この記事の要点
下降定理 A A A 整閉 整域 で、整域 B B B A A A A A A 素イデアルの鎖は、上の端を決めたまま B B B 下向きに持ち上がります。上昇定理と向きが逆の定理です。
整閉 でないと崩れる 結節点のある曲線を柱にした曲面では、2枚の面が1本の直線で交わります。その直線上の点から、片方の面にしかない曲線を、もう片方の面へ持ち上げることはできません。
平坦 でも成り立つ B B B 平坦 な A A A 下降定理が成り立ちます。k [ x ] ⊆ k [ x , y ] k[x]\subseteq k[x,y] k [ x ] ⊆ k [ x , y ] 平坦 で、下降定理は成り立ちますが、上昇定理は成り立ちません。 高さと開写像 下降定理が成り立つと ht Q ≥ ht ( Q ∩ A ) \operatorname{ht}Q\ge\operatorname{ht}(Q\cap A) ht Q ≥ ht ( Q ∩ A ) 前回の不等式と合わせて高さがそろいます。位相の言葉では、下降定理は「一般化が持ち上がる」ことで、開写像につながります。
証明は、ステップの流れだけを短く書いています。「詳しく」の付いた行をクリックすると、そのステップの詳しい説明が開きます。説明の中にも開ける行があります。
定義・命題・定理には、記事全体で通し番号を振っています。
おさらい は前の回や前提の知識の確認、もう少し詳しく は補足、専門的な話 は先の回につながる話題です。どれも開かずに読み進められます。 各ブロックの「AIに質問」を押すと、その部分の内容を入れた質問文で、お使いのAIを開けます。
鎖を下へ延ばす
前回 は、整拡大 A ⊆ B A\subseteq B A ⊆ B 素イデアルの鎖が上へ持ち上がること（第2回の定理12 、上昇定理）を示しました。そこから dim B = dim A \dim B=\dim A dim B = dim A 高さの不等式 ht Q ≤ ht ( Q ∩ A ) \operatorname{ht}Q\le\operatorname{ht}(Q\cap A) ht Q ≤ ht ( Q ∩ A ) 出ました（第2回の系13 ）。
おさらい Spec の写像と、整拡大の横たわり・比較不能性・上昇定理
環 A ⊆ B A\subseteq B A ⊆ B B B B 素イデアル Q Q Q ついて、Q ∩ A Q\cap A Q ∩ A A A A 素イデアルです。Q ∩ A = P Q\cap A=P Q ∩ A = P とき、Q Q Q P P P 上にあると言います（第2回の定義1 ）。一般の環の準同型 φ : A → B \varphi\colon A\to B φ : A → B Q ∩ A Q\cap A Q ∩ A 代わりに φ − 1 ( Q ) \varphi^{-1}(Q) φ − 1 ( Q ) 使います。
環の準同型と Spec の写像は、向きが逆になります。
A → φ B Spec A ← f Spec B f ( Q ) = φ − 1 ( Q ) = Q ∩ A {}\begin{gathered} \begin{CD} A @>{\varphi}>> B \end{CD} \\ \begin{CD} \operatorname{Spec}A @<{f}<< \operatorname{Spec}B \end{CD}\\ f(Q)=\varphi^{-1}(Q)=Q\cap A\end{gathered} A φ B Spec A f Spec B f ( Q ) = φ − 1 ( Q ) = Q ∩ A 整拡大 A ⊆ B A\subseteq B A ⊆ B ついて、前回は次の4つを示しました。
横たわり（第2回の定理10 ）：A A A どの素イデアル P P P 上にも、B B B 素イデアルがある。
比較不能性（第2回の系9 ）：同じ P P P 上にある Q ⊆ Q ′ Q\subseteq Q' Q ⊆ Q ′ 等しい。
極大性（第2回の系8 ）：Q Q Q 極大であることと、Q ∩ A Q\cap A Q ∩ A 極大であることは同値。
上昇定理（第2回の定理12 ）：P ⊆ P ′ P\subseteq P' P ⊆ P ′ P P P 上の Q Q Q Q ⊆ Q ′ Q\subseteq Q' Q ⊆ Q ′ P ′ P' P ′ 上にある Q ′ Q' Q ′
Z ⊆ Z [ i ] \mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Z}[i] Z ⊆ Z [ i ] 確かめます（第2回の例11 ）。鎖 ( 0 ) ⊆ ( 5 ) (0)\subseteq(5) ( 0 ) ⊆ ( 5 ) ( 0 ) ⊆ ( 2 + i ) (0)\subseteq(2+i) ( 0 ) ⊆ ( 2 + i ) ( 0 ) ⊆ ( 2 − i ) (0)\subseteq(2-i) ( 0 ) ⊆ ( 2 − i ) 持ち上がります。( 2 + i ) (2+i) ( 2 + i ) ( 2 − i ) (2-i) ( 2 − i ) どちらも ( 5 ) (5) ( 5 ) 上にあり、比較不能性のとおり包含関係はありません。
( 0 ) ⊆ ( 2 + i ) ∩ Z ↓ ↓ ∩ Z ( 0 ) ⊆ ( 5 ) \begin{CD} (0) @. \subseteq @. (2+i) \\ @V{\cap\mathbb{Z}}VV @. @VV{\cap\mathbb{Z}}V \\ (0) @. \subseteq @. (5) \end{CD} ( 0 ) ∩ Z ↓ ⏐ ( 0 ) ⊆ ⊆ ( 2 + i ) ↓ ⏐ ∩ Z ( 5 )
今回は、鎖を逆向きに延ばします。上の端 Q ′ Q' Q ′ 決めたまま、その下にもっと小さい素イデアルをとれるか、という問題です。これができると、高さの逆向きの不等式も分かります。
2つの向きを、環の準同型の性質として名前を付けておきます。環はすべて単位元をもつ可換環とします。
定義1 上昇性質・下降性質 [1 , §9, p.82; 2 , 演習問題5.10, p.104]
環の準同型 φ : A → B \varphi\colon A\to B φ : A → B 考え、B B B 素イデアル Q Q Q ついて φ − 1 ( Q ) \varphi^{-1}(Q) φ − 1 ( Q ) Q ∩ A Q\cap A Q ∩ A 書く。
(1) A A A 素イデアル P ⊆ P ′ P\subseteq P' P ⊆ P ′ Q ∩ A = P Q\cap A=P Q ∩ A = P なる B B B 素イデアル Q Q Q どう与えられても、Q ⊆ Q ′ Q\subseteq Q' Q ⊆ Q ′ Q ′ ∩ A = P ′ Q'\cap A=P' Q ′ ∩ A = P ′ なる B B B 素イデアル Q ′ Q' Q ′ あるとき、φ \varphi φ 上昇性質 をもつ（A A A B B B 間に上昇定理が成り立つ）という。A A A 素イデアル P ⊆ P ′ P\subseteq P' P ⊆ P ′ Q ′ ∩ A = P ′ Q'\cap A=P' Q ′ ∩ A = P ′ なる B B B 素イデアル Q ′ Q' Q ′ どう与えられても、Q ⊆ Q ′ Q\subseteq Q' Q ⊆ Q ′ Q ∩ A = P Q\cap A=P Q ∩ A = P なる B B B 素イデアル Q Q Q あるとき、φ \varphi φ 下降性質 をもつ（A A A B B B 間に下降定理が成り立つ）という。
2つの性質を図式で並べます。上の行が B B B 素イデアル、下の行が A A A 素イデアルで、縦の矢印は Q ↦ Q ∩ A Q\mapsto Q\cap A Q ↦ Q ∩ A ∃ \exists ∃ 付けたものは、その性質によって存在が保証される素イデアルです。
Q ⊆ ∃ Q ′ ∩ A ↓ ↓ ∩ A P ⊆ P ′ ∃ Q ⊆ Q ′ ∩ A ↓ ↓ ∩ A P ⊆ P ′ \begin{CD} Q @. \subseteq @. \exists\,Q' \\ @V{\cap A}VV @. @VV{\cap A}V \\ P @. \subseteq @. P' \end{CD} \qquad\qquad \begin{CD} \exists\,Q @. \subseteq @. Q' \\ @V{\cap A}VV @. @VV{\cap A}V \\ P @. \subseteq @. P' \end{CD} Q ∩ A ↓ ⏐ P ⊆ ⊆ ∃ Q ′ ↓ ⏐ ∩ A P ′ ∃ Q ∩ A ↓ ⏐ P ⊆ ⊆ Q ′ ↓ ⏐ ∩ A P ′ 左が上昇性質で、上の行の大きいほうの素イデアル Q ′ Q' Q ′ 作ります。右が下降性質で、小さいほうの Q Q Q 作ります。
前回の上昇定理は、整拡大が上昇性質をもつことを言っています。上昇性質があれば、1段ずつ繰り返して長い鎖も持ち上がります。下降性質も同じです。
おさらい 点の閉包、特殊化と一般化、既約な閉集合
Spec A \operatorname{Spec}A Spec A 閉集合は V ( J ) = { P ∣ P ⊇ J } V(J)=\{P\mid P\supseteq J\} V ( J ) = { P ∣ P ⊇ J } 形の集合です。1点 { P } \{P\} { P } 閉包は V ( P ) V(P) V ( P ) 次が成り立ちます（図で読む代数幾何 第2回の命題6 ）。
P ′ ∈ { P } ‾ ⟺ P ⊆ P ′ P'\in\overline{\{P\}}\iff P\subseteq P' P ′ ∈ { P } ⟺ P ⊆ P ′ P ′ ∈ { P } ‾ ⟺ P ⊆ P ′ \begin{aligned}P'\in\overline{\{P\}} &\iff P\\&\subseteq P'\end{aligned} P ′ ∈ { P } ⟺ P ⊆ P ′ このとき P ′ P' P ′ P P P 特殊化、P P P P ′ P' P ′ 一般化と呼びます。素イデアルが小さいほど閉包は大きくなります。極大イデアルの点は閉点で、それより下に点はありません。
V ( P ) V(P) V ( P ) 既約な閉集合で、P P P その生成点 です。逆に、既約な閉集合はどれも、ちょうど1つの生成点 をもちます（図で読む代数幾何 第2回の定理8 ）。
例えば Spec k [ x , y ] \operatorname{Spec}k[x,y] Spec k [ x , y ] 素イデアルの鎖が「平面、直線 y = 0 y=0 y = 0 原点」の列に対応します。閉包をとると、包含の向きが逆になります。
( 0 ) ⊊ ( y ) ⊊ ( x , y ) { ( 0 ) } ‾ = Spec k [ x , y ] ⊋ { ( y ) } ‾ = V ( y ) ⊋ { ( x , y ) } ‾ = { ( x , y ) } (0)\subsetneq(y)\subsetneq(x,y)\qquad \overline{\{(0)\}}=\operatorname{Spec}k[x,y]\ \supsetneq\ \overline{\{(y)\}}=V(y)\ \supsetneq\ \overline{\{(x,y)\}}=\{(x,y)\} ( 0 ) ⊊ ( y ) ⊊ ( x , y ) {( 0 )} = Spec k [ x , y ] ⊋ {( y )} = V ( y ) ⊋ {( x , y )} = {( x , y )} ( 0 ) ⊊ ( y ) ⊊ ( x , y ) { ( 0 ) } ‾ = Spec k [ x , y ] ⊋ { ( y ) } ‾ = V ( y ) ⊋ { ( x , y ) } ‾ = { ( x , y ) } \begin{gathered}(0)\subsetneq(y)\subsetneq(x,y)\\\overline{\{(0)\}}=\operatorname{Spec}k[x,y]\ \supsetneq\ \overline{\{(y)\}}=V(y)\ \supsetneq\ \overline{\{(x,y)\}}=\{(x,y)\}\end{gathered} ( 0 ) ⊊ ( y ) ⊊ ( x , y ) {( 0 )} = Spec k [ x , y ] ⊋ {( y )} = V ( y ) ⊋ {( x , y )} = {( x , y )} ( 0 ) ⊊ ( y ) ⊊ ( x , y ) { ( 0 ) } ‾ = Spec k [ x , y ] ⊋ { ( y ) } ‾ = V ( y ) ⊋ { ( x , y ) } ‾ = { ( x , y ) } \begin{aligned}&(0)\subsetneq(y)\subsetneq(x,y)\\[4pt]\overline{\{(0)\}} &= \operatorname{Spec}k[x,y]\ \supsetneq\ \overline{\{(y)\}}\\&= V(y)\ \supsetneq\ \overline{\{(x,y)\}}\\&= \{(x,y)\}\end{aligned} {( 0 )} ( 0 ) ⊊ ( y ) ⊊ ( x , y ) = Spec k [ x , y ] ⊋ {( y )} = V ( y ) ⊋ {( x , y )} = {( x , y )}
Spec の図（代数幾何の連載の第2回 と同じ約束で、閉包が大きい点ほど高く描く）では、P ⊆ P ′ P\subseteq P' P ⊆ P ′ 「P ′ P' P ′ P P P 閉包に入る」ことです。上昇性質は、下の点（特殊化）が B B B 持ち上がることを、下降性質は、上の点（一般化）が持ち上がることを言っています（図1）。
上の段の点の閉包に下の段の点が入る（↓）。→ は写像
Q ↦ Q ∩ A Q\mapsto Q\cap A Q ↦ Q ∩ A Spec B \operatorname{Spec}B Spec B Spec A \operatorname{Spec}A Spec A Spec B \operatorname{Spec}B Spec B Spec A \operatorname{Spec}A Spec A 図1 概念図 上昇と下降。各パネルの左の列が Spec B \operatorname{Spec}B Spec B Spec A \operatorname{Spec}A Spec A Q ↦ Q ∩ A Q\mapsto Q\cap A Q ↦ Q ∩ A Q ′ Q' Q ′ Q ′ Q' Q ′ Q Q Q
2つの性質は別物です。まず、上昇定理が成り立たない例を見ます。
例2 多項式環の拡大で上昇定理は成り立たない [1 , 問題15.2, p.147]
k k k 体、A = k [ x ] ⊆ B = k [ x , y ] A=k[x]\subseteq B=k[x,y] A = k [ x ] ⊆ B = k [ x , y ] する。A A A 素イデアル ( 0 ) ⊆ ( x ) (0)\subseteq(x) ( 0 ) ⊆ ( x ) B B B 素イデアル Q = ( x y − 1 ) Q=(xy-1) Q = ( x y − 1 ) ついて、Q ∩ A = ( 0 ) Q\cap A=(0) Q ∩ A = ( 0 ) Q ⊆ Q ′ Q\subseteq Q' Q ⊆ Q ′ Q ′ ∩ A = ( x ) Q'\cap A=(x) Q ′ ∩ A = ( x ) なる素イデアル Q ′ Q' Q ′ ない。
証明 開く 閉じる Q Q Q は
素イデアルである。B / Q ≅ k [ x , 1 / x ] B/Q\cong k[x,1/x] B / Q ≅ k [ x , 1/ x ] y ↦ 1 / x y\mapsto1/x y ↦ 1/ x 整域 だから。 Q ∩ A = ( 0 ) Q\cap A=(0) Q ∩ A = ( 0 ) を
示す。f ( x ) ∈ Q f(x)\in Q f ( x ) ∈ Q k [ x , 1 / x ] k[x,1/x] k [ x , 1/ x ] 像 f ( x ) f(x) f ( x ) 0なので f = 0 f=0 f = 0 Q ′ ⊇ Q Q'\supseteq Q Q ′ ⊇ Q が
x x x を
含むとすると、1 = x ⋅ y − ( x y − 1 ) ∈ Q ′ 1=x\cdot y-(xy-1)\in Q' 1 = x ⋅ y − ( x y − 1 ) ∈ Q ′ なり矛盾する。 上昇性質の図式で書くと、右上に入る Q ′ Q' Q ′ ありません。( x ) (x) ( x ) 上にあるどの素イデアル Q ′ Q' Q ′ Q Q Q 含まないからです。
( x y − 1 ) ⊈ Q ′ ∩ A ↓ ↓ ∩ A ( 0 ) ⊆ ( x ) \begin{CD} (xy-1) @. \not\subseteq @. Q' \\ @V{\cap A}VV @. @VV{\cap A}V \\ (0) @. \subseteq @. (x) \end{CD} ( x y − 1 ) ∩ A ↓ ⏐ ( 0 ) ⊆ ⊆ Q ′ ↓ ⏐ ∩ A ( x ) 図で見ると、双曲線 x y = 1 xy=1 x y = 1 直線 x = 0 x=0 x = 0 交わりません（図2）。( x ) (x) ( x ) 上にある B B B 素イデアルは、直線 x = 0 x=0 x = 0 その上の点です。どれも双曲線の閉包に入りません。
Spec k [ x ] \operatorname{Spec}k[x] Spec k [ x ] 双曲線の像は
x ≠ 0 x\neq0 x = 0 の部分。
x = 0 x=0 x = 0 は像に入らない
図2 具体例 双曲線 x y = 1 xy=1 x y = 1 V ( Q ) V(Q) V ( Q ) x x x Spec k [ x ] \operatorname{Spec}k[x] Spec k [ x ] x ≠ 0 x\neq0 x = 0 x = 0 x=0 x = 0 x = 0 x=0 x = 0 Q Q Q ( x ) (x) ( x )
k [ x ] ⊆ k [ x , y ] k[x]\subseteq k[x,y] k [ x ] ⊆ k [ x , y ] 整拡大ではないので、前回の上昇定理と矛盾しません。後で見るとおり、この拡大では下降定理のほうは成り立ちます（定理16 ）。上昇と下降は、別の仮定で成り立つ性質です。
下降定理
下降定理には、上昇定理にはなかった仮定「A A A 整閉 整域 」が付きます。証明には、最小多項式 の係数を調べる補題を使います。まず、イデアルの元を係数にもつ方程式を考えます。
おさらい 整・整閉包・整閉整域と行列式のトリック
A ⊆ B A\subseteq B A ⊆ B x ∈ B x\in B x ∈ B A A A A A A モニックな式をみたすことです（第2回の定義2 ）。A A A 元をいくつか添加した A [ x 1 , … , x r ] A[x_1,\dots,x_r] A [ x 1 , … , x r ] 有限生成 A A A 加群 になります（第2回の系5 ）。
x n + a 1 x n − 1 + ⋯ + a n = 0 ( a i ∈ A ) A [ x ] = A + A x + ⋯ + A x n − 1 x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=0\quad(a_i\in A)\qquad A[x]=A+Ax+\cdots+Ax^{n-1} x n + a 1 x n − 1 + ⋯ + a n = 0 ( a i ∈ A ) A [ x ] = A + A x + ⋯ + A x n − 1 x n + a 1 x n − 1 + ⋯ + a n = 0 ( a i ∈ A ) A [ x ] = A + A x + ⋯ + A x n − 1 \begin{gathered}x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=0\\(a_i\in A)\\A[x]=A+Ax+\cdots+Ax^{n-1}\end{gathered} x n + a 1 x n − 1 + ⋯ + a n = 0 ( a i ∈ A ) A [ x ] = A + A x + ⋯ + A x n − 1 x n + a 1 x n − 1 + ⋯ + a n = 0 ( a i ∈ A ) A [ x ] = A + A x + ⋯ + A x n − 1 \begin{aligned}x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n &= 0\\[4pt]&(a_i\in A)\\[4pt]A[x] &= A+Ax+\cdots+Ax^{n-1}\end{aligned} x n + a 1 x n − 1 + ⋯ + a n A [ x ] = 0 ( a i ∈ A ) = A + A x + ⋯ + A x n − 1 A A A B B B 元の全体 C C C 部分環で、B B B おける A A A 整閉 包と呼びます。整域 A A A 商体 K K K おける整閉 包に等しいとき、A A A 整閉 整域 と呼びます（第2回の定義17 ）。
例えば Q ( 5 ) \mathbb{Q}(\sqrt5) Q ( 5 ) おける Z \mathbb{Z} Z 整閉 包は、Z [ 5 ] \mathbb{Z}[\sqrt5] Z [ 5 ] 大きい Z [ ( 1 + 5 ) / 2 ] \mathbb{Z}[(1+\sqrt5)/2] Z [( 1 + 5 ) /2 ] 一意分解整域 Z \mathbb{Z} Z k [ x 1 , … , x n ] k[x_1,\dots,x_n] k [ x 1 , … , x n ] 整閉 整域 です。k [ t 2 , t 3 ] k[t^2,t^3] k [ t 2 , t 3 ] 整閉 でなく、商体 の元 t = t 3 / t 2 t=t^3/t^2 t = t 3 / t 2 X 2 − t 2 = 0 X^2-t^2=0 X 2 − t 2 = 0 みたします。
行列式のトリックは、x x x 整であることを示す手法です（第2回の命題4 の (4)⇒(1)）。生成元 m 1 , … , m s m_1,\dots,m_s m 1 , … , m s 有限生成加群 M ∋ 1 M\ni1 M ∋ 1 x M ⊆ M xM\subseteq M x M ⊆ M みたすとき、次のように係数を並べた行列の行列式が0になります。この行列式を展開すると、x x x モニックな式が得られます。
x m j = ∑ l = 1 s c j l m l ⟹ det ( x E − ( c j l ) ) ⋅ M = 0 ⟹ det ( x E − ( c j l ) ) = 0 xm_j=\sum_{l=1}^sc_{jl}m_l \quad\Longrightarrow\quad \det\bigl(xE-(c_{jl})\bigr)\cdot M=0 \quad\Longrightarrow\quad \det\bigl(xE-(c_{jl})\bigr)=0 x m j = l = 1 ∑ s c j l m l ⟹ det ( x E − ( c j l ) ) ⋅ M = 0 ⟹ det ( x E − ( c j l ) ) = 0 x m j = ∑ l = 1 s c j l m l ⟹ det ( x E − ( c j l ) ) ⋅ M = 0 ⟹ det ( x E − ( c j l ) ) = 0 \begin{gathered}xm_j=\sum_{l=1}^sc_{jl}m_l\\\Longrightarrow \det\bigl(xE-(c_{jl})\bigr)\cdot M=0\\\Longrightarrow \det\bigl(xE-(c_{jl})\bigr)=0\end{gathered} x m j = l = 1 ∑ s c j l m l ⟹ det ( x E − ( c j l ) ) ⋅ M = 0 ⟹ det ( x E − ( c j l ) ) = 0 x m j = ∑ l = 1 s c j l m l ⟹ det ( x E − ( c j l ) ) ⋅ M = 0 ⟹ det ( x E − ( c j l ) ) = 0 \begin{aligned}xm_j &= \sum_{l=1}^sc_{jl}m_l\\[4pt]&\Longrightarrow \det\bigl(xE-(c_{jl})\bigr)\cdot M=0\\[4pt]&\Longrightarrow \det\bigl(xE-(c_{jl})\bigr)=0\end{aligned} x m j = l = 1 ∑ s c j l m l ⟹ det ( x E − ( c j l ) ) ⋅ M = 0 ⟹ det ( x E − ( c j l ) ) = 0
補題3 イデアル上整な元 [2 , 補題5.14, p.96]
環 A ⊆ B A\subseteq B A ⊆ B C C C B B B おける A A A 整閉 包、J J J A A A イデアルとする。x ∈ B x\in B x ∈ B
x n + a 1 x n − 1 + ⋯ + a n = 0 ( a 1 , … , a n ∈ J ) x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=0\qquad(a_1,\dots,a_n\in J) x n + a 1 x n − 1 + ⋯ + a n = 0 ( a 1 , … , a n ∈ J ) x n + a 1 x n − 1 + ⋯ + a n = 0 ( a 1 , … , a n ∈ J ) \begin{gathered}x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=0\\(a_1,\dots,a_n\in J)\end{gathered} x n + a 1 x n − 1 + ⋯ + a n = 0 ( a 1 , … , a n ∈ J ) x n + a 1 x n − 1 + ⋯ + a n = 0 ( a 1 , … , a n ∈ J ) \begin{aligned}x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n &= 0\\[4pt]&(a_1,\dots,a_n\in J)\end{aligned} x n + a 1 x n − 1 + ⋯ + a n = 0 ( a 1 , … , a n ∈ J ) をみたすとき、x x x J J J いう。J J J B B B 元の全体は、C C C イデアル J C JC J C 根基 J C \sqrt{JC} J C 等しい。とくに、和と積で閉じている。
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる (
⊆ \subseteq ⊆ )
J J J 上整なら
A A A 上整なので
x ∈ C x\in C x ∈ C 。
式から x n = − ( a 1 x n − 1 + ⋯ + a n ) ∈ J C x^n=-(a_1x^{n-1}+\cdots+a_n)\in JC x n = − ( a 1 x n − 1 + ⋯ + a n ) ∈ J C x ∈ J C x\in\sqrt{JC} x ∈ J C (⊇ \supseteq ⊇ x n = ∑ i = 1 r a i x i x^n=\sum_{i=1}^r a_ix_i x n = ∑ i = 1 r a i x i a i ∈ J a_i\in J a i ∈ J x i ∈ C x_i\in C x i ∈ C M = A [ x 1 , … , x r ] M=A[x_1,\dots,x_r] M = A [ x 1 , … , x r ] M M M 有限生成 A A A 加群 で（第2回の系5 (1)）、x n M ⊆ J M x^nM\subseteq JM x n M ⊆ J M 詳しく 閉じる
m ∈ M m\in M m ∈ M ついて x n m = ∑ a i ( x i m ) x^nm=\sum a_i(x_im) x n m = ∑ a i ( x i m ) x i m ∈ M x_im\in M x i m ∈ M
行列式のトリック（第2回の命題4 の (4)⇒(1)）を、J J J 元を成分とする行列で行うと、y = x n y=x^n y = x n J J J ことが分かる。詳しく 閉じる
M M M 生成元 m 1 , … , m s m_1,\dots,m_s m 1 , … , m s ついて x n m j = ∑ l c j l m l x^nm_j=\sum_l c_{jl}m_l x n m j = ∑ l c j l m l c j l ∈ J c_{jl}\in J c j l ∈ J 書ける。det ( x n E − ( c j l ) ) \det(x^nE-(c_{jl})) det ( x n E − ( c j l )) M M M 0にし、1 ∈ M 1\in M 1 ∈ M
行列式を展開すると y s + d 1 y s − 1 + ⋯ + d s y^s+d_1y^{s-1}+\cdots+d_s y s + d 1 y s − 1 + ⋯ + d s 形になり、d k d_k d k c j l c_{jl} c j l k k k ものの和なので J J J 入る。
y = x n y=x^n y = x n の
式の y y y x n x^n x n 代入すると、x x x 式で係数が J J J 入るものになる。よって x x x J J J J = A J=A J = A ときは、A C = C \sqrt{AC}=C A C = C 「A A A 元の全体は C C C いう定義そのものです。補題は、係数をイデアルに制限しても同じ形の主張が成り立つことを言っています。
命題4 整閉整域の上の最小多項式 [2 , 命題5.15, p.96–97; 1 , 定理9.2, p.79]
A ⊆ B A\subseteq B A ⊆ B 整域 とし、A A A 整閉 、K K K A A A 商体 、J J J A A A イデアルとする。
(1) x ∈ B x\in B x ∈ B J J J x x x K K K K K K 最小多項式 t n + a 1 t n − 1 + ⋯ + a n t^n+a_1t^{n-1}+\cdots+a_n t n + a 1 t n − 1 + ⋯ + a n 係数はすべて J \sqrt J J 入る。（J = A J=A J = A して）、x ∈ B x\in B x ∈ B A A A ことと、x x x K K K 最小多項式 の係数がすべて A A A 入ることは同値である。
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる x x x は
係数が J ⊆ K J\subseteq K J ⊆ K モニックな式をみたすので、K K K 最小多項式 f f f 1次式の積に分解する体 L ⊇ K L\supseteq K L ⊇ K とり、f = ∏ i = 1 n ( t − x i ) f=\prod_{i=1}^n(t-x_i) f = ∏ i = 1 n ( t − x i ) する。 各 x i x_i x i x x x 同じ式をみたすので、J J J 詳しく 閉じる
K ( x ) ≅ K [ t ] / ( f ) ≅ K ( x i ) K(x)\cong K[t]/(f)\cong K(x_i) K ( x ) ≅ K [ t ] / ( f ) ≅ K ( x i ) いう K K K 同型で x ↦ x i x\mapsto x_i x ↦ x i なる。この同型は K K K 元を動かさないので、x x x （係数は J ⊆ K J\subseteq K J ⊆ K x i x_i x i
f f f 係数 a k a_k a k x 1 , … , x n x_1,\dots,x_n x 1 , … , x n 基本対称式に符号を付けたものである。補題3 （A ⊆ L A\subseteq L A ⊆ L 使う）から、a k a_k a k J J J 詳しく 閉じる
J J J 元の全体は L L L おける A A A 整閉 包 C L C_L C L イデアル J C L \sqrt{JC_L} J C L 基本対称式は x i x_i x i 積の和（定数項なし）で、各 x i x_i x i このイデアルに入るので、a k a_k a k 入る。
a k ∈ K a_k\in K a k ∈ K で、
A A A は
K K K で
整閉 なので、
補題3 を
A ⊆ K A\subseteq K A ⊆ K （
整閉 包は
A A A 自身）に
使うと a k ∈ J A = J a_k\in\sqrt{JA}=\sqrt J a k ∈ J A = J (2) の
逆向きは、最小多項式 そのものがモニックで係数が A A A 入る式だから明らか。 (2) は具体的な判定法になります。A = Z A=\mathbb{Z} A = Z x = ( 1 + 5 ) / 2 x=(1+\sqrt5)/2 x = ( 1 + 5 ) /2 最小多項式 は t 2 − t − 1 t^2-t-1 t 2 − t − 1 係数が整数なので Z \mathbb{Z} Z x = 2 / 2 x=\sqrt2/2 x = 2 /2 最小多項式 は t 2 − 1 / 2 t^2-1/2 t 2 − 1/2 Z \mathbb{Z} Z ありません。
おさらい 局所化と剰余環の素イデアル
積閉集合 S ⊆ A S\subseteq A S ⊆ A ついて、S − 1 A S^{-1}A S − 1 A 素イデアルは、S S S 交わらない A A A 素イデアルと、包含を保って1対1に対応します [2 , 命題3.11 iv), p.63] 。剰余環 A / J A/J A / J 素イデアルは、J J J 含む A A A 素イデアルと対応します（対応定理 ）。局所化の定義は図で読む代数幾何 第3回の定義10 にあります。
Spec S − 1 A ≅ { Q ∈ Spec A ∣ Q ∩ S = ∅ } S − 1 Q ↔ Q Spec A / J ≅ { Q ∈ Spec A ∣ Q ⊇ J } Q / J ↔ Q \begin{aligned} \operatorname{Spec}S^{-1}A\ &\cong\ \{Q\in\operatorname{Spec}A\mid{} \\ &\qquad Q\cap S=\varnothing\}\\ S^{-1}Q\ &\leftrightarrow\ Q\\[6pt] \operatorname{Spec}A/J\ &\cong\ \{Q\in\operatorname{Spec}A\mid{} \\ &\qquad Q\supseteq J\}\\ Q/J\ &\leftrightarrow\ Q\end{aligned} Spec S − 1 A S − 1 Q Spec A / J Q / J ≅ { Q ∈ Spec A ∣ Q ∩ S = ∅ } ↔ Q ≅ { Q ∈ Spec A ∣ Q ⊇ J } ↔ Q どちらも、環の準同型 A → S − 1 A A\to S^{-1}A A → S − 1 A A → A / J A\to A/J A → A / J 素イデアルを引き戻す対応です。S = A ∖ P S=A\setminus P S = A ∖ P 局所化 A P A_P A P 剰余環 A / P A/P A / P 並べると、次のようになります。
A P ← A → A / P Spec A P → Spec A ← Spec A / P \begin{CD} A_P @<<< A @>>> A/P \end{CD} \qquad\qquad \begin{CD} \operatorname{Spec}A_P @>>> \operatorname{Spec}A @<<< \operatorname{Spec}A/P \end{CD} A P A A / P Spec A P Spec A Spec A / P 右の図式で、左の矢印の像は P P P 含まれる素イデアル（P P P 一般化）の全体で、右の矢印の像は P P P 含む素イデアル（P P P 特殊化）の全体 V ( P ) V(P) V ( P ) 下降は局所化の側の話、上昇は剰余環 の側の話になります（命題19 (1)）。
例えば A = k [ x , y ] A=k[x,y] A = k [ x , y ] P = ( x ) P=(x) P = ( x ) A P A_P A P 素イデアルは ( 0 ) (0) ( 0 ) ( x ) (x) ( x ) 対応する2つだけです。A / P ≅ k [ y ] A/P\cong k[y] A / P ≅ k [ y ] 素イデアルは、( x ) (x) ( x ) ( x , g ( y ) ) (x,\ g(y)) ( x , g ( y )) g g g 既約多項式 ）に対応します。
もう1つ、ある素イデアルが上の環の素イデアルの引き戻しになるかどうかの判定法を用意します。
補題5 [2 , 命題3.16, p.66]
φ : A → B \varphi\colon A\to B φ : A → B 環の準同型、P P P A A A 素イデアルとする。Q ∩ A = P Q\cap A=P Q ∩ A = P なる B B B 素イデアル Q Q Q あることと、P B ∩ A = P PB\cap A=P P B ∩ A = P P B PB P B φ ( P ) \varphi(P) φ ( P ) 生成される B B B イデアル）は同値である。
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる (
⇒ \Rightarrow ⇒ )
P B ⊆ Q PB\subseteq Q P B ⊆ Q なので
P B ∩ A ⊆ Q ∩ A = P PB\cap A\subseteq Q\cap A=P P B ∩ A ⊆ Q ∩ A = P 。
逆の包含はいつも成り立つ。 (⇐ \Leftarrow ⇐ S = φ ( A ∖ P ) S=\varphi(A\setminus P) S = φ ( A ∖ P ) P B PB P B 交わらない。S − 1 ( P B ) S^{-1}(PB) S − 1 ( P B ) S − 1 B S^{-1}B S − 1 B 真のイデアルになる。詳しく 閉じる
φ ( s ) ∈ P B \varphi(s)\in PB φ ( s ) ∈ P B s ∉ P s\notin P s ∈ / P s ∈ P B ∩ A = P s\in PB\cap A=P s ∈ P B ∩ A = P 矛盾する。1 = b / φ ( s ) 1=b/\varphi(s) 1 = b / φ ( s ) b ∈ P B b\in PB b ∈ P B ある u ∈ S u\in S u ∈ S u φ ( s ) = u b ∈ P B u\varphi(s)=ub\in PB u φ ( s ) = u b ∈ P B なるが、u φ ( s ) ∈ S u\varphi(s)\in S u φ ( s ) ∈ S 同じ矛盾になる。
S − 1 ( P B ) S^{-1}(PB) S − 1 ( P B ) を
含む極大イデアルを B B B 引き戻した Q Q Q P B PB P B 含み S S S 交わらないので、Q ∩ A = P Q\cap A=P Q ∩ A = P
定理6 下降定理 [2 , 定理5.16, p.97; 1 , 定理9.4 ii), p.82; 3 , 定理3.14, p.84; 4 , 定理4.30, p.91]
A ⊆ B A\subseteq B A ⊆ B 整域 とし、A A A 整閉 、B B B A A A する。A A A 素イデアルの降鎖 P 1 ⊇ P 2 ⊇ ⋯ ⊇ P n P_1\supseteq P_2\supseteq\cdots\supseteq P_n P 1 ⊇ P 2 ⊇ ⋯ ⊇ P n B B B 素イデアルの降鎖 Q 1 ⊇ ⋯ ⊇ Q m Q_1\supseteq\cdots\supseteq Q_m Q 1 ⊇ ⋯ ⊇ Q m m < n m<n m < n Q i ∩ A = P i Q_i\cap A=P_i Q i ∩ A = P i 1 ≤ i ≤ m 1\le i\le m 1 ≤ i ≤ m なるものがあるとする。このとき Q m ⊇ Q m + 1 ⊇ ⋯ ⊇ Q n Q_m\supseteq Q_{m+1}\supseteq\cdots\supseteq Q_n Q m ⊇ Q m + 1 ⊇ ⋯ ⊇ Q n 延ばして、Q i ∩ A = P i Q_i\cap A=P_i Q i ∩ A = P i 1 ≤ i ≤ n 1\le i\le n 1 ≤ i ≤ n できる。
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる 上昇定理と
同じく、m = 1 m=1 m = 1 n = 2 n=2 n = 2 場合を示せばよい。P 1 ⊇ P 2 P_1\supseteq P_2 P 1 ⊇ P 2 Q 1 ∩ A = P 1 Q_1\cap A=P_1 Q 1 ∩ A = P 1 する。 B Q 1 B_{Q_1} B Q 1 素イデアルで A A A 引き戻しが P 2 P_2 P 2 ものを見つければよく、補題5 から、P 2 B Q 1 ∩ A = P 2 P_2B_{Q_1}\cap A=P_2 P 2 B Q 1 ∩ A = P 2 示せばよい。詳しく 閉じる
B Q 1 B_{Q_1} B Q 1 素イデアルを B B B 引き戻すと、Q 1 Q_1 Q 1 含まれる素イデアル Q 2 Q_2 Q 2 なり、A A A 引き戻しは変わらない。それが求める Q 2 Q_2 Q 2
A → B → B Q 1 Spec A ← Spec B ← Spec B Q 1 \begin{CD} A @>>> B @>>> B_{Q_1} \end{CD} \qquad\qquad \begin{CD} \operatorname{Spec}A @<<< \operatorname{Spec}B @<<< \operatorname{Spec}B_{Q_1} \end{CD} A B B Q 1 Spec A Spec B Spec B Q 1 右の図式の合成で A A A 引き戻す。Spec B Q 1 \operatorname{Spec}B_{Q_1} Spec B Q 1 像は Q 1 Q_1 Q 1 含まれる素イデアルの全体である。
⊇ \supseteq ⊇ いつも成り立つので、示すのは ⊆ \subseteq ⊆
x ∈ P 2 B Q 1 ∩ A x\in P_2B_{Q_1}\cap A x ∈ P 2 B Q 1 ∩ A 、
x ≠ 0 x\neq0 x = 0 を
とり、x = y / s x=y/s x = y / s y ∈ P 2 B y\in P_2B y ∈ P 2 B s ∈ B ∖ Q 1 s\in B\setminus Q_1 s ∈ B ∖ Q 1 書く。B B B 整域 なので y = x s y=xs y = x s y y y P 2 P_2 P 2 （補題3 、B B B A A A C = B C=B C = B 命題4 (1) から K K K 最小多項式 は次の形になる。詳しく 閉じる
y r + u 1 y r − 1 + ⋯ + u r = 0 u i ∈ P 2 = P 2 y^r+u_1y^{r-1}+\cdots+u_r=0\qquad u_i\in\sqrt{P_2}=P_2 y r + u 1 y r − 1 + ⋯ + u r = 0 u i ∈ P 2 = P 2 y r + u 1 y r − 1 + ⋯ + u r = 0 u i ∈ P 2 = P 2 \begin{gathered}y^r+u_1y^{r-1}+\cdots+u_r=0\\u_i\in\sqrt{P_2}=P_2\end{gathered} y r + u 1 y r − 1 + ⋯ + u r = 0 u i ∈ P 2 = P 2 y r + u 1 y r − 1 + ⋯ + u r = 0 u i ∈ P 2 = P 2 \begin{aligned}y^r+u_1y^{r-1}+\cdots+u_r &= 0\\[4pt]u_i\in\sqrt{P_2} &= P_2\end{aligned} y r + u 1 y r − 1 + ⋯ + u r u i ∈ P 2 = 0 = P 2 s = y ⋅ x − 1 s=y\cdot x^{-1} s = y ⋅ x − 1 x − 1 ∈ K x^{-1}\in K x − 1 ∈ K s s s 最小多項式 は s r + v 1 s r − 1 + ⋯ + v r s^r+v_1s^{r-1}+\cdots+v_r s r + v 1 s r − 1 + ⋯ + v r v i = u i / x i v_i=u_i/x^i v i = u i / x i 詳しく 閉じる
y y y 式を x r x^r x r 割ると s s s 式になる。K ( s ) = K ( y ) K(s)=K(y) K ( s ) = K ( y ) 次数は同じ r r r これが最小多項式 である。
s ∈ B s\in B s ∈ B は
A A A 上整なので、
命題4 (2) から
v i ∈ A v_i\in A v i ∈ A 。
x ∉ P 2 x\notin P_2 x ∈ / P 2 仮定すると、x i v i = u i ∈ P 2 x^iv_i=u_i\in P_2 x i v i = u i ∈ P 2 v i ∈ P 2 v_i\in P_2 v i ∈ P 2 すると s r ∈ P 2 B ⊆ P 1 B ⊆ Q 1 s^r\in P_2B\subseteq P_1B\subseteq Q_1 s r ∈ P 2 B ⊆ P 1 B ⊆ Q 1 なり、s ∈ Q 1 s\in Q_1 s ∈ Q 1 反する。よって x ∈ P 2 x\in P_2 x ∈ P 2 詳しく 閉じる
s r = − ( v 1 s r − 1 + ⋯ + v r ) s^r=-(v_1s^{r-1}+\cdots+v_r) s r = − ( v 1 s r − 1 + ⋯ + v r ) 右辺の各項は P 2 B P_2B P 2 B 入る。P 1 = Q 1 ∩ A ⊆ Q 1 P_1=Q_1\cap A\subseteq Q_1 P 1 = Q 1 ∩ A ⊆ Q 1 P 1 B ⊆ Q 1 P_1B\subseteq Q_1 P 1 B ⊆ Q 1
定理の主張を図式にすると、次のようになります。上の行が B B B 鎖、下の行が A A A 鎖で、Q m Q_m Q m 与えられていて、Q m + 1 , … , Q n Q_{m+1},\dots,Q_n Q m + 1 , … , Q n 作ります。
Q m ⊇ ∃ Q m + 1 ⊇ ⋯ ⊇ ∃ Q n ∩ A ↓ ∩ A ↓ ↓ ∩ A P m ⊇ P m + 1 ⊇ ⋯ ⊇ P n \begin{CD} Q_m @. \supseteq @. \exists\,Q_{m+1} @. \supseteq @. \cdots @. \supseteq @. \exists\,Q_n \\ @V{\cap A}VV @. @V{\cap A}VV @. @. @. @VV{\cap A}V \\ P_m @. \supseteq @. P_{m+1} @. \supseteq @. \cdots @. \supseteq @. P_n \end{CD} Q m ∩ A ↓ ⏐ P m ⊇ ⊇ ∃ Q m + 1 ∩ A ↓ ⏐ P m + 1 ⊇ ⊇ ⋯ ⋯ ⊇ ⊇ ∃ Q n ↓ ⏐ ∩ A P n
もう少し詳しく 共役を使うもう1つの証明
松村は、第2回の定理18 （上にある点は共役で移りあう）を使って下降定理を証明しています [1 , 定理9.4 ii), p.82–83] 。ここでは B B B 商体 が K K K 有限次拡大の場合に、その流れを書きます（松村は無限次の場合も扱っています）。
B B B 商体 を含む K K K 有限次正規拡大 L L L とり、C C C L L L おける A A A 整閉 包とします。C ⊇ B C\supseteq B C ⊇ B C C C B B B A A A P ⊆ P ′ P\subseteq P' P ⊆ P ′ P ′ P' P ′ 上にある B B B Q ′ Q' Q ′ 与えられたとします。
まず、横たわりで Q ′ Q' Q ′ 上にある C C C 素イデアル R ′ R' R ′ とります。次に P P P 上にある C C C 素イデアル R R R とり、上昇定理で R ⊆ R 1 R\subseteq R_1 R ⊆ R 1 R 1 ∩ A = P ′ R_1\cap A=P' R 1 ∩ A = P ′ 延ばします。
R 1 R_1 R 1 R ′ R' R ′ どちらも P ′ P' P ′ 上にあるので、σ ( R 1 ) = R ′ \sigma(R_1)=R' σ ( R 1 ) = R ′ なる σ ∈ Aut ( L / K ) \sigma\in\operatorname{Aut}(L/K) σ ∈ Aut ( L / K ) あります。すると σ ( R ) ⊆ R ′ \sigma(R)\subseteq R' σ ( R ) ⊆ R ′ σ ( R ) ∩ A = P \sigma(R)\cap A=P σ ( R ) ∩ A = P Q = σ ( R ) ∩ B Q=\sigma(R)\cap B Q = σ ( R ) ∩ B Q ⊆ R ′ ∩ B = Q ′ Q\subseteq R'\cap B=Q' Q ⊆ R ′ ∩ B = Q ′ Q ∩ A = P Q\cap A=P Q ∩ A = P なります。
下降定理が実際にどう働くかを、平面を折り返す写像で見ます。
例7 平面の折り返し
k k k 標数 が2でない体、B = k [ u , y ] B=k[u,y] B = k [ u , y ] A = k [ x , y ] ⊆ B A=k[x,y]\subseteq B A = k [ x , y ] ⊆ B x = u 2 x=u^2 x = u 2 する。A A A 多項式環なので一意分解整域 で、整閉 である。B = A + A u B=A+Au B = A + A u A A A
(1) Q ′ = ( u − 1 , y ) Q'=(u-1,\ y) Q ′ = ( u − 1 , y ) P ′ = ( x − 1 , y ) P'=(x-1,\ y) P ′ = ( x − 1 , y ) 上にある。P = ( x − 1 ) ⊆ P ′ P=(x-1)\subseteq P' P = ( x − 1 ) ⊆ P ′ 上にある B B B 素イデアルは ( u − 1 ) (u-1) ( u − 1 ) ( u + 1 ) (u+1) ( u + 1 ) 2つで、Q ′ Q' Q ′ 含まれるのは ( u − 1 ) (u-1) ( u − 1 ) P = ( y ) ⊆ P ′ P=(y)\subseteq P' P = ( y ) ⊆ P ′ 上にある B B B 素イデアルは ( y ) (y) ( y ) ( y ) ⊆ Q ′ (y)\subseteq Q' ( y ) ⊆ Q ′
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる (1)
Q ′ ∩ A Q'\cap A Q ′ ∩ A は
x − 1 = ( u − 1 ) ( u + 1 ) x-1=(u-1)(u+1) x − 1 = ( u − 1 ) ( u + 1 ) と
y y y を
含み、( x − 1 , y ) (x-1,y) ( x − 1 , y ) A A A 極大イデアルなので、Q ′ ∩ A = ( x − 1 , y ) Q'\cap A=(x-1,y) Q ′ ∩ A = ( x − 1 , y ) (2)
f ( x , y ) ∈ ( u ∓ 1 ) f(x,y)\in(u\mp1) f ( x , y ) ∈ ( u ∓ 1 ) は
f ( u 2 , y ) f(u^2,y) f ( u 2 , y ) が
u = ± 1 u=\pm1 u = ± 1 で
0になること、つまり f ( 1 , y ) = 0 f(1,y)=0 f ( 1 , y ) = 0 同値で、これは ( x − 1 ) ∣ f (x-1)\mid f ( x − 1 ) ∣ f 同値である。よって ( u ∓ 1 ) ∩ A = ( x − 1 ) (u\mp1)\cap A=(x-1) ( u ∓ 1 ) ∩ A = ( x − 1 ) 逆に P = ( x − 1 ) P=(x-1) P = ( x − 1 ) 上の Q Q Q ( u − 1 ) ( u + 1 ) = x − 1 (u-1)(u+1)=x-1 ( u − 1 ) ( u + 1 ) = x − 1 含むので、u − 1 u-1 u − 1 u + 1 u+1 u + 1 含む。Q Q Q それより真に大きいと Q ∩ A Q\cap A Q ∩ A ( x − 1 ) (x-1) ( x − 1 ) 真に大きくなるので、Q = ( u ∓ 1 ) Q=(u\mp1) Q = ( u ∓ 1 ) 詳しく 閉じる
Q ⊋ ( u − 1 ) Q\supsetneq(u-1) Q ⊋ ( u − 1 ) 比較不能性（第2回の系9 ）から Q ∩ A ⊋ ( u − 1 ) ∩ A = ( x − 1 ) Q\cap A\supsetneq(u-1)\cap A=(x-1) Q ∩ A ⊋ ( u − 1 ) ∩ A = ( x − 1 ) なる。( u + 1 ) (u+1) ( u + 1 ) 同じ。
u + 1 u+1 u + 1 は
点 ( u , y ) = ( 1 , 0 ) (u,y)=(1,0) ( u , y ) = ( 1 , 0 ) 値2をとるので Q ′ Q' Q ′ 入らない。よって ( u + 1 ) ⊈ Q ′ (u+1)\not\subseteq Q' ( u + 1 ) ⊆ Q ′ ( u − 1 ) ⊆ Q ′ (u-1)\subseteq Q' ( u − 1 ) ⊆ Q ′ (3)
f ( u 2 , 0 ) = 0 f(u^2,0)=0 f ( u 2 , 0 ) = 0 と
f ( x , 0 ) = 0 f(x,0)=0 f ( x , 0 ) = 0 は
同値なので ( y ) ∩ A = ( y ) (y)\cap A=(y) ( y ) ∩ A = ( y ) P = ( y ) P=(y) P = ( y ) 上の Q Q Q y y y 含み、( y ) (y) ( y ) P P P 上にあるので、比較不能性から Q = ( y ) Q=(y) Q = ( y ) 点 ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) y = 0 y=0 y = 0 ( y ) ⊆ Q ′ (y)\subseteq Q' ( y ) ⊆ Q ′ (2) で下降定理が保証しているのは、P P P 上の2つの素イデアルのうち、Q ′ Q' Q ′ 含まれるものが少なくとも1つあることです。鎖で書くと、A A A 鎖 ( x − 1 , y ) ⊋ ( x − 1 ) ⊋ ( 0 ) (x-1,y)\supsetneq(x-1)\supsetneq(0) ( x − 1 , y ) ⊋ ( x − 1 ) ⊋ ( 0 ) Q ′ Q' Q ′ 始まる B B B 鎖 ( u − 1 , y ) ⊋ ( u − 1 ) ⊋ ( 0 ) (u-1,y)\supsetneq(u-1)\supsetneq(0) ( u − 1 , y ) ⊋ ( u − 1 ) ⊋ ( 0 ) 持ち上がります。
( u − 1 , y ) ⊋ ( u − 1 ) ⊋ ( 0 ) ∩ A ↓ ∩ A ↓ ↓ ∩ A ( x − 1 , y ) ⊋ ( x − 1 ) ⊋ ( 0 ) \begin{CD} (u-1,\ y) @. \supsetneq @. (u-1) @. \supsetneq @. (0) \\ @V{\cap A}VV @. @V{\cap A}VV @. @VV{\cap A}V \\ (x-1,\ y) @. \supsetneq @. (x-1) @. \supsetneq @. (0) \end{CD} ( u − 1 , y ) ∩ A ↓ ⏐ ( x − 1 , y ) ⊋ ⊋ ( u − 1 ) ∩ A ↓ ⏐ ( x − 1 ) ⊋ ⊋ ( 0 ) ↓ ⏐ ∩ A ( 0 ) 真ん中の ( x − 1 ) (x-1) ( x − 1 ) 上には ( u + 1 ) (u+1) ( u + 1 ) ありますが、( u + 1 ) (u+1) ( u + 1 ) Q ′ = ( u − 1 , y ) Q'=(u-1,y) Q ′ = ( u − 1 , y ) 含まれないので、この鎖には使えません。
Spec k [ u , y ] \operatorname{Spec}k[u,y] Spec k [ u , y ] Spec k [ x , y ] \operatorname{Spec}k[x,y] Spec k [ x , y ] Q ′ Q' Q ′ P ′ P' P ′ u = 1 u=1 u = 1 u = − 1 u=-1 u = − 1 x = 1 x=1 x = 1 y = 0 y=0 y = 0 このブラウザでは立体の図を表示できませんでした（WebGLが必要です）。
折り返し 直線 x=1 の上 x 軸の上
斜め 真上 正面 真横
ドラッグで回せます 青い面が Spec k [ u , y ] \operatorname{Spec}k[u,y] Spec k [ u , y ] 実数の点で、点 ( u , y ) (u,y) ( u , y ) 横の位置 ( u 2 , y ) (u^2,y) ( u 2 , y ) u u u 大きいほど高くなるように置いて描いています。下の灰色の面が Spec k [ x , y ] \operatorname{Spec}k[x,y] Spec k [ x , y ] 「真上」から見ると、写像 ( u , y ) ↦ ( u 2 , y ) (u,y)\mapsto(u^2,y) ( u , y ) ↦ ( u 2 , y ) そのまま見えます。「正面」から見ると放物線 x = u 2 x=u^2 x = u 2 紫の折り目 u = 0 u=0 u = 0 はさんで、u > 0 u>0 u > 0 u < 0 u<0 u < 0 2枚が同じ点の上に重なっています。
緑の直線 x = 1 x=1 x = 1 P = ( x − 1 ) P=(x-1) P = ( x − 1 ) 上には、オレンジの2本 u = 1 u=1 u = 1 u = − 1 u=-1 u = − 1 あります。「真上」から見ると2本は緑の直線に重なり、「正面」から見ると2点に分かれます。黒い点 Q ′ = ( u − 1 , y ) Q'=(u-1,\,y) Q ′ = ( u − 1 , y ) P ′ = ( x − 1 , y ) P'=(x-1,\,y) P ′ = ( x − 1 , y ) 上の点です。下降定理が選ぶのは、Q ′ Q' Q ′ 通る u = 1 u=1 u = 1 ほうです。
x x x （P = ( y ) P=(y) P = ( y ) 上にあるのは、放物線 u ↦ ( u 2 , 0 ) u\mapsto(u^2,0) u ↦ ( u 2 , 0 ) 1本だけです。下降定理のとおり、この1本は Q ′ Q' Q ′ 通っています。
図3 具体例 例7 の折り返し ( u , y ) ↦ ( u 2 , y ) (u,y)\mapsto(u^2,y) ( u , y ) ↦ ( u 2 , y ) Spec k [ u , y ] \operatorname{Spec}k[u,y] Spec k [ u , y ] Spec k [ x , y ] \operatorname{Spec}k[x,y] Spec k [ x , y ] x = 1 x=1 x = 1 x = u 2 x=u^2 x = u 2 Q ′ Q' Q ′
整閉でないと下降定理は崩れる
A A A 整閉 でない例を作ります。ただし、1次元では例になりません。A ⊆ B A\subseteq B A ⊆ B どちらも整域 で dim A = 1 \dim A=1 dim A = 1 P 1 ⊋ P 2 P_1\supsetneq P_2 P 1 ⊋ P 2 とき P 2 = ( 0 ) P_2=(0) P 2 = ( 0 ) Q 2 = ( 0 ) Q_2=(0) Q 2 = ( 0 ) とればよいからです。
たとえば結節点のある曲線の座標環 k [ t 2 − 1 , t 3 − t ] ⊆ k [ t ] k[t^2-1,\,t^3-t]\subseteq k[t] k [ t 2 − 1 , t 3 − t ] ⊆ k [ t ] 整閉 ではありませんが、下降定理は成り立ちます。そこで、この曲線に直線を掛けて2次元にします。
例8 結節点の柱
k k k 標数 が2でない体、B = k [ t , s ] B=k[t,s] B = k [ t , s ] A = k [ x , y , z ] ⊆ B A=k[x,y,z]\subseteq B A = k [ x , y , z ] ⊆ B x = t 2 − 1 x=t^2-1 x = t 2 − 1 y = t 3 − t y=t^3-t y = t 3 − t z = s z=s z = s する。
(1) 多項式環 k [ X , Y , Z ] k[X,Y,Z] k [ X , Y , Z ] ついて A ≅ k [ X , Y , Z ] / ( Y 2 − X 2 ( X + 1 ) ) A\cong k[X,Y,Z]/(Y^2-X^2(X+1)) A ≅ k [ X , Y , Z ] / ( Y 2 − X 2 ( X + 1 )) B = A [ t ] B=A[t] B = A [ t ] A A A A A A 整閉 でない。Q 1 = ( t − 1 , s ) Q_1=(t-1,\ s) Q 1 = ( t − 1 , s ) ( t + 1 , s ) (t+1,\ s) ( t + 1 , s ) どちらも A A A 極大イデアル P 1 = ( x , y , z ) P_1=(x,y,z) P 1 = ( x , y , z ) 上にある。L = ( s − t − 1 ) L=(s-t-1) L = ( s − t − 1 ) P 2 = L ∩ A P_2=L\cap A P 2 = L ∩ A すると P 2 ⊊ P 1 P_2\subsetneq P_1 P 2 ⊊ P 1 P 2 P_2 P 2 上にある B B B 素イデアルは L L L L ⊈ Q 1 L\not\subseteq Q_1 L ⊆ Q 1 Q 1 Q_1 Q 1 含まれ P 2 P_2 P 2 上にある素イデアルはない。
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる (1)
t 2 = x + 1 t^2=x+1 t 2 = x + 1 なので
t t t は
A A A 上整で、
第2回の系5 から
B = A [ t ] B=A[t] B = A [ t ] は
A A A 上整。
A A A の
元は点 ( 1 , s ) (1,s) ( 1 , s ) ( − 1 , s ) (-1,s) ( − 1 , s ) 同じ値をとるが、t t t 1 1 1 − 1 -1 − 1 とる。よって t = y / x t=y/x t = y / x 商体 に入り整だが A A A 入らず、A A A 整閉 でない。 環の同型は、X ↦ x X\mapsto x X ↦ x Y ↦ y Y\mapsto y Y ↦ y Z ↦ s Z\mapsto s Z ↦ s 定まる k [ X , Y , Z ] → B k[X,Y,Z]\to B k [ X , Y , Z ] → B 核が ( Y 2 − X 2 ( X + 1 ) ) (Y^2-X^2(X+1)) ( Y 2 − X 2 ( X + 1 )) ことから。詳しく 閉じる
x + 1 = t 2 x+1=t^2 x + 1 = t 2 Y 2 − X 2 ( X + 1 ) Y^2-X^2(X+1) Y 2 − X 2 ( X + 1 ) t 2 ( t 2 − 1 ) 2 − ( t 2 − 1 ) 2 t 2 = 0 t^2(t^2-1)^2-(t^2-1)^2t^2=0 t 2 ( t 2 − 1 ) 2 − ( t 2 − 1 ) 2 t 2 = 0 写る。逆に、核の元を Y 2 − X 2 ( X + 1 ) Y^2-X^2(X+1) Y 2 − X 2 ( X + 1 ) 割った余りを F 0 ( X , Z ) + Y F 1 ( X , Z ) F_0(X,Z)+YF_1(X,Z) F 0 ( X , Z ) + Y F 1 ( X , Z ) すると、像 F 0 ( t 2 − 1 , s ) + t ( t 2 − 1 ) F 1 ( t 2 − 1 , s ) F_0(t^2-1,s)+t(t^2-1)F_1(t^2-1,s) F 0 ( t 2 − 1 , s ) + t ( t 2 − 1 ) F 1 ( t 2 − 1 , s ) t t t 偶数次の部分と奇数次の部分がそれぞれ0になる。t 2 − 1 t^2-1 t 2 − 1 s s s 代数的に独立 なので F 0 = F 1 = 0 F_0=F_1=0 F 0 = F 1 = 0
(2)
x , y , z x,y,z x , y , z は
点 ( ± 1 , 0 ) (\pm1,0) ( ± 1 , 0 ) 0なので ( t ∓ 1 , s ) ∩ A ⊇ ( x , y , z ) (t\mp1,s)\cap A\supseteq(x,y,z) ( t ∓ 1 , s ) ∩ A ⊇ ( x , y , z ) A / ( x , y , z ) = k A/(x,y,z)=k A / ( x , y , z ) = k ( x , y , z ) (x,y,z) ( x , y , z ) 極大イデアルで、等号が成り立つ。 (3)
P 2 ⊆ P 1 P_2\subseteq P_1 P 2 ⊆ P 1 ：
f ∈ L ∩ A f\in L\cap A f ∈ L ∩ A は
直線 s = t + 1 s=t+1 s = t + 1 0で、点 ( − 1 , 0 ) (-1,0) ( − 1 , 0 ) 通るので、その点の値 f ( − 1 , 0 ) f(-1,0) f ( − 1 , 0 ) 0。A A A 元の値は ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) ( − 1 , 0 ) (-1,0) ( − 1 , 0 ) 等しいので f ∈ Q 1 f\in Q_1 f ∈ Q 1 z = s ∉ L z=s\notin L z = s ∈ / L P 2 ≠ P 1 P_2\neq P_1 P 2 = P 1 A A A 2つの元を B B B 因数分解すると、どちらも s − t − 1 s-t-1 s − t − 1 割り切れる。詳しく 閉じる
g 1 = x − z 2 + 2 z = t 2 − ( s − 1 ) 2 = − ( s − t − 1 ) h 1 h 1 = t + s − 1 g 2 = y − ( z − 1 ) ( z 2 − 2 z ) = − ( s − t − 1 ) h 2 h 2 = t 2 + t ( s − 1 ) + ( s − 1 ) 2 − 1 \begin{aligned} g_1&=x-z^2+2z=t^2-(s-1)^2 \\ &=-(s-t-1)\,h_1\\ h_1&=t+s-1\\[4pt] g_2&=y-(z-1)(z^2-2z) \\ &=-(s-t-1)\,h_2\\ h_2&=t^2+t(s-1)+(s-1)^2-1\end{aligned} g 1 h 1 g 2 h 2 = x − z 2 + 2 z = t 2 − ( s − 1 ) 2 = − ( s − t − 1 ) h 1 = t + s − 1 = y − ( z − 1 ) ( z 2 − 2 z ) = − ( s − t − 1 ) h 2 = t 2 + t ( s − 1 ) + ( s − 1 ) 2 − 1 2つめは w 3 − w w^3-w w 3 − w 差 ( t 3 − t ) − ( r 3 − r ) = ( t − r ) ( t 2 + t r + r 2 − 1 ) (t^3-t)-(r^3-r)=(t-r)(t^2+tr+r^2-1) ( t 3 − t ) − ( r 3 − r ) = ( t − r ) ( t 2 + t r + r 2 − 1 ) r = s − 1 r=s-1 r = s − 1 入れたもの。よって g 1 , g 2 ∈ L ∩ A = P 2 g_1,g_2\in L\cap A=P_2 g 1 , g 2 ∈ L ∩ A = P 2
Q ∩ A = P 2 Q\cap A=P_2 Q ∩ A = P 2 s − t − 1 ∉ Q s-t-1\notin Q s − t − 1 ∈ / Q 仮定すると、Q Q Q ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) ( − 1 , 2 ) (-1,2) ( − 1 , 2 ) 極大イデアルになり、P 2 P_2 P 2 極大でないことに反する。詳しく 閉じる
g 1 , g 2 ∈ Q g_1,g_2\in Q g 1 , g 2 ∈ Q h 1 , h 2 ∈ Q h_1,h_2\in Q h 1 , h 2 ∈ Q h 1 = 0 h_1=0 h 1 = 0 s − 1 = − t s-1=-t s − 1 = − t h 2 ≡ t 2 − t 2 + t 2 − 1 = ( t − 1 ) ( t + 1 ) ( m o d h 1 ) h_2\equiv t^2-t^2+t^2-1=(t-1)(t+1)\pmod{h_1} h 2 ≡ t 2 − t 2 + t 2 − 1 = ( t − 1 ) ( t + 1 ) ( mod h 1 ) よって t − 1 t-1 t − 1 t + 1 t+1 t + 1 Q Q Q 入る。
t − 1 ∈ Q t-1\in Q t − 1 ∈ Q s = h 1 − ( t − 1 ) ∈ Q s=h_1-(t-1)\in Q s = h 1 − ( t − 1 ) ∈ Q Q = ( t − 1 , s ) Q=(t-1,s) Q = ( t − 1 , s ) t + 1 ∈ Q t+1\in Q t + 1 ∈ Q s − 2 = h 1 − ( t + 1 ) ∈ Q s-2=h_1-(t+1)\in Q s − 2 = h 1 − ( t + 1 ) ∈ Q Q = ( t + 1 , s − 2 ) Q=(t+1,s-2) Q = ( t + 1 , s − 2 ) どちらも極大イデアルで、引き戻しは A A A 極大イデアルになる（第2回の系8 ）。
よって
s − t − 1 ∈ Q s-t-1\in Q s − t − 1 ∈ Q 、
つまり Q ⊇ L Q\supseteq L Q ⊇ L Q Q Q L L L どちらも P 2 P_2 P 2 上にあるので、比較不能性から Q = L Q=L Q = L 最後に、s − t − 1 s-t-1 s − t − 1 ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) 値 − 2 -2 − 2 とるので L ⊈ Q 1 L\not\subseteq Q_1 L ⊆ Q 1 A A A 鎖 P 1 ⊋ P 2 P_1\supsetneq P_2 P 1 ⊋ P 2 P 1 P_1 P 1 上の Q 1 Q_1 Q 1 与えられても、Q 1 Q_1 Q 1 下へ延ばせません。下降定理の結論が成り立たない例です。上昇定理のほうは、整拡大なので成り立ちます。
L ⊈ Q 1 ∩ A ↓ ↓ ∩ A P 2 ⊊ P 1 \begin{CD} L @. \not\subseteq @. Q_1 \\ @V{\cap A}VV @. @VV{\cap A}V \\ P_2 @. \subsetneq @. P_1 \end{CD} L ∩ A ↓ ⏐ P 2 ⊆ ⊊ Q 1 ↓ ⏐ ∩ A P 1 P 2 P_2 P 2 上にある素イデアルは L L L それが Q 1 Q_1 Q 1 含まれないので、左上に入れられる素イデアルがありません。もう1つの点 ( t + 1 , s ) (t+1,s) ( t + 1 , s ) 始めれば、L ⊆ ( t + 1 , s ) L\subseteq(t+1,s) L ⊆ ( t + 1 , s ) 鎖は延びます。
図形で言うと、A A A 曲面 S : y 2 = x 2 ( x + 1 ) S\colon y^2=x^2(x+1) S : y 2 = x 2 ( x + 1 ) 座標環で、S S S 結節点のある曲線を z z z 向に伸ばした柱です。平面 ( t , s ) (t,s) ( t , s ) 2本の直線 t = 1 t=1 t = 1 t = − 1 t=-1 t = − 1 S S S z z z 貼り合わされています。
O O O C C C z z z y 2 = x 2 ( x + 1 ) y^2=x^2(x+1) y 2 = x 2 ( x + 1 ) このブラウザでは立体の図を表示できませんでした（WebGLが必要です）。
曲面 S 曲線 C
斜め 真上 青い面に沿って 正面
ドラッグで回せます 曲面 S : y 2 = x 2 ( x + 1 ) S\colon y^2=x^2(x+1) S : y 2 = x 2 ( x + 1 ) 実数の点です。「真上」から見ると結節点のある曲線で、S S S それを z z z 向に伸ばした柱です。平面 ( t , s ) (t,s) ( t , s ) 点を ( t 2 − 1 , t 3 − t , s ) (t^2-1,\ t^3-t,\ s) ( t 2 − 1 , t 3 − t , s ) 写すと S S S なり、t < 0 t<0 t < 0 部分が青、t > 0 t>0 t > 0 部分が緑です。直線 t = − 1 t=-1 t = − 1 t = 1 t=1 t = 1 どちらも黒い z z z 写り、そこで2枚の面が交わります。
オレンジの曲線 C C C 平面の直線 s = t + 1 s=t+1 s = t + 1 像です。C C C 原点 O O O 青い面の中を通って横切ります。「青い面に沿って」から見ると、O O O 近くの青い面が1本の線に縮み、C C C その線に重なります。緑の面の点 ( t , s ) = ( 1 , 0 ) (t,s)=(1,0) ( t , s ) = ( 1 , 0 ) O O O 写りますが、C C C 緑の面へ持ち上げることはできません。
図4 具体例 例8 の曲面 S S S C C C L L L V ( P 2 ) V(P_2) V ( P 2 ) y 2 = x 2 ( x + 1 ) y^2=x^2(x+1) y 2 = x 2 ( x + 1 ) z z z C C C O O O
L : s = t + 1 L\colon s=t+1 L : s = t + 1 Q 1 = ( t − 1 , s ) Q_1=(t-1,\,s) Q 1 = ( t − 1 , s ) どちらの点も
S S S の原点
O O O に写る。
L L L は
( − 1 , 0 ) (-1,0) ( − 1 , 0 ) を通り、
Q 1 Q_1 Q 1 を通らない
図5 具体例 正規化の平面 ( t , s ) (t,s) ( t , s ) Q 1 = ( 1 , 0 ) Q_1=(1,0) Q 1 = ( 1 , 0 ) ( − 1 , 0 ) (-1,0) ( − 1 , 0 ) O O O P 1 P_1 P 1 C C C L L L ( − 1 , 0 ) (-1,0) ( − 1 , 0 ) Q 1 Q_1 Q 1 ( 1 , 2 ) (1,2) ( 1 , 2 ) C C C z z z ( 0 , 0 , 2 ) (0,0,2) ( 0 , 0 , 2 )
同じしくみの、もっと簡単な例もあります。平面の2点を貼り合わせた環です。
例9 2点を貼り合わせた平面 [3 , 例3.17, p.86]
k k k 体、B = k [ X , Y ] B=k[X,Y] B = k [ X , Y ] A = { f ∈ B ∣ f ( 0 , 0 ) = f ( 1 , 0 ) } A=\{f\in B\mid f(0,0)=f(1,0)\} A = { f ∈ B ∣ f ( 0 , 0 ) = f ( 1 , 0 )} する。B B B A A A Q 1 = ( X − 1 , Y ) Q_1=(X-1,\ Y) Q 1 = ( X − 1 , Y ) P 1 = Q 1 ∩ A P_1=Q_1\cap A P 1 = Q 1 ∩ A P 2 = X B ∩ A P_2=XB\cap A P 2 = X B ∩ A ついて P 2 ⊆ P 1 P_2\subseteq P_1 P 2 ⊆ P 1 Q ⊆ Q 1 Q\subseteq Q_1 Q ⊆ Q 1 Q ∩ A = P 2 Q\cap A=P_2 Q ∩ A = P 2 なる Q Q Q ない。
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる Y Y Y と
X 2 − X X^2-X X 2 − X は
A A A に
入る。X X X T 2 − T − ( X 2 − X ) = 0 T^2-T-(X^2-X)=0 T 2 − T − ( X 2 − X ) = 0 みたすので、B = A [ X ] B=A[X] B = A [ X ] A A A f = X g ∈ A f=Xg\in A f = X g ∈ A なら
f ( 0 , 0 ) = 0 f(0,0)=0 f ( 0 , 0 ) = 0 なので
f ( 1 , 0 ) = 0 f(1,0)=0 f ( 1 , 0 ) = 0 、
つまり f ∈ Q 1 f\in Q_1 f ∈ Q 1 よって P 2 ⊆ P 1 P_2\subseteq P_1 P 2 ⊆ P 1 Q ⊆ Q 1 Q\subseteq Q_1 Q ⊆ Q 1 Q ∩ A = P 2 Q\cap A=P_2 Q ∩ A = P 2 すると、X ( X − 1 ) X(X-1) X ( X − 1 ) X Y XY X Y P 2 P_2 P 2 入るので Q Q Q 入る。X ∉ Q 1 X\notin Q_1 X ∈ / Q 1 X − 1 , Y ∈ Q X-1,\ Y\in Q X − 1 , Y ∈ Q なり Q = Q 1 Q=Q_1 Q = Q 1 詳しく 閉じる
X ( X − 1 ) = X 2 − X X(X-1)=X^2-X X ( X − 1 ) = X 2 − X X Y XY X Y ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) ともに値0なので A A A 入り、X B XB X B 入る。X X X ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) 値1なので Q 1 Q_1 Q 1 入らず、Q Q Q 入らない。Q Q Q 素イデアルなので X − 1 ∈ Q X-1\in Q X − 1 ∈ Q Y ∈ Q Y\in Q Y ∈ Q
すると
Q ∩ A = P 1 Q\cap A=P_1 Q ∩ A = P 1 だが、
Y ∈ P 1 Y\in P_1 Y ∈ P 1 、
Y ∉ X B Y\notin XB Y ∈ / X B なので
P 1 ≠ P 2 P_1\neq P_2 P 1 = P 2 。
矛盾。 後藤・渡辺の記号では大きい環が A A A 小さい環が R R R ここでは文字を入れ替えています。直線 X = 0 X=0 X = 0 貼り合わせた点を ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) 側から通り、( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) 側を通りません。結節点の柱で、C C C 青い面だけを通っていたのと同じしくみです。
下降定理と高さ
前回は、整拡大では高さが増えないこと ht Q ≤ ht ( Q ∩ A ) \operatorname{ht}Q\le\operatorname{ht}(Q\cap A) ht Q ≤ ht ( Q ∩ A ) 示しました。下降定理があると、逆向きの不等式が出ます。
おさらい 高さと局所化の次元
素イデアル P P P 高さ ht P \operatorname{ht}P ht P P P P 終わる素イデアルの鎖の長さ r r r 上限です（第1回の定義9 ）。局所化の素イデアルの対応から、ht P = dim A P \operatorname{ht}P=\dim A_P ht P = dim A P （第1回の命題10 (1)）。
P 0 ⊊ P 1 ⊊ ⋯ ⊊ P r = P ht P = dim A P P_0\subsetneq P_1\subsetneq\cdots\subsetneq P_r=P\qquad \operatorname{ht}P=\dim A_P P 0 ⊊ P 1 ⊊ ⋯ ⊊ P r = P ht P = dim A P P 0 ⊊ P 1 ⊊ ⋯ ⊊ P r = P ht P = dim A P \begin{gathered}P_0\subsetneq P_1\subsetneq\cdots\subsetneq P_r=P\\\operatorname{ht}P=\dim A_P\end{gathered} P 0 ⊊ P 1 ⊊ ⋯ ⊊ P r = P ht P = dim A P P 0 ⊊ P 1 ⊊ ⋯ ⊊ P r = P ht P = dim A P \begin{aligned}P_0\subsetneq P_1\subsetneq\cdots\subsetneq P_r &= P\\[4pt]\operatorname{ht}P &= \dim A_P\end{aligned} P 0 ⊊ P 1 ⊊ ⋯ ⊊ P r ht P = P = dim A P 例えば k [ x , y ] k[x,y] k [ x , y ] ( 0 ) ⊊ ( y ) ⊊ ( x , y ) (0)\subsetneq(y)\subsetneq(x,y) ( 0 ) ⊊ ( y ) ⊊ ( x , y ) 最長の鎖の1つで、高さは次のとおりです。Spec の図では、点から上へ（一般化の側へ）何段あるかが高さです。
ht ( 0 ) = 0 ht ( y ) = 1 ht ( x , y ) = 2 \operatorname{ht}(0)=0\qquad \operatorname{ht}(y)=1\qquad \operatorname{ht}(x,y)=2 ht ( 0 ) = 0 ht ( y ) = 1 ht ( x , y ) = 2 ht ( 0 ) = 0 ht ( y ) = 1 ht ( x , y ) = 2 \begin{gathered}\operatorname{ht}(0)=0\\\operatorname{ht}(y)=1\\\operatorname{ht}(x,y)=2\end{gathered} ht ( 0 ) = 0 ht ( y ) = 1 ht ( x , y ) = 2 ht ( 0 ) = 0 ht ( y ) = 1 ht ( x , y ) = 2 \begin{aligned}\operatorname{ht}(0) &= 0\\[4pt]\operatorname{ht}(y) &= 1\\[4pt]\operatorname{ht}(x,y) &= 2\end{aligned} ht ( 0 ) ht ( y ) ht ( x , y ) = 0 = 1 = 2 下降性質の図式を1段ずつ繰り返すと、Q ∩ A Q\cap A Q ∩ A 終わる A A A 鎖が、Q Q Q 終わる B B B 鎖に持ち上がります。次の命題の (1) はこのことです。
命題10 下降定理と高さ [1 , 問題9.8, 問題9.9, p.85]
(1) 環の準同型 φ : A → B \varphi\colon A\to B φ : A → B 下降性質をもてば、B B B 素イデアル Q Q Q ついて ht Q ≥ ht ( Q ∩ A ) \operatorname{ht}Q\ge\operatorname{ht}(Q\cap A) ht Q ≥ ht ( Q ∩ A ) A ⊆ B A\subseteq B A ⊆ B 整域 とし、A A A 整閉 、B B B A A A する。B B B 素イデアル Q Q Q ついて ht Q = ht ( Q ∩ A ) \operatorname{ht}Q=\operatorname{ht}(Q\cap A) ht Q = ht ( Q ∩ A )
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる (1) Q ∩ A Q\cap A Q ∩ A 終わる鎖 P 0 ⊊ ⋯ ⊊ P r = Q ∩ A P_0\subsetneq\cdots\subsetneq P_r=Q\cap A P 0 ⊊ ⋯ ⊊ P r = Q ∩ A とり、Q r = Q Q_r=Q Q r = Q 下降性質で Q r − 1 , Q r − 2 , … , Q 0 Q_{r-1},Q_{r-2},\dots,Q_0 Q r − 1 , Q r − 2 , … , Q 0 順にとる。詳しく 閉じる
Q i − 1 ⊆ Q i Q_{i-1}\subseteq Q_i Q i − 1 ⊆ Q i Q i − 1 ∩ A = P i − 1 Q_{i-1}\cap A=P_{i-1} Q i − 1 ∩ A = P i − 1 なるようにとる。引き戻しが互いに異なるので Q 0 ⊊ ⋯ ⊊ Q r Q_0\subsetneq\cdots\subsetneq Q_r Q 0 ⊊ ⋯ ⊊ Q r 真の鎖で、ht Q ≥ r \operatorname{ht}Q\ge r ht Q ≥ r r r r 任意なので ht Q ≥ ht ( Q ∩ A ) \operatorname{ht}Q\ge\operatorname{ht}(Q\cap A) ht Q ≥ ht ( Q ∩ A )
(2)
≥ \ge ≥ は
下降定理（定理6 ）と (1) から、≤ \le ≤ 第2回の系13 (2) から。 例7 では、Q ′ = ( u − 1 , y ) Q'=(u-1,y) Q ′ = ( u − 1 , y ) P ′ = ( x − 1 , y ) P'=(x-1,y) P ′ = ( x − 1 , y ) 高さはどちらも2、( u − 1 ) (u-1) ( u − 1 ) ( x − 1 ) (x-1) ( x − 1 ) どちらも1です。(2) のとおりです。
(2) の局所化の形が、アティヤ・マクドナルドが第11章で使う補題です。
補題11 [2 , 補題11.26, p.193; 4 , 補題7.24, p.134]
A ⊆ B A\subseteq B A ⊆ B 整域 とし、A A A 整閉 、B B B A A A する。B B B 極大イデアル M M M ついて、M ∩ A M\cap A M ∩ A A A A 極大イデアルで、
dim B M = dim A M ∩ A \dim B_M=\dim A_{M\cap A} dim B M = dim A M ∩ A dim B M = dim A M ∩ A \begin{aligned}\dim B_M &= \dim A_{M\cap A}\end{aligned} dim B M = dim A M ∩ A
証明 開く 閉じる M ∩ A M\cap A M ∩ A が
極大であることは、第2回の系8 から。 dim B M = ht M \dim B_M=\operatorname{ht}M dim B M = ht M 、
dim A M ∩ A = ht ( M ∩ A ) \dim A_{M\cap A}=\operatorname{ht}(M\cap A) dim A M ∩ A = ht ( M ∩ A ) （
第1回の命題10 (1)）なので、
命題10 (2) から
等しい。 アティヤ・マクドナルドは大きい環を A A A 小さい環を B B B 書いています。堀田は、dim B M ≤ dim A M ∩ A \dim B_M\le\dim A_{M\cap A} dim B M ≤ dim A M ∩ A 向きには整閉 性が要らないと注意しています。整閉 性が要るのは、下降定理を使う ≥ \ge ≥ 向きです。
(2) の「B B B 整域 」という仮定も外せません。次の例では、A A A 整閉 で B B B A A A 高さが下がります。
例12 B B B 整域でないと高さが下がる
k k k 体、A = k [ x , y ] A=k[x,y] A = k [ x , y ] B = A × k B=A\times k B = A × k φ : A → B \varphi\colon A\to B φ : A → B f ↦ ( f , f ( 0 , 0 ) ) f\mapsto(f,\ f(0,0)) f ↦ ( f , f ( 0 , 0 )) 考える。B B B A A A 加群 として ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) 生成されるので、A A A Q = A × 0 Q=A\times0 Q = A × 0 B B B 極大イデアルで、
Q ∩ A = { f ∣ f ( 0 , 0 ) = 0 } = ( x , y ) ht Q = 0 < 2 = ht ( x , y ) Q\cap A=\{f\mid f(0,0)=0\}=(x,y)\qquad \operatorname{ht}Q=0<2=\operatorname{ht}(x,y) Q ∩ A = { f ∣ f ( 0 , 0 ) = 0 } = ( x , y ) ht Q = 0 < 2 = ht ( x , y ) Q ∩ A = { f ∣ f ( 0 , 0 ) = 0 } = ( x , y ) ht Q = 0 < 2 = ht ( x , y ) \begin{gathered}Q\cap A=\{f\mid f(0,0)=0\}=(x,y)\\\operatorname{ht}Q=0<2=\operatorname{ht}(x,y)\end{gathered} Q ∩ A = { f ∣ f ( 0 , 0 ) = 0 } = ( x , y ) ht Q = 0 < 2 = ht ( x , y ) Q ∩ A = { f ∣ f ( 0 , 0 ) = 0 } = ( x , y ) ht Q = 0 < 2 = ht ( x , y ) \begin{aligned}Q\cap A &= \{f\mid f(0,0)=0\}\\&= (x,y)\\[4pt]\operatorname{ht}Q &= 0\\&< 2\\&= \operatorname{ht}(x,y)\end{aligned} Q ∩ A ht Q = { f ∣ f ( 0 , 0 ) = 0 } = ( x , y ) = 0 < 2 = ht ( x , y )
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる B / Q ≅ k B/Q\cong k B / Q ≅ k なので
Q Q Q は
極大イデアル。 直積 A × k A\times k A × k 素イデアルは P × k P\times k P × k P P P A A A 素イデアル）と A × 0 A\times0 A × 0 Q = A × 0 Q=A\times0 Q = A × 0 含まれるのは Q Q Q ht Q = 0 \operatorname{ht}Q=0 ht Q = 0 詳しく 閉じる
P × k P\times k P × k ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) 含むので、A × 0 A\times0 A × 0 含まれない。
Spec B \operatorname{Spec}B Spec B 平面に1点を足したもので、足した点が原点に写ります。足した点は孤立していて、それを閉包に含む点はほかにありません。そのため、原点の上の鎖 ( 0 ) ⊊ ( x , y ) (0)\subsetneq(x,y) ( 0 ) ⊊ ( x , y ) 足した点から下へ延ばせません。
平坦なら下降定理が成り立つ
下降定理が成り立つもう1つの重要な場合が、平坦 な拡大です。代数幾何の連載の第8回 では、平坦 性を「ファイバーが跳ねない族」の条件として紹介しました。
おさらい テンソル積と完全列
A A A 加群 M , N M,N M , N テンソル積 M ⊗ A N M\otimes_AN M ⊗ A N m ⊗ n m\otimes n m ⊗ n 形の元の和からなる A A A 加群 で、次の関係だけを課したものです。
( m + m ′ ) ⊗ n = m ⊗ n + m ′ ⊗ n m ⊗ ( n + n ′ ) = m ⊗ n + m ⊗ n ′ ( a m ) ⊗ n = m ⊗ ( a n ) = a ( m ⊗ n ) (m+m')\otimes n=m\otimes n+m'\otimes n\qquad m\otimes(n+n')=m\otimes n+m\otimes n'\qquad (am)\otimes n=m\otimes(an)=a(m\otimes n) ( m + m ′ ) ⊗ n = m ⊗ n + m ′ ⊗ n m ⊗ ( n + n ′ ) = m ⊗ n + m ⊗ n ′ ( am ) ⊗ n = m ⊗ ( an ) = a ( m ⊗ n ) ( m + m ′ ) ⊗ n = m ⊗ n + m ′ ⊗ n m ⊗ ( n + n ′ ) = m ⊗ n + m ⊗ n ′ ( a m ) ⊗ n = m ⊗ ( a n ) = a ( m ⊗ n ) \begin{gathered}(m+m')\otimes n=m\otimes n+m'\otimes n\\m\otimes(n+n')=m\otimes n+m\otimes n'\\(am)\otimes n=m\otimes(an)=a(m\otimes n)\end{gathered} ( m + m ′ ) ⊗ n = m ⊗ n + m ′ ⊗ n m ⊗ ( n + n ′ ) = m ⊗ n + m ⊗ n ′ ( am ) ⊗ n = m ⊗ ( an ) = a ( m ⊗ n ) ( m + m ′ ) ⊗ n = m ⊗ n + m ′ ⊗ n m ⊗ ( n + n ′ ) = m ⊗ n + m ⊗ n ′ ( a m ) ⊗ n = m ⊗ ( a n ) = a ( m ⊗ n ) \begin{aligned}(m+m')\otimes n &= m\otimes n+m'\otimes n\\[4pt]m\otimes(n+n') &= m\otimes n+m\otimes n'\\[4pt](am)\otimes n &= m\otimes(an)\\&= a(m\otimes n)\end{aligned} ( m + m ′ ) ⊗ n m ⊗ ( n + n ′ ) ( am ) ⊗ n = m ⊗ n + m ′ ⊗ n = m ⊗ n + m ⊗ n ′ = m ⊗ ( an ) = a ( m ⊗ n ) 準同型 u : M ′ → M u\colon M'\to M u : M ′ → M m ′ ⊗ n ↦ u ( m ′ ) ⊗ n m'\otimes n\mapsto u(m')\otimes n m ′ ⊗ n ↦ u ( m ′ ) ⊗ n 準同型 u ⊗ 1 : M ′ ⊗ A N → M ⊗ A N u\otimes1\colon M'\otimes_AN\to M\otimes_AN u ⊗ 1 : M ′ ⊗ A N → M ⊗ A N できます。この記事で使う計算は次の3つです（3つめは図で読む代数幾何 第8回の命題7 の証明でも使いました）。
A ⊗ A N ≅ N A ⊕ I ⊗ A N ≅ N ⊕ I ( A / J ) ⊗ A N ≅ N / J N A\otimes_AN\cong N\qquad A^{\oplus I}\otimes_AN\cong N^{\oplus I}\qquad (A/J)\otimes_AN\cong N/JN A ⊗ A N ≅ N A ⊕ I ⊗ A N ≅ N ⊕ I ( A / J ) ⊗ A N ≅ N / J N A ⊗ A N ≅ N A ⊕ I ⊗ A N ≅ N ⊕ I ( A / J ) ⊗ A N ≅ N / J N \begin{gathered}A\otimes_AN\cong N\\A^{\oplus I}\otimes_AN\cong N^{\oplus I}\\(A/J)\otimes_AN\cong N/JN\end{gathered} A ⊗ A N ≅ N A ⊕ I ⊗ A N ≅ N ⊕ I ( A / J ) ⊗ A N ≅ N / J N A ⊗ A N ≅ N A ⊕ I ⊗ A N ≅ N ⊕ I ( A / J ) ⊗ A N ≅ N / J N \begin{aligned}A\otimes_AN &\cong N\\[4pt]A^{\oplus I}\otimes_AN &\cong N^{\oplus I}\\[4pt](A/J)\otimes_AN &\cong N/JN\end{aligned} A ⊗ A N A ⊕ I ⊗ A N ( A / J ) ⊗ A N ≅ N ≅ N ⊕ I ≅ N / J N 完全列 とは、各項で「前の写像の像＝次の写像の核」となる列のことです。テンソル積 は右完全で、上の行が完全なら、⊗ A N \otimes_AN ⊗ A N 施した下の行もいつも完全です。
0 → M ′ → u M → v M ′ ′ → 0 0\to M'\xrightarrow{\ u\ }M\xrightarrow{\ v\ }M''\to0 0 → M ′ u M v M ′′ → 0 0 → M ′ → u M → v M ′ ′ → 0 \begin{aligned}0 &\to M'\xrightarrow{\ u\ }M\xrightarrow{\ v\ }M''\\&\to 0\end{aligned} 0 → M ′ u M v M ′′ → 0 M ′ ⊗ A N → u ⊗ 1 M ⊗ A N → v ⊗ 1 M ′ ′ ⊗ A N → 0 \begin{aligned} M'\otimes_AN&\xrightarrow{\ u\otimes1\ }M\otimes_AN \\ &\xrightarrow{\ v\otimes1\ }M''\otimes_AN\to0 \end{aligned} M ′ ⊗ A N u ⊗ 1 M ⊗ A N v ⊗ 1 M ′′ ⊗ A N → 0 崩れうるのは左端の単射性だけです。それが保たれることを求める条件が、次に定義する平坦 性です。例えば N = k [ x , y ] N=k[x,y] N = k [ x , y ] k [ x ] k[x] k [ x ] 自由加群 なので、x x x 完全列 に施しても完全なままです。
0 → k [ x ] → x k [ x ] → k [ x ] / ( x ) → 0 ⇝ 0 → k [ x , y ] → x k [ x , y ] → k [ x , y ] / ( x ) → 0 0\to k[x]\xrightarrow{\ x\ }k[x]\to k[x]/(x)\to0 \quad\leadsto\quad 0\to k[x,y]\xrightarrow{\ x\ }k[x,y]\to k[x,y]/(x)\to0 0 → k [ x ] x k [ x ] → k [ x ] / ( x ) → 0 ⇝ 0 → k [ x , y ] x k [ x , y ] → k [ x , y ] / ( x ) → 0 0 → k [ x ] → x k [ x ] → k [ x ] / ( x ) → 0 ⇝ 0 → k [ x , y ] → x k [ x , y ] → k [ x , y ] / ( x ) → 0 \begin{gathered}0\to k[x]\xrightarrow{\ x\ }k[x]\to k[x]/(x)\to0\\\leadsto\\0\to k[x,y]\xrightarrow{\ x\ }k[x,y]\to k[x,y]/(x)\to0\end{gathered} 0 → k [ x ] x k [ x ] → k [ x ] / ( x ) → 0 ⇝ 0 → k [ x , y ] x k [ x , y ] → k [ x , y ] / ( x ) → 0 0 → k [ x ] → x k [ x ] → k [ x ] / ( x ) → 0 ⇝ 0 → k [ x , y ] → x k [ x , y ] → k [ x , y ] / ( x ) → 0 \begin{aligned}0 &\to k[x]\xrightarrow{\ x\ }k[x]\\&\to k[x]/(x)\\&\to 0\\[4pt]&\leadsto\\[4pt]0 &\to k[x,y]\xrightarrow{\ x\ }k[x,y]\\&\to k[x,y]/(x)\\&\to 0\end{aligned} 0 0 → k [ x ] x k [ x ] → k [ x ] / ( x ) → 0 ⇝ → k [ x , y ] x k [ x , y ] → k [ x , y ] / ( x ) → 0
定義13 平坦 [2 , 2.9節, p.43; 1 , §7, p.55]
A A A 加群 N N N 平坦 であるとは、A A A 加群 の単射 M ′ → M M'\to M M ′ → M 作った M ′ ⊗ A N → M ⊗ A N M'\otimes_AN\to M\otimes_AN M ′ ⊗ A N → M ⊗ A N 必ず単射になることをいう。環の準同型 φ : A → B \varphi\colon A\to B φ : A → B B B B 平坦 な A A A 加群 のとき平坦 であるという。
アティヤ・マクドナルドは、テンソル積 が完全列 を保つことで平坦 を定義し、それが単射を保つことと同値であることを示しています [2 , 命題2.19, p.44] 。
例14 平坦な拡大と平坦でない拡大
(1) 自由加群 は平坦 である。とくに A ⊆ A [ x 1 , … , x n ] A\subseteq A[x_1,\dots,x_n] A ⊆ A [ x 1 , … , x n ] 基底）、Z ⊆ Z [ i ] \mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Z}[i] Z ⊆ Z [ i ] 1 , i 1,i 1 , i 例7 の k [ u 2 , y ] ⊆ k [ u , y ] k[u^2,y]\subseteq k[u,y] k [ u 2 , y ] ⊆ k [ u , y ] 1 , u 1,u 1 , u 平坦 。A → S − 1 A A\to S^{-1}A A → S − 1 A 平坦 である [2 , 系3.6, p.61] 。例えば k [ x ] ⊆ k [ x , 1 / x ] k[x]\subseteq k[x,1/x] k [ x ] ⊆ k [ x , 1/ x ] k [ x ] → k [ x ] / ( x ) k[x]\to k[x]/(x) k [ x ] → k [ x ] / ( x ) 平坦 でない。
証明 開く 閉じる (1)
N = A ⊕ I N=A^{\oplus I} N = A ⊕ I なら
M ⊗ A N ≅ M ⊕ I M\otimes_AN\cong M^{\oplus I} M ⊗ A N ≅ M ⊕ I で、
単射 M ′ → M M'\to M M ′ → M 成分ごとの単射 M ′ ⊕ I → M ⊕ I M'^{\oplus I}\to M^{\oplus I} M ′ ⊕ I → M ⊕ I なる。 (3) 単射
k [ x ] → x k [ x ] k[x]\xrightarrow{\ x\ }k[x] k [ x ] x k [ x ] に
⊗ k [ x ] / ( x ) \otimes\,k[x]/(x) ⊗ k [ x ] / ( x ) を
施すと、k k k 上の0倍写像 k → 0 k k\xrightarrow{\ 0\ }k k 0 k なり、単射でない。 (3) を完全列 で書くと、次のとおりです。上の行に ⊗ k [ x ] k [ x ] / ( x ) \otimes_{k[x]}k[x]/(x) ⊗ k [ x ] k [ x ] / ( x ) 施すと下の行になります。右の部分は完全なままですが、左端の単射が0倍写像に変わります。
0 → k [ x ] → x k [ x ] → k [ x ] / ( x ) → 0 0\to k[x]\xrightarrow{\ x\ }k[x]\to k[x]/(x)\to0 0 → k [ x ] x k [ x ] → k [ x ] / ( x ) → 0 0 → k [ x ] → x k [ x ] → k [ x ] / ( x ) → 0 \begin{aligned}0 &\to k[x]\xrightarrow{\ x\ }k[x]\\&\to k[x]/(x)\\&\to 0\end{aligned} 0 → k [ x ] x k [ x ] → k [ x ] / ( x ) → 0 k → 0 k → i d k → 0 k\xrightarrow{\ 0\ }k\xrightarrow{\ \mathrm{id}\ }k\to0 k 0 k id k → 0 k → 0 k → i d k → 0 \begin{aligned}k\xrightarrow{\ 0\ }k\xrightarrow{\ \mathrm{id}\ }k &\to 0\end{aligned} k 0 k id k → 0 証明では、次の事実をよく使います。A A A イデアル J J J ついて ( A / J ) ⊗ A B ≅ B / J B (A/J)\otimes_AB\cong B/JB ( A / J ) ⊗ A B ≅ B / J B [2 , 演習問題2.2, p.47] 、A / J A/J A / J a a a テンソルすると B / J B B/JB B / J B φ ( a ) \varphi(a) φ ( a ) なります。
A / J → a A / J φ ˉ ↓ ↓ φ ˉ B / J B → φ ( a ) B / J B \begin{CD} A/J @>{a}>> A/J \\ @V{\bar\varphi}VV @VV{\bar\varphi}V \\ B/JB @>>{\varphi(a)}> B/JB \end{CD} A / J φ ˉ ↓ ⏐ B / J B a φ ( a ) A / J ↓ ⏐ φ ˉ B / J B 縦の矢印は φ \varphi φ 引き起こす x ˉ ↦ φ ( x ) ‾ \bar x\mapsto\overline{\varphi(x)} x ˉ ↦ φ ( x ) 同型 ( A / J ) ⊗ A B ≅ B / J B (A/J)\otimes_AB\cong B/JB ( A / J ) ⊗ A B ≅ B / J B x ˉ ↦ x ˉ ⊗ 1 \bar x\mapsto\bar x\otimes1 x ˉ ↦ x ˉ ⊗ 1 当たります。図式が可換であることは、φ ( a x ) = φ ( a ) φ ( x ) \varphi(ax)=\varphi(a)\varphi(x) φ ( a x ) = φ ( a ) φ ( x ) 分かります。
まず、平坦 性を使わない補題を用意します。求める素イデアルがないときに、環の元の間にどんな関係が生じるかを書いたものです。
補題15 下降の判定法
φ : A → B \varphi\colon A\to B φ : A → B 環の準同型、P ⊆ P ′ P\subseteq P' P ⊆ P ′ A A A 素イデアル、Q ′ Q' Q ′ P ′ P' P ′ 上にある B B B 素イデアルとする。Q ⊆ Q ′ Q\subseteq Q' Q ⊆ Q ′ Q ∩ A = P Q\cap A=P Q ∩ A = P なる素イデアル Q Q Q ないならば、a ∈ A ∖ P a\in A\setminus P a ∈ A ∖ P g ∈ B ∖ Q ′ g\in B\setminus Q' g ∈ B ∖ Q ′ φ ( a ) g ∈ P B \varphi(a)g\in PB φ ( a ) g ∈ P B なるものがある。
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる T = { φ ( a ) g ∣ a ∈ A ∖ P , g ∈ B ∖ Q ′ } T=\{\varphi(a)g\mid a\in A\setminus P,\ g\in B\setminus Q'\} T = { φ ( a ) g ∣ a ∈ A ∖ P , g ∈ B ∖ Q ′ } 積閉集合で、環 R = T − 1 B / P T − 1 B R=T^{-1}B/PT^{-1}B R = T − 1 B / P T − 1 B 素イデアルは、Q ⊆ Q ′ Q\subseteq Q' Q ⊆ Q ′ Q ∩ A = P Q\cap A=P Q ∩ A = P なる Q Q Q 1対1に対応する。詳しく 閉じる
T − 1 B T^{-1}B T − 1 B 素イデアルは、T T T 交わらない B B B 素イデアル Q Q Q 対応する。Q Q Q 素イデアルなので、Q ∩ T = ∅ Q\cap T=\varnothing Q ∩ T = ∅ 「Q ∩ A ⊆ P Q\cap A\subseteq P Q ∩ A ⊆ P Q ⊆ Q ′ Q\subseteq Q' Q ⊆ Q ′ 同値である。さらに P T − 1 B PT^{-1}B P T − 1 B 含むことは Q ⊇ P B Q\supseteq PB Q ⊇ P B つまり Q ∩ A ⊇ P Q\cap A\supseteq P Q ∩ A ⊇ P 同値。
そのような Q Q Q なければ R R R 素イデアルをもたず、R = 0 R=0 R = 0 つまり 1 ∈ P T − 1 B 1\in PT^{-1}B 1 ∈ P T − 1 B 詳しく 閉じる 1 = b / t 1=b/t 1 = b / t （
b ∈ P B b\in PB b ∈ P B 、
t ∈ T t\in T t ∈ T ）と
書くと、ある t ′ ∈ T t'\in T t ′ ∈ T t ′ t = t ′ b ∈ P B t't=t'b\in PB t ′ t = t ′ b ∈ P B t ′ t ∈ T t't\in T t ′ t ∈ T t ′ t = φ ( a ) g t't=\varphi(a)g t ′ t = φ ( a ) g 形である。
定理16 平坦なら下降定理 [1 , 定理9.5, p.83; 2 , 演習問題5.11, p.105; 4 , 定理4.20, p.88; 3 , 問題3.4, p.86]
環の準同型 φ : A → B \varphi\colon A\to B φ : A → B 平坦 なら、φ \varphi φ 下降性質をもつ。
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる P ⊆ P ′ P\subseteq P' P ⊆ P ′ 、
Q ′ ∩ A = P ′ Q'\cap A=P' Q ′ ∩ A = P ′ とし、
求める Q Q Q ないと仮定する。補題15 から、a ∈ A ∖ P a\in A\setminus P a ∈ A ∖ P g ∈ B ∖ Q ′ g\in B\setminus Q' g ∈ B ∖ Q ′ φ ( a ) g ∈ P B \varphi(a)g\in PB φ ( a ) g ∈ P B なるものがある。 平坦 性から、B / P B B/PB B / P B φ ( a ) \varphi(a) φ ( a ) 単射である。詳しく 閉じる
P P P 素イデアルで a ∉ P a\notin P a ∈ / P A / P A/P A / P a a a 単射。これに ⊗ A B \otimes_AB ⊗ A B 施すと、B / P B B/PB B / P B φ ( a ) \varphi(a) φ ( a ) なる。
0 → A / P → a A / P ⇝ 0 → B / P B → φ ( a ) B / P B 0\to A/P\xrightarrow{\ a\ }A/P \quad\leadsto\quad 0\to B/PB\xrightarrow{\ \varphi(a)\ }B/PB 0 → A / P a A / P ⇝ 0 → B / P B φ ( a ) B / P B 0 → A / P → a A / P ⇝ 0 → B / P B → φ ( a ) B / P B \begin{gathered}0\to A/P\xrightarrow{\ a\ }A/P\\\leadsto\\0\to B/PB\xrightarrow{\ \varphi(a)\ }B/PB\end{gathered} 0 → A / P a A / P ⇝ 0 → B / P B φ ( a ) B / P B 0 → A / P → a A / P ⇝ 0 → B / P B → φ ( a ) B / P B \begin{aligned}0 &\to A/P\xrightarrow{\ a\ }A/P\\[4pt]&\leadsto\\[4pt]0 &\to B/PB\xrightarrow{\ \varphi(a)\ }B/PB\end{aligned} 0 0 → A / P a A / P ⇝ → B / P B φ ( a ) B / P B 左が完全なので、平坦 性から右も完全である。
φ ( a ) g ˉ = 0 \varphi(a)\bar g=0 φ ( a ) g ˉ = 0 （
B / P B B/PB B / P B の
中）なので g ˉ = 0 \bar g=0 g ˉ = 0 つまり g ∈ P B ⊆ P ′ B ⊆ Q ′ g\in PB\subseteq P'B\subseteq Q' g ∈ P B ⊆ P ′ B ⊆ Q ′ g ∉ Q ′ g\notin Q' g ∈ / Q ′ 反する。 松村・堀田は、B Q ′ B_{Q'} B Q ′ A P ′ A_{P'} A P ′ 忠実平坦 であることから Spec B Q ′ → Spec A P ′ \operatorname{Spec}B_{Q'}\to\operatorname{Spec}A_{P'} Spec B Q ′ → Spec A P ′ 全射であることを導いています [1 , 定理7.3, p.57; 4 , 系4.18, 定理4.19, p.88] 。上の証明は、その議論のうち必要な部分だけを取り出したものです。
例14 から、多項式環の拡大 k [ x ] ⊆ k [ x , y ] k[x]\subseteq k[x,y] k [ x ] ⊆ k [ x , y ] 下降性質をもちます。例2 と合わせると、下降定理は成り立つが上昇定理は成り立たない例です。
平坦 なだけでは、高さの等号は成り立ちません。Q = ( x , y ) ⊆ k [ x , y ] Q=(x,y)\subseteq k[x,y] Q = ( x , y ) ⊆ k [ x , y ] Q ∩ k [ x ] = ( x ) Q\cap k[x]=(x) Q ∩ k [ x ] = ( x ) ht Q = 2 > 1 = ht ( x ) \operatorname{ht}Q=2>1=\operatorname{ht}(x) ht Q = 2 > 1 = ht ( x ) 等号には、整であること（高さが増えないこと）も要ります。
例17 係数体を大きくする [1 , 問題9.10, p.85]
K ⊆ L K\subseteq L K ⊆ L 体、A = K [ X 1 , … , X n ] ⊆ B = L [ X 1 , … , X n ] A=K[X_1,\dots,X_n]\subseteq B=L[X_1,\dots,X_n] A = K [ X 1 , … , X n ] ⊆ B = L [ X 1 , … , X n ] する。B B B 素イデアル Q Q Q ついて ht Q ≥ ht ( Q ∩ A ) \operatorname{ht}Q\ge\operatorname{ht}(Q\cap A) ht Q ≥ ht ( Q ∩ A ) L L L K K K 等号が成り立つ。
証明 開く 閉じる L L L の
K K K 上の
基底は B B B A A A 基底になるので、B B B 自由加群 で平坦 。定理16 と命題10 (1) から ≥ \ge ≥ L / K L/K L / K が
代数的なら、L L L 元は K K K B B B A A A 第2回の系13 (2) から ≤ \le ≤ 数で確かめます。K = R K=\mathbb{R} K = R L = C L=\mathbb{C} L = C n = 2 n=2 n = 2 Q = ( X − i Y ) Q=(X-iY) Q = ( X − iY ) すると、Q ∩ R [ X , Y ] = ( X 2 + Y 2 ) Q\cap\mathbb{R}[X,Y]=(X^2+Y^2) Q ∩ R [ X , Y ] = ( X 2 + Y 2 ) 高さはどちらも1です。実係数の f f f X − i Y X-iY X − iY 割り切れれば、共役をとって X + i Y X+iY X + iY 割り切れるからです。
代数的でないときは等号が崩れます。K = k K=k K = k L = k ( t ) L=k(t) L = k ( t ) n = 1 n=1 n = 1 Q = ( X − t ) Q=(X-t) Q = ( X − t ) すると、t t t k k k Q ∩ k [ X ] = ( 0 ) Q\cap k[X]=(0) Q ∩ k [ X ] = ( 0 ) ht Q = 1 > 0 \operatorname{ht}Q=1>0 ht Q = 1 > 0
平坦 でない拡大の例として、ブローアップのチャートを見ます。
例18 ブローアップのチャート [1 , 問題15.1, p.147]
k k k 体、A = k [ x , y ] ⊆ B = k [ x , y , x / y ] = k [ n , y ] A=k[x,y]\subseteq B=k[x,y,x/y]=k[n,y] A = k [ x , y ] ⊆ B = k [ x , y , x / y ] = k [ n , y ] n = x / y n=x/y n = x / y x = n y x=ny x = n y する。Q ′ = ( n , y ) Q'=(n,\ y) Q ′ = ( n , y ) P ′ = ( x , y ) P'=(x,y) P ′ = ( x , y ) 上にあり、P = ( x − y ) ⊆ P ′ P=(x-y)\subseteq P' P = ( x − y ) ⊆ P ′ 上にある B B B 素イデアルはすべて n − 1 n-1 n − 1 含み（( n − 1 ) (n-1) ( n − 1 ) P P P 上にある）、Q ′ Q' Q ′ 含まれない。よって、A A A B B B 間に下降定理は成り立たず、B B B A A A 平坦 でない。
証明 開く 閉じる Q ′ ∩ A Q'\cap A Q ′ ∩ A は
x = n y x=ny x = n y と
y y y を
含み、( x , y ) (x,y) ( x , y ) 極大なので Q ′ ∩ A = ( x , y ) Q'\cap A=(x,y) Q ′ ∩ A = ( x , y ) f ∈ ( n − 1 ) f\in(n-1) f ∈ ( n − 1 ) は
f ( n y , y ) f(ny,y) f ( n y , y ) が
n = 1 n=1 n = 1 で
0、つまり f ( y , y ) = 0 f(y,y)=0 f ( y , y ) = 0 同値で、これは ( x − y ) ∣ f (x-y)\mid f ( x − y ) ∣ f 同値。よって ( n − 1 ) ∩ A = ( x − y ) (n-1)\cap A=(x-y) ( n − 1 ) ∩ A = ( x − y ) Q ∩ A = ( x − y ) Q\cap A=(x-y) Q ∩ A = ( x − y ) なら
Q ∋ x − y = y ( n − 1 ) Q\ni x-y=y(n-1) Q ∋ x − y = y ( n − 1 ) 。
y ∈ Q y\in Q y ∈ Q なら
x = n y ∈ Q x=ny\in Q x = n y ∈ Q で
Q ∩ A ⊇ ( x , y ) Q\cap A\supseteq(x,y) Q ∩ A ⊇ ( x , y ) と
なるので、n − 1 ∈ Q n-1\in Q n − 1 ∈ Q n − 1 n-1 n − 1 は
点 ( n , y ) = ( 0 , 0 ) (n,y)=(0,0) ( n , y ) = ( 0 , 0 ) 値 − 1 -1 − 1 とるので Q ′ Q' Q ′ 入らず、n − 1 n-1 n − 1 含む Q Q Q Q ′ Q' Q ′ 含まれない。平坦 でないことは定理16 の対偶から。 B B B 代数幾何の連載の第7回 で見たブローアップのチャート W 1 W_1 W 1 ( n , y ) (n,y) ( n , y ) 写像 ( n , y ) ↦ ( n y , y ) (n,y)\mapsto(ny,y) ( n , y ) ↦ ( n y , y ) 座標環です（図で読む代数幾何 第7回の命題5 ）。直線 x = y x=y x = y 強変換は n = 1 n=1 n = 1 例外曲線 y = 0 y=0 y = 0 n = 1 n=1 n = 1 交わります。Q ′ Q' Q ′ n = 0 n=0 n = 0 通るのは、原点で x = 0 x=0 x = 0 接する曲線の強変換だけです。
第8回では、ブローアップが平坦 でないことをファイバーの次元で見ました。ここでは同じことを、下降定理が成り立たないことで確かめたわけです。高さとファイバーの次元の関係は、連載の第11回で扱います。
位相で言い換える
Spec A \operatorname{Spec}A Spec A P ⊆ P ′ P\subseteq P' P ⊆ P ′ とき、P ′ P' P ′ P P P 閉包 V ( P ) V(P) V ( P ) 入ります。このとき P ′ P' P ′ P P P 特殊化 、P P P P ′ P' P ′ 一般化 と呼びます。上昇性質は「特殊化が持ち上がる」こと、下降性質は「一般化が持ち上がる」ことです（図1）。
この見方から、上昇・下降と、写像が閉写像・開写像であることが結びつきます。
おさらい V(J)・D(g) と Spec の写像の連続性、ネーター空間
V ( J ) = { P ∣ P ⊇ J } V(J)=\{P\mid P\supseteq J\} V ( J ) = { P ∣ P ⊇ J } 閉集合で、D ( g ) = { P ∣ g ∉ P } D(g)=\{P\mid g\notin P\} D ( g ) = { P ∣ g ∈ / P } その補集合 Spec A ∖ V ( g ) \operatorname{Spec}A\setminus V(g) Spec A ∖ V ( g ) どの開集合も D ( g ) D(g) D ( g ) 形の集合の和で書けます。主な性質は次のとおりです（図で読む代数幾何 第2回の命題3 ）。
V ( J ) ∪ V ( K ) = V ( J K ) ⋂ λ V ( J λ ) = V ( ∑ λ J λ ) D ( g ) ∩ D ( h ) = D ( g h ) V(J)\cup V(K)=V(JK)\qquad \bigcap_\lambda V(J_\lambda)=V\Bigl(\sum_\lambda J_\lambda\Bigr)\qquad D(g)\cap D(h)=D(gh) V ( J ) ∪ V ( K ) = V ( J K ) λ ⋂ V ( J λ ) = V ( λ ∑ J λ ) D ( g ) ∩ D ( h ) = D ( g h ) V ( J ) ∪ V ( K ) = V ( J K ) ⋂ λ V ( J λ ) = V ( ∑ λ J λ ) D ( g ) ∩ D ( h ) = D ( g h ) \begin{gathered}V(J)\cup V(K)=V(JK)\\\bigcap_\lambda V(J_\lambda)=V\Bigl(\sum_\lambda J_\lambda\Bigr)\\D(g)\cap D(h)=D(gh)\end{gathered} V ( J ) ∪ V ( K ) = V ( J K ) λ ⋂ V ( J λ ) = V ( λ ∑ J λ ) D ( g ) ∩ D ( h ) = D ( g h ) V ( J ) ∪ V ( K ) = V ( J K ) ⋂ λ V ( J λ ) = V ( ∑ λ J λ ) D ( g ) ∩ D ( h ) = D ( g h ) \begin{aligned}V(J)\cup V(K) &= V(JK)\\[4pt]\bigcap_\lambda V(J_\lambda) &= V\Bigl(\sum_\lambda J_\lambda\Bigr)\\[4pt]D(g)\cap D(h) &= D(gh)\end{aligned} V ( J ) ∪ V ( K ) λ ⋂ V ( J λ ) D ( g ) ∩ D ( h ) = V ( J K ) = V ( λ ∑ J λ ) = D ( g h ) 環の準同型 φ : A → B \varphi\colon A\to B φ : A → B 引き起こす f : Spec B → Spec A f\colon\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A f : Spec B → Spec A 連続で、閉集合と D ( a ) D(a) D ( a ) 次のように引き戻します（図で読む代数幾何 第8回の命題4 (1)）。
f − 1 ( V ( J ) ) = V ( φ ( J ) B ) f − 1 ( D ( a ) ) = D ( φ ( a ) ) f^{-1}\bigl(V(J)\bigr)=V\bigl(\varphi(J)B\bigr)\qquad f^{-1}\bigl(D(a)\bigr)=D\bigl(\varphi(a)\bigr) f − 1 ( V ( J ) ) = V ( φ ( J ) B ) f − 1 ( D ( a ) ) = D ( φ ( a ) ) f − 1 ( V ( J ) ) = V ( φ ( J ) B ) f − 1 ( D ( a ) ) = D ( φ ( a ) ) \begin{gathered}f^{-1}\bigl(V(J)\bigr)=V\bigl(\varphi(J)B\bigr)\\f^{-1}\bigl(D(a)\bigr)=D\bigl(\varphi(a)\bigr)\end{gathered} f − 1 ( V ( J ) ) = V ( φ ( J ) B ) f − 1 ( D ( a ) ) = D ( φ ( a ) ) f − 1 ( V ( J ) ) = V ( φ ( J ) B ) f − 1 ( D ( a ) ) = D ( φ ( a ) ) \begin{aligned}f^{-1}\bigl(V(J)\bigr) &= V\bigl(\varphi(J)B\bigr)\\[4pt]f^{-1}\bigl(D(a)\bigr) &= D\bigl(\varphi(a)\bigr)\end{aligned} f − 1 ( V ( J ) ) f − 1 ( D ( a ) ) = V ( φ ( J ) B ) = D ( φ ( a ) ) 引き戻しは連続性の話で、この節で問題にするのは像のほうです。f f f 閉集合の像を閉集合に写すとき閉写像、開集合の像を開集合に写すとき開写像と呼びます。
位相空間がネーター空間 であるとは、閉集合の降鎖がどれも有限で止まることです。ネーター環 の Spec はネーター空間 で、閉集合は有限個の既約な閉集合の和になります。例えば Spec k [ x , y ] \operatorname{Spec}k[x,y] Spec k [ x , y ] V ( x y ) = V ( x ) ∪ V ( y ) V(xy)=V(x)\cup V(y) V ( x y ) = V ( x ) ∪ V ( y )
命題19 上昇・下降と閉写像・開写像 [2 , 演習問題5.10, p.104–105; 2 , 演習問題6.11, p.122; 4 , 命題4.21, p.88–89]
環の準同型 φ : A → B \varphi\colon A\to B φ : A → B それが引き起こす f : Spec B → Spec A f\colon\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A f : Spec B → Spec A 考える。
(1) φ \varphi φ 上昇性質をもつことと、B B B すべての素イデアル Q Q Q ついて Spec ( B / Q ) → Spec ( A / ( Q ∩ A ) ) \operatorname{Spec}(B/Q)\to\operatorname{Spec}(A/(Q\cap A)) Spec ( B / Q ) → Spec ( A / ( Q ∩ A )) 全射であることは同値である。φ \varphi φ 下降性質をもつことと、すべての Q Q Q ついて Spec B Q → Spec A Q ∩ A \operatorname{Spec}B_Q\to\operatorname{Spec}A_{Q\cap A} Spec B Q → Spec A Q ∩ A 全射であることは同値である。f f f 閉写像なら φ \varphi φ 上昇性質をもち、f f f 開写像なら φ \varphi φ 下降性質をもつ。Spec B \operatorname{Spec}B Spec B ネーター空間 （例えば B B B ネーター環 ）で φ \varphi φ 上昇性質をもてば、f f f 閉写像である。
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる (1)
Spec ( B / Q ) \operatorname{Spec}(B/Q) Spec ( B / Q ) は
Q Q Q を
含む素イデアル、Spec ( A / P ) \operatorname{Spec}(A/P) Spec ( A / P ) P P P 含む素イデアルの集合で、写像は Q ′ ↦ Q ′ ∩ A Q'\mapsto Q'\cap A Q ′ ↦ Q ′ ∩ A 全射であることは、Q Q Q 上昇性質そのものである。局所化 B Q B_Q B Q A P A_P A P Q Q Q P P P 含まれる素イデアルの集合で、下降性質と同じ。 (2) 閉の
場合：Q ∩ A = P ⊆ P ′ Q\cap A=P\subseteq P' Q ∩ A = P ⊆ P ′ する。f ( V ( Q ) ) f(V(Q)) f ( V ( Q )) P P P 含む閉集合なので、P P P 閉包 V ( P ) V(P) V ( P ) 含み、P ′ P' P ′ 含む。つまり Q ′ ⊇ Q Q'\supseteq Q Q ′ ⊇ Q Q ′ ∩ A = P ′ Q'\cap A=P' Q ′ ∩ A = P ′ なる Q ′ Q' Q ′ ある。 開の場合：P ⊆ P ′ P\subseteq P' P ⊆ P ′ Q ′ ∩ A = P ′ Q'\cap A=P' Q ′ ∩ A = P ′ 求める Q Q Q ないとする。補題15 の a a a g g g とると、開集合 f ( D ( g ) ) f(D(g)) f ( D ( g )) P ′ P' P ′ 含み、したがって P P P 含む。詳しく 閉じる
P ′ P' P ′ P P P 閉包に入るので、P ′ P' P ′ 含む開集合は必ず P P P 含む（含まなければ、その補集合が P P P 含む閉集合で P ′ P' P ′ 含まない）。
Q ∈ D ( g ) Q\in D(g) Q ∈ D ( g ) 、
Q ∩ A = P Q\cap A=P Q ∩ A = P と
すると、φ ( a ) g ∈ P B ⊆ Q \varphi(a)g\in PB\subseteq Q φ ( a ) g ∈ P B ⊆ Q g ∉ Q g\notin Q g ∈ / Q φ ( a ) ∈ Q \varphi(a)\in Q φ ( a ) ∈ Q a ∈ P a\in P a ∈ P なり矛盾。 (3)
ネーター空間 の
閉集合は有限個の既約閉集合の和で、Spec B \operatorname{Spec}B Spec B 既約閉集合は V ( Q ) V(Q) V ( Q ) 形なので、V ( J ) = V ( Q 1 ) ∪ ⋯ ∪ V ( Q r ) V(J)=V(Q_1)\cup\cdots\cup V(Q_r) V ( J ) = V ( Q 1 ) ∪ ⋯ ∪ V ( Q r ) 書ける [2 , 演習問題6.7, p.122; 3 , 命題・定義1.141, p.62] 。 上昇性質から f ( V ( Q i ) ) = V ( Q i ∩ A ) f(V(Q_i))=V(Q_i\cap A) f ( V ( Q i )) = V ( Q i ∩ A ) 有限個の閉集合の和は閉集合である。詳しく 閉じる
⊆ \subseteq ⊆ 明らか。P ⊇ Q i ∩ A P\supseteq Q_i\cap A P ⊇ Q i ∩ A 上昇性質で Q ⊇ Q i Q\supseteq Q_i Q ⊇ Q i Q ∩ A = P Q\cap A=P Q ∩ A = P なる Q Q Q
(1) の2つの写像は、局所化と剰余環 を通して次の図式に収まります。P = Q ∩ A P=Q\cap A P = Q ∩ A 左の図式が環、右の図式が Spec です。
B Q ← B → B / Q ↑ ↑ φ ↑ A P ← A → A / P Spec B Q → Spec B ← Spec B / Q ↓ ↓ f ↓ Spec A P → Spec A ← Spec A / P \begin{CD} B_Q @<<< B @>>> B/Q \\ @AAA @AA{\varphi}A @AAA \\ A_P @<<< A @>>> A/P \end{CD} \qquad\qquad \begin{CD} \operatorname{Spec}B_Q @>>> \operatorname{Spec}B @<<< \operatorname{Spec}B/Q \\ @VVV @VV{f}V @VVV \\ \operatorname{Spec}A_P @>>> \operatorname{Spec}A @<<< \operatorname{Spec}A/P \end{CD} B Q ⏐ ↑ A P B ⏐ ↑ φ A B / Q ⏐ ↑ A / P Spec B Q ↓ ⏐ Spec A P Spec B ↓ ⏐ f Spec A Spec B / Q ↓ ⏐ Spec A / P φ ( A ∖ P ) ⊆ B ∖ Q \varphi(A\setminus P)\subseteq B\setminus Q φ ( A ∖ P ) ⊆ B ∖ Q A P → B Q A_P\to B_Q A P → B Q 定まります。右の図式で、左の縦の写像がすべての Q Q Q 全射であることが下降性質、右の縦の写像がすべての Q Q Q 全射であることが上昇性質です。
第2回の命題16 （整拡大は閉写像）は、(3) の仮定なしに直接示したものでした。例2 の k [ x ] ⊆ k [ x , y ] k[x]\subseteq k[x,y] k [ x ] ⊆ k [ x , y ] 閉集合 V ( x y − 1 ) V(xy-1) V ( x y − 1 ) 像が x ≠ 0 x\neq0 x = 0 部分で閉集合でなく、(2) のとおり上昇性質もありません。
(2) の開写像の側の逆を示すには、もっと深い定理が要ります。
おさらい 構成可能集合
開集合と閉集合の共通部分を局所閉集合 と呼び、局所閉集合 を有限個合わせた集合を構成可能集合 と呼びます。開集合も閉集合も構成可能です。例えば Spec k [ x , y ] \operatorname{Spec}k[x,y] Spec k [ x , y ] 直線 x = y x=y x = y 除いて原点を戻した次の集合は、開集合でも閉集合でもない構成可能集合 です。
Z = D ( x − y ) ∪ V ( x , y ) ⊆ Spec k [ x , y ] Z=D(x-y)\cup V(x,y)\subseteq\operatorname{Spec}k[x,y] Z = D ( x − y ) ∪ V ( x , y ) ⊆ Spec k [ x , y ] Z = D ( x − y ) ∪ V ( x , y ) ⊆ Spec k [ x , y ] \begin{aligned}Z &= D(x-y)\cup V(x,y)\\&\subseteq \operatorname{Spec}k[x,y]\end{aligned} Z = D ( x − y ) ∪ V ( x , y ) ⊆ Spec k [ x , y ] シュヴァレーの定理によれば、A A A ネーター環 で B B B 有限生成 A A A Spec B \operatorname{Spec}B Spec B 構成可能集合 の像は構成可能集合 です。さらに、ネーター環 の Spec では、構成可能で一般化について閉じた集合（点を含めばその一般化もすべて含む集合）は開集合です。
上の Z Z Z 一般化について閉じていません。原点 ( x , y ) (x,y) ( x , y ) 含みますが、その一般化 ( x − y ) (x-y) ( x − y ) 含まないからです。
命題20 [2 , 演習問題7.24, p.135; 2 , 演習問題7.25, p.136; 4 , 命題4.21 (iii), p.89]
A A A ネーター環 、B B B 有限生成 A A A する。φ : A → B \varphi\colon A\to B φ : A → B 下降性質をもてば、f : Spec B → Spec A f\colon\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A f : Spec B → Spec A 開写像である。とくに φ \varphi φ 平坦 なら開写像である。
この記事では、この命題は主張だけにします。証明には、「構成可能集合 の像は構成可能集合 」というシュヴァレーの定理 [2 , 演習問題7.23, p.135] が要るからです。
証明の流れは次のとおりです。f ( D ( g ) ) f(D(g)) f ( D ( g )) 構成可能集合 で、下降性質から一般化で閉じています。ネーター空間 では、そのような集合は開集合です。
例えば平坦 な k [ x ] ⊆ k [ x , y ] k[x]\subseteq k[x,y] k [ x ] ⊆ k [ x , y ] 開集合 D ( x y − 1 ) D(xy-1) D ( x y − 1 ) 外）の像は Spec k [ x ] \operatorname{Spec}k[x] Spec k [ x ] 開集合です。k [ x ] k[x] k [ x ] どの素イデアル P P P 上にも B B B 素イデアル P B + ( y ) PB+(y) P B + ( y ) あって x y − 1 xy-1 x y − 1 含まず、生成点 ( 0 ) (0) ( 0 ) D ( x y − 1 ) D(xy-1) D ( x y − 1 ) 入るからです。
整閉整域の上の開写像
整拡大の場合には、開写像であることを、像の形まで込めて直接示せます。
定理21 開写像 [1 , 定理9.6, p.83–84]
A A A 整閉 整域 、B ⊇ A B\supseteq A B ⊇ A A A A 整域 とする。f : Spec B → Spec A f\colon\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A f : Spec B → Spec A 開写像である。より詳しく、t ∈ B t\in B t ∈ B 根にもつ A A A モニックな多項式で次数が最小のものを X n + a 1 X n − 1 + ⋯ + a n X^n+a_1X^{n-1}+\cdots+a_n X n + a 1 X n − 1 + ⋯ + a n すると、
f ( D ( t ) ) = D ( a 1 ) ∪ D ( a 2 ) = ∪ ⋯ ∪ D ( a n ) \begin{aligned} f(D(t))&=D(a_1)\cup D(a_2) \\ &\phantom{{}={}}\cup\cdots\cup D(a_n)\end{aligned} f ( D ( t )) = D ( a 1 ) ∪ D ( a 2 ) = ∪ ⋯ ∪ D ( a n )
証明 開く 閉じる すべて開く すべて閉じる F = X n + a 1 X n − 1 + ⋯ + a n F=X^n+a_1X^{n-1}+\cdots+a_n F = X n + a 1 X n − 1 + ⋯ + a n t t t K K K 最小多項式 で、C = A [ t ] C=A[t] C = A [ t ] 1 , t , … , t n − 1 1,t,\dots,t^{n-1} 1 , t , … , t n − 1 基底とする自由 A A A 加群 である。詳しく 閉じる
最小多項式 は命題4 (2) から係数が A A A 入るモニックな式で、次数は n n n （K [ X ] K[X] K [ X ] F F F 割り切る）。n n n 最小性から次数は n n n F F F 等しい。
G ∈ A [ X ] G\in A[X] G ∈ A [ X ] G ( t ) = 0 G(t)=0 G ( t ) = 0 する。F F F モニックなので A [ X ] A[X] A [ X ] 中で G = F H + R G=FH+R G = F H + R deg R < n \deg R<n deg R < n 割れ、R ( t ) = 0 R(t)=0 R ( t ) = 0 F F F 最小多項式 なので R = 0 R=0 R = 0 よって C ≅ A [ X ] / ( F ) C\cong A[X]/(F) C ≅ A [ X ] / ( F ) 1 , t , … , t n − 1 1,t,\dots,t^{n-1} 1 , t , … , t n − 1 基底になる。
(
⊆ \subseteq ⊆ )
Q ∈ D ( t ) Q\in D(t) Q ∈ D ( t ) 、
P = Q ∩ A P=Q\cap A P = Q ∩ A と
する。すべての a i a_i a i P P P 入ると t n ∈ P B ⊆ Q t^n\in PB\subseteq Q t n ∈ P B ⊆ Q t ∈ Q t\in Q t ∈ Q なるので、ある a i ∉ P a_i\notin P a i ∈ / P つまり P ∈ D ( a i ) P\in D(a_i) P ∈ D ( a i ) (⊇ \supseteq ⊇ a i ∉ P a_i\notin P a i ∈ / P する。まず t ∉ P C t\notin\sqrt{PC} t ∈ / P C 示す。詳しく 閉じる
t m ∈ P C t^m\in PC t m ∈ P C m ≥ n m\ge n m ≥ n してよい）とすると、C C C 自由なので P C = ⨁ j P t j PC=\bigoplus_jPt^j P C = ⨁ j P t j t m = ∑ i = 1 n b i t n − i t^m=\sum_{i=1}^nb_it^{n-i} t m = ∑ i = 1 n b i t n − i b i ∈ P b_i\in P b i ∈ P 書ける。すると X m − ∑ b i X n − i X^m-\sum b_iX^{n-i} X m − ∑ b i X n − i A [ X ] A[X] A [ X ] F F F 倍数になる。
P P P 法とすると、( A / P ) [ X ] (A/P)[X] ( A / P ) [ X ] X m X^m X m F ˉ \bar F F ˉ 倍数になる。A / P A/P A / P 整域 なので、その商体 の上で考えると、X m X^m X m 割り切るモニックな n n n X n X^n X n よって F ˉ = X n \bar F=X^n F ˉ = X n つまりすべての a i ∈ P a_i\in P a i ∈ P なり、仮定に反する。
P C \sqrt{PC} P C は
P C PC P C を
含む素イデアルの共通部分なので [2 , 命題1.14, p.13] 、P C ⊆ Q 0 PC\subseteq Q_0 P C ⊆ Q 0 t ∉ Q 0 t\notin Q_0 t ∈ / Q 0 なる C C C 素イデアル Q 0 Q_0 Q 0 ある。Q 0 ∩ A ⊇ P Q_0\cap A\supseteq P Q 0 ∩ A ⊇ P C C C は
自由なので平坦 で、定理16 から Q 1 ⊆ Q 0 Q_1\subseteq Q_0 Q 1 ⊆ Q 0 Q 1 ∩ A = P Q_1\cap A=P Q 1 ∩ A = P なる C C C 素イデアル Q 1 Q_1 Q 1 ある。t ∉ Q 1 t\notin Q_1 t ∈ / Q 1 B B B は
C C C 上整なので、
横たわり（第2回の定理10 ）で Q ∩ C = Q 1 Q\cap C=Q_1 Q ∩ C = Q 1 なる B B B 素イデアル Q Q Q ある。t ∈ C ∖ Q 1 t\in C\setminus Q_1 t ∈ C ∖ Q 1 t ∉ Q t\notin Q t ∈ / Q Q ∩ A = P Q\cap A=P Q ∩ A = P よって P ∈ f ( D ( t ) ) P\in f(D(t)) P ∈ f ( D ( t )) Spec B \operatorname{Spec}B Spec B の
開集合は D ( t ) D(t) D ( t ) 形の集合の和で、和の像は像の和なので、f f f 開写像。 定理は、f f f D ( t ) D(t) D ( t ) 制限した写像の像が、ちょうど D ( a 1 ) ∪ ⋯ ∪ D ( a n ) D(a_1)\cup\cdots\cup D(a_n) D ( a 1 ) ∪ ⋯ ∪ D ( a n ) なることを言っています。
D ( t ) → ⊆ Spec B f ↓ ↓ f D ( a 1 ) ∪ ⋯ ∪ D ( a n ) → ⊆ Spec A \begin{CD} D(t) @>{\subseteq}>> \operatorname{Spec}B \\ @V{f}VV @VV{f}V \\ D(a_1)\cup\cdots\cup D(a_n) @>{\subseteq}>> \operatorname{Spec}A \end{CD} D ( t ) f ↓ ⏐ D ( a 1 ) ∪ ⋯ ∪ D ( a n ) ⊆ ⊆ Spec B ↓ ⏐ f Spec A 左の縦の写像が全射であることが、⊇ \supseteq ⊇ 向きです。証明では、環の拡大を A ⊆ C = A [ t ] ⊆ B A\subseteq C=A[t]\subseteq B A ⊆ C = A [ t ] ⊆ B 2段に分けました。Spec の写像は逆向きに並びます。
A → C → B Spec A ← Spec C ← Spec B {}\begin{gathered} \begin{CD} A @>>> C @>>> B \end{CD} \\[12pt] \begin{CD} \operatorname{Spec}A @<<< \operatorname{Spec}C @<<< \operatorname{Spec}B \end{CD} \end{gathered} A C B Spec A Spec C Spec B ⊇ \supseteq ⊇ 証明で作った素イデアルを並べると、次のようになります。Q 0 Q_0 Q 0 P C \sqrt{PC} P C 議論で、Q 1 Q_1 Q 1 平坦 な A ⊆ C A\subseteq C A ⊆ C 下降定理で、Q Q Q 横たわりでとりました。t t t Q 0 Q_0 Q 0 Q 1 Q_1 Q 1 Q Q Q どれにも入りません。
Q ∩ C ↓ Q 1 ⊆ Q 0 ∩ A ↓ ↓ ∩ A P ⊆ Q 0 ∩ A \begin{CD} Q @. @. \\ @V{\cap C}VV @. @. \\ Q_1 @. \subseteq @. Q_0 \\ @V{\cap A}VV @. @VV{\cap A}V \\ P @. \subseteq @. Q_0\cap A \end{CD} Q ∩ C ↓ ⏐ Q 1 ∩ A ↓ ⏐ P ⊆ ⊆ Q 0 ↓ ⏐ ∩ A Q 0 ∩ A 松村は、この証明を H. Seydi によるものとしています。平坦 な拡大 A ⊆ A [ t ] A\subseteq A[t] A ⊆ A [ t ] 経由して、下降定理と横たわりを組み合わせる証明です。
第2回の例11 の Z ⊆ Z [ i ] \mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Z}[i] Z ⊆ Z [ i ] 像を計算してみます。
例22 Z [ i ] \mathbb{Z}[i] Z [ i ] 開集合の像
Z \mathbb{Z} Z 一意分解整域 なので整閉 で、Z [ i ] \mathbb{Z}[i] Z [ i ] Z \mathbb{Z} Z 整域 である。
(1) t = 1 + i t=1+i t = 1 + i 最小多項式 は X 2 − 2 X + 2 X^2-2X+2 X 2 − 2 X + 2 f ( D ( 1 + i ) ) = D ( − 2 ) ∪ D ( 2 ) = Spec Z ∖ { ( 2 ) } f(D(1+i))=D(-2)\cup D(2)=\operatorname{Spec}\mathbb{Z}\setminus\{(2)\} f ( D ( 1 + i )) = D ( − 2 ) ∪ D ( 2 ) = Spec Z ∖ {( 2 )} t = 2 + i t=2+i t = 2 + i 最小多項式 は X 2 − 4 X + 5 X^2-4X+5 X 2 − 4 X + 5 f ( D ( 2 + i ) ) = D ( − 4 ) ∪ D ( 5 ) = Spec Z f(D(2+i))=D(-4)\cup D(5)=\operatorname{Spec}\mathbb{Z} f ( D ( 2 + i )) = D ( − 4 ) ∪ D ( 5 ) = Spec Z t = 3 t=3 t = 3 X − 3 X-3 X − 3 f ( D ( 3 ) ) = D ( 3 ) f(D(3))=D(3) f ( D ( 3 )) = D ( 3 )
証明 開く 閉じる 最小多項式 は
X 2 − ( t + t ˉ ) X + t t ˉ X^2-(t+\bar t)X+t\bar t X 2 − ( t + t ˉ ) X + t t ˉ で、
1 + i 1+i 1 + i では
t + t ˉ = 2 t+\bar t=2 t + t ˉ = 2 、
t t ˉ = 2 t\bar t=2 t t ˉ = 2 、
2 + i 2+i 2 + i では
4 4 4 と
5 5 5 。
D ( − 4 ) ∪ D ( 5 ) D(-4)\cup D(5) D ( − 4 ) ∪ D ( 5 ) は
V ( 4 , 5 ) = V ( 1 ) = ∅ V(4,5)=V(1)=\varnothing V ( 4 , 5 ) = V ( 1 ) = ∅ の
補集合なので全体である。 第2回の例11 と
比べる。1 + i 1+i 1 + i 含む素イデアルは ( 1 + i ) (1+i) ( 1 + i ) その下は 2 2 2 2 2 2 上には ( 1 + i ) (1+i) ( 1 + i ) 2 2 2 像から外れる。 2 + i 2+i 2 + i を
含む素イデアルは ( 2 + i ) (2+i) ( 2 + i ) 5 5 5 上にはもう1点 ( 2 − i ) (2-i) ( 2 − i ) あり、2 + i 2+i 2 + i 含まない（5 5 5 上の2点は異なる）。よって像は全体。
t = 1 + i t=1+i t = 1 + i 最小多項式
X 2 − 2 X + 2 X^2-2X+2 X 2 − 2 X + 2 f ( D ( t ) ) = D ( 2 ) f(D(t))=D(2) f ( D ( t )) = D ( 2 ) t = 2 + i t=2+i t = 2 + i 最小多項式
X 2 − 4 X + 5 X^2-4X+5 X 2 − 4 X + 5 f ( D ( t ) ) = D ( 4 ) ∪ D ( 5 ) = Spec Z f(D(t))=D(4)\cup D(5)=\operatorname{Spec}\mathbb{Z} f ( D ( t )) = D ( 4 ) ∪ D ( 5 ) = Spec Z 図6 具体例 Spec Z [ i ] → Spec Z \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[i]\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z} Spec Z [ i ] → Spec Z D ( t ) D(t) D ( t ) Z [ i ] \mathbb{Z}[i] Z [ i ] Z \mathbb{Z} Z ( 0 ) (0) ( 0 ) 生成点 です。オレンジの白抜きの点が D ( t ) D(t) D ( t ) D ( t ) D(t) D ( t ) 最小多項式 の係数から決めた D ( a 1 ) ∪ D ( a 2 ) D(a_1)\cup D(a_2) D ( a 1 ) ∪ D ( a 2 )
例23 放物線の開集合の像
k k k 標数 が2でない体、A = k [ x ] ⊆ B = k [ x , y ] / ( y 2 − x ) ≅ k [ y ] A=k[x]\subseteq B=k[x,y]/(y^2-x)\cong k[y] A = k [ x ] ⊆ B = k [ x , y ] / ( y 2 − x ) ≅ k [ y ] する。
(1) t = y t=y t = y 最小多項式 X 2 − x X^2-x X 2 − x f ( D ( y ) ) = D ( x ) f(D(y))=D(x) f ( D ( y )) = D ( x ) t = y − 1 t=y-1 t = y − 1 最小多項式 ( X + 1 ) 2 − x = X 2 + 2 X + ( 1 − x ) (X+1)^2-x=X^2+2X+(1-x) ( X + 1 ) 2 − x = X 2 + 2 X + ( 1 − x ) f ( D ( y − 1 ) ) = D ( 2 ) ∪ D ( 1 − x ) = Spec k [ x ] f(D(y-1))=D(2)\cup D(1-x)=\operatorname{Spec}k[x] f ( D ( y − 1 )) = D ( 2 ) ∪ D ( 1 − x ) = Spec k [ x ] t = y 2 − 1 = x − 1 t=y^2-1=x-1 t = y 2 − 1 = x − 1 最小多項式 X − ( x − 1 ) X-(x-1) X − ( x − 1 ) f ( D ( x − 1 ) ) = D ( x − 1 ) f(D(x-1))=D(x-1) f ( D ( x − 1 )) = D ( x − 1 )
D ( y ) D(y) D ( y ) 外れるのは原点 ( y ) (y) ( y ) その下の点 ( x ) (x) ( x ) 上には原点しかありません。D ( y − 1 ) D(y-1) D ( y − 1 ) 外れる点 y = 1 y=1 y = 1 下の点 x = 1 x=1 x = 1 もう1点 y = − 1 y=-1 y = − 1 あります。y 2 − 1 y^2-1 y 2 − 1 y = ± 1 y=\pm1 y = ± 1 両方で0なので、x = 1 x=1 x = 1 上の点がすべて外れます。
命題19 (2) の対偶から、下降性質のない写像は開写像ではありません。具体的に像を求めると、開集合でないことが分かります。
例24 開写像でない例
(1) 例8 の結節点の柱で、開集合 D ( s − t − 1 ) D(s-t-1) D ( s − t − 1 ) 直線 L L L 除いたもの）の像は P 1 P_1 P 1 含むが P 2 P_2 P 2 含まない。よって開集合でない。例18 のチャートで、開集合 D ( n − 1 ) D(n-1) D ( n − 1 ) 像は P ′ = ( x , y ) P'=(x,y) P ′ = ( x , y ) 含むが P = ( x − y ) P=(x-y) P = ( x − y ) 含まない。よって開集合でない。
証明 開く 閉じる (1)
Q 1 = ( t − 1 , s ) Q_1=(t-1,s) Q 1 = ( t − 1 , s ) は
s − t − 1 s-t-1 s − t − 1 を
含まないので D ( s − t − 1 ) D(s-t-1) D ( s − t − 1 ) 入り、P 1 P_1 P 1 写る。P 2 P_2 P 2 上の素イデアルは L L L L ∉ D ( s − t − 1 ) L\notin D(s-t-1) L ∈ / D ( s − t − 1 ) P 2 ⊆ P 1 P_2\subseteq P_1 P 2 ⊆ P 1 なので、
P 1 P_1 P 1 を
含む開集合は P 2 P_2 P 2 含むはずである。像は P 1 P_1 P 1 含み P 2 P_2 P 2 含まないので、開集合でない。 (2)
( n , y ) = ( 0 , 0 ) (n,y)=(0,0) ( n , y ) = ( 0 , 0 ) の
点 Q ′ Q' Q ′ D ( n − 1 ) D(n-1) D ( n − 1 ) 入り P ′ P' P ′ 写る。P P P 上の素イデアルはすべて n − 1 n-1 n − 1 含むので、D ( n − 1 ) D(n-1) D ( n − 1 ) 入らない。あとは (1) と同じ。 実数の点で描くと、(1) の像は「曲面 S S S 曲線 C C C 除き、C C C 2点 O O O ( 0 , 0 , 2 ) (0,0,2) ( 0 , 0 , 2 ) 戻したもの」です。(2) の像は「平面から直線 x = y x=y x = y 除き、原点を戻したもの」です。どちらも、除いた曲線の上に1点だけ残っていて、開集合になりません。
まとめ
拡大 整か 平坦 か上昇 下降 開写像
Z ⊆ Z [ i ] \mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Z}[i] Z ⊆ Z [ i ] 整（A A A 整閉 ） 平坦 （自由）○ ○ ○ k [ u 2 , y ] ⊆ k [ u , y ] k[u^2,y]\subseteq k[u,y] k [ u 2 , y ] ⊆ k [ u , y ] 整（A A A 整閉 ） 平坦 （自由）○ ○ ○ 結節点の柱 ⊆ k [ t , s ] \subseteq k[t,s] ⊆ k [ t , s ] 整（A A A 整閉 でない） 平坦 でない○ × × k [ x , y ] → k [ x , y ] × k k[x,y]\to k[x,y]\times k k [ x , y ] → k [ x , y ] × k 整（B B B 整域 でない） 平坦 でない○ × × k [ x ] ⊆ k [ x , y ] k[x]\subseteq k[x,y] k [ x ] ⊆ k [ x , y ] 整でない 平坦 （自由）× ○ ○ k [ x ] ⊆ k [ x , 1 / x ] k[x]\subseteq k[x,1/x] k [ x ] ⊆ k [ x , 1/ x ] 整でない 平坦 （局所化）× ○ ○ k [ x , y ] ⊆ k [ x , y , x / y ] k[x,y]\subseteq k[x,y,x/y] k [ x , y ] ⊆ k [ x , y , x / y ] 整でない 平坦 でない× × ×
上昇は整拡大で成り立ち、閉写像につながります。下降は、整閉 整域 の上の整域 の整拡大や、平坦 な拡大で成り立ち、開写像につながります。
整拡大で下降定理も成り立つと、高さが ht Q = ht ( Q ∩ A ) \operatorname{ht}Q=\operatorname{ht}(Q\cap A) ht Q = ht ( Q ∩ A ) そろいます。整閉 でない例や B B B 整域 でない例では、2枚の面の貼り合わせや孤立した点のせいで、一般化が持ち上がりません。
もう少し詳しく 表の確かめ方
上昇の○は、整拡大であること（前回の上昇定理）から分かります。k [ x ] ⊆ k [ x , 1 / x ] k[x]\subseteq k[x,1/x] k [ x ] ⊆ k [ x , 1/ x ] k [ x , y ] ⊆ k [ x , y , x / y ] k[x,y]\subseteq k[x,y,x/y] k [ x , y ] ⊆ k [ x , y , x / y ] ×は、( x ) (x) ( x ) ( y ) (y) ( y ) 上に ( 0 ) (0) ( 0 ) 延びる鎖がないことから分かります。後者では、y y y 含む素イデアルは x = n y x=ny x = n y 含むからです。
下降の○は定理6 か定理16 から、×は例8 ・例12 ・例18 から分かります。平坦 でないことは、下降が×であることと定理16 の対偶から言えます。
開写像の○は定理21 か命題20 から、×は命題19 (2) の対偶からです。
次回：ネーターの正規化定理と超越次数
次回 は、体 k k k 有限生成な整域 B B B 次元を、商体 の超越次数 で求めます。道具はネーターの正規化定理 で、B B B 多項式環 A = k [ y 1 , … , y d ] A=k[y_1,\dots,y_d] A = k [ y 1 , … , y d ] なるように表せます（第4回の定理4 ）。
A A A 一意分解整域 なので整閉 で、今回の補題11 が使えます。B B B どの極大イデアル M M M dim B M = dim A M ∩ A \dim B_M=\dim A_{M\cap A} dim B M = dim A M ∩ A なり、多項式環の計算に帰着します。こうして、どの点での局所的な次元も、超越次数 d d d 等しいことが分かります（第4回の系18 ）。
第2回の定理12 上昇定理
A ⊆ B A\subseteq B A ⊆ B 整拡大とする。A A A 素イデアルの鎖 P 1 ⊆ ⋯ ⊆ P n P_1\subseteq\cdots\subseteq P_n P 1 ⊆ ⋯ ⊆ P n B B B 素イデアルの鎖 Q 1 ⊆ ⋯ ⊆ Q m Q_1\subseteq\cdots\subseteq Q_m Q 1 ⊆ ⋯ ⊆ Q m m < n m<n m < n Q i ∩ A = P i Q_i\cap A=P_i Q i ∩ A = P i 1 ≤ i ≤ m 1\le i\le m 1 ≤ i ≤ m なるものがあるとする。このとき、Q m ⊆ Q m + 1 ⊆ ⋯ ⊆ Q n Q_m\subseteq Q_{m+1}\subseteq\cdots\subseteq Q_n Q m ⊆ Q m + 1 ⊆ ⋯ ⊆ Q n 延ばして、Q i ∩ A = P i Q_i\cap A=P_i Q i ∩ A = P i 1 ≤ i ≤ n 1\le i\le n 1 ≤ i ≤ n できる。
第2回の系13 整拡大で次元は変わらない
A ⊆ B A\subseteq B A ⊆ B 整拡大とする。
(1) dim B = dim A \dim B=\dim A dim B = dim A B B B 素イデアル Q Q Q ついて ht Q ≤ ht ( Q ∩ A ) \operatorname{ht}Q\le\operatorname{ht}(Q\cap A) ht Q ≤ ht ( Q ∩ A )
第2回の定義1 Spec の写像
環 A ⊆ B A\subseteq B A ⊆ B ついて、B B B 素イデアル Q Q Q 対し Q ∩ A Q\cap A Q ∩ A A A A 素イデアルである。写像 Spec B → Spec A , Q ↦ Q ∩ A \operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A,\ Q\mapsto Q\cap A Spec B → Spec A , Q ↦ Q ∩ A 考える。Q ∩ A = P Q\cap A=P Q ∩ A = P とき、Q Q Q P P P 上にある と言う。
第2回の定理10 横たわり
A ⊆ B A\subseteq B A ⊆ B 整拡大とする。A A A 任意の素イデアル P P P ついて、Q ∩ A = P Q\cap A=P Q ∩ A = P なる B B B 素イデアル Q Q Q ある。つまり Spec B → Spec A \operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A Spec B → Spec A 全射である。
第2回の系9 比較不能性
A ⊆ B A\subseteq B A ⊆ B 整拡大とし、B B B 素イデアル Q ⊆ Q ′ Q\subseteq Q' Q ⊆ Q ′ Q ∩ A = Q ′ ∩ A Q\cap A=Q'\cap A Q ∩ A = Q ′ ∩ A みたすとする。このとき Q = Q ′ Q=Q' Q = Q ′
第2回の系8
A ⊆ B A\subseteq B A ⊆ B 整拡大、Q Q Q B B B 素イデアル、P = Q ∩ A P=Q\cap A P = Q ∩ A する。Q Q Q 極大イデアルであることと、P P P 極大イデアルであることは同値である。
第2回の例11 Z [ i ] \mathbb{Z}[i] Z [ i ] 素イデアル
Z [ i ] ≅ Z [ x ] / ( x 2 + 1 ) \mathbb{Z}[i]\cong\mathbb{Z}[x]/(x^2+1) Z [ i ] ≅ Z [ x ] / ( x 2 + 1 ) 素数 p p p 上にある点は次のとおりである。
(1) x 2 + 1 ≡ 0 ( m o d p ) x^2+1\equiv0\pmod p x 2 + 1 ≡ 0 ( mod p ) 根 r r r もてば、( p , i − r ) (p,\ i-r) ( p , i − r ) 根が2つ（p ≡ 1 ( m o d 4 ) p\equiv1\pmod4 p ≡ 1 ( mod 4 ) 2点、1つ（p = 2 p=2 p = 2 1点。なければ（p ≡ 3 ( m o d 4 ) p\equiv3\pmod4 p ≡ 3 ( mod 4 ) ( p ) (p) ( p ) 1点で、剰余体は F p [ x ] / ( x 2 + 1 ) = F p 2 \mathbb{F}_p[x]/(x^2+1)=\mathbb{F}_{p^2} F p [ x ] / ( x 2 + 1 ) = F p 2
p = 5 : x 2 + 1 ≡ ( x − 2 ) ( x + 2 ) : ( 5 , i − 2 ) = ( 2 − i ) : ( 5 , i + 2 ) = ( 2 + i ) p = 13 : x 2 + 1 ≡ ( x − 5 ) ( x + 5 ) : ( 13 , i − 5 ) = ( 3 + 2 i ) : ( 13 , i + 5 ) = ( 3 − 2 i ) p = 2 : x 2 + 1 ≡ ( x + 1 ) 2 : ( 2 , i + 1 ) = ( 1 + i ) \begin{aligned} p=5&:\,x^2+1\equiv(x-2)(x+2)\\ &\phantom{:\,}(5,\ i-2)=(2-i)\\ &\phantom{:\,}(5,\ i+2)=(2+i)\\[4pt] p=13&:\,x^2+1\equiv(x-5)(x+5)\\ &\phantom{:\,}(13,\ i-5)=(3+2i)\\ &\phantom{:\,}(13,\ i+5)=(3-2i)\\[4pt] p=2&:\,x^2+1\equiv(x+1)^2\\ &\phantom{:\,}(2,\ i+1)=(1+i)\end{aligned} p = 5 p = 13 p = 2 : x 2 + 1 ≡ ( x − 2 ) ( x + 2 ) : ( 5 , i − 2 ) = ( 2 − i ) : ( 5 , i + 2 ) = ( 2 + i ) : x 2 + 1 ≡ ( x − 5 ) ( x + 5 ) : ( 13 , i − 5 ) = ( 3 + 2 i ) : ( 13 , i + 5 ) = ( 3 − 2 i ) : x 2 + 1 ≡ ( x + 1 ) 2 : ( 2 , i + 1 ) = ( 1 + i ) p = 3 p=3 p = 3 x 2 + 1 x^2+1 x 2 + 1 F 3 \mathbb{F}_3 F 3 根をもたず（0 2 + 1 , 1 2 + 1 , 2 2 + 1 0^2+1,\ 1^2+1,\ 2^2+1 0 2 + 1 , 1 2 + 1 , 2 2 + 1 1 , 2 , 2 1,2,2 1 , 2 , 2 上の点は ( 3 ) (3) ( 3 )
図で読む代数幾何 第2回の命題6
P ∈ Spec A P\in\operatorname{Spec}A P ∈ Spec A する。
(1) 1点集合 { P } \{P\} { P } 閉包は V ( P ) V(P) V ( P ) Q Q Q { P } \{P\} { P } 閉包に入る ⟺ \iff ⟺ P ⊆ Q P\subseteq Q P ⊆ Q { P } \{P\} { P } 閉集合 ⟺ \iff ⟺ P P P 極大イデアル。
図で読む代数幾何 第2回の定理8 既約な閉集合と点
A A A 環とする。対応 P ↦ V ( P ) P\mapsto V(P) P ↦ V ( P ) Spec A \operatorname{Spec}A Spec A Spec A \operatorname{Spec}A Spec A 既約な閉集合全体への全単射である。言い換えると、Spec A \operatorname{Spec}A Spec A 既約な閉集合は、どれもちょうど1つの生成点 をもつ。
第2回の定義2 整・整拡大・有限
環 A ⊆ B A\subseteq B A ⊆ B する。
(1) x ∈ B x\in B x ∈ B A A A a 1 , … , a n ∈ A a_1,\dots,a_n\in A a 1 , … , a n ∈ A n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 あって
x n + a 1 x n − 1 + ⋯ + a n − 1 x + a n = 0 \begin{aligned} &x^n+a_1x^{n-1}+\cdots \\ &\quad+a_{n-1}x+a_n=0 \end{aligned} x n + a 1 x n − 1 + ⋯ + a n − 1 x + a n = 0 となることをいう。最高次の係数が1の多項式をモニック と呼ぶ。B B B すべての元が A A A とき、B B B A A A または A ⊆ B A\subseteq B A ⊆ B 整拡大 であるという。B B B A A A 加群 として有限生成のとき、B B B A A A 有限 であるという。
第2回の系5
環 A ⊆ B A\subseteq B A ⊆ B する。
(1) x 1 , … , x n ∈ B x_1,\dots,x_n\in B x 1 , … , x n ∈ B すべて A A A A [ x 1 , … , x n ] A[x_1,\dots,x_n] A [ x 1 , … , x n ] 有限生成 A A A 加群 である。B B B A A A B B B A A A B B B 元で A A A もの全体は、B B B 部分環である。これを B B B おける A A A 整閉包 と呼ぶ。
第2回の定義17 整閉整域
整域 A A A その商体 の中での A A A 整閉 包に等しいとき、A A A 整閉整域 （正規）であるという。
第2回の命題4 整な元の特徴づけ
環 A ⊆ B A\subseteq B A ⊆ B x ∈ B x\in B x ∈ B ついて、次は同値である。
(1) x x x A A A A [ x ] A[x] A [ x ] 有限生成 A A A 加群 。A [ x ] ⊆ C ⊆ B A[x]\subseteq C\subseteq B A [ x ] ⊆ C ⊆ B なる部分環 C C C 有限生成 A A A 加群 であるものがある。忠実 な A [ x ] A[x] A [ x ] 加群 M M M A A A 加群 として有限生成であるものがある。
図で読む代数幾何 第3回の定義10 局所化
環 A A A 部分集合 S S S 1 ∈ S 1\in S 1 ∈ S みたし、積について閉じているとき、S S S 積閉集合 と呼ぶ。a ∈ A , s ∈ S a\in A,\ s\in S a ∈ A , s ∈ S 組を a / s a/s a / s 書き、u ( a t − b s ) = 0 u(at-bs)=0 u ( a t − b s ) = 0 なる u ∈ S u\in S u ∈ S あるとき a / s = b / t a/s=b/t a / s = b / t 同一視したものの全体を S − 1 A S^{-1}A S − 1 A 書く。和と積を分数と同じ式で定めると環になる。とくに、
素イデアル P P P ついて S = A ∖ P S=A\setminus P S = A ∖ P 環を A P A_P A P 書き、A A A P P P 局所化 と呼ぶ。
f ∈ A f\in A f ∈ A ついて S = { 1 , f , f 2 , … } S=\{1,f,f^2,\dots\} S = { 1 , f , f 2 , … } 環を A f A_f A f 書く。
第2回の定理18
A A A 整閉 整域 、K K K その商体 、L L L K K K 有限次正規拡大 、B B B L L L おける A A A 整閉 包とする。A A A 素イデアル P P P 上にある B B B 素イデアルは、G = Aut ( L / K ) G=\operatorname{Aut}(L/K) G = Aut ( L / K ) 作用で互いに移りあう。
第1回の定義9 高さ・余高度
P P P 環 A A A 素イデアルとする。P P P 終わる素イデアルの鎖 P 0 ⊊ ⋯ ⊊ P n = P P_0\subsetneq\cdots\subsetneq P_n=P P 0 ⊊ ⋯ ⊊ P n = P 長さの上限を P P P 高さ と呼び、ht P \operatorname{ht}P ht P 書く。P P P 始まる鎖 P = P 0 ⊊ ⋯ ⊊ P n P=P_0\subsetneq\cdots\subsetneq P_n P = P 0 ⊊ ⋯ ⊊ P n 長さの上限を余高度 と呼び、coht P \operatorname{coht}P coht P 書く。
第1回の命題10
P P P 環 A A A 素イデアルとする。
(1) ht P = dim A P \operatorname{ht}P=\dim A_P ht P = dim A P coht P = dim A / P \operatorname{coht}P=\dim A/P coht P = dim A / P ht P + coht P ≤ dim A \operatorname{ht}P+\operatorname{coht}P\le\dim A ht P + coht P ≤ dim A dim A = sup M ht M \dim A=\sup_M\operatorname{ht}M dim A = sup M ht M M M M 極大イデアルの全体を動く）。
図で読む代数幾何 第8回の命題7 パラメータに値を代入する
A = B [ x 1 , … , x n ] / ( g 1 , … , g r ) A=B[x_1,\dots,x_n]/(g_1,\dots,g_r) A = B [ x 1 , … , x n ] / ( g 1 , … , g r ) P ∈ Spec B P\in\operatorname{Spec}B P ∈ Spec B する。g i g_i g i 係数を κ ( P ) \kappa(P) κ ( P ) 移した多項式を g ˉ i ∈ κ ( P ) [ x 1 , … , x n ] \bar g_i\in\kappa(P)[x_1,\dots,x_n] g ˉ i ∈ κ ( P ) [ x 1 , … , x n ] 書くと、
A ⊗ B κ ( P ) ≅ κ ( P ) [ x 1 , … , x n ] ≅ / ( g ˉ 1 , … , g ˉ r ) \begin{aligned} A\otimes_B\kappa(P)&\cong\kappa(P)[x_1,\dots,x_n]\\ &\phantom{{}\cong{}}/(\bar g_1,\dots,\bar g_r) \end{aligned} A ⊗ B κ ( P ) ≅ κ ( P ) [ x 1 , … , x n ] ≅ / ( g ˉ 1 , … , g ˉ r ) である。
図で読む代数幾何 第7回の命題5 ブローアップのチャート
(1) W 0 → A 2 W_0\to\mathbb{A}^2 W 0 → A 2 ( ( x , y ) , [ u 0 : u 1 ] ) ↦ ( x , m ) \bigl((x,y),[u_0:u_1]\bigr)\mapsto(x,m) ( ( x , y ) , [ u 0 : u 1 ] ) ↦ ( x , m ) m = u 1 / u 0 m=u_1/u_0 m = u 1 / u 0 全単射で、逆写像は ( x , m ) ↦ ( ( x , m x ) , [ 1 : m ] ) (x,m)\mapsto\bigl((x,mx),[1:m]\bigr) ( x , m ) ↦ ( ( x , m x ) , [ 1 : m ] ) 同じく W 1 → A 2 W_1\to\mathbb{A}^2 W 1 → A 2 ( ( x , y ) , [ u 0 : u 1 ] ) ↦ ( n , y ) \bigl((x,y),[u_0:u_1]\bigr)\mapsto(n,y) ( ( x , y ) , [ u 0 : u 1 ] ) ↦ ( n , y ) n = u 0 / u 1 n=u_0/u_1 n = u 0 / u 1 全単射で、逆写像は ( n , y ) ↦ ( ( n y , y ) , [ n : 1 ] ) (n,y)\mapsto\bigl((ny,y),[n:1]\bigr) ( n , y ) ↦ ( ( n y , y ) , [ n : 1 ] )
(2) この座標で、π \pi π ( x , m ) ↦ ( x , m x ) (x,m)\mapsto(x,mx) ( x , m ) ↦ ( x , m x ) ( n , y ) ↦ ( n y , y ) (n,y)\mapsto(ny,y) ( n , y ) ↦ ( n y , y ) 書け、E E E W 0 W_0 W 0 x = 0 x=0 x = 0 W 1 W_1 W 1 y = 0 y=0 y = 0 定まる。
(3) 重なり W 0 ∩ W 1 W_0\cap W_1 W 0 ∩ W 1 W 0 W_0 W 0 m ≠ 0 m\neq0 m = 0 W 1 W_1 W 1 n ≠ 0 n\neq0 n = 0 部分で、座標は次のように移り合う。
n = 1 m y = m x n=\frac1m\qquad y=mx n = m 1 y = m x n = 1 m y = m x \begin{gathered}n=\frac1m\\y=mx\end{gathered} n = m 1 y = m x n = 1 m y = m x \begin{aligned}n &= \frac1m\\[4pt]y &= mx\end{aligned} n y = m 1 = m x 逆向きは m = 1 / n m=1/n m = 1/ n x = n y x=ny x = n y
図で読む代数幾何 第2回の命題3
A A A 環、J , K J,K J , K イデアル、S λ S_\lambda S λ λ ∈ Λ \lambda\in\Lambda λ ∈ Λ 部分集合とする。
(1) V ( 0 ) = Spec A V(0)=\operatorname{Spec}A V ( 0 ) = Spec A V ( 1 ) = ∅ V(1)=\varnothing V ( 1 ) = ∅ ⋂ λ V ( S λ ) = V ( ⋃ λ S λ ) \bigcap_\lambda V(S_\lambda)=V\big(\bigcup_\lambda S_\lambda\big) ⋂ λ V ( S λ ) = V ( ⋃ λ S λ ) V ( J ) ∪ V ( K ) = V ( J K ) = V ( J ∩ K ) V(J)\cup V(K)=V(JK)=V(J\cap K) V ( J ) ∪ V ( K ) = V ( J K ) = V ( J ∩ K ) V ( J ) ⊆ V ( K ) ⟺ K ⊆ J V(J)\subseteq V(K)\iff\sqrt{K}\subseteq\sqrt{J} V ( J ) ⊆ V ( K ) ⟺ K ⊆ J とくに V ( J ) = V ( J ) V(J)=V(\sqrt{J}) V ( J ) = V ( J )
図で読む代数幾何 第8回の命題4
φ : B → A \varphi\colon B\to A φ : B → A 環の準同型とする。
(1) Q ∈ Spec A Q\in\operatorname{Spec}A Q ∈ Spec A ついて φ − 1 ( Q ) \varphi^{-1}(Q) φ − 1 ( Q ) B B B 素イデアルで、f ( Q ) = φ − 1 ( Q ) f(Q)=\varphi^{-1}(Q) f ( Q ) = φ − 1 ( Q ) 決まる写像 f : Spec A → Spec B f\colon\operatorname{Spec}A\to\operatorname{Spec}B f : Spec A → Spec B 連続である。実際、B B B イデアル J J J ついて f − 1 ( V ( J ) ) = V ( φ ( J ) A ) f^{-1}(V(J))=V(\varphi(J)A) f − 1 ( V ( J )) = V ( φ ( J ) A ) なる。Q Q Q b / s ↦ φ ( b ) / φ ( s ) b/s\mapsto\varphi(b)/\varphi(s) b / s ↦ φ ( b ) / φ ( s ) 局所準同型 B f ( Q ) → A Q B_{f(Q)}\to A_Q B f ( Q ) → A Q 与える。これを茎の写像とするスキーム の射 ( f , f # ) (f,f^\#) ( f , f # ) ある。Spec A \operatorname{Spec}A Spec A Spec B \operatorname{Spec}B Spec B スキーム の射は、すべて (2) の形で、ただ1つの環の準同型 φ \varphi φ 来る。φ \varphi φ 全体の上の関数の写像 f # : O ( Spec B ) = B → O ( Spec A ) = A f^\#\colon\mathcal{O}(\operatorname{Spec}B)=B\to\mathcal{O}(\operatorname{Spec}A)=A f # : O ( Spec B ) = B → O ( Spec A ) = A
第2回の命題16 閉写像
A ⊆ B A\subseteq B A ⊆ B 整拡大とする。B B B イデアル J J J ついて、Spec B → Spec A \operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A Spec B → Spec A よる V ( J ) V(J) V ( J ) 像は V ( J ∩ A ) V(J\cap A) V ( J ∩ A ) とくにこの写像は閉写像である。
第4回の定理4 ネーターの正規化定理
A ≠ 0 A\neq0 A = 0 体 k k k 代数とする。
(1) k k k 代数的に独立 な y 1 , … , y d ∈ A y_1,\dots,y_d\in A y 1 , … , y d ∈ A あって、A A A k [ y 1 , … , y d ] k[y_1,\dots,y_d] k [ y 1 , … , y d ] 加群 として有限生成である。とくに A A A k [ y 1 , … , y d ] k[y_1,\dots,y_d] k [ y 1 , … , y d ] k k k 無限体 で A = k [ x 1 , … , x n ] A=k[x_1,\dots,x_n] A = k [ x 1 , … , x n ] y 1 , … , y d y_1,\dots,y_d y 1 , … , y d x 1 , … , x n x_1,\dots,x_n x 1 , … , x n k k k 1次結合にとれる。
第4回の系18 局所次元
B B B 体 k k k 整域 とする。B B B すべての極大イデアル M M M ついて dim B M = dim B \dim B_M=\dim B dim B M = dim B
0 でも単元でもない元が、既約元の積に、順番と単元倍を除いて一通りに分解できる整域。例：Z \mathbb{Z} Z 体上の多項式環 k [ x 1 , … , x n ] k[x_1,\dots,x_n] k [ x 1 , … , x n ] ここでは既約元が生成するイデアルは素イデアルになる。
平坦な A A A N N N A A A M ≠ 0 M\neq0 M = 0 M ⊗ A N ≠ 0 M\otimes_AN\neq0 M ⊗ A N = 0 なるもの。平坦な環の準同型 A → B A\to B A → B Spec B → Spec A \operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A Spec B → Spec A 全射であることと同値。局所環の局所的な準同型は、平坦なら忠実平坦。
整域 A A A 整閉とは、商体の元 x x x A A A 最高次の係数1の多項式の根になるなら x ∈ A x\in A x ∈ A なること。例：Z \mathbb{Z} Z k [ t ] k[t] k [ t ] 整閉。k [ t 2 , t 3 ] k[t^2,t^3] k [ t 2 , t 3 ] t t t x 2 − t 2 x^2-t^2 x 2 − t 2 根なのに t t t 含まないので整閉でない。
0 でない元どうしの積が0にならない可換環（a b = 0 ab=0 ab = 0 a = 0 a=0 a = 0 b = 0 b=0 b = 0 例：Z \mathbb{Z} Z 体上の多項式環。A / P A/P A / P 整域であることと、P P P 素イデアルであることは同値。
環の準同型 B → A B\to A B → A 平坦とは、B B B 単射 N ′ → N N'\to N N ′ → N 作った A ⊗ B N ′ → A ⊗ B N A\otimes_BN'\to A\otimes_BN A ⊗ B N ′ → A ⊗ B N 必ず単射になること。底が k [ t ] k[t] k [ t ] Z \mathbb{Z} Z A A A ねじれ（b a = 0 ba=0 ba = 0 なる 0 0 0 b ∈ B b\in B b ∈ B a ∈ A a\in A a ∈ A ないことと同じ。
既約な閉集合 Z Z Z 対して、閉包がちょうど Z Z Z なる点を Z Z Z 生成点と呼ぶ。Spec k [ x , y ] \operatorname{Spec}k[x,y] Spec k [ x , y ] 素イデアル ( 0 ) (0) ( 0 ) 対応する点が平面全体の生成点になる。
体 K K K 元 α \alpha α ついて、α \alpha α 根にもつ K K K モニックな多項式のうち次数が最小のもの。K K K α \alpha α 根にもつ多項式はすべてこれで割り切れる。例：2 \sqrt2 2 Q \mathbb{Q} Q 最小多項式は t 2 − 2 t^2-2 t 2 − 2
環 A A A 上の加群（A A A 足し算について可換群で、A A A 元を掛けられ、分配法則などベクトル空間と同じ規則をみたすもの。体の上の加群はベクトル空間で、A A A イデアルも A A A
整域 A A A 元の分数 a / b a/b a / b b ≠ 0 b\neq0 b = 0 全体がなす体。Frac A \operatorname{Frac}A Frac A 書く。例：Z \mathbb{Z} Z 商体は Q \mathbb{Q} Q k [ x ] k[x] k [ x ] 商体は有理関数体 k ( x ) k(x) k ( x )
イデアル J J J 根基 J \sqrt J J ある n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 x n ∈ J x^n\in J x n ∈ J なる元 x x x 全体。J J J 含む素イデアルすべての共通部分に等しい。例：k [ x , y ] k[x,y] k [ x , y ] ( x 2 , x y ) = ( x ) \sqrt{(x^2,\,xy)}=(x) ( x 2 , x y ) = ( x )
環 A A A イデアル J J J 割った環 A / J A/J A / J 差が J J J 入る元どうしを同じとみなす。例：k [ x , y ] / ( y ) ≅ k [ x ] k[x,y]/(y)\cong k[x] k [ x , y ] / ( y ) ≅ k [ x ]
環 A A A イデアル J J J ついて、A / J A/J A / J イデアルは、J J J 含む A A A イデアル K K K 像 K / J K/J K / J 1対1に対応する。素イデアルは素イデアルに、極大イデアルは極大イデアルに対応する。
定数でなく、定数でない2つの多項式の積に分解できない多項式。例：R [ x ] \mathbb{R}[x] R [ x ] x 2 + 1 x^2+1 x 2 + 1 C [ x ] \mathbb{C}[x] C [ x ] ( x + i ) ( x − i ) (x+i)(x-i) ( x + i ) ( x − i ) 分解するので既約ではない。
体の代数拡大 L / K L/K L / K L L L 元の K K K 共役（最小多項式の根）がすべて L L L 入るもの。例：Q ( i ) / Q \mathbb{Q}(i)/\mathbb{Q} Q ( i ) / Q Q ( 2 3 ) / Q \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q} Q ( 3 2 ) / Q 正規でない。
体 k k k 1 + 1 + ⋯ + 1 1+1+\dots+1 1 + 1 + ⋯ + 1 p p p = 0 =0 = 0 なる最小の正の整数 p p p そのような p p p なければ標数0と言う。標数は0か素数で、F p \mathbb{F}_p F p 標数は p p p Q , R , C \mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C} Q , R , C 標数は0。体でない環でも同じように定める（Z \mathbb{Z} Z 標数は0、Z / 6 \mathbb{Z}/6 Z /6 標数は6）。0か素数になるのは体や整域の場合。
体 k k k 含む環の元 y 1 , … , y d y_1,\dots,y_d y 1 , … , y d k k k 独立とは、0 でない多項式 g g g g ( y 1 , … , y d ) = 0 g(y_1,\dots,y_d)=0 g ( y 1 , … , y d ) = 0 なるものがないこと。このとき k [ y 1 , … , y d ] k[y_1,\dots,y_d] k [ y 1 , … , y d ] d d d 多項式環と同じものになる。
環の準同型 B → A B\to A B → A B → C B\to C B → C 作る環 A ⊗ B C A\otimes_BC A ⊗ B C a ⊗ c a\otimes c a ⊗ c 形の元の和からなり、b ∈ B b\in B b ∈ B ついて ( b a ) ⊗ c = a ⊗ ( b c ) (ba)\otimes c=a\otimes(bc) ( ba ) ⊗ c = a ⊗ ( b c ) 例：B [ x ] ⊗ B C ≅ C [ x ] B[x]\otimes_BC\cong C[x] B [ x ] ⊗ B C ≅ C [ x ] A ⊗ B ( B / J ) ≅ A / J A A\otimes_B(B/J)\cong A/JA A ⊗ B ( B / J ) ≅ A / J A 加群 M , N M,N M , N ついても同じように M ⊗ B N M\otimes_BN M ⊗ B N 作る。
加群（ベクトル空間でもよい）の準同型の列 0 → U → α V → β W → 0 0\to U\xrightarrow{\alpha}V\xrightarrow{\beta}W\to0 0 → U α V β W → 0 α \alpha α 単射、β \beta β 全射、Im α = Ker β \operatorname{Im}\alpha=\operatorname{Ker}\beta Im α = Ker β なるもの。このとき W ≅ V / U W\cong V/U W ≅ V / U 長さ（有限次元なら次元）について ℓ ( V ) = ℓ ( U ) + ℓ ( W ) \ell(V)=\ell(U)+\ell(W) ℓ ( V ) = ℓ ( U ) + ℓ ( W )
閉集合の減少列がどれも有限で止まる位相空間。ネーター環の Spec はネーター空間で、その閉集合は有限個の既約な閉集合の和に書ける。
すべてのイデアルが有限個の元で生成される可換環。イデアルの増大列 J 1 ⊆ J 2 ⊆ ⋯ J_1\subseteq J_2\subseteq\cdots J 1 ⊆ J 2 ⊆ ⋯ 必ずどこかで止まる、と言っても同じ。
位相空間の部分集合で、開集合と閉集合の共通部分として書けるもの。閉包の中で開集合になっている集合と言ってもよい。
ネーター環の Spec で、開集合と閉集合の共通部分を有限個合わせた集合。シュヴァレーの定理により、有限型の準同型が引き起こす写像は構成可能集合を構成可能集合に写す。例：Spec k [ x , y ] \operatorname{Spec}k[x,y] Spec k [ x , y ] 直線 x = y x=y x = y 除いて原点を戻した集合 D ( x − y ) ∪ V ( x , y ) D(x-y)\cup V(x,y) D ( x − y ) ∪ V ( x , y ) 閉集合でもない）。
体の拡大 K / k K/k K / k k k k 独立な元をできるだけ多くとったときの個数。例：有理関数体 k ( x 1 , … , x n ) k(x_1,\dots,x_n) k ( x 1 , … , x n ) k k k 超越次数は n n n
体 k k k 有限生成代数 B B B k k k 独立な元 y 1 , … , y d y_1,\dots,y_d y 1 , … , y d あって、B B B k [ y 1 , … , y d ] k[y_1,\dots,y_d] k [ y 1 , … , y d ] 有限生成加群になる、という定理。図形を d d d 空間へうまく射影できることに当たる。
環 R R R 加群 M M M 忠実であるとは、r M = 0 rM=0 r M = 0 なる r ∈ R r\in R r ∈ R 0 0 0 こと。例：R R R 忠実な R R R （r ⋅ 1 = r r\cdot1=r r ⋅ 1 = r Z / 2 Z \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} Z /2 Z 忠実な Z \mathbb{Z} Z （2 2 2 0にする）。
どの点のまわりも、ある環 A A A Spec A \operatorname{Spec}A Spec A 位相と構造層を載せた空間）と同じ形をしている空間。Spec A \operatorname{Spec}A Spec A 貼り合わせて作れる。零点集合では区別できない x = 0 x=0 x = 0 x 2 = 0 x^2=0 x 2 = 0 違いも扱える。連載第4回で定義している。
元を無限個もつ体。Q , R , C \mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C} Q , R , C 無限体の上では、すべての点で0になる多項式は0だけである。
連載 図で読む次元論
第1回 素イデアルの鎖で測る次元：クルル次元と高さ 第2回 上にある点と持ち上がる鎖：整拡大 第3回 下へ延びる鎖：下降定理と開写像 第4回 点が逃げない向きに射影する：ネーターの正規化定理と超越次数 第5回 単項式を数えて測る次元：ヒルベルト多項式 第6回 べきで割って数える：ヒルベルト–サミュエル多項式 第7回 鎖の長さ・増える速さ・切る回数：次元定理 第8回 式の本数と余次元：クルルの単項イデアル定理と高さ定理 第9回 点まで切る元の組：巴系と解析的独立 第10回 接空間と次元がそろう点：正則局所環
参考文献
松村英之 , 『復刊 可換環論』 , 共立出版, 2000 .M. F. アティヤ, I. G. マクドナルド（新妻弘 訳） , 『可換代数入門』 , 共立出版, 2006 .後藤四郎, 渡辺敬一 , 『可換環論』 , 日本評論社, 2011 .堀田良之 , 『可換環と体』 , 岩波書店, 2006 .