単項式を数えて測る次元：ヒルベルト多項式

この記事の要点

次数ごとに数える: 多項式環のように次数で分かれる環（次数付き環）では、次数 $n$ の部分の大きさ $H(n)$ を数えられます。 $k[x,y]$ では $n+1$ 、 $k[x,y,z]$ では $(n+1)(n+2)/2$ です。
母関数は有理関数: $H(n)$ を係数にもつべき級数（ポアンカレ級数）は、いつも $f(t)/\prod(1-t^{k_i})$ の形の有理関数です（ヒルベルト–セールの定理）。
やがて多項式になる: 次数1の元で生成されるとき、 $H(n)$ は十分大きい $n$ で $n$ の多項式（ヒルベルト多項式）に一致します。その次数は、 $t=1$ での極の位数 $d$ から1を引いたものです。
割ると1下がる: 斉次な非零因子で割ると $d$ はちょうど1下がります。次数 $e$ の平面曲線では $H(n)=en-e(e-3)/2$ となり、 $n$ の係数が曲線の次数を表します。

証明は、ステップの流れだけを短く書いています。「詳しく」の付いた行をクリックすると、そのステップの詳しい説明が開きます。説明の中にも開ける行があります。
定義・命題・定理には、記事全体で通し番号を振っています。
おさらいは前の回や前提の知識の確認、もう少し詳しくは補足、専門的な話は先の回につながる話題です。どれも開かずに読み進められます。
各ブロックの「AIに質問」を押すと、その部分の内容を入れた質問文で、お使いのAIを開けます。

次数ごとに単項式を数える

第1回では、環の次元を素イデアルの鎖の長さで定義しました。そのとき、次元にはほかにもいくつかの測り方があると述べました。今回はそのうちの1つ、「次数 $n$ の元がどれだけあるか」で次元を測る方法を扱います。

出発点は単純な数え上げです。次数 $n$ の単項式の個数は、変数の数によって次のように増えます。

\begin{aligned} k[x]&:\ 1\\ k[x,y]&:\ n+1\\ k[x,y,z]&:\ \frac{(n+1)(n+2)}{2} \\ &\phantom{:}\ =\frac{n^2}{2}+\frac{3n}{2}+1\end{aligned}

変数が $s$ 個なら、個数は $n$ の $s-1$ 次式になります。 $n$ について何次の式で増えるかが、次元を表しているわけです。

この数え方は、多項式環を割った環にも使えます。例えば平面曲線 $f(x,y,z)=0$ （ $f$ は $e$ 次の斉次式）の環 $k[x,y,z]/(f)$ では、次数 $n$ の部分の次元は十分大きい $n$ で $en-e(e-3)/2$ になります。 $n$ の1次式なので、曲線は1次元です。しかも $n$ の係数 $e$ に曲線の次数が現れます。

次数付き環と射影平面の関係は、代数幾何の連載の第5回で見ました。今回の結果は、次回（第6回）で局所環に移し、第7回の次元定理で「鎖の長さ＝多項式の次数＋1」につなげます。そのため、定理は局所環から作る次数付き環にも使える形で述べます。

環はすべて単位元をもつ可換環とします。

次数付き環と次数付き加群

定義1 次数付き環・次数付き加群 [1, 10.3節, p.164–165; 2, §13, p.112]

(1)　環 $A$ が加法群として $A=\bigoplus_{n\ge0}A_n$ と直和に分かれ、 $A_mA_n\subseteq A_{m+n}$ をみたすとき、 $A$ を次数付き環と呼ぶ。 $A_n$ の元を次数 $n$ の斉次元と呼ぶ。 $A_0$ は部分環で、各 $A_n$ は $A_0$ 加群である。 $A_+=\bigoplus_{n>0}A_n$ はイデアルで、 $A/A_+\cong A_0$ 。
(2)　 $A$ 加群 $M$ が $M=\bigoplus_{n\ge0}M_n$ と分かれ、 $A_mM_n\subseteq M_{m+n}$ をみたすとき、 $M$ を次数付き $A$ 加群と呼ぶ。 $x\in M$ を $x=\sum_n x_n$ （ $x_n\in M_n$ ）と書いたときの $x_n$ を、 $x$ の次数 $n$ の斉次成分と呼ぶ。
(3)　斉次元で生成される部分加群を斉次部分加群、斉次元で生成されるイデアルを斉次イデアルと呼ぶ。

図で読む代数幾何第5回の定義14と同じ定義です。今回は加群まで広げておきます。次回、局所環 $A$ とイデアル $q$ から作る次数付き環 $\bigoplus_n q^n/q^{n+1}$ と、その上の加群に当てはめるためです。

例2 次数付き環

(1)　多項式環 $A_0[x_1,\dots,x_s]$ は、 $A_n$ を $n$ 次の単項式の $A_0$ 係数の和の全体とすると次数付き環である。例えば $x^2+3xy\in A_2$ で、 $x^2+y$ は斉次元でない（斉次成分は $y\in A_1$ と $x^2\in A_2$ ）。
(2)　 $k[x,y]$ で $x$ に次数1、 $y$ に次数2を与えても次数付き環になる。このとき $x^2+y$ は次数2の斉次元で、 $A_n$ は $x^ay^b$ （ $a+2b=n$ ）で張られる。
(3)　 $F\in k[x_0,\dots,x_r]$ が斉次式なら、 $(F)$ は斉次イデアルで、 $k[x_0,\dots,x_r]/(F)$ は $(S/(F))_n=S_n/(F)_n$ により次数付き環になる（ $S=k[x_0,\dots,x_r]$ ）。
(4)　 $y-x^2$ は標準の次数（(1)）では斉次でないので、 $(y-x^2)$ は斉次イデアルでなく、 $k[x,y]$ の次数は剰余環 $k[x,y]/(y-x^2)$ に引き継がれない（剰余環そのものは $k[x]$ と同型で、別の次数なら入る）。(2) の次数なら $y-x^2$ は斉次で、剰余環に次数が入る。

斉次部分加群は、次の性質で特徴づけられます。例2(3) で剰余環に次数が入るのはこのためです。

命題3 [2, §13, p.112–113]

次数付き $A$ 加群 $M$ の部分加群 $N$ について、 $N$ が斉次部分加群であることと、 $N$ の元の斉次成分がすべて $N$ に入ることは同値である。このとき $N=\bigoplus_n N_n$ （ $N_n=N\cap M_n$ ）で、 $M/N=\bigoplus_n M_n/N_n$ は次数付き $A$ 加群である。

証明

斉次元 $h_j\in M_{r_j}$ で生成されるとし、 $x=\sum_j a_jh_j\in N$ の次数 $n$ の成分を取り出すと、 $a_j$ の次数 $n-r_j$ の成分 $(a_j)_{n-r_j}$ を使って $x_n=\sum_j(a_j)_{n-r_j}h_j\in N$ 。
逆に斉次成分がすべて $N$ に入るなら、 $N$ の元の斉次成分の全体が $N$ を生成する。
このとき $N=\bigoplus_n N_n$ で、 $M/N$ の元は $\sum_n(x_n+N_n)$ と一意に書ける。 $A_m(M_n/N_n)\subseteq M_{m+n}/N_{m+n}$ も成り立つ。

剰余環の次数付けを、次数ごとの完全列で書いておきます。 $S$ を次数付き環、 $J$ を斉次イデアルとすると、各 $n$ で横の行が完全列になります。次数1の元 $x$ を掛ける写像は行と行を結ぶ縦の矢印になり、どの四角も可換です。

\begin{CD} 0 @>>> J_n @>>> S_n @>>> (S/J)_n @>>> 0 \\ @. @V{x}VV @V{x}VV @V{x}VV @. \\ 0 @>>> J_{n+1} @>>> S_{n+1} @>>> (S/J)_{n+1} @>>> 0 \end{CD}

$S_0=k$ が体なら $\dim_k(S/J)_n=\dim_kS_n-\dim_kJ_n$ です。例えば $S=k[x,y]$ 、 $J=(xy)$ なら、 $J_n$ は $xy$ の倍元 $x^ay^b$ （ $a,b\ge1$ ）で張られ、次のように数えられます。

\dim_k(S/J)_n=(n+1)-(n-1)=2\quad(n\ge1)

\begin{gathered}\dim_k(S/J)_n=(n+1)-(n-1)=2\\(n\ge1)\end{gathered}

\begin{aligned}\dim_k(S/J)_n &= (n+1)-(n-1)\\&= 2\\[4pt]&(n\ge1)\end{aligned}

残るのは $x^n$ と $y^n$ の2つです。図1や超曲面の例でも、この引き算で $H(n)$ を求めます。

おさらいネーター環と有限生成

環 $R$ がネーター環であるとは、すべてのイデアルが有限個の元で生成されることです。イデアルの増大列 $J_1\subseteq J_2\subseteq\cdots$ がどこかで止まる、と言っても同じです。体、 $\mathbb{Z}$ 、 $k[x_1,\dots,x_n]$ はネーター環です。

無限個の変数の多項式環 $k[x_1,x_2,\dots]$ では $(x_1)\subsetneq(x_1,x_2)\subsetneq\cdots$ が止まらないので、ネーター環ではありません。

「有限生成」には2種類あり、取り違えやすいので並べておきます。 $A$ が $A_0$ 上の有限生成代数であるとは、変数 $X_i$ を $x_i\in A$ に送る全射があることです。

A_0[X_1,\dots,X_s]\xrightarrow{\ X_i\mapsto x_i\ }A\longrightarrow0

\begin{aligned}A_0[X_1,\dots,X_s]\xrightarrow{\ X_i\mapsto x_i\ }A &\longrightarrow 0\end{aligned}

$M$ が有限生成 $A$ 加群であるとは、標準基底 $e_j$ を $m_j\in M$ に送る全射があることです。

A^{t}\xrightarrow{\ e_j\mapsto m_j\ }M\longrightarrow0

\begin{aligned}A^{t}\xrightarrow{\ e_j\mapsto m_j\ }M &\longrightarrow 0\end{aligned}

前者は「 $x_i$ の多項式で書ける」、後者は「 $m_j$ の1次結合で書ける」です。 $k[x]$ は $k$ 上の有限生成代数（ $x$ 1つで生成）ですが、 $k$ 上の次元が無限なので有限生成 $k$ 加群ではありません。

ヒルベルトの基底定理から、ネーター環上の有限生成代数はネーター環です。多項式環 $A_0[X_1,\dots,X_s]$ がネーター環で、その剰余環もネーター環だからです。

ネーター環 $A$ 上の有限生成加群 $M$ では、部分加群 $N\subseteq M$ もまた有限生成です。この記事では、ヒルベルト–セールの定理の証明で $x_s$ の核 $K$ が有限生成であることに、この性質を使います。

次数付き環がネーター環であることは、 $A_0$ の言葉で言い換えられます。

命題4 [1, 命題10.7, p.165; 2, 定理13.1, p.114]

次数付き環 $A$ について、次は同値である。

(1)　 $A$ はネーター環である。
(2)　 $A_0$ はネーター環で、 $A$ は $A_0$ 上の有限生成代数である。

このとき、生成元は正の次数の斉次元 $x_1,\dots,x_s$ にとれる： $A=A_0[x_1,\dots,x_s]$ 。

証明

(1)⇒(2) $A_0\cong A/A_+$ はネーター環。 $A_+$ は有限生成イデアルなので、正の次数の斉次元 $x_1,\dots,x_s$ で生成される。

$A_+$ の生成元をとり、それぞれを斉次成分に分ける。斉次成分はどれも $A_+$ に入り（命題3）、次数は正である。
$A'=A_0[x_1,\dots,x_s]$ とおき、 $n$ についての帰納法で $A_n\subseteq A'$ を示す。 $n=0$ は明らか。
$n>0$ 、 $y\in A_n$ とすると $y\in A_+$ なので $y=\sum_i a_ix_i$ 。両辺の次数 $n$ の成分をとると、 $a_i\in A_{n-k_i}$ （ $k_i=\deg x_i$ 、 $n<k_i$ なら $a_i=0$ ）としてよい。

$n-k_i<n$ なので、帰納法の仮定から $a_i\in A'$ 。よって $y\in A'$ 。
(2)⇒(1) ヒルベルトの基底定理から、ネーター環上の有限生成代数はネーター環である。

$A=A_0[x_1,\dots,x_s]$ で $x_i$ の次数が $k_i$ なら、 $A_n$ は単項式 $x_1^{a_1}\cdots x_s^{a_s}$ （ $a_1k_1+\cdots+a_sk_s=n$ ）の $A_0$ 係数の和で書けます。次数が正なので、そのような単項式は有限個です。加群についても同じことが言えます。

補題5 [1, 11.1節, p.181; 2, §13, p.115]

$A=A_0[x_1,\dots,x_s]$ （ $x_i$ は次数 $k_i>0$ の斉次元）をネーター次数付き環、 $M$ を有限生成次数付き $A$ 加群とする。各 $M_n$ は有限生成 $A_0$ 加群である。 $s=0$ （ $A=A_0$ ）なら、十分大きい $n$ で $M_n=0$ 。

証明

$M$ の生成元を斉次成分に分ければ、 $M$ は有限個の斉次元 $m_1,\dots,m_t$ （ $m_j\in M_{r_j}$ ）で生成される。
$x=\sum_j a_jm_j\in M_n$ なら、次数 $n$ の成分をとって $x=\sum_j(a_j)_{n-r_j}m_j$ と書ける。 $(a_j)_{n-r_j}$ は次数 $n-r_j$ の単項式の $A_0$ 係数の和である。
よって $M_n$ は「次数 $n-r_j$ の単項式 $\times\,m_j$ 」の有限個で生成される。 $s=0$ なら単項式は $1$ だけなので、 $M_n$ は $r_j=n$ となる $m_j$ で生成され、 $n>\max r_j$ で $M_n=0$ 。

長さ：次元の代わりに使う物差し

$A_0$ が体 $k$ なら、 $M_n$ の大きさはベクトル空間の次元 $\dim_kM_n$ で測れます。しかし次回使う $\bigoplus_n q^n/q^{n+1}$ では、 $A_0=A/q$ は体とは限りません。例えば $A=k[x,y]_{(x,y)}$ 、 $q=(x^2,y)$ なら $A/q\cong k[x]/(x^2)$ です。

そこで、体の代わりにアルティン環の上で考え、次元の代わりに長さを使います。

おさらいアルティン環

環 $R$ がアルティン環であるとは、イデアルの減少列 $J_1\supseteq J_2\supseteq\cdots$ がどこかで止まることです。体、 $k[x]/(x^n)$ 、 $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ 、 $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ はアルティン環です。例えば $k[x]/(x^3)$ のイデアルは次の4つだけなので、減少列はすぐ止まります。

\begin{aligned} k[x]/(x^3)&\supsetneq(x)/(x^3) \\ &\supsetneq(x^2)/(x^3)\supsetneq0 \end{aligned}

$\mathbb{Z}$ と $k[x]$ はアルティン環ではありません。次の列が止まらないからです。

(2)\supsetneq(4)\supsetneq(8)\supsetneq\cdots\qquad (x)\supsetneq(x^2)\supsetneq(x^3)\supsetneq\cdots

\begin{gathered}(2)\supsetneq(4)\supsetneq(8)\supsetneq\cdots\\(x)\supsetneq(x^2)\supsetneq(x^3)\supsetneq\cdots\end{gathered}

アルティン環であることは、次元0のネーター環であることと同値です [1, 定理8.5, p.139]。とくにアルティン環の素イデアルはすべて極大イデアルです（第1回の命題2(4)）。

$A$ をネーター局所環、 $M$ を極大イデアルとし、 $M^n\subseteq q\subseteq M$ とします。 $A/q$ の素イデアルは $q$ を含む $A$ の素イデアル $P$ と対応し、 $P\supseteq q\supseteq M^n$ から $P\supseteq M$ 、つまり $P=M$ です。

\operatorname{Spec}(A/q)\ \xrightarrow{\ \cong\ }\ V(q)=\{M\}\ \subseteq\ \operatorname{Spec}A

\begin{aligned}\operatorname{Spec}(A/q)\ \xrightarrow{\ \cong\ }\ V(q) &= \{M\}\\&\subseteq \operatorname{Spec}A\end{aligned}

素イデアルが1つしかないネーター環なので、 $A/q$ は次元0、つまりアルティン環です。上の $A=k[x,y]_{(x,y)}$ 、 $q=(x^2,y)$ では $A/q\cong k[x]/(x^2)$ で、確かにアルティン環です。

定義6 組成列と長さ [1, 第6章, p.118–119; 2, §2, p.15]

環 $R$ 上の加群 $M$ の部分加群の列

M=M_0\supsetneq M_1\supsetneq\cdots\supsetneq M_\ell=0

\begin{aligned}M &= M_0\supsetneq M_1\supsetneq\cdots\supsetneq M_\ell\\&= 0\end{aligned}

で、各 $M_{i-1}/M_i$ が単純（ $0$ でなく、 $0$ と自分自身のほかに部分加群をもたない）であるものを組成列と呼ぶ。組成列をもつ $M$ では、どの組成列も同じ長さ $\ell$ をもつ。これを $M$ の長さと呼び、 $\ell_R(M)$ または $\ell(M)$ と書く。組成列をもたないときは $\ell(M)=\infty$ とする。

組成列の長さが組成列のとり方によらないことは、ジョルダン–ヘルダーの定理と同じ形の議論で示されます [1, 命題6.7, p.118]。単純な加群は、ある極大イデアル $M'$ について $R/M'$ と同型なので、長さは「1次元のかけら」が何個積み重なっているかを数えています。

おさらい単純加群とジョルダン–ヘルダーの定理

単純な $R$ 加群 $N$ は、ある極大イデアル $M'$ について $R/M'$ と同型です。 $0$ でない $m\in N$ をとると、 $a\mapsto am$ は全射 $R\to N$ になり（像は $0$ でない部分加群なので $N$ 全体）、その核 $M'$ は極大イデアルになるからです。

0\longrightarrow M'\longrightarrow R\xrightarrow{\ a\mapsto am\ }N\longrightarrow0\qquad N\cong R/M'

\begin{gathered}0\longrightarrow M'\longrightarrow R\xrightarrow{\ a\mapsto am\ }N\longrightarrow0\\N\cong R/M'\end{gathered}

\begin{aligned}0 &\longrightarrow M'\\&\longrightarrow R\xrightarrow{\ a\mapsto am\ }N\\&\longrightarrow 0\\[4pt]N &\cong R/M'\end{aligned}

ジョルダン–ヘルダーの定理は、2つの組成列の長さが等しいだけでなく、各段の商（組成因子）も順番を入れ替えれば同型になる、という主張です。 $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ の2つの組成列で、下に各段の商を書くと次のようになります。

\begin{gathered} \mathbb{Z}/12\underset{\textstyle\mathbb{Z}/2}{\supsetneq}2\mathbb{Z}/12\underset{\textstyle\mathbb{Z}/2}{\supsetneq}4\mathbb{Z}/12\underset{\textstyle\mathbb{Z}/3}{\supsetneq}0 \\[8pt] \mathbb{Z}/12\underset{\textstyle\mathbb{Z}/3}{\supsetneq}3\mathbb{Z}/12\underset{\textstyle\mathbb{Z}/2}{\supsetneq}6\mathbb{Z}/12\underset{\textstyle\mathbb{Z}/2}{\supsetneq}0 \end{gathered}

どちらも $\mathbb{Z}/2$ が2個と $\mathbb{Z}/3$ が1個で、長さは3です。組成因子 $\mathbb{Z}/2=\mathbb{Z}/(2)$ と $\mathbb{Z}/3=\mathbb{Z}/(3)$ は、極大イデアル $(2),(3)$ による剰余環になっています。

例7 長さ

(1)　体 $k$ 上のベクトル空間 $V$ では $\ell_k(V)=\dim_kV$ [1, 命題6.10, p.120]。基底を1本ずつ減らす列が組成列になる。
(2)　 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\supsetneq2\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\supsetneq0$ は組成列で、 $\ell_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})=2$ 。同じく $12=2\cdot2\cdot3$ から $\ell_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})=3$ 。
(3)　 $k[x]/(x^3)\supsetneq(x)/(x^3)\supsetneq(x^2)/(x^3)\supsetneq0$ は組成列（各段の商は $k$ ）で、長さは3。 $k$ 上の次元も3である。
(4)　 $\mathbb{Z}\supsetneq2\mathbb{Z}\supsetneq4\mathbb{Z}\supsetneq\cdots$ はいくらでも伸びるので、 $\ell_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z})=\infty$ 。

命題8 長さの性質 [1, 命題6.9, p.119; 1, 命題6.5, p.118; 1, 定理8.5, p.139]

(1)　（加法性）完全列 $0\to M'\xrightarrow{\alpha}M\xrightarrow{\beta}M''\to0$ について $\ell(M)=\ell(M')+\ell(M'')$ 。
(2)　 $R$ がアルティン環なら、有限生成 $R$ 加群の長さは有限である。

証明

(1) $M'$ の組成列を $\alpha$ で $M$ に写し、 $M''$ の組成列を $\beta$ で $M$ に引き戻してつなぐと、 $M$ の組成列になる。

$M''=N_0\supsetneq\cdots\supsetneq N_b=0$ 、 $M'=L_0\supsetneq\cdots\supsetneq L_a=0$ とすると
$M=\beta^{-1}(N_0)\supsetneq\cdots\supsetneq\beta^{-1}(N_b)=\alpha(M')=\alpha(L_0)\supsetneq\cdots\supsetneq\alpha(L_a)=0$ $\begin{aligned}M &= \beta^{-1}(N_0)\supsetneq\cdots\supsetneq\beta^{-1}(N_b)\\&= \alpha(M')\\&= \alpha(L_0)\supsetneq\cdots\supsetneq\alpha(L_a)\\&= 0\end{aligned}$
で、 $\beta^{-1}(N_{i-1})/\beta^{-1}(N_i)\cong N_{i-1}/N_i$ 、 $\alpha(L_{j-1})/\alpha(L_j)\cong L_{j-1}/L_j$ はどれも単純。長さは $a+b$ 。一方が無限なら $M$ も無限である。
(2) アルティン環はネーター環なので、有限生成 $R$ 加群 $M$ は $R^n$ の剰余加群として、部分加群の増大列と減少列がどちらも止まる。そのような加群は組成列をもつ。

アルティン環がネーター環であることは AM 定理8.5（アルティン環 ⇔ 次元0のネーター環）。 $R^n$ は増大列・減少列がどちらも止まり、その剰余加群も同じ（AM 命題6.5）。増大列・減少列が止まる加群では、極大な部分加群を順にとっていく列が有限で止まり、組成列になる（AM 命題6.8, p.119）。

(1) の加法性から、完全列 $0\to M_1\to M_2\to\cdots\to M_r\to0$ について $\sum_i(-1)^i\ell(M_i)=0$ も分かります。像で短い完全列に切り分ければよいからです。以下の計算で使うのは、ほとんどこの加法性だけです。

アルティン環の例は、体、 $k[x]/(x^n)$ 、 $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ などです。次回は、ネーター局所環 $A$ の極大イデアル $M$ について $M^n\subseteq q\subseteq M$ となるイデアル $q$ をとり、 $A/q$ を使います。これもアルティン環です。

ポアンカレ級数：有理関数になる

以下ではずっと、次の設定で考えます。

定義9 ヒルベルト関数とポアンカレ級数 [1, 11.1節, p.181; 2, §13, p.115; 3, §7.1, p.120]

$A=\bigoplus_{n\ge0}A_n$ をネーター次数付き環で $A_0$ はアルティン環とし、 $M=\bigoplus_{n\ge0}M_n$ を有限生成次数付き $A$ 加群とする。各 $M_n$ は有限生成 $A_0$ 加群なので長さは有限である（補題5、命題8(2)）。

H_M(n)=\ell_{A_0}(M_n)\qquad P(M,t)=\sum_{n\ge0}\ell_{A_0}(M_n)\,t^n\in\mathbb{Z}[[t]]

\begin{gathered}H_M(n)=\ell_{A_0}(M_n)\\P(M,t)=\sum_{n\ge0}\ell_{A_0}(M_n)\,t^n\in\mathbb{Z}[[t]]\end{gathered}

\begin{aligned}H_M(n) &= \ell_{A_0}(M_n)\\[4pt]P(M,t) &= \sum_{n\ge0}\ell_{A_0}(M_n)\,t^n\in\mathbb{Z}[[t]]\end{aligned}

を、それぞれ $M$ のヒルベルト関数、ポアンカレ級数と呼ぶ。

$A_0=k$ が体なら $H_M(n)=\dim_kM_n$ です。ポアンカレ級数は、数列 $H_M(0),H_M(1),\dots$ をまとめた母関数です。

例10 ポアンカレ級数

(1)　 $A=k[x]$ ： $A_n=kx^n$ なので

P(A,t)=1+t+t^2+\cdots=\frac{1}{1-t}

\begin{aligned}P(A,t) &= 1+t+t^2+\cdots\\&= \frac{1}{1-t}\end{aligned}

(2)　 $A=k[x,y]$ ： $A_n$ は $x^n,x^{n-1}y,\dots,y^n$ で張られ、 $H_A(n)=n+1$ 。

P(A,t)=\sum_{n\ge0}(n+1)t^n=\frac{1}{(1-t)^2}

\begin{aligned}P(A,t) &= \sum_{n\ge0}(n+1)t^n\\&= \frac{1}{(1-t)^2}\end{aligned}

(3)　 $A=k[x]$ で $\deg x=2$ ： $A_n$ は $n$ が偶数なら $kx^{n/2}$ 、奇数なら $0$ 。

P(A,t)=1+t^2+t^4+\cdots=\frac{1}{1-t^2}

\begin{aligned}P(A,t) &= 1+t^2+t^4+\cdots\\&= \frac{1}{1-t^2}\end{aligned}

(4)　 $M=k[x,y]/(x^2,\ xy)$ ：残る単項式は $1,\ x,\ y,\ y^2,\ y^3,\dots$ で、 $H_M=1,2,1,1,1,\dots$ 。

P(M,t)=1+2t+\frac{t^2}{1-t}=\frac{1+t-t^2}{1-t}

\begin{aligned}P(M,t) &= 1+2t+\frac{t^2}{1-t}\\&= \frac{1+t-t^2}{1-t}\end{aligned}

(5)　 $A_0=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 、 $A=A_0[x]$ ： $A_n=A_0x^n$ の長さは2なので $P(A,t)=2/(1-t)$ 。

(2) は $\frac{1}{1-t}\cdot\frac{1}{1-t}$ を展開すると、 $t^n$ の係数が $a+b=n$ となる $(a,b)$ の個数 $n+1$ になることからも分かります。(4) では $x^2$ と $xy$ の倍元が消えるので、残る単項式を数えました。

どの例でも、ポアンカレ級数は多項式を $1-t^k$ の積で割った形をしています。これが一般に成り立つというのが次の定理です。

定理11 ヒルベルト–セール [1, 定理11.1, p.181; 2, 定理13.2, p.115; 3, 定理7.1, p.120; 4, 命題7.54, p.210]

定義9の設定で、 $A=A_0[x_1,\dots,x_s]$ 、 $x_i$ は次数 $k_i>0$ の斉次元とする。整数係数の多項式 $f(t)\in\mathbb{Z}[t]$ があって

P(M,t)=\frac{f(t)}{\prod_{i=1}^{s}(1-t^{k_i})}

\begin{aligned}P(M,t) &= \frac{f(t)}{\prod_{i=1}^{s}(1-t^{k_i})}\end{aligned}

証明

$s$ （生成元の個数）についての帰納法で示す。 $s=0$ なら $A=A_0$ で、補題5から十分大きい $n$ で $M_n=0$ 。 $P(M,t)$ は多項式である。
$s>0$ とし、 $k=k_s$ とおく。 $x_s$ を掛ける写像 $M_n\to M_{n+k}$ の核を $K_n$ 、余核を $L_{n+k}$ とすると、完全列ができる。
$0\to K_n\to M_n\xrightarrow{\ x_s\ }M_{n+k}\to L_{n+k}\to0$ $\begin{aligned}0 &\to K_n\\&\to M_n\xrightarrow{\ x_s\ }M_{n+k}\\&\to L_{n+k}\\&\to 0\end{aligned}$
$K=\bigoplus_nK_n=\{m\in M\mid x_sm=0\}$ は斉次部分加群、 $L=M/x_sM$ は次数付き剰余加群で、 $L_n=M_n/x_sM_{n-k}$ 。とくに $j<k$ では $L_j=M_j$ （ $x_sM$ に次数 $k$ 未満の元はない）。
$K,L$ は有限生成 $A$ 加群で $x_s$ に零化されるので、 $A'=A_0[x_1,\dots,x_{s-1}]$ 上の有限生成次数付き加群である。帰納法の仮定が使える。

ネーター環 $A$ 上の有限生成加群 $M$ では部分加群も有限生成なので、 $K$ は有限生成である。 $L$ は $M$ の剰余加群なので有限生成。 $x_s$ は0として作用するので、 $A$ の作用は $A'$ の作用で決まる。 $A'$ も $A_0$ 上 $s-1$ 個の斉次元で生成されるネーター次数付き環である。

$L$ に $x_s$ が0として作用することは、射影 $\pi:M\to L$ との可換図式で見える。 $\pi(x_sm)$ は $x_sM$ の元の像なので0である。
$\begin{CD} M_n @>{x_s}>> M_{n+k} \\ @V{\pi}VV @VV{\pi}V \\ L_n @>{0}>> L_{n+k} \end{CD}$
$K$ については、定義 $K=\{m\mid x_sm=0\}$ から $x_sK=0$ である。
完全列と長さの加法性から $\ell(K_n)-\ell(M_n)+\ell(M_{n+k})-\ell(L_{n+k})=0$ 。

$x_s$ の像を $I_{n+k}=x_sM_n\subseteq M_{n+k}$ とすると、4項の完全列は $I_{n+k}$ を通って2本の短い完全列に分かれる。
$\begin{aligned} \begin{matrix} 0\to K_n\to M_n & \xrightarrow{\ \ x_s\ \ } & M_{n+k} \\ & \searrow\quad\nearrow & \\ & I_{n+k} & \end{matrix} \\ \to L_{n+k}\to0 \end{aligned}$
つまり $0\to K_n\to M_n\to I_{n+k}\to0$ と $0\to I_{n+k}\to M_{n+k}\to L_{n+k}\to0$ が完全。命題8(1) から $\ell(M_n)=\ell(K_n)+\ell(I_{n+k})$ 、 $\ell(M_{n+k})=\ell(I_{n+k})+\ell(L_{n+k})$ 。 $\ell(I_{n+k})$ を消去すればよい。
$t^{n+k}$ を掛けて $n\ge0$ で足すと、 $(1-t^k)P(M,t)=P(L,t)-t^kP(K,t)$ 。

各項の和は次のとおり。
$\begin{aligned} \sum_{n\ge0}\ell(M_n)t^{n+k}&=t^kP(M,t)\\ \sum_{n\ge0}\ell(M_{n+k})t^{n+k}&=P(M,t) \\ &\quad-\sum_{j<k}\ell(M_j)t^j\\ \sum_{n\ge0}\ell(L_{n+k})t^{n+k}&=P(L,t) \\ &\quad-\sum_{j<k}\ell(L_j)t^j\end{aligned}$
$j<k$ で $L_j=M_j$ なので、2行目と3行目の $\sum_{j<k}$ は打ち消しあう。残りを整理すると $t^kP(K,t)-t^kP(M,t)+P(M,t)-P(L,t)=0$ 。
帰納法の仮定から $P(K,t)$ 、 $P(L,t)$ は「整数係数の多項式 $/\prod_{i<s}(1-t^{k_i})$ 」の形。両辺を $1-t^{k_s}$ で割れば $P(M,t)$ も求める形になる。

証明の完全列は、次数をずらした加群を使うと1本の列にまとめられます。次数付き加群 $M$ について、 $M(-k)$ を $M(-k)_n=M_{n-k}$ （ $n<k$ では $0$ ）と次数を付け直した加群とします。 $x_s$ を掛ける写像は $M(-k)\to M$ の次数を保つ写像になり、次の完全列ができます。

0\longrightarrow K(-k)\longrightarrow M(-k)\xrightarrow{\ x_s\ }M\longrightarrow L\longrightarrow0

\begin{aligned}0 &\longrightarrow K(-k)\\&\longrightarrow M(-k)\xrightarrow{\ x_s\ }M\\&\longrightarrow L\\&\longrightarrow 0\end{aligned}

次数 $n+k$ の部分を取り出すと、証明の列 $0\to K_n\to M_n\to M_{n+k}\to L_{n+k}\to0$ になります。次数 $j<k$ の部分は $0\to0\to0\to M_j\to L_j\to0$ で、 $L_j=M_j$ を表しています。

次数をずらすとポアンカレ級数には $t^k$ が掛かります。

P(M(-k),t)=\sum_{n\ge k}\ell(M_{n-k})\,t^n=t^kP(M,t)

\begin{aligned}P(M(-k),t) &= \sum_{n\ge k}\ell(M_{n-k})\,t^n\\&= t^kP(M,t)\end{aligned}

各次数で長さの交代和が0になるので、4つの級数の交代和も0です。

\begin{aligned} &t^kP(K,t)-t^kP(M,t) \\ &\quad+P(M,t)-P(L,t)=0 \end{aligned}

次数をずらした列を使うと、証明の5番目のステップで $j<k$ の項を打ち消しあわせる計算が要らなくなります。

証明の式 $(1-t^k)P(M,t)=P(L,t)-t^kP(K,t)$ で、例10(2) を確かめます。 $M=k[x,y]$ 、 $x_s=y$ とすると、 $y$ を掛ける写像は単射なので $K=0$ 、 $L=k[x,y]/(y)\cong k[x]$ です。

\begin{aligned} (1-t)\,P(k[x,y],t)&=P(k[x],t) \\ &=\frac{1}{1-t} \\ \Longrightarrow\quad P(k[x,y],t)&=\frac{1}{(1-t)^2}\end{aligned}

変数を1つずつ0にしていくと、 $P(k[x_1,\dots,x_s],t)=1/(1-t)^s$ も同じ計算で出ます。

専門的な話長さ以外の物差しとグロタンディーク群

証明で長さについて使ったのは、加法性 $\ell(M)=\ell(M')+\ell(M'')$ だけでした。アティヤ・マクドナルドと堀田は、有限生成 $A_0$ 加群に整数を対応させる加法的な関数 $\lambda$ なら何でもよい形で定理を述べています [1, 11.1節, p.181; 3, §7.1, p.120]。 $A_0$ がネーター環でありさえすればよく、アルティン環である必要もありません。

加法的な関数をすべてまとめたものが、グロタンディーク群 $K(A_0)$ です。有限生成 $A_0$ 加群 $N$ の類 $[N]$ を生成元とし、短完全列ごとに $[N]=[N']+[N'']$ という関係を入れた加法群です。ポアンカレ級数を $\sum_n[M_n]t^n\in K(A_0)[[t]]$ と考えても、同じ証明で定理が成り立ちます。これはアティヤ・マクドナルドの演習問題11.5です [1, 演習問題11.5, p.194]。この連載では長さだけを使います。

ヒルベルト多項式

ポアンカレ級数が有理関数なので、その極を調べることができます。次元に関わるのは $t=1$ での極です。

定義12 $d(M)$ [1, 11.1節, p.182; 2, §13, p.116]

定理11の有理関数 $P(M,t)$ の、 $t=1$ での極の位数を $d(M)$ と書く。 $t=1$ で極をもたなければ $d(M)=0$ とする（ $M=0$ のときも $d(M)=0$ ）。

$P(M,t)$ の係数は0以上なので、 $M\neq0$ なら $0<t<1$ で $P(M,t)>0$ です。そのため $P(M,t)$ が $t=1$ で0になることはなく、 $d(M)\ge0$ です。

以下では、 $A$ が次数1の元で生成される場合（すべての $k_i=1$ ）を考えます。 $\prod_i(1-t)=(1-t)^s$ なので、分母と分子に共通の $1-t$ を約分すると、次の形に書けます。

P(M,t)=\frac{f_0(t)}{(1-t)^{d}}\qquad f_0(t)\in\mathbb{Z}[t]\quad d=d(M)\quad f_0(1)\neq0\ (M\neq0)

\begin{gathered}P(M,t)=\frac{f_0(t)}{(1-t)^{d}}\\f_0(t)\in\mathbb{Z}[t]\\d=d(M)\\f_0(1)\neq0\ (M\neq0)\end{gathered}

\begin{aligned}P(M,t) &= \frac{f_0(t)}{(1-t)^{d}}\\[4pt]&f_0(t)\in\mathbb{Z}[t]\\[4pt]d &= d(M)\\[4pt]f_0(1) &\neq 0\ (M\neq0)\end{aligned}

おさらい二項係数を多項式とみる

整数 $r\ge0$ について、二項係数を次の式で定めると、どんな整数 $m$ にも値が決まります。

\binom{m}{r}=\frac{m(m-1)\cdots(m-r+1)}{r!}

\begin{aligned}\binom{m}{r} &= \frac{m(m-1)\cdots(m-r+1)}{r!}\end{aligned}

右辺は $m$ の $r$ 次の多項式で、最高次の係数は $1/r!$ です。 $m\ge0$ では「 $m$ 個から $r$ 個選ぶ方法の数」に一致し、 $0\le m<r$ では分子に因子 $0$ が入るので $0$ になります。

例えば $\binom{n+1}{1}=n+1$ 、 $\binom{n+2}{2}$ は次のように展開できます。

\binom{n+2}{2}=\frac{(n+2)(n+1)}{2}=\frac12n^2+\frac32n+1

\begin{aligned}\binom{n+2}{2} &= \frac{(n+2)(n+1)}{2}\\&= \frac12n^2+\frac32n+1\end{aligned}

一方、 $m<0$ では $0$ になるとは限りません。例えば $\binom{-1}{2}=\frac{(-1)(-2)}{2}=1$ です。下の定理で「十分大きい $n$ 」と言うのは、このような値を避けるためでもあります。

パスカルの三角形の関係 $\binom{m}{r}-\binom{m-1}{r}=\binom{m-1}{r-1}$ は、 $(1-t)$ を掛けると $(1-t)^{-d}$ が $(1-t)^{-(d-1)}$ になることと同じ内容です。 $t^n$ の係数を比べると次の式になります。

\begin{aligned} &\binom{n+d-1}{d-1}-\binom{n+d-2}{d-1} \\ &\quad=\binom{n+d-2}{d-2}\qquad(d\ge2) \end{aligned}

定理13 ヒルベルト多項式 [1, 系11.2, p.182; 2, 定理13.2 系, p.117; 3, 命題7.2, p.121]

定義9の設定で、 $A$ は $A_0$ 上、有限個の次数1の元で生成されるとする。 $M\neq0$ 、 $d=d(M)$ 、 $P(M,t)=f_0(t)/(1-t)^d$ 、 $f_0(t)=\sum_{i=0}^{s}a_it^i$ （ $a_s\neq0$ ）と書く。

(1)　 $d\ge1$ なら、 $n\ge s$ で

\ell(M_n)=\sum_{i=0}^{s}a_i\binom{n-i+d-1}{d-1}

\begin{aligned}\ell(M_n) &= \sum_{i=0}^{s}a_i\binom{n-i+d-1}{d-1}\end{aligned}

右辺は $n$ の有理数係数の多項式で、次数は $d-1$ 、最高次の係数は $f_0(1)/(d-1)!$ である。
(2)　 $d=0$ なら、 $n>s$ で $\ell(M_n)=0$ 。

どちらの場合も、有理数係数の多項式 $\varphi_M$ で、十分大きい $n$ について $\ell(M_n)=\varphi_M(n)$ となるものがただ1つある。その次数は $d-1$ である（0 の多項式の次数は $-1$ とする）。 $\varphi_M$ を $M$ のヒルベルト多項式と呼ぶ。

証明

$\displaystyle(1-t)^{-d}=\sum_{m\ge0}\binom{m+d-1}{d-1}t^m$ を示す。

$(1-t)^{-1}$ を $d$ 個掛けると、 $t^m$ の係数は $m=c_1+\cdots+c_d$ （ $c_i\ge0$ ）となる $(c_1,\dots,c_d)$ の個数になる。それは、 $m$ 個の玉と $d-1$ 本の仕切りを並べる方法の数 $\binom{m+d-1}{d-1}$ である。
$f_0(t)(1-t)^{-d}$ の $t^n$ の係数は $\sum_{i\le\min(s,n)}a_i\binom{n-i+d-1}{d-1}$ 。 $n\ge s$ なら $i=0,\dots,s$ がすべて現れ、(1) の式になる。
$n\ge i$ では $\binom{n-i+d-1}{d-1}=\frac{(n-i+d-1)(n-i+d-2)\cdots(n-i+1)}{(d-1)!}$ で、これは $n$ の $d-1$ 次式、最高次の係数は $1/(d-1)!$ 。
足し合わせると、最高次の係数は $\sum_ia_i/(d-1)!=f_0(1)/(d-1)!\neq0$ なので、次数はちょうど $d-1$ 。
(2) $d=0$ なら $P(M,t)=f_0(t)$ は $s$ 次の多項式なので、 $n>s$ で $\ell(M_n)=0$ 。 $\varphi_M=0$ とすればよい。
一意性：2つの多項式が無限個の $n$ で等しければ、差は無限個の根をもつので0である。

(2) で $n\ge s$ ではなく $n>s$ としているのは、 $n=s$ では $\ell(M_s)=a_s\neq0$ だからです。例えば $M=k[x]/(x)=k$ では $P(M,t)=1$ 、 $s=0$ で、 $\ell(M_0)=1$ ですが $\varphi_M=0$ です。

松村の系は $d$ を区別せず「 $n\ge s$ ならば」と書いていますが、 $d=0$ のときはこのように $n>s$ とする必要があります。

$\varphi_M$ は整数で整数値をとりますが、係数は整数とは限りません。例えば $\binom{n+2}{2}=\frac12n^2+\frac32n+1$ です [1, 系11.2の注意, p.182]。

アティヤ・マクドナルドは、この多項式もヒルベルト関数と呼んでいます。この記事では、数列 $\ell(M_n)$ をヒルベルト関数、多項式 $\varphi_M$ をヒルベルト多項式と呼び分けます。

例14 多項式環 [1, 11.1節例, p.183; 2, §13 例1, p.117; 3, 例7.3, p.122]

$A_0$ をアルティン環、 $A=A_0[x_1,\dots,x_s]$ を多項式環とする。 $A_n$ は $n$ 次の単項式 $\binom{n+s-1}{s-1}$ 個を基底とする自由 $A_0$ 加群なので

\ell(A_n)=\ell(A_0)\binom{n+s-1}{s-1}\qquad P(A,t)=\frac{\ell(A_0)}{(1-t)^s}\qquad d(A)=s

\begin{gathered}\ell(A_n)=\ell(A_0)\binom{n+s-1}{s-1}\\P(A,t)=\frac{\ell(A_0)}{(1-t)^s}\\d(A)=s\end{gathered}

\begin{aligned}\ell(A_n) &= \ell(A_0)\binom{n+s-1}{s-1}\\[4pt]P(A,t) &= \frac{\ell(A_0)}{(1-t)^s}\\[4pt]d(A) &= s\end{aligned}

アティヤ・マクドナルドはここで $P(A,t)=(1-t)^{-s}$ と書いていますが、これは $A_0$ が体のときの式です。一般には $\ell(A_0)$ 倍が付きます。例えば $A_0=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 、 $s=1$ なら例10(5) のとおり $P=2/(1-t)$ です。

体 $k$ の上で $s$ を変えると、次のようになります。

\begin{aligned} s=1&:\ \varphi(n)=1\\ s=2&:\ \varphi(n)=n+1\\ s=3&:\ \varphi(n)=\binom{n+2}{2} \\ &\phantom{:\ \varphi(n)}=\tfrac12n^2+\tfrac32n+1\\ s=4&:\ \varphi(n)=\binom{n+3}{3} \\ &\phantom{:\ \varphi(n)}=\tfrac16n^3+n^2+\tfrac{11}{6}n+1\end{aligned}

多項式の次数は $s-1$ で、 $d(A)=s$ はクルル次元 $\dim k[x_1,\dots,x_s]=s$ （第4回の系16）に一致します。偶然ではないことを、この記事の最後と第7回で見ます。

図1は、剰余環の $H(n)$ を単項式の数え上げで求めたものです。単項式で生成されるイデアル $J$ について、 $J$ に入らない単項式が $k[x,y]/J$ の基底になります。

a

b

k[x,y]

n

H(n)

n+1

0

1

1

1

2

2

2

3

3

3

4

4

4

5

5

5

6

6

6

7

7

a

b

k[x,y]/(x^2,\ xy)

n

H(n)

1

0

1

1

1

2

1

2

1

1

3

1

1

4

1

1

5

1

1

6

1

1

a

b

k[x,y]/(x^2y^3)

n

H(n)

5

0

1

5

1

2

5

2

3

5

3

4

5

4

5

5

5

5

5

6

5

5

a

b

k[x,y]/(x^2,\ y^3)

n

H(n)

0

0

1

0

1

2

0

2

2

0

3

1

0

4

0

0

5

0

0

6

0

0

図1具体例単項式

x^ay^b

を格子点

(a,b)

で描き、イデアル

J

に入らないもの（残る単項式）を青、入るものを白抜きにしました。破線の対角線

a+b=n

の上にある青い点の数が

H(n)=\dim_k(k[x,y]/J)_n

で、対角線が横軸と交わる位置の下に書いています。その下の行がヒルベルト多項式の値で、

H(n)

と一致する範囲を緑にしました。

(x^2,\ xy)

では

n=0

でもたまたま一致しますが、

n=1

で外れ、

n\ge2

からずっと一致します。図の数はすべて、生成時に数え上げとポアンカレ級数の展開の両方で計算して確かめています。

4つの剰余環のポアンカレ級数と $d$ は次のとおりです。

\begin{aligned} k[x,y]&:\ \frac{1}{(1-t)^2}\\ &\phantom{:}\ \ d=2\\ k[x,y]/(x^2,\ xy)&:\ \frac{1+t-t^2}{1-t}\\ &\phantom{:}\ \ d=1\\ k[x,y]/(x^2y^3)&:\ \frac{1+t+t^2+t^3+t^4}{1-t}\\ &\phantom{:}\ \ d=1\\ k[x,y]/(x^2,\ y^3)&:\ 1+2t+2t^2+t^3\\ &\phantom{:}\ \ d=0\end{aligned}

$d=1$ の2つは、どちらもヒルベルト多項式が定数です。 $k[x,y]/(x^2y^3)$ の定数 $5$ は $f_0(1)=1+1+1+1+1$ で、 $x^2y^3$ の次数に等しくなっています。射影直線の上では、 $x^2y^3=0$ は点 $[0:1]$ を2重に、点 $[1:0]$ を3重に数えた5点を表しています。

$k[x,y]/(x^2,\ xy)$ の定数 $1$ は、点 $x=0$ の1個です。 $(x^2,\ xy)=(x)\cap(x^2,y)$ と分けると、成分 $(x^2,y)$ は $(x,y)^2$ を含むので、次数の低いところにしか効きません。 $H(1)=2$ のずれはこの成分から来ていて、ヒルベルト多項式には現れません。

$k[x,y]/(x^2,\ y^3)$ は長さ有限（ $k$ 上6次元）で、 $d=0$ です。 $n\ge4$ で $H(n)=0$ なので、 $\varphi=0$ です。射影直線の上では空集合にあたります。

斉次な非零因子で割ると $d$ が1下がる

$k[x,y]$ の $d=2$ が、 $x^2y^3$ で割ると $d=1$ に下がりました。一般に、割る元が非零因子なら $d$ はちょうど1下がります。

命題15 [1, 命題11.3, p.183; 4, 補題7.52 (3), p.209]

定義9の設定で $M\neq0$ とし、 $x\in A_k$ （ $k>0$ ）は $M$ の非零因子（ $xm=0\Rightarrow m=0$ ）とする。このとき

P(M/xM,t)=(1-t^k)\,P(M,t)\qquad d(M)\ge1\qquad d(M/xM)=d(M)-1

\begin{gathered}P(M/xM,t)=(1-t^k)\,P(M,t)\\d(M)\ge1\\d(M/xM)=d(M)-1\end{gathered}

\begin{aligned}P(M/xM,t) &= (1-t^k)\,P(M,t)\\[4pt]d(M) &\ge 1\\[4pt]d(M/xM) &= d(M)-1\end{aligned}

証明

定理11の証明の完全列で $x_s$ を $x$ に置き換えると、 $x$ が非零因子なので $K=0$ となり、 $(1-t^k)P(M,t)=P(M/xM,t)$ が出る。

証明の5番目のステップの計算は、 $x$ が生成元の1つであることを使っていない。 $K_n=\{m\in M_n\mid xm=0\}=0$ を代入すればよい。次数をずらした完全列で書けば、次の短い完全列になる。
$0\longrightarrow M(-k)\xrightarrow{\ x\ }M\longrightarrow M/xM\longrightarrow0$ $\begin{aligned}0 &\longrightarrow M(-k)\xrightarrow{\ x\ }M\\&\longrightarrow M/xM\\&\longrightarrow 0\end{aligned}$
$d(M)\ge1$ ： $M_{n_0}\neq0$ となる $n_0$ をとると、 $x$ を掛ける写像は単射なので、すべての $j\ge0$ で $M_{n_0+jk}\neq0$ 。

よって $0<t<1$ で
$P(M,t)\ \ge\ \sum_{j\ge0}t^{n_0+jk}=\frac{t^{n_0}}{1-t^k}\ \longrightarrow\ \infty\quad(t\to1)$ $\begin{gathered}P(M,t)\ \ge\ \sum_{j\ge0}t^{n_0+jk}=\frac{t^{n_0}}{1-t^k}\ \longrightarrow\ \infty\\(t\to1)\end{gathered}$ $\begin{aligned}P(M,t) &\ge \sum_{j\ge0}t^{n_0+jk}\\&= \frac{t^{n_0}}{1-t^k}\\&\longrightarrow \infty\\[4pt]&(t\to1)\end{aligned}$
有理関数 $P(M,t)$ は $t\to1$ で発散するので、 $t=1$ に極をもつ。
$1-t^k=(1-t)(1+t+\cdots+t^{k-1})$ で、2つめの因子は $t=1$ で $k\neq0$ 。よって $1-t^k$ を掛けると、 $t=1$ での極の位数はちょうど1下がる。

図2の左は、 $M=k[x,y]/(y^3)$ で $x$ を掛ける写像を描いたものです。どの点にも右隣に移り先があり（単射）、移り先にならない左端の列が $M/xM=k[y]/(y^3)$ の基底になります。式では次のとおりです。

P(M,t)=\frac{1+t+t^2}{1-t}\qquad P(M/xM,t)=(1-t)P(M,t)=1+t+t^2

\begin{gathered}P(M,t)=\frac{1+t+t^2}{1-t}\\P(M/xM,t)=(1-t)P(M,t)=1+t+t^2\end{gathered}

\begin{aligned}P(M,t) &= \frac{1+t+t^2}{1-t}\\[4pt]P(M/xM,t) &= (1-t)P(M,t)\\&= 1+t+t^2\end{aligned}

$d$ は1から0に下がります。

a

b

x

は

k[x,y]/(y^3)

の非零因子

残る列（オレンジ）は

1,\ y,\ y^2

：

d

は

1

から

0

へ

a

b

x

は

k[x,y]/(xy)

の零因子

x\cdot y^b=0

（赤）：残る列は

k[y]

で、

d

は

1

のまま

図2具体例

x

を掛ける写像を、格子点

(a,b)

を右隣

(a+1,b)

へ送る矢印で描きました。白抜きの点はイデアルに入る（0になる）単項式です。左の

k[x,y]/(y^3)

では、どの矢印も青い点に着きます（

x

は非零因子）。オレンジの左端の列

1,y,y^2

は

x

の倍元にならず、

M/xM

の基底になります。右の

k[x,y]/(xy)

では、

y^b

（

b\ge1

）から出る赤い矢印が白抜きの点

xy^b

に着きます。つまり

xy^b=0

で、

x

は零因子です。

図2の右のように $x$ が零因子のときは、 $d$ が下がるとは限りません。 $M=k[x,y]/(xy)$ は2本の直線 $x=0$ と $y=0$ の和で、 $H_M=1,2,2,2,\dots$ 、 $d(M)=1$ です。 $x$ で割ると $M/xM=k[y]$ が残り、やはり $d=1$ です。

証明の式では $K$ が0でなく、 $K$ は $y,y^2,\dots$ で張られます。

(1-t)\underbrace{\frac{1+t}{1-t}}_{P(M,t)}=1+t=\underbrace{\frac{1}{1-t}}_{P(L,t)}-t\underbrace{\frac{t}{1-t}}_{P(K,t)}

\begin{aligned}(1-t)\underbrace{\frac{1+t}{1-t}}_{P(M,t)} &= 1+t\\&= \underbrace{\frac{1}{1-t}}_{P(L,t)}-t\underbrace{\frac{t}{1-t}}_{P(K,t)}\end{aligned}

\begin{aligned}(1-t)\underbrace{\frac{1+t}{1-t}}_{P(M,t)} &= 1+t\\&= \underbrace{\frac{1}{1-t}}_{P(L,t)}\\&\phantom{=}{} -t\underbrace{\frac{t}{1-t}}_{P(K,t)}\end{aligned}

次数 $n\ge1$ ごとに見ると、証明の完全列は次のようになります。下の数は $k$ 上の次元です。

0\to\underbrace{ky^n}_{1}\to\underbrace{kx^n\oplus ky^n}_{2}\xrightarrow{\ x\ }\underbrace{kx^{n+1}\oplus ky^{n+1}}_{2}\to\underbrace{ky^{n+1}}_{1}\to0

\begin{aligned}0 &\to \underbrace{ky^n}_{1}\\&\to \underbrace{kx^n\oplus ky^n}_{2}\xrightarrow{\ x\ }\underbrace{kx^{n+1}\oplus ky^{n+1}}_{2}\\&\to \underbrace{ky^{n+1}}_{1}\\&\to 0\end{aligned}

$y^n$ は $x$ を掛けると $xy^n=0$ になるので核に入り、 $y^{n+1}$ は $x$ の倍元でないので余核に残ります。次元の交代和は $1-2+2-1=0$ です。

図形で言えば、 $x=0$ で切ると直線 $x=0$ が丸ごと残ってしまうので、次元が下がりません。

非零因子で次々に割っていくと、割った回数だけ $d$ が下がります。

系16

$x_1,\dots,x_c$ を正の次数 $e_1,\dots,e_c$ の斉次元とし、各 $x_i$ は $M/(x_1,\dots,x_{i-1})M$ の非零因子で、 $M/(x_1,\dots,x_c)M\neq0$ とする。このとき

\begin{aligned} &P\bigl(M/(x_1,\dots,x_c)M,\ t\bigr) \\ &\quad=\prod_{i=1}^{c}(1-t^{e_i})\cdot P(M,t)\\[4pt] &d\bigl(M/(x_1,\dots,x_c)M\bigr)=d(M)-c\end{aligned}

証明

命題15を $M,\ M/x_1M,\ \dots$ に順に使う。途中の加群は、最後の加群を剰余加群にもつので0でない。

多項式環 $A_0[x_1,\dots,x_s]$ では、 $x_s,x_{s-1},\dots,x_1$ の順に割ると $A_0$ になり、 $d(A_0)=0$ から $d(A)=s$ が分かります。例14の別証明です。

超曲面と平面曲線：多項式の係数に次数が現れる

おさらい斉次化・射影閉包と Proj

図で読む代数幾何第5回の定義7では、 $e$ 次の多項式 $f(x,y)$ から斉次式 $F$ を作りました。逆に $x_0=1$ を代入すると $f$ に戻ります。

F(x_0,x_1,x_2)=x_0^{e}\,f\Bigl(\frac{x_1}{x_0},\ \frac{x_2}{x_0}\Bigr)\qquad F(1,x,y)=f(x,y)

\begin{gathered}F(x_0,x_1,x_2)=x_0^{e}\,f\Bigl(\frac{x_1}{x_0},\ \frac{x_2}{x_0}\Bigr)\\F(1,x,y)=f(x,y)\end{gathered}

\begin{aligned}F(x_0,x_1,x_2) &= x_0^{e}\,f\Bigl(\frac{x_1}{x_0},\ \frac{x_2}{x_0}\Bigr)\\[4pt]F(1,x,y) &= f(x,y)\end{aligned}

例えば放物線 $f=y-x^2$ の斉次化は $F=x_0x_2-x_1^2$ です。射影閉包 $F=0$ は、もとの放物線に無限遠点 $[0:0:1]$ を1つ足したものになります。

環の側では、 $x_0$ に1を代入する写像で次の可換図式ができます。縦の矢印は剰余環への射影です（ $S=k[x_0,x_1,x_2]$ ）。

\begin{CD} S @>{x_0\mapsto1}>> k[x,y] \\ @VVV @VVV \\ S/(F) @>{x_0\mapsto1}>> k[x,y]/(f) \end{CD}

下の行の写像は全射で、核は $x_0-1$ で生成されます。同型になるのは、局所化 $(S/(F))_{x_0}$ の次数0の部分に $g/x_0^{\deg g}\mapsto g(1,x,y)$ で移したときです。

(S/(F))_{(x_0)}\cong k[x,y]/(f)

\begin{aligned}(S/(F))_{(x_0)} &\cong k[x,y]/(f)\end{aligned}

図で読む代数幾何第5回の例17で見た $S_{(x_0)}=k[x,y]$ を、 $F/x_0^{e}=f$ で割ったものです。

空間の側では矢印の向きが逆になります。環の全射 $S\to S/(F)$ は、 $\operatorname{Proj}$ の埋め込みに対応します（図で読む代数幾何第5回の定義15、図で読む代数幾何第5回の命題16）。

\begin{CD} \operatorname{Spec}k[x,y]/(f) @>{\cong}>> D_+(x_0)\cap\operatorname{Proj}S/(F) @>>> \operatorname{Proj}S/(F) \\ @VVV @VVV @VVV \\ \mathbb{A}^2 @>{\cong}>> D_+(x_0) @>>> \mathbb{P}^2 \end{CD}

この節で数える $\dim_k(S/(F))_n$ は、右上の射影曲線 $\operatorname{Proj}S/(F)$ の量です。 $f$ が斉次でなければ、アフィン曲線の環 $k[x,y]/(f)$ には標準の次数が入りません（例2(4)）。そこで、無限遠点まで込めた射影閉包の側で数えています。

例17 超曲面 [2, §13 例2, p.117; 5, 命題7.6 (d), p.71]

$k$ を体、 $S=k[x_0,\dots,x_r]$ （ $r\ge1$ ）、 $F\in S$ を $e$ 次の斉次式（ $e\ge1$ ）、 $R=S/(F)$ とする。

P(R,t)=\frac{1-t^e}{(1-t)^{r+1}}=\frac{1+t+\cdots+t^{e-1}}{(1-t)^{r}}\qquad d(R)=r

\begin{gathered}P(R,t)=\frac{1-t^e}{(1-t)^{r+1}}=\frac{1+t+\cdots+t^{e-1}}{(1-t)^{r}}\\d(R)=r\end{gathered}

\begin{aligned}P(R,t) &= \frac{1-t^e}{(1-t)^{r+1}}\\&= \frac{1+t+\cdots+t^{e-1}}{(1-t)^{r}}\\[4pt]d(R) &= r\end{aligned}

\dim_kR_n=\binom{n+r}{r}-\binom{n-e+r}{r}\quad(n\ge e)\qquad \varphi_R(n)=\frac{e}{(r-1)!}\,n^{r-1}+\cdots

\begin{gathered}\dim_kR_n=\binom{n+r}{r}-\binom{n-e+r}{r}\\(n\ge e)\\\varphi_R(n)=\frac{e}{(r-1)!}\,n^{r-1}+\cdots\end{gathered}

\begin{aligned}\dim_kR_n &= \binom{n+r}{r}-\binom{n-e+r}{r}\\[4pt]&(n\ge e)\\[4pt]\varphi_R(n) &= \frac{e}{(r-1)!}\,n^{r-1}+\cdots\end{aligned}

\begin{aligned}\dim_kR_n &= \binom{n+r}{r}\\&\phantom{=}{} -\binom{n-e+r}{r}\\[4pt]&(n\ge e)\\[4pt]\varphi_R(n) &= \frac{e}{(r-1)!}\,n^{r-1}+\cdots\end{aligned}

証明

$S$ は整域なので、 $F\neq0$ は $S$ の非零因子である。命題15から $P(R,t)=(1-t^e)P(S,t)=(1-t^e)/(1-t)^{r+1}$ 。
$1-t^e=(1-t)(1+t+\cdots+t^{e-1})$ で約分すると $f_0(t)=1+t+\cdots+t^{e-1}$ 、 $d=r$ 。定理13から最高次の係数は $f_0(1)/(r-1)!=e/(r-1)!$ 。
$\dim_kR_n$ の式は、 $\dim_kS_n=\binom{n+r}{r}$ から $\dim_k(F)_n=\dim_kS_{n-e}=\binom{n-e+r}{r}$ を引いたもの。 $F$ を掛ける写像 $S_{n-e}\to(F)_n$ が同型だからである。

$S$ は整域なので $F$ を掛ける写像は単射で、像はちょうど $(F)_n$ である。よって次の列が完全になる。
$0\longrightarrow S_{n-e}\xrightarrow{\ F\ }S_n\longrightarrow R_n\longrightarrow0$ $\begin{aligned}0 &\longrightarrow S_{n-e}\xrightarrow{\ F\ }S_n\\&\longrightarrow R_n\\&\longrightarrow 0\end{aligned}$
$r=2$ 、 $e=2$ 、 $n=3$ なら、次元は $3$ と $10$ と $7$ で、 $7=2\cdot3+1$ は円錐曲線の $H(3)$ に一致する。

$\cdots$ は $n$ について次数の低い項を表します。ハーツホーンは、射影多様体の次数を「ヒルベルト多項式の最高次の係数 $\times(\text{次元})!$ 」で定義しています [5, p.71]。この定義では、 $e$ 次の超曲面の次数はちょうど $e$ です（ $\frac{e}{(r-1)!}\cdot(r-1)!=e$ ）。

$r=2$ とすると、射影平面の $e$ 次の曲線になります。 $n\ge e-2$ で

\begin{aligned} &\dim_kR_n=\binom{n+2}{2}-\binom{n-e+2}{2} \\ &\quad=\frac{\begin{gathered}(n+2)(n+1) \\ -(n-e+2)(n-e+1)\end{gathered}}{2} \\ &\quad=\frac{\begin{gathered}(n^2+3n+2) \\ -(n^2-2en+3n+e^2-3e+2)\end{gathered}}{2} \\ &\quad=\frac{2en-e^2+3e}{2}=en-\frac{e(e-3)}{2} \end{aligned}

です（ $\binom{m}{2}=m(m-1)/2$ は $m=0,1$ で0なので、 $n=e-2,\ e-1$ でも成り立ちます）。

次数 $e$	例	$H(0),H(1),H(2),\dots$	$\varphi(n)$	$\varphi(0)$
$1$	直線 $z=0$	$1,2,3,4,5,\dots$	$n+1$	$1$
$2$	円錐曲線 $xz-y^2=0$	$1,3,5,7,9,\dots$	$2n+1$	$1$
$3$	3次曲線 $y^2z-x^3+xz^2=0$	$1,3,6,9,12,\dots$	$3n$	$0$
$4$	4次曲線 $x^4+y^4-z^4=0$	$1,3,6,10,14,\dots$	$4n-2$	$-2$

$e=3$ では $H(0)=1$ ですが $\varphi(0)=0$ で、一致するのは $n\ge1$ からです。 $e=4$ では $n\ge2$ からです。

$\varphi(n)$ の定数項 $-e(e-3)/2$ は $1-\frac{(e-1)(e-2)}{2}$ と書き直せます。 $p_a=(e-1)(e-2)/2$ は曲線の算術種数と呼ばれる不変量で、ハーツホーンは $p_a=1-\varphi(0)$ として定義しています [5, 演習7.2 (b), p.74]。直線と円錐曲線は $p_a=0$ 、滑らかな3次曲線（楕円曲線）は $p_a=1$ です。

円錐曲線 $xz=y^2$ では、 $\dim R_n=2n+1$ を直接確かめられます。 $x=s^2,\ y=st,\ z=t^2$ とおくと $R\cong k[s^2,st,t^2]$ で、 $R_n$ は $s,t$ の $2n$ 次の単項式 $s^{2n},s^{2n-1}t,\dots,t^{2n}$ で張られます。その個数が $2n+1$ です。

単項式で数える方法もあります。 $F$ で $z^e$ の係数が0でないとき（例えば $F=z^3-xy^2$ ）、 $z$ についての割り算で、 $z$ の指数が $e$ 未満の単項式が $R$ の基底になります。図3は、これを格子点で見たものです。

ドラッグで回せます

単項式 $x^ay^bz^c$ を格子点 $(a,b,c)$ で描きました。次数 $n$ の単項式は平面 $a+b+c=n$ の上に、三角形に並びます。オレンジが $n=4$ の層で、 $1+2+3+4+5=15=\binom{6}{2}$ 個です（ほかの層は薄く描いています）。「対角線の方向」から見ると、オレンジの点が正三角形に並び、個数が三角数 $(n+1)(n+2)/2$ であることが分かります。薄い点は、ほかの層の点がその隙間や後ろに見えているものです。

$z$ について3次でモニックな3次式 $f$ （例えば $f=z^3-xy^2$ ）で割ると、 $c\ge3$ の単項式は $c<3$ の単項式の組み合わせに書き直せます。残る $c=0,1,2$ の3段が $k[x,y,z]/(f)$ の基底です。層 $n=4$ には $5+4+3=12=3\cdot4$ 個が残ります。「真横」から見ると、紫の面 $c=3$ とその上の点が消え、下に3段が残ります。

消えた点（紫）は、頂点が $(0,0,3)$ の位置にある錐で、全体の錐を $z^3$ の分だけ持ち上げたものです。次数 $n$ で消える点の数は、次数 $n-3$ の点の数に等しく、 $\binom{n+2}{2}-\binom{n-1}{2}=3n$ が残ります（ $n\ge1$ ）。

図3具体例

k[x,y,z]

の単項式

x^ay^bz^c

を格子点

(a,b,c)

で描きました（次数5まで）。次数

n

の単項式は平面

a+b+c=n

の上に三角形に並びます。「対角線の方向」から見ると層が正三角形として正面から見え、個数が三角数

(n+1)(n+2)/2

であることが読めます。「3次式で割る」では、

z

について3次でモニックな

f

で割った環

k[x,y,z]/(f)

の基底として、

c=0,1,2

の3段が残ります。「真横」から見ると、紫の面

c=3

から上が消える様子が分かります。消えた部分は全体の錐を

z^3

の分だけ持ち上げたもので、これが

f

を掛ける写像の像です。各層の点の数は生成時に数えて確かめています。

基底になることは、次のように分かります。 $z^e$ の係数が0でない定数なので、 $F$ を $z$ についての多項式とみると最高次の係数が単元です。どの多項式も、 $F$ で割って $z$ の次数を $e$ 未満にできます。

逆に、 $z$ の次数が $e$ 未満の0でない多項式は $F$ の倍元になりません。 $FG$ の $z$ についての次数は $G\neq0$ なら $e$ 以上だからです。

次数 $n$ で残る単項式は、 $c=0,1,\dots,e-1$ の段ごとに $n-c+1$ 個（ $c\le n$ のとき）あるので、 $n\ge e-1$ で

\sum_{c=0}^{e-1}(n-c+1)=e(n+1)-\frac{e(e-1)}{2}=en-\frac{e(e-3)}{2}

\begin{aligned}\sum_{c=0}^{e-1}(n-c+1) &= e(n+1)-\frac{e(e-1)}{2}\\&= en-\frac{e(e-3)}{2}\end{aligned}

\begin{aligned}\sum_{c=0}^{e-1}(n-c+1) &= e(n+1)\\&\phantom{=}{} -\frac{e(e-1)}{2}\\&= en-\frac{e(e-3)}{2}\end{aligned}

例17の式と一致します。

2本の曲線の交わりも、ヒルベルト多項式で数えられます。代数幾何の連載で証明せずに述べたベズーの定理（図で読む代数幾何第5回の定理12）の、数え方の部分にあたります。

例18 2本の曲線の交わり [5, 定理7.7, p.72; 5, 系7.8, p.74]

$S=k[x,y,z]$ 、 $F,G$ を共通因子をもたない斉次式（次数 $d_1,d_2\ge1$ ）、 $R=S/(F,G)$ とする。

\begin{aligned} P(R,t)&=\frac{(1-t^{d_1})(1-t^{d_2})}{(1-t)^3} \\ &=\frac{\begin{gathered}(1+\cdots+t^{d_1-1}) \\ \times(1+\cdots+t^{d_2-1})\end{gathered}}{1-t}\\[4pt] d(R)&=1\end{aligned}

で、 $n\ge d_1+d_2-2$ について $\dim_kR_n=d_1d_2$ 。

(1)　円錐曲線 $xz-y^2$ と直線 $y$ ： $R\cong k[x,z]/(xz)$ 。 $R_n$ は $x^n,z^n$ で張られ（ $n\ge1$ ）、 $H=1,2,2,2,\dots$ 。2つの交点 $[1:0:0]$ と $[0:0:1]$ を数えている。
(2)　円錐曲線 $xz-y^2$ と接線 $x$ ： $R\cong k[y,z]/(y^2)$ 。 $R_n$ は $z^n,yz^{n-1}$ で張られ、やはり $H=1,2,2,2,\dots$ 。交点は $[0:0:1]$ だけだが、接しているので2重に数えられる。

証明

$S$ は一意分解整域なので、 $G$ は $S/(F)$ の非零因子である。

$GH\in(F)$ とすると $F\mid GH$ 。 $F$ の既約因子 $p$ （重複も込めて）は $G$ を割らないので、一意分解から $p$ のべきは $H$ を割る。よって $F\mid H$ 。
系16を $F,G$ に使うと $P(R,t)=(1-t^{d_1})(1-t^{d_2})/(1-t)^3$ 。約分すると $f_0(t)=(1+\cdots+t^{d_1-1})(1+\cdots+t^{d_2-1})$ （次数 $d_1+d_2-2$ ）、 $d=1$ 。
定理13から、 $n\ge d_1+d_2-2$ で $\dim_kR_n=f_0(1)=d_1d_2$ 。
(1)(2) は $(xz-y^2,\ y)=(xz,\ y)$ 、 $(xz-y^2,\ x)=(x,\ y^2)$ から。

交点が離れていても接していても、ヒルベルト多項式は同じ定数 $2$ です。接する場合は、 $k[y,z]/(y^2)$ の $y$ の分だけ「太った点」になり、その太さも込めて2と数えています。ハーツホーンの第 I 章 §7 は、この考え方でベズーの定理を証明しています。

例19 ねじれ3次曲線 [4, 例7.53 (3), p.210]

$R=k[s^3,\ s^2t,\ st^2,\ t^3]\subseteq k[s,t]$ に、 $s,t$ の $3n$ 次の単項式で張られる部分を $R_n$ とする次数を入れる。 $R_n$ は $s^at^b$ （ $a+b=3n$ ）で張られ

\dim_kR_n=3n+1\qquad P(R,t)=\frac{1+2t}{(1-t)^2}\qquad d(R)=2

\begin{gathered}\dim_kR_n=3n+1\\P(R,t)=\frac{1+2t}{(1-t)^2}\\d(R)=2\end{gathered}

\begin{aligned}\dim_kR_n &= 3n+1\\[4pt]P(R,t) &= \frac{1+2t}{(1-t)^2}\\[4pt]d(R) &= 2\end{aligned}

証明

$a+b=3n$ の単項式 $s^at^b$ は、 $s^3,s^2t,st^2,t^3$ から $n$ 個選んだ積で書ける。

$a=3q+r$ （ $0\le r\le2$ ）と書くと、 $s^at^b=(s^3)^q\cdot s^rt^{3-r}\cdot(t^3)^{n-q-1}$ （ $q<n$ のとき）。 $q=n$ なら $s^at^b=(s^3)^n$ 。ここで $s^rt^{3-r}$ は $t^3,st^2,s^2t$ のどれか。
個数は $a=0,1,\dots,3n$ の $3n+1$ 個。 $\sum_n(3n+1)t^n=\frac{3t}{(1-t)^2}+\frac{1}{1-t}=\frac{1+2t}{(1-t)^2}$ 。

$R$ は $k[X,Y,Z,W]/(Y^2-XZ,\ Z^2-YW,\ XW-YZ)$ と同型で、 $\mathbb{P}^3$ の曲線 $[s^3:s^2t:st^2:t^3]$ の環です。アフィンの部分 $s=1$ は、代数幾何の連載の第1回で見た曲線 $(t,t^2,t^3)$ です。 $\varphi(n)=3n+1$ から、次数は3、 $p_a=1-\varphi(0)=0$ です。

この環は、多項式環を3つの式で割って作られています。それでも、平面の円錐曲線と同じく $d=2$ になり、 $\varphi(n)=en+1-p_a$ の形をしています。

$d$ と次元

ここまでの例では、 $d(R)$ はいつも $R$ のクルル次元に等しくなっていました。 $k[x_1,\dots,x_s]$ では $s$ 、平面曲線の環 $k[x,y,z]/(F)$ では2です。

射影平面の曲線は1次元ですが、環 $k[x,y,z]/(F)$ は原点を頂点とする錐（ $k^3$ の中の曲面）の環なので、次元は2です。ヒルベルト多項式の次数 $d-1=1$ が、射影曲線の次元にあたります。

一般に $d=\dim$ であることの証明は第7回で行います。ここでは、超越次数との比較で片側の不等式を示します。

おさらい超越次数とネーターの正規化

体の拡大 $L/k$ の超越次数は、 $k$ 上代数的に独立な元をできるだけ多くとったときの個数です。 $L$ が有限個の元で生成されるなら、生成元の中から超越基底を選べます。

第4回の定理4によれば、体 $k$ 上有限生成の整域 $R$ は、代数的に独立な $y_1,\dots,y_t$ の多項式環の上で有限（整）になります。商体まで広げると、次の可換図式ができます。

\begin{CD} k[y_1,\dots,y_t] @>{\subseteq}>> R \\ @VVV @VVV \\ k(y_1,\dots,y_t) @>{\subseteq}>> \operatorname{Frac}R \end{CD}

上の行は整拡大、下の行は代数拡大です。そのため $\operatorname{trdeg}_k\operatorname{Frac}R=t$ で、第4回の定理17から $\dim R=t$ です。

例えば円錐曲線の錐 $R=k[x,y,z]/(xz-y^2)$ では、 $y_1=x$ 、 $y_2=z$ ととれます。 $y$ は $y^2=xz$ をみたすので $k[x,z]$ 上整で、 $t=\dim R=2$ です。

命題20 [2, §13 例3, p.117]

$k$ を体、 $P$ を $k[x_0,\dots,x_r]$ の斉次素イデアルで $P\subseteq(x_0,\dots,x_r)$ 、 $R=k[x_0,\dots,x_r]/P$ 、 $t$ を $R$ の商体の $k$ 上の超越次数とする。このとき

\dim_kR_n\ \ge\ \binom{n+t-1}{t-1}\quad(n\ge0)\qquad d(R)\ \ge\ t

\begin{gathered}\dim_kR_n\ \ge\ \binom{n+t-1}{t-1}\\(n\ge0)\\d(R)\ \ge\ t\end{gathered}

\begin{aligned}\dim_kR_n &\ge \binom{n+t-1}{t-1}\\[4pt]&(n\ge0)\\[4pt]d(R) &\ge t\end{aligned}

証明

$x_i$ の像を $\xi_i$ とすると、 $\xi_0,\dots,\xi_r$ は商体を $k$ 上で生成するので、その中から代数的に独立な $t$ 個 $\xi_{i_1},\dots,\xi_{i_t}$ が選べる。

$\xi_0,\dots,\xi_r$ のうち代数的に独立なものを極大にとると、残りの $\xi_j$ はそれらの上で代数的になり、商体全体もその上で代数的になる。よってそれは超越基底で、個数は $t$ である。
$\xi_{i_1},\dots,\xi_{i_t}$ の $n$ 次の単項式は $\binom{n+t-1}{t-1}$ 個あり、どれも $R_n$ に入って、 $k$ 上1次独立である。

1次の関係 $\sum c_\alpha\xi^\alpha=0$ は、 $\xi_{i_1},\dots,\xi_{i_t}$ の多項式の関係なので、代数的独立性からすべての $c_\alpha=0$ 。各 $\xi_i$ は次数1の斉次元なので、 $n$ 次の単項式は $R_n$ に入る。
$d(R)<t$ とすると、定理13から十分大きい $n$ で $\dim_kR_n$ は $d(R)-1<t-1$ 次の多項式に等しい。これは $t-1$ 次の多項式 $\binom{n+t-1}{t-1}$ 以上であることに反する。

第4回の定理17によれば $t=\dim R$ なので、この命題は $d(R)\ge\dim R$ を意味します。等号は、松村の定理13.8で示されます。その主張を、次回に使う形で述べておきます。

おさらい局所化：素イデアルの対応と完全性

素イデアル $P$ での局所化 $R_P$ （図で読む代数幾何第3回の定義10）は、 $P$ の外の元をすべて可逆にした環です。環の準同型と Spec の写像は、向きが逆になります。

R\xrightarrow{\ a\mapsto a/1\ }R_P\qquad \operatorname{Spec}R_P\longrightarrow\operatorname{Spec}R\quad Q\mapsto Q\cap R

\begin{gathered}R\xrightarrow{\ a\mapsto a/1\ }R_P\\\operatorname{Spec}R_P\longrightarrow\operatorname{Spec}R\\Q\mapsto Q\cap R\end{gathered}

\begin{aligned}&R\xrightarrow{\ a\mapsto a/1\ }R_P\\[4pt]\operatorname{Spec}R_P &\longrightarrow \operatorname{Spec}R\\[4pt]Q &\mapsto Q\cap R\end{aligned}

ここで $Q\cap R$ は $Q$ の $R$ への引き戻しです。この写像で、 $R_P$ の素イデアルは、 $P$ に含まれる $R$ の素イデアルと包含を保って1対1に対応します [1, 命題3.11 iv), p.63]。鎖で描くと次のとおりです。

{}\begin{gathered} \begin{array}{ccc} P_0R_P & \subsetneq & P_1R_P \\ \Big\downarrow{\scriptstyle\cap R} & & \Big\downarrow{\scriptstyle\cap R} \\ P_0 & \subsetneq & P_1 \end{array} \\[12pt] \begin{array}{ccccc} P_1R_P & \subsetneq & \cdots & \subsetneq & PR_P \\ \Big\downarrow{\scriptstyle\cap R} & & & & \Big\downarrow{\scriptstyle\cap R} \\ P_1 & \subsetneq & \cdots & \subsetneq & P \end{array} \end{gathered}

したがって $\operatorname{ht}P=\dim R_P$ です（第1回の命題10(1)）。例えば $R=k[x,y]$ 、 $P=(x)$ なら、 $R_P$ の素イデアルは $0$ と $PR_P$ の2つで、 $\dim R_P=\operatorname{ht}P=1$ です。

局所化は完全列を完全列に移します。左の列が完全なら、右の列も完全です。

0\to N'\to N\to N''\to0\quad\Longrightarrow\quad0\to N'_P\to N_P\to N''_P\to0

\begin{gathered}0\to N'\to N\to N''\to0\\\Longrightarrow 0\to N'_P\to N_P\to N''_P\to0\end{gathered}

\begin{aligned}0 &\to N'\\&\to N\\&\to N''\\&\to 0\\[4pt]&\Longrightarrow 0\to N'_P\to N_P\to N''_P\to0\end{aligned}

下の定理の証明では、この性質を $N=R_+^n$ 、 $N'=R_+^{n+1}$ に使います。

定理21 次数付き環とその局所化 [2, 定理13.8, p.124]

$k$ を体、 $R=k[\xi_0,\dots,\xi_r]$ を次数1の元 $\xi_i$ で生成される次数付き環（ $R_0=k$ ）とする。 $R_+=\sum_i\xi_iR$ は極大イデアルである。 $B=R_{R_+}$ 、 $N=R_+B$ とおき、 $\chi(n)=\ell_B(B/N^{n+1})$ 、 $\varphi(n)=\dim_kR_n$ とする。

(1)　 $\varphi(n)=\chi(n)-\chi(n-1)$ （ $\chi(-1)=0$ ）。
(2)　 $\dim R=\operatorname{ht}R_+=\dim B=\deg\varphi_R+1=d(R)$ （ $\varphi_R$ は $R$ のヒルベルト多項式）。
(3)　 $\bigoplus_{n\ge0}N^n/N^{n+1}\cong R$ （次数付き環として）。

証明

$R$ は次数1の元で生成されるので、 $R_+^n=\bigoplus_{i\ge n}R_i$ 、したがって $R_+^n/R_+^{n+1}\cong R_n$ 。

$R_+^n$ は $\xi$ の $n$ 次の単項式で生成され、それらに $R$ の元を掛けたものは次数 $n$ 以上の部分に入る。逆に $i\ge n$ の $R_i$ は $i$ 次の単項式で張られ、それは $n$ 次の単項式の倍元である。
$R_+$ で零化される加群は、 $R_+$ で局所化しても変わらない。よって $N^n/N^{n+1}\cong R_+^n/R_+^{n+1}\cong R_n$ 。

$R_+$ で零化される加群 $V$ は $R/R_+=k$ 上のベクトル空間で、 $s\notin R_+$ は $s$ の定数項 $s_0\neq0$ 倍として作用する。これは可逆なので $V_{R_+}=V$ 。局所化は完全なので $(R_+^n/R_+^{n+1})_{R_+}=N^n/N^{n+1}$ 。
(1) 列 $B\supseteq N\supseteq\cdots\supseteq N^{n+1}$ と長さの加法性から $\chi(n)=\sum_{i=0}^{n}\ell_B(N^i/N^{i+1})=\sum_{i=0}^{n}\dim_kR_i$ 。差をとれば (1)。

$N^i/N^{i+1}$ は $B/N=k$ 上のベクトル空間なので、 $B$ 加群としての長さは $k$ 上の次元に等しい。
(3) 2番目のステップの同型 $N^n/N^{n+1}\cong R_n$ は、掛け算と両立する。直和をとれば次数付き環の同型になる。
(2) $\dim B=\deg\chi$ は第7回の次元定理第7回の定理4 による。(1) から $\deg\chi=\deg\varphi_R+1$ で、これは定理13から $d(R)$ に等しい。 $\dim B=\operatorname{ht}R_+$ は局所化での素イデアルの対応から。 $\dim R=\operatorname{ht}R_+$ は、松村が命題20と超越次数の定理を組み合わせて示している。

$R$ が整域のときの流れ： $1+\deg\varphi_R=d(R)\ge\dim R$ （命題20と第4回の定理17）、 $\dim R\ge\operatorname{ht}R_+=\dim B=1+\deg\varphi_R$ （次元定理）。両端が等しいので、すべて等号になる。一般の場合は、極小素イデアル（どれも斉次）で割った整域に帰着させる。詳しくは松村 p.124。

証明の1・2番目のステップを図式にすると、次のようになります。 $R/R_+^{n+1}$ では $R_+$ の外の元がすでに可逆なので、局所化しても変わりません。

\begin{CD} R @>>> B=R_{R_+} \\ @VVV @VVV \\ R/R_+^{n+1} @>{\cong}>> B/N^{n+1} \end{CD}

右下の $B/N^{n+1}$ を $N$ のべきで刻むと、各段の商が $R$ の斉次成分になります。

B=N^0\supseteq N\supseteq N^2\supseteq\cdots\supseteq N^{n+1}\qquad N^i/N^{i+1}\cong R_+^i/R_+^{i+1}\cong R_i

\begin{gathered}B=N^0\supseteq N\supseteq N^2\supseteq\cdots\supseteq N^{n+1}\\N^i/N^{i+1}\cong R_+^i/R_+^{i+1}\cong R_i\end{gathered}

\begin{aligned}B &= N^0\supseteq N\supseteq N^2\supseteq\cdots\supseteq N^{n+1}\\[4pt]N^i/N^{i+1} &\cong R_+^i/R_+^{i+1}\\&\cong R_i\end{aligned}

$\chi(n)$ はこの列の長さを足したもので、 $\chi(n)=\dim_kR_0+\cdots+\dim_kR_n$ です。

(1) の $\chi(n)=\ell(B/N^{n+1})$ が、次回の主役のヒルベルト–サミュエル関数（第6回の定義16）です。例えば円錐曲線の錐 $R=k[x,y,z]/(xz-y^2)$ の頂点での局所環 $B$ では、 $\varphi(n)=2n+1$ なので

\chi(n)=\sum_{i=0}^{n}(2i+1)=(n+1)^2

\begin{aligned}\chi(n) &= \sum_{i=0}^{n}(2i+1)\\&= (n+1)^2\end{aligned}

で、 $n$ の2次式です。錐は曲面なので、2次式になるのは $\dim B=2$ と合っています。

(3) は、局所環 $B$ から作った次数付き環 $\bigoplus N^n/N^{n+1}$ が元の $R$ に戻ることを言っています。

次回は逆に、一般のネーター局所環 $A$ から次数付き環 $\bigoplus q^n/q^{n+1}$ を作り、この記事の定理13を当てはめます。そのとき $A_0=A/q$ はアルティン環で、次数付き環は $q$ の生成元の像（次数1）で生成されます。この記事の定理を、体でなくアルティン環の上で述べておいたのはこのためです。

もう少し詳しくProj との関係

図で読む代数幾何第5回の定義15で、次数付き環 $S$ から射影的な図形 $\operatorname{Proj}S$ を作りました。 $S=k[x_0,\dots,x_r]/J$ なら、 $\operatorname{Proj}S$ は $\mathbb{P}^r$ の中の $J$ の零点の集まりで、ヒルベルト多項式の次数 $d(S)-1$ がその次元になります。

図1の $k[x,y]/(x^2,\ xy)$ では $(x^2,\ xy)=(x)\cap(x^2,y)$ で、 $(x^2,y)$ を含む斉次素イデアルは $S_+=(x,y)$ だけです。 $S_+$ は Proj の点として数えないので、この成分は Proj には現れません。ヒルベルト関数の初めのずれ（ $H(1)=2$ ）にだけ現れ、ヒルベルト多項式には影響しません。

まとめ

次数付き環	$P(t)$	$\varphi(n)$	$d$
$k[x_1,\dots,x_s]$	$1/(1-t)^s$	$\binom{n+s-1}{s-1}$	$s$
$k[x,y]/(x^2,\ xy)$	$(1+t-t^2)/(1-t)$	$1$	$1$
$k[x,y]/(x^2,\ y^3)$	$1+2t+2t^2+t^3$	$0$	$0$
$k[x,y,z]/(F)$ 、 $\deg F=e$	$(1+\cdots+t^{e-1})/(1-t)^2$	$en-e(e-3)/2$	$2$
ねじれ3次曲線	$(1+2t)/(1-t)^2$	$3n+1$	$2$
$k[x,y,z]/(F,G)$	$f_0(t)/(1-t)$	$d_1d_2$	$1$

次数付き環の次数 $n$ の部分の長さは、ポアンカレ級数にまとめると有理関数になり（ヒルベルト–セールの定理）、次数1の元で生成されるときは十分大きい $n$ で $d-1$ 次の多項式になります（ヒルベルト多項式）。 $d$ は $t=1$ での極の位数です。

斉次な非零因子で割ると $d$ はちょうど1下がります。このことから、超曲面や曲線の交わりのヒルベルト多項式が計算でき、多項式の係数に曲線の次数や交点の数が現れました。 $d$ が次元に等しいことは、超越次数で片側の不等式を示し、等号は第7回に回しました。

次回：局所環のヒルベルト–サミュエル関数

今回の環は、どれも次数で分かれる環でした。局所環 $A$ （1点のまわりだけを見る環）には、そのままでは次数がありません。

次回は、局所環 $A$ とイデアル $q$ について、長さ $\ell(A/q^n)$ を考えます。これがヒルベルト–サミュエル関数で、次数付き環 $\bigoplus_n q^n/q^{n+1}$ に今回の定理を当てはめると、 $n$ の多項式になることが分かります。その次数が $q$ のとり方によらないこと、非零因子で割ると次数が下がることを示し、第7回の次元定理につなげます。

図で読む代数幾何第5回の定義14 次数付き環と斉次イデアル

環 $S$ が加法群の直和 $S=\bigoplus_{d\geq0}S_d$ に分かれ、 $S_dS_e\subseteq S_{d+e}$ をみたすとき、 $S$ を次数付き環と呼ぶ。 $S_d$ の元を次数 $d$ の斉次元と呼び、 $S_+=\bigoplus_{d>0}S_d$ とおく。斉次元で生成されるイデアルを斉次イデアルと呼ぶ。

第1回の命題2 0次元と1次元の環

(1)　体の次元は0である。
(2)　次元0の整域は体である。
(3)　体でない単項イデアル整域の次元は1である。とくに $\dim\mathbb{Z}=1$ 、 $\dim k[x]=1$ 。
(4)　アルティン環の素イデアルはすべて極大イデアルで、次元は0である。

第4回の系16 多項式環の次元

$k$ を体、 $R=k[x_1,\dots,x_n]$ とする。

(1)　 $\dim R=n$ 。
(2)　 $R$ のすべての極大イデアル $N$ について $\operatorname{ht}N=\dim R_N=n$ 。

図で読む代数幾何第5回の定義7 斉次化と射影閉包

$k$ を体、 $f\in k[x,y]$ を次数 $d\geq1$ の多項式とする。

F(x_0,x_1,x_2)=x_0^d\,f\Bigl(\frac{x_1}{x_0},\ \frac{x_2}{x_0}\Bigr)

\begin{aligned}F(x_0,x_1,x_2) &= x_0^d\,f\Bigl(\frac{x_1}{x_0},\ \frac{x_2}{x_0}\Bigr)\end{aligned}

を $f$ の斉次化と呼ぶ。 $F$ は次数 $d$ の斉次多項式である。 $F=0$ をみたす点 $[x_0:x_1:x_2]$ の全体を、曲線 $f=0$ の射影閉包と呼ぶ。

図で読む代数幾何第5回の例17 $S_{(x_0)}=k[x_1/x_0,\ x_2/x_0]$

$S=k[x_0,x_1,x_2]$ とする。 $S_{(x_0)}$ は $x=x_1/x_0$ 、 $y=x_2/x_0$ で生成される2変数の多項式環 $k[x,y]$ である。例えば

\frac{x_0^2+3x_1x_2-x_2^2}{x_0^2}=1+3xy-y^2

\begin{aligned}\frac{x_0^2+3x_1x_2-x_2^2}{x_0^2} &= 1+3xy-y^2\end{aligned}

点の対応では、斉次素イデアル $P=(x_1-2x_0,\ x_2-3x_0)$ は $D_+(x_0)$ に入り、 $k[x,y]$ の極大イデアル $(x-2,\ y-3)$ 、つまり点 $(2,3)=[1:2:3]$ に対応する。

図で読む代数幾何第5回の定義15 Proj

$S$ を次数付き環とする。 $S_+$ を含まない斉次素イデアル $P$ の全体を $\operatorname{Proj}S$ と書く。斉次イデアル $J$ について $V_+(J)=\{P\in\operatorname{Proj}S\mid P\supseteq J\}$ とおき、これらを閉集合とする位相を入れる。斉次元 $f\in S_+$ について

D_+(f)=\{P\in\operatorname{Proj}S\mid f\notin P\}\qquad S_{(f)}=\Bigl\{\frac{g}{f^n}\Bigm|n\geq0,\ g\in S_{n\deg f}\Bigr\}

\begin{gathered}D_+(f)=\{P\in\operatorname{Proj}S\mid f\notin P\}\\S_{(f)}=\Bigl\{\frac{g}{f^n}\Bigm|n\geq0,\ g\in S_{n\deg f}\Bigr\}\end{gathered}

\begin{aligned}D_+(f) &= \{P\in\operatorname{Proj}S\mid f\notin P\}\\[4pt]S_{(f)} &= \Bigl\{\frac{g}{f^n}\Bigm|n\geq0,\ g\in S_{n\deg f}\Bigr\}\end{aligned}

とおく（ $g$ は次数 $n\deg f$ の斉次元）。 $D_+(f)$ は開集合で、 $S_{(f)}$ は局所化 $S_f$ の次数0の部分である。 $\operatorname{Proj}S$ には構造層が定まる（定義はハーツホーン p.105）。

図で読む代数幾何第5回の命題16

$S$ を次数付き環とする。

(1)　斉次元 $f\in S_+$ について、局所環付き空間として $(D_+(f),\mathcal{O}|_{D_+(f)})\cong\operatorname{Spec}S_{(f)}$ である。点の対応は $P\mapsto PS_f\cap S_{(f)}$ である。
(2)　 $f$ が $S_+$ の斉次元を動くとき、 $D_+(f)$ は $\operatorname{Proj}S$ を覆う。とくに $\operatorname{Proj}S$ はスキームである。

図で読む代数幾何第5回の定理12 ベズーの定理

$k$ を代数閉体とし、 $Y,Z$ を $\mathbb{P}^2$ の相異なる既約な曲線で、次数がそれぞれ $d,e$ とする。交点を重複度こみで数えると、ちょうど $de$ 個である。

第4回の定理4 ネーターの正規化定理

$A\neq0$ を体 $k$ 上有限生成の代数とする。

(1)　 $k$ 上代数的に独立な $y_1,\dots,y_d\in A$ があって、 $A$ は $k[y_1,\dots,y_d]$ 加群として有限生成である。とくに $A$ は $k[y_1,\dots,y_d]$ 上整である。
(2)　 $k$ が無限体で $A=k[x_1,\dots,x_n]$ なら、 $y_1,\dots,y_d$ は $x_1,\dots,x_n$ の $k$ 係数の1次結合にとれる。

第4回の定理17 次元は超越次数

$B$ を体 $k$ 上有限生成の整域とし、 $d=\operatorname{trdeg}_k\operatorname{Frac}(B)$ とする。

(1)　 $\dim B=d$ 。
(2)　 $(0)$ から極大イデアルまでの飽和した素イデアルの鎖 $(0)=Q_0\subsetneq Q_1\subsetneq\cdots\subsetneq Q_m$ の長さ $m$ は、すべて $d$ である。
(3)　 $B$ のすべての素イデアル $P$ について $\operatorname{ht}P+\dim B/P=\dim B$ 。

図で読む代数幾何第3回の定義10 局所化

環 $A$ の部分集合 $S$ が $1\in S$ をみたし、積について閉じているとき、 $S$ を積閉集合と呼ぶ。 $a\in A,\ s\in S$ の組を $a/s$ と書き、 $u(at-bs)=0$ となる $u\in S$ があるとき $a/s=b/t$ と同一視したものの全体を $S^{-1}A$ と書く。和と積を分数と同じ式で定めると環になる。とくに、

素イデアル $P$ について $S=A\setminus P$ とした環を $A_P$ と書き、 $A$ の $P$ での局所化と呼ぶ。
$f\in A$ について $S=\{1,f,f^2,\dots\}$ とした環を $A_f$ と書く。

第1回の命題10

$P$ を環 $A$ の素イデアルとする。

(1)　 $\operatorname{ht}P=\dim A_P$ 。
(2)　 $\operatorname{coht}P=\dim A/P$ 。
(3)　 $\operatorname{ht}P+\operatorname{coht}P\le\dim A$ 。
(4)　 $\dim A=\sup_M\operatorname{ht}M$ （ $M$ は極大イデアルの全体を動く）。

第7回の定理4 次元定理

$(A,M,k)$ をネーター局所環とする。次の3つの数は等しい。とくにどれも有限である。

(1)　 $\dim A$ ： $A$ の素イデアルの鎖の長さの上限。
(2)　 $d(A)$ ：十分大きい $n$ で $\ell(A/M^n)$ に一致する多項式の次数。
(3)　 $\delta(A)$ ： $M$ 準素イデアルの生成元の個数の最小値。

第6回の定義16 ヒルベルト–サミュエル関数

有限生成 $A$ 加群 $N$ について、

\chi^N_q(n)=\ell\bigl(N/q^nN\bigr)\qquad(n\ge0)

\begin{gathered}\chi^N_q(n)=\ell\bigl(N/q^nN\bigr)\\(n\ge0)\end{gathered}

\begin{aligned}\chi^N_q(n) &= \ell\bigl(N/q^nN\bigr)\\[4pt]&(n\ge0)\end{aligned}

を $N$ の $q$ に関するヒルベルト–サミュエル関数と呼ぶ。 $N=A$ のときは $\chi_q(n)=\ell(A/q^n)$ と書く。

ネーター環 $A$ 上の多項式環 $A[x]$ もネーター環である、という定理。とくに体 $k$ 上の $k[x_1,\dots,x_n]$ のイデアルは、どれも有限個の元で生成される。

加群（ベクトル空間でもよい）の準同型の列 $0\to U\xrightarrow{\alpha}V\xrightarrow{\beta}W\to0$ で、 $\alpha$ が単射、 $\beta$ が全射、 $\operatorname{Im}\alpha=\operatorname{Ker}\beta$ となるもの。このとき $W\cong V/U$ で、長さ（有限次元なら次元）について $\ell(V)=\ell(U)+\ell(W)$ 。

環 $A$ の素イデアルの真に増える鎖 $P_0\subsetneq P_1\subsetneq\cdots\subsetneq P_n$ の長さ $n$ の最大値。 $\dim A$ と書く。例： $\dim k[x_1,\dots,x_n]=n$ 、 $\dim\mathbb{Z}=1$ 、体の次元は0。

0 でも単元でもない元が、既約元の積に、順番と単元倍を除いて一通りに分解できる整域。例： $\mathbb{Z}$ 、体上の多項式環 $k[x_1,\dots,x_n]$ 。ここでは既約元が生成するイデアルは素イデアルになる。

体の拡大 $K/k$ で、 $k$ 上代数的に独立な元をできるだけ多くとったときの個数。例：有理関数体 $k(x_1,\dots,x_n)$ の $k$ 上の超越次数は $n$ 。

次数1の元で生成される次数付き環 $A$ （ $A_0$ はアルティン環）上の有限生成次数付き加群 $M$ について、十分大きい $n$ で $M_n$ の長さに一致する $n$ の多項式。例： $k[x,y]$ では $n+1$ 、 $k[x,y,z]/(F)$ （ $F$ は $e$ 次の斉次式）では $en-e(e-3)/2$ 。

環 $A$ の元 $x$ で、 $xy=0$ なら $y=0$ となるもの。整域では0でない元はすべて非零因子。例： $k[x,y]/(xy)$ の $x+y$ は非零因子だが、 $x$ は $x\cdot y=0$ なので非零因子でない。

極大イデアルがただ1つの可換環。極大イデアルに入らない元はすべて単元になる。例：素イデアル $P$ での局所化 $A_P$ （極大イデアルは $a/s$ （ $a\in P$ ）の全体）、 $k[x]/(x^2)$ 、 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 。

環 $A$ の上の加群（ $A$ 加群）とは、足し算について可換群で、 $A$ の元を掛けられ、分配法則などベクトル空間と同じ規則をみたすもの。体の上の加群はベクトル空間で、 $A$ のイデアルも $A$ 加群。

環 $A$ をイデアル $J$ で割った環 $A/J$ 。差が $J$ に入る元どうしを同じとみなす。例： $k[x,y]/(y)\cong k[x]$ 。

アフィン空間 $\mathbb{A}^n$ （や射影空間）の中で、定数でない1つの多項式 $f$ の零点 $V(f)$ として表される集合。単項イデアル定理から、各既約成分の次元は $n-1$ である。例： $\mathbb{A}^3$ の錐面 $xy=z^2$ 。

すべてのイデアルが有限個の元で生成される可換環。イデアルの増大列 $J_1\subseteq J_2\subseteq\cdots$ が必ずどこかで止まる、と言っても同じ。

イデアルの減少列 $J_1\supseteq J_2\supseteq\cdots$ が必ずどこかで止まる可換環。体 $k$ 上有限次元の環はアルティン環である。アルティン環は、極大イデアルでの局所化の有限個の積 $A\cong\prod_MA_M$ に分かれる（構造定理）。

加群の部分加群の真に減る列で、各段の商が単純（0と自分自身のほかに部分加群をもたない）なもの。組成列の長さは列のとり方によらず、それを加群の長さと呼ぶ。例： $\mathbb{Z}/12\supsetneq2\mathbb{Z}/12\supsetneq4\mathbb{Z}/12\supsetneq0$ 。

加群 $N$ の部分加群の列 $0=N_0\subsetneq N_1\subsetneq\cdots\subsetneq N_\ell=N$ で、隣り合う商がどれも単純（ $0$ と自分以外に部分加群がない）なものの長さ $\ell$ 。列の取り方によらない。体 $k$ を含み剰余体が $k$ の局所環の上の加群では、 $k$ 上の次元に等しい（ $\mathbb{Z}_{(p)}$ の上の $\mathbb{Z}/p^2$ のように体を含まない場合は別で、長さは2）。

$ab=0$ となる 0 でない $b$ がある、0 でない元 $a$ 。例： $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ の $2$ （ $2\cdot3=0$ ）。体や整域には零因子がない。

0 でない元どうしの積が0にならない可換環（ $ab=0$ なら $a=0$ または $b=0$ ）。例： $\mathbb{Z}$ 、体上の多項式環。 $A/P$ が整域であることと、 $P$ が素イデアルであることは同値。

掛けて1になる相手（逆元）をもつ環の元。例： $\mathbb{Z}$ の単元は $\pm1$ 、体では0以外のすべての元。

体 $k$ を含む環の元 $y_1,\dots,y_d$ が $k$ 上代数的に独立とは、0 でない多項式 $g$ で $g(y_1,\dots,y_d)=0$ となるものがないこと。このとき $k[y_1,\dots,y_d]$ は $d$ 変数の多項式環と同じものになる。

整域 $A$ の元の分数 $a/b$ （ $b\neq0$ ）全体がなす体。 $\operatorname{Frac}A$ と書く。例： $\mathbb{Z}$ の商体は $\mathbb{Q}$ 、 $k[x]$ の商体は有理関数体 $k(x)$ 。

イデアル $J$ を含む素イデアルのうち、包含について極小なもの。 $V(J)$ の既約成分の生成点に当たる。ネーター環では有限個しかない。

すべてのイデアルが1つの元で生成される整域。例： $\mathbb{Z}$ 、体上の1変数多項式環 $k[x]$ 。素イデアルは $(0)$ と、既約元が生成する $(p)$ だけで、 $(p)$ は極大イデアルになる。

どの点のまわりも、ある環 $A$ の $\operatorname{Spec}A$ （素イデアル全体に位相と構造層を載せた空間）と同じ形をしている空間。 $\operatorname{Spec}A$ を貼り合わせて作れる。零点集合では区別できない $x=0$ と $x^2=0$ の違いも扱える。連載第4回で定義している。

定数でない1変数多項式が、必ずその体の中に根をもつ体。例： $\mathbb{C}$ 。 $\mathbb{R}$ は代数閉体ではない（ $x^2+1$ に根がない）。代数閉体は必ず無限体である。

元を無限個もつ体。 $\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ など。無限体の上では、すべての点で0になる多項式は0だけである。

イデアル $q\neq A$ で、 $xy\in q$ かつ $x\notin q$ なら $y$ のあるべきが $q$ に入るもの。根基 $P=\sqrt q$ は素イデアルで、 $q$ を $P$ -準素と呼ぶ。例： $\mathbb{Z}$ の $(p^n)$ 、 $k[x,y]$ の $(x^2,y)$ 。

参考文献

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松村英之, 『復刊可換環論』, 共立出版, 2000.
堀田良之, 『可換環と体』, 岩波書店, 2006.
後藤四郎, 渡辺敬一, 『可換環論』, 日本評論社, 2011.
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