式の本数と余次元：クルルの単項イデアル定理と高さ定理

この記事の要点

高さ定理: ネーター環で、 $r$ 個の元で生成されるイデアルを含む極小な素イデアルの高さは $r$ 以下です。図形の言葉では「 $r$ 本の式で切った図形の各成分は、余次元が $r$ 以下」です。
単項イデアル定理: $r=1$ の場合です。非零因子で単元でない $x$ について、 $(x)$ を含む極小な素イデアルの高さはちょうど1です。次元定理から導く証明と、記号的べきを使う直接の証明の両方を書きます。
逆と1つの元で割る: 逆に、高さ $r$ の素イデアルは、 $r$ 個の元で生成されるイデアルの極小素イデアルになります。局所環を1つの元で割ると、次元は1下がるか変わらないかのどちらかです。
斉次素イデアル: 次数付き環では、高さの計算を斉次な元と斉次素イデアルだけで済ませられます。斉次でない素イデアル $P$ の高さは、 $P$ に含まれる最大の斉次イデアル $P^*$ の高さより1だけ大きくなります。

証明は、ステップの流れだけを短く書いています。「詳しく」の付いた行をクリックすると、そのステップの詳しい説明が開きます。説明の中にも開ける行があります。
定義・命題・定理には、記事全体で通し番号を振っています。
おさらいは前の回や前提の知識の確認、もう少し詳しくは補足、専門的な話は先の回につながる話題です。どれも開かずに読み進められます。
各ブロックの「AIに質問」を押すと、その部分の内容を入れた質問文で、お使いのAIを開けます。

式を1本足すと、図形は何次元下がるか

空間の中で、曲面と曲面の交わりは曲線になり、曲線と曲面の交わりは点になります。方程式を1本足すたびに、図形の次元は1つずつ下がりそうです。ただし、片方がもう片方を含むときのように、次元が下がらないこともあります。言えるのは「下がっても1つまで」です。

この直観を環の言葉にしたのが、クルルの単項イデアル定理と高さ定理です。前回は次元定理を証明し、この2つは主張だけを書いて今回に回しました。今回は、次元定理からすぐに出る証明と、次元定理を使わない直接の証明の両方を書きます。

この記事を通して、環は単位元をもつ可換環とし、とくに断らない限り $A$ はネーター環とします。素イデアルの高さ $\operatorname{ht}P$ は、 $P$ で終わる素イデアルの鎖の長さの上限でした（第1回の定義9）。

おさらい次元定理と

\delta(A)

ネーター局所環 $(A,M,k)$ について、 $M$ 準素イデアルの生成元の個数の最小値を $\delta(A)$ と書きました（第7回の定義2）。 $\sqrt J=M$ となるイデアル $J\subseteq M$ が $M$ 準素イデアルで、それは $\ell(A/J)<\infty$ とも同じです（第7回の補題1）。

次元定理（第7回の定理4）は、3つの数が等しいという定理でした。

\dim A\ =\ d(A)\ =\ \delta(A)

\begin{aligned}\dim A &= d(A)\\&= \delta(A)\end{aligned}

例えば $A=k[x,y]_{(x,y)}$ では、 $x,y$ で $M$ が生成され、 $1$ 個では足りないので $\delta(A)=2=\dim A$ です。 $A=k[x,y]_{(x,y)}/(xy)$ では $(x+y)$ が $M$ 準素なので $\delta(A)=1=\dim A$ でした（第7回の例3）。

おさらい高さと局所化、イデアルの高さ

$A_P$ の素イデアルは、 $P$ に含まれる $A$ の素イデアルと、包含を保って1対1に対応します。鎖も鎖のまま対応するので、 $\operatorname{ht}P=\dim A_P$ です（第1回の命題10(1)）。

\begin{CD} Q_0A_P @>{\cap A}>> Q_0 \\ @VVV @VVV \\ Q_1A_P @>{\cap A}>> Q_1 \\ @VVV @VVV \\ \vdots @. \vdots \\ @VVV @VVV \\ PA_P @>{\cap A}>> P \end{CD}

イデアル $J\neq A$ の高さ $\operatorname{ht}J$ は、 $J$ を含む素イデアルの高さの下限でした（第1回の定義12）。下限は $J$ の極小素イデアルのどれかでとられます。

例えば $k[x,y,z]$ の $J=(xz,\ yz)$ では、極小素イデアルは $(z)$ （高さ1）と $(x,y)$ （高さ2）で、 $\operatorname{ht}J=1$ です。

高さ定理：次元定理から導く

おさらい極小素イデアルと

V(J)

の既約成分

イデアル $J$ を含む素イデアルのうち包含について極小なものを、 $J$ の極小素イデアルと呼びます。 $J$ を含む素イデアルは、どれも $J$ の極小素イデアルを含みます。ネーター環では、極小素イデアルは有限個です[1, 定理7.13, p.128; 1, 命題4.6, p.80]。

Spec の言葉では、 $J$ の極小素イデアルは $V(J)$ の既約成分の生成点です。例えば $k[x,y]$ の $J=(y(x^2+y^2-1))$ の極小素イデアルは $(y)$ と $(x^2+y^2-1)$ で、直線と円に当たります。

$P$ が $J$ の極小素イデアルであることは、局所化 $A_P$ で見ると「 $JA_P$ を含む素イデアルが $PA_P$ だけ」ということです。 $J\subseteq Q\subseteq P$ となる素イデアル $Q$ が $V(JA_P)$ の点と対応するからです。

\begin{array}{ccc} A & & \{\,Q\mid J\subseteq Q\subseteq P\,\} \\[2pt] \Big\downarrow\mathrlap{\scriptstyle\iota} && \mathllap{\scriptstyle\cong\ }\Big\uparrow\mathrlap{\scriptstyle\ Q'\mapsto Q'\cap A} \\[2pt] A_P && V(JA_P)\subseteq\operatorname{Spec}A_P \end{array}

定理1 クルルの高さ定理 [1, 系11.16, p.188; 2, 定理13.5, p.122; 3, 定理7.11 (i), p.128; 4, 定理2.36, p.78]

$A$ をネーター環、 $J=(x_1,\dots,x_r)$ を $r$ 個の元で生成されるイデアルとする。

(1)　 $J$ の極小素イデアル $P$ について $\operatorname{ht}P\le r$ 。
(2)　とくに $J\neq A$ なら $\operatorname{ht}J\le r$ で、 $A$ の真のイデアルの高さは有限である。

証明

(1) $A_P$ は極大イデアル $PA_P$ のネーター局所環で、 $\operatorname{ht}P=\dim A_P$ （第1回の命題10(1)）。
$P$ は $J$ の極小素イデアルなので、 $JA_P$ を含む素イデアルは $PA_P$ だけである。よって $JA_P$ は $PA_P$ 準素イデアル。

$A_P$ の素イデアルで $JA_P$ を含むものは、 $J\subseteq Q\subseteq P$ となる $A$ の素イデアル $Q$ の $QA_P$ である。極小性から $Q=P$ しかない。根基は、そのイデアルを含む素イデアルすべての共通部分なので [1, 命題1.14, p.13]、 $\sqrt{JA_P}=PA_P$ 。第7回の補題1から、 $JA_P$ は $PA_P$ 準素イデアルである。
$JA_P$ は $r$ 個の元 $x_1/1,\dots,x_r/1$ で生成されるので $\delta(A_P)\le r$ 。次元定理から $\operatorname{ht}P=\dim A_P=\delta(A_P)\le r$ 。
(2) $J\neq A$ なら $J$ を含む素イデアルがあり、それは $J$ の極小素イデアルを含む。その高さが $r$ 以下なので $\operatorname{ht}J\le r$ 。真のイデアルは有限個の元で生成されるので、高さは有限。

証明は、次の等式と不等式の列にまとまります。左の等号は局所化、真ん中の等号は次元定理、右の不等号は $JA_P$ の生成元の個数です。

\operatorname{ht}P\ =\ \dim A_P\ =\ \delta(A_P)\ \le\ r

\begin{aligned}\operatorname{ht}P &= \dim A_P\\&= \delta(A_P)\\&\le r\end{aligned}

松村はこの定理を、「次元定理の系にすぎない」と書いたうえで、高さの上限を与える重要な定理だと注意しています[2, 定理13.5 の注, p.122]。下限は鎖を1本見つければ得られますが、上限は定義だけからは求まりません。

高さ定理から出る上限の例です。 $k[x_1,\dots,x_n]$ の素イデアル $P=(x_1,\dots,x_r)$ は $r$ 個の元で生成されるので、 $\operatorname{ht}P\le r$ 。一方、鎖 $(0)\subsetneq(x_1)\subsetneq\cdots\subsetneq(x_1,\dots,x_r)$ から $\operatorname{ht}P\ge r$ で、 $\operatorname{ht}P=r$ と分かります。

$r=1$ の場合に移ります。そのために、極小素イデアルの元についての補題を用意します。

補題2 極小素イデアルの元は零因子

$A\neq0$ を環（ネーター環でなくてよい）、 $P$ を $A$ の極小素イデアルとする。 $P$ のどの元 $x$ にも、 $xy=0$ となる $y\neq0$ がある。つまり $P$ は非零因子を含まない。

証明

$A_P$ の素イデアルは $PA_P$ だけである。よって $PA_P$ は $A_P$ のべき零元根基で、 $x/1$ はべき零。

$A_P$ の素イデアルは $P$ に含まれる素イデアルと対応し、 $P$ は極小なので $PA_P$ だけである。べき零元根基は素イデアル全体の共通部分 [1, 命題1.8, p.8] なので、 $PA_P$ に等しい。
$(x/1)^n=0$ なので、ある $s\notin P$ で $sx^n=0$ 。この $s$ を固定し、 $sx^n=0$ となる $n\ge0$ の最小値をとると、 $s\neq0$ から $n\ge1$ で、 $y=sx^{n-1}\neq0$ が $xy=0$ をみたす。

定理3 クルルの単項イデアル定理 [1, 系11.17, p.188–189; 3, 定理7.11 (ii), p.128; 5, 定理1.11A, p.9; 4, 補題2.37, p.78]

(1)　 $A$ をネーター環、 $x\in A$ を単元でない非零因子（ $xy=0$ なら $y=0$ となる元）とする。 $(x)$ の極小素イデアルの高さは、すべて1である。
(2)　 $(A,M)$ をネーター局所環、 $x\in M$ で $\sqrt{(x)}=M$ とする。このとき $\operatorname{ht}M\le1$ で、 $M$ に真に含まれる素イデアルはすべて $A$ の極小素イデアルである。

証明

(1) $x$ は単元でないので $(x)\neq A$ で、極小素イデアル $P$ がある。高さ定理（ $r=1$ ）から $\operatorname{ht}P\le1$ 。
$\operatorname{ht}P=0$ なら $P$ は $A$ の極小素イデアルで、補題2から $P$ の元 $x$ は非零因子でない。これは仮定に反するので $\operatorname{ht}P=1$ 。
(2) $\sqrt{(x)}=M$ なので $M$ は $(x)$ の極小素イデアルで、高さ定理から $\operatorname{ht}M\le1$ 。 $Q\subsetneq M$ なら $\operatorname{ht}Q<\operatorname{ht}M\le1$ で $\operatorname{ht}Q=0$ 、つまり $Q$ は極小素イデアル。

(1) の結論は「 $\le1$ 」ではなく「 $=1$ 」です。図形の言葉では、非零因子 $f$ の零点 $V(f)$ のどの成分も、ちょうど余次元1です。成分の1つが点のように小さくなることも、全体を覆うこともありません。

(2) は (1) の局所版で、後で直接証明するのはこちらの形です。 $\sqrt{(x)}=M$ は「1本の式 $x=0$ で閉点だけが残る」ことで、そのとき $A$ は1次元以下だという主張です。

次元定理を使わない証明

歴史的には、クルルは単項イデアル定理を先に直接証明し、高さ定理はそこから $r$ についての帰納法で導きました[2, 定理13.5 の注, p.122; 3, p.129]。次元定理は、ヒルベルト–サミュエル多項式という大きな道具を使います。ここでは後藤・渡辺に沿って、その道具を使わない証明を書きます[4, 補題2.37, 定理2.36 の証明, p.78–79]。

おさらい中山の補題とアルティン環

中山の補題：局所環 $(A,M)$ 上の有限生成加群 $N$ が $MN=N$ をみたせば $N=0$ です[1, 命題2.6, p.32]。この節では、 $x\in M$ について $N=xN\Rightarrow N=0$ の形でも使います（ $xN\subseteq MN$ だから）。

アルティン環は、イデアルの減少列がどれも有限で止まる環でした。ネーター環 $B$ がアルティン環であることは、 $\dim B=0$ （素イデアルがすべて極大）と同値です[1, 定理8.5, p.139]。

アルティン局所環の極大イデアルはべき零です[1, 命題8.4, p.139]。例えば $k[x,y]_{(x,y)}/(x^2,y^3)$ は、素イデアルが極大イデアルだけの0次元のネーター局所環で、 $M=(x,y)$ について $M^4=0$ です。

証明の道具は、素イデアルの「記号的べき」です。

補題4 記号的べき [4, 補題2.37 の証明, p.78]

$P$ を環 $A$ の素イデアル、 $n\ge1$ とする。 $P^n$ を $A_P$ に広げて $A$ に引き戻したイデアルを $P^{(n)}=P^nA_P\cap A$ と書き、 $P$ の $n$ 乗の記号的べきと呼ぶ。

(1)　 $P^n\subseteq P^{(n)}\subseteq P$ 、 $P^{(n+1)}\subseteq P^{(n)}$ 。
(2)　 $ab\in P^{(n)}$ 、 $a\notin P$ なら $b\in P^{(n)}$ 。
(3)　 $P^{(n)}A_P=P^nA_P$ 。

証明

(1) $P^n\subseteq P^nA_P\cap A$ は定義から。 $P^nA_P\subseteq PA_P$ と $PA_P\cap A=P$ から $P^{(n)}\subseteq P$ 。 $P^{n+1}A_P\subseteq P^nA_P$ から $P^{(n+1)}\subseteq P^{(n)}$ 。
(2) $a\notin P$ なら $a/1$ は $A_P$ の単元。 $ab/1\in P^nA_P$ に $(a/1)^{-1}$ を掛けて $b/1\in P^nA_P$ 、つまり $b\in P^{(n)}$ 。
(3) $P^n\subseteq P^{(n)}$ から $\supseteq$ 。逆に $a\in P^{(n)}$ なら $a/1\in P^nA_P$ で、 $a/s=(1/s)(a/1)\in P^nA_P$ 。

記号的べきは、 $P$ で消える関数を「 $P$ の生成点のまわりで $n$ 位以上消える関数」として集めたものです。普通のべき $P^n$ より大きくなることがあります。

例5 記号的べきが普通のべきより大きい

$B=k[x,y,z]/(xy-z^2)$ （錐面）とし、 $x,y,z$ の像を同じ文字で書く。直線 $x=z=0$ の素イデアル $P=(x,z)$ について、

x\in P^{(2)}\qquad x\notin P^2=(x^2,\ xz,\ z^2)

\begin{gathered}x\in P^{(2)}\\x\notin P^2=(x^2,\ xz,\ z^2)\end{gathered}

\begin{aligned}&x\in P^{(2)}\\[4pt]x\notin P^2 &= (x^2,\ xz,\ z^2)\end{aligned}

証明

$xy=z^2\in P^2$ で、 $y\notin P$ 。補題4(2) から $x\in P^{(2)}$ 。

$y\notin P$ は、 $B/P\cong k[x,y,z]/(x,z,\ xy-z^2)=k[y]$ で $y\neq0$ だから。 $B/P$ が整域なので $P$ は素イデアルである。
$B$ は $x,y,z$ の次数で次数付き環になり、 $P^2$ は2次以上の元だけからなる。1次の元 $x$ は $P^2$ に入らない。

$xy-z^2$ は斉次な2次式なので、 $B$ の1次の部分は $k[x,y,z]$ の1次の部分と同じ $kx\oplus ky\oplus kz$ である。 $P^2$ は2次の元 $x^2,xz,z^2$ で生成される斉次イデアルなので、1次の部分は0である。

図形で見ると、錐面 $xy=z^2$ を平面 $x=0$ で切ると、直線 $x=z=0$ が2重に現れます（ $x=0$ なら $z^2=0$ ）。 $x$ は直線に沿って2位で消えているので、 $P^{(2)}$ に入ります。しかし $P$ の2つの元の積の和としては書けないので、 $P^2$ には入りません。

単項イデアル定理の局所版を、記号的べきで証明します。

命題6 単項イデアル定理の直接の証明 [4, 補題2.37, p.78]

$(A,M)$ をネーター局所環、 $x\in M$ で $\sqrt{(x)}=M$ とする。 $M$ に真に含まれる素イデアル $P$ は、 $A$ の極小素イデアルである。

証明

$A/(x)$ の素イデアルは $M/(x)$ だけなので、 $A/(x)$ は0次元のネーター環で、アルティン環である。
$x\notin P$ である。 $x\in P$ なら $M=\sqrt{(x)}\subseteq P$ となり、 $P\subsetneq M$ に反する。
アルティン環 $A/(x)$ の減少列 $(P^{(n)}+(x))/(x)$ は止まるので、ある $n$ で $P^{(n)}+(x)=P^{(n+1)}+(x)$ 。
このとき $P^{(n)}=P^{(n+1)}+xP^{(n)}$ である。

$\supseteq$ は補題4(1) から。 $a\in P^{(n)}$ をとると、前のステップから $a=b+xc$ （ $b\in P^{(n+1)}$ 、 $c\in A$ ）と書ける。 $xc=a-b\in P^{(n)}$ で $x\notin P$ なので、補題4(2) から $c\in P^{(n)}$ 。
中山の補題から $P^{(n)}=P^{(n+1)}$ 。

$N=P^{(n)}/P^{(n+1)}$ は有限生成で（ $A$ はネーター環）、前のステップから $N=xN$ 。 $x\in M$ なので中山の補題 [1, 命題2.6, p.32] から $N=0$ 。
$A_P$ に広げると、補題4(3) から $P^nA_P=P^{n+1}A_P=(PA_P)(P^nA_P)$ 。中山の補題から $P^nA_P=0$ で、 $PA_P$ はべき零。よって $A_P$ の素イデアルは $PA_P$ だけで、 $\operatorname{ht}P=\dim A_P=0$ 。

$A_P$ の素イデアル $Q'$ は $0=(PA_P)^n$ を含むので $PA_P$ を含み、 $PA_P$ は極大なので $Q'=PA_P$ 。 $\operatorname{ht}P=0$ は、 $P$ が $A$ の極小素イデアルであることと同じである。

証明では、2つの環を行き来しました。 $A/(x)$ では記号的べきの列が止まり、 $A_P$ では止まった列が0に潰れます。

{}\begin{gathered} \begin{CD} A/(x) @<{\pi}<< A \\ @AAA @AAA \\ \dfrac{P^{(n)}+(x)}{(x)} @<<< P^{(n)} \end{CD}\\[8pt] \begin{CD} A @>{\iota}>> A_P \\ @AAA @AAA \\ P^{(n)} @>>> P^nA_P \end{CD} \end{gathered}

縦の矢印は包含、下の行は上の環の写像で送った先です。左ではアルティン性で $n$ が大きいと列が止まり、右では中山の補題で $P^nA_P=0$ となります。

高さ定理を、単項イデアル定理から $r$ についての帰納法で導きます。

命題7 高さ定理の直接の証明 [4, 定理2.36 の証明, p.78–79]

$(A,M)$ をネーター局所環、 $x_1,\dots,x_r\in M$ で $\sqrt{(x_1,\dots,x_r)}=M$ とする。このとき $\dim A=\operatorname{ht}M\le r$ 。

証明

この形を示せば高さ定理が出る。 $J$ の極小素イデアル $P$ について、 $A_P$ では $\sqrt{JA_P}=PA_P$ だから。 $r=0$ では $M$ が唯一の素イデアルで $\dim A=0$ 、 $r=1$ は命題6。
$r\ge2$ とし、 $r-1$ 個まで正しいとする。 $P\subsetneq M$ で、 $P$ と $M$ の間に素イデアルがないものについて $\operatorname{ht}P\le r-1$ を示せばよい。

長さ $L$ の鎖 $P_0\subsetneq\cdots\subsetneq P_{L-1}\subsetneq M$ があれば、 $P_{L-1}\subseteq P\subsetneq M$ となる素イデアル $P$ のうち極大なものがとれる（ネーター環では、イデアルの空でない集合に極大元がある）。 $P$ と $M$ の間には素イデアルがなく、 $\operatorname{ht}P\ge L-1$ 。 $\operatorname{ht}P\le r-1$ なら $L\le r$ となる。
$\sqrt{(x_1,\dots,x_r)}=M$ なので、どれかの $x_i$ は $P$ に入らない。番号を替えて $x_1\notin P$ とする。

すべての $x_i$ が $P$ に入れば $M=\sqrt{(x_1,\dots,x_r)}\subseteq P$ となり、 $P\subsetneq M$ に反する。
$P+(x_1)$ を含む素イデアルは $M$ だけなので、 $A/(P+(x_1))$ はアルティン局所環で、極大イデアルはべき零。よって、ある $m$ と $y_i\in P$ 、 $a_i\in A$ で $x_i^m=y_i+x_1a_i$ （ $i=2,\dots,r$ ）。

$P+(x_1)$ を含む素イデアル $Q$ は $P$ を含み、 $x_1\in Q\setminus P$ なので $Q\neq P$ 。 $P$ と $M$ の間に素イデアルはないので $Q=M$ 。よって $A/(P+(x_1))$ は0次元のネーター局所環で、アルティン環である。その極大イデアル $M/(P+(x_1))$ はべき零 [1, 命題8.4, p.139] なので、 $x_i^m\in P+(x_1)$ となる $m$ がある。
$K=(y_2,\dots,y_r)\subseteq P$ とおく。 $P$ は $K$ の極小素イデアルである（次のステップ）。認めれば、 $A_P$ で帰納法の仮定（ $r-1$ 個）を使って $\operatorname{ht}P\le r-1$ 。
$K\subseteq Q\subseteq P$ となる素イデアル $Q$ をとる。 $A/Q$ では $\sqrt{(\bar x_1)}=M/Q$ なので、 $r=1$ の場合から $P/Q$ は $A/Q$ の極小素イデアル、つまり $P=Q$ 。

$x_i^m=y_i+x_1a_i\in Q+(x_1)$ なので $x_i\in\sqrt{Q+(x_1)}$ （ $i=2,\dots,r$ ）。 $x_1$ も入るので $\sqrt{Q+(x_1)}\supseteq\sqrt{(x_1,\dots,x_r)}=M$ 。 $A/Q$ に移すと $\sqrt{(\bar x_1)}=M/Q$ である。

命題6を局所環 $A/Q$ に使うと、 $M/Q$ に真に含まれる素イデアル $P/Q$ は $A/Q$ の極小素イデアルである。 $A/Q$ は $Q$ が素イデアルなので整域で、極小素イデアルは $(0)$ だけ。よって $P/Q=0$ 、 $P=Q$ 。

帰納法の要は、 $x_2,\dots,x_r$ をべきで $P$ の元 $y_i$ に取り替えたことです。 $P$ の中には $r-1$ 個の $y_i$ しかないので、帰納法の仮定が使えます。残った $x_1$ の1本分は、 $r=1$ の場合が引き受けます。

\begin{CD} K\subseteq Q\subseteq P\subsetneq M @>{\pi}>> (0)\subseteq P/Q\subsetneq M/Q=\sqrt{(\bar x_1)} \end{CD}

右の $A/Q$ では、 $r=1$ の場合から $P/Q$ が $(0)$ に等しくなります。

まとめると、高さ定理の2つの証明は次のように並びます。左は次元定理から出す証明（アティヤ・マクドナルド、松村、堀田）、右は記号的べきから $r=1$ を示して帰納法で進む証明（後藤・渡辺、クルルの元の証明）です。

\begin{array}{ccc} \dim A_P=\delta(A_P) & & \begin{matrix}P^{(n)}=P^{(n+1)}\\ (n\gg0)\end{matrix} \\ \Big\downarrow & & \Big\downarrow \\ \operatorname{ht}P\le r & & \begin{matrix}\operatorname{ht}P\le1\\ (r=1)\end{matrix} \\ \Big\downarrow & & \Big\downarrow \\ \begin{matrix}\operatorname{ht}P\le1\\ (r=1)\end{matrix} & & \operatorname{ht}P\le r \end{array}

超曲面と曲面の交わり

体上の多項式環で、単項イデアル定理と高さ定理を数で確かめます。まず、1本の式で切った図形（超曲面）です。

おさらい体上有限生成の整域の高さと次元

$B$ を体 $k$ 上有限生成の整域とします。第4回で、 $\dim B$ は商体の超越次数に等しく、すべての素イデアル $P$ について次が成り立つことを示しました（第4回の定理17(3)）。

\operatorname{ht}P+\dim B/P=\dim B

\begin{aligned}\operatorname{ht}P+\dim B/P &= \dim B\end{aligned}

例えば $B=k[x,y,z]$ （3次元）では、曲面の素イデアルは高さ1、曲線の素イデアルは高さ2、点の極大イデアルは高さ3です。高さが「余次元」と一致するので、高さ定理を図形の次元の言葉に読み替えられます。

$B/P$ の鎖は、 $P$ から始まる $B$ の鎖と対応します。下の行が $B$ の鎖、上の行が $B/P$ の鎖で、縦の矢印は $\pi\colon B\to B/P$ による引き戻しです。

\begin{array}{ccccc} (0) & \to & \bar Q_1 & \to\cdots\to & \bar Q_m \\ \Big\downarrow\mathrlap{\scriptstyle\pi^{-1}} && \Big\downarrow\mathrlap{\scriptstyle\pi^{-1}} && \Big\downarrow\mathrlap{\scriptstyle\pi^{-1}} \\ P & \to & Q_1 & \to\cdots\to & Q_m \end{array}

ドラッグで回せます

床は $\operatorname{Spec}k[x,y]$ の閉点です（実数の点だけを描いています）。 $f=y(x^2+y^2-1)$ の零点は、直線 $y=0$ と円 $x^2+y^2=1$ の2つの成分に分かれます。

高さ1に2つの成分の生成点 $(y)$ と $(x^2+y^2-1)$ 、高さ2に平面の生成点 $(0)$ を描いています。どちらの成分の生成点も、最上段 $(0)$ から1段下にあります。これが $f$ の極小素イデアルの高さが1であることの図です（ $k[x,y]$ では、段の高さと素イデアルの高さの和が2になります）。

さらに $x$ で切ると、残るのは赤い3つの閉点 $(0,0)$ 、 $(0,\pm1)$ です。どれも最上段から2段下で、高さは2です。2本の式で切ったので、高さは2以下です（高さ定理）。

実数の係数で $x^2+y^2$ を考えます。実数の点は原点だけですが、 $(x^2+y^2)$ は $\mathbb{R}[x,y]$ の高さ1の素イデアルで、生成点は高さ1にあります。閉包には、実数の点のない閉点 $(x-c,\ y^2+c^2)$ （ $c\neq0$ 、複素数の点 $(c,\pm ic)$ に当たる）も入っています。1本の式で1点だけが残ったように見えるのは、実数の点しか描いていないからです。

図1具体例

\operatorname{Spec}k[x,y]

と、

f=y(x^2+y^2-1)

の零点です（代数幾何の連載の第2回と同じ約束で、閉点を床に、曲線の生成点を高さ1に、平面の生成点を高さ2に描いています）。

V(f)

の2つの成分の生成点は、どちらも最上段から1段下にあります。

x

でも切ると、最上段から2段下の閉点が3つ残ります。点が曲線の上にあることは、生成時に式の値を計算して確かめています。「真横」から見ると段の違いが分かります。最後の段階は、実数の点だけでは見落とす例です。

例8 錐面 $xy=z^2$

$R=k[x,y,z]$ 、 $f=xy-z^2$ 、 $B=R/(f)$ とする。

(1)　 $(f)$ は高さ1の素イデアルで、 $\dim B=2$ 。
(2)　 $R$ の鎖 $(0)\subsetneq(f)\subsetneq(x,z)\subsetneq(x,y,z)$ は長さ3で、 $B$ の中では $(0)\subsetneq P\subsetneq M$ （ $P=(x,z)/(f)$ 、 $M=(x,y,z)/(f)$ ）。
(3)　 $B$ の中で $x$ の像の極小素イデアルは $P$ だけで、 $\operatorname{ht}P=1$ 。ただし $P$ は単項イデアルではない。

証明

(1) $f$ は $x$ について1次で、係数 $y$ と $-z^2$ に共通因子がないので既約。 $R$ は一意分解整域なので $(f)$ は素イデアル。単項イデアル定理から $\operatorname{ht}(f)=1$ 、第4回の定理17(3) から $\dim B=3-1=2$ 。

$f=y\cdot x-z^2$ を $k[y,z]$ 係数の $x$ の1次式とみる。 $f=gh$ と分解すると、 $x$ について1次なので片方（ $h$ とする）は $x$ を含まず、 $h$ は $y$ と $z^2$ の両方を割る。 $y$ と $z^2$ の公約元は定数だけなので、 $h$ は定数である。
(2) $(x,z)\supseteq(f)$ （ $f=y\cdot x-z\cdot z$ ）で、 $R/(x,z)\cong k[y]$ は整域。 $x\notin(f)$ （ $(f)$ の0でない元は2次以上）、 $y\notin(x,z)$ なので、包含はどれも真。
(3) $B/(x)\cong k[y,z]/(z^2)$ で、その素イデアルは $z$ を含む。よって $x$ を含む $B$ の素イデアルは $P$ を含み、極小なのは $P$ だけ。 $B$ は整域で $x\neq0$ なので、単項イデアル定理から $\operatorname{ht}P=1$ 。

$B/(x)=k[x,y,z]/(x,\ xy-z^2)=k[y,z]/(z^2)$ 。 $z^2=0$ なので素イデアルは $z$ を含み、極小なものは $(z)$ である。これを $B$ に戻したものが $P=(x,z)/(f)$ 。
$P$ が単項でないのは、 $B$ の次数を使って $P/MP$ が2次元だと分かるから。

$f$ は斉次な2次式なので、 $B$ は次数付き環で、1次の部分は $kx\oplus ky\oplus kz$ のままである。 $P$ の1次の部分は $kx\oplus kz$ （2次元）で、 $MP$ は2次以上の元からなる。よって $P/MP$ の中で $\bar x,\bar z$ は1次独立で、 $P/MP$ は $k$ 上2次元以上である。 $P=(g)$ なら $P/MP$ は $\bar g$ で張られ、1次元以下になって矛盾する。

(2) の鎖を、 $R$ と $B$ で並べます。下の行が $R$ 、上の行が $B$ で、縦の矢印は $\pi\colon R\to B$ による引き戻しです。

{}\begin{gathered} \begin{CD} @. (0) @>>> P \\ @. @VV{\pi^{-1}}V @VV{\pi^{-1}}V \\ (0) @>>> (f) @>>> (x,z) \end{CD}\\[8pt] \begin{CD} P @>>> M \\ @VV{\pi^{-1}}V @VV{\pi^{-1}}V \\ (x,z) @>>> (x,y,z) \end{CD} \end{gathered}

(3) で、平面 $x=0$ は錐面に直線 $x=z=0$ に沿って接し、交わりは2重の直線になります（例5）。それでも交わりは曲線で、点には縮みません。単項イデアル定理が言うのは素イデアルの高さで、イデアル $(x)$ そのものが素イデアルである必要はありません。

高さ1の素イデアル $P$ が単項にならないのは、 $B$ が一意分解整域でないことの表れです。多項式環ではこれが起こらないことを、次に確かめます。

おさらい一意分解整域と素元

一意分解整域（UFD）は、0でも単元でもない元が、既約元の積に順番と単元倍を除いて一通りに分解する整域です。UFD では既約元 $g$ は素元で、 $(g)$ は素イデアルになります。

体上の多項式環 $k[x_1,\dots,x_n]$ は UFD です（ガウスの補題による）。例えば $k[x,y]$ で $y(x^2+y^2-1)$ は既約元 $y$ と $x^2+y^2-1$ の積で、 $(y)$ と $(x^2+y^2-1)$ は素イデアルです。

錐面の座標環 $k[x,y,z]/(xy-z^2)$ は UFD ではありません。 $xy=z\cdot z$ は、既約元 $x,y,z$ による2通りの分解になっています。

命題9 UFD の高さ1の素イデアル [5, 命題1.12A, 命題1.13, p.9–10]

$A$ をネーターな一意分解整域とする。

(1)　既約元 $g$ について $\operatorname{ht}(g)=1$ 。
(2)　高さ1の素イデアルは、ある既約元 $g$ で $(g)$ と書ける。
(3)　とくに $k$ が代数閉体なら、 $\mathbb{A}^n$ の $n-1$ 次元の既約な閉集合は、既約多項式 $g$ の零点 $V(g)$ である。

証明

(1) $(g)$ は素イデアルで、 $g$ は0でない単元でない元（整域なので非零因子）。単項イデアル定理から、 $(g)$ 自身の高さが1。
(2) $\operatorname{ht}P=1$ なら $P\neq0$ 。0でない $f\in P$ を既約元の積に分解すると、 $P$ は素イデアルなので、ある既約因子 $g$ が $P$ に入る。 $(0)\subsetneq(g)\subseteq P$ で $\operatorname{ht}P=1$ なので $(g)=P$ 。

$(g)\subsetneq P$ なら $(0)\subsetneq(g)\subsetneq P$ は長さ2の鎖で、 $\operatorname{ht}P\ge2$ となり矛盾する。
(3) $n-1$ 次元の既約な閉集合 $Y$ の素イデアル $I(Y)$ は、第4回の定理17(3) から高さ1で、(2) から $(g)$ と書ける。逆に $V(g)$ は (1) から $n-1$ 次元。

(2) の逆も成り立ち、高さ1の素イデアルがすべて単項なネーター整域は UFD です[5, 命題1.12A, p.9]。

代数幾何の連載の第10回では、余次元1の既約な閉集合（素因子）の形式的な和として因子を定義しました（図で読む代数幾何第10回の定義11）。多項式環では、素因子は1本の既約多項式の零点です。

次に、2本以上の式で切った図形の次元です。

命題10 交わりの次元 [5, 演習1.8, 演習1.9, p.11]

$k$ を体とする。

(1)　 $B$ を $k$ 上有限生成の整域、 $r=\dim B$ 、 $f\in B$ を0でも単元でもない元とする。 $(f)$ の極小素イデアル $P$ について $\dim B/P=r-1$ 。
(2)　 $J=(f_1,\dots,f_s)\neq(1)$ を $k[x_1,\dots,x_n]$ のイデアルとする。 $J$ の極小素イデアル $P$ について $\dim k[x_1,\dots,x_n]/P\ge n-s$ 。

証明

(1) $f$ は整域の0でない元なので非零因子。単項イデアル定理から $\operatorname{ht}P=1$ で、第4回の定理17(3) から $\dim B/P=r-1$ 。
(2) 高さ定理から $\operatorname{ht}P\le s$ で、同じく $\dim k[x_1,\dots,x_n]/P=n-\operatorname{ht}P\ge n-s$ 。

(1) を図形の言葉で言うと、 $r$ 次元の多様体 $Y$ と超曲面 $H=V(f)$ について、 $Y\not\subseteq H$ なら $Y\cap H$ の既約成分はすべて $r-1$ 次元です。曲面（ $r=2$ ）と曲面の交わりは曲線、曲線（ $r=1$ ）と曲面の交わりは点です。環の写像で書くと、2回割ることに当たります。

{}\begin{gathered} B=k[x_1,\dots,x_n]/I(Y)\\[8pt] \begin{array}{ccccc} k[x_1,\dots,x_n] & \rightarrow & B & \rightarrow & B/P \\[4pt] n && r && r-1 \end{array} \end{gathered}

下の行は各環の次元です。(2) は、 $s$ 本の式で切った図形の各成分が $n-s$ 次元以上だと言っています。等号が成り立つとは限りません（例12）。

例11 2つの曲面の交わり [5, 演習1.3, p.10]

$R=k[x,y,z]$ とする。

(1)　 $y=x^2$ と $z=x^3$ の交わり： $J_1=(y-x^2,\ z-x^3)$ は高さ2の素イデアルで、 $R/J_1\cong k[x]$ 。
(2)　 $y=x^2$ と $xz=y^2$ の交わり： $J_2=(y-x^2,\ xz-y^2)$ の極小素イデアルは $J_1$ と $(x,y)$ の2つで、どちらも高さ2。
(3)　 $x^2=yz$ と $xz=x$ の交わり： $J_3=(x^2-yz,\ xz-x)$ の極小素イデアルは $(x,y)$ 、 $(x,z)$ 、 $(z-1,\ y-x^2)$ の3つで、どれも高さ2。

証明

(1) $y\mapsto x^2$ 、 $z\mapsto x^3$ と代入して $R/J_1\cong k[x]$ 。整域なので $J_1$ は素イデアルで、 $\operatorname{ht}J_1=3-\dim k[x]=2$ 。
(2) $y=x^2$ を代入すると $R/J_2\cong k[x,z]/(xz-x^4)=k[x,z]/(x(z-x^3))$ 。その極小素イデアルは $(x)$ と $(z-x^3)$ で、 $R$ に戻すと $(x,y)$ と $J_1$ 。

$k[x,z]$ は UFD で、 $x$ と $z-x^3$ は既約。 $x(z-x^3)$ を含む素イデアルはどちらかを含むので、極小なのは $(x)$ と $(z-x^3)$ である。 $R$ では、 $y-x^2$ を加えて $(x,\ y-x^2)=(x,y)$ と $(z-x^3,\ y-x^2)=J_1$ 。どちらも剰余環が1変数の多項式環（ $k[z]$ と $k[x]$ ）なので、高さは $3-1=2$ 。

恒等式で確かめると $xz-y^2=x(z-x^3)-(y-x^2)(y+x^2)$ で、 $J_2\subseteq J_1$ 、 $J_2\subseteq(x,y)$ が分かる。
(3) $xz-x=x(z-1)$ なので、素イデアルは $x$ か $z-1$ を含む。 $x$ を含めば $yz$ を含み $(x,y)$ か $(x,z)$ を含む。 $z-1$ を含めば $x^2-y$ を含む。

$R/(x,y)\cong k[z]$ 、 $R/(x,z)\cong k[y]$ 、 $R/(z-1,\ y-x^2)\cong k[x]$ で、どれも1次元の整域なので高さは2。3つの間に包含関係はないので、これらが極小素イデアルである。

ドラッグで回せます

放物柱面 $y=x^2$ （青）と曲面 $z=x^3$ （緑）の交わりは、ねじれ3次曲線 $C=\{(t,t^2,t^3)\}$ （オレンジ）です。 $(y-x^2,\ z-x^3)$ は2つの元で生成される素イデアルで、高さは2です。

緑の曲面を錐面 $xz=y^2$ （紫）に替えると、交わりは $C$ と $z$ 軸（赤）の2つの成分になります。どちらも曲線で、極小素イデアル $(y-x^2,\ z-x^3)$ と $(x,y)$ の高さはどちらも2です。「真上」から見ると $z$ 軸は原点の1点に潰れ、交わりが点を含むように見えます。回すと直線です。

図2具体例例11の (1) と (2) です（実数の点だけを描いています）。どちらの段階でも、2つの曲面の交わりは曲線で、成分の極小素イデアルの高さは2です。曲面と曲線が式をみたすことは、生成時に式の値を計算して確かめています。(2) の段階を「真上」から見ると

z

軸が1点に潰れ、交わりに孤立した点があるように見えます。回すと直線で、高さ定理に反する点の成分はありません。

(1)(2)(3) では、どの成分も $3-2=1$ 次元で、高さ定理の等号が成り立っています。高さ定理は上限だけを言い、成分ごとに等号が成り立つとは限りません。等号が成り立たない例と、仮定が外せない例を並べます。

例12 等号が成り立たない例、仮定が外せない例

(1)　 $k[x,y,z]$ の $J=(xz,\ yz)$ ：2つの元で生成されるが、 $J=(z)\cap(x,y)$ で、極小素イデアル $(z)$ の高さは1。 $\operatorname{ht}J=1<2$ 。
(2)　 $A=k[x,y]/(xy)$ の $x$ ：単元でも0でもないが零因子（ $x\cdot y=0$ ）。 $(x)$ の極小素イデアルは $(x)$ 自身で、高さは0。
(3)　 $k[x,y]$ の $x^2+y^2$ を実数で考える：実数の点は原点だけだが、 $k=\mathbb{R}$ でも $(x^2+y^2)$ は高さ1の素イデアル。

証明

(1) $J$ を含む素イデアルは $z$ を含むか、 $x$ と $y$ を含む。 $R/(z)\cong k[x,y]$ と $R/(x,y)\cong k[z]$ は整域で、 $(z)\not\subseteq(x,y)$ 、 $(x,y)\not\subseteq(z)$ 。 $\operatorname{ht}(z)=1$ （命題9）。
(2) $A/(x)\cong k[y]$ は整域なので $(x)$ は素イデアル。 $A$ の素イデアルは $xy=0$ を含むので $x$ か $y$ を含み、 $(x)$ と $(y)$ が極小。よって $(x)$ は $A$ の極小素イデアルで、高さ0。
(3) $x^2+y^2$ は $\mathbb{R}[x,y]$ で既約（実数の1次式の積に分けると、実数の点が直線になるはず）。命題9(1) から高さ1。

$x^2+y^2=(ax+by+c)(a'x+b'y+c')$ と実数係数で分解すると、 $ax+by+c=0$ の直線の上で $x^2+y^2=0$ となり、原点以外の実数の点が出て矛盾する（ $a,b$ がともに0なら1次式でない）。

原点以外の閉点も $V(x^2+y^2)$ に入っている。例えば $c\neq0$ を実数として極大イデアル $(x-c,\ y^2+c^2)$ は、 $x^2+y^2=(x-c)(x+c)+(y^2+c^2)$ を含む。これは複素数の点 $(c,\pm ic)$ に当たり、実数の点ではない。

(1) は、 $z$ 軸と平面 $z=0$ の和集合です。平面 $z=0$ は1本目の式 $xz$ の零点に含まれていて、2本目の $yz$ もこの平面の上で恒等的に0なので、平面を切りません。高さ定理は「成分の余次元は式の本数以下」までしか言えないのです。

(3) は図1の最後の段階です。実数の点だけを見ると、1本の式で1点が切り出されて、余次元2の成分ができたように見えます。しかし生成点は高さ1にあり、その閉包には実数の点でない閉点がたくさんあります。代数幾何の連載の第9回で、実数だけでは交点が足りないことを見たのと同じ現象です（図で読む代数幾何第9回の例14）。

最後に、ネーターという仮定が外せない例です。1つの元で生成される素イデアルなのに、高さが2になります。

例13 ネーター環でないと単項イデアル定理は成り立たない

$k$ を体、 $K=k(y)$ 、 $D=k[y]_{(y)}$ とし、 $K[x]$ の $(x)$ での局所化 $K[x]_{(x)}$ （ $x=0$ で分母が0にならない $K$ 係数の有理式）の部分環

V=\{\,f\in K[x]_{(x)}\mid f(0)\in D\,\}=D+xK[x]_{(x)}

\begin{aligned}V &= \{\,f\in K[x]_{(x)}\mid f(0)\in D\,\}\\&= D+xK[x]_{(x)}\end{aligned}

を考える。 $V$ は極大イデアル $M=\{f\in V\mid f(0)\in yD\}$ の局所整域で、 $P=xK[x]_{(x)}$ は素イデアル、 $(0)\subsetneq P\subsetneq M$ 。しかも $M=yV$ で、 $M$ は1つの元 $y$ で生成されるのに $\operatorname{ht}M\ge2$ である。

証明

$f\mapsto f(0)$ は全射な環の準同型 $V\to D$ で、核は $P$ 。 $V/P\cong D$ は整域なので $P$ は素イデアル。

$K[x]_{(x)}$ の元は $x=0$ での値 $f(0)\in K$ をもち、値をとる写像は環の準同型である。 $V$ はその $D$ の逆像なので部分環で、 $V\to D$ は（定数 $d\in D$ の像が $d$ なので）全射。核は $f(0)=0$ 、つまり $x$ で割り切れる元の全体 $xK[x]_{(x)}$ である。
$V$ の単元は $f(0)\in D^\times$ となる元で、単元でない元の全体 $M$ はイデアル。よって $V$ は局所環。

$f(0)\in D^\times$ なら $f(0)\neq0$ なので $1/f\in K[x]_{(x)}$ で、 $(1/f)(0)=1/f(0)\in D$ 。よって $1/f\in V$ 。逆に $f$ が $V$ の単元なら $f(0)$ は $D$ の単元。単元でない元の全体は $M=\{f\mid f(0)\in yD\}$ で、これは全射 $V\to D$ による $D$ の極大イデアル $yD$ の逆像なので、イデアルである。
$x\in P$ 、 $y\in M\setminus P$ なので $(0)\subsetneq P\subsetneq M$ で、 $\operatorname{ht}M\ge2$ 。
$M=yV$ 。 $f\in M$ は $f=yu+xg$ （ $u\in D$ 、 $g\in K[x]_{(x)}$ ）と書け、 $xg=y\cdot(xg/y)$ で $xg/y\in P\subseteq V$ だから。

$f(0)=yu$ （ $u\in D$ ）とおくと、 $f-f(0)$ は $x=0$ で消えるので $xg$ （ $g\in K[x]_{(x)}$ ）と書ける。 $1/y\in K$ なので $xg/y=x\cdot(g/y)\in xK[x]_{(x)}=P$ 。よって $f=y\bigl(u+xg/y\bigr)\in yV$ 。逆向きの $yV\subseteq M$ は $y\in M$ から。
$M=(y)$ は素イデアルなので、 $(y)$ の極小素イデアルは $M$ 自身で、高さは2以上。 $y$ は整域の0でない元で単元でもない。単項イデアル定理が成り立たないので、 $V$ はネーター環でない。

$V$ がネーター環でないことは、直接も確かめられます。 $x/y^n=y\cdot(x/y^{n+1})$ なので、増大列

\begin{aligned} (x)\ &\subsetneq\ (x/y)\ \subsetneq\ (x/y^2)\\ &\subsetneq\ (x/y^3)\ \subsetneq\ \cdots \end{aligned}

は止まりません。包含が真なのは、 $(x/y^{n+1})/(x/y^n)=1/y$ が $V$ に入らないからです（ $1/y\notin D$ ）。

環の写像と Spec の点を並べると、次のようになります。 $V\to D$ で、 $D$ の2点 $(0)$ 、 $yD$ が $V$ の $P$ 、 $M$ に引き戻されます。

{}\begin{gathered} 0\longrightarrow P\longrightarrow V\xrightarrow{\ f\mapsto f(0)\ }D\longrightarrow0\\[8pt] \begin{array}{ccc} \operatorname{Spec}V & \xleftarrow{\ \ \ } & \operatorname{Spec}D \\[2pt] M & \longleftarrow & yD \\ P & \longleftarrow & (0) \\ (0) & & \end{array} \end{gathered}

(x)

(y)

(y-x^2)

(x-y)

(0)

M=(x,y)

k[x,y]_{(x,y)}

（ネーター環）

V(y)=\{(y),\ M\}

：生成点

(y)

が残る

(0)

P

M=(y)

付値環

V

（ネーター環でない）

V(y)=\{M\}

なのに

\operatorname{ht}M=2

図3概念図素イデアルを点、包含を線で結んだ図です（下ほど大きい素イデアル）。左はネーター局所環

k[x,y]_{(x,y)}

で、

y

で切っても高さ1の点

(y)

が残り、閉点

M

だけにはなりません。右は例13の

V

で、

y

で切ると閉点

M

だけが残るのに、

M

の上には2段あります。図の付値の計算（

V

の元の値を

\mathbb{Z}^2

の辞書式順序で表す）で、

M=(y)

と

P

が素イデアルであることを確かめています。

$V$ は付値環になっています。 $k(x,y)$ の0でない元 $h$ は、 $h\in V$ か $1/h\in V$ のどちらかをみたすからです。 $h=x^nu$ （ $u$ は $K[x]_{(x)}$ の単元）と書くと、 $n\neq0$ なら符号に応じて $h$ か $1/h$ が $P$ に入り、 $n=0$ なら $u(0)\in K$ について同じことを $D$ で確かめればよいです。

高さ定理の逆

高さ定理は「 $r$ 本の式の成分は余次元 $r$ 以下」でした。逆に、余次元 $r$ の成分は、ちょうど $r$ 本の式で切り出せるでしょうか。素イデアルそのものを $r$ 個で生成できるとは限りませんが、「 $r$ 個で生成されるイデアルの極小素イデアル」にはなります。

おさらい素イデアル回避

イデアル $J$ と素イデアル $P_1,\dots,P_t$ について、 $J\subseteq P_1\cup\cdots\cup P_t$ なら、ある $i$ で $J\subseteq P_i$ です[1, 命題1.11, p.11]。対偶の形で使います。

J\not\subseteq P_i\ \ (i=1,\dots,t)\ \Longrightarrow\ \exists\,f\in J\setminus(P_1\cup\cdots\cup P_t)

\begin{aligned}J\not &\subseteq P_i\ \ (i=1,\dots,t)\\&\Longrightarrow \exists\,f\in J\setminus(P_1\cup\cdots\cup P_t)\end{aligned}

例えば $k[x,y]$ の $J=(x,y)$ 、 $P_1=(x)$ 、 $P_2=(y)$ では、 $x\in P_1$ 、 $y\in P_2$ ですが、 $x+y$ はどちらにも入りません。

定理14 高さ定理の逆 [4, 命題2.38, p.79; 2, 定理13.6, p.122]

$A$ をネーター環とする。

(1)　 $J\neq A$ を高さ $n$ のイデアルとする。 $J$ の元 $f_1,\dots,f_n$ で、すべての $0\le i\le n$ について $\operatorname{ht}(f_1,\dots,f_i)=i$ となるものがある。
(2)　 $P$ を高さ $r$ の素イデアルとする。 $P$ の元 $a_1,\dots,a_r$ で、 $P$ が $(a_1,\dots,a_r)$ の極小素イデアルになるものがある。このとき $\operatorname{ht}\bigl(P/(a_1,\dots,a_i)\bigr)=r-i$ （ $1\le i\le r$ ）。

証明

(1) $f_1,\dots,f_i$ （ $i<n$ ）まで選んだとし、 $(f_1,\dots,f_i)$ の極小素イデアルで高さが $i$ のものを $P_1,\dots,P_t$ とする。どの $P_j$ も $J$ を含まない。

$i=0$ では $(f_1,\dots,f_0)=(0)$ で、 $P_j$ は $A$ の極小素イデアル（高さ0）である。ネーター環なので $t$ は有限。 $J\subseteq P_j$ なら $\operatorname{ht}J\le\operatorname{ht}P_j=i<n$ となり、 $\operatorname{ht}J=n$ に反する。
素イデアル回避から、どの $P_j$ にも入らない $f_{i+1}\in J$ がとれる。
$(f_1,\dots,f_{i+1})$ の極小素イデアル $Q$ の高さは $i+1$ である。

高さ定理から $\operatorname{ht}Q\le i+1$ 。 $Q$ は $(f_1,\dots,f_i)$ の極小素イデアル $P$ を含み、帰納法の仮定から $\operatorname{ht}P\ge i$ 。 $\operatorname{ht}P=i$ なら $P$ はある $P_j$ で、 $f_{i+1}\in Q\setminus P_j$ から $Q\supsetneq P$ 、よって $\operatorname{ht}Q\ge i+1$ 。 $\operatorname{ht}P\ge i+1$ なら $\operatorname{ht}Q\ge\operatorname{ht}P\ge i+1$ 。

すべての極小素イデアルの高さが $i+1$ なので、 $\operatorname{ht}(f_1,\dots,f_{i+1})=i+1$ 。
(2) (1) を $J=P$ に使って $a_i=f_i$ とする。 $(a_1,\dots,a_r)\subseteq Q\subseteq P$ となる極小素イデアル $Q$ は高さ $r$ なので、 $Q=P$ 。

$Q\subsetneq P$ なら $\operatorname{ht}P\ge\operatorname{ht}Q+1=r+1$ となり矛盾する。
$\bar A=A/(a_1,\dots,a_i)$ 、 $\bar P=P/(a_1,\dots,a_i)$ 、 $s=\operatorname{ht}\bar P$ とおく。 $\bar P$ は $r-i$ 個の元 $\bar a_{i+1},\dots,\bar a_r$ で生成されるイデアルの極小素イデアルなので、高さ定理から $s\le r-i$ 。
逆に、前半を $\bar A$ と $\bar P$ に使うと、 $\bar P$ は $s$ 個の元 $\bar b_1,\dots,\bar b_s$ で生成されるイデアルの極小素イデアル。すると $P$ は $(a_1,\dots,a_i,b_1,\dots,b_s)$ の極小素イデアルで、高さ定理から $r\le i+s$ 。よって $s=r-i$ 。

$(a_1,\dots,a_i,b_1,\dots,b_s)\subseteq Q\subseteq P$ となる素イデアル $Q$ は、 $\bar A$ の素イデアル $\bar Q$ で $(\bar b_1,\dots,\bar b_s)\subseteq\bar Q\subseteq\bar P$ となるものと対応する。 $\bar P$ の極小性から $\bar Q=\bar P$ 、つまり $Q=P$ である。

(2) の後半を、素イデアルの対応で書きます。 $\bar A$ の中で $\bar P$ で終わる鎖が、 $A$ の中で $(a_1,\dots,a_i)$ を含み $P$ で終わる鎖と対応します。

{}\begin{gathered} \begin{array}{ccccc} \bar Q_0 & \to\cdots\to & \bar Q_{r-i} & = & \bar P \\ \Big\downarrow\mathrlap{\scriptstyle\pi^{-1}} && \Big\downarrow\mathrlap{\scriptstyle\pi^{-1}} && \\ Q_0 & \to\cdots\to & Q_{r-i} & = & P \end{array}\\[8pt] (a_1,\dots,a_i)\subseteq Q_0 \end{gathered}

$a_1,\dots,a_r$ で1つずつ割るたびに、 $P$ の高さはちょうど1ずつ下がります。局所化 $A_P$ で見れば、 $a_1/1,\dots,a_r/1$ は $r$ 次元の局所環 $A_P$ の巴系（第7回の命題8）です。

例15 高さ2なのに2つの元では生成できない素イデアル [5, 演習1.11, p.11; 5, 注意1.13.1, p.10]

$R=k[x,y,z]$ から $k[t]$ への準同型 $x\mapsto t^3$ 、 $y\mapsto t^4$ 、 $z\mapsto t^5$ の核を $P$ とする（曲線 $(t^3,t^4,t^5)$ の素イデアル）。

(1)　 $P$ は高さ2の素イデアルで、 $y^2-xz,\ x^3-yz,\ z^2-x^2y$ を含む。
(2)　 $P$ は2つの元では生成できない。
(3)　 $P$ は $(y^2-xz,\ z^2-x^2y)$ の極小素イデアルである。

証明

(1) $R/P\cong k[t^3,t^4,t^5]$ は整域で、超越次数1なので1次元。 $\operatorname{ht}P=3-1=2$ 。3つの式は代入すると $t^8-t^8$ 、 $t^9-t^9$ 、 $t^{10}-t^{10}$ で0になる。
(2) $x,y,z$ に重み $3,4,5$ を付けると $P$ は斉次イデアルで、重み8, 9, 10 の部分が1次元ずつ、7以下の部分は0になる。

重み $d$ の単項式 $x^ay^bz^c$ （ $3a+4b+5c=d$ ）はすべて $t^d$ に写るので、 $P$ の重み $d$ の部分は「単項式の係数の和が0」となる1次結合の全体で、次元は（単項式の数） $-1$ 。単項式は、 $d\le7$ では高々1個（ $x,y,z,x^2,xy$ ）、 $d=8$ では $y^2,xz$ 、 $d=9$ では $x^3,yz$ 、 $d=10$ では $z^2,x^2y$ の2個ずつである。
$N=(x,y,z)$ とすると $NP$ は重み11以上の元からなる。よって $P/NP$ は3次元以上で、2つの元で生成されるなら2次元以下になって矛盾する。

$N$ の元は重み3以上、 $P$ の元は重み8以上なので、 $NP$ の元は重み11以上である。重み8, 9, 10 の部分 $k(y^2-xz)\oplus k(x^3-yz)\oplus k(z^2-x^2y)$ は $NP$ と0でしか交わらないので、 $P/NP$ に単射に写る。 $P=(g,h)$ なら $P/NP$ は $\bar g,\bar h$ で張られる（ $P/NP$ は $R/N=k$ 上のベクトル空間）。
(3) $(y^2-xz,\ z^2-x^2y)\subseteq Q\subseteq P$ となる素イデアル $Q$ の高さが2であることを示す。高さ1なら $Q=(g)$ と書け（命題9）、 $g$ は2つの既約多項式の共通因子になるが、そのようなものはない。

$y^2-xz$ は $x$ について1次で係数 $-z$ と $y^2$ が互いに素、 $z^2-x^2y$ は $y$ について1次で係数 $-x^2$ と $z^2$ が互いに素なので、どちらも既約である。定数倍の違いでもないので、共通の既約因子はない。高さ0の $Q=(0)$ は2つの式を含まない。よって $\operatorname{ht}Q\ge2=\operatorname{ht}P$ で、 $Q=P$ 。

(3) で2つの式の零点を計算すると、曲線 $Y=\{(t^3,t^4,t^5)\}$ と $x$ 軸の和集合になります。 $x\neq0$ なら $z=y^2/x$ を代入して $y(y^3-x^4)=0$ となり、 $y=0$ （ $x$ 軸）か $y^3=x^4$ （ $t=y/x$ とおくと $Y$ の点）です。

$Y$ は「2本の式でちょうど切り出す」ことはできませんが、2本の式で切ると余分な成分（ $x$ 軸）と一緒に出てきます。ハーツホーンはこれを「 $Y$ は局所完全交叉でない」と表現しています[5, 演習1.11, p.11]。例11(2) のねじれ3次曲線と $z$ 軸も、同じ形の例です。

1つの元で割った次元

局所環を1つの元で割ると、次元はどれだけ下がるでしょうか。高さ定理の局所版として、1下がるか変わらないかのどちらかであることが分かります。

命題16 1つの元で割った次元 [1, 系11.18, p.189; 3, 定理7.11 (iii), p.128–129; 4, 命題2.42, 系2.43, p.80]

$(A,M)$ を $d$ 次元のネーター局所環、 $x\in M$ とする。

(1)　 $d-1\le\dim A/xA\le d$ 。
(2)　 $\dim A/xA=d-1$ となるのは、 $\dim A/P=d$ となるどの素イデアル $P$ にも $x$ が入らないとき、またそのときに限る。そのような $P$ は $A$ の極小素イデアルである。
(3)　とくに $x$ が非零因子なら $\dim A/xA=d-1$ 。

証明

(1) $A/xA$ の鎖は $A$ の鎖なので $\dim A/xA\le d$ 。
$e=\dim A/xA$ とし、像が $A/xA$ の巴系になる $y_1,\dots,y_e\in M$ をとる。 $(x,y_1,\dots,y_e)$ は $M$ 準素なので、次元定理から $d=\delta(A)\le e+1$ 。

次元定理を $A/xA$ に使うと $\delta(A/xA)=e$ で、 $M/xA$ 準素イデアルを生成する $e$ 個の元がある。それを $A$ に持ち上げたものが $y_i$ 。 $(x,y_1,\dots,y_e)$ を含む $A$ の素イデアルは、 $\bar y_1,\dots,\bar y_e$ を含む $A/xA$ の素イデアルと対応し、それは $M/xA$ だけ。よって $\sqrt{(x,y_1,\dots,y_e)}=M$ 。
(2) 「 $\Rightarrow$ 」： $x\in P$ 、 $\dim A/P=d$ なら、 $A/P$ は $A/xA$ の剰余環なので $\dim A/xA\ge d$ 。
「 $\Leftarrow$ 」： $xA$ を含む素イデアル $Q$ について $\dim A/Q\le d-1$ を示す。 $Q$ は極小素イデアル $P$ を含む。 $\dim A/P=d$ なら $x\notin P$ から $P\subsetneq Q$ で $\dim A/Q\le d-1$ 、 $\dim A/P<d$ なら $\dim A/Q\le\dim A/P\le d-1$ 。

$P\subsetneq Q$ なら、 $Q$ から始まる鎖の前に $P$ を付け足せるので、 $\dim A/P\ge\dim A/Q+1$ （第1回の命題10(2)、 $\dim A/Q=\operatorname{coht}Q$ ）。 $A/xA$ の鎖はある $Q\supseteq xA$ から始まるので、 $\dim A/xA=\max_Q\dim A/Q\le d-1$ 。(1) と合わせて等号。
$\dim A/P=d$ となる $P$ は極小素イデアルである。 $P'\subsetneq P$ なら $\dim A/P'\ge d+1>\dim A$ となるから。
(3) 非零因子 $x$ は極小素イデアルに入らない（補題2）ので、(2) から $\dim A/xA=d-1$ 。

アティヤ・マクドナルドは (3) を、 $d(A/xA)\le d(A)-1$ （第6回の命題27）と次元定理から導いています。ここでは (2) を経由したので、 $x$ が零因子の場合まで分かります。割る操作と次元の変化は次のとおりです。

{}\begin{gathered} \begin{array}{ccc} A & \longrightarrow & A/xA \\[4pt] d && e\ \ (d-1\le e\le d) \end{array}\\[8pt] \begin{array}{ccc} A/xA & \longrightarrow & A/(x,y_1,\dots,y_e) \\[4pt] e && 0 \end{array} \end{gathered}

$x$ が (2) の条件をみたすとき、 $x$ は $A$ の巴系の最初の元にできます[4, 命題2.42 (2), p.80]。(1) の証明と同じく、 $A/xA$ の巴系 $\bar y_1,\dots,\bar y_{d-1}$ を持ち上げれば、 $x,y_1,\dots,y_{d-1}$ が $M$ 準素イデアルを生成するからです。巴系の一部で割ることは、この連載の第9回で詳しく扱います。

例17 1つの元で割る

(1)　 $A=k[x,y,z]_{(x,y,z)}/(xz,\ yz)$ （平面と直線、 $d=2$ ）： $\dim A/P=2$ となる $P$ は平面の $(z)$ だけ。 $x\notin(z)$ なので $\dim A/xA=1$ （ $x$ は零因子）。 $z\in(z)$ なので $\dim A/zA=2$ 。
(2)　 $A=k[x,y]_{(x,y)}/(xy)$ （2直線、 $d=1$ ）： $\dim A/P=1$ となる $P$ は $(x)$ と $(y)$ 。 $\dim A/xA=1$ 、 $\dim A/(x+y)A=0$ 。
(3)　 $A=k[x,y,z]_{(x,y,z)}/(xy-z^2)$ （錐面、 $d=2$ ）：整域なので、0でないどの $f\in M$ でも $\dim A/fA=1$ 。

証明

(1) 極小素イデアルは $(z)$ と $(x,y)$ で、 $A/(z)\cong k[x,y]_{(x,y)}$ は2次元、 $A/(x,y)\cong k[z]_{(z)}$ は1次元。 $A/xA\cong k[y,z]_{(y,z)}/(yz)$ は1次元、 $A/zA\cong k[x,y]_{(x,y)}$ は2次元。
(2) $A/xA\cong k[y]_{(y)}$ と $A/(x+y)A\cong k[x]/(x^2)$ （第7回の例3(2)）。
(3) $f\neq0$ は整域の非零因子なので、命題16(3) から $\dim A/fA=2-1=1$ 。 $\dim A=2$ は例8を原点で局所化したもの（第4回の系18）。

(1) は、前回巴系を選ぶ例に使った環です（第1回の例14を原点で局所化したもの）。 $x$ は直線の素イデアル $(x,y)$ に入っていて零因子ですが、次元は下がります。下げるのに必要なのは、次元が最大の成分（平面）を切ることだけです。

局所環という仮定は外せません。局所環でないと、非零因子で割って次元が2以上下がることがあります。

例18 局所環でないと2つ下がる

$R=k[x]_{(x)}$ 、 $A=R[y]$ 、 $f=xy-1$ とする。 $f$ は単元でない非零因子で、 $\dim A\ge2$ だが、 $A/fA\cong k(x)$ は体で $\dim A/fA=0$ 。

証明

$A/fA=R[y]/(xy-1)\cong R[1/x]$ （ $y\mapsto1/x$ ）で、 $R$ は $x$ を素元とする離散付値環なので $R[1/x]=k(x)$ 。体なので $f$ は単元でない（ $A/fA\neq0$ ）。
$A$ は整域なので $f\neq0$ は非零因子。鎖 $(0)\subsetneq(x)\subsetneq(x,y)$ から $\dim A\ge2$ 。

$A/(x)\cong k[y]$ は整域、 $A/(x,y)\cong k$ は体なので、どちらも素イデアルで、包含は真である。

単項イデアル定理とは矛盾しません。 $(f)$ は極大イデアルで、その高さは1です。次元2は別の極大イデアル $(x,y)$ で実現され、 $(f)$ はそこから離れた「高さ1の閉点」です。環の写像で書くと次のとおりです。

{}\begin{gathered} \begin{CD} R @>>> A=R[y] @>>> A/(xy-1) \\ @. @. @VV{\cong}V \\ @. @. R[1/x] \\ @. @. @| \\ @. @. k(x) \end{CD}\\[8pt] \begin{aligned} \operatorname{ht}(f)+\dim A/(f)&=1+0\\ &<2\le\dim A \end{aligned} \end{gathered}

$\operatorname{Spec}A$ は、 $\operatorname{Spec}R$ の閉点 $(x)$ の上のファイバー（直線 $k[y]$ ）と、生成点の上のファイバー（ $k(x)[y]$ ）からなります。 $V(xy-1)$ は生成点の上のファイバーの閉点で、閉点のファイバーには届いていません。局所環では、どの元 $a\in M$ の零点も閉点 $M$ を通るので、この現象は起こりません。

斉次素イデアルの高さ

次数付き環では、素イデアルの高さを斉次な元と斉次な素イデアルだけで調べられます。射影幾何の図形（斉次式の零点）が、原点を通る直線の束である錐（すい）として見えるからです。

おさらい次数付き環と斉次イデアル

次数付き環 $A=\bigoplus_{n\ge0}A_n$ は、 $A_mA_n\subseteq A_{m+n}$ をみたす直和分解をもつ環で、 $A_n$ の元を次数 $n$ の斉次元と呼びました（第5回の定義1）。斉次元で生成されるイデアルが斉次イデアルです。

イデアル $I$ が斉次であることは、 $I$ の元の斉次成分がすべて $I$ に入ることと同値です（第5回の命題3）。例えば $k[x,y]$ で $(x^2-y^2)$ は斉次、 $(y-x^2)$ は斉次でありません（ $y-x^2$ の斉次成分 $y$ は入らない）。

斉次イデアル $I$ について、剰余環 $A/I=\bigoplus_n A_n/I_n$ も次数付き環です。全射 $A\to A/I$ で、 $A/I$ の斉次イデアルの逆像は $A$ の斉次イデアルになります。

\begin{CD} A=\bigoplus_nA_n @>{\pi}>> A/I=\bigoplus_nA_n/I_n \\ @AAA @AAA \\ \pi^{-1}(\bar K) @>>> \bar K \end{CD}

補題19 $P^*$ [2, 問題13.4, p.125; 4, §7.2, p.196]

$A$ を次数付き環、 $P$ を素イデアルとし、 $P$ に入る斉次元で生成されるイデアルを $P^*$ と書く。

(1)　 $P^*$ は $P$ に含まれる最大の斉次イデアルで、素イデアルである。
(2)　斉次イデアル $I$ の極小素イデアルは、すべて斉次である。

証明

(1) $P^*$ は斉次イデアルで $P$ に含まれる。 $P$ に含まれる斉次イデアルは $P$ の斉次元で生成されるので、 $P^*$ に含まれる。
$a,b\notin P^*$ なら $ab\notin P^*$ を示す。 $P^*$ に入る斉次成分を除いて、 $a,b$ のどの斉次成分も $P^*$ に入らないとしてよい。

$a=a'+a''$ （ $a''$ は $P^*$ に入る斉次成分の和、 $a'$ は残り）と分けると、 $a\notin P^*$ から $a'\neq0$ で、 $ab-a'b'=a''b+a'b''\in P^*$ 。よって $ab\in P^*\iff a'b'\in P^*$ である。
$a,b$ の最低次の斉次成分を $a_p,b_q$ とすると、 $ab$ の次数 $p+q$ の成分は $a_pb_q$ 。 $ab\in P^*$ なら $a_pb_q\in P^*\subseteq P$ で、 $a_p\in P$ か $b_q\in P$ 。斉次なので $P^*$ に入り、矛盾する。
(2) $I$ の極小素イデアル $P$ について、 $I$ は $P$ の斉次元で生成されるので $I\subseteq P^*\subseteq P$ 。 $P^*$ は素イデアルなので、極小性から $P=P^*$ 。

$A=k[x_1,\dots,x_n]$ で、 $V(P^*)$ は $V(P)$ を含む最小の錐です。斉次式 $F$ は $F(tv)=t^dF(v)$ をみたすので、点 $v$ で消えれば原点と $v$ を結ぶ直線の上で消えます。斉次でない素イデアルについての次の命題は、この錐が元の図形より1次元大きいことを言っています。

命題20 $P$ と $P^*$ の高さ [2, 問題13.6, p.125; 4, 定理7.21, p.196]

$A$ をネーターな次数付き環、 $P$ を斉次でない素イデアルとする。

(1)　 $P^*\subsetneq Q\subsetneq P$ となる素イデアル $Q$ はない。
(2)　 $\operatorname{ht}P=\operatorname{ht}P^*+1$ 。

証明

(1) $B=A/P^*$ は次数付きの整域で、 $P'=P/P^*$ は0でない斉次元を含まない。 $B$ の0でない斉次元の全体を $S$ とすると、 $S$ は積閉集合で $S\cap P'=\varnothing$ 。

$P^*$ は斉次な素イデアルなので、 $B$ は次数付き環で整域である。 $B$ の斉次元は $A$ の斉次元の像で、 $P$ に入る斉次元は $P^*$ に入るので、 $P'$ の斉次元は0だけ。整域なので、0でない斉次元の積は0でない斉次元である。
$S^{-1}B$ は、0でない斉次元がすべて単元の（整数で次数付けられた）環で、 $K$ （体）か $K[X,X^{-1}]$ （ $X$ は $K$ 上超越的）のどちらかである。どちらも次元1以下。

$S^{-1}B$ の次数を $\deg(b/s)=\deg b-\deg s$ で定める。次数0の部分 $K$ は、0でない元がすべて単元なので体である。0でない斉次元が現れる次数の全体は $\mathbb{Z}$ の部分群（単元の逆元は次数が逆符号、積は次数の和）なので、 $e\mathbb{Z}$ （ $e\ge0$ ）と書ける。

$e=0$ なら $S^{-1}B=K$ 。 $e>0$ なら次数 $e$ の斉次な単元 $X$ をとると、次数 $me$ の斉次元 $c$ は $c=(cX^{-m})X^m$ （ $cX^{-m}\in K$ ）と書けるので、 $S^{-1}B=K[X,X^{-1}]$ 。 $\sum_mc_mX^m=0$ （ $c_m\in K$ ）なら、次数ごとに見て $c_m=0$ なので、 $X$ は $K$ 上超越的である。 $K[X,X^{-1}]$ は単項イデアル整域 $K[X]$ の局所化で、次元は1。
$P^*\subseteq Q\subseteq P$ となる素イデアル $Q$ は、 $S$ と交わらない $B$ の素イデアル $Q/P^*$ を通して $S^{-1}B$ の素イデアルと対応する。 $S^{-1}P'\neq0$ で、次元1以下の整域なので、 $(0)$ と $S^{-1}P'$ の間に素イデアルはない。
(2) $\operatorname{ht}P\ge\operatorname{ht}P^*+1$ は、 $P^*$ で終わる鎖に $P$ を付け足せばよい。逆向きを $\operatorname{ht}P$ （有限、第7回の系7）についての帰納法で示す。
$\operatorname{ht}Q=\operatorname{ht}P-1$ となる $Q\subsetneq P$ をとる。 $Q$ が斉次なら $Q\subseteq P^*$ で $\operatorname{ht}P^*\ge\operatorname{ht}P-1$ 。斉次でなければ、(1) から $Q^*\subsetneq P^*$ で、帰納法の仮定から $\operatorname{ht}P^*\ge\operatorname{ht}Q^*+1=\operatorname{ht}Q=\operatorname{ht}P-1$ 。

$Q$ は $P$ で終わる最長の鎖の、 $P$ の1つ手前の素イデアルとしてとれる。 $Q^*$ は $P$ に含まれる斉次イデアルなので $Q^*\subseteq P^*$ 。 $Q^*=P^*$ なら $P^*=Q^*\subsetneq Q\subsetneq P$ となり (1) に反する（ $Q$ は斉次でないので $Q^*\neq Q$ ）。よって $Q^*\subsetneq P^*$ で、 $\operatorname{ht}P^*\ge\operatorname{ht}Q^*+1$ 。

$\operatorname{ht}P=0$ の $P$ は $A$ の極小素イデアルで、斉次イデアル $(0)$ の極小素イデアルなので補題19(2) から斉次。よって斉次でない $P$ では $\operatorname{ht}P\ge1$ で、 $\operatorname{ht}Q<\operatorname{ht}P$ の $Q$ に帰納法が使える。

(1) の証明で使った環の写像を並べます。 $P$ と $P^*$ の間を調べるのに、斉次元をすべて逆にした環 $K[X,X^{-1}]$ まで降りています。

\begin{CD} @. @. K[X,X^{-1}] \\ @. @. @AA{\wr}A \\ A @>>> A/P^* @>>> S^{-1}(A/P^*) \\ @AAA @AAA @AAA \\ P @>>> P/P^* @>>> S^{-1}(P/P^*) \end{CD}

V(P)=\{(1,2)\}

V(P^*)

：

y=2x

P=(x-1,\ y-2)

、

P^*=(2x-y)

\operatorname{ht}P=2=\operatorname{ht}P^*+1

V(P)

：

y=x^2

P=(y-x^2)

、

P^*=(0)

\operatorname{ht}P=1=\operatorname{ht}P^*+1

図4具体例

k[x,y]

の斉次でない素イデアル

P

と、

P^*

の零点です（実数の点）。左は点

(1,2)

で、それを含む最小の錐は原点を通る直線

y=2x

です。右は放物線

y=x^2

で、原点と放物線の点を結ぶ直線は傾きが放物線の点の

x

座標に等しく、平面を埋めつくします。どちらも

V(P^*)

は

V(P)

より1次元大きく、

\operatorname{ht}P=\operatorname{ht}P^*+1

です。斉次式が直線の上で消えることは、生成時に計算して確かめています。

例21 $P^*$ の計算

$A=k[x,y]$ とする。

(1)　 $P=(x-1,\ y-2)$ ： $P^*=(2x-y)$ 、 $\operatorname{ht}P=2=1+1$ 。
(2)　 $P=(y-x^2)$ ： $P^*=(0)$ 、 $\operatorname{ht}P=1=0+1$ 。
(3)　 $A=k[x,y,z]$ 、 $P=(x-1,\ y-2,\ z-3)$ ： $P^*=(2x-y,\ 3x-z)$ 、 $\operatorname{ht}P=3=2+1$ 。

証明

(1) $d$ 次の斉次式 $F$ について $F(x,2x)=x^dF(1,2)$ 。 $F\in P$ なら $F(1,2)=0$ で $F(x,2x)=0$ 、よって $F$ は $y-2x$ で割り切れる。逆に $2x-y\in P$ 。

$F$ を $k[x][y]$ の元とみて $y-2x$ で割ると、余りは $F(x,2x)$ である。 $F(x,2x)=0$ なら $F\in(2x-y)$ 。 $(2x-y)$ は素イデアルで高さ1（命題9）、 $P$ は極大イデアルで高さ2（第4回の系16）。
(2) $F=\sum_ia_ix^iy^{d-i}\in P$ なら $F(t,t^2)=\sum_ia_it^{2d-i}=0$ 。指数 $2d-i$ は相異なるので、すべての $a_i=0$ 。
(3) (1) と同じく、斉次式 $F\in P$ は直線 $t(1,2,3)$ の上で消え、 $z$ を $3x$ 、 $y$ を $2x$ で順に割った余りが0になる。 $(2x-y,\ 3x-z)$ は剰余環が $k[x]$ の素イデアルで、高さは2。

次に、斉次素イデアルの高さが、斉次な元と斉次な素イデアルだけで測れることを示します。松村は一般のネーターな次数付き環で述べていますが、(1) はここでは $A_0$ が体の場合に証明します。斉次な元で素イデアルをよける操作に、次数が正であることを使うためです。

命題22 斉次素イデアルの高さ [2, 定理13.7 ii), p.123]

$A=\bigoplus_{n\ge0}A_n$ をネーターな次数付き環、 $P$ を高さ $r$ の斉次素イデアルとする。

(1)　 $A_0=k$ が体なら、 $P$ の斉次元 $b_1,\dots,b_r$ で、 $P$ が $(b_1,\dots,b_r)$ の極小素イデアルになるものがある。
(2)　斉次素イデアルだけからなる長さ $r$ の鎖 $P=P_0\supsetneq P_1\supsetneq\cdots\supsetneq P_r$ がある。

証明

(1) $A_0$ が体なので $P\cap A_0=0$ で、 $P$ の0でない斉次元の次数は1以上。「 $(b_1,\dots,b_i)$ の極小素イデアルで $P$ に含まれるものは高さ $i$ 以上」となる斉次元 $b_1,\dots,b_i\in P$ を、 $i=r$ まで帰納的に選ぶ。

$P\cap A_0$ は体 $A_0$ の真のイデアルなので0である。 $i=0$ では条件は自明。 $i=r$ まで選べば、 $(b_1,\dots,b_r)\subseteq Q\subseteq P$ となる極小素イデアル $Q$ は高さ $r=\operatorname{ht}P$ 以上なので $Q=P$ で、 $P$ は極小素イデアルである。
$(b_1,\dots,b_i)$ の極小素イデアルで $P$ に含まれ高さ $i$ のものを $Q_1,\dots,Q_t$ （ $i<r$ なので $Q_j\subsetneq P$ ）とする。どの $Q_j$ にも入らない $P$ の斉次元 $b$ をとり、 $b_{i+1}=b$ とすれば条件が保たれる。

$Q_j$ は斉次（補題19(2)）で、有限個。条件が保たれることは定理14(1) の証明と同じ： $(b_1,\dots,b_{i+1})$ の極小素イデアル $Q\subseteq P$ は、 $(b_1,\dots,b_i)$ の極小素イデアル $Q'\subseteq Q$ を含み、 $\operatorname{ht}Q'\ge i$ 。 $Q'$ がある $Q_j$ なら $b\in Q\setminus Q_j$ から $Q\supsetneq Q_j$ で、どちらの場合も $\operatorname{ht}Q\ge i+1$ 。
$b$ は次のように作る。包含関係のある $Q_j$ は大きい方だけ残す。各 $j$ について、斉次イデアル $P\prod_{l\neq j}Q_l$ は $Q_j$ に含まれないので、 $Q_j$ に入らない斉次元 $c_j$ をもつ。次数をそろえて $b=\sum_jc_j^{D/\deg c_j}$ （ $D$ は $\deg c_j$ の積）とする。

$Q_j$ は素イデアルで、 $P\not\subseteq Q_j$ 、 $Q_l\not\subseteq Q_j$ （ $l\neq j$ ）なので、積 $P\prod_{l\neq j}Q_l$ は $Q_j$ に含まれない。斉次イデアルは斉次元で生成されるので、生成元のどれかが $Q_j$ に入らない。それを $c_j$ とすると、 $c_j\in P$ なので $\deg c_j\ge1$ 、 $c_j\in Q_l$ （ $l\neq j$ ）。

$b$ は次数 $D$ の斉次元で $P$ に入る。各 $j$ で、 $c_j^{D/\deg c_j}\notin Q_j$ （素イデアル）、他の項は $Q_j$ に入るので、 $b\notin Q_j$ 。包含 $Q_l\subseteq Q_j$ があるときは、 $Q_j$ をよければ $Q_l$ もよけている。
(2) $r$ についての帰納法。 $r=0$ は自明。 $r\ge1$ とし、 $P$ で終わる長さ $r$ の鎖の最小の素イデアル $P_r$ をとる。 $P_r$ は $A$ の極小素イデアルで斉次なので、 $A/P_r$ に移って $A$ は整域としてよい。

$P_r$ が極小でなければ鎖が延びて $\operatorname{ht}P>r$ となる。 $P_r$ は斉次イデアル $(0)$ の極小素イデアルなので、補題19(2) から斉次。 $A/P_r$ は次数付きの整域で、 $P/P_r$ の高さは $r$ である。 $A/P_r$ の斉次素イデアルの鎖を $A$ に引き戻すと、斉次素イデアルの鎖になる。
$P$ の0でない斉次元 $b$ をとる。局所整域 $A_P$ で $b$ は非零因子なので、命題16(3) から $\operatorname{ht}(P/bA)=r-1$ 。そこで $bA$ の極小素イデアル $Q\subseteq P$ で $\operatorname{ht}(P/Q)=r-1$ となるものをとる。

$\operatorname{ht}(P/bA)=\dim A_P/bA_P=r-1$ 。 $P/bA$ で終わる長さ $r-1$ の鎖 $\bar Q_0\subsetneq\cdots\subsetneq\bar Q_{r-1}=P/bA$ をとる。 $\bar Q_0$ が $bA$ の極小素イデアルでなければ、その下に1つ足して長さ $r$ の鎖ができ、矛盾する。 $Q=Q_0$ とすれば、 $\operatorname{ht}(P/Q)\ge r-1$ 、また $\operatorname{ht}(P/Q)\le\operatorname{ht}(P/bA)=r-1$ 。
$Q$ は斉次（補題19(2)）で、 $b\neq0$ を含むので $Q\neq0$ 。帰納法の仮定を $A/Q$ と $P/Q$ に使い、斉次素イデアルの鎖 $P\supsetneq\cdots\supsetneq P_{r-1}\supseteq Q$ を得る。最後に $(0)$ を付け足すと長さ $r$ になる。

(2) の証明では、松村と違って (1) を使わず、命題16で次元が1だけ下がることを使いました。そのため (2) は $A_0$ が体でなくても成り立ちます。証明の鎖を図式にすると次のとおりです（ $A$ は整域としたあと）。

{}\begin{gathered} \begin{array}{ccccc} P & \leftarrow\cdots\leftarrow & P_{r-1} & \leftarrow & (0) \\ \Big\uparrow && \Big\uparrow && \\ P/Q & \leftarrow\cdots\leftarrow & P_{r-1}/Q && \end{array}\\[8pt] Q\subseteq P_{r-1}\quad Q\neq(0) \end{gathered}

ここで横の矢印は斉次素イデアルの真の包含、縦の矢印は $A\to A/Q$ による対応です。

例23 射影空間のねじれ3次曲線

$A=k[x,y,z,w]$ （各変数の次数は1）から $k[s,t]$ への準同型 $x\mapsto s^3$ 、 $y\mapsto s^2t$ 、 $z\mapsto st^2$ 、 $w\mapsto t^3$ の核を $P$ とする。

(1)　 $P$ は高さ2の斉次素イデアルで、 $b_1=xz-y^2$ 、 $b_2=yw-z^2$ について $P$ は $(b_1,b_2)$ の極小素イデアル。
(2)　 $P$ は2つの元では生成できない（ $xw-yz$ も入り、2次の部分が3次元ある）。
(3)　 $P\supsetneq(xz-y^2)\supsetneq(0)$ は斉次素イデアルの長さ2の鎖。

証明

(1) 準同型は次数を3倍にして保つので $P$ は斉次。 $A/P$ は $k[s^3,s^2t,st^2,t^3]$ で超越次数2、 $\operatorname{ht}P=4-2=2$ 。 $b_1,b_2$ が $P$ に入ることは代入で分かる。

$b_1\mapsto s^3\cdot st^2-(s^2t)^2=0$ 、 $b_2\mapsto s^2t\cdot t^3-(st^2)^2=0$ 、 $xw-yz\mapsto s^3t^3-s^3t^3=0$ 。 $k(s^3,s^2t,st^2,t^3)$ は $s^3$ と $s^2t$ の比 $t/s$ を含むので、 $k(s^3,t/s)$ と同じで、超越次数は2である。
$(b_1,b_2)\subseteq Q\subseteq P$ となる素イデアル $Q$ が高さ1なら $Q=(g)$ で、 $g$ は $b_1,b_2$ の共通因子になるが、どちらも既約で定数倍でないので、ない。よって $Q=P$ 。
(2) $P$ は1次式を含まない（ $s^3,s^2t,st^2,t^3$ は1次独立）。2次の部分 $P_2$ は $b_1,b_2,xw-yz$ を含み3次元以上で、 $A_+P$ は3次以上なので、 $P/A_+P$ は3次元以上。
(3) $xz-y^2$ は既約なので $(xz-y^2)$ は斉次素イデアル。 $b_2\notin(xz-y^2)$ （同じ2次で定数倍でない）なので包含は真。

図形で見ると、 $P$ は射影空間 $\mathbb{P}^3$ のねじれ3次曲線の斉次イデアルで、 $V(P)\subseteq\mathbb{A}^4$ はその上の錐（2次元）です。射影空間の中で見ると、 $V(b_1,b_2)$ はねじれ3次曲線と直線 $y=z=0$ の和になります。例15と同じく、素イデアル自身は2個では生成できないが、2個の元で生成されるイデアルの極小素イデアルにはなっています。

まとめ

主張	仮定	結論	注意する例
高さ定理	ネーター環	$(x_1,\dots,x_r)$ の極小素イデアルの高さ $\le r$	付値環 $V$ ： $M=(y)$ 、 $\operatorname{ht}M\ge2$
単項イデアル定理	$x$ は単元でない非零因子	$(x)$ の極小素イデアルの高さ $=1$	$k[x,y]/(xy)$ の $x$ ：高さ0
高さ定理の逆	ネーター環	高さ $r$ の $P$ は $r$ 個の元のイデアルの極小素イデアル	曲線 $(t^3,t^4,t^5)$ の $P$ ：高さ2だが2個では生成できない
1つの元で割る	ネーター局所環	$d-1\le\dim A/xA\le d$	$k[x]_{(x)}[y]/(xy-1)$ ：2以上下がる
$P$ と $P^*$	ネーターな次数付き環	$\operatorname{ht}P=\operatorname{ht}P^*+1$ （ $P$ が斉次でないとき）	$P=(x-1,\ y-2)$ 、 $P^*=(2x-y)$

$r$ 個の元で生成されるイデアルの極小素イデアルは、高さが $r$ 以下です（高さ定理）。証明は2通りあり、次元定理 $\dim=\delta$ から局所化で一行で出す方法と、記号的べきと中山の補題で $r=1$ を示してから帰納法で進む方法でした。

単項イデアル定理（ $r=1$ ）は、非零因子について等号まで言えます。多項式環では、余次元1の既約な図形は1本の既約多項式の零点で、曲面と曲面の交わりは曲線です。逆に、高さ $r$ の素イデアルは $r$ 本の式で（余分な成分と一緒に）切り出せます。

局所環では、1つの元で割ると次元は1下がるか変わらないかで、下がるのは次元が最大の成分を切るときです。次数付き環では、高さを斉次な素イデアルだけで測れます。この記事の主な結果は、次の順に導きました（ $P$ は $(x_1,\dots,x_r)$ の極小素イデアル、最後の $x$ は局所環 $A$ の非零因子）。

\dim A_P=\delta(A_P)\ \Longrightarrow\ \operatorname{ht}P\le r\ \Longrightarrow\ \operatorname{ht}P=1\ \ (r=1)\ \Longrightarrow\ \dim A/xA=\dim A-1

\begin{aligned}\dim A_P &= \delta(A_P)\\&\Longrightarrow \operatorname{ht}P\\&\le r\\&\Longrightarrow \operatorname{ht}P\\&= 1\ \ (r=1)\\&\Longrightarrow \dim A/xA\\&= \dim A-1\end{aligned}

次回：巴系

次回（第9回）は、巴系（パラメータ系）を詳しく扱います。 $d$ 次元のネーター局所環で、 $M$ 準素イデアルを生成する $d$ 個の元が巴系でした。今回の命題16から、巴系で1つずつ割ると次元はちょうど1ずつ下がります。

巴系の一部で割った環の次元、巴系と高さの関係、そして巴系が「解析的に独立」であること（巴系の斉次式が $q^{s+1}$ に入るなら係数は $M$ に入る）を、例とともに証明する予定です。

第1回の定義9 高さ・余高度

$P$ を環 $A$ の素イデアルとする。 $P$ で終わる素イデアルの鎖 $P_0\subsetneq\cdots\subsetneq P_n=P$ の長さの上限を $P$ の高さと呼び、 $\operatorname{ht}P$ と書く。 $P$ から始まる鎖 $P=P_0\subsetneq\cdots\subsetneq P_n$ の長さの上限を余高度と呼び、 $\operatorname{coht}P$ と書く。

第7回の定義2 $\delta(A)$

$(A,M,k)$ をネーター局所環とする。 $M$ 準素イデアルの生成元の個数の最小値を $\delta(A)$ と書く。補題1により、これは

\begin{aligned} &\delta(A)=\min\{\,n\ge0\mid{}\\ &\quad x_1,\dots,x_n\in M,{}\\ &\quad\ell\bigl(A/(x_1,\dots,x_n)\bigr)<\infty\,\} \end{aligned}

と同じである（ $n=0$ は $\ell(A)<\infty$ を意味する）。

第7回の補題1 $M$ 準素イデアルの言い換え

$(A,M,k)$ をネーター局所環、 $J\subseteq M$ をイデアルとする。次は同値である。

(1)　 $J$ は $M$ 準素イデアル。
(2)　 $\sqrt J=M$ 。
(3)　ある $r$ で $M^r\subseteq J$ 。
(4)　 $\ell(A/J)<\infty$ 。

第7回の定理4 次元定理

$(A,M,k)$ をネーター局所環とする。次の3つの数は等しい。とくにどれも有限である。

(1)　 $\dim A$ ： $A$ の素イデアルの鎖の長さの上限。
(2)　 $d(A)$ ：十分大きい $n$ で $\ell(A/M^n)$ に一致する多項式の次数。
(3)　 $\delta(A)$ ： $M$ 準素イデアルの生成元の個数の最小値。

第7回の例3 $\delta(A)$ を上から抑える

(1)　 $A=k[x,y,z]_{(x,y,z)}$ 。 $\ell(A/(x,y,z))=\ell(k)=1$ なので $\delta(A)\le3$ 。 $(x^2,y^3,z)$ も $M$ 準素で、 $A/(x^2,y^3,z)$ は $x^ay^b$ （ $a<2,\ b<3$ ）を基底にもち、長さは6である。一方 $A/(x,y)\cong k[z]_{(z)}$ は $1,z,z^2,\dots$ が1次独立で、長さは無限。
(2)　 $A=k[x,y]_{(x,y)}/(xy)$ （交わる2直線）。 $A/(x)\cong k[y]_{(y)}$ の長さは無限だが、

A/(x+y)\cong k[x]_{(x)}/(x^2)\qquad \ell\bigl(A/(x+y)\bigr)=2

\begin{gathered}A/(x+y)\cong k[x]_{(x)}/(x^2)\\\ell\bigl(A/(x+y)\bigr)=2\end{gathered}

\begin{aligned}A/(x+y) &\cong k[x]_{(x)}/(x^2)\\[4pt]\ell\bigl(A/(x+y)\bigr) &= 2\end{aligned}

なので $\delta(A)\le1$ 。 $A$ の長さは無限（ $1,x,x^2,\dots$ が独立）なので $\delta(A)=1$ 。
(3)　 $A=\mathbb{Z}_{(p)}$ 。 $\ell(A/(p))=1$ で、 $\ell(A/(p^n))=n$ は有界でないから $\delta(A)=1$ 。
(4)　 $A=k[x]/(x^2)$ や $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$ のようなアルティン局所環では $\ell(A)<\infty$ なので $\delta(A)=0$ 。

第1回の命題10

$P$ を環 $A$ の素イデアルとする。

(1)　 $\operatorname{ht}P=\dim A_P$ 。
(2)　 $\operatorname{coht}P=\dim A/P$ 。
(3)　 $\operatorname{ht}P+\operatorname{coht}P\le\dim A$ 。
(4)　 $\dim A=\sup_M\operatorname{ht}M$ （ $M$ は極大イデアルの全体を動く）。

第1回の定義12 イデアルの高さ

環 $A$ のイデアル $J\neq A$ について、 $J$ を含む素イデアルの高さの下限を $J$ の高さと呼び、 $\operatorname{ht}J$ と書く。このとき $\operatorname{ht}J+\dim A/J\le\dim A$ が成り立つ。

第4回の定理17 次元は超越次数

$B$ を体 $k$ 上有限生成の整域とし、 $d=\operatorname{trdeg}_k\operatorname{Frac}(B)$ とする。

(1)　 $\dim B=d$ 。
(2)　 $(0)$ から極大イデアルまでの飽和した素イデアルの鎖 $(0)=Q_0\subsetneq Q_1\subsetneq\cdots\subsetneq Q_m$ の長さ $m$ は、すべて $d$ である。
(3)　 $B$ のすべての素イデアル $P$ について $\operatorname{ht}P+\dim B/P=\dim B$ 。

図で読む代数幾何第10回の定義11 因子と次数

$C$ の点を基底とする自由アーベル群を $\operatorname{Div}(C)$ と書き、その元を因子と呼ぶ。因子は、有限個の点 $P$ と整数 $n_P$ を使って $D=\sum_Pn_PP$ と書ける。 $\deg D=\sum_Pn_P$ を $D$ の次数と呼ぶ。すべての $n_P\geq0$ のとき $D$ を有効と呼び、 $D\geq0$ と書く。

図で読む代数幾何第9回の例14 円と直線 $x=2$

(1)　 $k=\mathbb{R}$ では、円 $x^2+y^2=1$ と直線 $x=2$ は交わらない。 $4+y^2=1$ をみたす実数 $y$ がないからである。
(2)　 $k=\mathbb{C}$ では、 $y^2=-3$ から2点 $(2,\pm i\sqrt3)$ で交わり、命題6の $f(2,t)=t^2+3$ の単根なので、どちらも $I=1$ 。無限遠では $x_1=2x_0$ と $x_0=0$ から $x_1=0$ 、円の式から $x_2=0$ となり、交点はない。合計2。
(3)　 $\mathbb{R}$ の上の環で見ると、 $\mathbb{R}[x,y]/(x-2,\ x^2+y^2-1)\cong\mathbb{R}[y]/(y^2+3)\cong\mathbb{C}$ で、 $\mathbb{R}$ 上2次元である。

第7回の命題8

$(A,M,k)$ を $d$ 次元のネーター局所環とする。 $x_1,\dots,x_d\in M$ で、 $(x_1,\dots,x_d)$ が $M$ 準素イデアルになるものがある。とくに $\dim A\ge\delta(A)$ 。

第6回の命題27 非零因子で割る

$(A,M)$ をネーター局所環、 $N\neq0$ を有限生成 $A$ 加群、 $x\in M$ を $N$ の非零因子（ $xu=0,\ u\in N\Rightarrow u=0$ ）とする。このとき

d(N/xN)\le d(N)-1

\begin{aligned}d(N/xN) &\le d(N)-1\end{aligned}

特に、 $x\in M$ が $A$ の非零因子なら $d(A/xA)\le d(A)-1$ 。

第4回の系18 局所次元

$B$ を体 $k$ 上有限生成の整域とする。 $B$ のすべての極大イデアル $M$ について $\dim B_M=\dim B$ 。

第1回の例14 平面とそれを貫く直線

$A=k[x,y,z]/(xz,\ yz)$ とする。 $V(xz,\ yz)$ は平面 $z=0$ と直線 $x=y=0$ （ $z$ 軸）の和で、 $\dim A=2$ 。直線の上の点 $(0,0,1)$ に対応する極大イデアル $M=(x,\ y,\ z-1)$ について $\operatorname{ht}M=1$ 、 $\operatorname{coht}M=0$ である。

第5回の定義1 次数付き環・次数付き加群

(1)　環 $A$ が加法群として $A=\bigoplus_{n\ge0}A_n$ と直和に分かれ、 $A_mA_n\subseteq A_{m+n}$ をみたすとき、 $A$ を次数付き環と呼ぶ。 $A_n$ の元を次数 $n$ の斉次元と呼ぶ。 $A_0$ は部分環で、各 $A_n$ は $A_0$ 加群である。 $A_+=\bigoplus_{n>0}A_n$ はイデアルで、 $A/A_+\cong A_0$ 。
(2)　 $A$ 加群 $M$ が $M=\bigoplus_{n\ge0}M_n$ と分かれ、 $A_mM_n\subseteq M_{m+n}$ をみたすとき、 $M$ を次数付き $A$ 加群と呼ぶ。 $x\in M$ を $x=\sum_n x_n$ （ $x_n\in M_n$ ）と書いたときの $x_n$ を、 $x$ の次数 $n$ の斉次成分と呼ぶ。
(3)　斉次元で生成される部分加群を斉次部分加群、斉次元で生成されるイデアルを斉次イデアルと呼ぶ。

第5回の命題3

次数付き $A$ 加群 $M$ の部分加群 $N$ について、 $N$ が斉次部分加群であることと、 $N$ の元の斉次成分がすべて $N$ に入ることは同値である。このとき $N=\bigoplus_n N_n$ （ $N_n=N\cap M_n$ ）で、 $M/N=\bigoplus_n M_n/N_n$ は次数付き $A$ 加群である。

第7回の系7 高さは有限

$A$ をネーター環とする。

(1)　 $A$ の素イデアル $P$ の高さは有限である。 $A\neq J$ となるイデアル $J$ の高さも有限である。
(2)　 $A$ の素イデアルの真の減少列 $P_0\supsetneq P_1\supsetneq\cdots$ は有限で止まる。
(3)　ネーター局所環の次元は有限である。

第4回の系16 多項式環の次元

$k$ を体、 $R=k[x_1,\dots,x_n]$ とする。

(1)　 $\dim R=n$ 。
(2)　 $R$ のすべての極大イデアル $N$ について $\operatorname{ht}N=\dim R_N=n$ 。

すべてのイデアルが有限個の元で生成される可換環。イデアルの増大列 $J_1\subseteq J_2\subseteq\cdots$ が必ずどこかで止まる、と言っても同じ。

環 $A$ の元 $x$ で、 $xy=0$ なら $y=0$ となるもの。整域では0でない元はすべて非零因子。例： $k[x,y]/(xy)$ の $x+y$ は非零因子だが、 $x$ は $x\cdot y=0$ なので非零因子でない。

掛けて1になる相手（逆元）をもつ環の元。例： $\mathbb{Z}$ の単元は $\pm1$ 、体では0以外のすべての元。

素イデアル $P$ の $n$ 乗の記号的べき $P^{(n)}=P^nA_P\cap A$ 。 $P$ の生成点のまわりで $n$ 位以上消える元の全体で、 $P^n$ を含む $P$ 準素イデアル。例： $k[x,y,z]/(xy-z^2)$ の $P=(x,z)$ では $x\in P^{(2)}$ だが $x\notin P^2$ 。

イデアル $J$ を含む素イデアルのうち、包含について極小なもの。 $V(J)$ の既約成分の生成点に当たる。ネーター環では有限個しかない。

極大イデアルがただ1つの可換環。極大イデアルに入らない元はすべて単元になる。例：素イデアル $P$ での局所化 $A_P$ （極大イデアルは $a/s$ （ $a\in P$ ）の全体）、 $k[x]/(x^2)$ 、 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 。

イデアル $q\neq A$ で、 $xy\in q$ かつ $x\notin q$ なら $y$ のあるべきが $q$ に入るもの。根基 $P=\sqrt q$ は素イデアルで、 $q$ を $P$ -準素と呼ぶ。例： $\mathbb{Z}$ の $(p^n)$ 、 $k[x,y]$ の $(x^2,y)$ 。

既約な閉集合 $Z$ に対して、閉包がちょうど $Z$ になる点を $Z$ の生成点と呼ぶ。 $\operatorname{Spec}k[x,y]$ では、素イデアル $(0)$ に対応する点が平面全体の生成点になる。

イデアル $J$ の根基 $\sqrt J$ は、ある $n\ge1$ で $x^n\in J$ となる元 $x$ の全体。 $J$ を含む素イデアルすべての共通部分に等しい。例： $k[x,y]$ で $\sqrt{(x^2,\,xy)}=(x)$ 。

環 $A$ のべき零元（ $f^n=0$ となる元）の全体。素イデアル全体の共通部分に等しい。

ネーター局所環 $(A,M)$ と $M$ -準素イデアル $q$ について、大きな $n$ で $\ell(A/q^n)$ に一致する $n$ の多項式。次数は $q$ によらない。例： $k[x,y]_{(x,y)}$ で $q=(x,y)$ なら $n(n+1)/2$ 。

局所環 $A$ の極大イデアルを $M$ 、有限生成 $A$ 加群を $N$ とする。 $MN=N$ なら $N=0$ 。とくに部分加群 $N'$ について $N=N'+MN$ なら $N=N'$ で、 $N/MN$ を張る元は $N$ を生成する。

環 $A$ の上の加群（ $A$ 加群）とは、足し算について可換群で、 $A$ の元を掛けられ、分配法則などベクトル空間と同じ規則をみたすもの。体の上の加群はベクトル空間で、 $A$ のイデアルも $A$ 加群。

イデアルの減少列 $J_1\supseteq J_2\supseteq\cdots$ が必ずどこかで止まる可換環。体 $k$ 上有限次元の環はアルティン環である。アルティン環は、極大イデアルでの局所化の有限個の積 $A\cong\prod_MA_M$ に分かれる（構造定理）。

0 でない元どうしの積が0にならない可換環（ $ab=0$ なら $a=0$ または $b=0$ ）。例： $\mathbb{Z}$ 、体上の多項式環。 $A/P$ が整域であることと、 $P$ が素イデアルであることは同値。

アフィン空間 $\mathbb{A}^n$ （や射影空間）の中で、定数でない1つの多項式 $f$ の零点 $V(f)$ として表される集合。単項イデアル定理から、各既約成分の次元は $n-1$ である。例： $\mathbb{A}^3$ の錐面 $xy=z^2$ 。

整域 $A$ の元の分数 $a/b$ （ $b\neq0$ ）全体がなす体。 $\operatorname{Frac}A$ と書く。例： $\mathbb{Z}$ の商体は $\mathbb{Q}$ 、 $k[x]$ の商体は有理関数体 $k(x)$ 。

体の拡大 $K/k$ で、 $k$ 上代数的に独立な元をできるだけ多くとったときの個数。例：有理関数体 $k(x_1,\dots,x_n)$ の $k$ 上の超越次数は $n$ 。

0 でも単元でもない元が、既約元の積に、順番と単元倍を除いて一通りに分解できる整域。例： $\mathbb{Z}$ 、体上の多項式環 $k[x_1,\dots,x_n]$ 。ここでは既約元が生成するイデアルは素イデアルになる。

一意分解整域 $R$ と商体 $K$ について、係数に共通の因子がない（原始的な） $f\in R[y]$ が $K[y]$ で $g\in R[y]$ を割り切れば、 $R[y]$ でも割り切る。また、次数1以上の原始的な既約多項式は $K[y]$ でも既約である。とくに $R[y]$ も一意分解整域になる。

定数でない1変数多項式が、必ずその体の中に根をもつ体。例： $\mathbb{C}$ 。 $\mathbb{R}$ は代数閉体ではない（ $x^2+1$ に根がない）。代数閉体は必ず無限体である。

定数でなく、定数でない2つの多項式の積に分解できない多項式。例： $\mathbb{R}[x]$ の $x^2+1$ 。 $\mathbb{C}[x]$ では $(x+i)(x-i)$ と分解するので既約ではない。

環 $A$ をイデアル $J$ で割った環 $A/J$ 。差が $J$ に入る元どうしを同じとみなす。例： $k[x,y]/(y)\cong k[x]$ 。

$ab=0$ となる 0 でない $b$ がある、0 でない元 $a$ 。例： $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ の $2$ （ $2\cdot3=0$ ）。体や整域には零因子がない。

整域 $V$ で、商体の0でない元 $h$ について $h\in V$ か $1/h\in V$ のどちらかが成り立つもの。局所環である。ネーター環である付値環は体か離散付値環で、それ以外の付値環は単項イデアル定理が成り立たない例になる。

イデアル $J$ が有限個の素イデアルの和集合 $P_1\cup\cdots\cup P_n$ に含まれれば、ある $P_i$ に含まれる、という命題。どの $P_i$ にも含まれないなら、どの $P_i$ にも入らない $J$ の元がとれる。

$d$ 次元のネーター局所環 $(A,M)$ の元 $x_1,\dots,x_d\in M$ で、 $(x_1,\dots,x_d)$ が $M$ 準素イデアルになるもの。パラメータ系とも言う。例： $k[x,y]_{(x,y)}$ の $x,y$ や $x^2,y^3$ 。次元定理から、必ず存在する。

余次元 $r$ の図形で、そのイデアルが $r$ 個の元で生成されるもの（ $r$ 本の式でちょうど切り出せるもの）。例：ねじれ3次曲線 $V(y-x^2,\ z-x^3)\subseteq\mathbb{A}^3$ 。曲線 $(t^3,t^4,t^5)$ のイデアルは高さ2だが2個の元で生成されず、完全交叉でない。

素イデアルがちょうど2つ（ $(0)$ と極大イデアル）の単項イデアル整域。例： $\mathbb{Z}_{(p)}$ 、 $k[x]_{(x)}$ 。0でない元は $\pi^n u$ （ $\pi$ は極大イデアルの生成元、 $u$ は単元）と一通りに書け、 $n$ が「その点で何位の零点か」を表す。

すべてのイデアルが1つの元で生成される整域。例： $\mathbb{Z}$ 、体上の1変数多項式環 $k[x]$ 。素イデアルは $(0)$ と、既約元が生成する $(p)$ だけで、 $(p)$ は極大イデアルになる。

ネーター局所環 $(A,M)$ の元 $y_1,\dots,y_r\in M$ が解析的に独立とは、 $A$ 係数の斉次多項式 $f$ が $f(y_1,\dots,y_r)=0$ をみたせば、 $f$ の係数がすべて $M$ に入ること。巴系は解析的に独立である。例： $k[x,y]_{(x,y)}$ の $x,y$ は独立、 $x,\ xy$ は $yX-Y$ が関係式になり独立でない。

演算が可換（ $a+b=b+a$ ）な群。演算を足し算で書くことが多い。例： $\mathbb{Z}^d$ 、 $\mathbb{Z}/q$ 、それらの直積。

参考文献

M. F. アティヤ, I. G. マクドナルド（新妻弘訳）, 『可換代数入門』, 共立出版, 2006.
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