原点のまわりを数える
前回 は、次数付き環の各次数の部分の長さを数え、それが n n n 多項式になることを見ました（ヒルベルト多項式 ）。今回は、同じことを局所環 で行います。
局所環 には次数がありません。代わりに、極大イデアル M M M べき M n M^n M n 割った A / M n A/M^n A / M n 見ます。A / M n A/M^n A / M n 原点の近くの関数を「n n n 項まで」覚えておいたものです。
平面の原点の局所環 A = k [ x , y ] ( x , y ) A=k[x,y]_{(x,y)} A = k [ x , y ] ( x , y ) A / M n A/M^n A / M n 次数が n n n 多項式の空間と同じで、次元は次のとおりです。
dim k A / M n = # { x a y b : a + b < n } = 1 + 2 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2 \dim_kA/M^n=\#\{x^ay^b : a+b<n\}=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} dim k A / M n = # { x a y b : a + b < n } = 1 + 2 + ⋯ + n = 2 n ( n + 1 ) dim k A / M n = # { x a y b : a + b < n } = 1 + 2 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2 \begin{aligned}\dim_kA/M^n &= \#\{x^ay^b : a+b<n\}\\&= 1+2+\cdots+n\\&= \frac{n(n+1)}{2}\end{aligned} dim k A / M n = # { x a y b : a + b < n } = 1 + 2 + ⋯ + n = 2 n ( n + 1 ) これは n n n 2次式で、2は平面の次元です。直線の局所環 k [ x ] ( x ) k[x]_{(x)} k [ x ] ( x ) dim k A / M n = n \dim_kA/M^n=n dim k A / M n = n 1次式です。
この記事では、この「多項式の次数」が、極大イデアル M M M 別のイデアルに替えても変わらないことを示します。それを局所環 の次元の候補 d ( A ) d(A) d ( A ) 定めます。
次回は、この d ( A ) d(A) d ( A ) クルル次元 と一致することを示します（次元定理）。今回はその準備として、d ( A ) d(A) d ( A ) 性質を集めます。
環はすべて単位元をもつ可換環とします。局所環 A A A 極大イデアルは M M M 剰余体は k = A / M k=A/M k = A / M 書きます。M M M 極大イデアルの名前に使うので、加群 は N N N 書きます。
準備：長さと準素イデアル
A / M n A/M^n A / M n 「大きさ」は、A A A 体を含まないと k k k 次元で測れません。例えば A = Z ( p ) A=\mathbb{Z}_{(p)} A = Z ( p ) A / M n = Z / p n Z A/M^n=\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} A / M n = Z / p n Z そこで、部分加群 の鎖の長さで測ります。
定義1 組成列と長さ [1 , 6章, p.118–119]
A A A 加群 N N N 部分加群 の真に減る列 N = N 0 ⊋ N 1 ⊋ ⋯ ⊋ N r = 0 N=N_0\supsetneq N_1\supsetneq\cdots\supsetneq N_r=0 N = N 0 ⊋ N 1 ⊋ ⋯ ⊋ N r = 0 長さ r r r 鎖 と呼ぶ。これ以上部分加群 を挟めない鎖、つまり各 N i − 1 / N i N_{i-1}/N_i N i − 1 / N i 0と自分自身のほかに部分加群 をもたない（単純 な）鎖を組成列 と呼ぶ。
N N N 組成列 をもつとき、その長さを N N N 長さ と呼び、ℓ ( N ) \ell(N) ℓ ( N ) ℓ A ( N ) \ell_A(N) ℓ A ( N ) 書く。組成列 をもたないときは ℓ ( N ) = ∞ \ell(N)=\infty ℓ ( N ) = ∞ する。
この定義が意味をもつには、組成列 の長さが組成列 のとり方によらないことが要ります。それが次の命題の (1) です。
命題2 長さの性質 [1 , 命題6.7, p.118; 1 , 命題6.9, p.119–120; 1 , 命題6.10, p.120]
(1) N N N 長さ r r r 組成列 をもてば、N N N どの組成列 も長さ r r r N N N どの鎖も組成列 に延ばせる。特に、どの鎖の長さも r r r 0 → N ′ → N → N ′ ′ → 0 0\to N'\to N\to N''\to0 0 → N ′ → N → N ′′ → 0 完全列 なら ℓ ( N ) = ℓ ( N ′ ) + ℓ ( N ′ ′ ) \ell(N)=\ell(N')+\ell(N'') ℓ ( N ) = ℓ ( N ′ ) + ℓ ( N ′′ ) 無限の場合も含めて）。k k k ベクトル空間 V V V ℓ k ( V ) = dim k V \ell_k(V)=\dim_kV ℓ k ( V ) = dim k V
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる λ ( N ) \lambda(N) λ ( N ) N N N 組成列 の長さの最小値とする（組成列 がなければ ∞ \infty ∞ まず、真の部分加群 N ′ ⊊ N N'\subsetneq N N ′ ⊊ N ついて λ ( N ′ ) < λ ( N ) \lambda(N')<\lambda(N) λ ( N ′ ) < λ ( N ) 示す。詳しく 閉じる
最小の
長さの組成列 ( N i ) (N_i) ( N i ) とり、N i ′ = N ′ ∩ N i N'_i=N'\cap N_i N i ′ = N ′ ∩ N i N i − 1 ′ / N i ′ N'_{i-1}/N'_i N i − 1 ′ / N i ′ N i − 1 / N i N_{i-1}/N_i N i − 1 / N i 部分加群 に埋め込まれる（N i − 1 ′ → N i − 1 / N i N'_{i-1}\to N_{i-1}/N_i N i − 1 ′ → N i − 1 / N i 核が N i ′ N'_i N i ′ N i − 1 / N i N_{i-1}/N_i N i − 1 / N i は
単純なので、N i − 1 ′ / N i ′ N'_{i-1}/N'_i N i − 1 ′ / N i ′ 0 0 0 N i − 1 / N i N_{i-1}/N_i N i − 1 / N i 重なった項を除くと N ′ N' N ′ 組成列 になり、λ ( N ′ ) ≤ λ ( N ) \lambda(N')\le\lambda(N) λ ( N ′ ) ≤ λ ( N ) 等号なら、
すべての i i i 埋め込みが全射、つまり N i − 1 ′ + N i = N i − 1 N'_{i-1}+N_i=N_{i-1} N i − 1 ′ + N i = N i − 1 i = r i=r i = r 順に N r − 1 ′ = N r − 1 N'_{r-1}=N_{r-1} N r − 1 ′ = N r − 1 N r − 2 ′ = N r − 2 N'_{r-2}=N_{r-2} N r − 2 ′ = N r − 2 … となり、N ′ = N N'=N N ′ = N なって仮定に反する。 任意の
鎖 N = N 0 ⊋ ⋯ ⊋ N s = 0 N=N_0\supsetneq\cdots\supsetneq N_s=0 N = N 0 ⊋ ⋯ ⊋ N s = 0 ついて、前のステップを繰り返すと λ ( N ) > λ ( N 1 ) > ⋯ > λ ( N s ) = 0 \lambda(N)>\lambda(N_1)>\cdots>\lambda(N_s)=0 λ ( N ) > λ ( N 1 ) > ⋯ > λ ( N s ) = 0 s ≤ λ ( N ) s\le\lambda(N) s ≤ λ ( N ) 任意の
組成列 の
長さ s s s λ ( N ) \lambda(N) λ ( N ) λ \lambda λ 定義から λ ( N ) \lambda(N) λ ( N ) よって s = λ ( N ) s=\lambda(N) s = λ ( N ) 長さが λ ( N ) \lambda(N) λ ( N ) 鎖は組成列 でないので、部分加群 を挟んで延ばせる。これで (1) が分かる。 (2)
N ′ N' N ′ の
組成列 の
像と、N ′ ′ N'' N ′′ 組成列 の逆像をつなぐと N N N 組成列 になる。片方が無限なら、その鎖の像か逆像で N N N 鎖がいくらでも長くなる。 (3) ベクトル空間の部分空間が単純なのは1次元のときだけなので、組成列 は次元が1ずつ減る列である。無限次元なら、1次独立な無限列で長い鎖がいくらでも作れる。
例3 長さの計算
(1) ℓ Z ( Z / 12 Z ) = 3 \ell_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})=3 ℓ Z ( Z /12 Z ) = 3 組成列 は、例えば次のとおりで、各段の商は Z / 2 , Z / 2 , Z / 3 \mathbb{Z}/2,\ \mathbb{Z}/2,\ \mathbb{Z}/3 Z /2 , Z /2 , Z /3
Z / 12 ⊋ 2 Z / 12 ⊋ 4 Z / 12 ⊋ 12 Z / 12 = 0 \begin{aligned} \mathbb{Z}/12&\supsetneq 2\mathbb{Z}/12\supsetneq 4\mathbb{Z}/12\\ &\supsetneq 12\mathbb{Z}/12=0\end{aligned} Z /12 ⊋ 2 Z /12 ⊋ 4 Z /12 ⊋ 12 Z /12 = 0 一般に ℓ ( Z / m ) \ell(\mathbb{Z}/m) ℓ ( Z / m ) m m m 素因数の個数（重複を込めて）である。ℓ ( Z ( p ) / p n Z ( p ) ) = n \ell(\mathbb{Z}_{(p)}/p^n\mathbb{Z}_{(p)})=n ℓ ( Z ( p ) / p n Z ( p ) ) = n 組成列 は ( 1 ) ⊋ ( p ) ⊋ ⋯ ⊋ ( p n ) (1)\supsetneq(p)\supsetneq\cdots\supsetneq(p^n) ( 1 ) ⊋ ( p ) ⊋ ⋯ ⊋ ( p n ) p n p^n p n 割ったもの。ℓ ( k [ x ] / ( x 3 ) ) = 3 \ell(k[x]/(x^3))=3 ℓ ( k [ x ] / ( x 3 )) = 3 k k k 含む環の加群 では、k k k 次元に等しい。Z \mathbb{Z} Z Z ⊋ 2 Z ⊋ 4 Z ⊋ ⋯ \mathbb{Z}\supsetneq2\mathbb{Z}\supsetneq4\mathbb{Z}\supsetneq\cdots Z ⊋ 2 Z ⊋ 4 Z ⊋ ⋯ いくらでも長い鎖をもつので、ℓ ( Z ) = ∞ \ell(\mathbb{Z})=\infty ℓ ( Z ) = ∞
(3) で長さが k k k 次元に等しいのは、極大イデアル M M M 消える加群 が k = A / M k=A/M k = A / M ベクトル空間になるからです。次の補題で、この見方を一般の局所環 で使います。
補題4 M M M べきで消える加群
( A , M ) (A,M) ( A , M ) ネーター局所環 、k = A / M k=A/M k = A / M N N N 有限生成 A A A 加群 で M r N = 0 M^rN=0 M r N = 0 なるものとする。このとき
ℓ ( N ) = ∑ j = 0 r − 1 dim k ( M j N / M j + 1 N ) < ∞ \ell(N)=\sum_{j=0}^{r-1}\dim_k\bigl(M^jN/M^{j+1}N\bigr)<\infty ℓ ( N ) = j = 0 ∑ r − 1 dim k ( M j N / M j + 1 N ) < ∞ ℓ ( N ) = ∑ j = 0 r − 1 dim k ( M j N / M j + 1 N ) < ∞ \begin{aligned}\ell(N) &= \sum_{j=0}^{r-1}\dim_k\bigl(M^jN/M^{j+1}N\bigr)\\&< \infty\end{aligned} ℓ ( N ) = j = 0 ∑ r − 1 dim k ( M j N / M j + 1 N ) < ∞
証明 開く 閉じる 鎖
N ⊇ M N ⊇ M 2 N ⊇ ⋯ ⊇ M r N = 0 N\supseteq MN\supseteq M^2N\supseteq\cdots\supseteq M^rN=0 N ⊇ M N ⊇ M 2 N ⊇ ⋯ ⊇ M r N = 0 を
考え、長さの加法性（命題2 (2)）を各段に使う。 各段
M j N / M j + 1 N M^jN/M^{j+1}N M j N / M j + 1 N は
M M M で
消えるので k = A / M k=A/M k = A / M 加群 で、その A A A 分加群 は k k k 分空間と同じ。よって長さは k k k 次元である（命題2 (3)）。 A A A は
ネーター環 で
N N N は
有限生成なので、M j N M^jN M j N 有限生成で、各段は有限次元である。 A / q A/q A / q 長さが有限になるイデアル q q q 準素イデアル の言葉で特徴づけます。
定義5 準素イデアル・定義イデアル [1 , p.76–77; 2 , §13, p.118]
(1) 環 A A A イデアル q ≠ A q\neq A q = A 準素イデアル であるとは、x y ∈ q xy\in q x y ∈ q x ∉ q x\notin q x ∈ / q ある n > 0 n>0 n > 0 y n ∈ q y^n\in q y n ∈ q なることをいう。このとき根基 q \sqrt q q 素イデアルで、P = q P=\sqrt q P = q q q q P P P 呼ぶ。局所環 ( A , M ) (A,M) ( A , M ) M M M 準素イデアル を、A A A 定義イデアル とも呼ぶ。
素数のべき p n p^n p n 一般化が準素イデアル です。Z \mathbb{Z} Z 準素イデアル は ( 0 ) (0) ( 0 ) ( p n ) (p^n) ( p n ) ( p n ) (p^n) ( p n ) ( p ) (p) ( p ) [1 , p.77] 。準素イデアル q q q 根基 が素イデアルになるのは、x y ∈ q xy\in\sqrt q x y ∈ q ( x y ) m = x m y m ∈ q (xy)^m=x^my^m\in q ( x y ) m = x m y m ∈ q なり、x m ∈ q x^m\in q x m ∈ q y m n ∈ q y^{mn}\in q y mn ∈ q 成り立つからです[1 , 命題4.1, p.77] 。
おさらい V ( J ) V(J) V ( J )
イデアル J J J 含む素イデアルの全体を V ( J ) V(J) V ( J ) 書きます。根基 は V ( J ) V(J) V ( J ) 素イデアルの共通部分で、V ( J ) V(J) V ( J ) 根基 だけで決まります（図で読む代数幾何 第2回の命題3 (4)）。
V ( J ) = { P ∈ Spec A ∣ P ⊇ J } J = ⋂ P ∈ V ( J ) P V ( J ) = V ( J ) V(J)=\{P\in\operatorname{Spec}A\mid P\supseteq J\}\qquad \sqrt J=\bigcap_{P\in V(J)}P\qquad V(J)=V(\sqrt J) V ( J ) = { P ∈ Spec A ∣ P ⊇ J } J = P ∈ V ( J ) ⋂ P V ( J ) = V ( J ) V ( J ) = { P ∈ Spec A ∣ P ⊇ J } J = ⋂ P ∈ V ( J ) P V ( J ) = V ( J ) \begin{gathered}V(J)=\{P\in\operatorname{Spec}A\mid P\supseteq J\}\\\sqrt J=\bigcap_{P\in V(J)}P\\V(J)=V(\sqrt J)\end{gathered} V ( J ) = { P ∈ Spec A ∣ P ⊇ J } J = P ∈ V ( J ) ⋂ P V ( J ) = V ( J ) V ( J ) = { P ∈ Spec A ∣ P ⊇ J } J = ⋂ P ∈ V ( J ) P V ( J ) = V ( J ) \begin{aligned}V(J) &= \{P\in\operatorname{Spec}A\mid P\supseteq J\}\\[4pt]\sqrt J &= \bigcap_{P\in V(J)}P\\[4pt]V(J) &= V(\sqrt J)\end{aligned} V ( J ) J V ( J ) = { P ∈ Spec A ∣ P ⊇ J } = P ∈ V ( J ) ⋂ P = V ( J ) 剰余環 A / J A/J A / J 素イデアルは、J J J 含む A A A 素イデアルと1対1に対応します。環の準同型 π : A → A / J \pi\colon A\to A/J π : A → A / J Spec の写像は向きが逆で、Spec の写像の像がちょうど V ( J ) V(J) V ( J )
A → π − 1 A / J Spec A ⊇ V ( J ) ← ≅ π − 1 Spec ( A / J ) \begin{aligned} A&\xrightarrow{\ \ \pi\phantom{^{-1}}\ \ }A/J\\[4pt] \operatorname{Spec}A\supseteq V(J)&\xleftarrow[\ \cong\ ]{\ \ \pi^{-1}\ \ }\operatorname{Spec}(A/J) \end{aligned} A Spec A ⊇ V ( J ) π − 1 A / J π − 1 ≅ Spec ( A / J ) 閉点は極大イデアルです（図で読む代数幾何 第2回の命題6 (3)）。局所環 ( A , M ) (A,M) ( A , M ) 閉点は M M M J ⊆ M J\subseteq M J ⊆ M M ∈ V ( J ) M\in V(J) M ∈ V ( J ) そのため「V ( J ) = { M } V(J)=\{M\} V ( J ) = { M } 「J = M \sqrt J=M J = M 同じことです。
例えば A = k [ x , y ] ( x , y ) A=k[x,y]_{(x,y)} A = k [ x , y ] ( x , y ) V ( ( y ) ) = { ( y ) , M } V((y))=\{(y),\ M\} V (( y )) = {( y ) , M } 生成点 ( y ) (y) ( y ) 残ります。一方 V ( ( x 2 , y ) ) = { M } V((x^2,\ y))=\{M\} V (( x 2 , y )) = { M } ( x 2 , y ) (x^2,y) ( x 2 , y ) 含む素イデアルは x x x y y y 含むからです。
おさらい 中山の補題
( A , M ) (A,M) ( A , M ) 局所環 、N N N 有限生成 A A A 加群 とします。M N = N MN=N M N = N N = 0 N=0 N = 0 [1 , 命題2.6, p.32] 。
この記事では、次の形で使います。A A A ネーター環 なら M n N M^nN M n N 有限生成なので、列 N ⊇ M N ⊇ M 2 N ⊇ ⋯ N\supseteq MN\supseteq M^2N\supseteq\cdots N ⊇ M N ⊇ M 2 N ⊇ ⋯ 1か所でも止まれば、そこから先は0です。
M n N = M n + 1 N = M ⋅ ( M n N ) ⟹ M n N = 0 M^nN=M^{n+1}N=M\cdot(M^nN)\ \Longrightarrow\ M^nN=0 M n N = M n + 1 N = M ⋅ ( M n N ) ⟹ M n N = 0 M n N = M n + 1 N = M ⋅ ( M n N ) ⟹ M n N = 0 \begin{aligned}M^nN &= M^{n+1}N\\&= M\cdot(M^nN)\\&\Longrightarrow M^nN\\&= 0\end{aligned} M n N = M n + 1 N = M ⋅ ( M n N ) ⟹ M n N = 0 有限生成の仮定は外せません。A = Z ( p ) A=\mathbb{Z}_{(p)} A = Z ( p ) N = Q N=\mathbb{Q} N = Q p Q = Q p\mathbb{Q}=\mathbb{Q} p Q = Q Q ≠ 0 \mathbb{Q}\neq0 Q = 0
命題6 定義イデアルの言い換え [1 , 命題4.2, p.78; 1 , 系7.16, p.128–129]
( A , M ) (A,M) ( A , M ) ネーター局所環 、q ⊆ M q\subseteq M q ⊆ M イデアルとする。次は同値である。
(1) q q q M M M 準素イデアル 。q = M \sqrt q=M q = M つまり q q q 含む素イデアルは M M M （V ( q ) = { M } V(q)=\{M\} V ( q ) = { M } ν > 0 \nu>0 ν > 0 M ν ⊆ q M^\nu\subseteq q M ν ⊆ q ℓ ( A / q ) < ∞ \ell(A/q)<\infty ℓ ( A / q ) < ∞
証明 開く 閉じる (1)⇒(2) は
定義から。(2) の言い換えは、根基 が q q q 含む素イデアルの共通部分であることから [1 , 命題1.14, p.13] 。 (2)⇒(3)
M = ( x 1 , … , x k ) M=(x_1,\dots,x_k) M = ( x 1 , … , x k ) とし、
x i n i ∈ q x_i^{n_i}\in q x i n i ∈ q と
なる n i n_i n i とる。ν = ∑ i ( n i − 1 ) + 1 \nu=\sum_i(n_i-1)+1 ν = ∑ i ( n i − 1 ) + 1 すれば、M ν M^\nu M ν 生成する単項式 x 1 r 1 ⋯ x k r k x_1^{r_1}\cdots x_k^{r_k} x 1 r 1 ⋯ x k r k ∑ r i = ν \sum r_i=\nu ∑ r i = ν どれかの r i r_i r i n i n_i n i なる [1 , 命題7.14, p.128] 。 (3)⇒(1)
x y ∈ q xy\in q x y ∈ q 、
x ∉ q x\notin q x ∈ / q と
する。y ∉ M y\notin M y ∈ / M y y y 単元 で x = x y ⋅ y − 1 ∈ q x=xy\cdot y^{-1}\in q x = x y ⋅ y − 1 ∈ q なり矛盾する。よって y ∈ M y\in M y ∈ M y ν ∈ M ν ⊆ q y^\nu\in M^\nu\subseteq q y ν ∈ M ν ⊆ q [1 , 命題4.2, p.78] 。 (3)⇒(4)
A / q A/q A / q は
M ν M^\nu M ν で
消える有限生成加群 なので、補題4 から長さは有限。 (4)⇒(3) 鎖
A / q ⊇ M ( A / q ) ⊇ M 2 ( A / q ) ⊇ ⋯ A/q\supseteq M(A/q)\supseteq M^2(A/q)\supseteq\cdots A / q ⊇ M ( A / q ) ⊇ M 2 ( A / q ) ⊇ ⋯ は
長さが有限なのでどこかで止まり、M ν ( A / q ) = M ν + 1 ( A / q ) M^\nu(A/q)=M^{\nu+1}(A/q) M ν ( A / q ) = M ν + 1 ( A / q ) 中山の補題 から M ν ( A / q ) = 0 M^\nu(A/q)=0 M ν ( A / q ) = 0 つまり M ν ⊆ q M^\nu\subseteq q M ν ⊆ q (2) は Spec の図の言葉で、「V ( q ) V(q) V ( q ) 閉点 M M M 1点だけ」ということです。図1で確かめます。
M M M ( y ) (y) ( y ) ( x ) (x) ( x ) ( y − x 2 ) (y-x^2) ( y − x 2 ) ( 0 ) (0) ( 0 ) このブラウザでは立体の図を表示できませんでした（WebGLが必要です）。
Spec V ( x 2 , y ) V(x^2,y) V ( x 2 , y ) V ( y ) V(y) V ( y ) V ( x y ) V(xy) V ( x y ) 斜め 真上 真横
ドラッグで回せます 局所環 A = k [ x , y ] ( x , y ) A=k[x,y]_{(x,y)} A = k [ x , y ] ( x , y ) Spec です。床の点は極大イデアル M M M 1点だけです（閉点は1つ）。高さ1の雲は原点を通る曲線の生成点 、高さ2の雲は生成点 ( 0 ) (0) ( 0 ) 床の灰色の線は、雲の場所を示す目印で、点ではありません。
V ( x 2 , y ) V(x^2,\ y) V ( x 2 , y ) M M M 1点だけです。A / ( x 2 , y ) A/(x^2,y) A / ( x 2 , y ) 1 , x 1,\ x 1 , x 基底とする2次元の空間で、長さは有限（2）です。( x 2 , y ) (x^2,y) ( x 2 , y ) M M M 準素イデアル です。
V ( y ) V(y) V ( y ) M M M 直線 y = 0 y=0 y = 0 生成点 ( y ) (y) ( y ) A / ( y ) ≅ k [ x ] ( x ) A/(y)\cong k[x]_{(x)} A / ( y ) ≅ k [ x ] ( x ) 1 , x , x 2 , … 1,x,x^2,\dots 1 , x , x 2 , … 1次独立で、長さは無限です。
V ( x y ) V(xy) V ( x y ) 2本の座標軸の生成点 と M M M 高さ1の点が入るイデアルは M M M ありません。「真横」から見ると、段が3つに分かれます。
図1 具体例 平面の原点の局所環 A = k [ x , y ] ( x , y ) A=k[x,y]_{(x,y)} A = k [ x , y ] ( x , y ) M M M 生成点 、高さ2に生成点 ( 0 ) (0) ( 0 ) V ( J ) V(J) V ( J ) V ( J ) V(J) V ( J ) J J J dim A = 2 \dim A=2 dim A = 2
例7 平面の原点の定義イデアル
A = k [ x , y ] ( x , y ) A=k[x,y]_{(x,y)} A = k [ x , y ] ( x , y ) M = ( x , y ) M=(x,y) M = ( x , y ) する。
(1) ( x 2 , y ) (x^2,\ y) ( x 2 , y ) M 2 = ( x 2 , x y , y 2 ) M^2=(x^2,xy,y^2) M 2 = ( x 2 , x y , y 2 ) ( x 2 , y 2 ) (x^2,\ y^2) ( x 2 , y 2 ) 一般に ( x a , y b ) (x^a,\ y^b) ( x a , y b ) a , b ≥ 1 a,b\ge1 a , b ≥ 1 定義イデアルである。( x a , y b ) (x^a,y^b) ( x a , y b ) M a + b − 1 M^{a+b-1} M a + b − 1 含む。( y ) (y) ( y ) ( x y ) (xy) ( x y ) ( x 2 , x y ) = x ( x , y ) (x^2,\ xy)=x\,(x,y) ( x 2 , x y ) = x ( x , y ) 定義イデアルでない。( y ) (y) ( y ) ( x y ) (xy) ( x y ) 素イデアル ( y ) (y) ( y ) 含まれ、( x 2 , x y ) (x^2,xy) ( x 2 , x y ) 素イデアル ( x ) (x) ( x ) 含まれるので、V ( J ) V(J) V ( J ) M M M 点がある。ℓ ( A / ( x a , y b ) ) = a b \ell(A/(x^a,y^b))=ab ℓ ( A / ( x a , y b )) = ab 基底は x i y j x^iy^j x i y j i < a , j < b i < a,\ j < b i < a , j < b ℓ ( A / ( y ) ) = ∞ \ell(A/(y))=\infty ℓ ( A / ( y )) = ∞ 1 , x , x 2 , … 1,x,x^2,\dots 1 , x , x 2 , … 1次独立である。
(3) の計算では、次の2つの事実を使っています。この記事の例はすべてこの方法で数えます。
1つめは、k [ x , y ] k[x,y] k [ x , y ] イデアル J J J ( x , y ) ν (x,y)^\nu ( x , y ) ν 含めば、k [ x , y ] / J k[x,y]/J k [ x , y ] / J A / J A A/JA A / J A 同じ環だということです。s ∉ ( x , y ) s\notin(x,y) s ∈ / ( x , y ) s = c ( 1 − t ) s=c(1-t) s = c ( 1 − t ) c = s ( 0 , 0 ) ≠ 0 c=s(0,0)\neq0 c = s ( 0 , 0 ) = 0 t ∈ ( x , y ) t\in(x,y) t ∈ ( x , y ) 書け、J J J 法として次の逆元をもちます。そのため、局所化しても環は変わりません。
s − 1 ≡ c − 1 ( 1 + t + t 2 + ⋯ + t ν − 1 ) ( m o d ( x , y ) ν ) \begin{aligned} s^{-1}&\equiv c^{-1}\bigl(1+t+t^2+\cdots+t^{\nu-1}\bigr)\\ &\qquad\pmod{(x,y)^\nu}\end{aligned} s − 1 ≡ c − 1 ( 1 + t + t 2 + ⋯ + t ν − 1 ) ( mod ( x , y ) ν ) 2つめは、単項式で生成されるイデアル J J J ついて、J J J 入らない単項式が k [ x , y ] / J k[x,y]/J k [ x , y ] / J k k k なることです。多項式が J J J 入るかどうかは、各単項式が J J J 入るかどうかで決まるからです。
最後に、準素イデアル の鎖の長さが A / q A/q A / q 長さで決まることを見ておきます。アティヤ・マクドナルドの演習問題です。
おさらい 局所化 A P A_P A P
素イデアル P P P 局所化 A P A_P A P P P P 外の元を分母に許した環です（図で読む代数幾何 第3回の定義10 ）。A → A P A\to A_P A → A P イデアルを「拡大」J ↦ J A P J\mapsto JA_P J ↦ J A P A P A_P A P イデアルを「引き戻し」J ′ ↦ J ′ ∩ A J'\mapsto J'\cap A J ′ ↦ J ′ ∩ A
素イデアルについては、この2つが互いに逆の対応になります（第1回の命題10 (1) の証明）。P P P 準素イデアル q q q 同じで、q A P ∩ A = q qA_P\cap A=q q A P ∩ A = q [1 , 命題4.8, p.81–82] 。
{ Q ∈ Spec A ∣ Q ⊆ P } ⇄ Q ↦ Q A P J ′ ↦ J ′ ∩ A Spec A P \begin{aligned} &\{\,Q\in\operatorname{Spec}A\mid Q\subseteq P\,\}\\ &\quad\underset{\ J'\mapsto J'\cap A\ }{\overset{\ Q\mapsto QA_P\ }{\rightleftarrows}}\ \operatorname{Spec}A_P \end{aligned} { Q ∈ Spec A ∣ Q ⊆ P } J ′ ↦ J ′ ∩ A ⇄ Q ↦ Q A P Spec A P 包含を保つので、鎖は鎖に写ります。下の図式で、横の矢印は真の包含、縦の矢印は引き戻しです。
q 0 A P ∩ A ↓ q 0 ⟶ q 0 A P ↓ ⟶ q 0 q 1 A P q 0 A P ∩ A ↓ q 1 q 0 ⟶ q 0 A P ↓ ⟶ q 0 ⋯ q 0 A P ↓ ⋯ q 0 ⟶ q 0 A P ↓ ⟶ q 0 P A P q 0 A P ↓ ∩ A P q 0 {}\begin{gathered}q_0A_P\\ \mathllap{\scriptstyle\cap A\,}\Big\downarrow\\ q_0\end{gathered}\begin{gathered}\mkern2mu{\longrightarrow}\mkern2mu\vphantom{\mathllap{q_0A_P}}\\ \vphantom{\mathllap{\Big\downarrow}}\\ \mkern2mu{\longrightarrow}\mkern2mu\vphantom{\mathllap{q_0}}\end{gathered}\begin{gathered}q_1A_P\vphantom{\mathllap{q_0A_P}}\\ \mathllap{\scriptstyle\cap A\,}\Big\downarrow\\ q_1\vphantom{\mathllap{q_0}}\end{gathered}\begin{gathered}\mkern2mu{\longrightarrow}\mkern2mu\vphantom{\mathllap{q_0A_P}}\\ \vphantom{\mathllap{\Big\downarrow}}\\ \mkern2mu{\longrightarrow}\mkern2mu\vphantom{\mathllap{q_0}}\end{gathered}\begin{gathered}\cdots\vphantom{\mathllap{q_0A_P}}\\ \vphantom{\mathllap{\Big\downarrow}}\\ \cdots\vphantom{\mathllap{q_0}}\end{gathered}\begin{gathered}\mkern2mu{\longrightarrow}\mkern2mu\vphantom{\mathllap{q_0A_P}}\\ \vphantom{\mathllap{\Big\downarrow}}\\ \mkern2mu{\longrightarrow}\mkern2mu\vphantom{\mathllap{q_0}}\end{gathered}\begin{gathered}PA_P\vphantom{\mathllap{q_0A_P}}\\ \Big\downarrow\mathrlap{\scriptstyle\,\cap A}\\ P\vphantom{\mathllap{q_0}}\end{gathered} q 0 A P ∩ A ↓ ⏐ q 0 ⟶ q 0 A P ↓ ⏐ ⟶ q 0 q 1 A P q 0 A P ∩ A ↓ ⏐ q 1 q 0 ⟶ q 0 A P ↓ ⏐ ⟶ q 0 ⋯ q 0 A P ↓ ⏐ ⋯ q 0 ⟶ q 0 A P ↓ ⏐ ⟶ q 0 P A P q 0 A P ↓ ⏐ ∩ A P q 0 準素でないと、引き戻しで元に戻りません。Z \mathbb{Z} Z ( 6 ) (6) ( 6 ) P = ( 2 ) P=(2) P = ( 2 ) 局所化すると、3 3 3 単元 になるので 6 Z ( 2 ) = 2 Z ( 2 ) 6\mathbb{Z}_{(2)}=2\mathbb{Z}_{(2)} 6 Z ( 2 ) = 2 Z ( 2 ) 引き戻すと ( 2 ) ≠ ( 6 ) (2)\neq(6) ( 2 ) = ( 6 ) ( p n ) (p^n) ( p n ) p n Z ( p ) ∩ Z = ( p n ) p^n\mathbb{Z}_{(p)}\cap\mathbb{Z}=(p^n) p n Z ( p ) ∩ Z = ( p n ) 元に戻ります。
命題8 準素イデアルの鎖 [1 , 演習問題8.6, p.143–144]
A A A ネーター環 、P P P 素イデアル、q q q P P P 準素イデアル とする。P P P 準素イデアル の鎖
q = q 0 ⊊ q 1 ⊊ ⋯ ⊊ q r = P q=q_0\subsetneq q_1\subsetneq\cdots\subsetneq q_r=P q = q 0 ⊊ q 1 ⊊ ⋯ ⊊ q r = P q = q 0 ⊊ q 1 ⊊ ⋯ ⊊ q r = P \begin{aligned}q &= q_0\subsetneq q_1\subsetneq\cdots\subsetneq q_r\\&= P\end{aligned} q = q 0 ⊊ q 1 ⊊ ⋯ ⊊ q r = P の長さ r r r ℓ ( A P / q A P ) − 1 \ell(A_P/qA_P)-1 ℓ ( A P / q A P ) − 1 それ以上 P P P 準素イデアル を挟めない鎖では、r = ℓ ( A P / q A P ) − 1 r=\ell(A_P/qA_P)-1 r = ℓ ( A P / q A P ) − 1
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる P P P で
局所化する。P P P 準素イデアル q ′ q' q ′ ついて、q ′ A P q'A_P q ′ A P P A P PA_P P A P 準素イデアル で、それを A A A 引き戻すと q ′ q' q ′ 戻る [1 , 命題4.8, p.81–82] 。よって鎖は A P A_P A P 真に増える鎖 q 0 A P ⊊ ⋯ ⊊ q r A P = P A P q_0A_P\subsetneq\cdots\subsetneq q_rA_P=PA_P q 0 A P ⊊ ⋯ ⊊ q r A P = P A P 写る。 A P / q A P A_P/qA_P A P / q A P 長さは有限である。詳しく 閉じる
q A P qA_P q A P P A P PA_P P A P q A P = P A P \sqrt{qA_P}=PA_P q A P = P A P 局所環 A P A_P A P 極大イデアルである。命題6 の (2)⇒(4) から有限。
A P / q A P A_P/qA_P A P / q A P の
部分加群 の鎖 0 = q 0 A P / q A P ⊊ ⋯ ⊊ P A P / q A P ⊊ A P / q A P 0=q_0A_P/qA_P\subsetneq\cdots\subsetneq PA_P/qA_P\subsetneq A_P/qA_P 0 = q 0 A P / q A P ⊊ ⋯ ⊊ P A P / q A P ⊊ A P / q A P 長さは r + 1 r+1 r + 1 命題2 (1) から r + 1 ≤ ℓ ( A P / q A P ) r+1\le\ell(A_P/qA_P) r + 1 ≤ ℓ ( A P / q A P ) 挟めない鎖では、この鎖が組成列 になる。最後の段 A P / P A P A_P/PA_P A P / P A P 体で単純だから、q i − 1 A P ⊊ J ′ ⊊ q i A P q_{i-1}A_P\subsetneq J'\subsetneq q_iA_P q i − 1 A P ⊊ J ′ ⊊ q i A P なるイデアル J ′ J' J ′ ないことを示せばよい。詳しく 閉じる
そのような
J ′ J' J ′ が
あったとする。q A P ⊆ J ′ ⊆ P A P qA_P\subseteq J'\subseteq PA_P q A P ⊆ J ′ ⊆ P A P J ′ = P A P \sqrt{J'}=PA_P J ′ = P A P 極大イデアルで、J ′ J' J ′ P A P PA_P P A P [1 , 命題4.2, p.78] 。 J ′ J' J ′ を
A A A に
引き戻した J ′ ∩ A J'\cap A J ′ ∩ A P P P （準素イデアル の引き戻しは準素 [1 , p.77] ）、q i − 1 ⊆ J ′ ∩ A ⊆ q i q_{i-1}\subseteq J'\cap A\subseteq q_i q i − 1 ⊆ J ′ ∩ A ⊆ q i A P A_P A P の
イデアルはどれも引き戻しを拡大したものなので [1 , 命題3.11 i), p.63] 、包含は真のまま保たれる。よって q i − 1 ⊊ J ′ ∩ A ⊊ q i q_{i-1}\subsetneq J'\cap A\subsetneq q_i q i − 1 ⊊ J ′ ∩ A ⊊ q i なり、鎖に挟めることになって矛盾する。
例9 準素イデアルの鎖
(1) Z \mathbb{Z} Z ( p 3 ) (p^3) ( p 3 ) ( p ) (p) ( p ) ：ℓ ( Z ( p ) / p 3 ) = 3 \ell(\mathbb{Z}_{(p)}/p^3)=3 ℓ ( Z ( p ) / p 3 ) = 3 鎖の長さは2で、( p 3 ) ⊊ ( p 2 ) ⊊ ( p ) (p^3)\subsetneq(p^2)\subsetneq(p) ( p 3 ) ⊊ ( p 2 ) ⊊ ( p ) k [ x , y ] k[x,y] k [ x , y ] M 2 M^2 M 2 M = ( x , y ) M=(x,y) M = ( x , y ) ：ℓ = # { 1 , x , y } = 3 \ell=\#\{1,x,y\}=3 ℓ = # { 1 , x , y } = 3 長さ2。M 2 M^2 M 2 M M M 間のイデアルは、M / M 2 ≅ k 2 M/M^2\cong k^2 M / M 2 ≅ k 2 1次元の部分空間、つまり ( a x + b y ) + M 2 (ax+by)+M^2 ( a x + b y ) + M 2 ( a : b ) ∈ P 1 (a:b)\in\mathbb{P}^1 ( a : b ) ∈ P 1 k k k 無限体 なら無限個ある。どれを通っても長さは2である。M 3 M^3 M 3 M M M ：ℓ = 6 \ell=6 ℓ = 6 長さ5。例えば次の鎖で、右へ1歩ごとに A / I A/I A / I 基底が1つ減る。
M 3 ⊊ ( x 2 , x y 2 , y 3 ) ⊊ ( x 2 , x y , y 3 ) ⊊ M 2 ⊊ ( x , y 2 ) ⊊ M \begin{aligned} M^3&\subsetneq(x^2,\ xy^2,\ y^3)\\ &\subsetneq(x^2,\ xy,\ y^3)\subsetneq M^2\\ &\subsetneq(x,\ y^2)\subsetneq M\end{aligned} M 3 ⊊ ( x 2 , x y 2 , y 3 ) ⊊ ( x 2 , x y , y 3 ) ⊊ M 2 ⊊ ( x , y 2 ) ⊊ M
(3) で単項式イデアルだけを並べると、図2のようになります。
ℓ ( A / I ) = 1 \ell(A/I)=1 ℓ ( A / I ) = 1 ℓ ( A / I ) = 2 \ell(A/I)=2 ℓ ( A / I ) = 2 ℓ ( A / I ) = 3 \ell(A/I)=3 ℓ ( A / I ) = 3 ℓ ( A / I ) = 4 \ell(A/I)=4 ℓ ( A / I ) = 4 ℓ ( A / I ) = 5 \ell(A/I)=5 ℓ ( A / I ) = 5 ℓ ( A / I ) = 6 \ell(A/I)=6 ℓ ( A / I ) = 6 図2 概念図 k [ x , y ] k[x,y] k [ x , y ] I I I M 3 ⊆ I ⊆ M M^3\subseteq I\subseteq M M 3 ⊆ I ⊆ M A / I A/I A / I x a y b x^ay^b x a y b a + b ≤ 2 a+b\le2 a + b ≤ 2 1 1 1 x x x y y y M 3 M^3 M 3 M M M 例9 (3) の鎖です。単項式でないイデアル（( x + y ) + M 2 (x+y)+M^2 ( x + y ) + M 2
(2) の M 2 M^2 M 2 M M M 間は、M / M 2 M/M^2 M / M 2 部分空間で決まりました。dim k M / M 2 \dim_kM/M^2 dim k M / M 2 代数幾何の連載の特異点の回 で見たザリスキー接空間の次元です。
フィルターとアルティン–リースの補題
A / q n A/q^n A / q n 長さを調べる前に、q n N q^nN q n N 形をした部分加群 の列を一般化しておきます。部分加群 に制限したときにも扱えるようにするためです。
定義10 q q q [1 , 10.2節, p.164]
A A A 環、q q q イデアル、N N N A A A 加群 とする。部分加群 の減少列 N = N 0 ⊇ N 1 ⊇ N 2 ⊇ ⋯ N=N_0\supseteq N_1\supseteq N_2\supseteq\cdots N = N 0 ⊇ N 1 ⊇ N 2 ⊇ ⋯
q N n ⊆ N n + 1 ( n ≥ 0 ) qN_n\subseteq N_{n+1}\qquad(n\ge0) q N n ⊆ N n + 1 ( n ≥ 0 ) q N n ⊆ N n + 1 ( n ≥ 0 ) \begin{gathered}qN_n\subseteq N_{n+1}\\(n\ge0)\end{gathered} q N n ⊆ N n + 1 ( n ≥ 0 ) q N n ⊆ N n + 1 ( n ≥ 0 ) \begin{aligned}qN_n &\subseteq N_{n+1}\\[4pt]&(n\ge0)\end{aligned} q N n ⊆ N n + 1 ( n ≥ 0 ) をみたすとき、q q q 呼ぶ。さらに、ある n 0 n_0 n 0 あって n ≥ n 0 n\ge n_0 n ≥ n 0 q N n = N n + 1 qN_n=N_{n+1} q N n = N n + 1 なるとき、安定 であるという。
q q q 条件は、1段下がるたびに少なくとも q q q 1回掛けた分は小さくなる、ということです。安定とは、ある段から先は「ちょうど q q q 1回掛けた分」ずつ小さくなることです。
例11 安定なものとそうでないもの
(1) N n = q n N N_n=q^nN N n = q n N 安定な q q q （n 0 = 0 n_0=0 n 0 = 0 N n = q n + 3 N N_n=q^{n+3}N N n = q n + 3 N 安定である。A = k [ x ] ( x ) A=k[x]_{(x)} A = k [ x ] ( x ) q = ( x ) q=(x) q = ( x ) N n = ( x ⌈ n / 2 ⌉ ) N_n=(x^{\lceil n/2\rceil}) N n = ( x ⌈ n /2 ⌉ ) ⌈ ( n + 1 ) / 2 ⌉ ≤ ⌈ n / 2 ⌉ + 1 \lceil(n+1)/2\rceil\le\lceil n/2\rceil+1 ⌈( n + 1 ) /2 ⌉ ≤ ⌈ n /2 ⌉ + 1 q q q n n n 奇数のとき N n + 1 = N n ≠ q N n N_{n+1}=N_n\neq qN_n N n + 1 = N n = q N n 安定でない。長さは
ℓ ( A / N n ) = ⌈ n / 2 ⌉ = 0 , 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , … \ell(A/N_n)=\lceil n/2\rceil=0,\,1,\,1,\,2,\,2,\,3,\,3,\,\dots ℓ ( A / N n ) = ⌈ n /2 ⌉ = 0 , 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , … ℓ ( A / N n ) = ⌈ n / 2 ⌉ = 0 , 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , … \begin{aligned}\ell(A/N_n) &= \lceil n/2\rceil\\&= 0,\,1,\,1,\,2,\,2,\,3,\,3,\,\dots\end{aligned} ℓ ( A / N n ) = ⌈ n /2 ⌉ = 0 , 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , … で、n n n 大きくても n n n 多項式にならない。
(2) のように、安定でないと長さが多項式にならないことがあります。後で示す定理17 で、安定であることを仮定するのはこのためです。
安定なフィルターどうしは、段の番号を一定の数だけずらすと比べられます。
補題12 安定なフィルターは差が有界 [1 , 補題10.6, p.164]
( N n ) (N_n) ( N n ) ( N n ′ ) (N'_n) ( N n ′ ) N N N 安定な q q q ある n 0 n_0 n 0 あって、すべての n ≥ 0 n\ge0 n ≥ 0 N n + n 0 ⊆ N n ′ N_{n+n_0}\subseteq N'_n N n + n 0 ⊆ N n ′ N n + n 0 ′ ⊆ N n N'_{n+n_0}\subseteq N_n N n + n 0 ′ ⊆ N n なる。
証明 開く 閉じる N n ′ = q n N N'_n=q^nN N n ′ = q n N の
場合を示せばよい（一般の場合は、どちらも q n N q^nN q n N 比べて組み合わせる）。 q q q フィルターなので、
帰納法で q n N = q n N 0 ⊆ N n q^nN=q^nN_0\subseteq N_n q n N = q n N 0 ⊆ N n 安定なので、
n ≥ n 0 n\ge n_0 n ≥ n 0 で
N n + 1 = q N n N_{n+1}=qN_n N n + 1 = q N n 。
よって N n + n 0 = q n N n 0 ⊆ q n N N_{n+n_0}=q^nN_{n_0}\subseteq q^nN N n + n 0 = q n N n 0 ⊆ q n N 2つの安定なフィルター ( N n ) (N_n) ( N n ) q n N q^nN q n N 番号を n 0 n_0 n 0 次のように片方がもう片方を挟みます。
N n + n 0 ⊆ q n N ⊆ N n ( n ≥ 0 ) N_{n+n_0}\ \subseteq\ q^nN\ \subseteq\ N_n\qquad(n\ge0) N n + n 0 ⊆ q n N ⊆ N n ( n ≥ 0 ) N n + n 0 ⊆ q n N ⊆ N n ( n ≥ 0 ) \begin{gathered}N_{n+n_0}\ \subseteq\ q^nN\ \subseteq\ N_n\\(n\ge0)\end{gathered} N n + n 0 ⊆ q n N ⊆ N n ( n ≥ 0 ) N n + n 0 ⊆ q n N ⊆ N n ( n ≥ 0 ) \begin{aligned}N_{n+n_0} &\subseteq q^nN\\&\subseteq N_n\\[4pt]&(n\ge0)\end{aligned} N n + n 0 ⊆ q n N ⊆ N n ( n ≥ 0 )
おさらい 次数付き環と次数付き加群
環 A = ⨁ n ≥ 0 A n A=\bigoplus_{n\ge0}A_n A = ⨁ n ≥ 0 A n A m A n ⊆ A m + n A_mA_n\subseteq A_{m+n} A m A n ⊆ A m + n みたすとき次数付き環、A A A 加群 N = ⨁ n ≥ 0 N n N=\bigoplus_{n\ge0}N_n N = ⨁ n ≥ 0 N n A m N n ⊆ N m + n A_mN_n\subseteq N_{m+n} A m N n ⊆ N m + n みたすとき次数付き加群 と呼びました（第5回の定義1 ）。
A m × N n ⟶ N m + n ( a , u ) ⟼ a u A_m\times N_n\longrightarrow N_{m+n}\qquad (a,u)\longmapsto au A m × N n ⟶ N m + n ( a , u ) ⟼ a u A m × N n ⟶ N m + n ( a , u ) ⟼ a u \begin{gathered}A_m\times N_n\longrightarrow N_{m+n}\\(a,u)\longmapsto au\end{gathered} A m × N n ⟶ N m + n ( a , u ) ⟼ a u A m × N n ⟶ N m + n ( a , u ) ⟼ a u \begin{aligned}A_m\times N_n &\longrightarrow N_{m+n}\\[4pt]&(a,u)\longmapsto au\end{aligned} A m × N n ⟶ N m + n ( a , u ) ⟼ a u 基本の例は k [ x , y ] = ⨁ n k [ x , y ] n k[x,y]=\bigoplus_nk[x,y]_n k [ x , y ] = ⨁ n k [ x , y ] n k [ x , y ] n k[x,y]_n k [ x , y ] n n n n 斉次式の空間（次元 n + 1 n+1 n + 1 次数付き環がネーター環 になるのは、A 0 A_0 A 0 ネーター環 で、A A A A 0 A_0 A 0 有限生成代数のときでした（第5回の命題4 ）。
フィルターを1つの次数付き加群 にまとめると、安定であることが「有限生成」と言い換えられます。
補題13 安定性と有限生成 [1 , 10.3節, p.165–166; 1 , 補題10.8, p.166]
A A A ネーター環 、q q q イデアル、N N N 有限生成 A A A 加群 、( N n ) (N_n) ( N n ) N N N q q q する。次数付き環と次数付き加群
A ∗ = ⨁ n ≥ 0 q n N ∗ = ⨁ n ≥ 0 N n A^*=\bigoplus_{n\ge0}q^n\qquad N^*=\bigoplus_{n\ge0}N_n A ∗ = n ≥ 0 ⨁ q n N ∗ = n ≥ 0 ⨁ N n A ∗ = ⨁ n ≥ 0 q n N ∗ = ⨁ n ≥ 0 N n \begin{gathered}A^*=\bigoplus_{n\ge0}q^n\\N^*=\bigoplus_{n\ge0}N_n\end{gathered} A ∗ = n ≥ 0 ⨁ q n N ∗ = n ≥ 0 ⨁ N n A ∗ = ⨁ n ≥ 0 q n N ∗ = ⨁ n ≥ 0 N n \begin{aligned}A^* &= \bigoplus_{n\ge0}q^n\\[4pt]N^* &= \bigoplus_{n\ge0}N_n\end{aligned} A ∗ N ∗ = n ≥ 0 ⨁ q n = n ≥ 0 ⨁ N n を考える（q m q^m q m 元と N n N_n N n 元の積は N m + n N_{m+n} N m + n 入る）。N ∗ N^* N ∗ 有限生成 A ∗ A^* A ∗ 加群 であることと、( N n ) (N_n) ( N n ) 安定であることは同値である。また A ∗ A^* A ∗ ネーター環 である。
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる q = ( x 1 , … , x r ) q=(x_1,\dots,x_r) q = ( x 1 , … , x r ) なら、
A ∗ A^* A ∗ は
A A A 上
x 1 , … , x r x_1,\dots,x_r x 1 , … , x r （次数1の
元として）で生成されるので、ヒルベルトの基底定理 からネーター環 である [1 , 系7.6, p.125] 。 N m ∗ N^*_m N m ∗ N 0 , … , N m N_0,\dots,N_m N 0 , … , N m 生成される A ∗ A^* A ∗ 分加群 とする。次の形をしている。詳しく 閉じる
N m ∗ = N 0 ⊕ ⋯ ⊕ N m ⊕ q N m ⊕ q 2 N m ⊕ ⋯ \begin{aligned} N^*_m&=N_0\oplus\cdots\oplus N_m\\ &\quad\oplus qN_m\oplus q^2N_m\oplus\cdots \end{aligned} N m ∗ = N 0 ⊕ ⋯ ⊕ N m ⊕ q N m ⊕ q 2 N m ⊕ ⋯ N 0 , … , N m N_0,\dots,N_m N 0 , … , N m 有限生成 A A A 加群 なので、N m ∗ N^*_m N m ∗ 有限生成 A ∗ A^* A ∗ 加群 である。
N m ∗ N^*_m N m ∗ は
増大列で、和は N ∗ N^* N ∗ A ∗ A^* A ∗ ネーター環 なので、N ∗ N^* N ∗ 有限生成 ⟺ \iff ⟺ 列がどこかで止まり N ∗ = N m 0 ∗ N^*=N^*_{m_0} N ∗ = N m 0 ∗ なる。 N ∗ = N m 0 ∗ N^*=N^*_{m_0} N ∗ = N m 0 ∗ は、
すべての r ≥ 0 r\ge0 r ≥ 0 N m 0 + r = q r N m 0 N_{m_0+r}=q^rN_{m_0} N m 0 + r = q r N m 0 ことと同じで、これは安定性そのものである。 A ∗ A^* A ∗ リース代数 （ブローアップ代数）と呼ばれます。代数幾何の連載のブローアップの回 で触れた ⨁ d J d \bigoplus_dJ^d ⨁ d J d 同じ形の環です。
この補題から、部分加群 に制限しても安定性が保たれることが分かります。
定理14 アルティン–リースの補題 [1 , 命題10.9, p.166; 1 , 系10.10, p.167; 2 , 定理8.5, p.71]
A A A ネーター環 、q q q イデアル、N N N 有限生成 A A A 加群 、( N n ) (N_n) ( N n ) N N N 安定な q q q N ′ N' N ′ N N N 部分加群 とする。
(1) ( N ′ ∩ N n ) (N'\cap N_n) ( N ′ ∩ N n ) N ′ N' N ′ 安定な q q q N n = q n N N_n=q^nN N n = q n N すると、ある c c c あって、n ≥ c n\ge c n ≥ c 次が成り立つ。
q n N ∩ N ′ = q n − c ( q c N ∩ N ′ ) q^nN\cap N'=q^{n-c}\bigl(q^cN\cap N'\bigr) q n N ∩ N ′ = q n − c ( q c N ∩ N ′ ) q n N ∩ N ′ = q n − c ( q c N ∩ N ′ ) \begin{aligned}q^nN\cap N' &= q^{n-c}\bigl(q^cN\cap N'\bigr)\end{aligned} q n N ∩ N ′ = q n − c ( q c N ∩ N ′ )
証明 開く 閉じる (1)
q ( N ′ ∩ N n ) ⊆ q N ′ ∩ q N n ⊆ N ′ ∩ N n + 1 q(N'\cap N_n)\subseteq qN'\cap qN_n\subseteq N'\cap N_{n+1} q ( N ′ ∩ N n ) ⊆ q N ′ ∩ q N n ⊆ N ′ ∩ N n + 1 なので
q q q フィルターである。
⨁ n ( N ′ ∩ N n ) \bigoplus_n(N'\cap N_n) ⨁ n ( N ′ ∩ N n ) は
N ∗ N^* N ∗ の
次数付き A ∗ A^* A ∗ 分加群 である。補題13 から N ∗ N^* N ∗ 有限生成で、A ∗ A^* A ∗ ネーター環 なので、部分加群 も有限生成 [1 , 命題6.5, p.118] 。 もう
一度補題13 を（今度は N ′ N' N ′ ついて）使うと、( N ′ ∩ N n ) (N'\cap N_n) ( N ′ ∩ N n ) 安定である。(2) は安定性の式 N ′ ∩ q n N = q n − c ( N ′ ∩ q c N ) N'\cap q^{n}N=q^{n-c}(N'\cap q^cN) N ′ ∩ q n N = q n − c ( N ′ ∩ q c N ) 部分加群 N ′ N' N ′ 上には、2つのフィルターがあります。N ′ N' N ′ q n N ′ q^nN' q n N ′ N N N フィルターを制限した q n N ∩ N ′ q^nN\cap N' q n N ∩ N ′ 図式にすると、縦横の矢印はどれも包含です。
q n N ′ → q n N ∩ N ′ → q n N ↓ ↓ ↓ N ′ = N ′ → N \begin{CD} q^nN' @>>> q^nN\cap N' @>>> q^nN \\ @VVV @VVV @VVV \\ N' @= N' @>>> N \end{CD} q n N ′ ↓ ⏐ N ′ q n N ∩ N ′ ↓ ⏐ N ′ q n N ↓ ⏐ N (2) から、n ≥ c n\ge c n ≥ c 次の包含が成り立ちます。制限したフィルターは q n N ′ q^nN' q n N ′ q n − c N ′ q^{n-c}N' q n − c N ′ 挟まれ、番号のずれは c c c 収まります。
q n N ′ ⊆ q n N ∩ N ′ = q n − c ( q c N ∩ N ′ ) ⊆ q n − c N ′ q^nN'\ \subseteq\ q^nN\cap N'\ =\ q^{n-c}\bigl(q^cN\cap N'\bigr)\ \subseteq\ q^{n-c}N' q n N ′ ⊆ q n N ∩ N ′ = q n − c ( q c N ∩ N ′ ) ⊆ q n − c N ′ q n N ′ ⊆ q n N ∩ N ′ = q n − c ( q c N ∩ N ′ ) ⊆ q n − c N ′ \begin{aligned}q^nN' &\subseteq q^nN\cap N'\\&= q^{n-c}\bigl(q^cN\cap N'\bigr)\\&\subseteq q^{n-c}N'\end{aligned} q n N ′ ⊆ q n N ∩ N ′ = q n − c ( q c N ∩ N ′ ) ⊆ q n − c N ′ (2) の式は、c = 0 c=0 c = 0 一般に成り立ちません。q n N ∩ N ′ q^nN\cap N' q n N ∩ N ′ q n N ′ q^nN' q n N ′ 大きいことがあるからです。次の例で c c c 値を見ます。
例15 アルティン–リースの c c c
(1) A = k [ x ] A=k[x] A = k [ x ] q = ( x ) q=(x) q = ( x ) N = A N=A N = A N ′ = ( x 5 ) N'=(x^5) N ′ = ( x 5 ) する。q n ∩ N ′ = ( x max ( n , 5 ) ) q^n\cap N'=(x^{\max(n,5)}) q n ∩ N ′ = ( x m a x ( n , 5 ) ) n ≥ 5 n\ge5 n ≥ 5 q n ∩ N ′ = q n − 5 ( q 5 ∩ N ′ ) q^n\cap N'=q^{n-5}(q^5\cap N') q n ∩ N ′ = q n − 5 ( q 5 ∩ N ′ ) なり、c = 5 c=5 c = 5 よい。c = 4 c=4 c = 4 右辺が x n − 4 ( x 5 ) = ( x n + 1 ) x^{n-4}(x^5)=(x^{n+1}) x n − 4 ( x 5 ) = ( x n + 1 ) なり、成り立たない。A = k [ x , y ] A=k[x,y] A = k [ x , y ] q = M = ( x , y ) q=M=(x,y) q = M = ( x , y ) N ′ = ( x ) N'=(x) N ′ = ( x ) する。多項式 x g xg xg M n M^n M n 入るのは g ∈ M n − 1 g\in M^{n-1} g ∈ M n − 1 ときなので
M n ∩ ( x ) = x M n − 1 = M n − 1 ( M ∩ ( x ) ) M^n\cap(x)=x\,M^{n-1}=M^{n-1}\bigl(M\cap(x)\bigr) M n ∩ ( x ) = x M n − 1 = M n − 1 ( M ∩ ( x ) ) M n ∩ ( x ) = x M n − 1 = M n − 1 ( M ∩ ( x ) ) \begin{aligned}M^n\cap(x) &= x\,M^{n-1}\\&= M^{n-1}\bigl(M\cap(x)\bigr)\end{aligned} M n ∩ ( x ) = x M n − 1 = M n − 1 ( M ∩ ( x ) ) で、c = 1 c=1 c = 1 よい。フィルター M n ∩ ( x ) M^n\cap(x) M n ∩ ( x ) N ′ = ( x ) N'=(x) N ′ = ( x ) 上で、M n ( x ) M^n(x) M n ( x ) 1段ずれている。
ヒルベルト–サミュエル多項式
ここからは、( A , M ) (A,M) ( A , M ) ネーター局所環 、k = A / M k=A/M k = A / M q q q 定義イデアル（M M M 準素イデアル ）とします。
定義16 ヒルベルト–サミュエル関数 [1 , p.184; 2 , §13, p.118–119; 3 , §7.1, p.123]
有限生成 A A A 加群 N N N ついて、
χ q N ( n ) = ℓ ( N / q n N ) ( n ≥ 0 ) \chi^N_q(n)=\ell\bigl(N/q^nN\bigr)\qquad(n\ge0) χ q N ( n ) = ℓ ( N / q n N ) ( n ≥ 0 ) χ q N ( n ) = ℓ ( N / q n N ) ( n ≥ 0 ) \begin{gathered}\chi^N_q(n)=\ell\bigl(N/q^nN\bigr)\\(n\ge0)\end{gathered} χ q N ( n ) = ℓ ( N / q n N ) ( n ≥ 0 ) χ q N ( n ) = ℓ ( N / q n N ) ( n ≥ 0 ) \begin{aligned}\chi^N_q(n) &= \ell\bigl(N/q^nN\bigr)\\[4pt]&(n\ge0)\end{aligned} χ q N ( n ) = ℓ ( N / q n N ) ( n ≥ 0 ) を N N N q q q 関するヒルベルト–サミュエル関数 と呼ぶ。N = A N=A N = A ときは χ q ( n ) = ℓ ( A / q n ) \chi_q(n)=\ell(A/q^n) χ q ( n ) = ℓ ( A / q n ) 書く。
N / q n N N/q^nN N / q n N M ν n M^{\nu n} M ν n 消えるので（M ν ⊆ q M^\nu\subseteq q M ν ⊆ q 補題4 から長さは有限です。
松村と堀田は ℓ ( N / q n + 1 N ) \ell(N/q^{n+1}N) ℓ ( N / q n + 1 N ) 使い、n n n 1ずれます。次数や最高次の係数は変わりません。
おさらい 第5回のヒルベルト多項式
G 0 G_0 G 0 アルティン環 、G G G G 0 G_0 G 0 s s s 次数1の元で生成される次数付き環、E E E 有限生成次数付き G G G 加群 とします。各次数の長さを並べたポアンカレ級数は、分母が ( 1 − t ) s (1-t)^s ( 1 − t ) s 有理関数でした（第5回の定理11 ）。
P ( E , t ) = ∑ n ≥ 0 ℓ ( E n ) t n = f ( t ) ( 1 − t ) s = f 0 ( t ) ( 1 − t ) d f 0 ( 1 ) ≠ 0 P(E,t)=\sum_{n\ge0}\ell(E_n)\,t^n=\frac{f(t)}{(1-t)^s}=\frac{f_0(t)}{(1-t)^{d}}\qquad f_0(1)\neq0 P ( E , t ) = n ≥ 0 ∑ ℓ ( E n ) t n = ( 1 − t ) s f ( t ) = ( 1 − t ) d f 0 ( t ) f 0 ( 1 ) = 0 P ( E , t ) = ∑ n ≥ 0 ℓ ( E n ) t n = f ( t ) ( 1 − t ) s = f 0 ( t ) ( 1 − t ) d f 0 ( 1 ) ≠ 0 \begin{gathered}P(E,t)=\sum_{n\ge0}\ell(E_n)\,t^n=\frac{f(t)}{(1-t)^s}=\frac{f_0(t)}{(1-t)^{d}}\\f_0(1)\neq0\end{gathered} P ( E , t ) = n ≥ 0 ∑ ℓ ( E n ) t n = ( 1 − t ) s f ( t ) = ( 1 − t ) d f 0 ( t ) f 0 ( 1 ) = 0 P ( E , t ) = ∑ n ≥ 0 ℓ ( E n ) t n = f ( t ) ( 1 − t ) s = f 0 ( t ) ( 1 − t ) d f 0 ( 1 ) ≠ 0 \begin{aligned}P(E,t) &= \sum_{n\ge0}\ell(E_n)\,t^n\\&= \frac{f(t)}{(1-t)^s}\\&= \frac{f_0(t)}{(1-t)^{d}}\\[4pt]f_0(1) &\neq 0\end{aligned} P ( E , t ) f 0 ( 1 ) = n ≥ 0 ∑ ℓ ( E n ) t n = ( 1 − t ) s f ( t ) = ( 1 − t ) d f 0 ( t ) = 0 約分した後の極の位数 d = d ( E ) d=d(E) d = d ( E ) 使うと、ℓ ( E n ) \ell(E_n) ℓ ( E n ) 大きな n n n 次数 d − 1 d-1 d − 1 多項式に一致します（第5回の定義12 、第5回の定理13 ）。
例えば G = E = k [ x , y ] G=E=k[x,y] G = E = k [ x , y ] P ( E , t ) = 1 / ( 1 − t ) 2 P(E,t)=1/(1-t)^2 P ( E , t ) = 1/ ( 1 − t ) 2 ℓ ( E n ) = n + 1 \ell(E_n)=n+1 ℓ ( E n ) = n + 1 d = 2 d=2 d = 2 E = k [ x , y ] / ( y 2 ) E=k[x,y]/(y^2) E = k [ x , y ] / ( y 2 ) P ( E , t ) = ( 1 + t ) / ( 1 − t ) P(E,t)=(1+t)/(1-t) P ( E , t ) = ( 1 + t ) / ( 1 − t ) n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 ℓ ( E n ) = 2 \ell(E_n)=2 ℓ ( E n ) = 2 d = 1 d=1 d = 1
定理17 ヒルベルト–サミュエル多項式 [1 , 命題11.4, p.183–184; 1 , 系11.5, p.184; 3 , 命題7.4, p.122–123]
( A , M ) (A,M) ( A , M ) ネーター局所環 、q q q s s s 元で生成される M M M 準素イデアル 、N N N 有限生成 A A A 加群 、( N n ) (N_n) ( N n ) N N N 安定な q q q する。
(1) 各 N / N n N/N_n N / N n 長さは有限である。多項式 g g g 有理数、次数は s s s あって、十分大きな n n n ℓ ( N / N n ) = g ( n ) \ell(N/N_n)=g(n) ℓ ( N / N n ) = g ( n ) g g g 次数と最高次の係数は、N N N q q q 決まり、安定なフィルターのとり方によらない。
特に χ q N ( n ) \chi^N_q(n) χ q N ( n ) 十分大きな n n n 次数 s s s 多項式に一致する。この多項式も χ q N \chi^N_q χ q N 書き、ヒルベルト–サミュエル多項式 と呼ぶ。
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる (1) 各段
N n / N n + 1 N_n/N_{n+1} N n / N n + 1 は
q ⊇ M ν q\supseteq M^\nu q ⊇ M ν で
消える有限生成加群 なので、長さは有限（補題4 ）。加法性（命題2 (2)）から ℓ ( N / N n ) = ∑ r = 1 n ℓ ( N r − 1 / N r ) \ell(N/N_n)=\sum_{r=1}^n\ell(N_{r-1}/N_r) ℓ ( N / N n ) = ∑ r = 1 n ℓ ( N r − 1 / N r ) 有限。 各段をまとめて、次数付き環と次数付き加群 を作る。詳しく 閉じる
G ( A ) = ⨁ n ≥ 0 q n / q n + 1 G ( N ) = ⨁ n ≥ 0 N n / N n + 1 G(A)=\bigoplus_{n\ge0}q^n/q^{n+1}\qquad G(N)=\bigoplus_{n\ge0}N_n/N_{n+1} G ( A ) = n ≥ 0 ⨁ q n / q n + 1 G ( N ) = n ≥ 0 ⨁ N n / N n + 1 G ( A ) = ⨁ n ≥ 0 q n / q n + 1 G ( N ) = ⨁ n ≥ 0 N n / N n + 1 \begin{gathered}G(A)=\bigoplus_{n\ge0}q^n/q^{n+1}\\G(N)=\bigoplus_{n\ge0}N_n/N_{n+1}\end{gathered} G ( A ) = n ≥ 0 ⨁ q n / q n + 1 G ( N ) = n ≥ 0 ⨁ N n / N n + 1 G ( A ) = ⨁ n ≥ 0 q n / q n + 1 G ( N ) = ⨁ n ≥ 0 N n / N n + 1 \begin{aligned}G(A) &= \bigoplus_{n\ge0}q^n/q^{n+1}\\[4pt]G(N) &= \bigoplus_{n\ge0}N_n/N_{n+1}\end{aligned} G ( A ) G ( N ) = n ≥ 0 ⨁ q n / q n + 1 = n ≥ 0 ⨁ N n / N n + 1 q m / q m + 1 q^m/q^{m+1} q m / q m + 1 元と N n / N n + 1 N_n/N_{n+1} N n / N n + 1 元の積を、代表元の積の N m + n / N m + n + 1 N_{m+n}/N_{m+n+1} N m + n / N m + n + 1 像で定める。q N n ⊆ N n + 1 qN_n\subseteq N_{n+1} q N n ⊆ N n + 1 代表元のとり方によらない。G ( A ) G(A) G ( A ) A A A q q q 関する随伴次数環 と呼ばれる。
G ( A ) G(A) G ( A ) 0次の部分 G 0 = A / q G_0=A/q G 0 = A / q q = ( x 1 , … , x s ) q=(x_1,\dots,x_s) q = ( x 1 , … , x s ) 像 x ˉ i ∈ q / q 2 \bar x_i\in q/q^2 x ˉ i ∈ q / q 2 生成される。A / q A/q A / q アルティン環 である。詳しく 閉じる
q n / q n + 1 q^n/q^{n+1} q n / q n + 1 x 1 , … , x s x_1,\dots,x_s x 1 , … , x s n n n 単項式の像で A / q A/q A / q A / q A/q A / q ネーター局所環 で、極大イデアル M / q M/q M / q べき零（M ν ⊆ q M^\nu\subseteq q M ν ⊆ q アルティン環 である [1 , 命題8.6, p.140] 。
G ( N ) G(N) G ( N ) 有限生成 G ( A ) G(A) G ( A ) 加群 である。安定性を使う。詳しく 閉じる
n ≥ n 0 n\ge n_0 n ≥ n 0 N n + 1 = q N n N_{n+1}=qN_n N n + 1 = q N n n ≥ n 0 n\ge n_0 n ≥ n 0 G n ( N ) = N n / N n + 1 G_n(N)=N_n/N_{n+1} G n ( N ) = N n / N n + 1 G 1 ( A ) n − n 0 ⋅ G n 0 ( N ) G_1(A)^{n-n_0}\cdot G_{n_0}(N) G 1 ( A ) n − n 0 ⋅ G n 0 ( N ) 等しい。よって G ( N ) G(N) G ( N ) G 0 ( N ) ⊕ ⋯ ⊕ G n 0 ( N ) G_0(N)\oplus\cdots\oplus G_{n_0}(N) G 0 ( N ) ⊕ ⋯ ⊕ G n 0 ( N ) 生成される。各 G n ( N ) G_n(N) G n ( N ) 有限生成 A / q A/q A / q 加群 なので、全体も有限個の元で生成される [1 , 命題10.22, p.172–173] 。
前回の定理（第5回の定理13 ）から、ℓ ( N n / N n + 1 ) \ell(N_n/N_{n+1}) ℓ ( N n / N n + 1 ) 十分大きな n n n 次数 s − 1 s-1 s − 1 多項式 f ( n ) f(n) f ( n ) 一致する。詳しく 閉じる
前回の定理の主張は次のとおりである。G 0 G_0 G 0 アルティン環 、G G G G 0 G_0 G 0 s s s 次数1の元で生成される次数付き環、E E E 有限生成次数付き G G G 加群 とすると、ℓ G 0 ( E n ) \ell_{G_0}(E_n) ℓ G 0 ( E n ) 十分大きな n n n n n n 多項式に一致し、その次数は d ( E ) − 1 d(E)-1 d ( E ) − 1 （d ( E ) d(E) d ( E ) ポアンカレ級数の t = 1 t=1 t = 1 極の位数、第5回の定義12 ）。
ポアンカレ級数は分母が ( 1 − t ) s (1-t)^s ( 1 − t ) s 有理関数なので（第5回の定理11 ）、d ( E ) ≤ s d(E)\le s d ( E ) ≤ s 多項式の次数は s − 1 s-1 s − 1 これを G = G ( A ) G=G(A) G = G ( A ) E = G ( N ) E=G(N) E = G ( N ) 使う。
N n / N n + 1 N_n/N_{n+1} N n / N n + 1 q q q 消えるので、その A A A 分加群 と A / q A/q A / q 分加群 は同じものである。よって A / q A/q A / q 加群 としての長さと A A A 加群 としての長さは等しい。
差 ℓ ( N / N n + 1 ) − ℓ ( N / N n ) = f ( n ) \ell(N/N_{n+1})-\ell(N/N_n)=f(n) ℓ ( N / N n + 1 ) − ℓ ( N / N n ) = f ( n ) 次数 s − 1 s-1 s − 1 多項式なので、ℓ ( N / N n ) \ell(N/N_n) ℓ ( N / N n ) 十分大きな n n n 次数 s s s 多項式に一致する。これで (2) が分かる。詳しく 閉じる
2項係数 ( n i ) = n ( n − 1 ) ⋯ ( n − i + 1 ) / i ! \binom ni=n(n-1)\cdots(n-i+1)/i! ( i n ) = n ( n − 1 ) ⋯ ( n − i + 1 ) / i ! n n n i i i パスカルの公式 ( n + 1 i + 1 ) − ( n i + 1 ) = ( n i ) \binom{n+1}{i+1}-\binom n{i+1}=\binom ni ( i + 1 n + 1 ) − ( i + 1 n ) = ( i n ) みたす。f ( n ) = ∑ i = 0 s − 1 c i ( n i ) f(n)=\sum_{i=0}^{s-1}c_i\binom ni f ( n ) = ∑ i = 0 s − 1 c i ( i n ) c i ∈ Q c_i\in\mathbb{Q} c i ∈ Q 書けるので、
F ( n ) = ∑ i = 0 s − 1 c i ( n i + 1 ) F(n)=\sum_{i=0}^{s-1}c_i\binom n{i+1} F ( n ) = i = 0 ∑ s − 1 c i ( i + 1 n ) F ( n ) = ∑ i = 0 s − 1 c i ( n i + 1 ) \begin{aligned}F(n) &= \sum_{i=0}^{s-1}c_i\binom n{i+1}\end{aligned} F ( n ) = i = 0 ∑ s − 1 c i ( i + 1 n ) とおくと F ( n + 1 ) − F ( n ) = f ( n ) F(n+1)-F(n)=f(n) F ( n + 1 ) − F ( n ) = f ( n ) F F F 次数は s s s h ( n ) = ℓ ( N / N n ) h(n)=\ell(N/N_n) h ( n ) = ℓ ( N / N n ) ついて h − F h-F h − F 十分大きな n n n 差が0、つまり定数 c c c g = F + c g=F+c g = F + c すればよい。f f f 次数が e e e 最高次の係数が a a a g g g 次数は e + 1 e+1 e + 1 最高次の係数は a / ( e + 1 ) a/(e+1) a / ( e + 1 )
(3) 別の安定な q q q ( N ~ n ) (\tilde N_n) ( N ~ n ) 多項式を g ~ \tilde g g ~ すると、補題12 の n 0 n_0 n 0 ついて g ( n + n 0 ) ≥ g ~ ( n ) g(n+n_0)\ge\tilde g(n) g ( n + n 0 ) ≥ g ~ ( n ) g ~ ( n + n 0 ) ≥ g ( n ) \tilde g(n+n_0)\ge g(n) g ~ ( n + n 0 ) ≥ g ( n ) よって g g g g ~ \tilde g g ~ 次数と最高次の係数は等しい。詳しく 閉じる
N n + n 0 ⊆ N ~ n N_{n+n_0}\subseteq\tilde N_n N n + n 0 ⊆ N ~ n ℓ ( N / N n + n 0 ) ≥ ℓ ( N / N ~ n ) \ell(N/N_{n+n_0})\ge\ell(N/\tilde N_n) ℓ ( N / N n + n 0 ) ≥ ℓ ( N / N ~ n ) これが g ( n + n 0 ) ≥ g ~ ( n ) g(n+n_0)\ge\tilde g(n) g ( n + n 0 ) ≥ g ~ ( n )
多項式の値は、大きな n n n 最高次の項で決まる。deg g > deg g ~ \deg g > \deg\tilde g deg g > deg g ~ g ~ ( n + n 0 ) ≥ g ( n ) \tilde g(n+n_0)\ge g(n) g ~ ( n + n 0 ) ≥ g ( n ) 大きな n n n 成り立たないので、次数は等しい（逆も同じ）。
次数が等しいとき、2つの不等式の両辺を n n n 最高次で比べると、g g g 最高次の係数は g ~ \tilde g g ~ もの以上かつ以下になり、等しい。
証明の中心は、フィルターの各段の商を並べて随伴次数環 G q ( A ) = G ( A ) G_q(A)=G(A) G q ( A ) = G ( A ) 作ることでした。N = A N=A N = A N n = q n N_n=q^n N n = q n とき、図式は次のとおりです。横の矢印は包含、縦の矢印は商への射影です。
A q 2 ↓ A / q q 2 / q 3 ⟵ q 2 ↓ q 2 / q 3 q q 2 ↓ q / q 2 q 2 / q 3 ⟵ q 2 ↓ q 2 / q 3 q 2 ↓ q 2 / q 3 ⟵ q 2 ↓ q 2 / q 3 q 3 q 2 ↓ q 3 / q 4 q 2 / q 3 ⟵ q 2 ↓ q 2 / q 3 ⋯ q 2 ↓ ⋯ q 2 / q 3 {}\begin{gathered}A\vphantom{\mathllap{q^2}}\\ \Big\downarrow\\ A/q\vphantom{\mathllap{q^2/q^3}}\end{gathered}\begin{gathered}\mkern1mu{\longleftarrow}\mkern1mu\vphantom{\mathllap{q^2}}\\ \vphantom{\mathllap{\Big\downarrow}}\\ \vphantom{\mathllap{q^2/q^3}}\end{gathered}\begin{gathered}q\vphantom{\mathllap{q^2}}\\ \Big\downarrow\\ q/q^2\vphantom{\mathllap{q^2/q^3}}\end{gathered}\begin{gathered}\mkern1mu{\longleftarrow}\mkern1mu\vphantom{\mathllap{q^2}}\\ \vphantom{\mathllap{\Big\downarrow}}\\ \vphantom{\mathllap{q^2/q^3}}\end{gathered}\begin{gathered}q^2\\ \Big\downarrow\\ q^2/q^3\end{gathered}\begin{gathered}\mkern1mu{\longleftarrow}\mkern1mu\vphantom{\mathllap{q^2}}\\ \vphantom{\mathllap{\Big\downarrow}}\\ \vphantom{\mathllap{q^2/q^3}}\end{gathered}\begin{gathered}q^3\vphantom{\mathllap{q^2}}\\ \Big\downarrow\\ q^3/q^4\vphantom{\mathllap{q^2/q^3}}\end{gathered}\begin{gathered}\mkern1mu{\longleftarrow}\mkern1mu\vphantom{\mathllap{q^2}}\\ \vphantom{\mathllap{\Big\downarrow}}\\ \vphantom{\mathllap{q^2/q^3}}\end{gathered}\begin{gathered}\cdots\vphantom{\mathllap{q^2}}\\ \vphantom{\mathllap{\Big\downarrow}}\\ \cdots\vphantom{\mathllap{q^2/q^3}}\end{gathered} A q 2 ↓ ⏐ A / q q 2 / q 3 ⟵ q 2 ↓ ⏐ q 2 / q 3 q q 2 ↓ ⏐ q / q 2 q 2 / q 3 ⟵ q 2 ↓ ⏐ q 2 / q 3 q 2 ↓ ⏐ q 2 / q 3 ⟵ q 2 ↓ ⏐ q 2 / q 3 q 3 q 2 ↓ ⏐ q 3 / q 4 q 2 / q 3 ⟵ q 2 ↓ ⏐ q 2 / q 3 ⋯ q 2 ↓ ⏐ ⋯ q 2 / q 3 下の行の直和が G q ( A ) G_q(A) G q ( A ) 積は次の写像で、代表元を掛けてから商をとります。
G q ( A ) = ⨁ n ≥ 0 q n / q n + 1 q m / q m + 1 × q n / q n + 1 ⟶ q m + n / q m + n + 1 G_q(A)=\bigoplus_{n\ge0}q^n/q^{n+1}\qquad q^m/q^{m+1}\times q^n/q^{n+1}\longrightarrow q^{m+n}/q^{m+n+1} G q ( A ) = n ≥ 0 ⨁ q n / q n + 1 q m / q m + 1 × q n / q n + 1 ⟶ q m + n / q m + n + 1 G q ( A ) = ⨁ n ≥ 0 q n / q n + 1 q m / q m + 1 × q n / q n + 1 ⟶ q m + n / q m + n + 1 \begin{gathered}G_q(A)=\bigoplus_{n\ge0}q^n/q^{n+1}\\q^m/q^{m+1}\times q^n/q^{n+1}\longrightarrow q^{m+n}/q^{m+n+1}\end{gathered} G q ( A ) = n ≥ 0 ⨁ q n / q n + 1 q m / q m + 1 × q n / q n + 1 ⟶ q m + n / q m + n + 1 G q ( A ) = ⨁ n ≥ 0 q n / q n + 1 q m / q m + 1 × q n / q n + 1 ⟶ q m + n / q m + n + 1 \begin{aligned}G_q(A) &= \bigoplus_{n\ge0}q^n/q^{n+1}\\[4pt]q^m/q^{m+1}\times q^n/q^{n+1} &\longrightarrow q^{m+n}/q^{m+n+1}\end{aligned} G q ( A ) q m / q m + 1 × q n / q n + 1 = n ≥ 0 ⨁ q n / q n + 1 ⟶ q m + n / q m + n + 1 ℓ ( A / q n ) \ell(A/q^n) ℓ ( A / q n ) 下の行の最初の n n n 長さの和です。各段の長さは大きな n n n 多項式になり（第5回）、足し上げると次数が1つ上がります。
(2) の「十分大きな n n n 省けません。後の例29 (5) の三重点では、n = 1 n=1 n = 1 多項式からずれます。
まず、多項式環の局所化で数えます。
例18 多項式環の局所化 [3 , 例7.5, p.123; 1 , 11.2節 例, p.188; 2 , 定理13.8, p.124]
A = k [ x 1 , … , x d ] M A=k[x_1,\dots,x_d]_M A = k [ x 1 , … , x d ] M M = ( x 1 , … , x d ) M=(x_1,\dots,x_d) M = ( x 1 , … , x d ) すると、すべての n ≥ 0 n\ge0 n ≥ 0
χ M ( n ) = ℓ ( A / M n ) = ( n + d − 1 d ) = n ( n + 1 ) ⋯ ( n + d − 1 ) d ! \begin{aligned} &\chi_M(n)=\ell(A/M^n)\\ &\quad=\binom{n+d-1}{d}\\ &\quad=\frac{n(n+1)\cdots(n+d-1)}{d!}\end{aligned} χ M ( n ) = ℓ ( A / M n ) = ( d n + d − 1 ) = d ! n ( n + 1 ) ⋯ ( n + d − 1 ) d = 1 , 2 , 3 d=1,2,3 d = 1 , 2 , 3 n n n n ( n + 1 ) 2 \dfrac{n(n+1)}{2} 2 n ( n + 1 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 6 \dfrac{n(n+1)(n+2)}{6} 6 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 次数は d d d 最高次の係数は 1 / d ! 1/d! 1/ d !
証明 開く 閉じる A / M n = k [ x 1 , … , x d ] / ( x 1 , … , x d ) n A/M^n=k[x_1,\dots,x_d]/(x_1,\dots,x_d)^n A / M n = k [ x 1 , … , x d ] / ( x 1 , … , x d ) n で、
次数 n n n 単項式が k k k なる（例7 のあとの2つの事実）。 d d d 変数の
次数 j j j 単項式は ( j + d − 1 d − 1 ) \binom{j+d-1}{d-1} ( d − 1 j + d − 1 ) あり、j = 0 , … , n − 1 j=0,\dots,n-1 j = 0 , … , n − 1 足すと ( n + d − 1 d ) \binom{n+d-1}{d} ( d n + d − 1 ) 公式を繰り返す）。 d = 2 d=2 d = 2 ときの数え方を、格子点で描いたのが図3です。同じ図で、定義イデアルを q = ( x 2 , y ) q=(x^2,\ y) q = ( x 2 , y ) 替えたときも数えています。
ℓ ( A / M 1 ) = 1 \ell(A/M^1)=1 ℓ ( A / M 1 ) = 1 ℓ ( A / M 2 ) = 3 \ell(A/M^2)=3 ℓ ( A / M 2 ) = 3 ℓ ( A / M 3 ) = 6 \ell(A/M^3)=6 ℓ ( A / M 3 ) = 6 ℓ ( A / M 4 ) = 10 \ell(A/M^4)=10 ℓ ( A / M 4 ) = 10 q = M q=M q = M ℓ ( A / q 1 ) = 2 \ell(A/q^1)=2 ℓ ( A / q 1 ) = 2 ℓ ( A / q 2 ) = 6 \ell(A/q^2)=6 ℓ ( A / q 2 ) = 6 ℓ ( A / q 3 ) = 12 \ell(A/q^3)=12 ℓ ( A / q 3 ) = 12 ℓ ( A / q 4 ) = 20 \ell(A/q^4)=20 ℓ ( A / q 4 ) = 20 q = ( x 2 , y ) q=(x^2,\ y) q = ( x 2 , y ) このブラウザでは立体の図を表示できませんでした（WebGLが必要です）。
n = 1 n=1 n = 1 n = 2 n=2 n = 2 n = 3 n=3 n = 3 n = 4 n=4 n = 4 斜め 真上 正面 真横
ドラッグで回せます n = 1 n=1 n = 1 点 ( a , b ) (a,b) ( a , b ) 単項式 x a y b x^ay^b x a y b A / q A/q A / q 残る単項式（q q q 入らないもの）を描いています。左の A / M A/M A / M 1 1 1 右の A / ( x 2 , y ) A/(x^2,y) A / ( x 2 , y ) 1 , x 1,\ x 1 , x 2つです。
n = 2 n=2 n = 2 n n n 高さ n − 1 n-1 n − 1 積んでいきます（灰色は前の段）。M 2 M^2 M 2 入らないのは 1 , x , y 1,x,y 1 , x , y 3つ、( x 2 , y ) 2 = ( x 4 , x 2 y , y 2 ) (x^2,y)^2=(x^4,x^2y,y^2) ( x 2 , y ) 2 = ( x 4 , x 2 y , y 2 ) 入らないのは6つです。
n = 3 n=3 n = 3 「真上」から見ると、一番上の段（A / q 3 A/q^3 A / q 3 基底）だけが見えます。左は三角形、右は横に2倍に伸びた三角形です。
n = 4 n=4 n = 4 「正面」から見ると、段の幅が n n n 比例して広がり、全体が錐の形になります。縦にも横にも n n n 比例して広がるので、点の数は n 2 n^2 n 2 速さで増えます。右の錐は横に2倍なので、点の数もおよそ2倍です。「真横」から見ると、左右の錐はぴったり重なって1つに見えます。y y y 方向の幅は、どちらも n n n
図3 具体例 A = k [ x , y ] ( x , y ) A=k[x,y]_{(x,y)} A = k [ x , y ] ( x , y ) A / q n A/q^n A / q n x a y b x^ay^b x a y b ( a , b ) (a,b) ( a , b ) n n n n − 1 n-1 n − 1 q = M q=M q = M q = ( x 2 , y ) q=(x^2,y) q = ( x 2 , y ) n n n A / q n A/q^n A / q n n n n n n n n n n
例19 いろいろな定義イデアル
A = k [ x , y ] ( x , y ) A=k[x,y]_{(x,y)} A = k [ x , y ] ( x , y ) する。すべての n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 次が成り立つ。
χ M ( n ) = 1 2 n ( n + 1 ) χ ( x 2 , y ) ( n ) = n ( n + 1 ) χ M 2 ( n ) = n ( 2 n + 1 ) χ ( x 2 , y 2 ) ( n ) = 2 n ( n + 1 ) \begin{aligned} \chi_M(n)&=\tfrac12n(n+1)\\ \chi_{(x^2,y)}(n)&=n(n+1)\\ \chi_{M^2}(n)&=n(2n+1)\\ \chi_{(x^2,y^2)}(n)&=2n(n+1)\end{aligned} χ M ( n ) χ ( x 2 , y ) ( n ) χ M 2 ( n ) χ ( x 2 , y 2 ) ( n ) = 2 1 n ( n + 1 ) = n ( n + 1 ) = n ( 2 n + 1 ) = 2 n ( n + 1 ) 一般に χ ( x a , y b ) ( n ) = 1 2 a b n ( n + 1 ) \chi_{(x^a,y^b)}(n)=\tfrac12ab\,n(n+1) χ ( x a , y b ) ( n ) = 2 1 ab n ( n + 1 ) どれも2次式で、最高次の係数は 1 2 , 1 , 2 , 2 \tfrac12,\ 1,\ 2,\ 2 2 1 , 1 , 2 , 2 変わる。
証明 開く 閉じる ( x a , y b ) n (x^a,y^b)^n ( x a , y b ) n は
x a p y b ( n − p ) x^{ap}y^{b(n-p)} x a p y b ( n − p ) （
0 ≤ p ≤ n 0\le p\le n 0 ≤ p ≤ n ）で
生成されるので、x i y j ∈ ( x a , y b ) n ⟺ ⌊ i / a ⌋ + ⌊ j / b ⌋ ≥ n x^iy^j\in(x^a,y^b)^n\iff\lfloor i/a\rfloor+\lfloor j/b\rfloor\ge n x i y j ∈ ( x a , y b ) n ⟺ ⌊ i / a ⌋ + ⌊ j / b ⌋ ≥ n x i y j x^iy^j x i y j が
入らないのは ⌊ i / a ⌋ = p \lfloor i/a\rfloor=p ⌊ i / a ⌋ = p ⌊ j / b ⌋ = r \lfloor j/b\rfloor=r ⌊ j / b ⌋ = r p + r < n p+r < n p + r < n とき。そのような ( p , r ) (p,r) ( p , r ) n ( n + 1 ) / 2 n(n+1)/2 n ( n + 1 ) /2 あり、各組に ( i , j ) (i,j) ( i , j ) a b ab ab 合計 a b n ( n + 1 ) / 2 ab\,n(n+1)/2 ab n ( n + 1 ) /2 ( x 2 , y ) (x^2,y) ( x 2 , y ) a = 2 , b = 1 a=2,b=1 a = 2 , b = 1 ( x 2 , y 2 ) (x^2,y^2) ( x 2 , y 2 ) a = b = 2 a=b=2 a = b = 2 χ M 2 ( n ) = ℓ ( A / M 2 n ) = χ M ( 2 n ) = 1 2 ⋅ 2 n ( 2 n + 1 ) \chi_{M^2}(n)=\ell(A/M^{2n})=\chi_M(2n)=\tfrac12\cdot2n(2n+1) χ M 2 ( n ) = ℓ ( A / M 2 n ) = χ M ( 2 n ) = 2 1 ⋅ 2 n ( 2 n + 1 ) 。
体を含まない局所環 でも数えられます。
例20 Z ( p ) \mathbb{Z}_{(p)} Z ( p ) アルティン環
(1) A = Z ( p ) A=\mathbb{Z}_{(p)} A = Z ( p ) M = ( p ) M=(p) M = ( p ) χ M ( n ) = ℓ ( Z / p n ) = n \chi_M(n)=\ell(\mathbb{Z}/p^n)=n χ M ( n ) = ℓ ( Z / p n ) = n q = ( p 2 ) q=(p^2) q = ( p 2 ) χ q ( n ) = 2 n \chi_q(n)=2n χ q ( n ) = 2 n 次数はどちらも1。A = k [ x ] / ( x 3 ) A=k[x]/(x^3) A = k [ x ] / ( x 3 ) χ M ( n ) = ℓ ( A / ( x n ) ) = min ( n , 3 ) \chi_M(n)=\ell(A/(x^n))=\min(n,3) χ M ( n ) = ℓ ( A / ( x n )) = min ( n , 3 ) n ≥ 3 n\ge3 n ≥ 3 定数3に一致し、次数は0。
次数は定義イデアルによらない
例19 では、最高次の係数は q q q 変わりましたが、次数はいつも2でした。これは一般に成り立ちます。
命題21 次数は定義イデアルによらない [1 , 系11.5, p.184; 1 , 命題11.6, p.185; 2 , §13, p.119; 3 , §7.1, p.123]
( A , M ) (A,M) ( A , M ) ネーター局所環 、N N N 有限生成 A A A 加群 とする。
(1) M M M 準素イデアル q q q s s s 元で生成されるなら、deg χ q N ≤ s \deg\chi^N_q\le s deg χ q N ≤ s M M M 準素イデアル q q q ついて deg χ q N = deg χ M N \deg\chi^N_q=\deg\chi^N_M deg χ q N = deg χ M N
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる (1) は
定理17 (2) を
フィルター q n N q^nN q n N 使ったもの。 (2)
M ν ⊆ q ⊆ M M^\nu\subseteq q\subseteq M M ν ⊆ q ⊆ M と
なる ν \nu ν とる（命題6 ）。n n n N N N 掛けると M ν n N ⊆ q n N ⊆ M n N M^{\nu n}N\subseteq q^nN\subseteq M^nN M ν n N ⊆ q n N ⊆ M n N 長さに直すと、すべての n n n 次の不等式が成り立つ。詳しく 閉じる
χ M N ( n ) ≤ χ q N ( n ) ≤ χ M N ( ν n ) \chi^N_M(n)\le\chi^N_q(n)\le\chi^N_M(\nu n) χ M N ( n ) ≤ χ q N ( n ) ≤ χ M N ( ν n ) χ M N ( n ) ≤ χ q N ( n ) ≤ χ M N ( ν n ) \begin{aligned}\chi^N_M(n) &\le \chi^N_q(n)\\&\le \chi^N_M(\nu n)\end{aligned} χ M N ( n ) ≤ χ q N ( n ) ≤ χ M N ( ν n ) 部分加群 が小さいほど商の長さは大きい（命題2 (2)）。
n ↦ χ M N ( ν n ) n\mapsto\chi^N_M(\nu n) n ↦ χ M N ( ν n ) χ M N \chi^N_M χ M N 同じ次数の多項式なので、挟まれた χ q N \chi^N_q χ q N 次数も同じである。詳しく 閉じる
e = deg χ M N e=\deg\chi^N_M e = deg χ M N すると、大きな n n n 左辺と右辺はどちらも n e n^e n e 定数倍程度である。χ q N \chi^N_q χ q N 次数が e e e 大きければ右の不等式が、小さければ左の不等式が、大きな n n n 成り立たない。
χ M ( 2 n ) = n ( 2 n + 1 ) \chi_M(2n)=n(2n+1) χ M ( 2 n ) = n ( 2 n + 1 ) χ q ( n ) = n ( n + 1 ) \chi_q(n)=n(n+1) χ q ( n ) = n ( n + 1 ) χ M ( n ) = n ( n + 1 ) 2 \chi_M(n)=\tfrac{n(n+1)}{2} χ M ( n ) = 2 n ( n + 1 ) n = 4 n=4 n = 4 では
10 ≤ 20 ≤ 36 10\le20\le36 10 ≤ 20 ≤ 36 図4 具体例 命題21 の証明を、A = k [ x , y ] ( x , y ) A=k[x,y]_{(x,y)} A = k [ x , y ] ( x , y ) q = ( x 2 , y ) q=(x^2,y) q = ( x 2 , y ) ν = 2 \nu=2 ν = 2 M 2 n ⊆ q n ⊆ M n M^{2n}\subseteq q^n\subseteq M^n M 2 n ⊆ q n ⊆ M n χ q ( n ) = n ( n + 1 ) \chi_q(n)=n(n+1) χ q ( n ) = n ( n + 1 ) χ M ( n ) \chi_M(n) χ M ( n ) χ M ( 2 n ) \chi_M(2n) χ M ( 2 n ) M 2 n ⊆ q n ⊆ M n M^{2n}\subseteq q^n\subseteq M^n M 2 n ⊆ q n ⊆ M n
(2) から、次の量は q q q とり方によりません。
定義22 局所環と加群の d d d [1 , p.185; 2 , §13, p.119; 3 , §7.1, p.123]
( A , M ) (A,M) ( A , M ) ネーター局所環 、N N N 有限生成 A A A 加群 とする。M M M 準素イデアル q q q とり、
d ( N ) = deg χ q N d(N)=\deg\chi^N_q d ( N ) = deg χ q N d ( N ) = deg χ q N \begin{aligned}d(N) &= \deg\chi^N_q\end{aligned} d ( N ) = deg χ q N とおく。N = A N=A N = A とき d ( A ) = deg χ q = deg ℓ ( A / q n ) d(A)=\deg\chi_q=\deg\ell(A/q^n) d ( A ) = deg χ q = deg ℓ ( A / q n ) 零多項式の次数は − 1 -1 − 1 約束する（d ( 0 ) = − 1 d(0)=-1 d ( 0 ) = − 1
q = M q=M q = M すると、χ M ( n ) = ∑ j < n ℓ ( M j / M j + 1 ) \chi_M(n)=\sum_{j < n}\ell(M^j/M^{j+1}) χ M ( n ) = ∑ j < n ℓ ( M j / M j + 1 ) 随伴次数環 G M ( A ) = ⨁ j M j / M j + 1 G_M(A)=\bigoplus_jM^j/M^{j+1} G M ( A ) = ⨁ j M j / M j + 1 ヒルベルト関数の和です。
前回の d d d t = 1 t=1 t = 1 極の位数、第5回の定義12 ）を使うと、ℓ ( M j / M j + 1 ) \ell(M^j/M^{j+1}) ℓ ( M j / M j + 1 ) 大きな j j j 次数 d ( G M ( A ) ) − 1 d(G_M(A))-1 d ( G M ( A )) − 1 多項式なので、d ( A ) = d ( G M ( A ) ) d(A)=d(G_M(A)) d ( A ) = d ( G M ( A )) [1 , p.185] 。
例23 d d d 値
(1) d ( k [ x 1 , … , x d ] M ) = d d(k[x_1,\dots,x_d]_M)=d d ( k [ x 1 , … , x d ] M ) = d 例18 ）。d ( Z ( p ) ) = 1 d(\mathbb{Z}_{(p)})=1 d ( Z ( p ) ) = 1 例20 ）。N ≠ 0 N\neq0 N = 0 ついて、d ( N ) = 0 d(N)=0 d ( N ) = 0 ℓ ( N ) < ∞ \ell(N) < \infty ℓ ( N ) < ∞ 同値である。
証明 開く 閉じる (3)
ℓ ( N ) < ∞ \ell(N) < \infty ℓ ( N ) < ∞ なら、
鎖 N ⊇ M N ⊇ M 2 N ⊇ ⋯ N\supseteq MN\supseteq M^2N\supseteq\cdots N ⊇ M N ⊇ M 2 N ⊇ ⋯ 止まり、中山の補題 から M n N = 0 M^nN=0 M n N = 0 なる。すると χ M N ( n ) = ℓ ( N ) \chi^N_M(n)=\ell(N) χ M N ( n ) = ℓ ( N ) 大きな n n n 0でない定数。 逆に
χ M N \chi^N_M χ M N が
大きな n n n 定数なら ℓ ( M n N / M n + 1 N ) = 0 \ell(M^nN/M^{n+1}N)=0 ℓ ( M n N / M n + 1 N ) = 0 つまり M n N = M n + 1 N M^nN=M^{n+1}N M n N = M n + 1 N 中山の補題 から M n N = 0 M^nN=0 M n N = 0 補題4 から ℓ ( N ) < ∞ \ell(N) < \infty ℓ ( N ) < ∞ 命題21 (1) から、d ( A ) d(A) d ( A ) M M M 準素イデアル の生成元の個数以下です。次回は、この生成元の個数の最小値も次元の候補になることを見ます。
専門的な話 最高次の係数と重複度
最高次の係数を d ! d! d ! 整数 e ( q ) e(q) e ( q ) q q q 重複度 と呼びます。例19 では e ( M ) = 1 e(M)=1 e ( M ) = 1 e ( ( x 2 , y ) ) = 2 e((x^2,y))=2 e (( x 2 , y )) = 2 e ( M 2 ) = e ( ( x 2 , y 2 ) ) = 4 e(M^2)=e((x^2,y^2))=4 e ( M 2 ) = e (( x 2 , y 2 )) = 4
( x 2 , y 2 ) ⊊ M 2 (x^2,y^2)\subsetneq M^2 ( x 2 , y 2 ) ⊊ M 2 重複度が同じなのは、( x 2 , y 2 ) (x^2,y^2) ( x 2 , y 2 ) M 2 M^2 M 2 「ほぼ」生成しているからです。実際 M 2 ⋅ ( x 2 , y 2 ) = M 4 M^2\cdot(x^2,y^2)=M^4 M 2 ⋅ ( x 2 , y 2 ) = M 4 なります。この連載では重複度そのものは扱わず、次数 d d d 使います。
完全列と d d d
加群 を部分加群 と商に分けると、d d d 大きいほうになります。証明では、部分加群 の上のフィルターを定理14 で安定にします。
命題24 完全列と d d d [2 , 定理13.3, p.119–120]
( A , M ) (A,M) ( A , M ) ネーター局所環 、0 → N ′ → N → N ′ ′ → 0 0\to N'\to N\to N''\to0 0 → N ′ → N → N ′′ → 0 有限生成 A A A 加群 の完全列 とする。
(1) d ( N ) = max { d ( N ′ ) , d ( N ′ ′ ) } d(N)=\max\{d(N'),\ d(N'')\} d ( N ) = max { d ( N ′ ) , d ( N ′′ )} M M M 準素イデアル q q q ついて、χ q N − χ q N ′ ′ \chi^N_q-\chi^{N''}_q χ q N − χ q N ′′ χ q N ′ \chi^{N'}_q χ q N ′ 最高次の項が等しい。
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる N ′ N' N ′ N N N 部分加群 、N ′ ′ = N / N ′ N''=N/N' N ′′ = N / N ′ N ′ ′ / q n N ′ ′ = N / ( N ′ + q n N ) N''/q^nN''=N/(N'+q^nN) N ′′ / q n N ′′ = N / ( N ′ + q n N ) 加法性から次の式が成り立つ。詳しく 閉じる
ℓ ( N / q n N ) = ℓ ( N / ( N ′ + q n N ) ) + ℓ ( ( N ′ + q n N ) / q n N ) = χ q N ′ ′ ( n ) + φ ( n ) \begin{aligned} &\ell(N/q^nN)\\ &\quad=\ell\bigl(N/(N'+q^nN)\bigr)\\ &\qquad+\ell\bigl((N'+q^nN)/q^nN\bigr)\\ &\quad=\chi^{N''}_q(n)+\varphi(n)\end{aligned} ℓ ( N / q n N ) = ℓ ( N / ( N ′ + q n N ) ) + ℓ ( ( N ′ + q n N ) / q n N ) = χ q N ′′ ( n ) + φ ( n ) ここで φ ( n ) = ℓ ( N ′ / ( N ′ ∩ q n N ) ) \varphi(n)=\ell\bigl(N'/(N'\cap q^nN)\bigr) φ ( n ) = ℓ ( N ′ / ( N ′ ∩ q n N ) ) ( N ′ + q n N ) / q n N ≅ N ′ / ( N ′ ∩ q n N ) (N'+q^nN)/q^nN\cong N'/(N'\cap q^nN) ( N ′ + q n N ) / q n N ≅ N ′ / ( N ′ ∩ q n N ) 使った。
定理14 から
( N ′ ∩ q n N ) (N'\cap q^nN) ( N ′ ∩ q n N ) は
N ′ N' N ′ の
安定な q q q 定理17 (3) から、φ \varphi φ 大きな n n n χ q N ′ \chi^{N'}_q χ q N ′ 最高次の項が等しい多項式である。これで (2) が分かる。 (1)
χ q N = χ q N ′ ′ + φ \chi^N_q=\chi^{N''}_q+\varphi χ q N = χ q N ′′ + φ で、
右辺の2つは大きな n n n 0以上の値をとる多項式なので、最高次の係数は正（零多項式でなければ）。打ち消しあわないので、deg χ q N = max { deg χ q N ′ ′ , deg φ } = max { d ( N ′ ′ ) , d ( N ′ ) } \deg\chi^N_q=\max\{\deg\chi^{N''}_q,\ \deg\varphi\}=\max\{d(N''),\ d(N')\} deg χ q N = max { deg χ q N ′′ , deg φ } = max { d ( N ′′ ) , d ( N ′ )} 証明で使った完全列 を、もとの完全列 の下に並べると次の図式になります。縦の矢印は商への射影です。
0 N ′ ↓ 0 N ′ / ( N ′ ∩ q n N ) ⟶ N ′ ↓ ⟶ N ′ / ( N ′ ∩ q n N ) N ′ ↓ N ′ / ( N ′ ∩ q n N ) ⟶ N ′ ↓ ⟶ N ′ / ( N ′ ∩ q n N ) N N ′ ↓ N / q n N N ′ / ( N ′ ∩ q n N ) ⟶ N ′ ↓ ⟶ N ′ / ( N ′ ∩ q n N ) ⟶ N ′ ′ ↓ ⟶ N ′ ′ / q n N ′ ′ N ′ ′ ↓ N ′ ′ / q n N ′ ′ ⟶ N ′ ′ ↓ ⟶ N ′ ′ / q n N ′ ′ 0 N ′ ′ ↓ 0 N ′ ′ / q n N ′ ′ {}\begin{gathered}\begin{gathered}0\vphantom{\mathllap{N'}}\\ \vphantom{\mathllap{\Big\downarrow}}\\ 0\vphantom{\mathllap{N'/(N'\cap q^nN)}}\end{gathered}\begin{gathered}\mkern2mu{\longrightarrow}\mkern2mu\vphantom{\mathllap{N'}}\\ \vphantom{\mathllap{\Big\downarrow}}\\ \mkern2mu{\longrightarrow}\mkern2mu\vphantom{\mathllap{N'/(N'\cap q^nN)}}\end{gathered}\begin{gathered}N'\\ \Big\downarrow\\ N'/(N'\cap q^nN)\end{gathered}\begin{gathered}\mkern2mu{\longrightarrow}\mkern2mu\vphantom{\mathllap{N'}}\\ \vphantom{\mathllap{\Big\downarrow}}\\ \mkern2mu{\longrightarrow}\mkern2mu\vphantom{\mathllap{N'/(N'\cap q^nN)}}\end{gathered}\begin{gathered}N\vphantom{\mathllap{N'}}\\ \Big\downarrow\\ N/q^nN\vphantom{\mathllap{N'/(N'\cap q^nN)}}\end{gathered}\begin{gathered}\mkern2mu{\longrightarrow}\mkern2mu\vphantom{\mathllap{N'}}\\ \vphantom{\mathllap{\Big\downarrow}}\\ \mkern2mu{\longrightarrow}\mkern2mu\vphantom{\mathllap{N'/(N'\cap q^nN)}}\end{gathered}\\[10pt] \begin{gathered}\mkern2mu{\longrightarrow}\mkern2mu\vphantom{\mathllap{N''}}\\ \vphantom{\mathllap{\Big\downarrow}}\\ \mkern2mu{\longrightarrow}\mkern2mu\vphantom{\mathllap{N''/q^nN''}}\end{gathered}\begin{gathered}N''\\ \Big\downarrow\\ N''/q^nN''\end{gathered}\begin{gathered}\mkern2mu{\longrightarrow}\mkern2mu\vphantom{\mathllap{N''}}\\ \vphantom{\mathllap{\Big\downarrow}}\\ \mkern2mu{\longrightarrow}\mkern2mu\vphantom{\mathllap{N''/q^nN''}}\end{gathered}\begin{gathered}0\vphantom{\mathllap{N''}}\\ \vphantom{\mathllap{\Big\downarrow}}\\ 0\vphantom{\mathllap{N''/q^nN''}}\end{gathered}\end{gathered} 0 N ′ ↓ ⏐ 0 N ′ / ( N ′ ∩ q n N ) ⟶ N ′ ↓ ⏐ ⟶ N ′ / ( N ′ ∩ q n N ) N ′ ↓ ⏐ N ′ / ( N ′ ∩ q n N ) ⟶ N ′ ↓ ⏐ ⟶ N ′ / ( N ′ ∩ q n N ) N N ′ ↓ ⏐ N / q n N N ′ / ( N ′ ∩ q n N ) ⟶ N ′ ↓ ⏐ ⟶ N ′ / ( N ′ ∩ q n N ) ⟶ N ′′ ↓ ⏐ ⟶ N ′′ / q n N ′′ N ′′ ↓ ⏐ N ′′ / q n N ′′ ⟶ N ′′ ↓ ⏐ ⟶ N ′′ / q n N ′′ 0 N ′′ ↓ ⏐ 0 N ′′ / q n N ′′ 左下は N ′ / q n N ′ N'/q^nN' N ′ / q n N ′ N ′ / ( N ′ ∩ q n N ) N'/(N'\cap q^nN) N ′ / ( N ′ ∩ q n N ) この N ′ N' N ′ 上のフィルター N ′ ∩ q n N N'\cap q^nN N ′ ∩ q n N 安定であることは、定理14 から分かります。
例25 x x x 掛ける完全列
A = k [ x , y ] ( x , y ) A=k[x,y]_{(x,y)} A = k [ x , y ] ( x , y ) q = M q=M q = M 完全列 0 → A → x A → A / x A → 0 0\to A\xrightarrow{x}A\to A/xA\to0 0 → A x A → A / x A → 0 考える。N ′ = x A ≅ A N'=xA\cong A N ′ = x A ≅ A N ′ ′ = A / x A ≅ k [ y ] ( y ) N''=A/xA\cong k[y]_{(y)} N ′′ = A / x A ≅ k [ y ] ( y )
χ M A ( n ) − χ M A / x A ( n ) = n ( n + 1 ) 2 − n = n ( n − 1 ) 2 χ M x A ( n ) = χ M A ( n ) = n ( n + 1 ) 2 \begin{aligned} &\chi^A_M(n)-\chi^{A/xA}_M(n)\\ &\quad=\frac{n(n+1)}{2}-n=\frac{n(n-1)}{2}\\[6pt] &\chi^{xA}_M(n)=\chi^A_M(n)=\frac{n(n+1)}{2}\end{aligned} χ M A ( n ) − χ M A / x A ( n ) = 2 n ( n + 1 ) − n = 2 n ( n − 1 ) χ M x A ( n ) = χ M A ( n ) = 2 n ( n + 1 ) 2つは最高次の項 1 2 n 2 \tfrac12n^2 2 1 n 2 等しく、1次の項は違う。d ( A ) = 2 = max { 2 , 1 } d(A)=2=\max\{2,\ 1\} d ( A ) = 2 = max { 2 , 1 }
1次の項がずれるのは、例15 (2) のとおり x A ∩ M n = x M n − 1 xA\cap M^n=x\,M^{n-1} x A ∩ M n = x M n − 1 フィルターが1段ずれているからです。実際 φ ( n ) = ℓ ( x A / x M n − 1 ) = χ M ( n − 1 ) = n ( n − 1 ) / 2 \varphi(n)=\ell(xA/xM^{n-1})=\chi_M(n-1)=n(n-1)/2 φ ( n ) = ℓ ( x A / x M n − 1 ) = χ M ( n − 1 ) = n ( n − 1 ) /2 なり、上の左の式と一致します。
このずれは、x x x 掛ける写像を M n M^n M n 割った完全列 でも見えます。x a ∈ M n ⟺ a ∈ M n − 1 xa\in M^n\iff a\in M^{n-1} x a ∈ M n ⟺ a ∈ M n − 1 次の列は完全です。
0 ⟶ A / M n − 1 → x A / M n ⟶ A / ( x , M n ) ⟶ 0 0\longrightarrow A/M^{n-1}\xrightarrow{\ \ x\ \ }A/M^n\longrightarrow A/(x,\ M^n)\longrightarrow0 0 ⟶ A / M n − 1 x A / M n ⟶ A / ( x , M n ) ⟶ 0 0 ⟶ A / M n − 1 → x A / M n ⟶ A / ( x , M n ) ⟶ 0 \begin{aligned}0 &\longrightarrow A/M^{n-1}\xrightarrow{\ \ x\ \ }A/M^n\\&\longrightarrow A/(x,\ M^n)\\&\longrightarrow 0\end{aligned} 0 ⟶ A / M n − 1 x A / M n ⟶ A / ( x , M n ) ⟶ 0 長さを比べると 1 2 n ( n + 1 ) = 1 2 ( n − 1 ) n + n \tfrac12n(n+1)=\tfrac12(n-1)n+n 2 1 n ( n + 1 ) = 2 1 ( n − 1 ) n + n A / ( x , M n ) ≅ k [ y ] / ( y n ) A/(x,M^n)\cong k[y]/(y^n) A / ( x , M n ) ≅ k [ y ] / ( y n ) 長さ n n n 差になっています。
例26 直和
同じ A A A N = A ⊕ A / x A N=A\oplus A/xA N = A ⊕ A / x A すると、0 → A → N → A / x A → 0 0\to A\to N\to A/xA\to0 0 → A → N → A / x A → 0 d ( N ) = max { 2 , 1 } = 2 d(N)=\max\{2,\ 1\}=2 d ( N ) = max { 2 , 1 } = 2 実際 χ M N ( n ) = 1 2 n ( n + 1 ) + n \chi^N_M(n)=\tfrac12n(n+1)+n χ M N ( n ) = 2 1 n ( n + 1 ) + n 最高次の項は χ M A \chi^A_M χ M A 同じ 1 2 n 2 \tfrac12n^2 2 1 n 2
非零因子で割ると d d d 下がる
前回は、次数付き環で斉次な非零因子 で割ると d d d ちょうど1下がることを見ました（第5回の命題15 ）。局所環 では、少なくとも1下がることが、命題24 からすぐに分かります。
命題27 非零因子で割る [1 , 命題11.8, p.185–186; 1 , 系11.9, p.186; 3 , 補題7.7, p.124–125]
( A , M ) (A,M) ( A , M ) ネーター局所環 、N ≠ 0 N\neq0 N = 0 有限生成 A A A 加群 、x ∈ M x\in M x ∈ M N N N 非零因子 （x u = 0 , u ∈ N ⇒ u = 0 xu=0,\ u\in N\Rightarrow u=0 xu = 0 , u ∈ N ⇒ u = 0 する。このとき
d ( N / x N ) ≤ d ( N ) − 1 d(N/xN)\le d(N)-1 d ( N / x N ) ≤ d ( N ) − 1 d ( N / x N ) ≤ d ( N ) − 1 \begin{aligned}d(N/xN) &\le d(N)-1\end{aligned} d ( N / x N ) ≤ d ( N ) − 1 特に、x ∈ M x\in M x ∈ M A A A 非零因子 なら d ( A / x A ) ≤ d ( A ) − 1 d(A/xA)\le d(A)-1 d ( A / x A ) ≤ d ( A ) − 1
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる 完全列 0 → x N → N → N / x N → 0 0\to xN\to N\to N/xN\to0 0 → x N → N → N / x N → 0 に
命題24 (2) を
使う。 x x x は
非零因子 なので
N → x N , u ↦ x u N\to xN,\ u\mapsto xu N → x N , u ↦ xu は
同型で、q n N q^nN q n N q n ( x N ) q^n(xN) q n ( x N ) 写す。よって χ q x N = χ q N \chi^{xN}_q=\chi^N_q χ q x N = χ q N したがって χ q N − χ q N / x N \chi^N_q-\chi^{N/xN}_q χ q N − χ q N / x N χ q N \chi^N_q χ q N 最高次の項が等しく、χ q N / x N \chi^{N/xN}_q χ q N / x N 次数は χ q N \chi^N_q χ q N 次数より小さい。詳しく 閉じる
N ≠ 0 N\neq0 N = 0 中山の補題 から N / q N ≠ 0 N/qN\neq0 N / q N = 0 χ q N \chi^N_q χ q N 零多項式でない。その次数を e e e 最高次の係数を a a a する。
χ q N / x N \chi^{N/xN}_q χ q N / x N 次数が e e e なら、差の n e n^e n e 係数は a a a χ q N / x N \chi^{N/xN}_q χ q N / x N 係数を引いたもの（次数が e e e とき）か、差の次数が e e e 超える（次数が e e e 大きいとき）。どちらも「最高次の項が a n e an^e a n e 反する。
次数付き環では等号でしたが、ここでは不等号です。実は局所環 でも等号が成り立ち、次回の次元定理を使うと分かります。
おさらい 零因子と極小素イデアル
A A A 被約 なネーター環 とし、極小素イデアル を P 1 , … , P t P_1,\dots,P_t P 1 , … , P t このとき、零因子 の全体は極小素イデアル の和集合です。
{ x ∈ A ∣ x y = 0 ( ∃ y ≠ 0 ) } = P 1 ∪ ⋯ ∪ P t \begin{aligned} &\{\,x\in A\mid xy=0\ \ (\exists\,y\neq0)\,\}\\ &\quad=P_1\cup\cdots\cup P_t\end{aligned} { x ∈ A ∣ x y = 0 ( ∃ y = 0 ) } = P 1 ∪ ⋯ ∪ P t x x x どの P i P_i P i 入らず x y = 0 xy=0 x y = 0 y y y すべての P i P_i P i 入り、y ∈ P 1 ∩ ⋯ ∩ P t = 0 = 0 y\in P_1\cap\cdots\cap P_t=\sqrt0=0 y ∈ P 1 ∩ ⋯ ∩ P t = 0 = 0 逆に x ∈ P 1 x\in P_1 x ∈ P 1 P 1 P_1 P 1 入らない y ∈ P 2 ∩ ⋯ ∩ P t y\in P_2\cap\cdots\cap P_t y ∈ P 2 ∩ ⋯ ∩ P t とると x y ∈ ⋂ i P i = 0 xy\in\bigcap_iP_i=0 x y ∈ ⋂ i P i = 0
図形の言葉では、P i P_i P i 既約成分の生成点 で、x ∈ P i x\in P_i x ∈ P i 「x x x その成分の上で恒等的に0」ということです。k [ x , y ] ( x , y ) / ( x y ) k[x,y]_{(x,y)}/(xy) k [ x , y ] ( x , y ) / ( x y ) 零因子 の全体は ( x ) ∪ ( y ) (x)\cup(y) ( x ) ∪ ( y ) x x x 零因子 、x + y x+y x + y 非零因子 です。
被約 でないと、極小素イデアル の外にも零因子 があります。k [ x , y ] / ( x 2 , x y ) k[x,y]/(x^2,\ xy) k [ x , y ] / ( x 2 , x y ) 極小素イデアル は ( x ) (x) ( x ) y ∉ ( x ) y\notin(x) y ∈ / ( x ) x ⋅ y = 0 x\cdot y=0 x ⋅ y = 0 みたす零因子 です。
x x x 零因子 だと、d d d 下がるとは限りません。
例28 零因子で割る
A = k [ x , y ] ( x , y ) / ( x y ) A=k[x,y]_{(x,y)}/(xy) A = k [ x , y ] ( x , y ) / ( x y ) 座標軸の交点の局所環 ）とする。後の例29 から χ M ( n ) = 2 n − 1 \chi_M(n)=2n-1 χ M ( n ) = 2 n − 1 d ( A ) = 1 d(A)=1 d ( A ) = 1 一方 A / x A ≅ k [ y ] ( y ) A/xA\cong k[y]_{(y)} A / x A ≅ k [ y ] ( y ) χ M ( n ) = n \chi_M(n)=n χ M ( n ) = n d ( A / x A ) = 1 d(A/xA)=1 d ( A / x A ) = 1 x x x x ⋅ y = 0 x\cdot y=0 x ⋅ y = 0 y ≠ 0 y\neq0 y = 0 なる零因子 なので、命題27 は使えない。
図形で言えば、A A A 2本の直線で、x = 0 x=0 x = 0 切ると直線 x = 0 x=0 x = 0 丸ごと残ります。非零因子 はどの成分の上でも恒等的に0にはならないので、どの成分も切られて次元が下がります。
平面の局所環 を、曲線の式 f f f 割ってみます。f ≠ 0 f\neq0 f = 0 整域 k [ x , y ] ( x , y ) k[x,y]_{(x,y)} k [ x , y ] ( x , y ) 非零因子 なので、命題27 から d d d 2から1以下に下がります。実際の値は次のとおりです。
例29 平面曲線の点の局所環
f ∈ k [ x , y ] f\in k[x,y] f ∈ k [ x , y ] f ( 0 , 0 ) = 0 f(0,0)=0 f ( 0 , 0 ) = 0 f ≠ 0 f\neq0 f = 0 f f f 最低次の斉次部分の次数を m ≥ 1 m\ge1 m ≥ 1 する（f = f m + f m + 1 + ⋯ f=f_m+f_{m+1}+\cdots f = f m + f m + 1 + ⋯ f m ≠ 0 f_m\neq0 f m = 0 A = k [ x , y ] ( x , y ) / ( f ) A=k[x,y]_{(x,y)}/(f) A = k [ x , y ] ( x , y ) / ( f ) ついて
χ M ( n ) = ℓ ( A / M n ) = { n ( n + 1 ) 2 ( n ≤ m ) m n − m ( m − 1 ) 2 ( n ≥ m ) \begin{aligned} \chi_M(n)&=\ell(A/M^n)\\ &=\begin{cases}\dfrac{n(n+1)}{2}\\ \quad(n\le m)\\[1ex] mn-\dfrac{m(m-1)}{2}\\ \quad(n\ge m)\end{cases} \end{aligned} χ M ( n ) = ℓ ( A / M n ) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 n ( n + 1 ) ( n ≤ m ) mn − 2 m ( m − 1 ) ( n ≥ m ) よって d ( A ) = 1 d(A)=1 d ( A ) = 1 最高次の係数は m m m
(1) 滑らかな点（y − x 2 y-x^2 y − x 2 m = 1 m=1 m = 1 χ M ( n ) = n \chi_M(n)=n χ M ( n ) = n 点（y 2 − x 2 − x 3 y^2-x^2-x^3 y 2 − x 2 − x 3 m = 2 m=2 m = 2 χ M ( n ) = 2 n − 1 \chi_M(n)=2n-1 χ M ( n ) = 2 n − 1 （y 2 − x 3 y^2-x^3 y 2 − x 3 m = 2 m=2 m = 2 χ M ( n ) = 2 n − 1 \chi_M(n)=2n-1 χ M ( n ) = 2 n − 1 直線（x y xy x y m = 2 m=2 m = 2 χ M ( n ) = 2 n − 1 \chi_M(n)=2n-1 χ M ( n ) = 2 n − 1 （x 2 y + x y 2 − x 4 − y 4 x^2y+xy^2-x^4-y^4 x 2 y + x y 2 − x 4 − y 4 m = 3 m=3 m = 3 χ M ( 1 ) = 1 \chi_M(1)=1 χ M ( 1 ) = 1 n ≥ 2 n\ge2 n ≥ 2 χ M ( n ) = 3 n − 3 \chi_M(n)=3n-3 χ M ( n ) = 3 n − 3
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる A / M n = k [ x , y ] / ( ( f ) + ( x , y ) n ) A/M^n=k[x,y]/\bigl((f)+(x,y)^n\bigr) A / M n = k [ x , y ] / ( ( f ) + ( x , y ) n ) （
例7 の
あとの1つめの事実）なので、k k k 次元を数える。 g ∈ k [ x , y ] g\in k[x,y] g ∈ k [ x , y ] 最低次の次数を ord g \operatorname{ord}g ord g すると ord ( g f ) = ord g + m \operatorname{ord}(gf)=\operatorname{ord}g+m ord ( g f ) = ord g + m よって n ≥ m n\ge m n ≥ m ( f ) ∩ ( x , y ) n = f ⋅ ( x , y ) n − m (f)\cap(x,y)^n=f\cdot(x,y)^{n-m} ( f ) ∩ ( x , y ) n = f ⋅ ( x , y ) n − m 詳しく 閉じる
最低次の部分どうしの積 g ord g f m g_{\operatorname{ord}g}\,f_m g ord g f m k [ x , y ] k[x,y] k [ x , y ] 整域 なので0でない。これが g f gf g f 最低次の部分である。g f ∈ ( x , y ) n ⟺ ord ( g f ) ≥ n ⟺ ord g ≥ n − m ⟺ g ∈ ( x , y ) n − m gf\in(x,y)^n\iff\operatorname{ord}(gf)\ge n\iff\operatorname{ord}g\ge n-m\iff g\in(x,y)^{n-m} g f ∈ ( x , y ) n ⟺ ord ( g f ) ≥ n ⟺ ord g ≥ n − m ⟺ g ∈ ( x , y ) n − m
次の計算で式が得られる。n ≤ m n\le m n ≤ m f ∈ ( x , y ) n f\in(x,y)^n f ∈ ( x , y ) n χ M ( n ) = ℓ ( k [ x , y ] / ( x , y ) n ) \chi_M(n)=\ell(k[x,y]/(x,y)^n) χ M ( n ) = ℓ ( k [ x , y ] / ( x , y ) n ) 詳しく 閉じる
dim k k [ x , y ] ( f ) + ( x , y ) n = dim k k [ x , y ] ( x , y ) n − dim k ( f ) ( f ) ∩ ( x , y ) n = n ( n + 1 ) 2 − dim k k [ x , y ] ( x , y ) n − m = n ( n + 1 ) 2 − ( n − m ) ( n − m + 1 ) 2 \begin{aligned} \dim_k\frac{k[x,y]}{(f)+(x,y)^n}&=\dim_k\frac{k[x,y]}{(x,y)^n}-\dim_k\frac{(f)}{(f)\cap(x,y)^n} \\ &=\frac{n(n+1)}{2}-\dim_k\frac{k[x,y]}{(x,y)^{n-m}}=\frac{n(n+1)}{2}-\frac{(n-m)(n-m+1)}{2}\end{aligned} dim k ( f ) + ( x , y ) n k [ x , y ] = dim k ( x , y ) n k [ x , y ] − dim k ( f ) ∩ ( x , y ) n ( f ) = 2 n ( n + 1 ) − dim k ( x , y ) n − m k [ x , y ] = 2 n ( n + 1 ) − 2 ( n − m ) ( n − m + 1 ) 2行目では、g ↦ g f g\mapsto gf g ↦ g f 同型 k [ x , y ] / ( x , y ) n − m ≅ ( f ) / ( ( f ) ∩ ( x , y ) n ) k[x,y]/(x,y)^{n-m}\cong(f)/\bigl((f)\cap(x,y)^n\bigr) k [ x , y ] / ( x , y ) n − m ≅ ( f ) / ( ( f ) ∩ ( x , y ) n ) 与えることを使った（前のステップ）。展開すると m n − m ( m − 1 ) / 2 mn-m(m-1)/2 mn − m ( m − 1 ) /2
(1)〜(5) は
m = 1 , 2 , 2 , 2 , 3 m=1,2,2,2,3 m = 1 , 2 , 2 , 2 , 3 を
代入する。(5) の n = 1 n=1 n = 1 1 ≤ m 1\le m 1 ≤ m 式 1 1 1 使う（3 ⋅ 1 − 3 = 0 3\cdot1-3=0 3 ⋅ 1 − 3 = 0 違う）。 尖点では y 2 = x 3 y^2=x^3 y 2 = x 3 y 2 y^2 y 2 含む単項式は次数の高い単項式に置き換わり、A / M n A/M^n A / M n y y y 指数が1以下の単項式だけが残ります。図5で、平面・尖点・滑らかな曲線を比べます。
平面
k [ x , y ] ( x , y ) k[x,y]_{(x,y)} k [ x , y ] ( x , y ) ℓ ( A / M 5 ) = 15 \ell(A/M^5)=15 ℓ ( A / M 5 ) = 15 一般の
n n n では
n ( n + 1 ) 2 \tfrac{n(n+1)}{2} 2 n ( n + 1 ) ℓ ( A / M 5 ) = 9 \ell(A/M^5)=9 ℓ ( A / M 5 ) = 9 ℓ ( A / M 5 ) = 5 \ell(A/M^5)=5 ℓ ( A / M 5 ) = 5 図5 具体例 n = 5 n=5 n = 5 A / M 5 A/M^5 A / M 5 ( a , b ) (a,b) ( a , b ) x a y b x^ay^b x a y b y 2 = x 3 y^2=x^3 y 2 = x 3 y y y y = x 2 y=x^2 y = x 2 y = x 2 y=x^2 y = x 2 y y y n n n y 2 = x 2 + x 3 y^2=x^2+x^3 y 2 = x 2 + x 3 f f f
非零因子 で割ることを続けると、そのたびに d d d 下がります。A = k [ x , y ] ( x , y ) A=k[x,y]_{(x,y)} A = k [ x , y ] ( x , y ) x x x 割ると k [ y ] ( y ) k[y]_{(y)} k [ y ] ( y ) d = 1 d=1 d = 1 さらに y y y 割ると k k k d = 0 d=0 d = 0
k [ x , y ] ( x , y ) d = 2 → / x k [ x , y ] ( x , y ) d = 2 k [ y ] ( y ) k [ x , y ] ( x , y ) d = 1 d = 2 → / y k [ x , y ] ( x , y ) d = 2 k k [ x , y ] ( x , y ) d = 0 d = 2 {}\begin{gathered}k[x,y]_{(x,y)}\\ d=2\end{gathered}\begin{gathered}\mkern3mu{\xrightarrow{\ \ /x\ \ }}\mkern3mu\vphantom{\mathllap{k[x,y]_{(x,y)}}}\\ \vphantom{\mathllap{d=2}}\end{gathered}\begin{gathered}k[y]_{(y)}\vphantom{\mathllap{k[x,y]_{(x,y)}}}\\ d=1\vphantom{\mathllap{d=2}}\end{gathered}\begin{gathered}\mkern3mu{\xrightarrow{\ \ /y\ \ }}\mkern3mu\vphantom{\mathllap{k[x,y]_{(x,y)}}}\\ \vphantom{\mathllap{d=2}}\end{gathered}\begin{gathered}k\vphantom{\mathllap{k[x,y]_{(x,y)}}}\\ d=0\vphantom{\mathllap{d=2}}\end{gathered} k [ x , y ] ( x , y ) d = 2 / x k [ x , y ] ( x , y ) d = 2 k [ y ] ( y ) k [ x , y ] ( x , y ) d = 1 d = 2 / y k [ x , y ] ( x , y ) d = 2 k k [ x , y ] ( x , y ) d = 0 d = 2 d ( A ) d(A) d ( A ) 非零因子 で続けて何回割れるかの上限にもなっています。
代数幾何とのつながり：重複度と接錐
おさらい 重複度・接錐・ザリスキー接空間
原点を通る平面曲線 C = V ( f ) C=V(f) C = V ( f ) 式を、斉次式 f i f_i f i 和に分けます。最低次の次数 m m m 原点での重複度 μ 0 ( C ) \mu_0(C) μ 0 ( C ) V ( f m ) V(f_m) V ( f m ) 接錐でした（図で読む代数幾何 第6回の定義14 ）。
f = f m + f m + 1 + ⋯ ( f m ≠ 0 ) μ 0 ( C ) = m f=f_m+f_{m+1}+\cdots\quad(f_m\neq0)\qquad \mu_0(C)=m f = f m + f m + 1 + ⋯ ( f m = 0 ) μ 0 ( C ) = m f = f m + f m + 1 + ⋯ ( f m ≠ 0 ) μ 0 ( C ) = m \begin{gathered}f=f_m+f_{m+1}+\cdots\\(f_m\neq0)\\\mu_0(C)=m\end{gathered} f = f m + f m + 1 + ⋯ ( f m = 0 ) μ 0 ( C ) = m f = f m + f m + 1 + ⋯ ( f m ≠ 0 ) μ 0 ( C ) = m \begin{aligned}f &= f_m+f_{m+1}+\cdots\\[4pt]&(f_m\neq0)\\[4pt]\mu_0(C) &= m\end{aligned} f μ 0 ( C ) = f m + f m + 1 + ⋯ ( f m = 0 ) = m y − x 2 y-x^2 y − x 2 f 1 = y f_1=y f 1 = y 接錐は接線 y = 0 y=0 y = 0 結節点 y 2 − x 2 − x 3 y^2-x^2-x^3 y 2 − x 2 − x 3 f 2 = ( y − x ) ( y + x ) f_2=(y-x)(y+x) f 2 = ( y − x ) ( y + x ) 2本の直線、尖点 y 2 − x 3 y^2-x^3 y 2 − x 3 f 2 = y 2 f_2=y^2 f 2 = y 2 2重の直線になります。三重点 x 2 y + x y 2 − x 4 − y 4 x^2y+xy^2-x^4-y^4 x 2 y + x y 2 − x 4 − y 4 f 3 = x y ( x + y ) f_3=xy(x+y) f 3 = x y ( x + y ) 3本の直線です。
局所環 ( A , M ) (A,M) ( A , M ) M / M 2 M/M^2 M / M 2 k k k ベクトル空間で、その双対がザリスキー接空間です（図で読む代数幾何 第6回の定義10 ）。
例29 の m m m 代数幾何の連載の特異点の回 で定義した、原点での曲線の重複度 μ 0 ( C ) \mu_0(C) μ 0 ( C ) （図で読む代数幾何 第6回の定義14 ）。χ M ( n ) \chi_M(n) χ M ( n ) 最高次の係数が重複度になっています。
χ M ( n ) = μ 0 ( C ) n − μ 0 ( C ) ( μ 0 ( C ) − 1 ) 2 ( n ≥ μ 0 ( C ) ) \chi_M(n)=\mu_0(C)\,n-\frac{\mu_0(C)\bigl(\mu_0(C)-1\bigr)}{2}\qquad(n\ge\mu_0(C)) χ M ( n ) = μ 0 ( C ) n − 2 μ 0 ( C ) ( μ 0 ( C ) − 1 ) ( n ≥ μ 0 ( C )) χ M ( n ) = μ 0 ( C ) n − μ 0 ( C ) ( μ 0 ( C ) − 1 ) 2 ( n ≥ μ 0 ( C ) ) \begin{gathered}\chi_M(n)=\mu_0(C)\,n-\frac{\mu_0(C)\bigl(\mu_0(C)-1\bigr)}{2}\\(n\ge\mu_0(C))\end{gathered} χ M ( n ) = μ 0 ( C ) n − 2 μ 0 ( C ) ( μ 0 ( C ) − 1 ) ( n ≥ μ 0 ( C )) χ M ( n ) = μ 0 ( C ) n − μ 0 ( C ) ( μ 0 ( C ) − 1 ) 2 ( n ≥ μ 0 ( C ) ) \begin{aligned}\chi_M(n) &= \mu_0(C)\,n-\frac{\mu_0(C)\bigl(\mu_0(C)-1\bigr)}{2}\\[4pt]&(n\ge\mu_0(C))\end{aligned} χ M ( n ) = μ 0 ( C ) n − 2 μ 0 ( C ) ( μ 0 ( C ) − 1 ) ( n ≥ μ 0 ( C )) χ M ( n ) = μ 0 ( C ) n = − μ 0 ( C ) ( μ 0 ( C ) − 1 ) 2 ( n ≥ μ 0 ( C ) ) \begin{aligned}\chi_M(n) &= \mu_0(C)\,n\\&\phantom{=}{} -\frac{\mu_0(C)\bigl(\mu_0(C)-1\bigr)}{2}\\[4pt]&(n\ge\mu_0(C))\end{aligned} χ M ( n ) = μ 0 ( C ) n = − 2 μ 0 ( C ) ( μ 0 ( C ) − 1 ) ( n ≥ μ 0 ( C )) 滑らかな点は μ 0 ( C ) = 1 \mu_0(C)=1 μ 0 ( C ) = 1 結節点・尖点は2でした。次数 d ( A ) = 1 d(A)=1 d ( A ) = 1 どの点でも同じで、曲線の次元です。特異点の違いは、次数ではなく係数に現れます。
n = 2 n=2 n = 2 χ M ( 2 ) = 1 + dim k M / M 2 \chi_M(2)=1+\dim_kM/M^2 χ M ( 2 ) = 1 + dim k M / M 2 dim k M / M 2 \dim_kM/M^2 dim k M / M 2 ザリスキー接空間の次元です。滑らかな点で1、結節点・尖点で2になります。dim k M / M 2 \dim_kM/M^2 dim k M / M 2 次回、埋め込み次元 として次元定理と結びつけます（第7回の定義12 ）。
もう少し詳しく 随伴次数環は接錐の座標環
例29 の証明から、各段 M n / M n + 1 M^n/M^{n+1} M n / M n + 1 計算できます。( x , y ) n (x,y)^n ( x , y ) n 元を、( f ) ∩ ( x , y ) n = f ⋅ ( x , y ) n − m (f)\cap(x,y)^n=f\cdot(x,y)^{n-m} ( f ) ∩ ( x , y ) n = f ⋅ ( x , y ) n − m 元と ( x , y ) n + 1 (x,y)^{n+1} ( x , y ) n + 1 元を法として見ると、n n n 斉次式を f m f_m f m 倍数を法として見ることになります。
M n / M n + 1 ≅ k [ x , y ] n / f m ⋅ k [ x , y ] n − m G M ( A ) ≅ k [ x , y ] / ( f m ) \begin{aligned} &M^n/M^{n+1}\\ &\quad\cong k[x,y]_n\big/f_m\cdot k[x,y]_{n-m}\\[6pt] &G_M(A)\cong k[x,y]/(f_m)\end{aligned} M n / M n + 1 ≅ k [ x , y ] n / f m ⋅ k [ x , y ] n − m G M ( A ) ≅ k [ x , y ] / ( f m ) 右辺は、接錐 V ( f m ) V(f_m) V ( f m ) 座標環です。随伴次数環 から、特異点の接線の束（接錐）が分かります。各段の次元は n ≥ m − 1 n\ge m-1 n ≥ m − 1 m m m なり、和をとると上の χ M ( n ) \chi_M(n) χ M ( n ) 戻ります。
図で読む代数幾何 第2回の命題3
A A A 環、J , K J,K J , K イデアル、S λ S_\lambda S λ λ ∈ Λ \lambda\in\Lambda λ ∈ Λ 部分集合とする。
(1) V ( 0 ) = Spec A V(0)=\operatorname{Spec}A V ( 0 ) = Spec A V ( 1 ) = ∅ V(1)=\varnothing V ( 1 ) = ∅ ⋂ λ V ( S λ ) = V ( ⋃ λ S λ ) \bigcap_\lambda V(S_\lambda)=V\big(\bigcup_\lambda S_\lambda\big) ⋂ λ V ( S λ ) = V ( ⋃ λ S λ ) V ( J ) ∪ V ( K ) = V ( J K ) = V ( J ∩ K ) V(J)\cup V(K)=V(JK)=V(J\cap K) V ( J ) ∪ V ( K ) = V ( J K ) = V ( J ∩ K ) V ( J ) ⊆ V ( K ) ⟺ K ⊆ J V(J)\subseteq V(K)\iff\sqrt{K}\subseteq\sqrt{J} V ( J ) ⊆ V ( K ) ⟺ K ⊆ J とくに V ( J ) = V ( J ) V(J)=V(\sqrt{J}) V ( J ) = V ( J )
図で読む代数幾何 第2回の命題6
P ∈ Spec A P\in\operatorname{Spec}A P ∈ Spec A する。
(1) 1点集合 { P } \{P\} { P } 閉包は V ( P ) V(P) V ( P ) Q Q Q { P } \{P\} { P } 閉包に入る ⟺ \iff ⟺ P ⊆ Q P\subseteq Q P ⊆ Q { P } \{P\} { P } 閉集合 ⟺ \iff ⟺ P P P 極大イデアル。
図で読む代数幾何 第3回の定義10 局所化
環 A A A 部分集合 S S S 1 ∈ S 1\in S 1 ∈ S みたし、積について閉じているとき、S S S 積閉集合 と呼ぶ。a ∈ A , s ∈ S a\in A,\ s\in S a ∈ A , s ∈ S 組を a / s a/s a / s 書き、u ( a t − b s ) = 0 u(at-bs)=0 u ( a t − b s ) = 0 なる u ∈ S u\in S u ∈ S あるとき a / s = b / t a/s=b/t a / s = b / t 同一視したものの全体を S − 1 A S^{-1}A S − 1 A 書く。和と積を分数と同じ式で定めると環になる。とくに、
素イデアル P P P ついて S = A ∖ P S=A\setminus P S = A ∖ P 環を A P A_P A P 書き、A A A P P P 局所化 と呼ぶ。
f ∈ A f\in A f ∈ A ついて S = { 1 , f , f 2 , … } S=\{1,f,f^2,\dots\} S = { 1 , f , f 2 , … } 環を A f A_f A f 書く。
第1回の命題10
P P P 環 A A A 素イデアルとする。
(1) ht P = dim A P \operatorname{ht}P=\dim A_P ht P = dim A P coht P = dim A / P \operatorname{coht}P=\dim A/P coht P = dim A / P ht P + coht P ≤ dim A \operatorname{ht}P+\operatorname{coht}P\le\dim A ht P + coht P ≤ dim A dim A = sup M ht M \dim A=\sup_M\operatorname{ht}M dim A = sup M ht M M M M 極大イデアルの全体を動く）。
第5回の定義1 次数付き環・次数付き加群
(1) 環 A A A 加法群として A = ⨁ n ≥ 0 A n A=\bigoplus_{n\ge0}A_n A = ⨁ n ≥ 0 A n 直和に分かれ、A m A n ⊆ A m + n A_mA_n\subseteq A_{m+n} A m A n ⊆ A m + n みたすとき、A A A 次数付き環 と呼ぶ。A n A_n A n 元を次数 n n n 斉次元 と呼ぶ。A 0 A_0 A 0 部分環で、各 A n A_n A n A 0 A_0 A 0 加群 である。A + = ⨁ n > 0 A n A_+=\bigoplus_{n>0}A_n A + = ⨁ n > 0 A n イデアルで、A / A + ≅ A 0 A/A_+\cong A_0 A / A + ≅ A 0 A A A 加群 M M M M = ⨁ n ≥ 0 M n M=\bigoplus_{n\ge0}M_n M = ⨁ n ≥ 0 M n 分かれ、A m M n ⊆ M m + n A_mM_n\subseteq M_{m+n} A m M n ⊆ M m + n みたすとき、M M M 次数付き A A A と呼ぶ。x ∈ M x\in M x ∈ M x = ∑ n x n x=\sum_n x_n x = ∑ n x n x n ∈ M n x_n\in M_n x n ∈ M n 書いたときの x n x_n x n x x x 次数 n n n 斉次成分 と呼ぶ。生成される部分加群 を斉次部分加群 、斉次元で生成されるイデアルを斉次イデアル と呼ぶ。
第5回の命題4
次数付き環 A A A ついて、次は同値である。
(1) A A A ネーター環 である。A 0 A_0 A 0 ネーター環 で、A A A A 0 A_0 A 0 有限生成代数である。
このとき、生成元は正の次数の斉次元 x 1 , … , x s x_1,\dots,x_s x 1 , … , x s とれる：A = A 0 [ x 1 , … , x s ] A=A_0[x_1,\dots,x_s] A = A 0 [ x 1 , … , x s ]
第5回の定理11 ヒルベルト–セール
定義9の設定で、A = A 0 [ x 1 , … , x s ] A=A_0[x_1,\dots,x_s] A = A 0 [ x 1 , … , x s ] x i x_i x i 次数 k i > 0 k_i>0 k i > 0 斉次元とする。整数係数の多項式 f ( t ) ∈ Z [ t ] f(t)\in\mathbb{Z}[t] f ( t ) ∈ Z [ t ] あって
P ( M , t ) = f ( t ) ∏ i = 1 s ( 1 − t k i ) P(M,t)=\frac{f(t)}{\prod_{i=1}^{s}(1-t^{k_i})} P ( M , t ) = ∏ i = 1 s ( 1 − t k i ) f ( t ) P ( M , t ) = f ( t ) ∏ i = 1 s ( 1 − t k i ) \begin{aligned}P(M,t) &= \frac{f(t)}{\prod_{i=1}^{s}(1-t^{k_i})}\end{aligned} P ( M , t ) = ∏ i = 1 s ( 1 − t k i ) f ( t )
第5回の定義12 d ( M ) d(M) d ( M )
定理11の有理関数 P ( M , t ) P(M,t) P ( M , t ) t = 1 t=1 t = 1 極の位数を d ( M ) d(M) d ( M ) 書く。t = 1 t=1 t = 1 極をもたなければ d ( M ) = 0 d(M)=0 d ( M ) = 0 する（M = 0 M=0 M = 0 ときも d ( M ) = 0 d(M)=0 d ( M ) = 0
第5回の定理13 ヒルベルト多項式
定義9の設定で、A A A A 0 A_0 A 0 有限個の次数1の元で生成されるとする。M ≠ 0 M\neq0 M = 0 d = d ( M ) d=d(M) d = d ( M ) P ( M , t ) = f 0 ( t ) / ( 1 − t ) d P(M,t)=f_0(t)/(1-t)^d P ( M , t ) = f 0 ( t ) / ( 1 − t ) d f 0 ( t ) = ∑ i = 0 s a i t i f_0(t)=\sum_{i=0}^{s}a_it^i f 0 ( t ) = ∑ i = 0 s a i t i a s ≠ 0 a_s\neq0 a s = 0 書く。
(1) d ≥ 1 d\ge1 d ≥ 1 n ≥ s n\ge s n ≥ s
ℓ ( M n ) = ∑ i = 0 s a i ( n − i + d − 1 d − 1 ) \ell(M_n)=\sum_{i=0}^{s}a_i\binom{n-i+d-1}{d-1} ℓ ( M n ) = i = 0 ∑ s a i ( d − 1 n − i + d − 1 ) ℓ ( M n ) = ∑ i = 0 s a i ( n − i + d − 1 d − 1 ) \begin{aligned}\ell(M_n) &= \sum_{i=0}^{s}a_i\binom{n-i+d-1}{d-1}\end{aligned} ℓ ( M n ) = i = 0 ∑ s a i ( d − 1 n − i + d − 1 ) 右辺は n n n 有理数係数の多項式で、次数は d − 1 d-1 d − 1 最高次の係数は f 0 ( 1 ) / ( d − 1 ) ! f_0(1)/(d-1)! f 0 ( 1 ) / ( d − 1 )! d = 0 d=0 d = 0 n > s n>s n > s ℓ ( M n ) = 0 \ell(M_n)=0 ℓ ( M n ) = 0
どちらの場合も、有理数係数の多項式 φ M \varphi_M φ M 十分大きい n n n ついて ℓ ( M n ) = φ M ( n ) \ell(M_n)=\varphi_M(n) ℓ ( M n ) = φ M ( n ) なるものがただ1つある。その次数は d − 1 d-1 d − 1 （0 の多項式の次数は − 1 -1 − 1 する）。φ M \varphi_M φ M M M M ヒルベルト多項式 と呼ぶ。
第5回の命題15
定義9の設定で M ≠ 0 M\neq0 M = 0 x ∈ A k x\in A_k x ∈ A k k > 0 k>0 k > 0 M M M 非零因子 （x m = 0 ⇒ m = 0 xm=0\Rightarrow m=0 x m = 0 ⇒ m = 0 する。このとき
P ( M / x M , t ) = ( 1 − t k ) P ( M , t ) d ( M ) ≥ 1 d ( M / x M ) = d ( M ) − 1 P(M/xM,t)=(1-t^k)\,P(M,t)\qquad d(M)\ge1\qquad d(M/xM)=d(M)-1 P ( M / x M , t ) = ( 1 − t k ) P ( M , t ) d ( M ) ≥ 1 d ( M / x M ) = d ( M ) − 1 P ( M / x M , t ) = ( 1 − t k ) P ( M , t ) d ( M ) ≥ 1 d ( M / x M ) = d ( M ) − 1 \begin{gathered}P(M/xM,t)=(1-t^k)\,P(M,t)\\d(M)\ge1\\d(M/xM)=d(M)-1\end{gathered} P ( M / x M , t ) = ( 1 − t k ) P ( M , t ) d ( M ) ≥ 1 d ( M / x M ) = d ( M ) − 1 P ( M / x M , t ) = ( 1 − t k ) P ( M , t ) d ( M ) ≥ 1 d ( M / x M ) = d ( M ) − 1 \begin{aligned}P(M/xM,t) &= (1-t^k)\,P(M,t)\\[4pt]d(M) &\ge 1\\[4pt]d(M/xM) &= d(M)-1\end{aligned} P ( M / x M , t ) d ( M ) d ( M / x M ) = ( 1 − t k ) P ( M , t ) ≥ 1 = d ( M ) − 1
図で読む代数幾何 第6回の定義14 重複度と接錐
f ∈ k [ x , y ] f\in k[x,y] f ∈ k [ x , y ] f ( 0 , 0 ) = 0 f(0,0)=0 f ( 0 , 0 ) = 0 みたすとし、i i i 斉次式 f i f_i f i 使って
f = f m + f m + 1 + ⋯ + f d ( f m ≠ 0 ) f=f_m+f_{m+1}+\cdots+f_d\qquad(f_m\neq0) f = f m + f m + 1 + ⋯ + f d ( f m = 0 ) f = f m + f m + 1 + ⋯ + f d ( f m ≠ 0 ) \begin{gathered}f=f_m+f_{m+1}+\cdots+f_d\\(f_m\neq0)\end{gathered} f = f m + f m + 1 + ⋯ + f d ( f m = 0 ) f = f m + f m + 1 + ⋯ + f d ( f m ≠ 0 ) \begin{aligned}f &= f_m+f_{m+1}+\cdots+f_d\\[4pt]&(f_m\neq0)\end{aligned} f = f m + f m + 1 + ⋯ + f d ( f m = 0 ) と書く。m m m C = V ( f ) C=V(f) C = V ( f ) 原点での重複度 と呼び、μ 0 ( C ) \mu_0(C) μ 0 ( C ) 書く。V ( f m ) V(f_m) V ( f m ) 原点での接錐 と呼ぶ。ほかの点では、平行移動でその点を原点に移して同じように定める。
図で読む代数幾何 第6回の定義10 ザリスキー接空間
局所環 O p \mathcal{O}_p O p 極大イデアルを M M M する。M / M 2 M/M^2 M / M 2 O p / M ≅ k \mathcal{O}_p/M\cong k O p / M ≅ k ベクトル空間で、その双対空間
( M / M 2 ) ∨ = Hom k ( M / M 2 , k ) (M/M^2)^\vee=\operatorname{Hom}_k(M/M^2,\ k) ( M / M 2 ) ∨ = Hom k ( M / M 2 , k ) ( M / M 2 ) ∨ = Hom k ( M / M 2 , k ) \begin{aligned}(M/M^2)^\vee &= \operatorname{Hom}_k(M/M^2,\ k)\end{aligned} ( M / M 2 ) ∨ = Hom k ( M / M 2 , k ) を、Y Y Y p p p ザリスキー接空間 と呼ぶ。
第7回の定義12 埋め込み次元
ネーター局所環 ( A , M , k ) (A,M,k) ( A , M , k ) ついて、k k k ベクトル空間 M / M 2 M/M^2 M / M 2 次元 dim k M / M 2 \dim_kM/M^2 dim k M / M 2 A A A 埋め込み次元 と呼ぶ。これは M M M 生成元の個数の最小値に等しい。
局所環 A A A 極大イデアルを M M M 有限生成 A A A N N N する。M N = N MN=N M N = N N = 0 N=0 N = 0 とくに部分加群 N ′ N' N ′ ついて N = N ′ + M N N=N'+MN N = N ′ + M N N = N ′ N=N' N = N ′ N / M N N/MN N / M N 張る元は N N N 生成する。
極大イデアルがただ1つの可換環。極大イデアルに入らない元はすべて単元になる。例：素イデアル P P P 局所化 A P A_P A P a / s a/s a / s a ∈ P a\in P a ∈ P 全体）、k [ x ] / ( x 2 ) k[x]/(x^2) k [ x ] / ( x 2 ) Z / 4 Z \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} Z /4 Z
ネーター局所環 ( A , M ) (A,M) ( A , M ) M M M q q q ついて、大きな n n n ℓ ( A / q n ) \ell(A/q^n) ℓ ( A / q n ) 一致する n n n 多項式。次数は q q q よらない。例：k [ x , y ] ( x , y ) k[x,y]_{(x,y)} k [ x , y ] ( x , y ) q = ( x , y ) q=(x,y) q = ( x , y ) n ( n + 1 ) / 2 n(n+1)/2 n ( n + 1 ) /2
環 A A A 元 x x x x y = 0 xy=0 x y = 0 y = 0 y=0 y = 0 なるもの。整域では0でない元はすべて非零因子。例：k [ x , y ] / ( x y ) k[x,y]/(xy) k [ x , y ] / ( x y ) x + y x+y x + y 非零因子だが、x x x x ⋅ y = 0 x\cdot y=0 x ⋅ y = 0 非零因子でない。
環 A A A 上の加群（A A A 足し算について可換群で、A A A 元を掛けられ、分配法則などベクトル空間と同じ規則をみたすもの。体の上の加群はベクトル空間で、A A A イデアルも A A A
ネーター環 A A A イデアル q q q 有限生成 A A A N N N その部分加群 N ′ N' N ′ ついて、ある c c c あって、n ≥ c n\ge c n ≥ c q n N ∩ N ′ = q n − c ( q c N ∩ N ′ ) q^nN\cap N'=q^{n-c}(q^cN\cap N') q n N ∩ N ′ = q n − c ( q c N ∩ N ′ ) なる。
次数1の元で生成される次数付き環 A A A A 0 A_0 A 0 アルティン環）上の有限生成次数付き加群 M M M ついて、十分大きい n n n M n M_n M n 長さに一致する n n n 多項式。例：k [ x , y ] k[x,y] k [ x , y ] n + 1 n+1 n + 1 k [ x , y , z ] / ( F ) k[x,y,z]/(F) k [ x , y , z ] / ( F ) F F F e e e 斉次式）では e n − e ( e − 3 ) / 2 en-e(e-3)/2 e n − e ( e − 3 ) /2
環 A A A 素イデアルの真に増える鎖 P 0 ⊊ P 1 ⊊ ⋯ ⊊ P n P_0\subsetneq P_1\subsetneq\cdots\subsetneq P_n P 0 ⊊ P 1 ⊊ ⋯ ⊊ P n 長さ n n n 最大値。dim A \dim A dim A 書く。例：dim k [ x 1 , … , x n ] = n \dim k[x_1,\dots,x_n]=n dim k [ x 1 , … , x n ] = n dim Z = 1 \dim\mathbb{Z}=1 dim Z = 1 体の次元は0。
加群の部分加群の真に減る列で、各段の商が単純（0と自分自身のほかに部分加群をもたない）なもの。組成列の長さは列のとり方によらず、それを加群の長さと呼ぶ。例：Z / 12 ⊋ 2 Z / 12 ⊋ 4 Z / 12 ⊋ 0 \mathbb{Z}/12\supsetneq2\mathbb{Z}/12\supsetneq4\mathbb{Z}/12\supsetneq0 Z /12 ⊋ 2 Z /12 ⊋ 4 Z /12 ⊋ 0
加群（ベクトル空間でもよい）の準同型の列 0 → U → α V → β W → 0 0\to U\xrightarrow{\alpha}V\xrightarrow{\beta}W\to0 0 → U α V β W → 0 α \alpha α 単射、β \beta β 全射、Im α = Ker β \operatorname{Im}\alpha=\operatorname{Ker}\beta Im α = Ker β なるもの。このとき W ≅ V / U W\cong V/U W ≅ V / U 長さ（有限次元なら次元）について ℓ ( V ) = ℓ ( U ) + ℓ ( W ) \ell(V)=\ell(U)+\ell(W) ℓ ( V ) = ℓ ( U ) + ℓ ( W )
すべてのイデアルが有限個の元で生成される可換環。イデアルの増大列 J 1 ⊆ J 2 ⊆ ⋯ J_1\subseteq J_2\subseteq\cdots J 1 ⊆ J 2 ⊆ ⋯ 必ずどこかで止まる、と言っても同じ。
イデアル q ≠ A q\neq A q = A x y ∈ q xy\in q x y ∈ q x ∉ q x\notin q x ∈ / q y y y あるべきが q q q 入るもの。根基 P = q P=\sqrt q P = q 素イデアルで、q q q P P P 呼ぶ。例：Z \mathbb{Z} Z ( p n ) (p^n) ( p n ) k [ x , y ] k[x,y] k [ x , y ] ( x 2 , y ) (x^2,y) ( x 2 , y )
イデアル J J J 根基 J \sqrt J J ある n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 x n ∈ J x^n\in J x n ∈ J なる元 x x x 全体。J J J 含む素イデアルすべての共通部分に等しい。例：k [ x , y ] k[x,y] k [ x , y ] ( x 2 , x y ) = ( x ) \sqrt{(x^2,\,xy)}=(x) ( x 2 , x y ) = ( x )
環 A A A イデアル J J J 割った環 A / J A/J A / J 差が J J J 入る元どうしを同じとみなす。例：k [ x , y ] / ( y ) ≅ k [ x ] k[x,y]/(y)\cong k[x] k [ x , y ] / ( y ) ≅ k [ x ]
既約な閉集合 Z Z Z 対して、閉包がちょうど Z Z Z なる点を Z Z Z 生成点と呼ぶ。Spec k [ x , y ] \operatorname{Spec}k[x,y] Spec k [ x , y ] 素イデアル ( 0 ) (0) ( 0 ) 対応する点が平面全体の生成点になる。
掛けて1になる相手（逆元）をもつ環の元。例：Z \mathbb{Z} Z 単元は ± 1 \pm1 ± 1 体では0以外のすべての元。
元を無限個もつ体。Q , R , C \mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C} Q , R , C 無限体の上では、すべての点で0になる多項式は0だけである。
ネーター環 A A A 多項式環 A [ x ] A[x] A [ x ] ネーター環である、という定理。とくに体 k k k k [ x 1 , … , x n ] k[x_1,\dots,x_n] k [ x 1 , … , x n ] イデアルは、どれも有限個の元で生成される。
イデアルの減少列 J 1 ⊇ J 2 ⊇ ⋯ J_1\supseteq J_2\supseteq\cdots J 1 ⊇ J 2 ⊇ ⋯ 必ずどこかで止まる可換環。体 k k k 環はアルティン環である。アルティン環は、極大イデアルでの局所化の有限個の積 A ≅ ∏ M A M A\cong\prod_MA_M A ≅ ∏ M A M 分かれる（構造定理）。
環 A A A イデアル q q q 作る次数付き環 G q ( A ) = ⨁ n ≥ 0 q n / q n + 1 G_q(A)=\bigoplus_{n\ge0}q^n/q^{n+1} G q ( A ) = ⨁ n ≥ 0 q n / q n + 1 積は代表元の積で定める。例：A = k [ x , y ] ( x , y ) A=k[x,y]_{(x,y)} A = k [ x , y ] ( x , y ) q = ( x , y ) q=(x,y) q = ( x , y ) G q ( A ) ≅ k [ x , y ] G_q(A)\cong k[x,y] G q ( A ) ≅ k [ x , y ]
0 でないべき零元（f n = 0 f^n=0 f n = 0 なる f ≠ 0 f\neq0 f = 0 もたない環を被約な環と呼ぶ。スキームは、各点の局所環が被約なとき被約と呼ぶ。例：k [ x , y ] / ( x y ) k[x,y]/(xy) k [ x , y ] / ( x y ) 被約で、k [ x , y ] / ( x 2 ) k[x,y]/(x^2) k [ x , y ] / ( x 2 ) 被約でない。
イデアル J J J 含む素イデアルのうち、包含について極小なもの。V ( J ) V(J) V ( J ) 既約成分の生成点に当たる。ネーター環では有限個しかない。
a b = 0 ab=0 ab = 0 なる 0 でない b b b ある、0 でない元 a a a 例：Z / 6 Z \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} Z /6 Z 2 2 2 2 ⋅ 3 = 0 2\cdot3=0 2 ⋅ 3 = 0 体や整域には零因子がない。
0 でない元どうしの積が0にならない可換環（a b = 0 ab=0 ab = 0 a = 0 a=0 a = 0 b = 0 b=0 b = 0 例：Z \mathbb{Z} Z 体上の多項式環。A / P A/P A / P 整域であることと、P P P 素イデアルであることは同値。
ネーター局所環 ( A , M , k ) (A,M,k) ( A , M , k ) k k k ベクトル空間 M / M 2 M/M^2 M / M 2 次元。中山の補題から M M M 生成元の個数の最小値に等しく、いつもクルル次元 dim A \dim A dim A 等しいとき A A A 正則局所環と呼ぶ。
体 k k k ベクトル空間 W W W k k k 線形写像の全体 W ∨ = Hom k ( W , k ) W^\vee=\operatorname{Hom}_k(W,k) W ∨ = Hom k ( W , k ) W W W 有限次元なら dim W ∨ = dim W \dim W^\vee=\dim W dim W ∨ = dim W W W W 基底に対して双対基底がとれる。