数学ビジュアライズ

図で読む次元論

可換環論連載中10回

代数

環の次元を、素イデアルの鎖・超越次数・ヒルベルト多項式・巴系の長さと、いろいろな物差しで測る連載です。松村『可換環論』とアティヤ・マクドナルド『可換代数入門』にある次元論の定理を順に取り上げ、Spec の図で確かめます。

  1. 第1回素イデアルの鎖で測る次元:クルル次元と高さ
  2. 第2回上にある点と持ち上がる鎖:整拡大
  3. 第3回下へ延びる鎖:下降定理と開写像
  4. 第4回点が逃げない向きに射影する:ネーターの正規化定理と超越次数
  5. 第5回単項式を数えて測る次元:ヒルベルト多項式
  6. 第6回べきで割って数える:ヒルベルト–サミュエル多項式
  7. 第7回鎖の長さ・増える速さ・切る回数:次元定理
  8. 第8回式の本数と余次元:クルルの単項イデアル定理と高さ定理
  9. 第9回点まで切る元の組:巴系と解析的独立
  10. 第10回接空間と次元がそろう点:正則局所環