上にある点と持ち上がる鎖：整拡大

この記事の要点

整拡大: $B$ のどの元も、 $A$ 係数で最高次の係数が1の方程式をみたすとき、 $B$ は $A$ 上整であると言います。 $\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Z}[i]$ や $k[x]\subseteq k[x,y]/(y^2-x)$ が例です。
点は逃げない: 整拡大では、 $\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A$ は全射で（横たわり）、 $A$ の鎖は $B$ の鎖に持ち上がります（上昇定理）。最高次の係数が1なので、上の点が無限遠へ逃げられないからです。
次元は同じ: 同じ点の上の2点には包含関係がない（比較不能性）ことと合わせて、 $\dim B=\dim A$ が分かります。
上の点の数: $B$ が $A$ 加群として $n$ 個の元で生成されれば、各点の上にある点は $n$ 個以下です。 $\mathbb{Z}[i]$ では素数 $p$ の上に1点か2点があり、2点のときは複素共役で移りあいます。

証明は、ステップの流れだけを短く書いています。「詳しく」の付いた行をクリックすると、そのステップの詳しい説明が開きます。説明の中にも開ける行があります。
定義・命題・定理には、記事全体で通し番号を振っています。
おさらいは前の回や前提の知識の確認、もう少し詳しくは補足、専門的な話は先の回につながる話題です。どれも開かずに読み進められます。
各ブロックの「AIに質問」を押すと、その部分の内容を入れた質問文で、お使いのAIを開けます。

2つの環の次元を比べる

前回は、環の次元を素イデアルの鎖の長さで定義しました。今回は、環 $A\subseteq B$ があるときに、 $\dim A$ と $\dim B$ を比べます。

一般には、何も言えません。 $k[x]\subseteq k[x,y]$ では次元が1から2に増え、 $\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}$ では1から0に減ります。次元が等しくなるのは、 $B$ が $A$ から「方程式で決まる」場合です。それが今回の整拡大です。

比べる道具は、素イデアルを小さい環へ制限する写像です。

おさらい環の準同型と Spec の写像

環の準同型 $\varphi\colon A\to B$ と $B$ の素イデアル $Q$ について、逆像 $\varphi^{-1}(Q)$ は $A$ の素イデアルです。これで写像 $\operatorname{Spec}\varphi\colon\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A$ が決まります（図で読む代数幾何第8回の命題4、[1, 演習問題1.21, p.21]）。

環の写像と Spec の写像は、向きが逆になります。合成についても $\operatorname{Spec}(\psi\circ\varphi)=\operatorname{Spec}\varphi\circ\operatorname{Spec}\psi$ と、順番が入れ替わります。

{}\begin{gathered} \begin{CD} A @>{\varphi}>> B \\ @. @VV{\psi}V \\ @. C \end{CD} \\ \leadsto \\ \begin{CD} \operatorname{Spec}A @<{\operatorname{Spec}\varphi}<< \operatorname{Spec}B \\ @. @AA{\operatorname{Spec}\psi}A \\ @. \operatorname{Spec}C \end{CD} \end{gathered}

この写像は連続です。 $A$ のイデアル $J$ と $f\in A$ について、閉集合 $V(J)$ と開集合 $D(f)=\operatorname{Spec}A\setminus V(f)$ は次のように引き戻されます。

(\operatorname{Spec}\varphi)^{-1}\bigl(V(J)\bigr)=V\bigl(\varphi(J)B\bigr)\qquad (\operatorname{Spec}\varphi)^{-1}\bigl(D(f)\bigr)=D\bigl(\varphi(f)\bigr)

\begin{gathered}(\operatorname{Spec}\varphi)^{-1}\bigl(V(J)\bigr)=V\bigl(\varphi(J)B\bigr)\\(\operatorname{Spec}\varphi)^{-1}\bigl(D(f)\bigr)=D\bigl(\varphi(f)\bigr)\end{gathered}

\begin{aligned}(\operatorname{Spec}\varphi)^{-1}\bigl(V(J)\bigr) &= V\bigl(\varphi(J)B\bigr)\\[4pt](\operatorname{Spec}\varphi)^{-1}\bigl(D(f)\bigr) &= D\bigl(\varphi(f)\bigr)\end{aligned}

ただし、極大イデアルの逆像は極大とは限りません。包含 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}$ では、 $\mathbb{Q}$ の極大イデアル $(0)$ の逆像は $\mathbb{Z}$ の $(0)$ で、極大ではありません。整拡大ではこれが起こらないことを、後の系8で示します。

定義1 Spec の写像 [1, 演習問題1.21, p.21]

環 $A\subseteq B$ について、 $B$ の素イデアル $Q$ に対し $Q\cap A$ は $A$ の素イデアルである。写像 $\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A,\ Q\mapsto Q\cap A$ を考える。 $Q\cap A=P$ のとき、 $Q$ は $P$ の上にあると言う。

$Q\cap A$ が素イデアルなのは、 $ab\in Q\cap A$ なら $a\in Q$ か $b\in Q$ で、 $a,b\in A$ だからです。 $1\notin Q$ なので $Q\cap A\neq A$ でもあります。

包含 $\iota\colon A\hookrightarrow B$ では $\iota^{-1}(Q)=Q\cap A$ なので、この写像は $\operatorname{Spec}\iota$ です。 $\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Z}[i]$ で、環の写像と点の行き先を並べると次のようになります。

\begin{array}{ccc} \mathbb{Z} & \xrightarrow{\ \iota\ } & \mathbb{Z}[i] \\[4pt] \operatorname{Spec}\mathbb{Z} & \xleftarrow{\ \operatorname{Spec}\iota\ } & \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[i] \\[4pt] (5) & \longleftarrow & (2+i),\ (2-i) \\ (3) & \longleftarrow & 3\mathbb{Z}[i] \\ (0) & \longleftarrow & (0) \end{array}

例えば $(2+i)$ は $5=(2+i)(2-i)$ を含むので、 $\mathbb{Z}$ との共通部分は $5$ を含む素イデアル $(5)$ です。環の矢印は右向き、Spec の矢印は左向きです。

代数幾何の連載の第1回で見た射影は、この写像の例です。空間の曲線 $C=V(y-x^2,\ z-x^3)$ を $yz$ 平面へ射影すると尖点のある曲線 $y^3=z^2$ になり、環の側では包含 $k[y,z]/(y^3-z^2)\hookrightarrow k[x,y,z]/J$ に対応していました（図で読む代数幾何第1回の例18）。このとき2つの曲線はどちらも1次元で、次元は変わりません。今回の結果から、その理由が分かります。

環はすべて単位元をもつ可換環とします。

整な元と整拡大

定義2 整・整拡大・有限 [1, 5.1節, p.90; 2, §9, p.77]

環 $A\subseteq B$ とする。

(1)　 $x\in B$ が $A$ 上整であるとは、 $a_1,\dots,a_n\in A$ （ $n\ge1$ ）があって

\begin{aligned} &x^n+a_1x^{n-1}+\cdots \\ &\quad+a_{n-1}x+a_n=0 \end{aligned}

となることをいう。最高次の係数が1の多項式をモニックと呼ぶ。
(2)　 $B$ のすべての元が $A$ 上整のとき、 $B$ は $A$ 上整である、または $A\subseteq B$ は整拡大であるという。
(3)　 $B$ が $A$ 加群として有限生成のとき、 $B$ は $A$ 上有限であるという。

この定義では、最高次の係数が1であることが大事です。 $A$ が体なら、0でない係数で割ればモニックにできるので、「整」は「代数的」と同じ意味になります。 $A=\mathbb{Z}$ のように割り算ができない環では、モニックかどうかで大きな違いが出ます。

例3 整な元と整でない元

(1)　 $i\in\mathbb{Z}[i]$ は $x^2+1=0$ をみたすので $\mathbb{Z}$ 上整。黄金比 $\varphi=(1+\sqrt5)/2$ も $\varphi^2-\varphi-1=0$ をみたすので $\mathbb{Z}$ 上整。
(2)　 $x=\sqrt2+\sqrt3$ は $\mathbb{Z}$ 上整である。実際

x^2=5+2\sqrt6\qquad (x^2-5)^2=24\qquad x^4-10x^2+1=0

\begin{gathered}x^2=5+2\sqrt6\\(x^2-5)^2=24\\x^4-10x^2+1=0\end{gathered}

\begin{aligned}x^2 &= 5+2\sqrt6\\[4pt](x^2-5)^2 &= 24\\[4pt]x^4-10x^2+1 &= 0\end{aligned}

(3)　 $1/2\in\mathbb{Q}$ は $\mathbb{Z}$ 上整でない [1, 例5.0, p.91]。
(4)　 $k[x,y]/(y^2-x)$ は $k[x]$ 上整。 $y$ が $T^2-x=0$ をみたすからである（一般の元については、後の系5から分かる）。
(5)　 $k[x,y]/(xy-1)$ は $k[x]$ 上整でない。

証明

(1)(2)(4) は書いた式から。
(3) $(1/2)^n+a_1(1/2)^{n-1}+\cdots+a_n=0$ （ $a_j\in\mathbb{Z}$ ）とすると、 $2^n$ を掛けて $1+2(a_1+2a_2+\cdots+2^{n-1}a_n)=0$ 。左辺は奇数なので0にならない。
(5) $B=k[x,y]/(xy-1)\cong k[x,1/x]$ （ $y\mapsto1/x$ ）で、 $1/x$ が $k[x]$ 上整でないことを示す。

$(1/x)^n+a_1(x)(1/x)^{n-1}+\cdots+a_n(x)=0$ とすると、 $x^n$ を掛けて $1+x\bigl(a_1(x)+a_2(x)x+\cdots+a_n(x)x^{n-1}\bigr)=0$ 。 $x=0$ を代入すると $1=0$ となり矛盾する。

(3) と (5) は同じ形の議論です。分母の $2$ や $x$ を払うと、左辺の定数項が1のまま残ります。図1は、(4) と (5) の違いを図形で見たものです。

2

点

1

点

実数は

0

点

y^2-x=0

最高次の係数は1

1

点

1

点

0

点

xy-1=0

最高次の係数は

x

↑

x\to0

で無限遠へ

図1具体例曲線を

x

軸へ射影し、

x=a

の上にある点を数えた図です（実数の点だけを描いています）。左の

y^2=x

は

y

についてモニックで、

a>0

の上に2点、

a=0

の上に1点あります。

a<0

の上には実数の点はありませんが、複素数の点

y=\pm\sqrt{-a}\,i

があります。右の

xy=1

は最高次の係数が

x

で、

a\to0

とすると点が無限遠へ逃げ、

x=0

の上には複素数でも点がありません。

モニックな方程式 $y^n+a_1(x)y^{n-1}+\cdots+a_n(x)=0$ では、 $x$ を動かしても $y$ の解は無限遠へ逃げられません。最高次の係数が1のまま消えないからです。この「逃げない」ことが、後で見る横たわりと上昇定理の図形的な中身です。

整であることは、加群が有限生成であることで言い換えられます。

命題4 整な元の特徴づけ [1, 命題5.1, p.91; 2, 定理9.1 i), p.77]

環 $A\subseteq B$ と $x\in B$ について、次は同値である。

(1)　 $x$ は $A$ 上整。
(2)　 $A[x]$ は有限生成 $A$ 加群。
(3)　 $A[x]\subseteq C\subseteq B$ となる部分環 $C$ で、有限生成 $A$ 加群であるものがある。
(4)　忠実な $A[x]$ 加群 $M$ で、 $A$ 加群として有限生成であるものがある。

証明

(1)⇒(2) $x^n$ を $1,x,\dots,x^{n-1}$ の $A$ 係数の和で書けるので、 $A[x]=A+Ax+\cdots+Ax^{n-1}$ 。

$x^n=-(a_1x^{n-1}+\cdots+a_n)$ に $x^r$ を掛けると、 $x^{n+r}$ が次数の低い項で書ける。 $r$ についての帰納法で、すべての $x^m$ が $A+Ax+\cdots+Ax^{n-1}$ に入る。
(2)⇒(3) $C=A[x]$ とすればよい。
(3)⇒(4) $M=C$ とする。 $yC=0$ なら $y=y\cdot1=0$ なので、 $C$ は忠実な $A[x]$ 加群である。
(4)⇒(1) $M=Am_1+\cdots+Am_n$ とし、 $x$ を掛ける操作を $A$ 係数の行列で表して、その固有多項式を作る。
1. $xm_i=\sum_j a_{ij}m_j$ （ $a_{ij}\in A$ ）と書ける。行列 $N=xE-(a_{ij})$ と縦ベクトル $m={}^t(m_1,\dots,m_n)$ について $Nm=0$ 。
2. $N$ の余因子行列 $\widetilde N$ を左から掛けると、 $\widetilde N N=\det(N)E$ なので $\det(N)\,m_j=0$ （すべての $j$ ）。
3. $\det(N)$ は $M$ の生成元をすべて0にするので $\det(N)M=0$ 。 $M$ は忠実なので $\det(N)=0$ 。
4. $\det(N)=\det(xE-(a_{ij}))$ を展開すると、 $c_j\in A$ を使って $x^n+c_1x^{n-1}+\cdots+c_n$ の形になる。これが求めるモニックな式である。

(4)⇒(1) の議論は「行列式のトリック」と呼ばれます。線形代数のケーリー–ハミルトンの定理と同じ計算です。

例3(2) の $\sqrt2+\sqrt3$ は、この命題からも分かります。 $C=\mathbb{Z}[\sqrt2,\sqrt3]$ は

C=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\sqrt2+\mathbb{Z}\sqrt3+\mathbb{Z}\sqrt6

\begin{aligned}C &= \mathbb{Z}+\mathbb{Z}\sqrt2+\mathbb{Z}\sqrt3+\mathbb{Z}\sqrt6\end{aligned}

\begin{aligned}C &= \mathbb{Z}+\mathbb{Z}\sqrt2+\mathbb{Z}\sqrt3\\&\phantom{=}{} +\mathbb{Z}\sqrt6\end{aligned}

と4個の元で生成される $\mathbb{Z}$ 加群で、 $\sqrt2+\sqrt3$ を含むので、(3) が成り立ちます。方程式 $x^4-10x^2+1=0$ を見つけなくても、整であることが分かるわけです。

おさらい有限・有限生成・整の違い

$A\subseteq B$ のとき、 $B$ が $A$ 上有限生成な代数であるとは、有限個の元の多項式で $B$ の元がすべて書けることです。 $B$ が $A$ 上有限であるとは、有限個の元の1次式ですべて書けることです。

B=A[b_1,\dots,b_n]\qquad B=Ab_1+\cdots+Ab_n

\begin{gathered}B=A[b_1,\dots,b_n]\\B=Ab_1+\cdots+Ab_n\end{gathered}

\begin{aligned}B &= A[b_1,\dots,b_n]\\[4pt]B &= Ab_1+\cdots+Ab_n\end{aligned}

左が有限生成な代数、右が有限の形です。

$\mathbb{Z}[i]=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}i$ は $\mathbb{Z}$ 上有限です。
$k[x]$ は $k$ 上有限生成な代数ですが、 $1,x,x^2,\dots$ が1次独立なので有限ではありません。 $x$ は $k$ 上整でもありません。
$\mathbb{Z}[1/2]$ は $\mathbb{Z}$ 上有限生成な代数ですが、 $1/2$ が整でないので（例3(3)）、整でも有限でもありません。
$\mathbb{Z}$ 上整な複素数の全体は $\mathbb{Z}$ 上整ですが、有限生成な代数ではありません。有限生成な代数なら、整なので有限になり（次の系）、元の $\mathbb{Q}$ 上の次数に上限ができます。ところが、次数 $n$ の $\sqrt[n]{2}$ をすべての $n$ について含みます。

次の系5(1)(2) から、 $A$ 上有限であることは、 $A$ 上整で、かつ有限生成な代数であることと同値です。

系5 [1, 系5.2, 系5.3, p.91–92; 2, 定理9.1, p.77]

環 $A\subseteq B$ とする。

(1)　 $x_1,\dots,x_n\in B$ がすべて $A$ 上整なら、 $A[x_1,\dots,x_n]$ は有限生成 $A$ 加群である。
(2)　 $B$ が $A$ 上有限なら、 $B$ は $A$ 上整である。
(3)　 $B$ の元で $A$ 上整なもの全体は、 $B$ の部分環である。これを $B$ における $A$ の整閉包と呼ぶ。

証明

(1) $n$ についての帰納法。 $A_r=A[x_1,\dots,x_r]$ とおくと、 $x_r$ は $A_{r-1}$ 上整なので、 $A_r=A_{r-1}[x_r]$ は有限生成 $A_{r-1}$ 加群（命題4）。
有限生成加群の上の有限生成加群は有限生成なので、 $A_r$ は有限生成 $A$ 加群。

$A_{r-1}=\sum_i Ab_i$ 、 $A_r=\sum_j A_{r-1}c_j$ なら、 $A_r=\sum_{i,j}Ab_ic_j$ 。
(2) $x\in B$ について、 $C=B$ として命題4(3) を使う。
(3) $x,y$ が整なら、(1) から $A[x,y]$ は有限生成 $A$ 加群で、 $x\pm y,\ xy$ を含む。命題4(3) から $x\pm y,\ xy$ も整。

(2) から、 $k[x,y]/(y^2-x)=k[x]+k[x]\,y$ は $k[x]$ 上整です。 $\mathbb{Z}[i]=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}i$ も $\mathbb{Z}$ 上整です。

剰余環と局所化をとっても、整であることは保たれます。

おさらい剰余環の素イデアルと極大イデアル

イデアル $J$ について、剰余環 $B/J$ の素イデアルは、 $J$ を含む $B$ の素イデアル $Q$ の像 $Q/J$ と1対1に対応します（対応定理）。Spec の言葉では、 $Q/J\mapsto Q$ が閉集合 $V(J)$ への同相写像になります。

\operatorname{Spec}(B/J)\xrightarrow{\ \sim\ }V(J)\subseteq\operatorname{Spec}B

\begin{aligned}\operatorname{Spec}(B/J)\xrightarrow{\ \sim\ }V(J) &\subseteq \operatorname{Spec}B\end{aligned}

また、 $Q$ が素イデアルであることは $B/Q$ が整域であること、 $Q$ が極大イデアルであることは $B/Q$ が体であることと同値です。この記事では、極大かどうかを剰余環が体かどうかで調べます（系8）。

例えば $\mathbb{Z}[i]/(5)\cong\mathbb{F}_5[x]/(x^2+1)$ の素イデアルは2つで、 $5$ を含む $\mathbb{Z}[i]$ の素イデアル $(2+i)$ と $(2-i)$ に対応します。

おさらい局所化の素イデアルと単射

$A$ の積閉集合 $S$ について、 $S^{-1}B$ は分母に $S$ の元を許した分数 $b/s$ の環です（図で読む代数幾何第3回の定義10）。 $A$ の素イデアル $P$ について $S=A\setminus P$ のとき、 $S^{-1}A=A_P$ 、 $S^{-1}B=B_P$ と書きます。 $B_P$ は、 $B$ の素イデアルでの局所化ではなく、 $A$ の元だけを分母に許した環です。

$S^{-1}B$ の素イデアルは、 $S$ と交わらない $B$ の素イデアル $Q$ の $S^{-1}Q$ と、包含を保って1対1に対応します[1, 命題3.11 iv), p.63]。 $S=A\setminus P$ なら、 $Q\cap S=\varnothing$ は $Q\cap A\subseteq P$ と同じです。

\begin{aligned} \operatorname{Spec}B_P\xrightarrow{\ \sim\ }{}&\{\,Q\in\operatorname{Spec}B\mid{} \\ &\qquad Q\cap A\subseteq P\,\}\end{aligned}

とくに $A_P$ は、 $PA_P$ をただ1つの極大イデアルとする局所環です。また局所化は完全列を保つので、単射は単射に写ります。

0\longrightarrow A\longrightarrow B\quad\Longrightarrow\quad 0\longrightarrow S^{-1}A\longrightarrow S^{-1}B

\begin{gathered}0\longrightarrow A\longrightarrow B\\\Longrightarrow 0\longrightarrow S^{-1}A\longrightarrow S^{-1}B\end{gathered}

\begin{aligned}0 &\longrightarrow A\\&\longrightarrow B\\[4pt]&\Longrightarrow 0\longrightarrow S^{-1}A\longrightarrow S^{-1}B\end{aligned}

命題6 [1, 命題5.6, p.93]

$A\subseteq B$ を整拡大とする。

(1)　 $B$ のイデアル $J$ について、 $A/(J\cap A)\subseteq B/J$ は整拡大である。
(2)　 $A$ の積閉集合 $S$ について、 $S^{-1}A\subseteq S^{-1}B$ は整拡大である。

証明

(1) $x\in B$ の整な式を $B/J$ に写せばよい。 $A/(J\cap A)\to B/J$ が単射なのは、核が $(J\cap A)/(J\cap A)=0$ だから。
(2) $x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=0$ なら、 $s\in S$ について次が成り立つ。
$\Bigl(\frac xs\Bigr)^n+\frac{a_1}{s}\Bigl(\frac xs\Bigr)^{n-1}+\cdots+\frac{a_n}{s^n}=0$ $\begin{aligned}\Bigl(\frac xs\Bigr)^n+\frac{a_1}{s}\Bigl(\frac xs\Bigr)^{n-1}+\cdots+\frac{a_n}{s^n} &= 0\end{aligned}$
$S^{-1}A\to S^{-1}B$ が単射なのは、局所化が単射を保つから。

2つの主張を図式で書くと、次のとおりです。横の矢印は整拡大（単射）、縦の矢印は剰余環への写像と局所化です。

\begin{CD} A @>>> B \\ @VVV @VVV \\ A/(J\cap A) @>>> B/J \end{CD}\qquad\qquad \begin{CD} A @>>> B \\ @VVV @VVV \\ S^{-1}A @>>> S^{-1}B \end{CD}

例えば $\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Z}[i]$ で $J=(2+i)$ とすると、 $J\cap\mathbb{Z}=(5)$ で、左の図式の下の行は $\mathbb{F}_5\to\mathbb{Z}[i]/(2+i)$ です。 $i\equiv-2\pmod{2+i}$ なので $\mathbb{Z}[i]/(2+i)$ も5個の元からなる体で、この写像は同型です。

上にある点：横たわり

ここから、整拡大で Spec の写像がどうなるかを見ます。まず、体であるかどうかが上下でそろうことを示します。

命題7 [1, 命題5.7, p.93; 2, §9 補題1, p.80]

$A\subseteq B$ を整域の整拡大とする。 $A$ が体であることと、 $B$ が体であることは同値である。

証明

( $\Rightarrow$ ) $0\neq y\in B$ の整な式で次数が最小のものをとると、定数項が0でないので、 $y^{-1}$ を $y$ の多項式で書ける。

$y^n+a_1y^{n-1}+\cdots+a_n=0$ で $n$ が最小とする。 $a_n=0$ なら $y(y^{n-1}+\cdots+a_{n-1})=0$ で、 $B$ は整域なので次数の低い式ができてしまう。よって $a_n\neq0$ で、 $A$ は体なので
$\begin{aligned} y^{-1}&=-a_n^{-1}\bigl(y^{n-1}+a_1y^{n-2} \\ &\qquad{}+\cdots+a_{n-1}\bigr)\in B\end{aligned}$
( $\Leftarrow$ ) $0\neq x\in A$ とすると $x^{-1}\in B$ は $A$ 上整で、その式に $x^{m-1}$ を掛けると $x^{-1}\in A$ が分かる。

$x^{-m}+a_1x^{-m+1}+\cdots+a_m=0$ に $x^{m-1}$ を掛けて
$\begin{aligned} x^{-1}&=-\bigl(a_1+a_2x+\cdots \\ &\qquad{}+a_mx^{m-1}\bigr)\in A\end{aligned}$

系8 [1, 系5.8, p.94; 2, §9 補題2, p.80]

$A\subseteq B$ を整拡大、 $Q$ を $B$ の素イデアル、 $P=Q\cap A$ とする。 $Q$ が極大イデアルであることと、 $P$ が極大イデアルであることは同値である。

証明

命題6(1) から $A/P\subseteq B/Q$ は整域の整拡大。命題7から、 $A/P$ が体 $\iff$ $B/Q$ が体。

Spec の図の言葉では、閉点の上にある点は閉点で、閉点でない点の上には閉点がない、ということです。図形の高さ（閉包の次元）の0がそろいます。

系9 比較不能性 [1, 系5.9, p.94; 2, 定理9.3 ii), p.80]

$A\subseteq B$ を整拡大とし、 $B$ の素イデアル $Q\subseteq Q'$ が $Q\cap A=Q'\cap A$ をみたすとする。このとき $Q=Q'$ 。

証明

$P=Q\cap A$ とし、 $S=A\setminus P$ で局所化すると、 $P$ が極大イデアル $PA_P$ になり、系8に帰着する。
1. 命題6(2) から $A_P\subseteq B_P$ は整拡大。 $Q,Q'$ は $S$ と交わらないので、 $QB_P\subseteq Q'B_P$ は $B_P$ の素イデアル。
2. $QB_P\cap A_P=Q'B_P\cap A_P=PA_P$ は極大イデアルなので、系8から $QB_P$ と $Q'B_P$ は極大。片方がもう片方に含まれるので等しい。
3. 局所化での素イデアルの対応 [1, 命題3.11 iv), p.63] から $Q=Q'$ 。

比較不能性は、同じ点の上にある点が「上下に重ならない」ことを言っています。言い換えると、 $B$ の鎖で真に大きい素イデアルへ1段進むと、像も真に大きくなります。鎖の長さは写像で縮みません。

定理10 横たわり [1, 定理5.10, p.94; 2, 定理9.3 i), p.80]

$A\subseteq B$ を整拡大とする。 $A$ の任意の素イデアル $P$ について、 $Q\cap A=P$ となる $B$ の素イデアル $Q$ がある。つまり $\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A$ は全射である。

証明

$P$ で局所化すると、 $A_P\subseteq B_P$ は整拡大で、 $B_P\neq0$ 。
$B_P$ の極大イデアル $N$ をとると、系8から $N\cap A_P$ は極大イデアル、つまり $PA_P$ である。
$N$ を $B$ に引き戻した $Q$ が求めるもの。

次の図式は可換である（横の矢印は包含、縦の矢印は局所化）。
$\begin{CD} A @>>> B \\ @VVV @VVV \\ A_P @>>> B_P \end{CD}$
$Q$ を $B\to B_P$ による $N$ の逆像とすると、 $Q\cap A$ は $A\to A_P$ による $N\cap A_P=PA_P$ の逆像に等しい。それは $P$ である。

証明では、点を次の順にたどりました。 $P$ を局所化で閉点 $PA_P$ にし、その上にある閉点 $N$ を見つけてから、 $B$ に戻して $Q$ を得ます。

\begin{CD} Q @>>> N=QB_P \\ @V{\cap A}VV @VV{\cap A_P}V \\ P @>>> PA_P \end{CD}

横の矢印は局所化での素イデアルの対応、縦の矢印は Spec の写像です。左の縦の矢印の行き先が $P$ であることが、横たわりの主張です。

例3(5) の $k[x]\subseteq k[x,1/x]$ では、点 $(x)$ の上に点がありません。 $x$ は $k[x,1/x]$ の単元なので、 $x$ を含む素イデアルがないからです。図1の右で、 $x=0$ の上に点がなかったのはこのためです。

ドラッグで回せます

手前の列が $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 、奥の列が $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[i]$ です。どちらも閉点を床に、生成点 $(0)$ を高さ1の雲に描いています。奥の列では、素数 $p$ ごとに、その上にある点を並べました。

矢印が写像 $Q\mapsto Q\cap\mathbb{Z}$ です。 $p\equiv1\pmod 4$ （ $5,13,17$ ）の上には2点（青）、 $p\equiv3\pmod4$ （ $3,7,11$ ）の上には1点（紫）、 $2$ の上には1点（オレンジ）があります。「正面」から見ると、奥の点はちょうど像の点に重なり、写像が射影として見えます。どの点の上にも1点以上あります（横たわり）。

$\mathbb{Z}[i]$ の鎖 $(0)\subsetneq(2+i)$ は、 $\mathbb{Z}$ の鎖 $(0)\subsetneq(5)$ に写ります。「真横」から見ると、どちらの列も段は2つで、鎖の長さ（次元）は同じ1です。 $(2+i)$ と $(2-i)$ はどちらも床にあり、同じ点 $(5)$ の上の点どうしに包含関係はありません（比較不能性）。

図2具体例

\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[i]\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}

。素数

p

の上にある点を、

x^2+1

を

p

で割った余りの根を数えて計算し、描いています。閉点は床、生成点

(0)

は高さ1の雲です（代数幾何の連載の第2回と同じ約束）。「正面」から見ると奥の点が像の点にちょうど重なり、「真横」から見ると2つの列の段の数が同じであることが分かります。

例11 $\mathbb{Z}[i]$ の素イデアル

$\mathbb{Z}[i]\cong\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$ で、素数 $p$ の上にある点は次のとおりである。

(1)　 $x^2+1\equiv0\pmod p$ が根 $r$ をもてば、 $(p,\ i-r)$ 。根が2つ（ $p\equiv1\pmod4$ ）なら2点、1つ（ $p=2$ ）なら1点。
(2)　根がなければ（ $p\equiv3\pmod4$ ）、 $(p)$ の1点で、剰余体は $\mathbb{F}_p[x]/(x^2+1)=\mathbb{F}_{p^2}$ 。

\begin{aligned} p=5&:\,x^2+1\equiv(x-2)(x+2)\\ &\phantom{:\,}(5,\ i-2)=(2-i)\\ &\phantom{:\,}(5,\ i+2)=(2+i)\\[4pt] p=13&:\,x^2+1\equiv(x-5)(x+5)\\ &\phantom{:\,}(13,\ i-5)=(3+2i)\\ &\phantom{:\,}(13,\ i+5)=(3-2i)\\[4pt] p=2&:\,x^2+1\equiv(x+1)^2\\ &\phantom{:\,}(2,\ i+1)=(1+i)\end{aligned}

$p=3$ では $x^2+1$ は $\mathbb{F}_3$ に根をもたず（ $0^2+1,\ 1^2+1,\ 2^2+1$ は $1,2,2$ ）、上の点は $(3)$ だけである。

証明

$p$ の上にある素イデアルは、 $\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$ の素イデアルで $p$ を含むもの、つまり $\mathbb{F}_p[x]/(x^2+1)$ の素イデアルと対応する。
$\mathbb{F}_p[x]/(x^2+1)$ の素イデアルは、 $x^2+1$ の $\mathbb{F}_p[x]$ での既約因子 $g$ について $(g)$ である。根 $r$ があれば $g=x-r$ 、なければ $x^2+1$ 自身が既約。
$p\equiv1\pmod4$ のとき根が2つ、 $p\equiv3\pmod4$ のとき根がないのは、 $\mathbb{F}_p^\times$ が位数 $p-1$ の巡回群で、 $-1$ が平方であることと $4\mid p-1$ が同値だから。

$r^2=-1$ なら $r$ の位数はちょうど4なので $4\mid p-1$ 。逆に $4\mid p-1$ なら、生成元 $g$ について $r=g^{(p-1)/4}$ が $r^2=g^{(p-1)/2}=-1$ をみたす。
例えば $p=5$ 、 $r=2$ では、 $2-i$ は $5=(2-i)(2+i)$ と $i-2$ の両方を割り切り、逆に $i-2=-(2-i)$ なので、 $(5,\ i-2)=(2-i)$ 。ほかも同じ計算。

$p\equiv1\pmod4$ の素数は $p=a^2+b^2$ と2つの平方の和に書ける、というフェルマーの定理も、この図から読めます。 $\mathbb{Z}[i]$ はユークリッド整域なので、 $p$ の上の点 $(p,\ i-r)$ は1つの元 $a+bi$ で生成されます。その共役 $a-bi$ がもう1つの点を生成し、 $p=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ となります。

鎖を持ち上げる：上昇定理

定理12 上昇定理 [1, 定理5.11, p.95; 2, 定理9.4 i), p.82]

$A\subseteq B$ を整拡大とする。 $A$ の素イデアルの鎖 $P_1\subseteq\cdots\subseteq P_n$ と、 $B$ の素イデアルの鎖 $Q_1\subseteq\cdots\subseteq Q_m$ （ $m<n$ ）で $Q_i\cap A=P_i$ （ $1\le i\le m$ ）となるものがあるとする。このとき、 $Q_m\subseteq Q_{m+1}\subseteq\cdots\subseteq Q_n$ と延ばして、 $Q_i\cap A=P_i$ （ $1\le i\le n$ ）とできる。

証明

帰納法により、 $m=1,\ n=2$ の場合を示せばよい。
$\overline A=A/P_1\subseteq\overline B=B/Q_1$ は整拡大である（命題6(1)）。
横たわり（定理10）から、 $P_2/P_1$ の上にある $\overline B$ の素イデアルがある。それを $B$ に引き戻した $Q_2$ は $Q_1$ を含み、 $Q_2\cap A=P_2$ 。

定理の主張を、2行の鎖を縦の矢印 $Q\mapsto Q\cap A$ で結ぶ図式で書きます。下の鎖全体と、上の鎖の $Q_m$ までが与えられていて、 $Q_{m+1}$ から先を作ります。

{}\begin{gathered} \begin{array}{ccc} Q_1 & \subseteq\cdots\subseteq & Q_m \\ \Big\downarrow{\scriptstyle\cap A} && \Big\downarrow{\scriptstyle\cap A} \\ P_1 & \subseteq\cdots\subseteq & P_m \end{array} \\[12pt] \begin{array}{ccccccc} Q_m & \subseteq & Q_{m+1} & \subseteq & \cdots & \subseteq & Q_n \\ \Big\downarrow{\scriptstyle\cap A} && \Big\downarrow{\scriptstyle\cap A} &&&& \Big\downarrow{\scriptstyle\cap A} \\ P_m & \subseteq & P_{m+1} & \subseteq & \cdots & \subseteq & P_n \end{array} \end{gathered}

証明の1段は、 $Q_1$ と $P_1$ で割った環で横たわりを使うものでした。図式では、 $\overline B=B/Q_1$ の点 $Q_2/Q_1$ が $\overline A=A/P_1$ の点 $P_2/P_1$ の上にあり、それを $B$ に戻したものが $Q_2$ です。

\subsetneq

\subsetneq

\cap A

P_1

Q_1

\subsetneq

\subsetneq

\cap A

P_2

Q_2

\cap A

P_3

Q_3

Q_2'

Q_2

と包含関係なし

B

A

破線は上昇定理で作る

図3概念図上昇定理と比較不能性。下の列が

A

の鎖、上の列が

B

の鎖で、点線で結んだ点が「上にある」関係です。

Q_1

から始めて、破線の包含を左から順に作っていきます。同じ

P_2

の上にある別の点

Q_2'

（オレンジ）は、

Q_2

を含むことも

Q_2

に含まれることもありません（比較不能性）。

図2の言葉では、 $\mathbb{Z}$ の鎖 $(0)\subsetneq(5)$ が、 $\mathbb{Z}[i]$ の鎖 $(0)\subsetneq(2+i)$ と $(0)\subsetneq(2-i)$ の2通りに持ち上がります。どちらに持ち上げるかは選べますが、持ち上げた鎖の長さは同じです。

{}\begin{gathered} \begin{array}{ccc} (0) & \subsetneq & (2+i) \\ \Big\downarrow{\scriptstyle\cap\mathbb{Z}} && \Big\downarrow{\scriptstyle\cap\mathbb{Z}} \\ (0) & \subsetneq & (5) \end{array} \\[12pt] \begin{array}{ccc} (0) & \subsetneq & (2-i) \\ \Big\downarrow{\scriptstyle\cap\mathbb{Z}} && \Big\downarrow{\scriptstyle\cap\mathbb{Z}} \\ (0) & \subsetneq & (5) \end{array} \end{gathered}

おさらい次元と高さ

素イデアルの鎖 $P_0\subsetneq\cdots\subsetneq P_n$ の長さ $n$ の上限が $\dim A$ でした（第1回の定義1）。 $P$ で終わる鎖の長さの上限が、 $P$ の高さ $\operatorname{ht}P$ です（第1回の定義9）。高さは局所化の次元 $\operatorname{ht}P=\dim A_P$ でもあります（第1回の命題10）。

\dim\mathbb{Z}=1\qquad \operatorname{ht}(0)=0\qquad \operatorname{ht}(5)=\dim\mathbb{Z}_{(5)}=1

\begin{gathered}\dim\mathbb{Z}=1\\\operatorname{ht}(0)=0\\\operatorname{ht}(5)=\dim\mathbb{Z}_{(5)}=1\end{gathered}

\begin{aligned}\dim\mathbb{Z} &= 1\\[4pt]\operatorname{ht}(0) &= 0\\[4pt]\operatorname{ht}(5) &= \dim\mathbb{Z}_{(5)}\\&= 1\end{aligned}

2つの環の次元を比べるには、鎖を写して長さを比べます。 $B$ の鎖を $A$ に写しても長さが縮まなければ $\dim B\le\dim A$ 、 $A$ の鎖を $B$ に持ち上げられれば $\dim A\le\dim B$ です。

系13 整拡大で次元は変わらない [3, 系3.11, p.83; 2, 問題9.2, p.84]

$A\subseteq B$ を整拡大とする。

(1)　 $\dim B=\dim A$ 。
(2)　 $B$ の素イデアル $Q$ について $\operatorname{ht}Q\le\operatorname{ht}(Q\cap A)$ 。

証明

$B$ の鎖 $Q_0\subsetneq\cdots\subsetneq Q_r$ を $A$ に制限すると、比較不能性（系9）から、包含は真のままである。よって $\dim B\le\dim A$ と (2) が分かる。

$Q_{j-1}\cap A=Q_j\cap A$ なら、比較不能性から $Q_{j-1}=Q_j$ となり、 $Q_{j-1}\subsetneq Q_j$ に反する。(2) は $Q_r=Q$ とすればよい。
逆に $A$ の鎖 $P_0\subsetneq\cdots\subsetneq P_r$ は、横たわりで $P_0$ の上の $Q_0$ をとり、上昇定理で $B$ の鎖に持ち上がる。持ち上げた鎖も、像が異なるので真の包含である。よって $\dim A\le\dim B$ 。

(2) の逆向きの不等式は、一般には成り立ちません。それを保証するのが、次回の下降定理です。

この系で、いくつかの次元が計算できます。

\begin{aligned} \dim\mathbb{Z}[i] &= \dim\mathbb{Z} = 1\\ \dim k[x,y]/(y^2-x) &= \dim k[x] = 1\\ \dim k[y,z]/(y^3-z^2) &= \dim k[t] = 1\end{aligned}

3つめは、 $k[y,z]/(y^3-z^2)\cong k[t^2,t^3]\subseteq k[t]$ で、 $t$ が $T^2-t^2=0$ をみたすことから整拡大になるので分かります。代数幾何の連載の第1回で見た射影「ねじれ3次曲線 → 尖点のある曲線」は、この整拡大に対応していて、だから次元が変わらないのです。前回は超越次数を使って同じ値を出しました。

$k[x]\subseteq k[x,y]$ は整でなく、次元は1から2に増えます。 $y$ は $k[x]$ 係数のどんなモニックな方程式もみたしません。

上にある点の数と閉写像

図2で、どの素数の上にも点は2個以下でした。これは $\mathbb{Z}[i]=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}i$ が2個の元で生成されることから来ています。

おさらいファイバーの環

図で読む代数幾何第8回の定義6では、 $\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A$ の点 $P$ の上のファイバーを、テンソル積 $B\otimes_A\kappa(P)$ の Spec として定めました。 $\kappa(P)$ は点 $P$ の剰余体です。

\kappa(P)=\operatorname{Frac}(A/P)=A_P/PA_P\qquad B\otimes_A\kappa(P)\cong B_P/PB_P

\begin{gathered}\kappa(P)=\operatorname{Frac}(A/P)=A_P/PA_P\\B\otimes_A\kappa(P)\cong B_P/PB_P\end{gathered}

\begin{aligned}\kappa(P) &= \operatorname{Frac}(A/P)\\&= A_P/PA_P\\[4pt]B\otimes_A\kappa(P) &\cong B_P/PB_P\end{aligned}

右の同型は、 $B\otimes_AA_P=B_P$ と、 $PA_P$ で割る操作をテンソル積で書き直したものです。この環の Spec は、 $P$ の上にある $B$ の素イデアルの集合と同相です（図で読む代数幾何第8回の命題8）。

例えば $\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Z}[i]$ の点 $(p)$ の上のファイバーの環は $\mathbb{F}_p[x]/(x^2+1)$ です（図で読む代数幾何第8回の例12）。

命題14 有限な拡大のファイバー [2, 問題9.3, p.84; 1, 演習問題8.4, p.143]

$A\subseteq B$ とし、 $B$ は $A$ 加群として $n$ 個の元で生成されるとする。 $A$ の素イデアル $P$ の上にある $B$ の素イデアルは $n$ 個以下で、どの2つにも包含関係はない。

証明

包含関係がないことは比較不能性（系9）から。以下、個数を数える。
$P$ の上の素イデアルは、 $R=B_P/PB_P$ の素イデアルと1対1に対応する。

$B_P=S^{-1}B$ （ $S=A\setminus P$ ）の素イデアルは、 $Q\cap S=\varnothing$ 、つまり $Q\cap A\subseteq P$ となる $Q$ と対応する。 $PB_P$ を含むものは、さらに $Q\cap A\supseteq P$ をみたす。2つを合わせて $Q\cap A=P$ 。
$R$ は体 $\kappa(P)=A_P/PA_P$ 上の $n$ 次元以下のベクトル空間である。 $B$ の生成元の像で張られるから。
$R$ の素イデアル $N$ について、 $R/N$ は有限次元の整域なので体で、 $N$ は極大イデアル（命題7）。
$R$ の異なる極大イデアル $N_1,\dots,N_s$ があれば、中国剰余定理で $R\to\prod_j R/N_j$ は全射。右辺の次元は $s$ 以上なので $s\le n$ 。

証明で使った環を並べると、次の可換図式になります。下の行は $A$ を点 $P$ の剰余体まで縮める操作で、上の行は同じ操作を $B$ で行ったものです。

\begin{CD} B @>>> B_P @>>> B_P/PB_P \\ @AAA @AAA @AAA \\ A @>>> A_P @>>> \kappa(P) \end{CD}

右の縦の矢印によって、 $B_P/PB_P$ は体 $\kappa(P)$ 上のベクトル空間になります。その次元が $n$ 以下であることが、点の数の上限 $n$ を与えています。

$R=B_P/PB_P$ は、 $P$ の上のファイバーの環です。代数幾何の言葉では、点 $P$ の上にある点を、その点の剰余体の上で方程式を解いて求めていることになります。

例15 $y^2=x$ のファイバー

$k$ を標数が2でない体、 $A=k[x]\subseteq B=k[x,y]/(y^2-x)=A+Ay$ （ $n=2$ ）とする。点 $(x-a)$ （ $a\in k$ ）の上のファイバーの環は

B/(x-a)B\cong k[y]/(y^2-a)

\begin{aligned}B/(x-a)B &\cong k[y]/(y^2-a)\end{aligned}

で、次のようになる。

(1)　 $a=c^2\neq0$ なら $k[y]/(y-c)(y+c)\cong k\times k$ で、上に2点 $(x-a,\ y\mp c)$ 。
(2)　 $a=0$ なら $k[y]/(y^2)$ で、上に1点 $(x,\ y)$ 。この点は前回見た「重なった点」である。
(3)　 $a$ が $k$ の中で平方でなければ、 $y^2-a$ は既約で、上に1点。剰余体は $k(\sqrt a)$ 。

$k=\mathbb{R}$ なら、 $a>0$ で (1)、 $a<0$ で (3) になり、図1の左の「実数は0点」の位置に、剰余体が $\mathbb{C}$ の点が1つあります。点の数はいつも2以下です。

$k[x]\subseteq k[x,y]$ のように有限でない拡大では、点 $(x-a)$ の上に直線 $x=a$ が丸ごと乗り、無限個の点があります。

横たわりは、閉集合を閉集合に写すという形にも言い換えられます。

おさらい閉写像と像の閉包

閉集合の像がいつも閉集合になる写像を、閉写像と呼びます。環の準同型 $\varphi\colon A\to B$ と $B$ のイデアル $J$ について、 $V(J)$ の像の閉包は次のようになります[1, 演習問題1.21 iii), p.21]。

\overline{\operatorname{Spec}\varphi\bigl(V(J)\bigr)}=V\bigl(\varphi^{-1}(J)\bigr)

\begin{aligned}\overline{\operatorname{Spec}\varphi\bigl(V(J)\bigr)} &= V\bigl(\varphi^{-1}(J)\bigr)\end{aligned}

包含 $A\subseteq B$ なら $\varphi^{-1}(J)=J\cap A$ なので、像の閉包は $V(J\cap A)$ です。ただし、像そのものは閉集合とは限りません。

例えば $\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}$ では、 $\operatorname{Spec}\mathbb{Q}=\{(0)\}$ の像は生成点 $(0)$ の1点です。その閉包は $V(0)=\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 全体で、像は閉集合ではありません。

命題16 閉写像 [1, 演習問題5.1, p.102]

$A\subseteq B$ を整拡大とする。 $B$ のイデアル $J$ について、 $\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A$ による $V(J)$ の像は $V(J\cap A)$ である。とくにこの写像は閉写像である。

証明

$Q\supseteq J$ なら $Q\cap A\supseteq J\cap A$ なので、像は $V(J\cap A)$ に含まれる。
逆に $P\supseteq J\cap A$ とする。 $A/(J\cap A)\subseteq B/J$ は整拡大（命題6(1)）なので、横たわりで $P/(J\cap A)$ の上の素イデアルがあり、その引き戻し $Q$ は $J$ を含み $Q\cap A=P$ 。

整でない $k[x]\subseteq k[x,1/x]$ では、全体 $V(0)$ の像は「 $(x)$ 以外の全体」で、これは閉集合ではありません。図1の右で、 $x=0$ の上が空いていたことと同じです。

上にある点は共役で移りあう

図2で $5$ の上の2点 $(2+i)$ と $(2-i)$ は、複素共役 $i\mapsto-i$ で入れ替わります。これは一般に成り立つ現象です。定理を述べるために、整閉という言葉を用意します。

定義17 整閉整域 [1, 5.3節, p.95; 2, §9, p.78]

整域 $A$ が、その商体の中での $A$ の整閉包に等しいとき、 $A$ は整閉整域（正規）であるという。

$\mathbb{Z}$ は整閉整域です（例3(3) と同じ議論で、 $\mathbb{Q}$ の分母が1でない数は $\mathbb{Z}$ 上整でありません）。一般に一意分解整域は整閉整域です [1, 5.3節, p.95; 2, §9 例1, p.78]。

整閉でない例は $k[t^2,t^3]$ です。商体 $k(t)$ の元 $t=t^3/t^2$ は $T^2-t^2=0$ をみたして整ですが、 $k[t^2,t^3]$ に入りません [2, §9 例2, p.78]。尖点 $y^2=x^3$ の座標環で、整閉でないことが尖っていることに対応します。これは連載の後の回（正則局所環）でもう一度扱います。

おさらい正規拡大と動かない元

体の代数拡大 $L/K$ が正規拡大であるとは、 $K$ 上既約な多項式が $L$ に根を1つもてば、 $L$ の中で1次式の積に分解することです。 $G=\operatorname{Aut}(L/K)$ は、 $K$ の元を動かさない $L$ の自己同型の群です。

$G$ で動かない元の全体 $L^G$ は、 $K$ を含む体です。 $L/K$ が有限次の正規拡大なら、 $L^G$ は $K$ 上純非分離で、標数0なら $L^G=K$ です。

G=\operatorname{Aut}\bigl(\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}\bigr)=\{\mathrm{id},\ a+bi\mapsto a-bi\}\qquad \mathbb{Q}(i)^G=\mathbb{Q}

\begin{gathered}G=\operatorname{Aut}\bigl(\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}\bigr)=\{\mathrm{id},\ a+bi\mapsto a-bi\}\\\mathbb{Q}(i)^G=\mathbb{Q}\end{gathered}

\begin{aligned}G &= \operatorname{Aut}\bigl(\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}\bigr)\\&= \{\mathrm{id},\ a+bi\mapsto a-bi\}\\[4pt]\mathbb{Q}(i)^G &= \mathbb{Q}\end{aligned}

標数 $p$ では $L^G\neq K$ となることがあります。例えば $K=\mathbb{F}_p(t)$ 、 $L=K(t^{1/p})$ では $G=\{\mathrm{id}\}$ で $L^G=L$ ですが、 $t^{1/p}$ は $p$ 乗すると $K$ に入ります。

定理18 [2, 定理9.3 iii), p.81]

$A$ を整閉整域、 $K$ をその商体、 $L$ を $K$ の有限次正規拡大、 $B$ を $L$ における $A$ の整閉包とする。 $A$ の素イデアル $P$ の上にある $B$ の素イデアルは、 $G=\operatorname{Aut}(L/K)$ の作用で互いに移りあう。

証明

$\sigma\in G$ は $B$ を $B$ に写し、 $P$ の上の素イデアルを $P$ の上の素イデアルに写す。

$b\in B$ の整な式に $\sigma$ を施すと、 $A\subseteq K$ の元は動かないので、 $\sigma(b)$ も同じ式をみたす。 $\sigma(Q)\cap A=\sigma(Q\cap A)=P$ 。
$P$ の上の $Q_1,Q_2$ について、 $Q_2$ がどの $\sigma(Q_1)$ とも異なると仮定して矛盾を導く。
比較不能性から $Q_2\not\subseteq\sigma(Q_1)$ 。素イデアル回避から、 $x\in Q_2$ で、どの $\sigma(Q_1)$ にも入らないものがある。
$y=\prod_{\sigma\in G}\sigma(x)$ は $G$ で動かない。適当な $q$ （標数0なら1、標数 $p$ なら $p$ のべき）で $y^q\in K$ となる。

$L/K$ が正規拡大のとき、 $G$ で動かない元のなす体は $K$ 上純非分離である。標数0ならそれは $K$ 自身で、標数 $p$ なら、その元の $p$ のべき乗が $K$ に入る。
$y^q$ は $A$ 上整で $K$ に入り、 $A$ は整閉なので $y^q\in A$ 。 $\sigma=\mathrm{id}$ の因子 $x\in Q_2$ を含むので $y^q\in Q_2\cap A=P\subseteq Q_1$ 。
$Q_1$ は素イデアルなので、ある $\sigma$ で $\sigma(x)\in Q_1$ 、つまり $x\in\sigma^{-1}(Q_1)$ 。これは $x$ の選び方に反する。

$\sigma\in G$ は $A$ を動かさないので、次の左の図式は可換です。右の図式のように、 $\sigma$ は $P$ の上の点を $P$ の上の点に写します。

\begin{CD} B @>{\sigma}>> B \\ @AAA @AAA \\ A @= A \end{CD}\qquad\qquad \begin{CD} Q @>{\sigma}>> \sigma(Q) \\ @V{\cap A}VV @VV{\cap A}V \\ P @= P \end{CD}

定理は、 $P$ の上の点がすべて、1つの点 $Q$ から右の図式の $\sigma(Q)$ の形で得られる、ということです。

例19 $\mathbb{Z}[i]$ の共役

$A=\mathbb{Z}$ 、 $K=\mathbb{Q}$ 、 $L=\mathbb{Q}(i)$ とすると $B=\mathbb{Z}[i]$ 、 $G=\{\mathrm{id},\ \overline{\phantom{x}}\}$ （複素共役）である。 $p\equiv1\pmod4$ の上の2点は共役で入れ替わる。

\overline{(2+i)}=(2-i)\qquad \overline{(3+2i)}=(3-2i)

\begin{gathered}\overline{(2+i)}=(2-i)\\\overline{(3+2i)}=(3-2i)\end{gathered}

\begin{aligned}\overline{(2+i)} &= (2-i)\\[4pt]\overline{(3+2i)} &= (3-2i)\end{aligned}

$p\equiv3\pmod4$ と $p=2$ の上の1点は、共役で自分自身に写る（ $\overline{(1+i)}=(1-i)=(1+i)$ 。 $1-i=-i(1+i)$ なので）。

$B=\mathbb{Z}[i]$ であることは、 $\mathbb{Z}[i]$ が $\mathbb{Z}$ 上整で、ユークリッド整域なので一意分解整域、したがって整閉であることから分かります。 $\mathbb{Q}(i)$ の元で $\mathbb{Z}$ 上整なものは $\mathbb{Z}[i]$ 上も整で、 $\mathbb{Z}[i]$ が整閉なので $\mathbb{Z}[i]$ に入るからです。

上にある点が群で移りあうので、どの点の上の点も「同じ形」をしています。 $5$ の上の2点の剰余体はどちらも $\mathbb{F}_5$ で、 $3$ の上の1点の剰余体は $\mathbb{F}_9$ です。

まとめ

拡大	整か	Spec の写像	次元
$\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Z}[i]$	整（有限、 $n=2$ ）	全射、上に1点か2点	$1=1$
$k[x]\subseteq k[x,y]/(y^2-x)$	整（有限、 $n=2$ ）	全射、上に1点か2点	$1=1$
$k[t^2,t^3]\subseteq k[t]$	整（有限、 $n=2$ ）	全射	$1=1$
$k[x]\subseteq k[x,1/x]$	整でない	$(x)$ の上に点がない	$1=1$
$k[x]\subseteq k[x,y]$	整でない	上に直線が乗る	$1\neq2$

整拡大では、点は上に必ずあり（横たわり）、鎖は上に持ち上がり（上昇定理）、同じ点の上の点は上下に重なりません（比較不能性）。この3つから次元が等しいことが分かりました。

$k[x]\subseteq k[x,1/x]$ の行が示すように、次元が等しくても整とは限りません。整であることは、点が逃げないという、次元より強い性質です。

次回：下降定理と開写像

上昇定理は、鎖を「大きい素イデアルの方へ」延ばす定理でした。逆に、 $Q$ の上にある点 $P=Q\cap A$ より小さい素イデアル $P'\subseteq P$ の上に、 $Q$ より小さい素イデアルをとれるか、というのが下降定理です。

次回は、 $A$ が整閉整域で $B$ が $A$ 上整な整域のときや、 $B$ が $A$ 上平坦なときに、下降定理が成り立つことを示します。

下降定理からは $\operatorname{ht}Q\ge\operatorname{ht}(Q\cap A)$ が出ます。整拡大の $\operatorname{ht}Q\le\operatorname{ht}(Q\cap A)$ と合わせると、整閉整域の上の整域の整拡大では $\operatorname{ht}Q=\operatorname{ht}(Q\cap A)$ とそろいます。あわせて、Spec の写像が開写像になることも見ます。

図で読む代数幾何第8回の命題4

$\varphi\colon B\to A$ を環の準同型とする。

(1)　 $Q\in\operatorname{Spec}A$ について $\varphi^{-1}(Q)$ は $B$ の素イデアルで、 $f(Q)=\varphi^{-1}(Q)$ で決まる写像 $f\colon\operatorname{Spec}A\to\operatorname{Spec}B$ は連続である。実際、 $B$ のイデアル $J$ について $f^{-1}(V(J))=V(\varphi(J)A)$ となる。
(2)　各 $Q$ で、 $b/s\mapsto\varphi(b)/\varphi(s)$ は局所準同型 $B_{f(Q)}\to A_Q$ を与える。これを茎の写像とするスキームの射 $(f,f^\#)$ がある。
(3)　 $\operatorname{Spec}A$ から $\operatorname{Spec}B$ へのスキームの射は、すべて (2) の形で、ただ1つの環の準同型 $\varphi$ から来る。 $\varphi$ は全体の上の関数の写像 $f^\#\colon\mathcal{O}(\operatorname{Spec}B)=B\to\mathcal{O}(\operatorname{Spec}A)=A$ である。

図で読む代数幾何第1回の例18 消去イデアルの計算

どんな体 $k$ でも、 $J=(y-x^2,\ z-x^3)\subseteq k[x,y,z]$ について

J\cap k[y,z]=(y^3-z^2)

\begin{aligned}J\cap k[y,z] &= (y^3-z^2)\end{aligned}

図で読む代数幾何第3回の定義10 局所化

環 $A$ の部分集合 $S$ が $1\in S$ をみたし、積について閉じているとき、 $S$ を積閉集合と呼ぶ。 $a\in A,\ s\in S$ の組を $a/s$ と書き、 $u(at-bs)=0$ となる $u\in S$ があるとき $a/s=b/t$ と同一視したものの全体を $S^{-1}A$ と書く。和と積を分数と同じ式で定めると環になる。とくに、

素イデアル $P$ について $S=A\setminus P$ とした環を $A_P$ と書き、 $A$ の $P$ での局所化と呼ぶ。
$f\in A$ について $S=\{1,f,f^2,\dots\}$ とした環を $A_f$ と書く。

第1回の定義1 素イデアルの鎖・クルル次元

$A\neq0$ を環とする。素イデアルの列

P_0\subsetneq P_1\subsetneq\cdots\subsetneq P_n

を長さ $n$ の素イデアルの鎖と呼ぶ。素イデアルの鎖の長さの上限を $A$ のクルル次元（または単に次元）と呼び、 $\dim A$ と書く。 $\dim A$ は0以上の整数か $\infty$ である。

第1回の定義9 高さ・余高度

$P$ を環 $A$ の素イデアルとする。 $P$ で終わる素イデアルの鎖 $P_0\subsetneq\cdots\subsetneq P_n=P$ の長さの上限を $P$ の高さと呼び、 $\operatorname{ht}P$ と書く。 $P$ から始まる鎖 $P=P_0\subsetneq\cdots\subsetneq P_n$ の長さの上限を余高度と呼び、 $\operatorname{coht}P$ と書く。

第1回の命題10

$P$ を環 $A$ の素イデアルとする。

(1)　 $\operatorname{ht}P=\dim A_P$ 。
(2)　 $\operatorname{coht}P=\dim A/P$ 。
(3)　 $\operatorname{ht}P+\operatorname{coht}P\le\dim A$ 。
(4)　 $\dim A=\sup_M\operatorname{ht}M$ （ $M$ は極大イデアルの全体を動く）。

図で読む代数幾何第8回の定義6 ファイバー

$\varphi\colon B\to A$ を環の準同型、 $f\colon\operatorname{Spec}A\to\operatorname{Spec}B$ を対応する射とする。 $P\in\operatorname{Spec}B$ について、 $B\to\kappa(P)$ を値をとる写像とし、

X_P=\operatorname{Spec}\bigl(A\otimes_B\kappa(P)\bigr)

\begin{aligned}X_P &= \operatorname{Spec}\bigl(A\otimes_B\kappa(P)\bigr)\end{aligned}

を $f$ の点 $P$ の上のファイバーと呼ぶ。 $P$ が $\operatorname{Spec}B$ の生成点のとき（例えば $B$ が整域で $P=(0)$ のとき）、 $X_P$ を生成ファイバーと呼ぶ。

図で読む代数幾何第8回の命題8

$a\mapsto a\otimes1$ が引き起こす $X_P\to\operatorname{Spec}A$ は、 $X_P$ から $f^{-1}(P)$ への同相写像である。

図で読む代数幾何第8回の例12 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[i]\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$

$\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)=\mathbb{Z}[i]$ が引き起こす射のファイバーの環は、 $\mathbb{F}_p[x]/(x^2+1)$ （点 $(p)$ の上）と $\mathbb{Q}[x]/(x^2+1)=\mathbb{Q}(i)$ （生成点の上）である。

$p=2$ ： $x^2+1=(x+1)^2$ なので、重なった1点 $(2,\ x+1)$ 。
$p=5$ ： $x^2+1=(x-2)(x+2)$ なので2点。 $p=13$ も $(x-5)(x+5)$ で2点。剰余体はどれも $\mathbb{F}_p$ 。
$p=3,7$ ： $x^2+1$ は既約なので1点で、剰余体は $\mathbb{F}_9$ 、 $\mathbb{F}_{49}$ 。
生成点： $\mathbb{Q}(i)$ は体なので1点で、剰余体は $\mathbb{Q}$ の2次の拡大体。

環 $R$ 上の加群 $M$ が忠実であるとは、 $rM=0$ となる $r\in R$ が $0$ だけであること。例： $R$ 自身は忠実な $R$ 加群（ $r\cdot1=r$ ）。 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ は忠実な $\mathbb{Z}$ 加群ではない（ $2$ が0にする）。

環 $A$ のイデアル $J,K$ が $J+K=A$ をみたすとき、 $JK=J\cap K$ で、 $A/JK\cong A/J\times A/K$ 。整数なら、互いに素な $m,n$ について $\mathbb{Z}/mn\cong\mathbb{Z}/m\times\mathbb{Z}/n$ 。

0 でも単元でもない元が、既約元の積に、順番と単元倍を除いて一通りに分解できる整域。例： $\mathbb{Z}$ 、体上の多項式環 $k[x_1,\dots,x_n]$ 。ここでは既約元が生成するイデアルは素イデアルになる。

体の代数拡大 $L/K$ で、 $L$ の元の $K$ 上の共役（最小多項式の根）がすべて $L$ に入るもの。例： $\mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q}$ 。 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ は正規でない。

イデアル $J$ が有限個の素イデアルの和集合 $P_1\cup\cdots\cup P_n$ に含まれれば、ある $P_i$ に含まれる、という命題。どの $P_i$ にも含まれないなら、どの $P_i$ にも入らない $J$ の元がとれる。

環 $A$ の上の加群（ $A$ 加群）とは、足し算について可換群で、 $A$ の元を掛けられ、分配法則などベクトル空間と同じ規則をみたすもの。体の上の加群はベクトル空間で、 $A$ のイデアルも $A$ 加群。

環 $A$ をイデアル $J$ で割った環 $A/J$ 。差が $J$ に入る元どうしを同じとみなす。例： $k[x,y]/(y)\cong k[x]$ 。

環 $A$ とイデアル $J$ について、 $A/J$ のイデアルは、 $J$ を含む $A$ のイデアル $K$ の像 $K/J$ と1対1に対応する。素イデアルは素イデアルに、極大イデアルは極大イデアルに対応する。

位相空間の間の全単射 $f$ で、 $f$ も逆写像も連続なもの。開集合を開集合にちょうど移すので、位相空間として同じものとみなせる。

0 でない元どうしの積が0にならない可換環（ $ab=0$ なら $a=0$ または $b=0$ ）。例： $\mathbb{Z}$ 、体上の多項式環。 $A/P$ が整域であることと、 $P$ が素イデアルであることは同値。

極大イデアルがただ1つの可換環。極大イデアルに入らない元はすべて単元になる。例：素イデアル $P$ での局所化 $A_P$ （極大イデアルは $a/s$ （ $a\in P$ ）の全体）、 $k[x]/(x^2)$ 、 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 。

加群（ベクトル空間でもよい）の準同型の列 $0\to U\xrightarrow{\alpha}V\xrightarrow{\beta}W\to0$ で、 $\alpha$ が単射、 $\beta$ が全射、 $\operatorname{Im}\alpha=\operatorname{Ker}\beta$ となるもの。このとき $W\cong V/U$ で、長さ（有限次元なら次元）について $\ell(V)=\ell(U)+\ell(W)$ 。

掛けて1になる相手（逆元）をもつ環の元。例： $\mathbb{Z}$ の単元は $\pm1$ 、体では0以外のすべての元。

既約な閉集合 $Z$ に対して、閉包がちょうど $Z$ になる点を $Z$ の生成点と呼ぶ。 $\operatorname{Spec}k[x,y]$ では、素イデアル $(0)$ に対応する点が平面全体の生成点になる。

1つの元を何回も足したもの（とその逆元）だけで全体が尽くされる群。有限なら $\mathbb{Z}/n$ と同型。位数がたがいに素な巡回群の直積も巡回群になる。

体の拡大 $K/k$ で、 $k$ 上代数的に独立な元をできるだけ多くとったときの個数。例：有理関数体 $k(x_1,\dots,x_n)$ の $k$ 上の超越次数は $n$ 。

環の準同型 $B\to A$ 、 $B\to C$ から作る環 $A\otimes_BC$ 。 $a\otimes c$ の形の元の和からなり、 $b\in B$ について $(ba)\otimes c=a\otimes(bc)$ とみなす。例： $B[x]\otimes_BC\cong C[x]$ 、 $A\otimes_B(B/J)\cong A/JA$ 。加群 $M,N$ についても同じように $M\otimes_BN$ を作る。

体 $k$ で $1+1+\dots+1$ （ $p$ 個） $=0$ となる最小の正の整数 $p$ 。そのような $p$ がなければ標数0と言う。標数は0か素数で、 $\mathbb{F}_p$ の標数は $p$ 、 $\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ の標数は0。体でない環でも同じように定める（ $\mathbb{Z}$ の標数は0、 $\mathbb{Z}/6$ の標数は6）。0か素数になるのは体や整域の場合。

整域 $A$ が整閉とは、商体の元 $x$ が $A$ 係数の最高次の係数1の多項式の根になるなら $x\in A$ となること。例： $\mathbb{Z}$ や $k[t]$ は整閉。 $k[t^2,t^3]$ は、 $t$ が $x^2-t^2$ の根なのに $t$ を含まないので整閉でない。

整域 $A$ の元の分数 $a/b$ （ $b\neq0$ ）全体がなす体。 $\operatorname{Frac}A$ と書く。例： $\mathbb{Z}$ の商体は $\mathbb{Q}$ 、 $k[x]$ の商体は有理関数体 $k(x)$ 。

環の準同型 $B\to A$ が平坦とは、 $B$ 加群の単射 $N'\to N$ から作った $A\otimes_BN'\to A\otimes_BN$ も必ず単射になること。底が $k[t]$ や $\mathbb{Z}$ なら、 $A$ にねじれ（ $ba=0$ となる $0$ でない $b\in B$ 、 $a\in A$ ）がないことと同じ。

どの点のまわりも、ある環 $A$ の $\operatorname{Spec}A$ （素イデアル全体に位相と構造層を載せた空間）と同じ形をしている空間。 $\operatorname{Spec}A$ を貼り合わせて作れる。零点集合では区別できない $x=0$ と $x^2=0$ の違いも扱える。連載第4回で定義している。

参考文献

M. F. アティヤ, I. G. マクドナルド（新妻弘訳）, 『可換代数入門』, 共立出版, 2006.
松村英之, 『復刊可換環論』, 共立出版, 2000.
後藤四郎, 渡辺敬一, 『可換環論』, 日本評論社, 2011.