導きます。

1. 1
   余りを2つに分ける

   各素数 $p$ で、大きな $a$ の余りと大きな $d\in D$ の余りは重ならない（命題6）。これを広げて、余りの全体を $A$ 側の $S_p$ と $D$ 側の補集合に分ける。

2. 2
   ほぼ半分ずつ、ほぼ均等に

   衝突の数の評価から、素数について平均すると、$S_p$ は余りのほぼ半分で、$A$ と $D$ はそれぞれの側にほぼ均等に散らばることを示す（第2節）。

3. 3
   乗法的な指標と相関しない

   平方剰余の記号のような乗法的な指標をずらしたものと、$S_p$ が相関し続けることはないと示す。2次の指標（第3節）と、それより高い次数の指標（第4節）を別々に扱う。

4. 4
   素数をすべて含むことを使う

   取りこぼさない条件を、余りの集合のフーリエ変換についての評価に変える（第5節）。

5. 5
   正の量を作って矛盾させる

   正の統計量を作り（第7節）、二分木についての有限体の上の比較（第6節）と算術的な比較（第8節）で評価する。並べ方を平均した上からの評価が、統計量の下からの評価と両立しないことを示す（第9節）。

1と2の段階は直観的に理解できます。余りのほぼ半分だけを使う集合の例は、平方数です。奇素数 $p$ で割った平方数の余りは、$0$ を含めて $(p+1)/2$ 種類しかありません。しかも平方数は $x$ 以下に約 $\sqrt{x}$ 個あり、エルスホルツの評価の大きさとも合います。

そのため、仮に分解できるなら $A$ と $B$ は平方数のような2次式の構造をもつはずだ、という見方がありました。グリーンとハーパーは、大きな篩についての逆向きの予想（そうした集合は2次式で記述できる）が正しければオストマンの予想が従うことを示していました[2, §1]。今回の証明は、その一般的な分類を経由せずに、すべての素数での余りの制限と、十分大きな素数をすべて含む条件を直接ぶつけて矛盾を出しています。

これまでの研究

論文の序文によると、仮に分解があったときの $A,B$ への制限は、次のように強められてきました[2, §1]。

• ラファーとマン：$A$ と $B$ はどちらも無限集合でなければならない（この記事の命題9）。
• ホルンフェック：最初期の制限。続いてポメランス・シャールケジ・スチュワート、ホフマン・ヴォルケ、エルスホルツが篩法による制限を与えた。
• エルスホルツ：$A(x),B(x)$ はどちらも $\sqrt x$ の大きさ（対数の累乗の違いを除く）でなければならない。また、3つの集合の和 $A+B+C$（どれも2個以上の数を含む）には分解できない。
• エルスホルツとハーパー：正の整数での定式化で、評価を $\sqrt x/(\log x\log\log x)$ 以上、$\sqrt x\log\log x$ 以下（どちらも定数倍を除く）まで精密にした。
• グリーンとハーパー：大きな篩の逆向きの予想が正しければ、オストマンの予想が従う。
• クルート・マオ・ポホアタ・イップ：各 $N$ で、$A$ と $B$ はどちらも $[1,N]$ の中で、ある2次式の像（$m\pm$ 平方数の形の数）と共通の要素を一定以上もつ必要がある。その個数は $N$ とともに限りなく増えるが、$\sqrt N$ よりずっと少ない。また、2次式は $N$ ごとに変わってよい。2次式の像にほとんど含まれるというグリーンとハーパーの筋道に必要な強さには届いていなかった。