巴系をもう一度
第7回 の次元定理で、ネーター局所環 の次元は「原点だけを切り出すのに要る元の個数」でもあることが分かりました。そのとき、ちょうど次元の個数だけの元で原点を切り出す組を巴系 と呼びました。今回は、この巴系 の性質を詳しく調べます。
この記事を通して、( A , M , k ) (A,M,k) ( A , M , k ) ネーター局所環 （M M M 極大イデアル、k = A / M k=A/M k = A / M 剰余体）、d = dim A d=\dim A d = dim A ℓ ( ⋅ ) \ell(\,\cdot\,) ℓ ( ⋅ ) A A A 加群の長さ です。
おさらい 次元定理と δ ( A ) \delta(A) δ ( A )
M M M 準素イデアル の生成元の個数の最小値を δ ( A ) \delta(A) δ ( A ) 書きました（第7回の定義2 ）。x 1 , … , x n ∈ M x_1,\dots,x_n\in M x 1 , … , x n ∈ M ついて、( x 1 , … , x n ) (x_1,\dots,x_n) ( x 1 , … , x n ) M M M ことは、ℓ ( A / ( x 1 , … , x n ) ) < ∞ \ell(A/(x_1,\dots,x_n))<\infty ℓ ( A / ( x 1 , … , x n )) < ∞ 同じです（第7回の補題1 ）。
次元定理（第7回の定理4 ）は、3つの数が等しいという主張でした。
dim A = d ( A ) = δ ( A ) d ( A ) = deg n ℓ ( A / M n ) \dim A\;=\;d(A)\;=\;\delta(A)\qquad d(A)=\deg_n\ell(A/M^n) dim A = d ( A ) = δ ( A ) d ( A ) = deg n ℓ ( A / M n ) dim A = d ( A ) = δ ( A ) d ( A ) = deg n ℓ ( A / M n ) \begin{gathered}\dim A\;=\;d(A)\;=\;\delta(A)\\d(A)=\deg_n\ell(A/M^n)\end{gathered} dim A = d ( A ) = δ ( A ) d ( A ) = deg n ℓ ( A / M n ) dim A = d ( A ) = δ ( A ) d ( A ) = deg n ℓ ( A / M n ) \begin{aligned}\dim A &= d(A)\\&= \delta(A)\\[4pt]d(A) &= \deg_n\ell(A/M^n)\end{aligned} dim A d ( A ) = d ( A ) = δ ( A ) = deg n ℓ ( A / M n ) この記事では主に dim A = δ ( A ) \dim A=\delta(A) dim A = δ ( A ) 使います。「n n n 元で M M M 準素イデアル が生成できれば dim A ≤ n \dim A\le n dim A ≤ n 「d d d 元で生成される M M M 準素イデアル がある」の2つです。後者は素イデアル回避 で元を1つずつ選んで示しました（第7回の命題8 ）。
第7回の最後に、巴系 で1つずつ割ると次元がちょうど1ずつ下がることを見ました。
A ⟶ A / ( x 1 ) ⟶ A / ( x 1 , x 2 ) d d − 1 d − 2 ⟶ ⋯ ⟶ A / ( x 1 , … , x d ) ⋯ 0 {}\begin{gathered} \begin{array}{ccccc} A & \longrightarrow & A/(x_1) & \longrightarrow & A/(x_1,x_2) \\[4pt] d && d-1 && d-2 \end{array}\\[10pt] \begin{array}{cccc} \longrightarrow & \cdots & \longrightarrow & A/(x_1,\dots,x_d) \\[4pt] & \cdots && 0 \end{array} \end{gathered} A d ⟶ A / ( x 1 ) d − 1 ⟶ A / ( x 1 , x 2 ) d − 2 ⟶ ⋯ ⋯ ⟶ A / ( x 1 , … , x d ) 0 今回はこれを命題として証明し、逆向き（どんな元の組なら巴系 に延ばせるか）も調べます。さらに、巴系 の一部が生成するイデアルの高さ、巴系 の元の間に関係式がないこと（解析的独立）、完備な局所環 がべき級数環の上で有限になることを扱います。
例として何度も使うのは、第1回 から登場している「平面と、それを貫く直線」の局所環 です（第1回の例14 、第7回の例9 ）。
A = k [ x , y , z ] ( x , y , z ) / ( x z , y z ) V ( x z , y z ) = { z = 0 } ∪ { x = y = 0 } A=k[x,y,z]_{(x,y,z)}/(xz,\ yz)\qquad V(xz,\ yz)=\{z=0\}\cup\{x=y=0\} A = k [ x , y , z ] ( x , y , z ) / ( x z , y z ) V ( x z , y z ) = { z = 0 } ∪ { x = y = 0 } A = k [ x , y , z ] ( x , y , z ) / ( x z , y z ) V ( x z , y z ) = { z = 0 } ∪ { x = y = 0 } \begin{gathered}A=k[x,y,z]_{(x,y,z)}/(xz,\ yz)\\V(xz,\ yz)=\{z=0\}\cup\{x=y=0\}\end{gathered} A = k [ x , y , z ] ( x , y , z ) / ( x z , y z ) V ( x z , y z ) = { z = 0 } ∪ { x = y = 0 } A = k [ x , y , z ] ( x , y , z ) / ( x z , y z ) V ( x z , y z ) = { z = 0 } ∪ { x = y = 0 } \begin{aligned}A &= k[x,y,z]_{(x,y,z)}/(xz,\ yz)\\[4pt]V(xz,\ yz) &= \{z=0\}\cup\{x=y=0\}\end{aligned} A V ( x z , y z ) = k [ x , y , z ] ( x , y , z ) / ( x z , y z ) = { z = 0 } ∪ { x = y = 0 } 平面は2次元、直線は1次元で、成分の次元がそろっていません。巴系 の性質の多くは、このような環で崩れ方を見るとよく分かります。
巴系の定義と例
第7回では本文で定義しただけだったので、ここで定義として述べ直します。
定義1 巴系 [1 , §14, p.125–126; 2 , 11.2節, p.189; 3 , 定義2.41 (1), p.80; 4 , §7.4, p.129]
( A , M , k ) (A,M,k) ( A , M , k ) d d d ネーター局所環 とする。x 1 , … , x d ∈ M x_1,\dots,x_d\in M x 1 , … , x d ∈ M ( x 1 , … , x d ) (x_1,\dots,x_d) ( x 1 , … , x d ) M M M 準素イデアル になるものを A A A 巴系 （パラメータ系）と呼ぶ。言い換えると、次のどれかが成り立つ d d d 元である。
( x 1 , … , x d ) = M ⟺ V ( x 1 , … , x d ) = { M } ⟺ ℓ ( A / ( x 1 , … , x d ) ) < ∞ \begin{aligned} &\sqrt{(x_1,\dots,x_d)}=M\\ \iff{}&V(x_1,\dots,x_d)=\{M\}\\ \iff{}&\ell\bigl(A/(x_1,\dots,x_d)\bigr)<\infty \end{aligned} ⟺ ⟺ ( x 1 , … , x d ) = M V ( x 1 , … , x d ) = { M } ℓ ( A / ( x 1 , … , x d ) ) < ∞
巴系 はいつも存在し（第7回の命題8 ）、d d d 少ない元では M M M 準素イデアル を生成できません（第7回の定理4 ）。巴系 は「原点を切り出せる最少の個数の元の組」です。
名前について補足します。「巴系 」は松村と後藤・渡辺の用語で、アティヤ・マクドナルドは「パラメーター系」、堀田は「パラメータ系」と呼んでいます。堀田は、局所環 を点のまわりの関数の環とみて、巴系 を「座標系」になぞらえています[4 , §7.4, p.129–130] 。
おさらい M M M
ネーター局所環 ( A , M ) (A,M) ( A , M ) イデアル J ⊆ M J\subseteq M J ⊆ M ついて、J J J M M M 準素イデアル であることは、次のどれとも同値でした（第7回の補題1 、第6回の命題6 ）。
J = M ⟺ M r ⊆ J ( ∃ r ) ⟺ ℓ ( A / J ) < ∞ \sqrt J=M\iff M^r\subseteq J\ \ (\exists\,r)\iff\ell(A/J)<\infty J = M ⟺ M r ⊆ J ( ∃ r ) ⟺ ℓ ( A / J ) < ∞ J = M ⟺ M r ⊆ J ( ∃ r ) ⟺ ℓ ( A / J ) < ∞ \begin{aligned}\sqrt J &= M\\&\iff M^r\\&\subseteq J\ \ (\exists\,r)\\&\iff \ell(A/J)\\&< \infty\end{aligned} J = M ⟺ M r ⊆ J ( ∃ r ) ⟺ ℓ ( A / J ) < ∞ A = k [ x , y ] ( x , y ) A=k[x,y]_{(x,y)} A = k [ x , y ] ( x , y ) ( x 2 , y 3 ) (x^2,\ y^3) ( x 2 , y 3 ) M 4 M^4 M 4 含むので M M M A / ( x 2 , y 3 ) A/(x^2,y^3) A / ( x 2 , y 3 ) 基底は x a y b x^ay^b x a y b a < 2 , b < 3 a<2,\ b<3 a < 2 , b < 3 6個で、長さは6です。( x 2 , x y ) (x^2,\ xy) ( x 2 , x y ) V ( x 2 , x y ) V(x^2,xy) V ( x 2 , x y ) 直線 x = 0 x=0 x = 0 生成点 ( x ) (x) ( x ) 残るので、M M M ありません。
剰余体が k k k とき、A / J A/J A / J 長さは k k k 次元に等しくなります。組成列 の各段が A / M ≅ k A/M\cong k A / M ≅ k
例2 巴系 [4 , §7.4, p.129–130]
(1) A = k [ x 1 , … , x d ] ( x 1 , … , x d ) A=k[x_1,\dots,x_d]_{(x_1,\dots,x_d)} A = k [ x 1 , … , x d ] ( x 1 , … , x d ) x 1 , … , x d x_1,\dots,x_d x 1 , … , x d 巴系 である。正の整数 n 1 , … , n d n_1,\dots,n_d n 1 , … , n d ついて x 1 n 1 , … , x d n d x_1^{n_1},\dots,x_d^{n_d} x 1 n 1 , … , x d n d 巴系 で、ℓ ( A / ( x 1 n 1 , … , x d n d ) ) = n 1 n 2 ⋯ n d \ell\bigl(A/(x_1^{n_1},\dots,x_d^{n_d})\bigr)=n_1n_2\cdots n_d ℓ ( A / ( x 1 n 1 , … , x d n d ) ) = n 1 n 2 ⋯ n d A = k [ x , y ] ( x , y ) A=k[x,y]_{(x,y)} A = k [ x , y ] ( x , y ) y − x 2 , x y-x^2,\ x y − x 2 , x y − x 2 , y y-x^2,\ y y − x 2 , y x y , x + y xy,\ x+y x y , x + y 巴系 である。長さはそれぞれ 1 , 2 , 2 1,\ 2,\ 2 1 , 2 , 2 一方 x , x y x,\ xy x , x y x 2 , x y x^2,\ xy x 2 , x y 巴系 でない。局所整域 （k [ x ] ( x ) k[x]_{(x)} k [ x ] ( x ) Z ( p ) \mathbb{Z}_{(p)} Z ( p ) M M M 0でない元1つが巴系 である。例えば ℓ ( Z ( p ) / ( p n ) ) = n \ell(\mathbb{Z}_{(p)}/(p^n))=n ℓ ( Z ( p ) / ( p n )) = n 局所環 では、空の組が巴系 である。直線 A = k [ x , y , z ] ( x , y , z ) / ( x z , y z ) A=k[x,y,z]_{(x,y,z)}/(xz,yz) A = k [ x , y , z ] ( x , y , z ) / ( x z , y z ) x + z , y x+z,\ y x + z , y x , y + z x,\ y+z x , y + z x + z , y + z x+z,\ y+z x + z , y + z 巴系 で、長さはどれも2。
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる (1)
( x 1 n 1 , … , x d n d ) \sqrt{(x_1^{n_1},\dots,x_d^{n_d})} ( x 1 n 1 , … , x d n d ) は
x 1 , … , x d x_1,\dots,x_d x 1 , … , x d を
含むので M M M 剰余環 の基底は、各 i i i a i < n i a_i<n_i a i < n i なる単項式 x 1 a 1 ⋯ x d a d x_1^{a_1}\cdots x_d^{a_d} x 1 a 1 ⋯ x d a d その個数は n 1 ⋯ n d n_1\cdots n_d n 1 ⋯ n d (2) ( y − x 2 , x ) = ( x , y ) = M (y-x^2,\ x)=(x,y)=M ( y − x 2 , x ) = ( x , y ) = M y = x 2 y=x^2 y = x 2 代入して A / ( y − x 2 , y ) ≅ k [ x ] ( x ) / ( x 2 ) A/(y-x^2,\ y)\cong k[x]_{(x)}/(x^2) A / ( y − x 2 , y ) ≅ k [ x ] ( x ) / ( x 2 ) y = − x y=-x y = − x 代入して A / ( x y , x + y ) ≅ k [ x ] ( x ) / ( x 2 ) A/(xy,\ x+y)\cong k[x]_{(x)}/(x^2) A / ( x y , x + y ) ≅ k [ x ] ( x ) / ( x 2 ) 詳しく 閉じる
( x , x y ) = ( x ) (x,\ xy)=(x) ( x , x y ) = ( x ) A / ( x ) ≅ k [ y ] ( y ) A/(x)\cong k[y]_{(y)} A / ( x ) ≅ k [ y ] ( y ) 1 , y , y 2 , … 1,y,y^2,\dots 1 , y , y 2 , … 1次独立なので長さは無限。( x 2 , x y ) ⊆ ( x ) (x^2,\ xy)\subseteq(x) ( x 2 , x y ) ⊆ ( x ) A / ( x 2 , x y ) A/(x^2,xy) A / ( x 2 , x y ) A / ( x ) A/(x) A / ( x ) 全射し、こちらも長さは無限である。
(3) 1次元の
局所整域 の素イデアルは ( 0 ) (0) ( 0 ) M M M a ≠ 0 a\neq0 a = 0 ( a ) (a) ( a ) 含む素イデアルは M M M ( a ) = M \sqrt{(a)}=M ( a ) = M (5) x + z , y x+z,\ y x + z , y 第7回の例9 で計算した。A / ( x , y + z ) A/(x,\ y+z) A / ( x , y + z ) z = − y z=-y z = − y 代入して k [ y , z ] / ( y z , y + z ) ≅ k [ y ] / ( y 2 ) k[y,z]/(yz,\ y+z)\cong k[y]/(y^2) k [ y , z ] / ( y z , y + z ) ≅ k [ y ] / ( y 2 ) A / ( x + z , y + z ) A/(x+z,\ y+z) A / ( x + z , y + z ) z = − x , y = x z=-x,\ y=x z = − x , y = x 代入して k [ x ] / ( x 2 ) k[x]/(x^2) k [ x ] / ( x 2 ) 詳しく 閉じる
A / ( x , y + z ) A/(x,\ y+z) A / ( x , y + z ) x = 0 x=0 x = 0 x z = 0 xz=0 x z = 0 y z = − y 2 yz=-y^2 y z = − y 2 なる。A / ( x + z , y + z ) A/(x+z,\ y+z) A / ( x + z , y + z ) z = − x z=-x z = − x y = − z = x y=-z=x y = − z = x x z = − x 2 xz=-x^2 x z = − x 2 y z = − x 2 yz=-x^2 y z = − x 2 なる。どちらも基底は2個である。
(1) の x 1 n 1 , … , x d n d x_1^{n_1},\dots,x_d^{n_d} x 1 n 1 , … , x d n d 巴系 の各元をべきに替えても巴系 のままです。根基 が変わらないからです。巴系 は無数にあり、生成するイデアルも長さもいろいろです。
(2) の x , x y x,\ xy x , x y x x x 切った直線 x = 0 x=0 x = 0 上で x y xy x y 恒等的に0なので、2回目の切断で何も切れていません。(5) の環でも、z z z 始めると失敗しました。平面の上で z z z 恒等的に0だからです。
次の節では、この「どの元なら切れるか」を正確に述べます。
一部で割る：次元は1つずつ下がる
おさらい 剰余環の素イデアルと次元
剰余環 A / J A/J A / J 素イデアルは、J J J 含む A A A 素イデアル Q Q Q 像 Q / J Q/J Q / J 包含を保って1対1に対応します。環の準同型と Spec の写像は向きが逆です。
A → π A / J Spec A ⊇ V ( J ) ← ≅ π − 1 Spec ( A / J ) \begin{array}{ccc} A & \xrightarrow{\ \ \pi\ \ } & A/J \\[4pt] \begin{gathered}\operatorname{Spec}A\\ \supseteq\ V(J)\end{gathered} & \xleftarrow[\ \cong\ ]{\ \ \pi^{-1}\ \ } & \operatorname{Spec}(A/J) \end{array} A Spec A ⊇ V ( J ) π π − 1 ≅ A / J Spec ( A / J ) そのため dim A / J \dim A/J dim A / J J J J 含む素イデアル Q Q Q ついての dim A / Q \dim A/Q dim A / Q 最大値です。最大値は J J J 極小素イデアル （有限個）でとれます。J J J 極小素イデアル の集合を Min ( J ) \operatorname{Min}(J) Min ( J ) 書くと、次のとおりです。
dim A / J = max { dim A / P ∣ P ∈ Min ( J ) } \begin{aligned} \dim A/J&=\max\{\dim A/P\mid{}\\ &\qquad P\in\operatorname{Min}(J)\} \end{aligned} dim A / J = max { dim A / P ∣ P ∈ Min ( J )} 例えば k [ x , y , z ] ( x , y , z ) k[x,y,z]_{(x,y,z)} k [ x , y , z ] ( x , y , z ) J = ( x z , y z ) = ( z ) ∩ ( x , y ) J=(xz,\ yz)=(z)\cap(x,y) J = ( x z , y z ) = ( z ) ∩ ( x , y ) dim A / ( z ) = 2 \dim A/(z)=2 dim A / ( z ) = 2 dim A / ( x , y ) = 1 \dim A/(x,y)=1 dim A / ( x , y ) = 1 dim A / J = 2 \dim A/J=2 dim A / J = 2
1つの元で割ったときの次元については、第8回で次のことを示しました（第8回の命題16 ）。ネーター局所環 A A A x ∈ M x\in M x ∈ M ついて dim A / x A ≥ dim A − 1 \dim A/xA\ge\dim A-1 dim A / x A ≥ dim A − 1 等号が成り立つのは、dim A / P = dim A \dim A/P=\dim A dim A / P = dim A なるどの素イデアル P P P x x x 入らないとき、またそのときに限ります（そのような P P P 極小素イデアル です）。
次の命題は、これを巴系 の言葉で精密にしたものです。(3) は、等号が成り立つ条件を「必要十分」にしています。
命題3 巴系の一部で割る [1 , 定理14.1 i), p.126; 3 , 命題2.42, p.80; 2 , 系11.18, p.189]
( A , M , k ) (A,M,k) ( A , M , k ) d d d ネーター局所環 とする。
(1) x 1 , … , x d x_1,\dots,x_d x 1 , … , x d 巴系 なら、0 ≤ i ≤ d 0\le i\le d 0 ≤ i ≤ d ついて dim A / ( x 1 , … , x i ) = d − i \dim A/(x_1,\dots,x_i)=d-i dim A / ( x 1 , … , x i ) = d − i x i + 1 , … , x d x_{i+1},\dots,x_d x i + 1 , … , x d 像は A / ( x 1 , … , x i ) A/(x_1,\dots,x_i) A / ( x 1 , … , x i ) 巴系 である。x 1 , … , x i ∈ M x_1,\dots,x_i\in M x 1 , … , x i ∈ M ついて、x 1 , … , x i x_1,\dots,x_i x 1 , … , x i ある巴系 x 1 , … , x d x_1,\dots,x_d x 1 , … , x d 最初の i i i できることは、dim A / ( x 1 , … , x i ) = d − i \dim A/(x_1,\dots,x_i)=d-i dim A / ( x 1 , … , x i ) = d − i 同値である。f ∈ M f\in M f ∈ M 巴系 の一部になることは、dim A / P = d \dim A/P=d dim A / P = d なるどの素イデアル P P P f f f 入らないことと同値である。とくに A A A 非零因子 f ∈ M f\in M f ∈ M 巴系 の一部で、dim A / f A = d − 1 \dim A/fA=d-1 dim A / f A = d − 1
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる (1) A ˉ = A / ( x 1 , … , x i ) \bar A=A/(x_1,\dots,x_i) A ˉ = A / ( x 1 , … , x i ) x i + 1 , … , x d x_{i+1},\dots,x_d x i + 1 , … , x d 像は A ˉ \bar A A ˉ M M M 準素イデアル を生成するので、次元定理から dim A ˉ ≤ d − i \dim\bar A\le d-i dim A ˉ ≤ d − i 詳しく 閉じる
A ˉ / ( x ˉ i + 1 , … , x ˉ d ) = A / ( x 1 , … , x d ) \bar A/(\bar x_{i+1},\dots,\bar x_d)=A/(x_1,\dots,x_d) A ˉ / ( x ˉ i + 1 , … , x ˉ d ) = A / ( x 1 , … , x d ) 長さは有限である。よって ( x ˉ i + 1 , … , x ˉ d ) (\bar x_{i+1},\dots,\bar x_d) ( x ˉ i + 1 , … , x ˉ d ) A ˉ \bar A A ˉ 極大イデアル M ˉ = M / ( x 1 , … , x i ) \bar M=M/(x_1,\dots,x_i) M ˉ = M / ( x 1 , … , x i ) 準素イデアル で、δ ( A ˉ ) ≤ d − i \delta(\bar A)\le d-i δ ( A ˉ ) ≤ d − i 次元定理（第7回の定理4 ）を A ˉ \bar A A ˉ 使う。
逆に e = dim A ˉ e=\dim\bar A e = dim A ˉ A ˉ \bar A A ˉ 巴系 y ˉ 1 , … , y ˉ e \bar y_1,\dots,\bar y_e y ˉ 1 , … , y ˉ e 代表元を y j ∈ M y_j\in M y j ∈ M する。x 1 , … , x i , y 1 , … , y e x_1,\dots,x_i,y_1,\dots,y_e x 1 , … , x i , y 1 , … , y e A A A M M M 準素イデアル を生成するので d ≤ i + e d\le i+e d ≤ i + e 詳しく 閉じる
A / ( x 1 , … , x i , y 1 , … , y e ) = A ˉ / ( y ˉ 1 , … , y ˉ e ) A/(x_1,\dots,x_i,y_1,\dots,y_e)=\bar A/(\bar y_1,\dots,\bar y_e) A / ( x 1 , … , x i , y 1 , … , y e ) = A ˉ / ( y ˉ 1 , … , y ˉ e ) 長さは有限である。よって d = δ ( A ) ≤ i + e d=\delta(A)\le i+e d = δ ( A ) ≤ i + e
2つを
合わせて dim A ˉ = d − i \dim\bar A=d-i dim A ˉ = d − i x ˉ i + 1 , … , x ˉ d \bar x_{i+1},\dots,\bar x_d x ˉ i + 1 , … , x ˉ d ちょうど d − i d-i d − i M ˉ \bar M M ˉ 準素イデアル を生成するので、A ˉ \bar A A ˉ 巴系 である。 (2)
巴系 の
一部なら (1) から dim A / ( x 1 , … , x i ) = d − i \dim A/(x_1,\dots,x_i)=d-i dim A / ( x 1 , … , x i ) = d − i 逆に dim A / ( x 1 , … , x i ) = d − i \dim A/(x_1,\dots,x_i)=d-i dim A / ( x 1 , … , x i ) = d − i 前のステップと同じく A / ( x 1 , … , x i ) A/(x_1,\dots,x_i) A / ( x 1 , … , x i ) 巴系 d − i d-i d − i 代表元を付け足すと、d d d M M M 準素イデアル を生成し、巴系 になる。 (3) (2) の i = 1 i=1 i = 1 場合なので、「dim A / f A = d − 1 \dim A/fA=d-1 dim A / f A = d − 1 「dim A / P = d \dim A/P=d dim A / P = d なるどの P P P f f f 入らない」が同値であることを示せばよい。詳しく 閉じる
dim A / P = d \dim A/P=d dim A / P = d と
なる P P P 極小素イデアル である。P ′ ⊊ P P'\subsetneq P P ′ ⊊ P あれば、dim A / P ′ ≥ dim A / P + 1 = d + 1 \dim A/P'\ge\dim A/P+1=d+1 dim A / P ′ ≥ dim A / P + 1 = d + 1 なってしまうからである。 f ∈ P f\in P f ∈ P 、
dim A / P = d \dim A/P=d dim A / P = d と
すると、A / f A A/fA A / f A A / P A/P A / P 全射するので dim A / f A ≥ d \dim A/fA\ge d dim A / f A ≥ d よって dim A / f A = d − 1 \dim A/fA=d-1 dim A / f A = d − 1 f f f そのような P P P 入らない。 逆に、
f f f が
そのような P P P 入らないとする。f f f 含む素イデアル Q Q Q ある極小素イデアル P P P 含む。dim A / P = d \dim A/P=d dim A / P = d f ∈ Q ∖ P f\in Q\setminus P f ∈ Q ∖ P Q ⊋ P Q\supsetneq P Q ⊋ P dim A / Q ≤ d − 1 \dim A/Q\le d-1 dim A / Q ≤ d − 1 dim A / P ≤ d − 1 \dim A/P\le d-1 dim A / P ≤ d − 1 dim A / Q ≤ dim A / P ≤ d − 1 \dim A/Q\le\dim A/P\le d-1 dim A / Q ≤ dim A / P ≤ d − 1 よって
dim A / f A ≤ d − 1 \dim A/fA\le d-1 dim A / f A ≤ d − 1 。
一方 dim A / f A ≥ d − 1 \dim A/fA\ge d-1 dim A / f A ≥ d − 1 後半と同じ議論、または第8回の命題16 ）なので、等号が成り立つ。 非零因子 f f f どの極小素イデアル にも入らないので、(3) の条件をみたす。詳しく 閉じる
ネーター環 では、極小素イデアル の元はすべて零因子 である。( 0 ) (0) ( 0 ) 準素分解に現れる素イデアルの和集合が零因子 全体で [2 , 命題4.7, p.81] 、極小素イデアル はその中に現れる [2 , 命題4.6, p.80; 2 , 定理7.13, p.128] 。
(1) の証明で使った「巴系 を持ち上げる」操作を図式にします。上の行は A A A 順に割っていく列、下の行は A ˉ \bar A A ˉ 見た同じ環です。右端の環の長さが有限なので、i + e i+e i + e 元で A A A M M M 準素イデアル が生成でき、d ≤ i + e d\le i+e d ≤ i + e 分かります。
A → A / ( x 1 , … , x i ) ∥ A ˉ → A / ( x 1 , … , x i , y 1 , … , y e ) ∥ → A ˉ / ( y ˉ 1 , … , y ˉ e ) {}\begin{gathered} \begin{CD} A @>>> A/(x_1,\dots,x_i) \\ @. @| \\ @. \bar A \end{CD}\\[6pt] \begin{CD} @>>> A/(x_1,\dots,x_i,\ y_1,\dots,y_e) \\ @. @| \\ @>>> \bar A/(\bar y_1,\dots,\bar y_e) \end{CD} \end{gathered} A A / ( x 1 , … , x i ) A ˉ A / ( x 1 , … , x i , y 1 , … , y e ) A ˉ / ( y ˉ 1 , … , y ˉ e ) (3) の条件は、図形の言葉では「f f f 次元が最大（d d d 成分の上で恒等的に0にならない」ということです。次元が d d d 小さい成分の上では、f f f 恒等的に0でも構いません。
例4 巴系の一部になる元、ならない元
(1) 平面と直線 A = k [ x , y , z ] ( x , y , z ) / ( x z , y z ) A=k[x,y,z]_{(x,y,z)}/(xz,\ yz) A = k [ x , y , z ] ( x , y , z ) / ( x z , y z ) dim A / P = 2 \dim A/P=2 dim A / P = 2 なる素イデアルは ( z ) (z) ( z ) 直線の ( x , y ) (x,y) ( x , y ) dim A / ( x , y ) = 1 \dim A/(x,y)=1 dim A / ( x , y ) = 1 よって f ∈ M f\in M f ∈ M 巴系 の一部になるのは f ∉ ( z ) f\notin(z) f ∈ / ( z ) ときで、x x x x + z x+z x + z y y y なり、z z z ならない。x x x x z = 0 xz=0 x z = 0 零因子 である。A = k [ x , y , z ] ( x , y , z ) A=k[x,y,z]_{(x,y,z)} A = k [ x , y , z ] ( x , y , z ) x y , x + y , z xy,\ x+y,\ z x y , x + y , z 巴系 だが、x y , x xy,\ x x y , x 巴系 の一部にならない（dim A / ( x y , x ) = 2 \dim A/(xy,\ x)=2 dim A / ( x y , x ) = 2 A = k [ x , y ] ( x , y ) / ( x 2 , x y ) A=k[x,y]_{(x,y)}/(x^2,\ xy) A = k [ x , y ] ( x , y ) / ( x 2 , x y ) x = 0 x=0 x = 0 原点に埋め込まれた点）。dim A = 1 \dim A=1 dim A = 1 y y y 零因子 だが巴系 、x x x 巴系 でない。
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる (1)
A A A の
極小素イデアル は
( z ) (z) ( z ) と
( x , y ) (x,y) ( x , y ) で、
A / ( z ) ≅ k [ x , y ] ( x , y ) A/(z)\cong k[x,y]_{(x,y)} A / ( z ) ≅ k [ x , y ] ( x , y ) は
2次元、A / ( x , y ) ≅ k [ z ] ( z ) A/(x,y)\cong k[z]_{(z)} A / ( x , y ) ≅ k [ z ] ( z ) 1次元。x , x + z , y x,\ x+z,\ y x , x + z , y z z z 倍数ではないので ( z ) (z) ( z ) 入らない。 (2) V ( x y ) V(xy) V ( x y ) 平面 x = 0 x=0 x = 0 y = 0 y=0 y = 0 和で、A / ( x y ) A/(xy) A / ( x y ) 2次元の成分は両方の平面である。x x x 平面 x = 0 x=0 x = 0 素イデアル ( x ) (x) ( x ) 入るので、A / ( x y ) A/(xy) A / ( x y ) 巴系 の一部にならない。x + y x+y x + y どちらにも入らない。詳しく 閉じる
A / ( x y , x + y ) A/(xy,\ x+y) A / ( x y , x + y ) y = − x y=-x y = − x 代入して k [ x , z ] ( x , z ) / ( x 2 ) k[x,z]_{(x,z)}/(x^2) k [ x , z ] ( x , z ) / ( x 2 ) これは1次元で（z z z さらに z z z 割ると k [ x ] / ( x 2 ) k[x]/(x^2) k [ x ] / ( x 2 ) 長さは2。( x y , x ) = ( x ) (xy,\ x)=(x) ( x y , x ) = ( x ) A / ( x y , x ) ≅ k [ y , z ] ( y , z ) A/(xy,\ x)\cong k[y,z]_{(y,z)} A / ( x y , x ) ≅ k [ y , z ] ( y , z ) 2次元である。
(3)
A A A の
素イデアルは x x x 含む（x 2 = 0 x^2=0 x 2 = 0 A / ( x ) ≅ k [ y ] ( y ) A/(x)\cong k[y]_{(y)} A / ( x ) ≅ k [ y ] ( y ) 素イデアルは ( x ) (x) ( x ) M M M 2つで、dim A = 1 \dim A=1 dim A = 1 A / ( y ) ≅ k [ x ] / ( x 2 ) A/(y)\cong k[x]/(x^2) A / ( y ) ≅ k [ x ] / ( x 2 ) 長さは2で、y y y 巴系 。x x x ( x ) (x) ( x ) 入る。 (1)(3) から、巴系 の元は非零因子 とは限りません。「非零因子 なら巴系 の一部」は十分条件で、必要条件ではないのです。巴系 の元がすべて非零因子 にとれ、しかも順に割っても非零因子 のままでいられる環が、第12回で扱う予定のコーエン・マコーレー環です。
(1) の様子を、実数の点で描いたのが図1です。
x x x y y y z z z z = 0 z=0 z = 0 z z z V ( x , z ) V(x,z) V ( x , z ) 原点 このブラウザでは立体の図を表示できませんでした（WebGLが必要です）。
Spec A z で割る x で割る x+z で割る x, y+z で割る
斜め 真上 正面
ドラッグで回せます A = k [ x , y , z ] ( x , y , z ) / ( x z , y z ) A=k[x,y,z]_{(x,y,z)}/(xz,\ yz) A = k [ x , y , z ] ( x , y , z ) / ( x z , y z ) 実数の点です。平面 z = 0 z=0 z = 0 素イデアル ( z ) (z) ( z ) z z z （緑、素イデアル ( x , y ) (x,y) ( x , y ) 2つの成分があり、dim A = 2 \dim A=2 dim A = 2
z z z 平面の上で恒等的に0なので、z z z 割っても平面は丸ごと残ります。A / ( z ) ≅ k [ x , y ] ( x , y ) A/(z)\cong k[x,y]_{(x,y)} A / ( z ) ≅ k [ x , y ] ( x , y ) 2次元のままで、z z z 巴系 の一部になりません。
x x x 割ると、平面からは y y y 残り、z z z 丸ごと残ります。どちらも1次元なので dim A / ( x ) = 1 \dim A/(x)=1 dim A / ( x ) = 1 x x x 巴系 の一部です。一方、z z z A A A 成分そのものなので、ht ( x ) = 0 \operatorname{ht}(x)=0 ht ( x ) = 0 「真上」から見ると z z z 1点に潰れ、次の段階と区別できません。
x + z x+z x + z 割ると、残るのは y y y （z z z 上では x + z = z x+z=z x + z = z 原点だけ）。dim A / ( x + z ) = 1 \dim A/(x+z)=1 dim A / ( x + z ) = 1 ht ( x + z ) = 1 \operatorname{ht}(x+z)=1 ht ( x + z ) = 1 「正面」から見ると y y y 1点に潰れます。回すと、前の段階との違いが分かります。
x x x 割った後に y + z y+z y + z 面）で割ると原点だけが残り、A / ( x , y + z ) ≅ k [ y ] / ( y 2 ) A/(x,\ y+z)\cong k[y]/(y^2) A / ( x , y + z ) ≅ k [ y ] / ( y 2 ) 長さは2です。x , y + z x,\ y+z x , y + z 巴系 ですが、その一部 x x x 高さは0でした。
図1 具体例 平面と直線の局所環 A = k [ x , y , z ] ( x , y , z ) / ( x z , y z ) A=k[x,y,z]_{(x,y,z)}/(xz,yz) A = k [ x , y , z ] ( x , y , z ) / ( x z , y z ) z z z x x x y y y z z z x + z x+z x + z y y y x x x x + z x+z x + z x x x z z z
図1で x x x x + z x+z x + z 比べると、どちらで割っても次元は1で、どちらも巴系 の一部です。違うのは、x x x 割ったときに z z z いう成分が丸ごと残ることです。この違いは、次の節で見る「高さ」に現れます。
(1) の巴系 x , y + z x,\ y+z x , y + z 巴系 にならない z z z 始めた列で、次元の変化を並べます。
A dim = 2 → / x k [ y , z ] ( y , z ) / ( y z ) dim = 1 → / ( y + z ) k [ y ] / ( y 2 ) dim = 0 A dim = 2 → / z k [ x , y ] ( x , y ) dim = 2 → / x k [ y ] ( y ) dim = 1 \begin{aligned} &A &&\dim=2\\ &\xrightarrow{\ /x\ } k[y,z]_{(y,z)}/(yz) &&\dim=1\\ &\xrightarrow{\ /(y+z)\ } k[y]/(y^2) &&\dim=0\\[10pt] &A &&\dim=2\\ &\xrightarrow{\ /z\ } k[x,y]_{(x,y)} &&\dim=2\\ &\xrightarrow{\ /x\ } k[y]_{(y)} &&\dim=1 \end{aligned} A / x k [ y , z ] ( y , z ) / ( y z ) / ( y + z ) k [ y ] / ( y 2 ) A / z k [ x , y ] ( x , y ) / x k [ y ] ( y ) dim = 2 dim = 1 dim = 0 dim = 2 dim = 2 dim = 1 下の列は、2つの元で割っても1次元が残り、原点まで切れていません。
巴系と高さ
おさらい イデアルの高さと高さ定理
イデアル J ≠ A J\neq A J = A 高さは、J J J 含む素イデアルの高さの最小値です（第1回の定義12 ）。最小値は J J J 極小素イデアル でとれます。また ht J + dim A / J ≤ dim A \operatorname{ht}J+\dim A/J\le\dim A ht J + dim A / J ≤ dim A 成り立ちます。
ht J = min { ht P ∣ P ∈ Min ( J ) } dim A / J = max { dim A / P ∣ P ∈ Min ( J ) } \begin{aligned} \operatorname{ht}J&=\min\{\operatorname{ht}P\mid{}\\ &\qquad P\in\operatorname{Min}(J)\}\\[4pt] \dim A/J&=\max\{\dim A/P\mid{}\\ &\qquad P\in\operatorname{Min}(J)\} \end{aligned} ht J dim A / J = min { ht P ∣ P ∈ Min ( J )} = max { dim A / P ∣ P ∈ Min ( J )} 2つの式はそれぞれ「成分の高さ（余次元）の最小値」と「成分の次元の最大値」を測っています（Min ( J ) \operatorname{Min}(J) Min ( J ) J J J 極小素イデアル の集合）。成分の次元がそろっていないと、2つは食い違います。
第8回のクルルの高さ定理（第8回の定理1 ）は、ネーター環 で n n n 元で生成されるイデアルの極小素イデアル の高さは n n n いうものでした。n = 1 n=1 n = 1 単項イデアル定理（第8回の定理3 ）です。
巴系 の一部 x 1 , … , x i x_1,\dots,x_i x 1 , … , x i ついて、命題3 から dim A / ( x 1 , … , x i ) = d − i \dim A/(x_1,\dots,x_i)=d-i dim A / ( x 1 , … , x i ) = d − i 高さの不等式と合わせると、すぐに上からの評価が出ます。
ht ( x 1 , … , x i ) ≤ dim A − dim A / ( x 1 , … , x i ) = i \operatorname{ht}(x_1,\dots,x_i)\ \le\ \dim A-\dim A/(x_1,\dots,x_i)\ =\ i ht ( x 1 , … , x i ) ≤ dim A − dim A / ( x 1 , … , x i ) = i ht ( x 1 , … , x i ) ≤ dim A − dim A / ( x 1 , … , x i ) = i \begin{aligned}\operatorname{ht}(x_1,\dots,x_i) &\le \dim A-\dim A/(x_1,\dots,x_i)\\&= i\end{aligned} ht ( x 1 , … , x i ) ≤ dim A − dim A / ( x 1 , … , x i ) = i ht ( x 1 , … , x i ) ≤ dim A ≤ − dim A / ( x 1 , … , x i ) = i \begin{aligned}\operatorname{ht}(x_1,\dots,x_i) &\le \dim A\\&\phantom{\le}{} -\dim A/(x_1,\dots,x_i)\\&= i\end{aligned} ht ( x 1 , … , x i ) ≤ dim A ≤ − dim A / ( x 1 , … , x i ) = i では、等号 ht ( x 1 , … , x i ) = i \operatorname{ht}(x_1,\dots,x_i)=i ht ( x 1 , … , x i ) = i 成り立つでしょうか。多項式環の局所化のような「よい」環では成り立ちますが、一般には成り立ちません。松村が挙げている例を、この連載の座標で見ます。
例5 高さが元の個数より小さい巴系 [1 , 定理14.1 の証明の後半, p.126–127]
平面と直線 A = k [ x , y , z ] ( x , y , z ) / ( x z , y z ) A=k[x,y,z]_{(x,y,z)}/(xz,\ yz) A = k [ x , y , z ] ( x , y , z ) / ( x z , y z ) 巴系 x , y + z x,\ y+z x , y + z 考える。
ht ( x ) = 0 ht ( y + z ) = 1 ht ( x , y + z ) = 2 dim A / ( x ) = 1 \operatorname{ht}(x)=0\qquad\operatorname{ht}(y+z)=1\qquad\operatorname{ht}(x,\ y+z)=2\qquad \dim A/(x)=1 ht ( x ) = 0 ht ( y + z ) = 1 ht ( x , y + z ) = 2 dim A / ( x ) = 1 ht ( x ) = 0 ht ( y + z ) = 1 ht ( x , y + z ) = 2 dim A / ( x ) = 1 \begin{gathered}\operatorname{ht}(x)=0\\\operatorname{ht}(y+z)=1\\\operatorname{ht}(x,\ y+z)=2\\\dim A/(x)=1\end{gathered} ht ( x ) = 0 ht ( y + z ) = 1 ht ( x , y + z ) = 2 dim A / ( x ) = 1 ht ( x ) = 0 ht ( y + z ) = 1 ht ( x , y + z ) = 2 dim A / ( x ) = 1 \begin{aligned}\operatorname{ht}(x) &= 0\\[4pt]\operatorname{ht}(y+z) &= 1\\[4pt]\operatorname{ht}(x,\ y+z) &= 2\\[4pt]\dim A/(x) &= 1\end{aligned} ht ( x ) ht ( y + z ) ht ( x , y + z ) dim A / ( x ) = 0 = 1 = 2 = 1 巴系 x + z , y x+z,\ y x + z , y 作ったもの）でも ht ( y ) = 0 \operatorname{ht}(y)=0 ht ( y ) = 0 一方、巴系 x + z , y + z x+z,\ y+z x + z , y + z どの一部の高さも元の個数に等しい。
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる A A A の
極小素イデアル は
( z ) (z) ( z ) と
( x , y ) (x,y) ( x , y ) で、
どちらも高さ0。x x x y y y ( x , y ) (x,y) ( x , y ) 入るので、ht ( x ) = ht ( y ) = 0 \operatorname{ht}(x)=\operatorname{ht}(y)=0 ht ( x ) = ht ( y ) = 0 y + z y+z y + z どちらの極小素イデアル にも入らないので、高さは1以上。( y + z ) (y+z) ( y + z ) 含む ( y , z ) (y,z) ( y , z ) 高さは1なので、ht ( y + z ) = 1 \operatorname{ht}(y+z)=1 ht ( y + z ) = 1 詳しく 閉じる
y + z ∈ ( z ) y+z\in(z) y + z ∈ ( z ) y ∈ ( z ) y\in(z) y ∈ ( z ) y + z ∈ ( x , y ) y+z\in(x,y) y + z ∈ ( x , y ) z ∈ ( x , y ) z\in(x,y) z ∈ ( x , y ) なるが、どちらも成り立たない（点 ( 0 , 1 , 0 ) (0,1,0) ( 0 , 1 , 0 ) ( 0 , 0 , 1 ) (0,0,1) ( 0 , 0 , 1 ) 値を見ればよい）。
( y , z ) (y,z) ( y , z ) 含まれる素イデアルは ( z ) (z) ( z ) ( x , y ) (x,y) ( x , y ) 含むが、x ∉ ( y , z ) x\notin(y,z) x ∈ / ( y , z ) ( z ) (z) ( z ) 含む。それらは A / ( z ) ≅ k [ x , y ] ( x , y ) A/(z)\cong k[x,y]_{(x,y)} A / ( z ) ≅ k [ x , y ] ( x , y ) ( y ) (y) ( y ) 素イデアル ( 0 ) (0) ( 0 ) ( y ) (y) ( y ) 対応するので、ht ( y , z ) = 1 \operatorname{ht}(y,z)=1 ht ( y , z ) = 1
( x , y + z ) (x,\ y+z) ( x , y + z ) は
M M M 準素なので、
含む素イデアルは M M M ht ( x , y + z ) = ht M = 2 \operatorname{ht}(x,\ y+z)=\operatorname{ht}M=2 ht ( x , y + z ) = ht M = 2 dim A / ( x ) = 1 \dim A/(x)=1 dim A / ( x ) = 1 例4 (1)。 x + z x+z x + z の
極小素イデアル は
( x , z ) (x,z) ( x , z ) だけで
高さ1（第7回の例9 ）。y + z y+z y + z 上で見たとおり高さ1。2つ合わせると M M M 高さ2。 ht ( x ) = 0 \operatorname{ht}(x)=0 ht ( x ) = 0 dim A / ( x ) = 1 \dim A/(x)=1 dim A / ( x ) = 1 足すと 1 < 2 = dim A 1<2=\dim A 1 < 2 = dim A 高さの不等式が真の不等式になっています。
x = 0 x=0 x = 0 切り口は y y y z z z 和で、y y y 平面から1次元下がった成分、z z z A A A 成分そのものです。y y y z z z 1次元ですが、高さは y y y 1、z z z 0です。高さは最も小さい高さの成分で、次元は最も大きい次元の成分で決まります。
松村の例は k [ [ X , Y , Z ] ] / ( ( X ) ∩ ( Y , Z ) ) k[[X,Y,Z]]/((X)\cap(Y,Z)) k [[ X , Y , Z ]] / (( X ) ∩ ( Y , Z )) 平面 X = 0 X=0 X = 0 直線 Y = Z = 0 Y=Z=0 Y = Z = 0 和です。座標の名前を X → z X\to z X → z Y → x Y\to x Y → x Z → y Z\to y Z → y 替えると、この例の巴系 x , y + z x,\ y+z x , y + z なります。べき級数環でも、高さの計算は同じです。
Spec の図の約束で、この食い違いを描いたのが図2です。
… … ( y − x 2 , z ) (y-x^2,z) ( y − x 2 , z ) x x x で割る：
ht ( x ) = 0 , dim A / ( x ) = 1 \operatorname{ht}(x)=0,\ \dim A/(x)=1 ht ( x ) = 0 , dim A / ( x ) = 1 極小素イデアル
( x , y ) (x,y) ( x , y ) （高さ0）、
( x , z ) (x,z) ( x , z ) （高さ1）
( y − x 2 , z ) (y-x^2,z) ( y − x 2 , z ) x + z x+z x + z で割る：
ht ( x + z ) = 1 , dim A / ( x + z ) = 1 \operatorname{ht}(x+z)=1,\ \dim A/(x+z)=1 ht ( x + z ) = 1 , dim A / ( x + z ) = 1 極小素イデアル
( x , z ) (x,z) ( x , z ) （高さ1）
段＝閉包の次元（余高度） 高さ＝その点から上へたどれる段の数
図2 概念図 平面と直線の局所環 の Spec を、代数幾何の連載の第2回と同じ約束で「真横」から見た図です。段は閉包の次元（余高度）で、平面の生成点 ( z ) (z) ( z ) 生成点 が1段目、閉点 M M M 極小素イデアル です。直線の生成点 ( x , y ) (x,y) ( x , y )
図2の左では、x x x 割った切り口の極小素イデアル が ( x , y ) (x,y) ( x , y ) ( x , z ) (x,z) ( x , z ) 2つです。右の x + z x+z x + z ( x , z ) (x,z) ( x , z ) どちらも1段目にあるので次元は1で、高さだけが違います。
それでも、巴系 をうまく選べば高さはそろいます。
おさらい 素イデアル回避
有限個の素イデアル P 1 , … , P t P_1,\dots,P_t P 1 , … , P t ついて、イデアル J J J 和集合 P 1 ∪ ⋯ ∪ P t P_1\cup\cdots\cup P_t P 1 ∪ ⋯ ∪ P t 含まれれば、ある P j P_j P j 含まれます[2 , 命題1.11, p.11] 。対偶の形で使います。
J ⊈ P j ( j = 1 , … , t ) ⟹ ∃ x ∈ J ∖ ( P 1 ∪ ⋯ ∪ P t ) J\not\subseteq P_j\ \ (j=1,\dots,t)\ \Longrightarrow\ \exists\,x\in J\setminus(P_1\cup\cdots\cup P_t) J ⊆ P j ( j = 1 , … , t ) ⟹ ∃ x ∈ J ∖ ( P 1 ∪ ⋯ ∪ P t ) J ̸ ⊆ P j ( j = 1 , … , t ) ⟹ ∃ x ∈ J ∖ ( P 1 ∪ ⋯ ∪ P t ) \begin{aligned}J\not &\subseteq P_j\ \ (j=1,\dots,t)\\&\Longrightarrow \exists\,x\in J\setminus(P_1\cup\cdots\cup P_t)\end{aligned} J ⊆ P j ( j = 1 , … , t ) ⟹ ∃ x ∈ J ∖ ( P 1 ∪ ⋯ ∪ P t ) 第7回の命題8 では、高さ i − 1 i-1 i − 1 極小素イデアル をよけて x i x_i x i 選び、巴系 の存在を示しました。次の命題では、よける素イデアルを増やします。
命題6 巴系と高さ [1 , 定理14.1 ii), p.126; 3 , 命題2.38, p.79]
( A , M , k ) (A,M,k) ( A , M , k ) d d d ネーター局所環 とする。
(1) 巴系 x 1 , … , x d x_1,\dots,x_d x 1 , … , x d その部分集合 F F F ついて、ht ( F ) ≤ # F \operatorname{ht}(F)\le\#F ht ( F ) ≤ # F 等号は成り立つとは限らない（例5 ）。次の性質をもつ巴系 x 1 , … , x d x_1,\dots,x_d x 1 , … , x d 存在する：どの部分集合 F ⊆ { x 1 , … , x d } F\subseteq\{x_1,\dots,x_d\} F ⊆ { x 1 , … , x d } ついても、( F ) (F) ( F ) すべての極小素イデアル の高さが # F \#F # F 等しい。とくに ht ( F ) = # F \operatorname{ht}(F)=\#F ht ( F ) = # F
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる (1) 巴系 の元を並べ替えても巴系 なので、F = { x 1 , … , x i } F=\{x_1,\dots,x_i\} F = { x 1 , … , x i } してよい。命題3 (1) と高さの不等式から ht ( F ) ≤ d − ( d − i ) = i \operatorname{ht}(F)\le d-(d-i)=i ht ( F ) ≤ d − ( d − i ) = i 詳しく 閉じる
極小素イデアル ごとの不等式 ht P ≤ # F \operatorname{ht}P\le\#F ht P ≤ # F 高さ定理（第8回の定理1 ）から直接分かる。
(2) x 1 , x 2 , … x_1,x_2,\dots x 1 , x 2 , … 順に選ぶ。x i x_i x i { x 1 , … , x i − 1 } \{x_1,\dots,x_{i-1}\} { x 1 , … , x i − 1 } どの部分集合 F ′ F' F ′ ついても、( F ′ ) (F') ( F ′ ) どの極小素イデアル にも入らないように選ぶ（F ′ = ∅ F'=\varnothing F ′ = ∅ A A A 極小素イデアル ）。詳しく 閉じる
よける素イデアルは有限個である。部分集合は 2 i − 1 2^{i-1} 2 i − 1 それぞれの極小素イデアル は有限個だからである。
よける素イデアル P P P どれも M M M 異なるので、素イデアル回避 からこのような x i ∈ M x_i\in M x i ∈ M 詳しく 閉じる
M M M ( F ′ ) (F') ( F ′ ) 極小素イデアル だとする。局所環 なので ( F ′ ) (F') ( F ′ ) 含む素イデアルはすべて M M M 含まれ、M M M 極小なら M M M ( F ′ ) (F') ( F ′ ) 含む。
よって ( F ′ ) (F') ( F ′ ) M M M 準素イデアル で、# F ′ ≤ i − 1 < d \#F'\le i-1<d # F ′ ≤ i − 1 < d 元で生成される。これは次元定理（δ ( A ) = d \delta(A)=d δ ( A ) = d 反する。
M ⊈ P M\not\subseteq P M ⊆ P すべての P P P 成り立つので、素イデアル回避 [2 , 命題1.11, p.11] から、どの P P P 入らない x i ∈ M x_i\in M x i ∈ M ある。
F ⊆ { x 1 , … , x i } F\subseteq\{x_1,\dots,x_i\} F ⊆ { x 1 , … , x i } 極小素イデアル Q Q Q 高さが # F \#F # F ことを、i i i ついての帰納法で示す。詳しく 閉じる
x i ∉ F x_i\notin F x i ∈ / F なら
帰納法の仮定そのものである。 F = F ′ ∪ { x i } F=F'\cup\{x_i\} F = F ′ ∪ { x i } と
する。Q Q Q ( F ′ ) (F') ( F ′ ) 含むので、( F ′ ) (F') ( F ′ ) 極小素イデアル P P P 含む。帰納法の仮定から ht P ≥ # F ′ \operatorname{ht}P\ge\#F' ht P ≥ # F ′ x i x_i x i の
選び方から x i ∉ P x_i\notin P x i ∈ / P 一方 x i ∈ Q x_i\in Q x i ∈ Q Q ⊋ P Q\supsetneq P Q ⊋ P P P P 終わる鎖に Q Q Q 付け足せるので、ht Q ≥ # F ′ + 1 = # F \operatorname{ht}Q\ge\#F'+1=\#F ht Q ≥ # F ′ + 1 = # F i = d i=d i = d 選ぶと、( x 1 , … , x d ) (x_1,\dots,x_d) ( x 1 , … , x d ) 極小素イデアル の高さは d d d M M M 一致する。よって x 1 , … , x d x_1,\dots,x_d x 1 , … , x d 巴系 で、(1) と合わせて、どの F F F 極小素イデアル の高さはちょうど # F \#F # F 詳しく 閉じる
ht Q ≥ d = ht M \operatorname{ht}Q\ge d=\operatorname{ht}M ht Q ≥ d = ht M Q ⊆ M Q\subseteq M Q ⊆ M Q = M Q=M Q = M ( x 1 , … , x d ) (x_1,\dots,x_d) ( x 1 , … , x d ) 含む素イデアルは M M M 根基 は M M M
第7回の巴系 の構成（第7回の命題8 ）では、直前の ( x 1 , … , x i − 1 ) (x_1,\dots,x_{i-1}) ( x 1 , … , x i − 1 ) 極小素イデアル のうち、高さが i − 1 i-1 i − 1 ものだけをよけました。今回は、それまでに選んだ元のすべての部分集合について、極小素イデアル をよけています。
例5 の環で手順をたどると、x 1 x_1 x 1 ( z ) (z) ( z ) ( x , y ) (x,y) ( x , y ) よけて x + z x+z x + z 選びます。x 2 x_2 x 2 ( z ) (z) ( z ) ( x , y ) (x,y) ( x , y ) ( x + z ) (x+z) ( x + z ) 極小素イデアル ( x , z ) (x,z) ( x , z ) よけて、y + z y+z y + z 選びます。x x x y y y ( x , y ) (x,y) ( x , y ) 入るので、選べません。
後藤・渡辺は、この構成を局所環 でない場合にも述べています[3 , 命題2.38, p.79] 。ネーター環 の高さ n n n イデアル I I I 中に、すべての i i i ht ( f 1 , … , f i ) = i \operatorname{ht}(f_1,\dots,f_i)=i ht ( f 1 , … , f i ) = i なる f 1 , … , f n f_1,\dots,f_n f 1 , … , f n I = M I=M I = M ものが、この命題の (2) です。
多項式環の局所化では、どの巴系 でも高さがそろいます。
例7 多項式環の局所化では、どの巴系でもよい
A = k [ x 1 , … , x n ] M A=k[x_1,\dots,x_n]_M A = k [ x 1 , … , x n ] M M = ( x 1 , … , x n ) M=(x_1,\dots,x_n) M = ( x 1 , … , x n ) する。A A A どの巴系 y 1 , … , y n y_1,\dots,y_n y 1 , … , y n その部分集合 F F F ついても ht ( F ) = # F \operatorname{ht}(F)=\#F ht ( F ) = # F 例えば n = 3 n=3 n = 3 巴系 x y , x + y , z xy,\ x+y,\ z x y , x + y , z
ht ( x y ) = ht ( x + y ) = ht ( z ) = 1 ht ( x y , x + y ) = ht ( x y , z ) = ht ( x + y , z ) = 2 \operatorname{ht}(xy)=\operatorname{ht}(x+y)=\operatorname{ht}(z)=1\qquad \operatorname{ht}(xy,\ x+y)=\operatorname{ht}(xy,\ z)=\operatorname{ht}(x+y,\ z)=2 ht ( x y ) = ht ( x + y ) = ht ( z ) = 1 ht ( x y , x + y ) = ht ( x y , z ) = ht ( x + y , z ) = 2 ht ( x y ) = ht ( x + y ) = ht ( z ) = 1 ht ( x y , x + y ) = ht ( x y , z ) = ht ( x + y , z ) = 2 \begin{gathered}\operatorname{ht}(xy)=\operatorname{ht}(x+y)=\operatorname{ht}(z)=1\\\operatorname{ht}(xy,\ x+y)=\operatorname{ht}(xy,\ z)=\operatorname{ht}(x+y,\ z)=2\end{gathered} ht ( x y ) = ht ( x + y ) = ht ( z ) = 1 ht ( x y , x + y ) = ht ( x y , z ) = ht ( x + y , z ) = 2 ht ( x y ) = ht ( x + y ) = ht ( z ) = 1 ht ( x y , x + y ) = ht ( x y , z ) = ht ( x + y , z ) = 2 \begin{aligned}\operatorname{ht}(xy) &= \operatorname{ht}(x+y)\\&= \operatorname{ht}(z)\\&= 1\\[4pt]\operatorname{ht}(xy,\ x+y) &= \operatorname{ht}(xy,\ z)\\&= \operatorname{ht}(x+y,\ z)\\&= 2\end{aligned} ht ( x y ) ht ( x y , x + y ) = ht ( x + y ) = ht ( z ) = 1 = ht ( x y , z ) = ht ( x + y , z ) = 2
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる A A A 素イデアル P P P ついて ht P + dim A / P = n \operatorname{ht}P+\dim A/P=n ht P + dim A / P = n 成り立つ。詳しく 閉じる
B = k [ x 1 , … , x n ] B=k[x_1,\dots,x_n] B = k [ x 1 , … , x n ] 素イデアル P P P ついて ht P + dim B / P = n \operatorname{ht}P+\dim B/P=n ht P + dim B / P = n （第4回の定理17 (3)）。P ⊆ M P\subseteq M P ⊆ M A P A = B P A_{PA}=B_P A P A = B P 高さは変わらない。
dim A / P A \dim A/PA dim A / P A P P P M M M 鎖の長さの最大値で、B / P B/P B / P 極大イデアル M / P M/P M / P 高さに等しい。同じ定理を有限生成の整域 B / P B/P B / P 使うと、ht ( M / P ) = dim B / P \operatorname{ht}(M/P)=\dim B/P ht ( M / P ) = dim B / P なる。
F = { y 1 , … , y i } F=\{y_1,\dots,y_i\} F = { y 1 , … , y i } と
してよい。( F ) (F) ( F ) 極小素イデアル P P P ついて dim A / P ≤ dim A / ( F ) = n − i \dim A/P\le\dim A/(F)=n-i dim A / P ≤ dim A / ( F ) = n − i 命題3 (1)）なので、ht P = n − dim A / P ≥ i \operatorname{ht}P=n-\dim A/P\ge i ht P = n − dim A / P ≥ i 命題6 (1) と
合わせて ht P = i \operatorname{ht}P=i ht P = i 極小素イデアル の高さがすべて i i i ht ( F ) = i \operatorname{ht}(F)=i ht ( F ) = i 例の数値を図形で確かめます。x y = 0 xy=0 x y = 0 2枚の平面、x y = x + y = 0 xy=x+y=0 x y = x + y = 0 z z z （x = − y x=-y x = − y x 2 = 0 x^2=0 x 2 = 0 x y = z = 0 xy=z=0 x y = z = 0 x x x y y y x + y = z = 0 x+y=z=0 x + y = z = 0 直線 x = − y x=-y x = − y どれも空間から # F \#F # F 成分だけでできています。
例5 の平面と直線の環では ht P + dim A / P = 2 \operatorname{ht}P+\dim A/P=2 ht P + dim A / P = 2 直線の生成点 P = ( x , y ) P=(x,y) P = ( x , y ) 崩れ（0 + 1 = 1 0+1=1 0 + 1 = 1 それが高さの食い違いの原因でした。すべての素イデアルで ht P + dim A / P = dim A \operatorname{ht}P+\dim A/P=\dim A ht P + dim A / P = dim A なる局所環 は、第12回で鎖状環 と次元公式の話題として扱う予定です。
専門的な話 高さ定理の逆との関係
第8回の高さ定理の逆（第8回の定理14 ）は、高さ r r r 素イデアル P P P r r r 元 a 1 , … , a r a_1,\dots,a_r a 1 , … , a r 生成されるイデアルの極小素イデアル になる、というものでした。松村は、そのとき ht ( P / ( a 1 , … , a i ) ) = r − i \operatorname{ht}\bigl(P/(a_1,\dots,a_i)\bigr)=r-i ht ( P / ( a 1 , … , a i ) ) = r − i 示しています[1 , 定理13.6, p.122] 。
P = M P=M P = M すると、a 1 , … , a r a_1,\dots,a_r a 1 , … , a r 巴系 で、これは命題3 (1) の dim A / ( x 1 , … , x i ) = d − i \dim A/(x_1,\dots,x_i)=d-i dim A / ( x 1 , … , x i ) = d − i ものです。松村も、定理14.1 i) は定理13.6 に含まれると書いています[1 , 定理14.1 の証明, p.126] 。
解析的独立：巴系の間に関係式はない
巴系 x 1 , … , x d x_1,\dots,x_d x 1 , … , x d 「原点を切り出すのに必要なだけの元」なので、互いに無駄がないはずです。この「無駄がない」を、元の間に多項式の関係がないこととして定式化します。道具は第6回で作った随伴次数環 です。
おさらい 随伴次数環 gr q ( A ) \operatorname{gr}_q(A) gr q ( A )
イデアル q q q べきの各段の商を並べた次数付き環を、随伴次数環 と呼びました（第6回の定理17 の証明。第6回では G q ( A ) G_q(A) G q ( A ) 書きました）。積は代表元の積で定めます。
gr q ( A ) = ⨁ s ≥ 0 q s / q s + 1 = A / q ⊕ q / q 2 ⊕ q 2 / q 3 ⊕ ⋯ \begin{aligned} &\operatorname{gr}_q(A)=\bigoplus_{s\ge0}q^s/q^{s+1}\\ &\quad=A/q\ \oplus\ q/q^2\ \oplus\ q^2/q^3\ \oplus\cdots \end{aligned} gr q ( A ) = s ≥ 0 ⨁ q s / q s + 1 = A / q ⊕ q / q 2 ⊕ q 2 / q 3 ⊕ ⋯ q = ( x 1 , … , x r ) q=(x_1,\dots,x_r) q = ( x 1 , … , x r ) q s / q s + 1 q^s/q^{s+1} q s / q s + 1 x 1 , … , x r x_1,\dots,x_r x 1 , … , x r s s s 単項式の像で A / q A/q A / q そのため、次の全射の準同型ができます。
α : ( A / q ) [ X 1 , … , X r ] ↠ gr q ( A ) X i ⟼ x ˉ i ∈ q / q 2 \alpha\colon(A/q)[X_1,\dots,X_r]\twoheadrightarrow\operatorname{gr}_q(A)\qquad X_i\longmapsto\bar x_i\in q/q^2 α : ( A / q ) [ X 1 , … , X r ] ↠ gr q ( A ) X i ⟼ x ˉ i ∈ q / q 2 α : ( A / q ) [ X 1 , … , X r ] ↠ gr q ( A ) X i ⟼ x ˉ i ∈ q / q 2 \begin{gathered}\alpha\colon(A/q)[X_1,\dots,X_r]\twoheadrightarrow\operatorname{gr}_q(A)\\X_i\longmapsto\bar x_i\in q/q^2\end{gathered} α : ( A / q ) [ X 1 , … , X r ] ↠ gr q ( A ) X i ⟼ x ˉ i ∈ q / q 2 q q q M M M ℓ ( A / q n ) = ∑ s < n ℓ ( q s / q s + 1 ) \ell(A/q^n)=\sum_{s<n}\ell(q^s/q^{s+1}) ℓ ( A / q n ) = ∑ s < n ℓ ( q s / q s + 1 ) 大きな n n n 次数 d ( A ) = dim A d(A)=\dim A d ( A ) = dim A 多項式です（第6回の定理17 、第6回の命題21 、第7回の定理4 ）。例えば A = k [ x , y ] ( x , y ) A=k[x,y]_{(x,y)} A = k [ x , y ] ( x , y ) q = M q=M q = M gr M ( A ) ≅ k [ X , Y ] \operatorname{gr}_M(A)\cong k[X,Y] gr M ( A ) ≅ k [ X , Y ] ℓ ( A / M n ) = n ( n + 1 ) / 2 \ell(A/M^n)=n(n+1)/2 ℓ ( A / M n ) = n ( n + 1 ) /2
定義8 解析的独立 [1 , §14, p.128]
( A , M , k ) (A,M,k) ( A , M , k ) ネーター局所環 とする。y 1 , … , y r ∈ M y_1,\dots,y_r\in M y 1 , … , y r ∈ M 解析的に独立 であるとは、次が成り立つことをいう：A A A 斉次多項式 f ( X 1 , … , X r ) f(X_1,\dots,X_r) f ( X 1 , … , X r ) 任意）が f ( y 1 , … , y r ) = 0 f(y_1,\dots,y_r)=0 f ( y 1 , … , y r ) = 0 みたせば、f f f 係数はすべて M M M 入る。
係数が M M M 入る関係式は、いつでも作れます。例えば y 1 ⋅ X 2 − y 2 ⋅ X 1 y_1\cdot X_2-y_2\cdot X_1 y 1 ⋅ X 2 − y 2 ⋅ X 1 1次の斉次式で、y 1 , y 2 y_1,y_2 y 1 , y 2 代入すると0になり、係数 y 1 , y 2 y_1,y_2 y 1 , y 2 M M M 入っています。解析的独立は「係数に単元 を含む斉次の関係式はない」という条件です。
この条件を、随伴次数環 の写像で言い換えます。J = ( y 1 , … , y r ) J=(y_1,\dots,y_r) J = ( y 1 , … , y r ) 各段 J s / J s + 1 J^s/J^{s+1} J s / J s + 1 さらに M M M 割った J s / J s M J^s/J^sM J s / J s M 並べます（J s + 1 ⊆ J s M J^{s+1}\subseteq J^sM J s + 1 ⊆ J s M 次の可換図式の横の矢印は X i ↦ y ˉ i X_i\mapsto\bar y_i X i ↦ y ˉ i 縦の矢印は係数や元を M M M 法として見る写像です。
( A / J ) [ X 1 , … , X r ] → α gr J ( A ) = ⨁ s J s / J s + 1 ↓ ↓ k [ X 1 , … , X r ] → α ˉ ⨁ s J s / J s M \begin{CD} (A/J)[X_1,\dots,X_r] @>{\alpha}>> {\begin{gathered}\operatorname{gr}_J(A)={}\\ \bigoplus_sJ^s/J^{s+1}\end{gathered}} \\ @VVV @VVV \\ k[X_1,\dots,X_r] @>{\bar\alpha}>> {\displaystyle\bigoplus_s\!J^s/J^sM} \end{CD} ( A / J ) [ X 1 , … , X r ] ↓ ⏐ k [ X 1 , … , X r ] α α ˉ gr J ( A ) = s ⨁ J s / J s + 1 ↓ ⏐ s ⨁ J s / J s M 右下の環は gr J ( A ) ⊗ A k \operatorname{gr}_J(A)\otimes_Ak gr J ( A ) ⊗ A k 横の矢印はどちらも全射です。
補題9 解析的独立の言い換え
y 1 , … , y r ∈ M y_1,\dots,y_r\in M y 1 , … , y r ∈ M J = ( y 1 , … , y r ) J=(y_1,\dots,y_r) J = ( y 1 , … , y r ) する。次は同値である。
(1) y 1 , … , y r y_1,\dots,y_r y 1 , … , y r 解析的に独立 。A A A s s s f f f f ( y ) ∈ J s M f(y)\in J^sM f ( y ) ∈ J s M みたせば、f f f 係数はすべて M M M 入る。α ˉ : k [ X 1 , … , X r ] → ⨁ s J s / J s M \bar\alpha\colon k[X_1,\dots,X_r]\to\bigoplus_sJ^s/J^sM α ˉ : k [ X 1 , … , X r ] → ⨁ s J s / J s M 単射（したがって次数付き環の同型）。α \alpha α 核の元は、係数がすべて M / J M/J M / J 入る。つまり A A A s s s f f f f ( y ) ∈ J s + 1 f(y)\in J^{s+1} f ( y ) ∈ J s + 1 みたせば、f f f 係数はすべて M M M 入る。
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる (2)⇒(1)、
(2)⇒(4) は、0 ∈ J s M 0\in J^sM 0 ∈ J s M J s + 1 ⊆ J s M J^{s+1}\subseteq J^sM J s + 1 ⊆ J s M 明らか。 (1)⇒(2)：f ( y ) ∈ J s M f(y)\in J^sM f ( y ) ∈ J s M f ( y ) = ∑ ∣ β ∣ = s m β y β f(y)=\sum_{|\beta|=s}m_\beta y^\beta f ( y ) = ∑ ∣ β ∣ = s m β y β m β ∈ M m_\beta\in M m β ∈ M 書ける。g = f − ∑ β m β X β g=f-\sum_\beta m_\beta X^\beta g = f − ∑ β m β X β s s s g ( y ) = 0 g(y)=0 g ( y ) = 0 g g g 係数は M M M 入り、f f f 係数も M M M 入る。詳しく 閉じる
J s M J^sM J s M y β m y^\beta m y β m ∣ β ∣ = s |\beta|=s ∣ β ∣ = s m ∈ M m\in M m ∈ M 形の元で生成されるので、このように書ける。f f f g g g 係数の差は m β ∈ M m_\beta\in M m β ∈ M
(4)⇒(2) も
同じ。g ( y ) = 0 ∈ J s + 1 g(y)=0\in J^{s+1} g ( y ) = 0 ∈ J s + 1 (4) を使う。 (2)⇔(3)：
k [ X ] k[X] k [ X ] の
s s s 次の
元は、A A A s s s f f f 係数を M M M 法として見たもの f ˉ \bar f f ˉ α ˉ ( f ˉ ) \bar\alpha(\bar f) α ˉ ( f ˉ ) f ( y ) f(y) f ( y ) J s / J s M J^s/J^sM J s / J s M 像なので、「α ˉ ( f ˉ ) = 0 ⇒ f ˉ = 0 \bar\alpha(\bar f)=0\Rightarrow\bar f=0 α ˉ ( f ˉ ) = 0 ⇒ f ˉ = 0 (2) そのものである。 (4) はアティヤ・マクドナルドの形で、(2) は松村の証明に出てくる形です。どれも「随伴次数環 の関係式は、係数が M M M 入るものしかない」と言っています。
例10 解析的に独立な元、独立でない元
A = k [ x , y ] ( x , y ) A=k[x,y]_{(x,y)} A = k [ x , y ] ( x , y ) する。
(1) x , y x,\ y x , y 解析的に独立 。gr M ( A ) ≅ k [ X , Y ] \operatorname{gr}_M(A)\cong k[X,Y] gr M ( A ) ≅ k [ X , Y ] α ˉ \bar\alpha α ˉ 恒等写像になる。x x x 解析的に独立 。解析的に独立 な組の一部は、また解析的に独立 である。x , y , x + y x,\ y,\ x+y x , y , x + y 独立でない。f = X + Y − Z f=X+Y-Z f = X + Y − Z 係数が単元 で、f ( x , y , x + y ) = 0 f(x,y,x+y)=0 f ( x , y , x + y ) = 0 x , x y x,\ xy x , x y 独立でない。f = y X − Y f=y\,X-Y f = y X − Y 1次の斉次式で f ( x , x y ) = 0 f(x,xy)=0 f ( x , x y ) = 0 Y Y Y 係数 − 1 -1 − 1 単元 。
証明 開く 閉じる (1)
f ( x , y ) = 0 f(x,y)=0 f ( x , y ) = 0 と
なる斉次式 f = ∑ a + b = s c a b X a Y b f=\sum_{a+b=s}c_{ab}X^aY^b f = ∑ a + b = s c ab X a Y b 考える。c a b c_{ab} c ab M M M 法として定数 c ˉ a b ∈ k \bar c_{ab}\in k c ˉ ab ∈ k すると、∑ c ˉ a b x a y b ∈ M s + 1 \sum\bar c_{ab}x^ay^b\in M^{s+1} ∑ c ˉ ab x a y b ∈ M s + 1 s s s 単項式は M s / M s + 1 M^s/M^{s+1} M s / M s + 1 1次独立なので、c ˉ a b = 0 \bar c_{ab}=0 c ˉ ab = 0 (2)
f ( y 1 , … , y r ′ ) f(y_1,\dots,y_{r'}) f ( y 1 , … , y r ′ ) を
y 1 , … , y r y_1,\dots,y_r y 1 , … , y r （
r ′ ≤ r r'\le r r ′ ≤ r ）の
斉次式とみればよい。 (4) の x , x y x,\ xy x , x y 2個の元ですが、( x , x y ) = ( x ) (x,\ xy)=(x) ( x , x y ) = ( x ) M M M 巴系 ではありません。x y xy x y x x x 倍数なので、x x x 切った後に何も切れていませんでした（例2 (2)）。その「倍数である」ことが、単元 を係数にもつ関係式 x y = y ⋅ x xy=y\cdot x x y = y ⋅ x して現れています。
巴系 ではこのようなことが起きない、というのが次の定理です。
定理11 巴系は解析的に独立 [1 , 定理14.5, p.129; 2 , 命題11.20, p.189–190; 2 , 系11.21, p.190]
( A , M , k ) (A,M,k) ( A , M , k ) d d d ネーター局所環 、x 1 , … , x d x_1,\dots,x_d x 1 , … , x d 巴系 、q = ( x 1 , … , x d ) q=(x_1,\dots,x_d) q = ( x 1 , … , x d ) する。
(1) A A A s s s f f f f ( x 1 , … , x d ) ∈ q s M f(x_1,\dots,x_d)\in q^sM f ( x 1 , … , x d ) ∈ q s M みたせば、f f f 係数はすべて M M M 入る。とくに f ( x ) ∈ q s + 1 f(x)\in q^{s+1} f ( x ) ∈ q s + 1 同じで、x 1 , … , x d x_1,\dots,x_d x 1 , … , x d 解析的に独立 である。言い換えると、次の写像は次数付き環の同型である。
α ˉ : k [ X 1 , … , X d ] → ≅ ⨁ s ≥ 0 q s / q s M \begin{aligned} \bar\alpha\colon{}& k[X_1,\dots,X_d]\\ &\xrightarrow{\ \cong\ }\ \bigoplus_{s\ge0}q^s/q^sM \end{aligned} α ˉ : k [ X 1 , … , X d ] ≅ s ≥ 0 ⨁ q s / q s M (2) A A A 体 K K K 部分環として含めば、x 1 , … , x d x_1,\dots,x_d x 1 , … , x d K K K 代数的に独立 である。
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる (1)
d = 0 d=0 d = 0 なら
変数がなく、f f f 定数 a a a f ( x ) = a ∈ q 0 M = M f(x)=a\in q^0M=M f ( x ) = a ∈ q 0 M = M 以下 d ≥ 1 d\ge1 d ≥ 1 する。α ˉ \bar\alpha α ˉ 核を N N N N = 0 N=0 N = 0 示す（補題9 の (2)⇔(3)）。N N N 斉次イデアルである。 φ ( s ) = dim k q s / q s M \varphi(s)=\dim_kq^s/q^sM φ ( s ) = dim k q s / q s M ℓ ( q s / q s + 1 ) ≤ φ ( s ) ℓ ( A / q ) \ell(q^s/q^{s+1})\le\varphi(s)\,\ell(A/q) ℓ ( q s / q s + 1 ) ≤ φ ( s ) ℓ ( A / q ) 詳しく 閉じる
中山の補題 から、q s / q s M q^s/q^sM q s / q s M 基底の代表元 φ ( s ) \varphi(s) φ ( s ) q s q^s q s 生成する [2 , 命題2.8, p.33] 。よって q s / q s + 1 q^s/q^{s+1} q s / q s + 1 φ ( s ) \varphi(s) φ ( s ) 元で生成される A / q A/q A / q 加群 で、( A / q ) φ ( s ) (A/q)^{\varphi(s)} ( A / q ) φ ( s ) 剰余加群 である。長さは全射で増えない。
ℓ ( q s / q s + 1 ) = ℓ ( A / q s + 1 ) − ℓ ( A / q s ) \ell(q^s/q^{s+1})=\ell(A/q^{s+1})-\ell(A/q^s) ℓ ( q s / q s + 1 ) = ℓ ( A / q s + 1 ) − ℓ ( A / q s ) 大きな s s s 最高次の係数が正の d − 1 d-1 d − 1 一致する。よって φ ( s ) \varphi(s) φ ( s ) 大きな s s s c s d − 1 c\,s^{d-1} c s d − 1 c > 0 c>0 c > 0 なる。詳しく 閉じる
ℓ ( A / q n ) \ell(A/q^n) ℓ ( A / q n ) 大きな n n n 次数 d ( A ) d(A) d ( A ) 多項式に一致し（第6回の定理17 ）、次元定理から d ( A ) = d d(A)=d d ( A ) = d 値が正なので最高次の係数は正で、差分の最高次は d d d d − 1 d-1 d − 1 項になる。
N ≠ 0 N\neq0 N = 0 仮定し、0でない e e e g ∈ N g\in N g ∈ N とる。k [ X ] / N k[X]/N k [ X ] / N s s s 部分は k [ X ] / ( g ) k[X]/(g) k [ X ] / ( g ) s s s 部分の剰余なので、φ ( s ) \varphi(s) φ ( s ) 大きな s s s d − 2 d-2 d − 2 多項式で抑えられる。これは前のステップに反する。詳しく 閉じる
k [ X 1 , … , X d ] k[X_1,\dots,X_d] k [ X 1 , … , X d ] s s s 部分の次元は ( s + d − 1 d − 1 ) \binom{s+d-1}{d-1} ( d − 1 s + d − 1 ) k [ X ] k[X] k [ X ] 整域 なので g g g 掛ける写像は単射で、g k [ X ] s − e g\,k[X]_{s-e} g k [ X ] s − e 次元は ( s − e + d − 1 d − 1 ) \binom{s-e+d-1}{d-1} ( d − 1 s − e + d − 1 ) よって
φ ( s ) ≤ ( s + d − 1 d − 1 ) − ( s − e + d − 1 d − 1 ) ( s ≥ e ) \varphi(s)\ \le\ \binom{s+d-1}{d-1}-\binom{s-e+d-1}{d-1}\qquad(s\ge e) φ ( s ) ≤ ( d − 1 s + d − 1 ) − ( d − 1 s − e + d − 1 ) ( s ≥ e ) φ ( s ) ≤ ( s + d − 1 d − 1 ) − ( s − e + d − 1 d − 1 ) ( s ≥ e ) \begin{gathered}\varphi(s)\ \le\ \binom{s+d-1}{d-1}-\binom{s-e+d-1}{d-1}\\(s\ge e)\end{gathered} φ ( s ) ≤ ( d − 1 s + d − 1 ) − ( d − 1 s − e + d − 1 ) ( s ≥ e ) φ ( s ) ≤ ( s + d − 1 d − 1 ) − ( s − e + d − 1 d − 1 ) ( s ≥ e ) \begin{aligned}\varphi(s) &\le \binom{s+d-1}{d-1}-\binom{s-e+d-1}{d-1}\\[4pt]&(s\ge e)\end{aligned} φ ( s ) ≤ ( d − 1 s + d − 1 ) − ( d − 1 s − e + d − 1 ) ( s ≥ e ) φ ( s ) ≤ ( s + d − 1 d − 1 ) ≤ − ( s − e + d − 1 d − 1 ) ( s ≥ e ) \begin{aligned}\varphi(s) &\le \binom{s+d-1}{d-1}\\&\phantom{\le}{} -\binom{s-e+d-1}{d-1}\\[4pt]&(s\ge e)\end{aligned} φ ( s ) ≤ ( d − 1 s + d − 1 ) ≤ − ( d − 1 s − e + d − 1 ) ( s ≥ e ) 右辺は2つの d − 1 d-1 d − 1 （最高次の係数はともに 1 / ( d − 1 ) ! 1/(d-1)! 1/ ( d − 1 )! 差なので、d − 2 d-2 d − 2 d = 1 d=1 d = 1 右辺は 1 − 1 = 0 1-1=0 1 − 1 = 0 φ ( s ) ≥ c > 0 \varphi(s)\ge c>0 φ ( s ) ≥ c > 0 反する。
よって
N = 0 N=0 N = 0 。
f ( x ) ∈ q s + 1 f(x)\in q^{s+1} f ( x ) ∈ q s + 1 の
場合は q s + 1 ⊆ q s M q^{s+1}\subseteq q^sM q s + 1 ⊆ q s M 従い、f ( x ) = 0 f(x)=0 f ( x ) = 0 場合が解析的独立である。 (2) K K K 0でない多項式 f f f f ( x ) = 0 f(x)=0 f ( x ) = 0 なるものがあったとする。f f f 0でない最低次の斉次部分を f s f_s f s すると f s ( x ) ∈ q s + 1 f_s(x)\in q^{s+1} f s ( x ) ∈ q s + 1 (1) から f s f_s f s 係数は M M M 入る。K K K 0でない元は単元 なので M M M 入らず、f s = 0 f_s=0 f s = 0 なって矛盾する。詳しく 閉じる
f = f s + f s + 1 + ⋯ + f t f=f_s+f_{s+1}+\cdots+f_t f = f s + f s + 1 + ⋯ + f t f j f_j f j j j j 分けると、f s ( x ) = − ∑ j > s f j ( x ) ∈ q s + 1 f_s(x)=-\sum_{j>s}f_j(x)\in q^{s+1} f s ( x ) = − ∑ j > s f j ( x ) ∈ q s + 1
アティヤ・マクドナルドは (2) を、K K K 剰余体 A / M A/M A / M 同型に写る場合に述べています。証明は「K K K 0でない元が単元 」しか使わないので、どんな部分体でも成り立ちます。松村も、解析的独立な元と A A A 含まれる体 K K K ついて、K K K 0でない斉次式に代入すると0でないことを注意しています[1 , §14, p.129] 。
もう少し詳しく アティヤ・マクドナルドの証明
アティヤ・マクドナルドは、α : ( A / q ) [ X 1 , … , X d ] → gr q ( A ) \alpha\colon(A/q)[X_1,\dots,X_d]\to\operatorname{gr}_q(A) α : ( A / q ) [ X 1 , … , X d ] → gr q ( A ) 核を直接調べています[2 , 命題11.20, p.189–190] 。f ( x ) ∈ q s + 1 f(x)\in q^{s+1} f ( x ) ∈ q s + 1 f f f 係数を A / q A/q A / q 移した f ˉ \bar f f ˉ α \alpha α 核に入ります。
f ˉ \bar f f ˉ 係数に単元 があれば、f ˉ \bar f f ˉ ( A / q ) [ X ] (A/q)[X] ( A / q ) [ X ] 非零因子 です[2 , 演習問題1.2 iii), p.16; 2 , 演習問題1.3, p.17] 。斉次の非零因子 で割るとポアンカレ級数の極の位数 d d d 1下がるので（第5回の命題15 ）、次の評価になります。
d ( gr q ( A ) ) ≤ d ( ( A / q ) [ X ] / ( f ˉ ) ) = d ( ( A / q ) [ X ] ) − 1 = d − 1 d\bigl(\operatorname{gr}_q(A)\bigr)\ \le\ d\bigl((A/q)[X]/(\bar f)\bigr)\ =\ d\bigl((A/q)[X]\bigr)-1\ =\ d-1 d ( gr q ( A ) ) ≤ d ( ( A / q ) [ X ] / ( f ˉ ) ) = d ( ( A / q ) [ X ] ) − 1 = d − 1 d ( gr q ( A ) ) ≤ d ( ( A / q ) [ X ] / ( f ˉ ) ) = d ( ( A / q ) [ X ] ) − 1 = d − 1 \begin{aligned}d\bigl(\operatorname{gr}_q(A)\bigr) &\le d\bigl((A/q)[X]/(\bar f)\bigr)\\&= d\bigl((A/q)[X]\bigr)-1\\&= d-1\end{aligned} d ( gr q ( A ) ) ≤ d ( ( A / q ) [ X ] / ( f ˉ ) ) = d ( ( A / q ) [ X ] ) − 1 = d − 1 d ( gr q ( A ) ) ≤ d ( ( A / q ) [ X ] / ( f ˉ ) ) = d ( ( A / q ) [ X ] ) = − 1 = d − 1 \begin{aligned}d\bigl(\operatorname{gr}_q(A)\bigr) &\le d\bigl((A/q)[X]/(\bar f)\bigr)\\&= d\bigl((A/q)[X]\bigr)\\&\phantom{=}{} -1\\&= d-1\end{aligned} d ( gr q ( A ) ) ≤ d ( ( A / q ) [ X ] / ( f ˉ ) ) = d ( ( A / q ) [ X ] ) = − 1 = d − 1 一方、次元定理から d ( gr q ( A ) ) = d d(\operatorname{gr}_q(A))=d d ( gr q ( A )) = d 矛盾します。松村の証明（上の証明）は、A / q A/q A / q 代わりに剰余体 k k k 落として k [ X ] k[X] k [ X ] 中で数えている点が違います。
図式で言えば、α \alpha α 同型とは限らないが、その核は図式の左の縦の矢印で0に写る、ということです。k k k 落とすと同型 α ˉ \bar\alpha α ˉ なります。次の例で、α \alpha α 同型な場合とそうでない場合を比べます。
例12 α \alpha α 核
(1) A = k [ x , y ] ( x , y ) A=k[x,y]_{(x,y)} A = k [ x , y ] ( x , y ) q = ( x 2 , y 3 ) q=(x^2,\ y^3) q = ( x 2 , y 3 ) α : ( A / q ) [ X , Y ] → gr q ( A ) \alpha\colon(A/q)[X,Y]\to\operatorname{gr}_q(A) α : ( A / q ) [ X , Y ] → gr q ( A ) 同型で、ℓ ( A / q n ) = 6 ( n + 1 2 ) = 3 n ( n + 1 ) \ell(A/q^n)=6\binom{n+1}{2}=3n(n+1) ℓ ( A / q n ) = 6 ( 2 n + 1 ) = 3 n ( n + 1 ) A = k [ x , y ] ( x , y ) / ( x 2 , x y ) A=k[x,y]_{(x,y)}/(x^2,\ xy) A = k [ x , y ] ( x , y ) / ( x 2 , x y ) q = ( y ) q=(y) q = ( y ) 例4 (3) の巴系 ）。α : ( A / q ) [ Y ] → gr q ( A ) \alpha\colon(A/q)[Y]\to\operatorname{gr}_q(A) α : ( A / q ) [ Y ] → gr q ( A ) 核は x ˉ Y \bar x\,Y x ˉ Y 生成され、係数 x ˉ \bar x x ˉ M / q M/q M / q 入る。α ˉ : k [ Y ] → ⨁ s q s / q s M \bar\alpha\colon k[Y]\to\bigoplus_sq^s/q^sM α ˉ : k [ Y ] → ⨁ s q s / q s M 同型で、ℓ ( A / q n ) = n + 1 \ell(A/q^n)=n+1 ℓ ( A / q n ) = n + 1
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる (1) 単項式 x a y b x^ay^b x a y b q s ∖ q s + 1 q^s\setminus q^{s+1} q s ∖ q s + 1 入るのは ⌊ a / 2 ⌋ + ⌊ b / 3 ⌋ = s \lfloor a/2\rfloor+\lfloor b/3\rfloor=s ⌊ a /2 ⌋ + ⌊ b /3 ⌋ = s とき。よって q s / q s + 1 q^s/q^{s+1} q s / q s + 1 基底は、i + j = s i+j=s i + j = s 各 ( i , j ) (i,j) ( i , j ) ついて x 2 i + a ′ y 3 j + b ′ x^{2i+a'}y^{3j+b'} x 2 i + a ′ y 3 j + b ′ a ′ < 2 , b ′ < 3 a'<2,\ b'<3 a ′ < 2 , b ′ < 3 これは ( A / q ) X i Y j (A/q)\,X^iY^j ( A / q ) X i Y j 基底の像である。詳しく 閉じる
q s q^s q s 単項式 x 2 i y 3 j x^{2i}y^{3j} x 2 i y 3 j i + j = s i+j=s i + j = s 生成されるので、x a y b ∈ q s x^ay^b\in q^s x a y b ∈ q s 「2 i ≤ a 2i\le a 2 i ≤ a 3 j ≤ b 3j\le b 3 j ≤ b i + j = s i+j=s i + j = s なる i , j i,j i , j ある」こと、つまり ⌊ a / 2 ⌋ + ⌊ b / 3 ⌋ ≥ s \lfloor a/2\rfloor+\lfloor b/3\rfloor\ge s ⌊ a /2 ⌋ + ⌊ b /3 ⌋ ≥ s 同じである。ℓ ( A / q n ) \ell(A/q^n) ℓ ( A / q n ) ⌊ a / 2 ⌋ + ⌊ b / 3 ⌋ < n \lfloor a/2\rfloor+\lfloor b/3\rfloor<n ⌊ a /2 ⌋ + ⌊ b /3 ⌋ < n なる ( a , b ) (a,b) ( a , b ) 個数で、2 × 3 2\times3 2 × 3 タイルが ( n + 1 2 ) \binom{n+1}{2} ( 2 n + 1 )
(2)
A A A の
0でない単項式は 1 , x , y , y 2 , … 1,\ x,\ y,\ y^2,\dots 1 , x , y , y 2 , … q s = ( y s ) q^s=(y^s) q s = ( y s ) 基底は y s , y s + 1 , … y^s,y^{s+1},\dots y s , y s + 1 , … s ≥ 1 s\ge1 s ≥ 1 よって ℓ ( A / q n ) = n + 1 \ell(A/q^n)=n+1 ℓ ( A / q n ) = n + 1 q s / q s + 1 = k y s q^s/q^{s+1}=k\,y^s q s / q s + 1 = k y s s ≥ 1 s\ge1 s ≥ 1 α ( x ˉ Y ) = x y ‾ = 0 \alpha(\bar x\,Y)=\overline{xy}=0 α ( x ˉ Y ) = x y = 0 なので
x ˉ Y \bar x\,Y x ˉ Y は
核に入る。A / q A/q A / q 基底 1 , x ˉ 1,\bar x 1 , x ˉ Y s Y^s Y s 積のうち、s ≥ 1 s\ge1 s ≥ 1 残るのは Y s Y^s Y s 像 y s y^s y s q s M = ( y s ) ( x , y ) = ( x y s , y s + 1 ) = ( y s + 1 ) q^sM=(y^s)(x,y)=(xy^s,\ y^{s+1})=(y^{s+1}) q s M = ( y s ) ( x , y ) = ( x y s , y s + 1 ) = ( y s + 1 ) （
s ≥ 1 s\ge1 s ≥ 1 ）なので
q s / q s M = k y s q^s/q^sM=k\,y^s q s / q s M = k y s で、
α ˉ ( Y s ) = y s \bar\alpha(Y^s)=y^s α ˉ ( Y s ) = y s は
0でない。
k [ x , y ] ( x , y ) , q = ( x 2 , y 3 ) k[x,y]_{(x,y)},\ \ q=(x^2,\,y^3) k [ x , y ] ( x , y ) , q = ( x 2 , y 3 ) ℓ ( A / q n ) = 6 ( n + 1 2 ) \ell(A/q^n)=6\binom{n+1}{2} ℓ ( A / q n ) = 6 ( 2 n + 1 ) ⇒ x ˉ Y n ∈ Ker α \Rightarrow\ \bar x\,Y^n\in\operatorname{Ker}\alpha ⇒ x ˉ Y n ∈ Ker α k [ x , y ] ( x , y ) / ( x 2 , x y ) , q = ( y ) k[x,y]_{(x,y)}/(x^2,xy),\ \ q=(y) k [ x , y ] ( x , y ) / ( x 2 , x y ) , q = ( y ) ℓ ( A / q n ) = n + 1 \ell(A/q^n)=n+1 ℓ ( A / q n ) = n + 1 図3 具体例 例12 の2つの環の単項式 x a y b x^ay^b x a y b ( a , b ) (a,b) ( a , b ) A / q A/q A / q ( A / q ) X i Y j (A/q)\,X^iY^j ( A / q ) X i Y j q s / q s + 1 q^s/q^{s+1} q s / q s + 1 α ˉ ( X i Y j ) \bar\alpha(X^iY^j) α ˉ ( X i Y j ) q s / q s M q^s/q^sM q s / q s M q = ( x 2 , y 3 ) q=(x^2,y^3) q = ( x 2 , y 3 ) α \alpha α x 2 = x y = 0 x^2=xy=0 x 2 = x y = 0 Y s Y^s Y s s ≥ 1 s\ge1 s ≥ 1 x y s = 0 xy^s=0 x y s = 0 α ˉ \bar\alpha α ˉ
第7回の評価 ℓ ( A / q n ) ≤ ℓ ( A / q ) ( n + d − 1 d ) \ell(A/q^n)\le\ell(A/q)\binom{n+d-1}{d} ℓ ( A / q n ) ≤ ℓ ( A / q ) ( d n + d − 1 ) 第7回の命題5 ）と比べます。(1) では ℓ ( A / q ) = 6 \ell(A/q)=6 ℓ ( A / q ) = 6 d = 2 d=2 d = 2 評価の 6 ( n + 1 2 ) 6\binom{n+1}{2} 6 ( 2 n + 1 ) 実際の値が一致します。(2) では評価は 2 n 2n 2 n 実際の n + 1 n+1 n + 1 n ≥ 2 n\ge2 n ≥ 2 真に小さくなります。
n 1 2 3 4 ( 1 ) ℓ ( A / q n ) 6 18 36 60 6 ( n + 1 2 ) 6 18 36 60 ( 2 ) ℓ ( A / q n ) 2 3 4 5 2 ( n 1 ) 2 4 6 8 \begin{array}{c|cccc} n & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline (1)\ \ \ell(A/q^n) & 6 & 18 & 36 & 60 \\ 6\binom{n+1}{2} & 6 & 18 & 36 & 60 \\ \hline (2)\ \ \ell(A/q^n) & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2\binom{n}{1} & 2 & 4 & 6 & 8 \end{array} n ( 1 ) ℓ ( A / q n ) 6 ( 2 n + 1 ) ( 2 ) ℓ ( A / q n ) 2 ( 1 n ) 1 6 6 2 2 2 18 18 3 4 3 36 36 4 6 4 60 60 5 8 評価との差は、α \alpha α 核から生じています。(2) では y y y 零因子 （x ⋅ y = 0 x\cdot y=0 x ⋅ y = 0 その分だけ gr q ( A ) \operatorname{gr}_q(A) gr q ( A ) ( A / q ) [ Y ] (A/q)[Y] ( A / q ) [ Y ] 小さくなっています。
専門的な話 α \alpha α
(1) の x 2 , y 3 x^2,\ y^3 x 2 , y 3 x 2 x^2 x 2 A A A 非零因子 、y 3 y^3 y 3 A / ( x 2 ) A/(x^2) A / ( x 2 ) 非零因子 になっています。このように順に非零因子 になる列を正則列 と呼びます。巴系 が正則列 なら α \alpha α 同型で、ℓ ( A / q n ) = ℓ ( A / q ) ( n + d − 1 d ) \ell(A/q^n)=\ell(A/q)\binom{n+d-1}{d} ℓ ( A / q n ) = ℓ ( A / q ) ( d n + d − 1 ) なります。
ある巴系 が正則列 になる局所環 がコーエン・マコーレー環で、そのときはすべての巴系 が正則列 になります。これらは第12回で扱う予定です。(2) の環はコーエン・マコーレー環ではありません。
n n n 大きいときの ℓ ( A / q n ) \ell(A/q^n) ℓ ( A / q n ) 最高次の係数に d ! d! d ! 掛けたものを、q q q 重複度 e ( q ) e(q) e ( q ) 呼びます。
松村は ℓ ( A / q ) ≥ e ( q ) \ell(A/q)\ge e(q) ℓ ( A / q ) ≥ e ( q ) 示しています[1 , 定理14.10, p.132] 。(1) では e ( q ) = 6 = ℓ ( A / q ) e(q)=6=\ell(A/q) e ( q ) = 6 = ℓ ( A / q ) (2) では e ( q ) = 1 < 2 = ℓ ( A / q ) e(q)=1<2=\ell(A/q) e ( q ) = 1 < 2 = ℓ ( A / q ) この連載では重複度そのものは扱いません。
完備局所環はべき級数環の上で有限
定理11 (2) から、体 k k k 含む局所環 では、巴系 x 1 , … , x d x_1,\dots,x_d x 1 , … , x d k k k 多項式環 k [ x 1 , … , x d ] k[x_1,\dots,x_d] k [ x 1 , … , x d ] 生成します。第4回 のネーターの正規化定理 （第4回の定理4 ）では、有限生成代数が多項式環の上で有限になりました。完備な局所環 では、その局所版が成り立ちます。
おさらい 完備化と M M M
局所環 ( A , M ) (A,M) ( A , M ) 完備であるとは、A → l i m ← n A / M n A\to\varprojlim_nA/M^n A → lim n A / M n 同型であることでした（第7回の系15 ）。M n M^n M n 0の近傍とする位相（M M M コーシー列がただ1つの極限をもつ、と言っても同じです。
A → ≅ l i m ← n A / M n ↓ ↓ A / M n + 1 → A / M n \begin{CD} A @>{\cong}>> \varprojlim_nA/M^n \\ @VVV @VVV \\ A/M^{n+1} @>>> A/M^n \end{CD} A ↓ ⏐ A / M n + 1 ≅ n lim A / M n ↓ ⏐ A / M n ネーター局所環 では ⋂ n M n = 0 \bigcap_nM^n=0 ⋂ n M n = 0 極限はただ1つです[2 , 系10.20, p.171] 。例えば k [ [ x ] ] k[[x]] k [[ x ]] ∑ i c i x i \sum_ic_ix^i ∑ i c i x i 部分和は M M M 収束します。差 c n x n + c n + 1 x n + 1 + ⋯ c_nx^n+c_{n+1}x^{n+1}+\cdots c n x n + c n + 1 x n + 1 + ⋯ M n M^n M n 入るからです。
局所環 ( A , M , k ) (A,M,k) ( A , M , k ) 部分体 K K K A → A / M A\to A/M A → A / M K K K 制限すると同型 K ≅ k K\cong k K ≅ k なるものを、係数体 と呼びます。例えば k [ [ x , y ] ] k[[x,y]] k [[ x , y ]] 定数の体 k k k 係数体 です。
命題13 完備局所環の巴系とべき級数環 [2 , 演習問題11.2, p.194]
( A , M , k ) (A,M,k) ( A , M , k ) 完備な d d d ネーター局所環 とし、係数体 k ⊆ A k\subseteq A k ⊆ A もつとする。巴系 x 1 , … , x d x_1,\dots,x_d x 1 , … , x d ついて、T i ↦ x i T_i\mapsto x_i T i ↦ x i 定まる準同型
φ : k [ [ T 1 , … , T d ] ] ⟶ A ∑ β c β T β ⟼ ∑ β c β x β \varphi\colon k[[T_1,\dots,T_d]]\longrightarrow A\qquad \sum_\beta c_\beta T^\beta\longmapsto\sum_\beta c_\beta x^\beta φ : k [[ T 1 , … , T d ]] ⟶ A β ∑ c β T β ⟼ β ∑ c β x β φ : k [ [ T 1 , … , T d ] ] ⟶ A ∑ β c β T β ⟼ ∑ β c β x β \begin{gathered}\varphi\colon k[[T_1,\dots,T_d]]\longrightarrow A\\\sum_\beta c_\beta T^\beta\longmapsto\sum_\beta c_\beta x^\beta\end{gathered} φ : k [[ T 1 , … , T d ]] ⟶ A β ∑ c β T β ⟼ β ∑ c β x β φ : k [ [ T 1 , … , T d ] ] ⟶ A ∑ β c β T β ⟼ ∑ β c β x β \begin{aligned}\varphi\colon k[[T_1,\dots,T_d]] &\longrightarrow A\\[4pt]&\sum_\beta c_\beta T^\beta\longmapsto\sum_\beta c_\beta x^\beta\end{aligned} φ : k [[ T 1 , … , T d ]] ⟶ A β ∑ c β T β ⟼ β ∑ c β x β は単射で、A A A φ \varphi φ よって有限生成 k [ [ T 1 , … , T d ] ] k[[T_1,\dots,T_d]] k [[ T 1 , … , T d ]] 加群 になる。
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる φ \varphi φ 定まる。q = ( x 1 , … , x d ) q=(x_1,\dots,x_d) q = ( x 1 , … , x d ) すると、右辺の部分和は M M M コーシー列なので、A A A 完備であることから収束する。詳しく 閉じる
n n n 項は q n ⊆ M n q^n\subseteq M^n q n ⊆ M n 入る。極限はただ1つで（[2 , 系10.20, p.171] ）、和と積は部分和の和と積の極限なので、φ \varphi φ 環の準同型である。
単射：0でない F F F 最低次の斉次部分を F s ≠ 0 F_s\neq0 F s = 0 する。φ ( F ) = 0 \varphi(F)=0 φ ( F ) = 0 F s ( x ) ∈ q s + 1 F_s(x)\in q^{s+1} F s ( x ) ∈ q s + 1 定理11 (1) から F s F_s F s 係数は M ∩ k = 0 M\cap k=0 M ∩ k = 0 入る。これは矛盾である。詳しく 閉じる
F s ( x ) = − ∑ j > s F j ( x ) F_s(x)=-\sum_{j>s}F_j(x) F s ( x ) = − ∑ j > s F j ( x ) 右辺の部分和はすべて q s + 1 q^{s+1} q s + 1 入る。q s + 1 q^{s+1} q s + 1 M M M ある N N N M N ⊆ q s + 1 M^N\subseteq q^{s+1} M N ⊆ q s + 1 開集合 M N M^N M N 含む部分群は、補集合が開集合 a + M N a+M^N a + M N 和なので閉集合で、極限も q s + 1 q^{s+1} q s + 1 入る。
有限生成：A / q A/q A / q k k k 基底 e 1 , … , e r e_1,\dots,e_r e 1 , … , e r r = ℓ ( A / q ) r=\ell(A/q) r = ℓ ( A / q ) とると、gr q ( A ) \operatorname{gr}_q(A) gr q ( A ) k [ T 1 , … , T d ] k[T_1,\dots,T_d] k [ T 1 , … , T d ] 加群 として e ˉ 1 , … , e ˉ r \bar e_1,\dots,\bar e_r e ˉ 1 , … , e ˉ r 生成される。詳しく 閉じる
T i T_i T i x ˉ i ∈ q / q 2 \bar x_i\in q/q^2 x ˉ i ∈ q / q 2 掛ける作用で、gr q ( A ) = gr ( T ) ( A ) \operatorname{gr}_q(A)=\operatorname{gr}_{(T)}(A) gr q ( A ) = gr ( T ) ( A ) gr ( T ) ( k [ [ T ] ] ) = k [ T ] \operatorname{gr}_{(T)}(k[[T]])=k[T] gr ( T ) ( k [[ T ]]) = k [ T ] 加群 になる。q s / q s + 1 q^s/q^{s+1} q s / q s + 1 A / q A/q A / q x β x^\beta x β ∣ β ∣ = s |\beta|=s ∣ β ∣ = s 生成され、A / q A/q A / q k k k e j e_j e j 張られるので、q s / q s + 1 q^s/q^{s+1} q s / q s + 1 k k k e j x β e_jx^\beta e j x β 張られる。
k [ [ T ] ] k[[T]] k [[ T ]] ( T ) (T) ( T ) 完備で、A A A フィルター ( T ) n A = q n (T)^nA=q^n ( T ) n A = q n ハウスドルフ（⋂ n q n = 0 \bigcap_nq^n=0 ⋂ n q n = 0 アティヤ・マクドナルドの命題10.24 [2 , 命題10.24, p.174] から、A A A e 1 , … , e r e_1,\dots,e_r e 1 , … , e r 生成される k [ [ T ] ] k[[T]] k [[ T ]] 加群 である。詳しく 閉じる
引用した命題は「B B B イデアル b \mathfrak b b ついて完備で、B B B 加群 N N N b \mathfrak b b ハウスドルフ、随伴次数加群 が有限生成なら、N N N 有限生成」というもの。⋂ n q n ⊆ ⋂ n M n = 0 \bigcap_nq^n\subseteq\bigcap_nM^n=0 ⋂ n q n ⊆ ⋂ n M n = 0 [2 , 系10.20, p.171] 。
φ \varphi φ それが引き起こす随伴次数環 の写像を並べます。下の行の gr ( φ ) \operatorname{gr}(\varphi) gr ( φ ) 補題9 の α \alpha α k [ T ] ⊆ ( A / q ) [ T ] k[T]\subseteq(A/q)[T] k [ T ] ⊆ ( A / q ) [ T ] 制限したものです。
k [ [ T 1 , … , T d ] ] → φ A ↓ ↓ gr ( T ) k [ [ T ] ] = k [ T 1 , … , T d ] → gr ( φ ) gr q ( A ) \begin{CD} k[[T_1,\dots,T_d]] @>{\varphi}>> A \\ @VVV @VVV \\ \operatorname{gr}_{(T)}k[[T]]=k[T_1,\dots,T_d] @>{\operatorname{gr}(\varphi)}>> \operatorname{gr}_q(A) \end{CD} k [[ T 1 , … , T d ]] ↓ ⏐ gr ( T ) k [[ T ]] = k [ T 1 , … , T d ] φ gr ( φ ) A ↓ ⏐ gr q ( A ) gr ( φ ) \operatorname{gr}(\varphi) gr ( φ ) 単射で（定理11 (1) の α ˉ \bar\alpha α ˉ 同型だから）、gr q ( A ) \operatorname{gr}_q(A) gr q ( A ) ℓ ( A / q ) \ell(A/q) ℓ ( A / q ) 元で生成されます。上の行の φ \varphi φ 単射で、A A A 有限生成になる、というのがこの命題です。
ネーターの正規化定理 と並べると、次のようになります。左は体 k k k d d d 整域 B B B 右は係数体 をもつ d d d 完備局所環 A A A どちらの単射も「有限」（右の環が左の環の上で有限生成加群 ）です。
k [ y 1 , … , y d ] ↪ B k [ [ T 1 , … , T d ] ] ↪ A k[y_1,\dots,y_d]\ \hookrightarrow\ B\qquad\qquad k[[T_1,\dots,T_d]]\ \hookrightarrow\ A k [ y 1 , … , y d ] ↪ B k [[ T 1 , … , T d ]] ↪ A k [ y 1 , … , y d ] ↪ B k [ [ T 1 , … , T d ] ] ↪ A \begin{gathered}k[y_1,\dots,y_d]\ \hookrightarrow\ B\\k[[T_1,\dots,T_d]]\ \hookrightarrow\ A\end{gathered} k [ y 1 , … , y d ] ↪ B k [[ T 1 , … , T d ]] ↪ A
例14 尖点
A = k [ [ t 2 , t 3 ] ] = { ∑ i c i t i ∈ k [ [ t ] ] ∣ c 1 = 0 } A=k[[t^2,t^3]]=\{\sum_ic_it^i\in k[[t]]\mid c_1=0\} A = k [[ t 2 , t 3 ]] = { ∑ i c i t i ∈ k [[ t ]] ∣ c 1 = 0 } x = t 2 x=t^2 x = t 2 y = t 3 y=t^3 y = t 3 （y 2 = x 3 y^2=x^3 y 2 = x 3 A A A 1次元の完備ネーター局所環 で、x x x y y y 巴系 である。
(1) A / x A A/xA A / x A 基底は 1 , t 3 1,\ t^3 1 , t 3 A = k [ [ x ] ] ⋅ 1 ⊕ k [ [ x ] ] ⋅ t 3 A=k[[x]]\cdot1\oplus k[[x]]\cdot t^3 A = k [[ x ]] ⋅ 1 ⊕ k [[ x ]] ⋅ t 3 階数2の自由加群 。A / y A A/yA A / y A 基底は 1 , t 2 , t 4 1,\ t^2,\ t^4 1 , t 2 , t 4 A = k [ [ y ] ] ⋅ 1 ⊕ k [ [ y ] ] ⋅ t 2 ⊕ k [ [ y ] ] ⋅ t 4 A=k[[y]]\cdot1\oplus k[[y]]\cdot t^2\oplus k[[y]]\cdot t^4 A = k [[ y ]] ⋅ 1 ⊕ k [[ y ]] ⋅ t 2 ⊕ k [[ y ]] ⋅ t 4 階数3の自由加群 。
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる A A A k [ [ X , Y ] ] → k [ [ t ] ] k[[X,Y]]\to k[[t]] k [[ X , Y ]] → k [[ t ]] X ↦ t 2 , Y ↦ t 3 X\mapsto t^2,\ Y\mapsto t^3 X ↦ t 2 , Y ↦ t 3 像なので、完備ネーター局所環 である。整域 で体でないので1次元以上、A / x A A/xA A / x A 長さが有限なので1次元以下。詳しく 閉じる
1 1 1 自然数は 2 a + 3 b 2a+3b 2 a + 3 b 書けるので、像は t 1 t^1 t 1 係数が0のべき級数全体である。完備ネーター局所環 の剰余環 は完備ネーター局所環 である。dim A ≤ δ ( A ) ≤ 1 \dim A\le\delta(A)\le1 dim A ≤ δ ( A ) ≤ 1 次元定理による。
(1)
x A xA x A の
元の指数は 2 + s 2+s 2 + s s ≠ 1 s\neq1 s = 1 3 3 3 現れない。よって A / x A A/xA A / x A 基底は指数 0 , 3 0,3 0 , 3 1 , t 3 1,t^3 1 , t 3 A A A 指数 s s s 偶数なら 0 + 2 j 0+2j 0 + 2 j 3以上の奇数なら 3 + 2 j 3+2j 3 + 2 j ただ1通りに書ける。 (2)
y A yA y A の
元の指数は 3 + s 3+s 3 + s s ≠ 1 s\neq1 s = 1 0 , 2 , 4 0,2,4 0 , 2 , 4 A A A あって y A yA y A ない。A A A 指数は3で割った余りで 0 + 3 j 0+3j 0 + 3 j 2 + 3 j 2+3j 2 + 3 j 4 + 3 j 4+3j 4 + 3 j どれかにただ1通りに書ける。
k [ [ x ] ] k[[x]] k [[ x ]] 上（
x = t 2 x=t^2 x = t 2 ）
t 3 ⋅ k [ [ t 2 ] ] t^{3}\cdot k[[t^2]] t 3 ⋅ k [[ t 2 ]] t 0 ⋅ k [ [ t 2 ] ] t^{0}\cdot k[[t^2]] t 0 ⋅ k [[ t 2 ]] k [ [ y ] ] k[[y]] k [[ y ]] 上（
y = t 3 y=t^3 y = t 3 ）
t 4 ⋅ k [ [ t 3 ] ] t^{4}\cdot k[[t^3]] t 4 ⋅ k [[ t 3 ]] t 2 ⋅ k [ [ t 3 ] ] t^{2}\cdot k[[t^3]] t 2 ⋅ k [[ t 3 ]] t 0 ⋅ k [ [ t 3 ] ] t^{0}\cdot k[[t^3]] t 0 ⋅ k [[ t 3 ]] 白丸の
1 1 1 は欠けている指数（
t ∉ A t\notin A t ∈ / A ）。丸で囲んだ指数が
A / t g A A/t^gA A / t g A の基底で、その個数が階数
図4 具体例 A = k [ [ t 2 , t 3 ] ] A=k[[t^2,t^3]] A = k [[ t 2 , t 3 ]] x = t 2 x=t^2 x = t 2 1 1 1 t 3 t^3 t 3 y = t 3 y=t^3 y = t 3 A / x A A/xA A / x A A / y A A/yA A / y A ℓ ( A / x A ) = 2 \ell(A/xA)=2 ℓ ( A / x A ) = 2 ℓ ( A / y A ) = 3 \ell(A/yA)=3 ℓ ( A / y A ) = 3
図形の言葉では、尖点 y 2 = x 3 y^2=x^3 y 2 = x 3 x x x 射影すると2対1、y y y 射影すると3対1になる、ということです。x x x 決めると y = ± x 3 / 2 y=\pm x^{3/2} y = ± x 3/2 2つ、y y y 決めると x = y 2 / 3 x=y^{2/3} x = y 2/3 3つ（1の3乗根の分）が対応します。
実数の点だけを見ると、y y y 射影は1対1に見えます。実数の3乗根は1つしかないからです。階数3は、複素数の点で数えて初めて見える数です。
もう少し詳しく 完備でないと有限にならない例
完備という仮定は外せません。曲線 x = y 2 + y x=y^2+y x = y 2 + y 原点での局所環 は k [ y ] ( y ) k[y]_{(y)} k [ y ] ( y ) x = y ( 1 + y ) x=y(1+y) x = y ( 1 + y ) 巴系 です。しかし k [ y ] ( y ) k[y]_{(y)} k [ y ] ( y ) k [ x ] ( x ) k[x]_{(x)} k [ x ] ( x ) 上で有限ではありません。
x = 0 x=0 x = 0 上には y = 0 y=0 y = 0 y = − 1 y=-1 y = − 1 2点があり、局所化で y = − 1 y=-1 y = − 1 捨てたからです。有限なら整拡大なので、横たわり（第2回の定理10 ）から、B = k [ x ] ( x ) [ y ] B=k[x]_{(x)}[y] B = k [ x ] ( x ) [ y ] 極大イデアル ( y + 1 ) B (y+1)B ( y + 1 ) B 上にも k [ y ] ( y ) k[y]_{(y)} k [ y ] ( y ) 素イデアルがあるはずです。ところが k [ y ] ( y ) k[y]_{(y)} k [ y ] ( y ) 素イデアル ( 0 ) (0) ( 0 ) ( y ) (y) ( y ) B B B ( 0 ) (0) ( 0 ) ( y ) B (y)B ( y ) B しか写りません。
k [ x ] ( x ) → B = k [ x ] ( x ) [ y ] ↓ k [ [ x ] ] → ≅ k [ [ y ] ] → k [ y ] ( y ) ↓ = k [ [ y ] ] {}\begin{gathered} \begin{CD} k[x]_{(x)} @>>> B=k[x]_{(x)}[y] \\ @VVV @. \\ k[[x]] @>{\cong}>> k[[y]] \end{CD}\\[6pt] \begin{CD} @>>> k[y]_{(y)} \\ @. @VVV \\ @= k[[y]] \end{CD} \end{gathered} k [ x ] ( x ) ↓ ⏐ k [[ x ]] ≅ B = k [ x ] ( x ) [ y ] k [[ y ]] k [ y ] ( y ) ↓ ⏐ k [[ y ]] 完備化 すると、x = y + y 2 x=y+y^2 x = y + y 2 y = x − x 2 + 2 x 3 − ⋯ y=x-x^2+2x^3-\cdots y = x − x 2 + 2 x 3 − ⋯ 逆に解けて、k [ [ x ] ] → k [ [ y ] ] k[[x]]\to k[[y]] k [[ x ]] → k [[ y ]] 同型になります。k [ [ x ] ] k[[x]] k [[ x ]] 上では y = 0 y=0 y = 0 y = − 1 y=-1 y = − 1 2つの枝を別々に扱えるようになり、y = 0 y=0 y = 0 枝だけを取り出しても有限になるのです。
交点重複度は巴系で割った長さ
代数幾何の連載の第9回 では、平面曲線 f = 0 f=0 f = 0 g = 0 g=0 g = 0 点 p p p 交点重複度を、局所環 を2つの式で割った長さで定義しました。
おさらい 交点重複度
f , g ∈ k [ x , y ] f,g\in k[x,y] f , g ∈ k [ x , y ] 共通の因子をもたないとき、点 p p p 局所環 O p = k [ x , y ] M p \mathcal{O}_p=k[x,y]_{M_p} O p = k [ x , y ] M p 使って、次のように定義しました（図で読む代数幾何 第9回の定義1 ）。
I p ( f , g ) = dim k O p / ( f , g ) O p = ℓ ( O p / ( f , g ) ) I_p(f,g)=\dim_k\mathcal{O}_p/(f,g)\mathcal{O}_p=\ell\bigl(\mathcal{O}_p/(f,g)\bigr) I p ( f , g ) = dim k O p / ( f , g ) O p = ℓ ( O p / ( f , g ) ) I p ( f , g ) = dim k O p / ( f , g ) O p = ℓ ( O p / ( f , g ) ) \begin{aligned}I_p(f,g) &= \dim_k\mathcal{O}_p/(f,g)\mathcal{O}_p\\&= \ell\bigl(\mathcal{O}_p/(f,g)\bigr)\end{aligned} I p ( f , g ) = dim k O p / ( f , g ) O p = ℓ ( O p / ( f , g ) ) 例えば放物線 y = x 2 y=x^2 y = x 2 接線 y = 0 y=0 y = 0 O 0 / ( y − x 2 , y ) ≅ k [ x ] / ( x 2 ) \mathcal{O}_0/(y-x^2,\ y)\cong k[x]/(x^2) O 0 / ( y − x 2 , y ) ≅ k [ x ] / ( x 2 ) I 0 = 2 I_0=2 I 0 = 2 （図で読む代数幾何 第9回の例2 ）。I p I_p I p 有限であることも、そこで確かめました（図で読む代数幾何 第9回の命題3 ）。
O p \mathcal{O}_p O p 2次元の局所環 なので、f , g f,g f , g p p p 0になるとき、I p ( f , g ) < ∞ I_p(f,g)<\infty I p ( f , g ) < ∞ 「f , g f,g f , g O p \mathcal{O}_p O p 巴系 である」ことにほかなりません。交点重複度は、巴系 で割った長さなのです。
命題15 交点と巴系
f , g ∈ k [ x , y ] f,g\in k[x,y] f , g ∈ k [ x , y ] 0でない多項式とし、点 p p p f ( p ) = g ( p ) = 0 f(p)=g(p)=0 f ( p ) = g ( p ) = 0 する。O p = k [ x , y ] M p \mathcal{O}_p=k[x,y]_{M_p} O p = k [ x , y ] M p ついて、次は同値である。
(1) f , g f,g f , g O p \mathcal{O}_p O p 巴系 。I p ( f , g ) = ℓ ( O p / ( f , g ) ) < ∞ I_p(f,g)=\ell(\mathcal{O}_p/(f,g))<\infty I p ( f , g ) = ℓ ( O p / ( f , g )) < ∞ f f f g g g p p p 0になる既約な共通因子をもたない。
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる (1)⇔(2) は
巴系 の
定義そのものである（dim O p = 2 \dim\mathcal{O}_p=2 dim O p = 2 第7回の例10 の k [ x , y ] ( x , y ) k[x,y]_{(x,y)} k [ x , y ] ( x , y ) 平行移動したもの）。 f ≠ 0 f\neq0 f = 0 は
整域 O p \mathcal{O}_p O p の
非零因子 なので
巴系 の
一部で、dim O p / ( f ) = 1 \dim\mathcal{O}_p/(f)=1 dim O p / ( f ) = 1 命題3 (3)）。よって (1) は「g g g 像が O p / ( f ) \mathcal{O}_p/(f) O p / ( f ) 巴系 」と同値である。 O p / ( f ) \mathcal{O}_p/(f) O p / ( f ) 極小素イデアル は、f f f 既約因子 h h h h ( p ) = 0 h(p)=0 h ( p ) = 0 なるものの ( h ) (h) ( h ) どれも dim O p / ( h ) = 1 \dim\mathcal{O}_p/(h)=1 dim O p / ( h ) = 1 詳しく 閉じる
f f f 含む O p \mathcal{O}_p O p 素イデアル Q Q Q k [ x , y ] k[x,y] k [ x , y ] 引き戻すと、f f f 含む素イデアルなので、f f f 既約因子 h h h 1つ含む。Q ⊆ M p O p Q\subseteq M_p\mathcal{O}_p Q ⊆ M p O p h ( p ) = 0 h(p)=0 h ( p ) = 0 k [ x , y ] k[x,y] k [ x , y ] 一意分解整域 なので ( h ) (h) ( h ) 素イデアルで、h ( p ) = 0 h(p)=0 h ( p ) = 0 ( h ) O p (h)\mathcal{O}_p ( h ) O p 素イデアルである。
h ≠ 0 h\neq0 h = 0 dim O p / ( h ) = 1 \dim\mathcal{O}_p/(h)=1 dim O p / ( h ) = 1 命題3 (3) を h h h 使う）。
1次元の
O p / ( f ) \mathcal{O}_p/(f) O p / ( f ) の
極小素イデアル は
すべて dim = 1 \dim=1 dim = 1 命題3 (3) から、g g g 像が巴系 になるのは g g g どの ( h ) (h) ( h ) 入らないとき、つまり h ∤ g h\nmid g h ∤ g ときである。これが (3) である。 p p p 0にならない共通因子は、O p \mathcal{O}_p O p 単元 なので、ℓ ( O p / ( f , g ) ) \ell(\mathcal{O}_p/(f,g)) ℓ ( O p / ( f , g )) 影響しません。例えば f = ( x − 1 ) y f=(x-1)y f = ( x − 1 ) y g = ( x − 1 ) ( y − x 2 ) g=(x-1)(y-x^2) g = ( x − 1 ) ( y − x 2 ) 共通因子 x − 1 x-1 x − 1 もちますが、原点では ( f , g ) O 0 = ( y , y − x 2 ) (f,g)\mathcal{O}_0=(y,\ y-x^2) ( f , g ) O 0 = ( y , y − x 2 ) I 0 = 2 I_0=2 I 0 = 2 点 ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) 共通の直線 x = 1 x=1 x = 1 通るので巴系 になりません。
例16 尖点と直線の交点重複度
尖点 f = y 2 − x 3 f=y^2-x^3 f = y 2 − x 3 原点を通る直線の交点重複度は次のとおり。
I 0 ( y 2 − x 3 , x ) = 2 I 0 ( y 2 − x 3 , y ) = 3 I 0 ( y 2 − x 3 , y − x ) = 2 I_0(y^2-x^3,\ x)=2\qquad I_0(y^2-x^3,\ y)=3\qquad I_0(y^2-x^3,\ y-x)=2 I 0 ( y 2 − x 3 , x ) = 2 I 0 ( y 2 − x 3 , y ) = 3 I 0 ( y 2 − x 3 , y − x ) = 2 I 0 ( y 2 − x 3 , x ) = 2 I 0 ( y 2 − x 3 , y ) = 3 I 0 ( y 2 − x 3 , y − x ) = 2 \begin{gathered}I_0(y^2-x^3,\ x)=2\\I_0(y^2-x^3,\ y)=3\\I_0(y^2-x^3,\ y-x)=2\end{gathered} I 0 ( y 2 − x 3 , x ) = 2 I 0 ( y 2 − x 3 , y ) = 3 I 0 ( y 2 − x 3 , y − x ) = 2 I 0 ( y 2 − x 3 , x ) = 2 I 0 ( y 2 − x 3 , y ) = 3 I 0 ( y 2 − x 3 , y − x ) = 2 \begin{aligned}I_0(y^2-x^3,\ x) &= 2\\[4pt]I_0(y^2-x^3,\ y) &= 3\\[4pt]I_0(y^2-x^3,\ y-x) &= 2\end{aligned} I 0 ( y 2 − x 3 , x ) I 0 ( y 2 − x 3 , y ) I 0 ( y 2 − x 3 , y − x ) = 2 = 3 = 2 どの直線も、O 0 / ( f ) \mathcal{O}_0/(f) O 0 / ( f ) 巴系 である。
証明 開く 閉じる x = 0 x=0 x = 0 を
代入すると k [ y ] / ( y 2 ) k[y]/(y^2) k [ y ] / ( y 2 ) y = 0 y=0 y = 0 代入すると k [ x ] / ( x 3 ) k[x]/(x^3) k [ x ] / ( x 3 ) 長さは2と3。 y = x y=x y = x を
代入すると x 2 − x 3 = x 2 ( 1 − x ) x^2-x^3=x^2(1-x) x 2 − x 3 = x 2 ( 1 − x ) 1 − x 1-x 1 − x O 0 \mathcal{O}_0 O 0 単元 なので k [ x ] / ( x 2 ) k[x]/(x^2) k [ x ] / ( x 2 ) 長さ2。 I 0 ( f , x ) = 2 I_0(f,x)=2 I 0 ( f , x ) = 2 I 0 ( f , y ) = 3 I_0(f,y)=3 I 0 ( f , y ) = 3 例14 の階数2と3と同じ数です。尖点の局所環 を x x x 割った長さと y y y 割った長さが、それぞれの射影の「何対1か」を決めています。
尖点の重複度は2で（代数幾何の連載の第6回 、図で読む代数幾何 第6回の定義14 ）、接錐は直線 y = 0 y=0 y = 0 交点重複度は I p ( f , ℓ ) ≥ μ p ( f ) I_p(f,\ell)\ge\mu_p(f) I p ( f , ℓ ) ≥ μ p ( f ) 等号は直線 ℓ \ell ℓ 接錐に含まれないときに成り立ちました（図で読む代数幾何 第9回の命題4 (4)）。接線 y = 0 y=0 y = 0 3で、ほかの直線は2です。
平面曲線では、一般の直線との交点重複度が最小値 μ p ( f ) \mu_p(f) μ p ( f ) とりました。一般の局所環 でも「一般の1次結合」で巴系 が作れます。松村は、剰余体が無限体 のとき、M M M 準素イデアル q q q 生成元の十分一般な d d d 1次結合が巴系 になることを示しています[1 , 定理14.14, p.135] 。
第7回の定義2 δ ( A ) \delta(A) δ ( A )
( A , M , k ) (A,M,k) ( A , M , k ) ネーター局所環 とする。M M M 準素イデアル の生成元の個数の最小値を δ ( A ) \delta(A) δ ( A ) 書く。補題1により、これは
δ ( A ) = min { n ≥ 0 ∣ x 1 , … , x n ∈ M , ℓ ( A / ( x 1 , … , x n ) ) < ∞ } \begin{aligned} &\delta(A)=\min\{\,n\ge0\mid{}\\ &\quad x_1,\dots,x_n\in M,{}\\ &\quad\ell\bigl(A/(x_1,\dots,x_n)\bigr)<\infty\,\} \end{aligned} δ ( A ) = min { n ≥ 0 ∣ x 1 , … , x n ∈ M , ℓ ( A / ( x 1 , … , x n ) ) < ∞ } と同じである（n = 0 n=0 n = 0 ℓ ( A ) < ∞ \ell(A)<\infty ℓ ( A ) < ∞ 意味する）。
第7回の補題1 M M M 言い換え
( A , M , k ) (A,M,k) ( A , M , k ) ネーター局所環 、J ⊆ M J\subseteq M J ⊆ M イデアルとする。次は同値である。
(1) J J J M M M 準素イデアル 。J = M \sqrt J=M J = M r r r M r ⊆ J M^r\subseteq J M r ⊆ J ℓ ( A / J ) < ∞ \ell(A/J)<\infty ℓ ( A / J ) < ∞
第7回の定理4 次元定理
( A , M , k ) (A,M,k) ( A , M , k ) ネーター局所環 とする。次の3つの数は等しい。とくにどれも有限である。
(1) dim A \dim A dim A A A A 素イデアルの鎖の長さの上限。d ( A ) d(A) d ( A ) 大きい n n n ℓ ( A / M n ) \ell(A/M^n) ℓ ( A / M n ) 一致する多項式の次数。δ ( A ) \delta(A) δ ( A ) M M M 準素イデアル の生成元の個数の最小値。
第7回の命題8
( A , M , k ) (A,M,k) ( A , M , k ) d d d ネーター局所環 とする。x 1 , … , x d ∈ M x_1,\dots,x_d\in M x 1 , … , x d ∈ M ( x 1 , … , x d ) (x_1,\dots,x_d) ( x 1 , … , x d ) M M M 準素イデアル になるものがある。とくに dim A ≥ δ ( A ) \dim A\ge\delta(A) dim A ≥ δ ( A )
第1回の例14 平面とそれを貫く直線
A = k [ x , y , z ] / ( x z , y z ) A=k[x,y,z]/(xz,\ yz) A = k [ x , y , z ] / ( x z , y z ) する。V ( x z , y z ) V(xz,\ yz) V ( x z , y z ) 平面 z = 0 z=0 z = 0 直線 x = y = 0 x=y=0 x = y = 0 z z z 和で、dim A = 2 \dim A=2 dim A = 2 直線の上の点 ( 0 , 0 , 1 ) (0,0,1) ( 0 , 0 , 1 ) 対応する極大イデアル M = ( x , y , z − 1 ) M=(x,\ y,\ z-1) M = ( x , y , z − 1 ) ついて ht M = 1 \operatorname{ht}M=1 ht M = 1 coht M = 0 \operatorname{coht}M=0 coht M = 0
第7回の例9 平面とそれを貫く直線
A = k [ x , y , z ] ( x , y , z ) / ( x z , y z ) A=k[x,y,z]_{(x,y,z)}/(xz,\ yz) A = k [ x , y , z ] ( x , y , z ) / ( x z , y z ) する。V ( x z , y z ) V(xz,yz) V ( x z , y z ) 平面 z = 0 z=0 z = 0 z z z 和で、dim A = 2 \dim A=2 dim A = 2 例14と同じ計算）。命題8の手順で選ぶと、例えば
x 1 = x + z x 2 = y A / ( x + z , y ) ≅ k [ x ] / ( x 2 ) x_1=x+z\qquad x_2=y\qquad A/(x+z,\ y)\cong k[x]/(x^2) x 1 = x + z x 2 = y A / ( x + z , y ) ≅ k [ x ] / ( x 2 ) x 1 = x + z x 2 = y A / ( x + z , y ) ≅ k [ x ] / ( x 2 ) \begin{gathered}x_1=x+z\\x_2=y\\A/(x+z,\ y)\cong k[x]/(x^2)\end{gathered} x 1 = x + z x 2 = y A / ( x + z , y ) ≅ k [ x ] / ( x 2 ) x 1 = x + z x 2 = y A / ( x + z , y ) ≅ k [ x ] / ( x 2 ) \begin{aligned}x_1 &= x+z\\[4pt]x_2 &= y\\[4pt]A/(x+z,\ y) &\cong k[x]/(x^2)\end{aligned} x 1 x 2 A / ( x + z , y ) = x + z = y ≅ k [ x ] / ( x 2 ) で、ℓ ( A / ( x + z , y ) ) = 2 \ell(A/(x+z,y))=2 ℓ ( A / ( x + z , y )) = 2 よって δ ( A ) ≤ 2 \delta(A)\le2 δ ( A ) ≤ 2
第6回の命題6 定義イデアルの言い換え
( A , M ) (A,M) ( A , M ) ネーター局所環 、q ⊆ M q\subseteq M q ⊆ M イデアルとする。次は同値である。
(1) q q q M M M 準素イデアル 。q = M \sqrt q=M q = M つまり q q q 含む素イデアルは M M M （V ( q ) = { M } V(q)=\{M\} V ( q ) = { M } ν > 0 \nu>0 ν > 0 M ν ⊆ q M^\nu\subseteq q M ν ⊆ q ℓ ( A / q ) < ∞ \ell(A/q)<\infty ℓ ( A / q ) < ∞
第8回の命題16 1つの元で割った次元
( A , M ) (A,M) ( A , M ) d d d ネーター局所環 、x ∈ M x\in M x ∈ M する。
(1) d − 1 ≤ dim A / x A ≤ d d-1\le\dim A/xA\le d d − 1 ≤ dim A / x A ≤ d dim A / x A = d − 1 \dim A/xA=d-1 dim A / x A = d − 1 なるのは、dim A / P = d \dim A/P=d dim A / P = d なるどの素イデアル P P P x x x 入らないとき、またそのときに限る。そのような P P P A A A 極小素イデアル である。x x x 非零因子 なら dim A / x A = d − 1 \dim A/xA=d-1 dim A / x A = d − 1
第1回の定義12 イデアルの高さ
環 A A A イデアル J ≠ A J\neq A J = A ついて、J J J 含む素イデアルの高さの下限を J J J 高さ と呼び、ht J \operatorname{ht}J ht J 書く。このとき ht J + dim A / J ≤ dim A \operatorname{ht}J+\dim A/J\le\dim A ht J + dim A / J ≤ dim A 成り立つ。
第8回の定理1 クルルの高さ定理
A A A ネーター環 、J = ( x 1 , … , x r ) J=(x_1,\dots,x_r) J = ( x 1 , … , x r ) r r r 元で生成されるイデアルとする。
(1) J J J 極小素イデアル P P P ついて ht P ≤ r \operatorname{ht}P\le r ht P ≤ r J ≠ A J\neq A J = A ht J ≤ r \operatorname{ht}J\le r ht J ≤ r A A A 真のイデアルの高さは有限である。
第8回の定理3 クルルの単項イデアル定理
(1) A A A ネーター環 、x ∈ A x\in A x ∈ A 単元 でない非零因子 （x y = 0 xy=0 x y = 0 y = 0 y=0 y = 0 なる元）とする。( x ) (x) ( x ) 極小素イデアル の高さは、すべて1である。( A , M ) (A,M) ( A , M ) ネーター局所環 、x ∈ M x\in M x ∈ M ( x ) = M \sqrt{(x)}=M ( x ) = M する。このとき ht M ≤ 1 \operatorname{ht}M\le1 ht M ≤ 1 M M M 真に含まれる素イデアルはすべて A A A 極小素イデアル である。
第4回の定理17 次元は超越次数
B B B 体 k k k 整域 とし、d = trdeg k Frac ( B ) d=\operatorname{trdeg}_k\operatorname{Frac}(B) d = trdeg k Frac ( B ) する。
(1) dim B = d \dim B=d dim B = d ( 0 ) (0) ( 0 ) 極大イデアルまでの飽和した素イデアルの鎖 ( 0 ) = Q 0 ⊊ Q 1 ⊊ ⋯ ⊊ Q m (0)=Q_0\subsetneq Q_1\subsetneq\cdots\subsetneq Q_m ( 0 ) = Q 0 ⊊ Q 1 ⊊ ⋯ ⊊ Q m 長さ m m m すべて d d d B B B すべての素イデアル P P P ついて ht P + dim B / P = dim B \operatorname{ht}P+\dim B/P=\dim B ht P + dim B / P = dim B
第8回の定理14 高さ定理の逆
A A A ネーター環 とする。
(1) J ≠ A J\neq A J = A 高さ n n n イデアルとする。J J J 元 f 1 , … , f n f_1,\dots,f_n f 1 , … , f n すべての 0 ≤ i ≤ n 0\le i\le n 0 ≤ i ≤ n ついて ht ( f 1 , … , f i ) = i \operatorname{ht}(f_1,\dots,f_i)=i ht ( f 1 , … , f i ) = i なるものがある。P P P 高さ r r r 素イデアルとする。P P P 元 a 1 , … , a r a_1,\dots,a_r a 1 , … , a r P P P ( a 1 , … , a r ) (a_1,\dots,a_r) ( a 1 , … , a r ) 極小素イデアル になるものがある。このとき ht ( P / ( a 1 , … , a i ) ) = r − i \operatorname{ht}\bigl(P/(a_1,\dots,a_i)\bigr)=r-i ht ( P / ( a 1 , … , a i ) ) = r − i 1 ≤ i ≤ r 1\le i\le r 1 ≤ i ≤ r
第6回の定理17 ヒルベルト–サミュエル多項式
( A , M ) (A,M) ( A , M ) ネーター局所環 、q q q s s s 元で生成される M M M 準素イデアル 、N N N 有限生成 A A A 加群 、( N n ) (N_n) ( N n ) N N N 安定な q q q する。
(1) 各 N / N n N/N_n N / N n 長さは有限である。多項式 g g g 有理数、次数は s s s あって、十分大きな n n n ℓ ( N / N n ) = g ( n ) \ell(N/N_n)=g(n) ℓ ( N / N n ) = g ( n ) g g g 次数と最高次の係数は、N N N q q q 決まり、安定なフィルターのとり方によらない。
特に χ q N ( n ) \chi^N_q(n) χ q N ( n ) 十分大きな n n n 次数 s s s 多項式に一致する。この多項式も χ q N \chi^N_q χ q N 書き、ヒルベルト–サミュエル多項式 と呼ぶ。
第6回の命題21 次数は定義イデアルによらない
( A , M ) (A,M) ( A , M ) ネーター局所環 、N N N 有限生成 A A A 加群 とする。
(1) M M M 準素イデアル q q q s s s 元で生成されるなら、deg χ q N ≤ s \deg\chi^N_q\le s deg χ q N ≤ s M M M 準素イデアル q q q ついて deg χ q N = deg χ M N \deg\chi^N_q=\deg\chi^N_M deg χ q N = deg χ M N
第5回の命題15
定義9の設定で M ≠ 0 M\neq0 M = 0 x ∈ A k x\in A_k x ∈ A k k > 0 k>0 k > 0 M M M 非零因子 （x m = 0 ⇒ m = 0 xm=0\Rightarrow m=0 x m = 0 ⇒ m = 0 する。このとき
P ( M / x M , t ) = ( 1 − t k ) P ( M , t ) d ( M ) ≥ 1 d ( M / x M ) = d ( M ) − 1 P(M/xM,t)=(1-t^k)\,P(M,t)\qquad d(M)\ge1\qquad d(M/xM)=d(M)-1 P ( M / x M , t ) = ( 1 − t k ) P ( M , t ) d ( M ) ≥ 1 d ( M / x M ) = d ( M ) − 1 P ( M / x M , t ) = ( 1 − t k ) P ( M , t ) d ( M ) ≥ 1 d ( M / x M ) = d ( M ) − 1 \begin{gathered}P(M/xM,t)=(1-t^k)\,P(M,t)\\d(M)\ge1\\d(M/xM)=d(M)-1\end{gathered} P ( M / x M , t ) = ( 1 − t k ) P ( M , t ) d ( M ) ≥ 1 d ( M / x M ) = d ( M ) − 1 P ( M / x M , t ) = ( 1 − t k ) P ( M , t ) d ( M ) ≥ 1 d ( M / x M ) = d ( M ) − 1 \begin{aligned}P(M/xM,t) &= (1-t^k)\,P(M,t)\\[4pt]d(M) &\ge 1\\[4pt]d(M/xM) &= d(M)-1\end{aligned} P ( M / x M , t ) d ( M ) d ( M / x M ) = ( 1 − t k ) P ( M , t ) ≥ 1 = d ( M ) − 1
第7回の命題5
( A , M , k ) (A,M,k) ( A , M , k ) ネーター局所環 、q = ( x 1 , … , x s ) q=(x_1,\dots,x_s) q = ( x 1 , … , x s ) s ≥ 1 s\ge1 s ≥ 1 M M M 準素イデアル とする。すべての n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 ついて
ℓ ( A / q n ) ≤ ℓ ( A / q ) ( n + s − 1 s ) \ell(A/q^n)\le\ell(A/q)\binom{n+s-1}{s} ℓ ( A / q n ) ≤ ℓ ( A / q ) ( s n + s − 1 ) ℓ ( A / q n ) ≤ ℓ ( A / q ) ( n + s − 1 s ) \begin{aligned}\ell(A/q^n) &\le \ell(A/q)\binom{n+s-1}{s}\end{aligned} ℓ ( A / q n ) ≤ ℓ ( A / q ) ( s n + s − 1 ) が成り立つ。右辺は n n n s s s d ( A ) ≤ s d(A)\le s d ( A ) ≤ s δ ( A ) ≥ d ( A ) \delta(A)\ge d(A) δ ( A ) ≥ d ( A ) なる。
第4回の定理4 ネーターの正規化定理
A ≠ 0 A\neq0 A = 0 体 k k k 代数とする。
(1) k k k 代数的に独立 な y 1 , … , y d ∈ A y_1,\dots,y_d\in A y 1 , … , y d ∈ A あって、A A A k [ y 1 , … , y d ] k[y_1,\dots,y_d] k [ y 1 , … , y d ] 加群 として有限生成である。とくに A A A k [ y 1 , … , y d ] k[y_1,\dots,y_d] k [ y 1 , … , y d ] k k k 無限体 で A = k [ x 1 , … , x n ] A=k[x_1,\dots,x_n] A = k [ x 1 , … , x n ] y 1 , … , y d y_1,\dots,y_d y 1 , … , y d x 1 , … , x n x_1,\dots,x_n x 1 , … , x n k k k 1次結合にとれる。
第7回の系15 完備化で次元は変わらない
ネーター局所環 ( A , M , k ) (A,M,k) ( A , M , k ) M M M 完備化 A ^ \hat A A ^ ついて dim A ^ = dim A \dim\hat A=\dim A dim A ^ = dim A
第2回の定理10 横たわり
A ⊆ B A\subseteq B A ⊆ B 整拡大とする。A A A 任意の素イデアル P P P ついて、Q ∩ A = P Q\cap A=P Q ∩ A = P なる B B B 素イデアル Q Q Q ある。つまり Spec B → Spec A \operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A Spec B → Spec A 全射である。
図で読む代数幾何 第9回の定義1 交点重複度
f , g ∈ k [ x , y ] f,g\in k[x,y] f , g ∈ k [ x , y ] 共通の因子（定数でない共通の約数）をもたない多項式とする。点 p ∈ A 2 p\in\mathbb{A}^2 p ∈ A 2 ついて
I p ( f , g ) = dim k O p / ( f , g ) O p I_p(f,g)=\dim_k\ \mathcal{O}_p/(f,g)\mathcal{O}_p I p ( f , g ) = dim k O p / ( f , g ) O p I p ( f , g ) = dim k O p / ( f , g ) O p \begin{aligned}I_p(f,g) &= \dim_k\ \mathcal{O}_p/(f,g)\mathcal{O}_p\end{aligned} I p ( f , g ) = dim k O p / ( f , g ) O p を、曲線 V ( f ) V(f) V ( f ) V ( g ) V(g) V ( g ) p p p 交点重複度 と呼ぶ。
図で読む代数幾何 第9回の例2 放物線と横の直線
f = y − x 2 f=y-x^2 f = y − x 2 g = y − c g=y-c g = y − c c ∈ k c\in k c ∈ k する。y = c y=c y = c 代入すると
k [ x , y ] / ( y − x 2 , y − c ) ≅ k [ x ] / ( x 2 − c ) \begin{aligned}
&k[x,y]/(y-x^2,\ y-c)\\
&\quad\cong\ k[x]/(x^2-c)\end{aligned} k [ x , y ] / ( y − x 2 , y − c ) ≅ k [ x ] / ( x 2 − c ) (1) c = 0 c=0 c = 0 とき、交点は原点だけで、O 0 / ( y − x 2 , y ) ≅ k [ x ] ( x ) / ( x 2 ) \mathcal{O}_0/(y-x^2,\ y)\cong k[x]_{(x)}/(x^2) O 0 / ( y − x 2 , y ) ≅ k [ x ] ( x ) / ( x 2 ) 1 , x 1,\ x 1 , x 基底とする2次元の空間である。よって I 0 ( f , g ) = 2 I_0(f,g)=2 I 0 ( f , g ) = 2 c ≠ 0 c\neq0 c = 0 標数 が2でないとき、交点は ( ± c , c ) (\pm\sqrt c,\ c) ( ± c , c ) 2点で、どちらでも I p ( f , g ) = 1 I_p(f,g)=1 I p ( f , g ) = 1
図で読む代数幾何 第9回の命題3 各点の和は1つの環の次元
f , g ∈ k [ x , y ] f,g\in k[x,y] f , g ∈ k [ x , y ] 共通の因子をもたないとする。このとき V ( f ) ∩ V ( g ) V(f)\cap V(g) V ( f ) ∩ V ( g ) 有限集合で、k [ x , y ] / ( f , g ) k[x,y]/(f,g) k [ x , y ] / ( f , g ) 有限次元であり、
k [ x , y ] / ( f , g ) ≅ ∏ p ∈ V ( f ) ∩ V ( g ) O p / ( f , g ) O p ∑ p I p ( f , g ) = dim k k [ x , y ] / ( f , g ) \begin{aligned}
&k[x,y]/(f,g)\\
&\quad\cong\prod_{p\in V(f)\cap V(g)}\mathcal{O}_p/(f,g)\mathcal{O}_p\\[4pt]
&\sum_{p}I_p(f,g)\\
&\quad=\dim_k\,k[x,y]/(f,g)\end{aligned} k [ x , y ] / ( f , g ) ≅ p ∈ V ( f ) ∩ V ( g ) ∏ O p / ( f , g ) O p p ∑ I p ( f , g ) = dim k k [ x , y ] / ( f , g )
第7回の例10 3つの物差しで測る
次の表で、2列目は十分大きい n n n ℓ ( A / M n ) \ell(A/M^n) ℓ ( A / M n ) 3列目は M M M 準素イデアル を生成する元、4列目は素イデアルの鎖である。
A ℓ ( A / M n ) x 1 , … , x δ P 0 ⊊ ⋯ ⊊ P r k [ x ] ( x ) n x ( 0 ) ⊊ ( x ) k [ x , y ] ( x , y ) ( n + 1 2 ) x , y ( 0 ) ⊊ ( x ) ⊊ ( x , y ) k [ x , y , z ] ( x , y , z ) ( n + 2 3 ) x , y , z ( 0 ) ⊊ ( x ) ⊊ ( x , y ) ⊊ ( x , y , z ) k [ x , y ] ( x , y ) / ( x y ) 2 n − 1 x + y ( y ) ⊊ M k [ x , y ] ( x , y ) / ( y 2 − x 2 − x 3 ) 2 n − 1 x ( 0 ) ⊊ M k [ x ] / ( x 2 ) 2 ( n ≥ 2 ) ∅ M \begin{array}{l|c|c|c} A & \ell(A/M^n) & x_1,\dots,x_\delta & P_0\subsetneq\cdots\subsetneq P_r \\ \hline k[x]_{(x)} & n & x & (0)\subsetneq(x) \\ k[x,y]_{(x,y)} & \binom{n+1}{2} & x,\ y & (0)\subsetneq(x)\subsetneq(x,y) \\ k[x,y,z]_{(x,y,z)} & \binom{n+2}{3} & x,\ y,\ z & (0)\subsetneq(x)\subsetneq(x,y)\subsetneq(x,y,z) \\ k[x,y]_{(x,y)}/(xy) & 2n-1 & x+y & (y)\subsetneq M \\ k[x,y]_{(x,y)}/(y^2-x^2-x^3) & 2n-1 & x & (0)\subsetneq M \\ k[x]/(x^2) & 2\ (n\ge2) & \varnothing & M \end{array} A k [ x ] ( x ) k [ x , y ] ( x , y ) k [ x , y , z ] ( x , y , z ) k [ x , y ] ( x , y ) / ( x y ) k [ x , y ] ( x , y ) / ( y 2 − x 2 − x 3 ) k [ x ] / ( x 2 ) ℓ ( A / M n ) n ( 2 n + 1 ) ( 3 n + 2 ) 2 n − 1 2 n − 1 2 ( n ≥ 2 ) x 1 , … , x δ x x , y x , y , z x + y x ∅ P 0 ⊊ ⋯ ⊊ P r ( 0 ) ⊊ ( x ) ( 0 ) ⊊ ( x ) ⊊ ( x , y ) ( 0 ) ⊊ ( x ) ⊊ ( x , y ) ⊊ ( x , y , z ) ( y ) ⊊ M ( 0 ) ⊊ M M どの行でも、ℓ ( A / M n ) \ell(A/M^n) ℓ ( A / M n ) 次数、生成元の個数、鎖の長さは等しい（上から 1 , 2 , 3 , 1 , 1 , 0 1,2,3,1,1,0 1 , 2 , 3 , 1 , 1 , 0 とくに k [ x 1 , … , x n ] ( x 1 , … , x n ) k[x_1,\dots,x_n]_{(x_1,\dots,x_n)} k [ x 1 , … , x n ] ( x 1 , … , x n ) n n n δ ( k [ x , y , z ] ( x , y , z ) ) = 3 \delta(k[x,y,z]_{(x,y,z)})=3 δ ( k [ x , y , z ] ( x , y , z ) ) = 3
図で読む代数幾何 第6回の定義14 重複度と接錐
f ∈ k [ x , y ] f\in k[x,y] f ∈ k [ x , y ] f ( 0 , 0 ) = 0 f(0,0)=0 f ( 0 , 0 ) = 0 みたすとし、i i i 斉次式 f i f_i f i 使って
f = f m + f m + 1 + ⋯ + f d ( f m ≠ 0 ) f=f_m+f_{m+1}+\cdots+f_d\qquad(f_m\neq0) f = f m + f m + 1 + ⋯ + f d ( f m = 0 ) f = f m + f m + 1 + ⋯ + f d ( f m ≠ 0 ) \begin{gathered}f=f_m+f_{m+1}+\cdots+f_d\\(f_m\neq0)\end{gathered} f = f m + f m + 1 + ⋯ + f d ( f m = 0 ) f = f m + f m + 1 + ⋯ + f d ( f m ≠ 0 ) \begin{aligned}f &= f_m+f_{m+1}+\cdots+f_d\\[4pt]&(f_m\neq0)\end{aligned} f = f m + f m + 1 + ⋯ + f d ( f m = 0 ) と書く。m m m C = V ( f ) C=V(f) C = V ( f ) 原点での重複度 と呼び、μ 0 ( C ) \mu_0(C) μ 0 ( C ) 書く。V ( f m ) V(f_m) V ( f m ) 原点での接錐 と呼ぶ。ほかの点では、平行移動でその点を原点に移して同じように定める。
図で読む代数幾何 第9回の命題4 交点重複度の性質
f , g , h ∈ k [ x , y ] f,g,h\in k[x,y] f , g , h ∈ k [ x , y ] f f f g h gh g h 共通の因子をもたないとする。p ∈ A 2 p\in\mathbb{A}^2 p ∈ A 2 する。
(1) I p ( f , g ) = 0 I_p(f,g)=0 I p ( f , g ) = 0 なるのは、p ∉ V ( f ) ∩ V ( g ) p\notin V(f)\cap V(g) p ∈ / V ( f ) ∩ V ( g ) とき、そのときに限る。I p ( f , g ) = I p ( g , f ) = I p ( f , g + q f ) I_p(f,g)=I_p(g,f)=I_p(f,\ g+qf) I p ( f , g ) = I p ( g , f ) = I p ( f , g + q f ) q ∈ k [ x , y ] q\in k[x,y] q ∈ k [ x , y ] 平行移動と、変数の正則な1次変換で p p p p ′ p' p ′ 移すと、交点重複度は変わらない。I p ( f , g h ) = I p ( f , g ) + I p ( f , h ) I_p(f,gh)=I_p(f,g)+I_p(f,h) I p ( f , g h ) = I p ( f , g ) + I p ( f , h ) I p ( f , g ) ≥ μ p ( f ) μ p ( g ) I_p(f,g)\geq\mu_p(f)\,\mu_p(g) I p ( f , g ) ≥ μ p ( f ) μ p ( g ) 等号が成り立つのは、p p p 接錐が共通の直線をもたないとき、そのときに限る。
第7回の系13
ネーター局所環 ( A , M , k ) (A,M,k) ( A , M , k ) ついて dim A ≤ dim k M / M 2 \dim A\le\dim_kM/M^2 dim A ≤ dim k M / M 2
d d d ネーター局所環 ( A , M ) (A,M) ( A , M ) 元 x 1 , … , x d ∈ M x_1,\dots,x_d\in M x 1 , … , x d ∈ M ( x 1 , … , x d ) (x_1,\dots,x_d) ( x 1 , … , x d ) M M M なるもの。パラメータ系とも言う。例：k [ x , y ] ( x , y ) k[x,y]_{(x,y)} k [ x , y ] ( x , y ) x , y x,y x , y x 2 , y 3 x^2,y^3 x 2 , y 3 次元定理から、必ず存在する。
極大イデアルがただ1つの可換環。極大イデアルに入らない元はすべて単元になる。例：素イデアル P P P 局所化 A P A_P A P a / s a/s a / s a ∈ P a\in P a ∈ P 全体）、k [ x ] / ( x 2 ) k[x]/(x^2) k [ x ] / ( x 2 ) Z / 4 Z \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} Z /4 Z
イデアル q ≠ A q\neq A q = A x y ∈ q xy\in q x y ∈ q x ∉ q x\notin q x ∈ / q y y y あるべきが q q q 入るもの。根基 P = q P=\sqrt q P = q 素イデアルで、q q q P P P 呼ぶ。例：Z \mathbb{Z} Z ( p n ) (p^n) ( p n ) k [ x , y ] k[x,y] k [ x , y ] ( x 2 , y ) (x^2,y) ( x 2 , y )
掛けて1になる相手（逆元）をもつ環の元。例：Z \mathbb{Z} Z 単元は ± 1 \pm1 ± 1 体では0以外のすべての元。
加群 N N N 部分加群の列 0 = N 0 ⊊ N 1 ⊊ ⋯ ⊊ N ℓ = N 0=N_0\subsetneq N_1\subsetneq\cdots\subsetneq N_\ell=N 0 = N 0 ⊊ N 1 ⊊ ⋯ ⊊ N ℓ = N 隣り合う商がどれも単純（0 0 0 自分以外に部分加群がない）なものの長さ ℓ \ell ℓ 列の取り方によらない。体 k k k 含み剰余体が k k k 局所環の上の加群では、k k k 次元に等しい（Z ( p ) \mathbb{Z}_{(p)} Z ( p ) 上の Z / p 2 \mathbb{Z}/p^2 Z / p 2 体を含まない場合は別で、長さは2）。
イデアル J J J 有限個の素イデアルの和集合 P 1 ∪ ⋯ ∪ P n P_1\cup\cdots\cup P_n P 1 ∪ ⋯ ∪ P n 含まれれば、ある P i P_i P i 含まれる、という命題。どの P i P_i P i 含まれないなら、どの P i P_i P i 入らない J J J 元がとれる。
既約な閉集合 Z Z Z 対して、閉包がちょうど Z Z Z なる点を Z Z Z 生成点と呼ぶ。Spec k [ x , y ] \operatorname{Spec}k[x,y] Spec k [ x , y ] 素イデアル ( 0 ) (0) ( 0 ) 対応する点が平面全体の生成点になる。
加群の部分加群の真に減る列で、各段の商が単純（0と自分自身のほかに部分加群をもたない）なもの。組成列の長さは列のとり方によらず、それを加群の長さと呼ぶ。例：Z / 12 ⊋ 2 Z / 12 ⊋ 4 Z / 12 ⊋ 0 \mathbb{Z}/12\supsetneq2\mathbb{Z}/12\supsetneq4\mathbb{Z}/12\supsetneq0 Z /12 ⊋ 2 Z /12 ⊋ 4 Z /12 ⊋ 0
0 でない元どうしの積が0にならない可換環（a b = 0 ab=0 ab = 0 a = 0 a=0 a = 0 b = 0 b=0 b = 0 例：Z \mathbb{Z} Z 体上の多項式環。A / P A/P A / P 整域であることと、P P P 素イデアルであることは同値。
環 A A A イデアル J J J 割った環 A / J A/J A / J 差が J J J 入る元どうしを同じとみなす。例：k [ x , y ] / ( y ) ≅ k [ x ] k[x,y]/(y)\cong k[x] k [ x , y ] / ( y ) ≅ k [ x ]
イデアル J J J 根基 J \sqrt J J ある n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 x n ∈ J x^n\in J x n ∈ J なる元 x x x 全体。J J J 含む素イデアルすべての共通部分に等しい。例：k [ x , y ] k[x,y] k [ x , y ] ( x 2 , x y ) = ( x ) \sqrt{(x^2,\,xy)}=(x) ( x 2 , x y ) = ( x )
イデアル J J J 含む素イデアルのうち、包含について極小なもの。V ( J ) V(J) V ( J ) 既約成分の生成点に当たる。ネーター環では有限個しかない。
環 A A A 元 x x x x y = 0 xy=0 x y = 0 y = 0 y=0 y = 0 なるもの。整域では0でない元はすべて非零因子。例：k [ x , y ] / ( x y ) k[x,y]/(xy) k [ x , y ] / ( x y ) x + y x+y x + y 非零因子だが、x x x x ⋅ y = 0 x\cdot y=0 x ⋅ y = 0 非零因子でない。
すべてのイデアルが有限個の元で生成される可換環。イデアルの増大列 J 1 ⊆ J 2 ⊆ ⋯ J_1\subseteq J_2\subseteq\cdots J 1 ⊆ J 2 ⊆ ⋯ 必ずどこかで止まる、と言っても同じ。
a b = 0 ab=0 ab = 0 なる 0 でない b b b ある、0 でない元 a a a 例：Z / 6 Z \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} Z /6 Z 2 2 2 2 ⋅ 3 = 0 2\cdot3=0 2 ⋅ 3 = 0 体や整域には零因子がない。
素イデアル P ⊆ Q P\subseteq Q P ⊆ Q P P P Q Q Q 飽和した鎖の長さがすべて同じ有限の値になる環。体上有限生成の整域は鎖状環である。
環 A A A イデアル q q q 作る次数付き環 G q ( A ) = ⨁ n ≥ 0 q n / q n + 1 G_q(A)=\bigoplus_{n\ge0}q^n/q^{n+1} G q ( A ) = ⨁ n ≥ 0 q n / q n + 1 積は代表元の積で定める。例：A = k [ x , y ] ( x , y ) A=k[x,y]_{(x,y)} A = k [ x , y ] ( x , y ) q = ( x , y ) q=(x,y) q = ( x , y ) G q ( A ) ≅ k [ x , y ] G_q(A)\cong k[x,y] G q ( A ) ≅ k [ x , y ]
ネーター局所環 ( A , M ) (A,M) ( A , M ) 元 y 1 , … , y r ∈ M y_1,\dots,y_r\in M y 1 , … , y r ∈ M 解析的に独立とは、A A A 斉次多項式 f f f f ( y 1 , … , y r ) = 0 f(y_1,\dots,y_r)=0 f ( y 1 , … , y r ) = 0 みたせば、f f f 係数がすべて M M M 入ること。巴系は解析的に独立である。例：k [ x , y ] ( x , y ) k[x,y]_{(x,y)} k [ x , y ] ( x , y ) x , y x,y x , y 独立、x , x y x,\ xy x , x y y X − Y yX-Y y X − Y 関係式になり独立でない。
体 k k k 含む環の元 y 1 , … , y d y_1,\dots,y_d y 1 , … , y d k k k 独立とは、0 でない多項式 g g g g ( y 1 , … , y d ) = 0 g(y_1,\dots,y_d)=0 g ( y 1 , … , y d ) = 0 なるものがないこと。このとき k [ y 1 , … , y d ] k[y_1,\dots,y_d] k [ y 1 , … , y d ] d d d 多項式環と同じものになる。
局所環 A A A 極大イデアルを M M M 有限生成 A A A N N N する。M N = N MN=N M N = N N = 0 N=0 N = 0 とくに部分加群 N ′ N' N ′ ついて N = N ′ + M N N=N'+MN N = N ′ + M N N = N ′ N=N' N = N ′ N / M N N/MN N / M N 張る元は N N N 生成する。
環 A A A 上の加群（A A A 足し算について可換群で、A A A 元を掛けられ、分配法則などベクトル空間と同じ規則をみたすもの。体の上の加群はベクトル空間で、A A A イデアルも A A A
環 A A A 元の列 x 1 , … , x r x_1,\dots,x_r x 1 , … , x r 各 x i x_i x i A / ( x 1 , … , x i − 1 ) A/(x_1,\dots,x_{i-1}) A / ( x 1 , … , x i − 1 ) 非零因子であり、A / ( x 1 , … , x r ) ≠ 0 A/(x_1,\dots,x_r)\neq0 A / ( x 1 , … , x r ) = 0 なるもの。例：k [ x , y ] k[x,y] k [ x , y ] x 2 , y 3 x^2,\ y^3 x 2 , y 3 k [ x , y ] / ( x 2 , x y ) k[x,y]/(x^2,xy) k [ x , y ] / ( x 2 , x y ) y y y x y = 0 xy=0 x y = 0 正則列でない。
体 k k k 有限生成代数 B B B k k k 独立な元 y 1 , … , y d y_1,\dots,y_d y 1 , … , y d あって、B B B k [ y 1 , … , y d ] k[y_1,\dots,y_d] k [ y 1 , … , y d ] 有限生成加群になる、という定理。図形を d d d 空間へうまく射影できることに当たる。
局所環 ( A , M ) (A,M) ( A , M ) 部分体 K K K A → A / M A\to A/M A → A / M K K K 制限すると同型 K ≅ A / M K\cong A/M K ≅ A / M なるもの。例：k [ [ x , y ] ] k[[x,y]] k [[ x , y ]] 定数の体 k k k 剰余体と同じ体が A A A 中に入っている、ということ。
局所環 A A A その極大イデアル M M M ついて、A / M n A/M^n A / M n n = 1 , 2 , … n=1,2,\dots n = 1 , 2 , … 極限としてできる環 A ^ \hat A A ^ 点のごく近くだけを見ることに当たる。例：k [ x , y ] ( x , y ) k[x,y]_{(x,y)} k [ x , y ] ( x , y ) 完備化は形式的べき級数環 k [ [ x , y ] ] k[[x,y]] k [[ x , y ]]
0 でも単元でもない元が、既約元の積に、順番と単元倍を除いて一通りに分解できる整域。例：Z \mathbb{Z} Z 体上の多項式環 k [ x 1 , … , x n ] k[x_1,\dots,x_n] k [ x 1 , … , x n ] ここでは既約元が生成するイデアルは素イデアルになる。
元を無限個もつ体。Q , R , C \mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C} Q , R , C 無限体の上では、すべての点で0になる多項式は0だけである。
ネーター局所環 ( A , M , k ) (A,M,k) ( A , M , k ) k k k ベクトル空間 M / M 2 M/M^2 M / M 2 次元。中山の補題から M M M 生成元の個数の最小値に等しく、いつもクルル次元 dim A \dim A dim A 等しいとき A A A 正則局所環と呼ぶ。
体 k k k 1 + 1 + ⋯ + 1 1+1+\dots+1 1 + 1 + ⋯ + 1 p p p = 0 =0 = 0 なる最小の正の整数 p p p そのような p p p なければ標数0と言う。標数は0か素数で、F p \mathbb{F}_p F p 標数は p p p Q , R , C \mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C} Q , R , C 標数は0。体でない環でも同じように定める（Z \mathbb{Z} Z 標数は0、Z / 6 \mathbb{Z}/6 Z /6 標数は6）。0か素数になるのは体や整域の場合。