この記事の要点
準リーマン予想 リーマンのゼータ関数 ζ ( s ) \zeta(s) ζ ( s ) 零点は、実部が 1 1 1 真に小さいある値 σ 0 \sigma_0 σ 0 ところにしかない、という予想です。リーマン予想（非自明な零点の実部はすべて 1 / 2 1/2 1/2 大きくゆるめたものですが、これまで証明されていませんでした。 今回の結果 OpenAIのモデルが書いた論文が、ζ ( s ) \zeta(s) ζ ( s ) すべてのディリクレの L L L 実部が 7 / 8 7/8 7/8 大きいところに零点をもたない、と証明しました。準リーマン予想が σ 0 = 7 / 8 \sigma_0=7/8 σ 0 = 7/8 成り立つことになります。 リーマン予想は 未解決のままです。今回の定理が言うのは「非自明な零点の実部は 1 / 8 1/8 1/8 7 / 8 7/8 7/8 1 / 2 1/2 1/2 直線の上にあることは言っていません。
確かさ 主定理はLeanで形式化され、リポジトリの照合の対象になっています。論文は査読前のプレプリントです。
定義・命題の下の「証明」は、開くとステップが並びます。もう少し詳しく は大学1〜2年程度の数学の補足、専門的な話 は論文の中身に踏み込む補足です。どちらも開かずに読み進められます。
ゼータ関数の零点についての予想が証明された
2026年10月6日、OpenAIは未公開の社内モデルが書いた数学の論文をGitHubのリポジトリ openai/math で公開しました[1 ] 。その003番が、この記事で読む「The Quasi-Riemann Hypothesis」です[2 ] 。
主張は「ζ ( s ) \zeta(s) ζ ( s ) 実部が 7 / 8 7/8 7/8 大きいところで 0 0 0 ならない」という一文です。素数の分布を調べるうえで、これは長く手の届かなかった種類の結果です。
リーマン予想という名前は聞いたことがあっても、ゼータ関数の零点が素数とどう関係するのかは分かりにくいと思います。そこでこの記事では、ゼータ関数の定義から始めて、零点がどこにあるか、準リーマン予想が何を言っているか、それが分かると素数について何が言えるかを順に見ます。
リポジトリの説明によると、ほとんどの結果は決まった手順で得られました。未公開の社内モデルを使い、結果1つあたり平均でChatGPT Proの3時間分の計算をかける手順です。ゼータ関数の零点のない領域の仕事は、この手順の例外として挙げられています。また、後で触れる 11 / 12 11/12 11/12 別証明の論文は、人が読みやすく編集したと書かれています[1 ] 。
この論文は、10月7日付の修正・取り下げには含まれていません。リポジトリの更新は修正と取り下げの記録 にまとめています。
ゼータ関数と素数
まず、実数 s > 1 s>1 s > 1 ついて次の無限和を考えます。
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + ⋯ \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^s}=1+\frac1{2^s}+\frac1{3^s}+\cdots ζ ( s ) = n = 1 ∑ ∞ n s 1 = 1 + 2 s 1 + 3 s 1 + ⋯ ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + ⋯ \begin{aligned}\zeta(s) &= \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^s}\\&= 1+\frac1{2^s}+\frac1{3^s}+\cdots\end{aligned} ζ ( s ) = n = 1 ∑ ∞ n s 1 = 1 + 2 s 1 + 3 s 1 + ⋯ s = 1 s=1 s = 1 ときは調和級数 1 + 1 / 2 + 1 / 3 + ⋯ 1+1/2+1/3+\cdots 1 + 1/2 + 1/3 + ⋯ 無限大に発散します。s > 1 s>1 s > 1 収束し、たとえば s = 2 s=2 s = 2 s = 4 s=4 s = 4 次の値になります。
ζ ( 2 ) = π 2 6 = 1.6449 … ζ ( 4 ) = π 4 90 = 1.0823 … \begin{gathered} \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}=1.6449\ldots\\ \zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}=1.0823\ldots \end{gathered} ζ ( 2 ) = 6 π 2 = 1.6449 … ζ ( 4 ) = 90 π 4 = 1.0823 … ζ ( 2 ) = π 2 6 = 1.6449 … ζ ( 4 ) = π 4 90 = 1.0823 … \begin{aligned}\zeta(2) &= \frac{\pi^2}{6}\\&= 1.6449\ldots\\[4pt]\zeta(4) &= \frac{\pi^4}{90}\\&= 1.0823\ldots\end{aligned} ζ ( 2 ) ζ ( 4 ) = 6 π 2 = 1.6449 … = 90 π 4 = 1.0823 … この和が素数と結びつくのは、オイラーが見つけた次の等式によります。左辺はすべての自然数にわたる和、右辺はすべての素数にわたる積です。
定理1 オイラー積 [3 ]
実部が 1 1 1 大きい複素数 s s s ついて、次が成り立つ。右辺の積はすべての素数 p p p 動き、絶対収束する。
∑ n = 1 ∞ 1 n s = ∏ p 1 1 − p − s = 1 1 − 2 − s ⋅ 1 1 − 3 − s ⋯ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^s}&=\prod_{p}\frac1{1-p^{-s}}\\ &=\frac1{1-2^{-s}}\cdot\frac1{1-3^{-s}}\cdots \end{aligned} n = 1 ∑ ∞ n s 1 = p ∏ 1 − p − s 1 = 1 − 2 − s 1 ⋅ 1 − 3 − s 1 ⋯
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる 素数
p p p ごとに、
等比級数の和の公式から次が成り立つ。1 1 − p − s = 1 + 1 p s + 1 p 2 s + ⋯ \frac1{1-p^{-s}}=1+\frac1{p^s}+\frac1{p^{2s}}+\cdots 1 − p − s 1 = 1 + p s 1 + p 2 s 1 + ⋯ 1 1 − p − s = 1 + 1 p s + 1 p 2 s + ⋯ \begin{aligned}\frac1{1-p^{-s}} &= 1+\frac1{p^s}+\frac1{p^{2s}}+\cdots\end{aligned} 1 − p − s 1 = 1 + p s 1 + p 2 s 1 + ⋯ P P P 素数について、この級数を掛け合わせて展開する。素因数分解の一意性から、素因数がすべて P P P 自然数 n n n ついて 1 / n s 1/n^s 1/ n s ちょうど1回ずつ現れる。詳しく 閉じる
たとえば P = 3 P=3 P = 3 展開した項は 1 / ( 2 a 3 b ) s 1/(2^a3^b)^s 1/ ( 2 a 3 b ) s a , b ≥ 0 a,b\ge0 a , b ≥ 0 形である。12 = 2 2 ⋅ 3 12=2^2\cdot3 12 = 2 2 ⋅ 3 a = 2 , b = 1 a=2,b=1 a = 2 , b = 1 項としてちょうど1回現れる。
素因数がすべて P P P 自然数の集合を S P S_P S P 書くと、次のようになる。
∏ p ≤ P 1 1 − p − s = ∑ n ∈ S P 1 n s \prod_{p\le P}\frac1{1-p^{-s}}=\sum_{n\in S_P}\frac1{n^s} p ≤ P ∏ 1 − p − s 1 = n ∈ S P ∑ n s 1 ∏ p ≤ P 1 1 − p − s = ∑ n ∈ S P 1 n s \begin{aligned}\prod_{p\le P}\frac1{1-p^{-s}} &= \sum_{n\in S_P}\frac1{n^s}\end{aligned} p ≤ P ∏ 1 − p − s 1 = n ∈ S P ∑ n s 1 各因子の級数は絶対収束するので、有限個の積を項ごとに展開して並べ替えてよい。
残りの差は P P P 大きい n n n 寄与だけなので、σ = Re s \sigma=\operatorname{Re}s σ = Re s して次のように抑えられる。∣ ∑ n = 1 ∞ 1 n s − ∏ p ≤ P 1 1 − p − s ∣ ≤ ∑ n > P 1 n σ \left|\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^s}-\prod_{p\le P}\frac1{1-p^{-s}}\right|\le\sum_{n>P}\frac1{n^{\sigma}} n = 1 ∑ ∞ n s 1 − p ≤ P ∏ 1 − p − s 1 ≤ n > P ∑ n σ 1 ∣ ∑ n = 1 ∞ 1 n s − ∏ p ≤ P 1 1 − p − s ∣ ≤ ∑ n > P 1 n σ \begin{aligned}\left|\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^s}-\prod_{p\le P}\frac1{1-p^{-s}}\right| &\le \sum_{n>P}\frac1{n^{\sigma}}\end{aligned} n = 1 ∑ ∞ n s 1 − p ≤ P ∏ 1 − p − s 1 ≤ n > P ∑ n σ 1 詳しく 閉じる
素因数がすべて P P P n n n 項は両辺で打ち消し合う。残るのは、P P P 大きい素因数をもつ n n n そのような n n n P P P 大きい。また ∣ n − s ∣ = n − σ |n^{-s}|=n^{-\sigma} ∣ n − s ∣ = n − σ
σ > 1 \sigma>1 σ > 1 なので
右辺は P → ∞ P\to\infty P → ∞ 0 0 0 近づく。よって有限の積は左辺に収束する。積の絶対収束は ∑ p p − σ < ∞ \sum_p p^{-\sigma}<\infty ∑ p p − σ < ∞ 従う。 s = 2 s=2 s = 2 右辺の積を小さい素数から順に掛けていくと、π 2 / 6 = 1.6449 … \pi^2/6=1.6449\ldots π 2 /6 = 1.6449 … 近づいていきます。
4 3 ⋅ 9 8 ⋅ 25 24 ⋅ 49 48 = 1.5951 … ( p ≤ 7 ) ∏ p ≤ 29 1 1 − p − 2 = 1.6331 … ( p ≤ 29 ) \begin{aligned} \frac43\cdot\frac98\cdot\frac{25}{24}\cdot\frac{49}{48}&=1.5951\ldots&&(p\le7)\\ \prod_{p\le29}\frac1{1-p^{-2}}&=1.6331\ldots&&(p\le29)\end{aligned} 3 4 ⋅ 8 9 ⋅ 24 25 ⋅ 48 49 p ≤ 29 ∏ 1 − p − 2 1 = 1.5951 … = 1.6331 … ( p ≤ 7 ) ( p ≤ 29 ) オイラー積から、素数が無限にあることも分かります。素数が有限個なら、s → 1 s\to1 s → 1 右辺は有限の値に近づきますが、左辺は調和級数に近づいて発散するからです。ζ ( s ) \zeta(s) ζ ( s ) 素数の情報がこのように詰まっています。
複素数に広げる
リーマンは1859年の論文で、s s s 複素数にして ζ ( s ) \zeta(s) ζ ( s ) 調べました[4 ] 。この記事では、複素数を s = σ + i t s=\sigma+it s = σ + i t σ , t \sigma,t σ , t 実数）と書き、σ \sigma σ 実部、t t t 虚部（高さ）と呼びます。
n − s = n − σ e − i t log n n^{-s}=n^{-\sigma}e^{-it\log n} n − s = n − σ e − i t l o g n e − i t log n e^{-it\log n} e − i t l o g n 絶対値は 1 1 1 したがって ∣ n − s ∣ = n − σ |n^{-s}|=n^{-\sigma} ∣ n − s ∣ = n − σ なり、定義の級数は σ > 1 \sigma>1 σ > 1 絶対収束します。
定義2 リーマンのゼータ関数
Re s > 1 \operatorname{Re}s>1 Re s > 1 複素数 s s s 対して
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^s} ζ ( s ) = n = 1 ∑ ∞ n s 1 ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s \begin{aligned}\zeta(s) &= \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^s}\end{aligned} ζ ( s ) = n = 1 ∑ ∞ n s 1 と定める。これを複素平面全体に解析接続 したもの（定理3 ）も同じ記号 ζ ( s ) \zeta(s) ζ ( s ) 表し、リーマンのゼータ関数と呼ぶ。
級数そのものは σ ≤ 1 \sigma\le1 σ ≤ 1 収束しません。それでも、σ > 1 \sigma>1 σ > 1 値を滑らかにつなぐ関数がただ1つあります。これを解析接続 といいます。
定理3 解析接続と関数等式 [4 ,3 ]
(1) ζ ( s ) \zeta(s) ζ ( s ) s = 1 s=1 s = 1 除く複素平面全体で正則な関数に接続でき、s = 1 s=1 s = 1 1位の極である。
(2) ξ ( s ) = 1 2 s ( s − 1 ) π − s / 2 Γ ( s / 2 ) ζ ( s ) \xi(s)=\tfrac12s(s-1)\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) ξ ( s ) = 2 1 s ( s − 1 ) π − s /2 Γ ( s /2 ) ζ ( s ) ξ ( s ) \xi(s) ξ ( s ) 複素平面全体で正則で、次をみたす。
ξ ( s ) = ξ ( 1 − s ) \xi(s)=\xi(1-s) ξ ( s ) = ξ ( 1 − s ) ξ ( s ) = ξ ( 1 − s ) \begin{aligned}\xi(s) &= \xi(1-s)\end{aligned} ξ ( s ) = ξ ( 1 − s )
Γ \Gamma Γ ガンマ関数 で、Γ ( s / 2 ) \Gamma(s/2) Γ ( s /2 ) s = 0 , − 2 , − 4 , … s=0,-2,-4,\dots s = 0 , − 2 , − 4 , … 極をもちます。そのため ξ \xi ξ 正則であるためには、ζ ( s ) \zeta(s) ζ ( s ) s = − 2 , − 4 , − 6 , … s=-2,-4,-6,\dots s = − 2 , − 4 , − 6 , … 0 0 0 s = 0 s=0 s = 0 極は ξ \xi ξ 定義の因子 s s s 打ち消されるので、ζ ( 0 ) = − 1 / 2 \zeta(0)=-1/2 ζ ( 0 ) = − 1/2 0 0 0 ありません。これを自明な零点 と呼びます。たとえば接続した関数の値として ζ ( − 1 ) = − 1 / 12 \zeta(-1)=-1/12 ζ ( − 1 ) = − 1/12 ζ ( − 2 ) = 0 \zeta(-2)=0 ζ ( − 2 ) = 0
零点の位置について、まず確実に言えることを確かめます。
命題4 実部が 1 1 1 大きいところに零点はない
σ = Re s > 1 \sigma=\operatorname{Re}s>1 σ = Re s > 1 次が成り立つ。とくに ζ ( s ) ≠ 0 \zeta(s)\ne0 ζ ( s ) = 0
∣ ζ ( s ) ∣ ≥ ζ ( 2 σ ) ζ ( σ ) > 0 |\zeta(s)|\ge\frac{\zeta(2\sigma)}{\zeta(\sigma)}>0 ∣ ζ ( s ) ∣ ≥ ζ ( σ ) ζ ( 2 σ ) > 0 ∣ ζ ( s ) ∣ ≥ ζ ( 2 σ ) ζ ( σ ) > 0 \begin{aligned}|\zeta(s)| &\ge \frac{\zeta(2\sigma)}{\zeta(\sigma)}\\&> 0\end{aligned} ∣ ζ ( s ) ∣ ≥ ζ ( σ ) ζ ( 2 σ ) > 0
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる 素数
p p p ごとに
∣ 1 − p − s ∣ ≤ 1 + ∣ p − s ∣ = 1 + p − σ |1-p^{-s}|\le1+|p^{-s}|=1+p^{-\sigma} ∣1 − p − s ∣ ≤ 1 + ∣ p − s ∣ = 1 + p − σ である
（三角不等式）。 オイラー積
（定理1 ）から、有限の積について次の不等式が成り立つ。∣ ∏ p ≤ P 1 1 − p − s ∣ ≥ ∏ p ≤ P 1 1 + p − σ \left|\prod_{p\le P}\frac1{1-p^{-s}}\right|\ge\prod_{p\le P}\frac1{1+p^{-\sigma}} p ≤ P ∏ 1 − p − s 1 ≥ p ≤ P ∏ 1 + p − σ 1 ∣ ∏ p ≤ P 1 1 − p − s ∣ ≥ ∏ p ≤ P 1 1 + p − σ \begin{aligned}\left|\prod_{p\le P}\frac1{1-p^{-s}}\right| &\ge \prod_{p\le P}\frac1{1+p^{-\sigma}}\end{aligned} p ≤ P ∏ 1 − p − s 1 ≥ p ≤ P ∏ 1 + p − σ 1 右辺の積は ζ ( 2 σ ) / ζ ( σ ) \zeta(2\sigma)/\zeta(\sigma) ζ ( 2 σ ) / ζ ( σ ) 収束する。詳しく 閉じる
1 + x = ( 1 − x 2 ) / ( 1 − x ) 1+x=(1-x^2)/(1-x) 1 + x = ( 1 − x 2 ) / ( 1 − x ) x = p − σ x=p^{-\sigma} x = p − σ 使うと、次のように書き直せる。
∏ p ≤ P 1 1 + p − σ = ∏ p ≤ P 1 − p − σ 1 − p − 2 σ = ∏ p ≤ P ( 1 − p − 2 σ ) − 1 ∏ p ≤ P ( 1 − p − σ ) − 1 \begin{aligned} \prod_{p\le P}\frac1{1+p^{-\sigma}}&=\prod_{p\le P}\frac{1-p^{-\sigma}}{1-p^{-2\sigma}}\\ &=\frac{\prod_{p\le P}(1-p^{-2\sigma})^{-1}}{\prod_{p\le P}(1-p^{-\sigma})^{-1}}\end{aligned} p ≤ P ∏ 1 + p − σ 1 = p ≤ P ∏ 1 − p − 2 σ 1 − p − σ = ∏ p ≤ P ( 1 − p − σ ) − 1 ∏ p ≤ P ( 1 − p − 2 σ ) − 1 分子と分母はオイラー積によって ζ ( 2 σ ) \zeta(2\sigma) ζ ( 2 σ ) ζ ( σ ) \zeta(\sigma) ζ ( σ ) 収束する。
P → ∞ P\to\infty P → ∞ と
すると、左辺は ∣ ζ ( s ) ∣ |\zeta(s)| ∣ ζ ( s ) ∣ 収束するので、∣ ζ ( s ) ∣ ≥ ζ ( 2 σ ) / ζ ( σ ) |\zeta(s)|\ge\zeta(2\sigma)/\zeta(\sigma) ∣ ζ ( s ) ∣ ≥ ζ ( 2 σ ) / ζ ( σ ) 得られる。右辺は正の数どうしの比なので正である。 たとえば σ = 2 \sigma=2 σ = 2 高さ t t t よらず ∣ ζ ( 2 + i t ) ∣ ≥ ζ ( 4 ) / ζ ( 2 ) = π 2 / 15 = 0.658 … |\zeta(2+it)|\ge\zeta(4)/\zeta(2)=\pi^2/15=0.658\ldots ∣ ζ ( 2 + i t ) ∣ ≥ ζ ( 4 ) / ζ ( 2 ) = π 2 /15 = 0.658 …
関数等式から、ρ \rho ρ 零点なら 1 − ρ 1-\rho 1 − ρ 零点です。また ζ ( s ˉ ) = ζ ( s ) ‾ \zeta(\bar s)=\overline{\zeta(s)} ζ ( s ˉ ) = ζ ( s ) 複素共役 ρ ˉ \bar\rho ρ ˉ 零点です。命題4 を左右に折り返すと、σ < 0 \sigma<0 σ < 0 ある零点は自明な零点だけだと分かります。
残りの零点は帯 0 ≤ σ ≤ 1 0\le\sigma\le1 0 ≤ σ ≤ 1 中にあります。この帯を臨界帯 、そこにある零点を非自明な零点 と呼びます。1896年にアダマールとド・ラ・ヴァレ・プーサンは、直線 σ = 1 \sigma=1 σ = 1 上にも零点がないことを示しました[2 , §1] 。折り返すと σ = 0 \sigma=0 σ = 0 上にもないので、非自明な零点は 0 < σ < 1 0<\sigma<1 0 < σ < 1 あります。
1 2 + 14.13 i \tfrac12+14.13\,i 2 1 + 14.13 i 1 2 − 14.13 i \tfrac12-14.13\,i 2 1 − 14.13 i 直線
σ = 1 2 \sigma=\tfrac12 σ = 2 1 図1 具体例 ζ ( s ) \zeta(s) ζ ( s ) 0 ≤ σ ≤ 1 0\le\sigma\le1 0 ≤ σ ≤ 1 ∣ t ∣ ≤ 50 |t|\le50 ∣ t ∣ ≤ 50 σ = 1 / 2 \sigma=1/2 σ = 1/2 1 / 2 ± 14.1347 … i 1/2\pm14.1347\ldots i 1/2 ± 14.1347 … i − 2 , − 4 , − 6 -2,-4,-6 − 2 , − 4 , − 6 s = 1 s=1 s = 1
図の零点の高さは、生成のときに ζ \zeta ζ 値を計算して確かめています。上下が対称なのは ρ ˉ \bar\rho ρ ˉ 零点だからで、σ = 1 / 2 \sigma=1/2 σ = 1/2 はさんで左右が対称なのは 1 − ρ 1-\rho 1 − ρ 零点だからです。
リーマン予想と準リーマン予想
非自明な零点の実部がどこまで右に寄るかを、1つの数で表しておきます。
定義5 零点の実部の上限
ζ ( s ) \zeta(s) ζ ( s ) 非自明な零点 ρ \rho ρ ζ ( ρ ) = 0 \zeta(\rho)=0 ζ ( ρ ) = 0 0 < Re ρ < 1 0<\operatorname{Re}\rho<1 0 < Re ρ < 1 実部の上限を Θ \Theta Θ 書く。
Θ = sup ρ Re ρ \Theta=\sup_{\rho}\operatorname{Re}\rho Θ = ρ sup Re ρ Θ = sup ρ Re ρ \begin{aligned}\Theta &= \sup_{\rho}\operatorname{Re}\rho\end{aligned} Θ = ρ sup Re ρ
直線 σ = 1 / 2 \sigma=1/2 σ = 1/2 上に零点がある（図1の 1 / 2 + 14.13 … i 1/2+14.13\ldots i 1/2 + 14.13 … i Θ ≥ 1 / 2 \Theta\ge1/2 Θ ≥ 1/2 零点はすべて 0 < σ < 1 0<\sigma<1 0 < σ < 1 あるので Θ ≤ 1 \Theta\le1 Θ ≤ 1 分かっていたのは、ここまででした。
予想6 リーマン予想 [4 ]
ζ ( s ) \zeta(s) ζ ( s ) 非自明な零点の実部はすべて 1 / 2 1/2 1/2
零点は σ = 1 / 2 \sigma=1/2 σ = 1/2 はさんで左右対称に現れるので、リーマン予想は Θ = 1 / 2 \Theta=1/2 Θ = 1/2 同じことです。高さ 3 × 10 12 3\times10^{12} 3 × 1 0 12 零点はすべて σ = 1 / 2 \sigma=1/2 σ = 1/2 上にあることが、計算で確かめられています[5 ] 。ハーディは1914年に、σ = 1 / 2 \sigma=1/2 σ = 1/2 上に零点が無限にあることを証明しました。それでも、すべての零点がこの直線に乗ることは証明されていません。
予想7 準リーマン予想 [2 , §1]
ある実数 σ 0 < 1 \sigma_0<1 σ 0 < 1 あって、ζ ( s ) \zeta(s) ζ ( s ) Re s > σ 0 \operatorname{Re}s>\sigma_0 Re s > σ 0 零点をもたない。言い換えると Θ < 1 \Theta<1 Θ < 1
リーマン予想は σ 0 = 1 / 2 \sigma_0=1/2 σ 0 = 1/2 成り立つという主張なので、準リーマン予想はそれをゆるめたものです。たとえば σ 0 = 0.999 \sigma_0=0.999 σ 0 = 0.999 よいので、ずいぶん弱い主張に見えます。
この予想で大事なのは、σ 0 \sigma_0 σ 0 高さ t t t よらない1つの数であることです。これまで証明されていた「零点のない領域」は、どれも高さとともに σ = 1 \sigma=1 σ = 1 近づいていく形をしていました。
定理8 これまでの零点のない領域 [3 ] [6 , §1.1]
(1) ド・ラ・ヴァレ・プーサン：ある定数 c > 0 c>0 c > 0 あって、∣ t ∣ ≥ 2 |t|\ge2 ∣ t ∣ ≥ 2 とき次の範囲で ζ ( σ + i t ) ≠ 0 \zeta(\sigma+it)\ne0 ζ ( σ + i t ) = 0
σ > 1 − c log ∣ t ∣ \sigma>1-\frac{c}{\log|t|} σ > 1 − log ∣ t ∣ c σ > 1 − c log ∣ t ∣ \begin{aligned}\sigma &> 1-\frac{c}{\log|t|}\end{aligned} σ > 1 − log ∣ t ∣ c (2) ヴィノグラードフ・コロボフ：ある定数 c 1 > 0 c_1>0 c 1 > 0 あって、∣ t ∣ ≥ 3 |t|\ge3 ∣ t ∣ ≥ 3 とき次の範囲で ζ ( σ + i t ) ≠ 0 \zeta(\sigma+it)\ne0 ζ ( σ + i t ) = 0
σ > 1 − c 1 ( log ∣ t ∣ ) 2 / 3 ( log log ∣ t ∣ ) 1 / 3 \sigma>1-\frac{c_1}{(\log|t|)^{2/3}(\log\log|t|)^{1/3}} σ > 1 − ( log ∣ t ∣ ) 2/3 ( log log ∣ t ∣ ) 1/3 c 1 σ > 1 − c 1 ( log ∣ t ∣ ) 2 / 3 ( log log ∣ t ∣ ) 1 / 3 \begin{aligned}\sigma &> 1-\frac{c_1}{(\log|t|)^{2/3}(\log\log|t|)^{1/3}}\end{aligned} σ > 1 − ( log ∣ t ∣ ) 2/3 ( log log ∣ t ∣ ) 1/3 c 1 σ > 1 > − c 1 ( log ∣ t ∣ ) 2 / 3 ( log log ∣ t ∣ ) 1 / 3 \begin{aligned}\sigma &> 1\\&\phantom{>}{} -\frac{c_1}{(\log|t|)^{2/3}(\log\log|t|)^{1/3}}\end{aligned} σ > 1 > − ( log ∣ t ∣ ) 2/3 ( log log ∣ t ∣ ) 1/3 c 1
どちらも、右辺は ∣ t ∣ → ∞ |t|\to\infty ∣ t ∣ → ∞ 1 1 1 近づきます。高さを上げるほど、零点がないと保証される帯は細くなっていくわけです。この形の結果をいくら改良しても、高さによらない σ 0 < 1 \sigma_0<1 σ 0 < 1 出てきません。
下の図で、高さ T T T 変えて帯の幅を比べられます。
幅
0.000724 0.000724 0.000724
T = 10 2 T=10^{2} T = 1 0 2 T = 10 6 T=10^{6} T = 1 0 6 T = 10 12 T=10^{12} T = 1 0 12 T = 10 100 T=10^{100} T = 1 0 100
高さ T = 10 2 T=10^2 T = 1 0 2 これまでの帯の幅は c / log T = 0.0362 c/\log T=0.0362 c / log T = 0.0362 （c = 1 / 6 c=1/6 c = 1/6 して計算）。この高さの零点は、計算ですべて σ = 1 / 2 \sigma=1/2 σ = 1/2 上にあると確かめられています。
T = 10 6 T=10^6 T = 1 0 6 これまでの帯の幅は 0.0121 0.0121 0.0121 縮みます。今回の帯は幅 1 / 8 1/8 1/8
T = 10 12 T=10^{12} T = 1 0 12 これまでの帯の幅は 0.0060 0.0060 0.0060 高さ 3 × 10 12 3\times10^{12} 3 × 1 0 12 零点がすべて σ = 1 / 2 \sigma=1/2 σ = 1/2 上にあることが計算で確かめられています。
T = 10 100 T=10^{100} T = 1 0 100 これまでの帯の幅は 0.000724 0.000724 0.000724 図ではほとんど見えません。計算もこの高さには届きません。今回の定理は、この高さでも σ > 7 / 8 \sigma>7/8 σ > 7/8 零点がないことを保証します。
図2 概念図 高さ T T T c c c 1 / 6 1/6 1/6 σ > 7 / 8 \sigma>7/8 σ > 7/8 σ < 1 / 8 \sigma<1/8 σ < 1/8 σ = 1 / 2 \sigma=1/2 σ = 1/2
今回の定理
定理9 OpenAI, 2026 [2 , Theorem 1.1]
Re s > 7 / 8 \operatorname{Re}s>7/8 Re s > 7/8 ζ ( s ) ≠ 0 \zeta(s)\ne0 ζ ( s ) = 0 同じことが、すべてのディリクレの L L L L ( s , χ ) L(s,\chi) L ( s , χ ) ついて成り立つ（主指標の s = 1 s=1 s = 1 極は除く）。
ディリクレの L L L 次の節で説明します。まず ζ ( s ) \zeta(s) ζ ( s ) ついて、定理から零点の範囲が両側から決まることを確かめます。
系10 零点のある範囲 [2 , Corollary 1.2 の証明]
ζ ( s ) \zeta(s) ζ ( s ) 非自明な零点 ρ \rho ρ すべて 1 / 8 ≤ Re ρ ≤ 7 / 8 1/8\le\operatorname{Re}\rho\le7/8 1/8 ≤ Re ρ ≤ 7/8 みたす。とくに Θ ≤ 7 / 8 \Theta\le7/8 Θ ≤ 7/8 準リーマン予想は σ 0 = 7 / 8 \sigma_0=7/8 σ 0 = 7/8 成り立つ。
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる Re ρ ≤ 7 / 8 \operatorname{Re}\rho\le7/8 Re ρ ≤ 7/8 は
定理9 その
ものである。 Re ρ < 1 / 8 \operatorname{Re}\rho<1/8 Re ρ < 1/8 非自明な零点 ρ \rho ρ あったとすると、関数等式から 1 − ρ 1-\rho 1 − ρ 零点で、その実部は 7 / 8 7/8 7/8 大きい。これは定理9 に反する。詳しく 閉じる
ρ \rho ρ 非自明な零点なら Γ ( ρ / 2 ) \Gamma(\rho/2) Γ ( ρ /2 ) 有限で 0 0 0 ρ ( ρ − 1 ) ≠ 0 \rho(\rho-1)\ne0 ρ ( ρ − 1 ) = 0 ξ ( ρ ) = 0 \xi(\rho)=0 ξ ( ρ ) = 0 関数等式 ξ ( 1 − ρ ) = ξ ( ρ ) = 0 \xi(1-\rho)=\xi(\rho)=0 ξ ( 1 − ρ ) = ξ ( ρ ) = 0 1 − ρ 1-\rho 1 − ρ ξ \xi ξ 零点になる。1 − ρ 1-\rho 1 − ρ 臨界帯にあるので、これは ζ ( 1 − ρ ) = 0 \zeta(1-\rho)=0 ζ ( 1 − ρ ) = 0 意味する。
Re ( 1 − ρ ) = 1 − Re ρ > 1 − 1 / 8 = 7 / 8 \operatorname{Re}(1-\rho)=1-\operatorname{Re}\rho>1-1/8=7/8 Re ( 1 − ρ ) = 1 − Re ρ > 1 − 1/8 = 7/8
定理を読むときに気をつけたい点が3つあります。どれも論文の序文に書かれています[2 , §1] 。
境界は含まない： 零点がないと言っているのは Re s > 7 / 8 \operatorname{Re}s>7/8 Re s > 7/8 Re s = 7 / 8 \operatorname{Re}s=7/8 Re s = 7/8 上に零点がないことは、この定理からは分かりません。 リーマン予想ではない： 零点が σ = 1 / 2 \sigma=1/2 σ = 1/2 乗ることは示していません。論文自身が「リーマン予想は未解決のまま」と書いています。 高さと法によらない： 7 / 8 7/8 7/8 いう数は、零点の高さにも、次の節の L L L 法 q q q ません。高さによらないことが準リーマン予想の核心で、法 q q q よらないことは、それをディリクレの L L L 広げた形です。
ディリクレの L L L
4で割って1余る素数（5 , 13 , 17 , 29 , … 5,13,17,29,\dots 5 , 13 , 17 , 29 , … 3余る素数（3 , 7 , 11 , 19 , … 3,7,11,19,\dots 3 , 7 , 11 , 19 , … どちらも無限にあり、同じくらいの割合で現れます。このような「等差数列の中の素数」を調べるために、ディリクレが導入したのが L L L
定義11 ディリクレの指標と L L L
正の整数 q q q 法とするディリクレの指標 とは、整数から複素数への関数 χ \chi χ 次をみたすものをいう：χ ( n + q ) = χ ( n ) \chi(n+q)=\chi(n) χ ( n + q ) = χ ( n ) χ ( m n ) = χ ( m ) χ ( n ) \chi(mn)=\chi(m)\chi(n) χ ( mn ) = χ ( m ) χ ( n ) gcd ( n , q ) > 1 \gcd(n,q)>1 g cd( n , q ) > 1 χ ( n ) = 0 \chi(n)=0 χ ( n ) = 0 gcd ( n , q ) = 1 \gcd(n,q)=1 g cd( n , q ) = 1 χ ( n ) ≠ 0 \chi(n)\ne0 χ ( n ) = 0
Re s > 1 \operatorname{Re}s>1 Re s > 1 L ( s , χ ) = ∑ n ≥ 1 χ ( n ) n − s L(s,\chi)=\sum_{n\ge1}\chi(n)n^{-s} L ( s , χ ) = ∑ n ≥ 1 χ ( n ) n − s 定め、解析接続 したものをディリクレの L L L という。q q q 互いに素な n n n χ ( n ) = 1 \chi(n)=1 χ ( n ) = 1 なる指標を主指標 という。
例12 法 4 4 4 指標
χ 4 ( n ) \chi_4(n) χ 4 ( n ) n n n 偶数なら 0 0 0 n ≡ 1 ( m o d 4 ) n\equiv1\pmod4 n ≡ 1 ( mod 4 ) 1 1 1 n ≡ 3 ( m o d 4 ) n\equiv3\pmod4 n ≡ 3 ( mod 4 ) − 1 -1 − 1 定める。これは法 4 4 4 指標で、L L L 次のようになる。
L ( s , χ 4 ) = 1 − 1 3 s + 1 5 s − ⋯ L ( 1 , χ 4 ) = 1 − 1 3 + 1 5 − ⋯ = π 4 \begin{gathered} L(s,\chi_4)=1-\frac1{3^s}+\frac1{5^s}-\cdots\\ L(1,\chi_4)=1-\frac13+\frac15-\cdots=\frac\pi4\end{gathered} L ( s , χ 4 ) = 1 − 3 s 1 + 5 s 1 − ⋯ L ( 1 , χ 4 ) = 1 − 3 1 + 5 1 − ⋯ = 4 π L ( s , χ 4 ) = 1 − 1 3 s + 1 5 s − ⋯ L ( 1 , χ 4 ) = 1 − 1 3 + 1 5 − ⋯ = π 4 \begin{aligned}L(s,\chi_4) &= 1-\frac1{3^s}+\frac1{5^s}-\cdots\\[4pt]L(1,\chi_4) &= 1-\frac13+\frac15-\cdots\\&= \frac\pi4\end{aligned} L ( s , χ 4 ) L ( 1 , χ 4 ) = 1 − 3 s 1 + 5 s 1 − ⋯ = 1 − 3 1 + 5 1 − ⋯ = 4 π 法 1 1 1 指標は χ ( n ) = 1 \chi(n)=1 χ ( n ) = 1 n n n その L L L ζ ( s ) \zeta(s) ζ ( s )
χ 4 \chi_4 χ 4 主指標を組み合わせると、4で割って1余る素数と3余る素数を分けて数えられます。それぞれの L L L 零点の位置が、数え方の誤差を決めます。
今回の定理は、すべての法 q q q すべての指標 χ \chi χ ついて、同じ 7 / 8 7/8 7/8 零点がないことを示しています。リーマン予想を L L L 広げたものは一般化リーマン予想と呼ばれ、こちらも未解決です。
素数について何が分かるか
x x x 素数の個数を π ( x ) \pi(x) π ( x ) 書きます。素数定理 は、π ( x ) \pi(x) π ( x ) 対数積分 l i ( x ) \mathrm{li}(x) li ( x ) 近似できることを言っています。
π ( x ) ∼ l i ( x ) = ∫ 0 x d t log t ( x → ∞ ) \pi(x)\sim\mathrm{li}(x)=\int_0^x\frac{dt}{\log t}\qquad(x\to\infty) π ( x ) ∼ li ( x ) = ∫ 0 x log t d t ( x → ∞ ) π ( x ) ∼ l i ( x ) = ∫ 0 x d t log t ( x → ∞ ) \begin{gathered}\pi(x)\sim\mathrm{li}(x)=\int_0^x\frac{dt}{\log t}\\(x\to\infty)\end{gathered} π ( x ) ∼ li ( x ) = ∫ 0 x log t d t ( x → ∞ ) π ( x ) ∼ l i ( x ) = ∫ 0 x d t log t ( x → ∞ ) \begin{aligned}\pi(x) &\sim \mathrm{li}(x)\\&= \int_0^x\frac{dt}{\log t}\\[4pt]&(x\to\infty)\end{aligned} π ( x ) ∼ li ( x ) = ∫ 0 x log t d t ( x → ∞ ) ∫ 0 x \int_0^x ∫ 0 x t = 1 t=1 t = 1 よけた主値の積分です。たとえば x = 10 7 x=10^7 x = 1 0 7 次のとおりで、相対誤差は 0.05 % 0.05\% 0.05%
π ( 10 7 ) = 664579 l i ( 10 7 ) = 664918.4 … \begin{gathered} \pi(10^7)=664579\\ \mathrm{li}(10^7)=664918.4\ldots \end{gathered} π ( 1 0 7 ) = 664579 li ( 1 0 7 ) = 664918.4 … π ( 10 7 ) = 664579 l i ( 10 7 ) = 664918.4 … \begin{aligned}\pi(10^7) &= 664579\\[4pt]\mathrm{li}(10^7) &= 664918.4\ldots\end{aligned} π ( 1 0 7 ) li ( 1 0 7 ) = 664579 = 664918.4 … 問題は誤差 π ( x ) − l i ( x ) \pi(x)-\mathrm{li}(x) π ( x ) − li ( x ) どれくらいの速さで増えるかで、これが零点の実部の上限 Θ \Theta Θ 決まります。
命題13 零点と素数定理の誤差 [3 ]
1 / 2 ≤ θ < 1 1/2\le\theta<1 1/2 ≤ θ < 1 する。
(1) ζ ( s ) \zeta(s) ζ ( s ) Re s > θ \operatorname{Re}s>\theta Re s > θ 零点をもたなければ、x ≥ 2 x\ge2 x ≥ 2 次が成り立つ。
π ( x ) = l i ( x ) + O ( x θ ( log x ) 2 ) \pi(x)=\mathrm{li}(x)+O\!\left(x^{\theta}(\log x)^2\right) π ( x ) = li ( x ) + O ( x θ ( log x ) 2 ) π ( x ) = l i ( x ) + O ( x θ ( log x ) 2 ) \begin{aligned}\pi(x) &= \mathrm{li}(x)+O\!\left(x^{\theta}(\log x)^2\right)\end{aligned} π ( x ) = li ( x ) + O ( x θ ( log x ) 2 ) π ( x ) = l i ( x ) = + O ( x θ ( log x ) 2 ) \begin{aligned}\pi(x) &= \mathrm{li}(x)\\&\phantom{=}{} +O\!\left(x^{\theta}(\log x)^2\right)\end{aligned} π ( x ) = li ( x ) = + O ( x θ ( log x ) 2 ) (2) 逆に、どんな ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 ついても π ( x ) = l i ( x ) + O ( x θ + ε ) \pi(x)=\mathrm{li}(x)+O(x^{\theta+\varepsilon}) π ( x ) = li ( x ) + O ( x θ + ε ) ζ ( s ) \zeta(s) ζ ( s ) Re s > θ \operatorname{Re}s>\theta Re s > θ 零点をもたない。
O ( f ( x ) ) O(f(x)) O ( f ( x )) 「定数倍の f ( x ) f(x) f ( x ) 絶対値が抑えられる量」を表します。この命題から、準リーマン予想は「素数定理 の誤差が、ある δ > 0 \delta>0 δ > 0 ついて x 1 − δ x^{1-\delta} x 1 − δ 抑えられる」ことと同じだと分かります。
今回の定理で θ = 7 / 8 \theta=7/8 θ = 7/8 誤差は x 7 / 8 ( log x ) 2 x^{7/8}(\log x)^2 x 7/8 ( log x ) 2 定数倍以下になります。これまでに分かっていた誤差の評価は、x x x log x \log x log x どんな累乗で割ったものよりも小さいものの、x 0.999 x^{0.999} x 0.999 形にはなっていませんでした。
l i ( x ) − π ( x ) \mathrm{li}(x)-\pi(x) li ( x ) − π ( x ) 図3 具体例 x = 100 x=100 x = 100 10 7 10^7 1 0 7 π ( x ) \pi(x) π ( x ) l i ( x ) − π ( x ) \mathrm{li}(x)-\pi(x) li ( x ) − π ( x ) x a x^a x a a a a x = 100 x=100 x = 100 1 / 2 , 7 / 8 , 1 1/2,\ 7/8,\ 1 1/2 , 7/8 , 1 x = 10 7 x=10^7 x = 1 0 7 339 339 339
図の範囲では、誤差は傾き 1 / 2 1/2 1/2 線より下にあり、リーマン予想が正しいときの増え方に見えます。ただし、有限の範囲の計算からは何も証明できません。今回の定理は、どんなに大きな x x x 誤差の増え方が傾き 7 / 8 7/8 7/8 （対数の因子を除いて）超えないことを、はじめて保証したものです。
O O O 中の定数は分からないので、図の点線は「増える速さ」を比べるためのものです。誤差そのものの上限を描いたものではありません。
もう少し詳しく 零点が誤差を決める仕組み
素数の個数そのものより、重み log p \log p log p つけた ψ ( x ) = ∑ p k ≤ x log p \psi(x)=\sum_{p^k\le x}\log p ψ ( x ) = ∑ p k ≤ x log p ほうが扱いやすくなります。ψ ( x ) \psi(x) ψ ( x ) ついて、零点を使った次の明示公式が成り立ちます[3 ] 。
ψ ( x ) = x − ∑ ∣ Im ρ ∣ ≤ T x ρ ρ + O ( x ( log x T ) 2 T + log x ) \begin{aligned} \psi(x)=x&-\sum_{|\operatorname{Im}\rho|\le T}\frac{x^{\rho}}{\rho}\\ &+O\!\left(\tfrac{x(\log xT)^2}{T}+\log x\right)\end{aligned} ψ ( x ) = x − ∣ Im ρ ∣ ≤ T ∑ ρ x ρ + O ( T x ( l o g x T ) 2 + log x ) 和は非自明な零点 ρ \rho ρ わたります。∣ x ρ ∣ = x Re ρ |x^\rho|=x^{\operatorname{Re}\rho} ∣ x ρ ∣ = x Re ρ 実部が θ \theta θ 零点の項は x θ x^\theta x θ 大きさしかありません。T = x T=x T = x 高さ T T T 零点の個数が T log T T\log T T log T ことを使うと、ψ ( x ) = x + O ( x θ ( log x ) 2 ) \psi(x)=x+O(x^\theta(\log x)^2) ψ ( x ) = x + O ( x θ ( log x ) 2 ) 出ます。そこから部分和の公式で π ( x ) \pi(x) π ( x ) 移ります。
逆向きは、Re s > 1 \operatorname{Re}s>1 Re s > 1 成り立つ次の等式から分かります。
− ζ ′ ( s ) ζ ( s ) = s ∫ 1 ∞ ψ ( x ) x − s − 1 d x = s s − 1 + s ∫ 1 ∞ ψ ( x ) − x x s + 1 d x \begin{aligned} &-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}\\ &=s\int_1^\infty\psi(x)x^{-s-1}\,dx\\ &=\frac{s}{s-1}+s\int_1^\infty\frac{\psi(x)-x}{x^{s+1}}\,dx\end{aligned} − ζ ( s ) ζ ′ ( s ) = s ∫ 1 ∞ ψ ( x ) x − s − 1 d x = s − 1 s + s ∫ 1 ∞ x s + 1 ψ ( x ) − x d x ψ ( x ) − x \psi(x)-x ψ ( x ) − x x θ + ε x^{\theta+\varepsilon} x θ + ε 右端の積分は Re s > θ + ε \operatorname{Re}s>\theta+\varepsilon Re s > θ + ε 収束して正則な関数を表します。よって ζ ′ / ζ \zeta'/\zeta ζ ′ / ζ Re s > θ \operatorname{Re}s>\theta Re s > θ s = 1 s=1 s = 1 正則です。零点があれば ζ ′ / ζ \zeta'/\zeta ζ ′ / ζ そこで極をもつので、零点はありません。
応用：いちばん小さい平方非剰余
論文は、L L L 零点の情報から従う古典的な問題の解決も書いています[2 , Corollary 1.2] 。素数で割った余りの世界の話で、計算機の計算にも関係します。
定義14 平方剰余と平方非剰余
p p p 奇素数とし、n n n p p p 割り切れない整数とする。m 2 ≡ n ( m o d p ) m^2\equiv n\pmod p m 2 ≡ n ( mod p ) なる整数 m m m あるとき n n n p p p 法とする平方剰余 、ないとき平方非剰余 という。いちばん小さい正の平方非剰余を n ( p ) n(p) n ( p ) 書く。
例15 p = 7 p=7 p = 7
1 2 = 1 , 2 2 = 4 , 3 2 = 9 ≡ 2 1^2=1,\ 2^2=4,\ 3^2=9\equiv2 1 2 = 1 , 2 2 = 4 , 3 2 = 9 ≡ 2 4 2 , 5 2 , 6 2 4^2,5^2,6^2 4 2 , 5 2 , 6 2 これらの繰り返しなので、平方剰余は 1 , 2 , 4 1,2,4 1 , 2 , 4 平方非剰余は 3 , 5 , 6 3,5,6 3 , 5 , 6 よって n ( 7 ) = 3 n(7)=3 n ( 7 ) = 3
n ( p ) n(p) n ( p ) たいてい 2 2 2 3 3 3 ときどき大きくなります。n ( p ) n(p) n ( p ) それまでの最大を更新する素数を並べると、次のとおりです。
素数 p p p 最小の平方非剰余 n ( p ) n(p) n ( p ) log p \log p log p 3 3 3 2 2 2 1.1 1.1 1.1 7 7 7 3 3 3 1.9 1.9 1.9 23 23 23 5 5 5 3.1 3.1 3.1 71 71 71 7 7 7 4.3 4.3 4.3 311 311 311 11 11 11 5.7 5.7 5.7 479 479 479 13 13 13 6.2 6.2 6.2 1559 1559 1559 17 17 17 7.4 7.4 7.4 5711 5711 5711 19 19 19 8.7 8.7 8.7 10559 10559 10559 23 23 23 9.3 9.3 9.3 18191 18191 18191 29 29 29 9.8 9.8 9.8 31391 31391 31391 31 31 31 10.4 10.4 10.4 366791 366791 366791 43 43 43 12.8 12.8 12.8
p = 366791 p=366791 p = 366791 n ( p ) = 43 n(p)=43 n ( p ) = 43 p p p 比べてずっと小さい値です。ヴィノグラードフは、どんな ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 ついても n ( p ) n(p) n ( p ) p ε p^{\varepsilon} p ε 定数倍で抑えられると予想しました。無条件に証明されていたのは、1957年のバージェスによる、どんな ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 ついても p 1 / ( 4 e ) + ε p^{1/(4\sqrt e)+\varepsilon} p 1/ ( 4 e ) + ε 定数倍という上限でした[7 ] 。1 / ( 4 e ) = 0.1516 … 1/(4\sqrt e)=0.1516\ldots 1/ ( 4 e ) = 0.1516 …
系16 OpenAI, 2026 [2 , Corollary 1.2]
定数 A , C > 0 A,C>0 A , C > 0 あって、すべての奇素数 p p p ついて次が成り立つ。とくにヴィノグラードフの予想は正しい。
n ( p ) ≤ C ( log p ) A n(p)\le C(\log p)^A n ( p ) ≤ C ( log p ) A n ( p ) ≤ C ( log p ) A \begin{aligned}n(p) &\le C(\log p)^A\end{aligned} n ( p ) ≤ C ( log p ) A
論文は、定理9 から原始的な L L L 非自明な零点が帯 1 / 8 ≤ σ ≤ 7 / 8 1/8\le\sigma\le7/8 1/8 ≤ σ ≤ 7/8 あることを使い、既知の議論に当てはめています。A A A しては 32 32 32 書いています。
これは計算の問題にもつながります。p p p 法とする平方根をとる計算（トネリ・シャンクスのアルゴリズム）には、平方非剰余が1つ必要です。乱数を使えばすぐ見つかりますが、乱数なしで速く見つけられることは、一般化リーマン予想を仮定しないと分かっていませんでした。系16 から、2 , 3 , 4 , … 2,3,4,\dots 2 , 3 , 4 , … 順に調べれば C ( log p ) A C(\log p)^A C ( log p ) A 見つかるので、乱数を使わずに log p \log p log p 多項式の時間で平方根が計算できます。
もう少し詳しく 論文が挙げているほかの帰結
11 / 12 11/12 11/12 示す別証明の論文（リポジトリによると、人の手を借りて書かれたもの）は、固定した幅の零点のない領域から従う帰結をほかにも挙げています[6 , §1] 。どれも既知の議論に今回の定理を当てはめたもので、Leanの形式化には含まれていません。
等差数列の素数定理： p ≡ a ( m o d q ) p\equiv a\pmod q p ≡ a ( mod q ) みたす x x x 素数の個数は、l i ( x ) / φ ( q ) \mathrm{li}(x)/\varphi(q) li ( x ) / φ ( q ) 差が x 11 / 12 log x x^{11/12}\log x x 11/12 log x 定数倍以下になる。定数は q q q よらず、具体的に計算できる（1 ≤ q ≤ x 1\le q\le x 1 ≤ q ≤ x gcd ( a , q ) = 1 \gcd(a,q)=1 g cd( a , q ) = 1 ミラーの素数判定： 一般化リーマン予想を仮定して正しいと分かっていたミラーの判定法が、無条件で多項式時間の判定法になる。多項式時間の素数判定そのものは、AKS 判定法で知られていた。 オイラーの便利数： オイラーが見つけた65個の便利数（idoneal numbers）で一覧が尽きていることが確定する。
専門的な話 ジーゲル零点
実数値をとる指標 χ \chi χ L ( s , χ ) L(s,\chi) L ( s , χ ) これまでの零点のない領域の中に、1 1 1 すぐ近くの実の零点 β \beta β 1つだけもつ可能性が残っていました。これをランダウ・ジーゲル零点（例外零点）と呼びます[6 , §1.1] 。この零点がありうることが、等差数列の素数や虚2次体の類数の評価で、定数が計算できない形でしか結果が書けない原因になっていました[8 , §1] 。
定理9 はすべての L ( s , χ ) L(s,\chi) L ( s , χ ) Re s > 7 / 8 \operatorname{Re}s>7/8 Re s > 7/8 零点がないことを言うので、実の零点 β ∈ ( 0 , 1 ) \beta\in(0,1) β ∈ ( 0 , 1 ) いつも β ≤ 7 / 8 \beta\le7/8 β ≤ 7/8 導手 が q ≥ 3 q\ge3 q ≥ 3 原始的な実指標なら、次が成り立ちます。
( 1 − β ) log q ≥ log 3 8 (1-\beta)\log q\ge\frac{\log3}{8} ( 1 − β ) log q ≥ 8 log 3 ( 1 − β ) log q ≥ log 3 8 \begin{aligned}(1-\beta)\log q &\ge \frac{\log3}{8}\end{aligned} ( 1 − β ) log q ≥ 8 log 3 OpenAIはこれとは別に、9ページの論文で「ある絶対定数 c > 0 c>0 c > 0 ついて ( 1 − β ) log q ≥ c (1-\beta)\log q\ge c ( 1 − β ) log q ≥ c 補間行列式という別の方法で証明しています[8 ] 。こちらは定数 c c c 値を与えていませんが、Leanで形式化されています。
証明の考え方
証明は199ページあり、この記事では再現しません。論文の概要に沿って、骨組みだけを紹介します[2 , §1, §2] 。
意外なのは、ζ ( s ) \zeta(s) ζ ( s ) 主張を示すのに、アイゼンシュタイン整数 Z [ ω ] \mathbb{Z}[\omega] Z [ ω ] ω = ( − 1 + − 3 ) / 2 \omega=(-1+\sqrt{-3})/2 ω = ( − 1 + − 3 ) /2 世界の L L L 全部まとめて扱うことです。体 F = Q ( − 3 ) F=\mathbb{Q}(\sqrt{-3}) F = Q ( − 3 ) ヘッケの L L L 族について、いちばん右の零点の実部を β ∗ \beta_* β ∗ β ∗ > 7 / 8 \beta_*>7/8 β ∗ > 7/8 仮定して矛盾を導きます。
1 いちばん右の零点を仮定する F F F 有限位数のヘッケの L L L 零点の実部の上限 β ∗ \beta_* β ∗ 7 / 8 7/8 7/8 大きいと仮定する。
2 3次のテータ級数から和を作る 久保田のメタプレクティックな理論とパターソンの3次のテータ級数を使う。その係数を、6次の剰余指標と目標の指標 η \eta η 重みをつけて足し合わせた和 J η ( Z ) J_\eta(Z) J η ( Z ) 作る。
3 和を2通りに表す テータ級数の反転公式で表すと、大きな篩 （ラージシーブ）の不等式から J η ( Z ) J_\eta(Z) J η ( Z ) 小さいことが分かる。ポアソンの和公式 で表すと、J η ( Z ) J_\eta(Z) J η ( Z ) 1 / L F ( s , η ) 1/L_F(s,\eta) 1/ L F ( s , η ) 含む積分に近いことが分かる。
4 1 / L 1/L 1/ L 零点の向こうまで続く 2つの評価を合わせると、1 / L F ( s , η ) 1/L_F(s,\eta) 1/ L F ( s , η ) β ∗ \beta_* β ∗ 少し左まで正則に接続できる。零点では 1 / L 1/L 1/ L 極をもつはずなので、β ∗ \beta_* β ∗ 定義に反する。
5 ディリクレの L L L 移す ディリクレの指標 χ \chi χ ノルムと合成すると F F F ヘッケの指標になり、その L L L 有限個の因子を除いて L ( s , χ ) L ( s , χ χ − 3 ) L(s,\chi)L(s,\chi\chi_{-3}) L ( s , χ ) L ( s , χ χ − 3 ) 分解する。だから L ( s , χ ) L(s,\chi) L ( s , χ ) Re s > 7 / 8 \operatorname{Re}s>7/8 Re s > 7/8 零点がない。
χ \chi χ 法 1 1 1 指標なら、5の分解は ζ F ( s ) = ζ ( s ) L ( s , χ − 3 ) \zeta_F(s)=\zeta(s)L(s,\chi_{-3}) ζ F ( s ) = ζ ( s ) L ( s , χ − 3 ) なります。ここで χ − 3 \chi_{-3} χ − 3 法 3 3 3 実の指標です。論文は、ζ ( s ) \zeta(s) ζ ( s ) ついての結論にも族全体が必要だと注意しています。ポアソンの和公式 の側で、目標の指標をひねった別の L L L 現れるからです。
専門的な話 2段階の議論：11 / 12 11/12 11/12 7 / 8 7/8 7/8
論文の命題2.1は、ステップ4を一般の境界 σ 0 \sigma_0 σ 0 述べたものです。直接の評価 ∣ J η ( Z ) ∣ ≪ Z C ( σ 0 ) + ω |J_\eta(Z)|\ll Z^{C(\sigma_0)+\omega} ∣ J η ( Z ) ∣ ≪ Z C ( σ 0 ) + ω 積分との差の評価 ∣ J η ( Z ) − f η ( Z ) ∣ ≪ Z C ( β ∗ ) − κ |J_\eta(Z)-f_\eta(Z)|\ll Z^{C(\beta_*)-\kappa} ∣ J η ( Z ) − f η ( Z ) ∣ ≪ Z C ( β ∗ ) − κ 指標によらない 0 < ω < β ∗ − σ 0 0<\omega<\beta_*-\sigma_0 0 < ω < β ∗ − σ 0 κ > 0 \kappa>0 κ > 0 成り立てば、β ∗ > σ 0 \beta_*>\sigma_0 β ∗ > σ 0 矛盾します。ここで C ( s ) C(s) C ( s ) 傾き 1 1 1 1次式です。
第I部は2つの平均の長さをどちらも Z 1 / 2 Z^{1/2} Z 1/2 とり、C ( s ) = s − 2 / 3 C(s)=s-2/3 C ( s ) = s − 2/3 σ 0 = 11 / 12 \sigma_0=11/12 σ 0 = 11/12 示します。第II部は第I部の結論から出発し、選んだ素因数による局所的な打ち消し、長さの非対称な選び方、2つの新しいモーメントの評価を加えて、C ( s ) = s − 11 / 16 C(s)=s-11/16 C ( s ) = s − 11/16 σ 0 = 7 / 8 \sigma_0=7/8 σ 0 = 7/8 進めます。
ポアソン側の各行は、u u u 6乗因子を含まない数として u a 6 ua^6 u a 6 書ける周波数に対応し、行ごとにヘッケの L L L 商とオイラー積で表されます。u = 1 u=1 u = 1 行が目標の 1 / L F ( s , η ) 1/L_F(s,\eta) 1/ L F ( s , η ) 含む主項です。ほかの行は零点の検出器と6次の大きな篩 で個数を抑えます。
11 / 12 11/12 11/12 別の方法（ひねったメビウス和の平均2乗の評価）で示した49ページの論文もあります。リポジトリによると、こちらは人の手を借りて書かれています[6 ] 。
どこまで確かなのか
論文は2026年9月30日付のプレプリントで、査読はまだです[2 ] 。
リポジトリの照合（Comparator）の設定で、ζ \zeta ζ ついての主張 OAI.riemannZeta_ne_zero_of_seven_eighths_lt_re が検査の対象になっています[9 ] 。ディリクレの L L L Q ( − 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt{-3}) Q ( − 3 ) ヘッケの L L L ジーゲル零点の評価も、それぞれ別の主張として照合の対象です。ζ \zeta ζ ディリクレの L L L Mathlibの定義を使っていますが、ヘッケの L L L 照合用のファイルの中で独自に定義したものです。許可された公理は、Leanで標準的な propext、Quot.sound、Classical.choice の3つです。
形式化の範囲の説明では、論文の後半の応用は含まれないとされています[10 ] 。この記事の系16 と、補足に挙げたほかの帰結は、照合の対象ではありません。
2026年10月7日付の更新では、この論文は修正も取り下げもされていません[11 ] 。
Leanで照合される ζ \zeta ζ 主張は次のとおりです。riemannZeta はLeanの数学ライブラリ Mathlib で定義されたリーマンのゼータ関数で、「実部が 7 / 8 7/8 7/8 大きい複素数 s s s 0 0 0 読めます。
theorem riemannZeta_ne_zero_of_seven_eighths_lt_re
{s : ℂ} (hs : (7 / 8 : ℝ) < s.re) : riemannZeta s ≠ 0Leanの照合が通っていれば、主張と定義が正しく書かれている限り、証明に誤りはないことになります。なお、筆者はこの記事を書いた時点で、Leanの検査を手元で再実行していません。
残された問題
リーマン予想： Θ = 1 / 2 \Theta=1/2 Θ = 1/2 どうかは未解決です。今回の定理で分かったのは 1 / 2 ≤ Θ ≤ 7 / 8 1/2\le\Theta\le7/8 1/2 ≤ Θ ≤ 7/8 7 / 8 7/8 7/8 どこまで下げられるか： 方法は第I部の 11 / 12 11/12 11/12 第II部の 7 / 8 7/8 7/8 改良されました。同じ方向でさらに下げられるかは、これからの研究を待つことになります。 具体的な定数： 系16 の C C C 素数定理 の誤差の O O O 中の定数を、実際の値として求める仕事が残っています。
OpenAIの数学論文には、同じく素数についての逆ゴールドバッハ予想の記事 もあります。
領域 D D D 正則な関数 f f f 対し、D D D 含むより広い連結な領域で正則で、D D D 上で f f f 一致する関数をとること。そのような関数は、あればただ1つに決まる（一致の定理）。
Re s > 0 \operatorname{Re}s>0 Re s > 0 Γ ( s ) = ∫ 0 ∞ t s − 1 e − t d t \Gamma(s)=\int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}\,dt Γ ( s ) = ∫ 0 ∞ t s − 1 e − t d t 定め、複素平面全体に接続した関数。正の整数 n n n Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! \Gamma(n)=(n-1)! Γ ( n ) = ( n − 1 )! 0 , − 1 , − 2 , … 0,-1,-2,\dots 0 , − 1 , − 2 , … 1位の極をもち、零点はもたない。
x x x 素数の個数 π ( x ) \pi(x) π ( x ) ついて、x → ∞ x\to\infty x → ∞ π ( x ) log x / x → 1 \pi(x)\log x/x\to1 π ( x ) log x / x → 1 なる、という定理。1896年にアダマールとド・ラ・ヴァレ・プーサンが、ζ ( s ) \zeta(s) ζ ( s ) 直線 Re s = 1 \operatorname{Re}s=1 Re s = 1 上で 0 0 0 ならないことを示して証明した。
ディリクレの指標 χ \chi χ 法 q q q 約数 d d d 法とする指標から作られているとき、そのような d d d 最小値。導手が法 q q q 等しい指標を原始的という。
ω = ( − 1 + − 3 ) / 2 \omega=(-1+\sqrt{-3})/2 ω = ( − 1 + − 3 ) /2 して a + b ω a+b\omega a + bω a , b a,b a , b 整数）の形の複素数。全体 Z [ ω ] \mathbb{Z}[\omega] Z [ ω ] 体 Q ( − 3 ) \mathbb{Q}(\sqrt{-3}) Q ( − 3 ) 整数環で、素因数分解がただ1通りにできる。
次の形の不等式：長さ M M M 区間にある係数 c n c_n c n ついて ∑ q ≤ Q ∑ a m o d q , gcd ( a , q ) = 1 ∣ ∑ n c n e 2 π i a n / q ∣ 2 ≤ K ( M + Q 2 ) ∑ n ∣ c n ∣ 2 \sum_{q\le Q}\sum_{a\bmod q,\ \gcd(a,q)=1}\bigl|\sum_n c_ne^{2\pi ian/q}\bigr|^2\le K(M+Q^2)\sum_n|c_n|^2 ∑ q ≤ Q ∑ a mod q , g c d ( a , q ) = 1 ∑ n c n e 2 π ian / q 2 ≤ K ( M + Q 2 ) ∑ n ∣ c n ∣ 2 K K K 絶対定数）。多くの法で余りが偏る集合は小さい、ということを導く。
十分速く減衰する関数 f f f ついて ∑ n ∈ Z f ( n ) = ∑ k ∈ Z f ^ ( k ) \sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\hat f(k) ∑ n ∈ Z f ( n ) = ∑ k ∈ Z f ^ ( k ) 成り立つ、という公式。f ^ ( ξ ) = ∫ f ( x ) e − 2 π i x ξ d x \hat f(\xi)=\int f(x)e^{-2\pi ix\xi}dx f ^ ( ξ ) = ∫ f ( x ) e − 2 π i x ξ d x フーリエ変換。整数点での和を、フーリエ変換の整数点での和に書き換える。
参考文献
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