零点と極を数える：曲線の因子｜数学ビジュアライズ

この記事の要点

離散付値環: 0でない元がすべて $t^nu$ （ $u$ は単元）と一通りに書ける局所整域です。非特異な曲線の各点の局所環はこの形をしていて、 $n$ がその点で関数が何重に0になるか（位数）を表します。
因子と主因子: 曲線の点に整数を付けた形式的な和を因子と呼びます。関数 $f$ の零点に位数、極に負の位数を付けた和が主因子 $\operatorname{div}(f)$ です。例えば射影直線の上で $\operatorname{div}\bigl((t-1)^2/(t+1)^3\bigr)=2\{1\}-3\{-1\}+\{\infty\}$ です。
零点の数＝極の数: 射影直線（より一般に射影的な非特異曲線）では、主因子の次数は0です。重複度こみで数えると、零点と極は同じ数だけあります。射影直線の因子類群は $\mathbb{Z}$ 、アフィン直線の因子類群は0です。
3次曲線の上の関数: $y^2=x^3-x$ の上では $\operatorname{div}(x)=2(0,0)-2O$ 、 $\operatorname{div}(y)=(0,0)+(1,0)+(-1,0)-3O$ です。直線の式の因子は、直線との交点の和から $3O$ を引いたものになります。

証明は、ステップの流れだけを短く書いています。「詳しく」の付いた行をクリックすると、そのステップの詳しい説明が開きます。説明の中にも開ける行があります。
定義・命題・定理には、記事全体で通し番号を振っています。
もう少し詳しくは補足、専門的な話は先の回につながる話題です。どちらも開かずに読み進められます。
各ブロックの「AIに質問」を押すと、その部分の内容を入れた質問文で、お使いのAIを開けます。

前回の宿題

第9回では、2つの平面曲線の交点を重複度つきで数えました。点 $p$ での交点重複度は $I_p(f,g)=\dim_k\mathcal{O}_p/(f,g)$ で（第9回の定義1）、射影平面では重複度の合計が2つの曲線の次数の積になります（ベズーの定理）。

最後に予告したのは、1本の曲線の上の関数について、零点と極を重複度つきで数えることでした。例えば、射影直線の上の関数

f=\frac{(t-1)^2}{(t+1)^3}

\begin{aligned}f &= \frac{(t-1)^2}{(t+1)^3}\end{aligned}

は $t=1$ で2重に0になり、 $t=-1$ で3重に無限大になります。さらに無限遠点 $\infty$ でも値は0です（第4回の例16、分母の次数が大きいため）。

零点は「2重の $t=1$ 」と「 $\infty$ 」で合わせて3個、極は「3重の $t=-1$ 」で3個で、2つの数は一致しています。この記事では「何重に0になるか」を局所環の言葉で定義し、射影直線では零点と極の数がいつも等しいことを証明します。

証明では、非特異な曲線の点の局所環が離散付値環という特別な形をしていることを使います。零点と極を点の形式的な和（因子）にまとめ、最後に3次曲線 $y^2=x^3-x$ の上で関数の因子を計算して、第9回の交点の数え方とつなげます。

とくに断らなければ、 $k$ は代数閉体とします。例では標数の仮定を明記します。ハーツホーン和訳の第 I 章は、零点集合 $V(f)$ を $Z(f)$ と書いています。

離散付値環：零点の重複度を読む環

第2回の例11で、 $\mathbb{Z}_{(5)}$ の0でない元が $5^nu$ （ $u$ は単元）と書けることを見ました。指数 $n$ は「5で何回割り切れるか」、つまり点 $(5)$ で何重に0になるかを表します。

多項式でも同じです。 $k[t]_{(t)}$ の0でない元は $t^nu$ （ $u(0)\neq0$ ）と書け、 $n$ は原点での零点の重複度です。この指数を読む写像を、公理の形で取り出します。

定義1 離散付値と離散付値環 [1, §9.1, p.146–147; 2, p.54–55]

$K$ を体、 $K^\times=K\setminus\{0\}$ とする。全射 $v\colon K^\times\to\mathbb{Z}$ で、0でない $x,y$ について

(1)\ \ v(xy)=v(x)+v(y)\qquad (2)\ \ v(x+y)\geq\min\bigl(v(x),v(y)\bigr)\quad(x+y\neq0)

\begin{gathered}(1)\ \ v(xy)=v(x)+v(y)\\(2)\ \ v(x+y)\geq\min\bigl(v(x),v(y)\bigr)\\(x+y\neq0)\end{gathered}

\begin{aligned}(1)\ \ v(xy) &= v(x)+v(y)\\[4pt](2)\ \ v(x+y) &\geq \min\bigl(v(x),v(y)\bigr)\\[4pt]&(x+y\neq0)\end{aligned}

をみたすものを $K$ の離散付値と呼ぶ。 $v(0)=+\infty$ と約束し、 $A_v=\{\,x\in K\mid v(x)\geq0\,\}$ を $v$ の付値環と呼ぶ。整域 $A$ が、その商体のある離散付値の付値環になっているとき、 $A$ を離散付値環と呼ぶ。

$A_v$ は $K$ の部分環です。(1) から $v(1)=v(1\cdot1)=2v(1)$ なので $v(1)=0$ 、同じく $2v(-1)=v(1)=0$ から $v(-1)=0$ です。よって $A_v$ は $1$ と $-1$ を含み、(1) と (2) から積と和で閉じています。

命題2 [1, p.147]

$A$ を離散付値環、 $v$ をその離散付値、 $K$ を商体とする。

(1)　 $A$ は局所環で、単元の全体は $\{v=0\}$ 、極大イデアルは $M=\{\,x\mid v(x)>0\,\}$ である。

(2)　 $v(t)=1$ となる $t\in A$ をとると $M=(t)$ で、0でない $x\in K$ は $x=t^nu$ （ $n=v(x)\in\mathbb{Z}$ 、 $u$ は $A$ の単元）と一通りに書ける。

(3)　 $A$ の0でないイデアルは $M^n=(t^n)=\{\,x\mid v(x)\geq n\,\}$ （ $n\geq0$ ）だけである。

(4)　 $v(x)\neq v(y)$ なら $v(x+y)=\min\bigl(v(x),v(y)\bigr)$ である。

証明

(1) を示す。 $v(x^{-1})=-v(x)$ なので、 $x\in A$ が単元であること（ $x^{-1}\in A$ ）は $v(x)=0$ と同値。単元でない元の全体 $\{v>0\}$ は (1) (2) からイデアルなので、 $A$ は局所環である。
(2) を示す。 $v$ は全射なので $t$ がある。 $n=v(x)$ 、 $u=xt^{-n}$ とおくと $v(u)=0$ で $u$ は単元。

一意性： $t^nu=t^mu'$ なら両辺の $v$ を比べて $n=m$ 、すると $u=u'$ 。

$M=(t)$ ： $x\in M$ なら $v(x/t)=v(x)-1\geq0$ なので $x=t\cdot(x/t)\in(t)$ 。
(3) を示す。0でないイデアル $J$ の元の $v$ の最小値を $n$ とすると、(2) から $t^n\in J$ 、逆に $J$ の元は $t^n$ の倍数である。
(4) を示す。 $v(x)<v(y)$ とすると $v(x+y)\geq v(x)$ 。逆に $x=(x+y)+(-y)$ に (2) を使うと、 $v(x)\geq\min\bigl(v(x+y),v(y)\bigr)$ で、右辺の最小値は $v(x+y)$ でなければならない。

(2) の $t$ を $A$ の素元と呼びます。イデアルは1本の鎖に並びます。

A\supsetneq M=(t)\supsetneq M^2=(t^2)\supsetneq M^3=(t^3)\supsetneq\cdots\supsetneq(0)

\begin{aligned}A\supsetneq M &= (t)\supsetneq M^2\\&= (t^2)\supsetneq M^3\\&= (t^3)\supsetneq\cdots\supsetneq(0)\end{aligned}

元 $x\neq0$ の位置は「何番目の $M^n$ まで入っているか」で決まり、それが $v(x)$ です。

例3 $\mathbb{Z}_{(5)}$ と $k[t]_{(t-a)}$ [1, §9.1 例, p.146–147]

(1)　0でない有理数を $5^n\cdot a/b$ （ $a,b$ は5と互いに素）と書いて $v_5=n$ とすると、 $v_5$ は $\mathbb{Q}$ の離散付値で、付値環は $\mathbb{Z}_{(5)}$ 、素元は $5$ である。

v_5\Bigl(\frac{75}{2}\Bigr)=2\qquad v_5\Bigl(\frac37\Bigr)=0\qquad v_5\Bigl(\frac{10}{3}\Bigr)=1\qquad v_5\Bigl(\frac{2}{25}\Bigr)=-2

\begin{gathered}v_5\Bigl(\frac{75}{2}\Bigr)=2\\v_5\Bigl(\frac37\Bigr)=0\\v_5\Bigl(\frac{10}{3}\Bigr)=1\\v_5\Bigl(\frac{2}{25}\Bigr)=-2\end{gathered}

\begin{aligned}v_5\Bigl(\frac{75}{2}\Bigr) &= 2\\[4pt]v_5\Bigl(\frac37\Bigr) &= 0\\[4pt]v_5\Bigl(\frac{10}{3}\Bigr) &= 1\\[4pt]v_5\Bigl(\frac{2}{25}\Bigr) &= -2\end{aligned}

(2)　 $k$ を体、 $a\in k$ とする。0でない有理関数 $f\in k(t)$ を $(t-a)^n\cdot p/q$ （ $p(a)\neq0$ 、 $q(a)\neq0$ ）と書いて $v_a(f)=n$ とすると、 $v_a$ は $k(t)$ の離散付値で、付値環は $k[t]_{(t-a)}$ 、素元は $t-a$ である。 $k=\mathbb{Q}$ 、 $a=1$ なら次のようになる。

v_1\Bigl(\frac{(t-1)^2}{(t+1)^3}\Bigr)=2\qquad v_1(t^2-1)=1\qquad v_1\Bigl(\frac{1}{t^2-2t+1}\Bigr)=-2

\begin{gathered}v_1\Bigl(\frac{(t-1)^2}{(t+1)^3}\Bigr)=2\\v_1(t^2-1)=1\\v_1\Bigl(\frac{1}{t^2-2t+1}\Bigr)=-2\end{gathered}

\begin{aligned}v_1\Bigl(\frac{(t-1)^2}{(t+1)^3}\Bigr) &= 2\\[4pt]v_1(t^2-1) &= 1\\[4pt]v_1\Bigl(\frac{1}{t^2-2t+1}\Bigr) &= -2\end{aligned}

命題2(4) の仮定 $v(x)\neq v(y)$ は外せません。 $v_5(25+3)=v_5(28)=0$ は $\min(2,0)$ に等しくなりますが、 $v_5(5+20)=v_5(25)=2$ は $\min(1,1)=1$ より大きくなります。値が同じ2つの元を足すと、打ち消し合って値が上がることがあります。

次の定理は、与えられた局所環が離散付値環かどうかを、極大イデアルだけで判定します。

定理4 [1, 命題9.2, p.147; 2, 定理6.2A, p.55]

$A$ を次元1のネーター局所整域、 $M$ をその極大イデアル、 $k=A/M$ とする。次の3つは同値である。

(i)　 $A$ は離散付値環である。
(ii)　 $M$ は単項イデアルである。
(iii)　 $\dim_kM/M^2=1$ である。

証明

(i)⇒(ii) は命題2(2) である。
(ii)⇒(iii)： $M=(t)$ なら $M/M^2$ は $t$ の像で張られ、次元は1以下。次元が0なら $M=M\cdot M$ で、中山の補題から $M=0$ となり、 $A$ が体になって次元1に反する[1, 命題2.6, p.32]。
(iii)⇒(ii)： $t\in M$ を、像が $M/M^2$ を張るようにとる。 $M=(t)+M^2$ なので、中山の補題から $M=(t)$ である[1, 系2.7, p.33]。
(ii)⇒(i)： $M=(t)$ とする（次元1なので $M\neq0$ で、 $t\neq0$ ）。0でない $x\in A$ は $x=t^nu$ （ $u$ は単元）とただ一通りに書ける。

$A$ はネーター局所環なので $\bigcap_nM^n=0$ である[1, 系10.20, p.171]。よって $x\in M^n=(t^n)$ となる最大の $n$ があり、 $x=t^nu$ と書くと $u\notin M$ （そうでなければ $x\in M^{n+1}$ ）なので $u$ は単元。

$t^nu=t^mu'$ 、 $n<m$ なら、整域なので $u=t^{m-n}u'\in M$ となり矛盾する。よって $n$ は $x$ で決まる。これを $n(x)$ と書く。
$v(x/y)=n(x)-n(y)$ が商体の離散付値で、付値環がちょうど $A$ である。

$n(xy)=n(x)+n(y)$ （ $t^{n}u\cdot t^mu'=t^{n+m}uu'$ ）なので、 $x/y=x'/y'$ なら $xy'=x'y$ から $n(x)-n(y)=n(x')-n(y')$ となり、 $v$ は分数の表し方によらない。同じ式から $v$ は (1) をみたす。

(2)：分母をそろえて $A$ の元で示せばよい。 $n(x)\leq n(y)$ なら $x+y=t^{n(x)}(u+t^{n(y)-n(x)}u')\in M^{n(x)}$ なので $n(x+y)\geq n(x)$ 。

$v(t)=1$ なので全射。 $v(x/y)\geq0$ なら $x/y=t^{n(x)-n(y)}u/u'\in A$ で、逆に $A$ の元は $v\geq0$ 。

アティヤ・マクドナルドの命題9.2は、ほかに「 $A$ は整閉」「0でないイデアルはすべて $M$ のべき」も同値な条件として挙げています。この記事では (i)〜(iii) だけを使います。

非特異曲線の点の局所環

ここでの曲線は、 $k$ 上の次元1の多様体（アフィン多様体、射影多様体、またはその開集合）です。 $C$ の点 $P$ の局所環 $\mathcal{O}_P$ は、 $P$ のまわりで定義された正則関数の環で、 $P$ を含むアフィン開集合 $Y$ の座標環 $A(Y)$ を、 $P$ で0になる関数の極大イデアルで局所化した環です（第6回の定義10の直前で導入しました）。

定理5 [2, 定理3.2(c)(d), p.23; 2, p.55–56]

$C$ を曲線、 $P$ を $C$ の非特異点とする。局所環 $\mathcal{O}_P$ は離散付値環で、その商体は $C$ の関数体 $k(C)$ である。

証明

$\mathcal{O}_P$ は次元1のネーター局所整域である。

$A(Y)$ は有限生成 $k$ 代数なのでネーター環で、 $Y$ が既約なので整域である。その局所化 $\mathcal{O}_P$ もネーター局所整域で、次元は $\dim Y=1$ （ハーツホーンの定理3.2(c)）。
$P$ が非特異なので、第6回の定理12(2) から $\dim_kM/M^2=\dim C=1$ 。
定理4の (iii)⇒(i) から $\mathcal{O}_P$ は離散付値環である。商体については、ハーツホーンの定理3.2(d) から $k(C)\cong\operatorname{Frac}A(Y)=\operatorname{Frac}\mathcal{O}_P$ 。

関数体 $k(C)$ は点によらない1つの体なので、各非特異点 $P$ が $k(C)$ の離散付値 $v_P$ を1つずつ決めます。これに名前を付けます。

定義6 一意化元と位数 [2, p.178; 2, p.187]

$C$ を曲線、 $P$ を非特異点、 $v_P$ を離散付値環 $\mathcal{O}_P$ の離散付値とする。 $v_P(t)=1$ となる $t\in\mathcal{O}_P$ を $P$ での一意化元（局所パラメーター）と呼ぶ。0でない $f\in k(C)$ について $\operatorname{ord}_P(f)=v_P(f)$ を、 $f$ の $P$ での位数と呼ぶ。 $\operatorname{ord}_P(f)=n>0$ なら $f$ は $P$ で $n$ 位の零点をもち、 $n<0$ なら $-n$ 位の極をもつという。

命題2を言い換えると、次のようになります。

f=t^nu\ \ (u\in\mathcal{O}_P^\times)\qquad \operatorname{ord}_P(f)\geq0\iff f\in\mathcal{O}_P\qquad \operatorname{ord}_P(f)\geq1\iff f\in M

\begin{gathered}f=t^nu\ \ (u\in\mathcal{O}_P^\times)\\\operatorname{ord}_P(f)\geq0\iff f\in\mathcal{O}_P\\\operatorname{ord}_P(f)\geq1\iff f\in M\end{gathered}

\begin{aligned}f &= t^nu\ \ (u\in\mathcal{O}_P^\times)\\[4pt]\operatorname{ord}_P(f) &\geq 0\\&\iff f\in\mathcal{O}_P\\[4pt]\operatorname{ord}_P(f) &\geq 1\\&\iff f\in M\end{aligned}

位数が0以上の関数は $P$ で正則です。位数が1以上の関数は、 $P$ で正則で値が0になる関数です。さらに位数は積を和に変え、和の位数は小さいほうの位数以上です。

\operatorname{ord}_P(fg)=\operatorname{ord}_P(f)+\operatorname{ord}_P(g)\qquad \operatorname{ord}_P(f+g)\geq\min\bigl(\operatorname{ord}_P(f),\operatorname{ord}_P(g)\bigr)

\begin{gathered}\operatorname{ord}_P(fg)=\operatorname{ord}_P(f)+\operatorname{ord}_P(g)\\\operatorname{ord}_P(f+g)\geq\min\bigl(\operatorname{ord}_P(f),\operatorname{ord}_P(g)\bigr)\end{gathered}

\begin{aligned}\operatorname{ord}_P(fg) &= \operatorname{ord}_P(f)+\operatorname{ord}_P(g)\\[4pt]\operatorname{ord}_P(f+g) &\geq \min\bigl(\operatorname{ord}_P(f),\operatorname{ord}_P(g)\bigr)\end{aligned}

\begin{aligned}\operatorname{ord}_P(fg) &= \operatorname{ord}_P(f)\\&\phantom{=}{} +\operatorname{ord}_P(g)\\[4pt]\operatorname{ord}_P(f+g) &\geq \min\bigl(\operatorname{ord}_P(f),\operatorname{ord}_P(g)\bigr)\end{aligned}

例7 射影直線の点での位数

$\mathbb{P}^1$ （第4回の例10）の点 $a\in k$ での局所環は $k[t]_{(t-a)}$ で、一意化元は $t-a$ 、 $\operatorname{ord}_a=v_a$ は例3(2) のとおりである。無限遠点 $\infty$ での局所環は $k[s]_{(s)}$ （ $s=1/t$ ）で、一意化元は $s$ である。0でない多項式 $p,q$ について

\operatorname{ord}_\infty\Bigl(\frac{p}{q}\Bigr)=\deg q-\deg p

\begin{aligned}\operatorname{ord}_\infty\Bigl(\frac{p}{q}\Bigr) &= \deg q-\deg p\end{aligned}

例えば $k$ の標数が2でないとき、 $f=(t-1)^2/(t+1)^3$ は $\operatorname{ord}_1(f)=2$ 、 $\operatorname{ord}_{-1}(f)=-3$ 、 $\operatorname{ord}_\infty(f)=1$ で、ほかの点では位数0である。

証明

$\infty$ での式は、第4回の例16の証明の式 $p/q=s^{e-d}\,p^*/q^*$ （ $d=\deg p$ 、 $e=\deg q$ 、 $p^*/q^*$ は $k[s]_{(s)}$ の単元）から、位数が $e-d$ と読める。
$f$ の例： $t=1/s$ を代入すると $f=s(1-s)^2/(1+s)^3$ で、 $(1-s)^2/(1+s)^3$ は $s=0$ で値1の単元なので $\operatorname{ord}_\infty(f)=1$ 。 $\deg q-\deg p=3-2=1$ とも一致する。

標数2を除いたのは、標数2では $1=-1$ なので $f=1/(t+1)$ となり、零点と極が同じ点で打ち消し合ってしまうからです。

曲線が式で与えられているときも、局所環の計算で位数が求まります。

例8 円の点での位数

$k$ の標数は2でないとし、 $C\colon x^2+y^2=1$ 、 $P=(1,0)$ とする。 $P$ での一意化元は $y$ で、

\operatorname{ord}_P(y)=1\qquad \operatorname{ord}_P(x-1)=2\qquad \operatorname{ord}_P(x)=0\qquad \operatorname{ord}_P\Bigl(\frac{1}{x-1}\Bigr)=-2

\begin{gathered}\operatorname{ord}_P(y)=1\\\operatorname{ord}_P(x-1)=2\\\operatorname{ord}_P(x)=0\\\operatorname{ord}_P\Bigl(\frac{1}{x-1}\Bigr)=-2\end{gathered}

\begin{aligned}\operatorname{ord}_P(y) &= 1\\[4pt]\operatorname{ord}_P(x-1) &= 2\\[4pt]\operatorname{ord}_P(x) &= 0\\[4pt]\operatorname{ord}_P\Bigl(\frac{1}{x-1}\Bigr) &= -2\end{aligned}

同じように $Q=(0,1)$ では $x$ が一意化元で、 $\operatorname{ord}_Q(y-1)=2$ である。

証明

$C$ の上で $(x-1)(x+1)=-y^2$ で、 $x+1$ は $P$ での値が $2\neq0$ なので $\mathcal{O}_P$ の単元。よって $x-1=-y^2/(x+1)\in(y^2)$ 。
$\mathcal{O}_P$ の極大イデアルは $M=(x-1,\,y)$ で、前のステップから $M=(y)$ 。よって $y$ が一意化元で、 $\operatorname{ord}_P(x-1)=2\operatorname{ord}_P(y)=2$ 。

$M$ は $P$ で0になる多項式 $x-1,\ y$ で生成される（平面の点 $P$ の極大イデアル $(x-1,y)$ の像）。 $x-1\in(y)$ なので $M=(y)$ 。

$x$ は $P$ での値が $1$ なので単元で位数0、 $1/(x-1)$ の位数は $-2$ 。
$Q$ では $x$ と $y$ の役割を入れ替え、 $y-1=-x^2/(y+1)$ を使う。

円を $(\cos\theta,\sin\theta)$ と表して $\theta=0$ の近くを見ると、 $y=\theta-\theta^3/6+\cdots$ は $\theta$ について1次、 $x-1=-\theta^2/2+\cdots$ は2次で始まります。位数は、点のまわりの座標で展開したときの最低次の次数です。

n=-2

\dfrac{1}{x-1}

n=-1

\dfrac1y

n=0

1,\ x

\dfrac{x-1}{y^2}

n=1

y,\ xy

n=2

x-1,\ y^2

n=3

y^3,\ y(x-1)

一意化元

y

\times y

\times y

K=k(C)

\mathcal{O}_P

M=(y)

M^2

M^3

図1概念図円

x^2+y^2=1

の点

P=(1,0)

で、関数を位数

n

ごとの列に並べた図です。列の位置だけが意味をもち、上下の並びに意味はありません。下の括弧は、関数体

K

、局所環

\mathcal{O}_P

（位数0以上）、

M

、

M^2

、

M^3

がそれぞれどの列を含むかを表します。一意化元

y

を掛けると1列右に移り、例えば

\tfrac{x-1}{y^2}=-\tfrac{1}{x+1}

は位数0の単元です。各関数の位数は、図を作るプログラムで円の上の値から確かめています。

円の例で一意化元が $x-1$ でなく $y$ になったのは、 $x=1$ が $P$ での接線だからです。接線は曲線に2重に触れるので、接線の式は位数2以上になります。一般に次が成り立ちます。

命題9 直線の式の位数

$F\in k[x,y]$ を既約多項式、 $C=V(F)$ 、 $P=(a,b)$ を $C$ の非特異点とする。 $(\alpha,\beta)\neq(0,0)$ について $\ell=\alpha(x-a)+\beta(y-b)$ とおく。 $\ell$ が $P$ での接線の式 $F_x(P)(x-a)+F_y(P)(y-b)$ の定数倍でなければ $\operatorname{ord}_P(\ell)=1$ 、定数倍なら $\operatorname{ord}_P(\ell)\geq2$ である。

証明

第6回の定理12の証明から、写像 $g\mapsto\bigl(g_x(P),g_y(P)\bigr)$ は同型 $M/M^2\cong k^2/k\,(F_x(P),F_y(P))$ を引き起こす。 $\ell$ の行き先は $(\alpha,\beta)$ の類である。

$F$ は既約なので、零点定理から $I(C)=\sqrt{(F)}=(F)$ 。よって証明の $\theta(I)$ は $(F_x(P),F_y(P))$ が張る空間で、 $P$ は非特異なのでこれは1次元である。
$(\alpha,\beta)$ が $(F_x(P),F_y(P))$ の定数倍でなければ $\ell\notin M^2$ なので、命題2(3) から $\operatorname{ord}_P(\ell)=1$ 。定数倍なら $\ell\in M^2$ で $\operatorname{ord}_P(\ell)\geq2$ 。

円の $P=(1,0)$ では $(F_x,F_y)=(2,0)$ で、接線は $x=1$ です。 $y$ （ $(\alpha,\beta)=(0,1)$ ）は一意化元で、 $x-1$ （ $(1,0)$ ）は位数2以上です。

位数は、第9回の交点重複度（第9回の定義1）とも一致します。第9回の $\mathcal{O}_p$ は平面の局所環で、この記事では曲線の局所環 $\mathcal{O}_P$ と区別して $\mathcal{O}_{\mathbb{A}^2,P}$ と書きます。また、ここでの $F$ は斉次式ではなく、平面曲線の定義多項式です。

命題10 位数と交点重複度

$F,\ C,\ P$ を命題9と同じとし、 $g\in k[x,y]$ を $F$ で割り切れない多項式とする。 $\mathcal{O}_{\mathbb{A}^2,P}$ を平面の点 $P$ での局所環とすると、

\operatorname{ord}_P(g)=\dim_k\mathcal{O}_{\mathbb{A}^2,P}/(F,g)=I_P(F,g)

\begin{aligned}\operatorname{ord}_P(g) &= \dim_k\mathcal{O}_{\mathbb{A}^2,P}/(F,g)\\&= I_P(F,g)\end{aligned}

証明

$\mathcal{O}_P=\mathcal{O}_{C,P}$ は $\mathcal{O}_{\mathbb{A}^2,P}/(F)$ と同型である（命題9の証明のとおり $A(C)=k[x,y]/(F)$ で、局所化と剰余環をとる順番は入れ替えられる）。よって $\mathcal{O}_{\mathbb{A}^2,P}/(F,g)\cong\mathcal{O}_P/(g)$ 。
$n=\operatorname{ord}_P(g)$ とすると $g=t^nu$ なので $(g)=(t^n)$ 。 $\mathcal{O}_P/(t^n)$ の次元は $n$ である。

鎖 $\mathcal{O}_P\supseteq(t)\supseteq\cdots\supseteq(t^n)$ の隣どうしの商 $(t^i)/(t^{i+1})$ は、 $t^i$ を掛ける写像で $\mathcal{O}_P/(t)=k$ と同型である（ $\mathcal{O}_P$ は整域）。よって次元は $1$ を $n$ 回足して $n$ 。

円と接線 $x-1$ で確かめると、 $\mathcal{O}_{\mathbb{A}^2,P}/(x^2+y^2-1,\,x-1)\cong k[y]_{(y)}/(y^2)$ で、次元は2です。位数 $\operatorname{ord}_P(x-1)=2$ と一致します。

因子と主因子

この節から、 $C$ は非特異な曲線（すべての点が非特異）とします。各点で位数が決まるので、零点と極を点の和にまとめられます。

定義11 因子と次数 [2, p.177; 2, p.187]

$C$ の点を基底とする自由アーベル群を $\operatorname{Div}(C)$ と書き、その元を因子と呼ぶ。因子は、有限個の点 $P$ と整数 $n_P$ を使って $D=\sum_Pn_PP$ と書ける。 $\deg D=\sum_Pn_P$ を $D$ の次数と呼ぶ。すべての $n_P\geq0$ のとき $D$ を有効と呼び、 $D\geq0$ と書く。

ハーツホーンは、余次元1の既約閉集合（素因子）の形式的な和として因子を定義しています。曲線では素因子はちょうど閉点なので、この定義と一致します[2, p.187]。

$\mathbb{P}^1$ の点 $a$ を因子として書くときは、数と区別するため $\{a\}$ と書きます（ハーツホーンの書き方です）。例えば

D=2\{1\}-3\{-1\}+\{\infty\}\qquad \deg D=2-3+1=0

\begin{gathered}D=2\{1\}-3\{-1\}+\{\infty\}\\\deg D=2-3+1=0\end{gathered}

\begin{aligned}D &= 2\{1\}-3\{-1\}+\{\infty\}\\[4pt]\deg D &= 2-3+1\\&= 0\end{aligned}

\begin{aligned}D &= 2\{1\}-3\{-1\}\\&\phantom{=}{} +\{\infty\}\\[4pt]\deg D &= 2-3+1\\&= 0\end{aligned}

0でない関数 $f$ の位数が0でない点は、有限個しかありません[2, 補題6.1, p.178]。空でないアフィン開集合 $U$ を1つとり、 $U$ の上で $f$ を多項式の比 $g/h$ （ $g,h$ は $U$ の上で恒等的に0でない）と書きます。位数が0でない点は $g$ か $h$ の零点か $U$ の外の点で、どれも曲線の真の閉集合に入るので有限個です。

定義12 主因子・線形同値・因子類群 [2, p.178–179]

0でない $f\in k(C)$ について、因子

\operatorname{div}(f)=\sum_P\operatorname{ord}_P(f)\,P

\begin{aligned}\operatorname{div}(f) &= \sum_P\operatorname{ord}_P(f)\,P\end{aligned}

を $f$ の主因子と呼ぶ。2つの因子 $D,D'$ の差が主因子であるとき $D$ と $D'$ は線形同値であるといい、 $D\sim D'$ と書く。 $\operatorname{Div}(C)$ を主因子の全体で割った群を $C$ の因子類群と呼び、 $\operatorname{Cl}(C)$ と書く。

位数は積を和に変えるので、 $\operatorname{div}$ は乗法群から加法群への準同型です。

\operatorname{div}(fg)=\operatorname{div}(f)+\operatorname{div}(g)\qquad \operatorname{div}(1/f)=-\operatorname{div}(f)\qquad \operatorname{div}(c)=0\ \ (c\in k^\times)

\begin{gathered}\operatorname{div}(fg)=\operatorname{div}(f)+\operatorname{div}(g)\\\operatorname{div}(1/f)=-\operatorname{div}(f)\\\operatorname{div}(c)=0\ \ (c\in k^\times)\end{gathered}

\begin{aligned}\operatorname{div}(fg) &= \operatorname{div}(f)+\operatorname{div}(g)\\[4pt]\operatorname{div}(1/f) &= -\operatorname{div}(f)\\[4pt]\operatorname{div}(c) &= 0\ \ (c\in k^\times)\end{aligned}

\begin{aligned}\operatorname{div}(fg) &= \operatorname{div}(f)\\&\phantom{=}{} +\operatorname{div}(g)\\[4pt]\operatorname{div}(1/f) &= -\operatorname{div}(f)\\[4pt]\operatorname{div}(c) &= 0\ \ (c\in k^\times)\end{aligned}

したがって主因子の全体は部分群で、線形同値は同値関係です。因子類群は、次の完全列の右端にあたります。

k(C)^\times\xrightarrow{\ \operatorname{div}\ }\operatorname{Div}(C)\longrightarrow\operatorname{Cl}(C)\longrightarrow0

\begin{aligned}k(C)^\times\xrightarrow{\ \operatorname{div}\ }\operatorname{Div}(C) &\longrightarrow \operatorname{Cl}(C)\\&\longrightarrow 0\end{aligned}

主因子の正の部分を $\operatorname{div}_0(f)$ （零点の因子）、負の部分を符号を変えて $\operatorname{div}_\infty(f)$ （極の因子）と書くと、 $\operatorname{div}(f)=\operatorname{div}_0(f)-\operatorname{div}_\infty(f)$ です。 $\deg\operatorname{div}_0(f)$ は零点を重複度こみで数えた数、 $\deg\operatorname{div}_\infty(f)$ は極の数です。

例13 射影直線の主因子

$k$ の標数は2でないとする（最後の行の $t^2+1$ では $k=\mathbb{C}$ とする）。例7の計算から次のようになる。

$f$	$\operatorname{div}(f)$	零点の数	極の数
$t$	$\{0\}-\{\infty\}$	$1$	$1$
$\dfrac{t-a}{t-b}\ (a\neq b)$	$\{a\}-\{b\}$	$1$	$1$
$\dfrac{(t-1)^2}{(t+1)^3}$	$2\{1\}-3\{-1\}+\{\infty\}$	$3$	$3$
$\dfrac{1}{t^3-t}$	$-\{0\}-\{1\}-\{-1\}+3\{\infty\}$	$3$	$3$
$t^2+1$	$\{i\}+\{-i\}-2\{\infty\}$	$2$	$2$

2行目から、 $\mathbb{P}^1$ のどの2点も線形同値である（ $\{a\}\sim\{b\}$ ）。 $b=\infty$ の場合は1行目と同じく $t-a$ を使う。

どの行でも、零点の数と極の数が等しくなっています。次の節で、これがいつでも成り立つことを示します。

射影直線では零点と極の数が等しい

定理14 [2, 命題6.4, p.180–181]

0でない有理関数 $f\in k(t)$ を、 $c\in k^\times$ 、相異なる $a_i\in k$ 、整数 $n_i$ で $f=c\prod_i(t-a_i)^{n_i}$ と書く。 $\mathbb{P}^1$ の上で

\operatorname{div}(f)=\sum_in_i\{a_i\}-\Bigl(\sum_in_i\Bigr)\{\infty\}

\begin{aligned}\operatorname{div}(f) &= \sum_in_i\{a_i\}-\Bigl(\sum_in_i\Bigr)\{\infty\}\end{aligned}

\begin{aligned}\operatorname{div}(f) &= \sum_in_i\{a_i\}\\&\phantom{=}{} -\Bigl(\sum_in_i\Bigr)\{\infty\}\end{aligned}

である。とくに $\deg\operatorname{div}(f)=0$ で、零点と極の数は重複度こみで等しい。

証明

$f$ はこの形に書ける。 $k$ は代数閉体なので、 $f=p/q$ の分子と分母は1次式の積に分解する。
点 $a_j$ での位数は $n_j$ である。 $i\neq j$ の因子 $t-a_i$ は $a_j$ での値 $a_j-a_i\neq0$ をもつ単元なので、 $f=(t-a_j)^{n_j}u$ （ $u$ は単元）と書ける。どの $a_i$ とも違う点 $b\in k$ では、すべての因子が単元で位数0。
$\infty$ での位数は $-\sum_in_i$ である。 $t-a=(1-as)/s$ なので、 $f=c\,s^{-\sum n_i}\prod_i(1-a_is)^{n_i}$ で、 $1-a_is$ は $s=0$ で値1の単元。
位数を足すと $\sum_in_i-\sum_in_i=0$ 。

3つめのステップの $-\sum_in_i$ は、分母の次数から分子の次数を引いたものです。例7の式 $\operatorname{ord}_\infty(p/q)=\deg q-\deg p$ と同じことを言っています。

$f=(t-1)^2/(t+1)^3$ では、 $n_1=2$ 、 $n_{-1}=-3$ なので $\operatorname{ord}_\infty(f)=-(2-3)=1$ です。零点 $2\{1\}+\{\infty\}$ の次数3と、極 $3\{-1\}$ の次数3が等しくなっています。

$k=\mathbb{C}$ のとき、位数は $|f|$ のグラフの形に表れます。 $f=(t-a)^nu$ （ $u(a)\neq0$ ）と書くと、 $a$ の近くで

\log|f(t)|=n\log|t-a|+\log|u(t)|

\begin{aligned}\log|f(t)| &= n\log|t-a|+\log|u(t)|\end{aligned}

\begin{aligned}\log|f(t)| &= n\log|t-a|\\&\phantom{=}{} +\log|u(t)|\end{aligned}

で、右辺の $\log|u(t)|$ は $a$ の近くで有界です。 $a$ までの距離を半分にするたびに、 $\log|f|$ はほぼ $n\log2$ ずつ変わります。零点（ $n>0$ ）では $-\infty$ に落ちる井戸、極（ $n<0$ ）では $+\infty$ に伸びる塔になり、 $|n|$ が大きいほど壁が急になります。

ドラッグで回せます

$f=(t-1)/(t+1)$ の $\log|f|$ のグラフです（高さは $0.3\log|f|$ ）。 $t=1$ は位数1の零点で、下向きの井戸になります。 $t=-1$ は位数 $-1$ の極で、上向きの塔です。「真上」から見ると、2つの点の位置しか分かりません。

$|f(-t)|=1/|f(t)|$ なので、井戸と塔はちょうど裏返しの形です。遠くでは $|f|\to1$ で、高さは0に近づきます。 $t=\infty$ は零点でも極でもありません。

$f=(t-1)^2/(t+1)^3$ 。零点 $t=1$ の近くでは $\log|f|\approx2\log|t-1|$ なので、井戸の壁は前の図の2倍の速さで落ちます。極 $t=-1$ の塔は3倍の速さで立ち上がります。オレンジの線は実軸での切り口で、「正面」から見るとこの線だけが見えます。

遠くでは $\log|f|\approx-\log|t|$ で、図の縁に向かって曲面が下がっていきます。 $t=\infty$ は位数1の零点で、この平面の図には描けない3つめの点です（図3）。

図2具体例

k=\mathbb{C}

として、

t

の平面の上に

\log|f(t)|

のグラフを描いた図です（高さは

0.3\log|f|

、描画範囲の外は切っています）。「真上」から見ると零点と極の位置しか分かりませんが、回すと、零点が井戸、極が塔になっていて、位数が壁の急さに表れているのが見えます。ボタンで

f=(t-1)/(t+1)

と

f=(t-1)^2/(t+1)^3

を切り替えられます。距離を半分にすると

\log|f|

が

n\log2

（図の高さではその0.3倍）変わることは、図を作るプログラムで確かめています。

図2の平面には、無限遠点が描けません。 $f=(t-1)^2/(t+1)^3$ の3つめの零点 $\infty$ を見るには、リーマン球面（第4回の図2）の上に関数を載せます。

球面の点 $(x,y,z)$ は $t=(x+iy)/(1-z)$ に対応します。球面の上では $|t-1|^2=2(1-x)/(1-z)$ 、 $|t+1|^2=2(1+x)/(1-z)$ となるので、 $|f|$ は球面の座標で次のように書けます。

|f|=\frac{|t-1|^2}{|t+1|^3}=\sqrt{\frac{1-z}{2}}\cdot\frac{1-x}{(1+x)^{3/2}}

\begin{aligned}|f| &= \frac{|t-1|^2}{|t+1|^3}\\&= \sqrt{\frac{1-z}{2}}\cdot\frac{1-x}{(1+x)^{3/2}}\end{aligned}

北極 $z=1$ （ $t=\infty$ ）で $\sqrt{1-z}$ の因子が0になり、ここが零点です。

ドラッグで回せます

図3具体例リーマン球面（灰色、半径1）の各点から、原点を中心に

|f|^{1/6}

の距離のところに点を置いてできる曲面（青）です。

f=(t-1)^2/(t+1)^3

で、零点

t=1

（位数2）と

t=\infty

（北極、位数1）がへこみ、極

t=-1

（位数

-3

）が突き出ます。「真上」から見ると、平面の図2では描けなかった

\infty

のへこみが中央に見えます。回すと、

\infty

もほかの点と同じ1つの点であることが分かり、へこみの位数の和

2+1

と突起の位数

3

が等しくなります。球面の式が

|f|

と一致することと、各点の位数は、図を作るプログラムで確かめています。

定理から、因子類群がすぐに求まります。

系15 [2, 命題6.4, p.180–181]

次数は同型 $\deg\colon\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^1)\to\mathbb{Z}$ を引き起こす。とくに、どの因子 $D$ も $(\deg D)\{\infty\}$ と線形同値である。

証明

$\deg\colon\operatorname{Div}(\mathbb{P}^1)\to\mathbb{Z}$ は準同型で、定理14から主因子を0に送るので、 $\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^1)\to\mathbb{Z}$ を引き起こす。 $\deg\{\infty\}=1$ なので全射。
単射を示す。次数0の因子 $D=\sum_an_a\{a\}+n_\infty\{\infty\}$ は、 $g=\prod_a(t-a)^{n_a}$ の主因子である。

定理14から $\operatorname{div}(g)=\sum_an_a\{a\}-\bigl(\sum_an_a\bigr)\{\infty\}$ で、 $\deg D=0$ から $n_\infty=-\sum_an_a$ 。

例えば $D=2\{1\}+\{0\}-\{\infty\}$ は次数2で、 $D-2\{\infty\}=\operatorname{div}\bigl(t(t-1)^2\bigr)$ なので $D\sim2\{\infty\}$ です。

例16 アフィン直線 [2, 例6.3.1, p.180; 2, 命題6.5, p.181]

$\mathbb{A}^1=\mathbb{P}^1\setminus\{\infty\}$ では $\operatorname{Cl}(\mathbb{A}^1)=0$ である。因子 $D=\sum_an_a\{a\}$ は $\prod_a(t-a)^{n_a}$ の主因子である。

$\mathbb{A}^1$ の上で主因子を作るときは、 $\infty$ の位数を数えません。そのため次数の制約がなくなり、どの因子も主因子になります。例えば $\mathbb{A}^1$ の上で $\operatorname{div}(t)=\{0\}$ は次数1です。

$\mathbb{P}^1$ の因子から $\{\infty\}$ の項を除くと、制限の写像 $\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^1)\to\operatorname{Cl}(\mathbb{A}^1)$ ができます。その核は $\{\infty\}$ の類で生成されます（ハーツホーンの命題6.5(c)）。

\mathbb{Z}\xrightarrow{\ 1\mapsto\{\infty\}\ }\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^1)\longrightarrow\operatorname{Cl}(\mathbb{A}^1)\longrightarrow0

\begin{aligned}\mathbb{Z}\xrightarrow{\ 1\mapsto\{\infty\}\ }\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^1) &\longrightarrow \operatorname{Cl}(\mathbb{A}^1)\\&\longrightarrow 0\end{aligned}

系から左の写像は同型 $\mathbb{Z}\cong\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^1)$ なので、 $\operatorname{Cl}(\mathbb{A}^1)=0$ が従います。ハーツホーンは、ネーター整域 $A$ について「 $A$ が一意分解整域」と「 $\operatorname{Spec}A$ が正規で $\operatorname{Cl}=0$ 」が同値であることも示しています[2, 命題6.2, p.179]。 $k[t]$ は一意分解整域なので、これからも $\operatorname{Cl}(\mathbb{A}^1)=0$ が分かります。

もう少し詳しく代数閉体でない体の上の射影直線

$k$ が代数閉体でないと、 $\mathbb{P}^1$ には2次以上の既約多項式 $h$ の点 $(h)$ があります（第4回の例13）。この点を1点として数えると、主因子の係数の和が0になりません。

例えば $k=\mathbb{R}$ で $f=t^2+1$ とすると、零点は点 $(t^2+1)$ だけで位数1、 $\infty$ での位数は $-2$ です。 $\operatorname{div}(f)=\{(t^2+1)\}-2\{\infty\}$ の係数の和は $1-2=-1$ になります。

そこで点 $P$ の次数を剰余体の拡大次数 $\deg P=[\kappa(P):k]$ とし、 $\deg D=\sum_Pn_P\deg P$ と定めます。点 $(h)$ では $\deg P=\deg h$ なので、上の例は $1\cdot2-2=0$ です。ハーツホーンの命題6.4は、この次数（超曲面としての次数）で、一般の体の上で述べられています。

次数が0になることは、射影直線に限りません。証明は引用にとどめます。

定理17 [2, 系6.10, p.188]

$C$ を射影的な非特異曲線とする。0でない $f\in k(C)$ について $\deg\operatorname{div}(f)=0$ である。とくに次数は全射準同型 $\deg\colon\operatorname{Cl}(C)\to\mathbb{Z}$ を引き起こす。

射影的という仮定は外せません。アフィン直線の上の $\operatorname{div}(t)=\{0\}$ は次数1でした。アフィン直線には点 $\infty$ がないので、 $t$ の極が数えられません。

もう少し詳しくハーツホーンの証明の流れ

定数でない $f$ は、射 $\varphi\colon C\to\mathbb{P}^1$ 、 $P\mapsto f(P)$ （極では $\infty$ ）を決めます。 $\mathbb{P}^1$ の点 $Q$ の一意化元 $t_Q$ を使って、 $\varphi^*Q=\sum_{\varphi(P)=Q}\operatorname{ord}_P(t_Q)\,P$ と定めると、 $\operatorname{div}(f)=\varphi^*(\{0\}-\{\infty\})$ です。

ハーツホーンの命題6.9は $\deg\varphi^*D=[k(C):k(f)]\cdot\deg D$ を示しています[2, 命題6.9, p.187–188]。 $D=\{0\}-\{\infty\}$ は次数0なので、 $\operatorname{div}(f)$ の次数も0です。

次の節の $y^2=x^3-x$ と $f=x$ で確かめると、 $[k(C):k(x)]=2$ （ $y$ は $k(x)$ 上2次）で、 $\varphi^*\{0\}=2(0,0)$ 、 $\varphi^*\{\infty\}=2O$ となり、どちらも次数 $2\cdot1$ です。

3次曲線の上の関数

射影直線以外の曲線でも、因子を具体的に計算してみます。ハーツホーンが例6.10.2で扱っている3次曲線です[2, 例6.10.2, p.189]。

この節では $k$ の標数は2でないとし、アフィン曲線 $E\colon y^2=x^3-x$ と、その射影閉包 $\bar E\colon Y^2Z=X^3-XZ^2$ を考えます。 $Z\neq0$ の部分が $E$ で、 $x=X/Z$ 、 $y=Y/Z$ です。

斉次座標は、ハーツホーンの例6.10.2と第12回に合わせて $[X:Y:Z]$ と書きます。第5回・第9回の $[x_0:x_1:x_2]$ （ $x=x_1/x_0$ 、 $y=x_2/x_0$ ）とは $x_0=Z$ 、 $x_1=X$ 、 $x_2=Y$ で対応し、無限遠点 $O=[0:1:0]$ は第5回・第9回の座標では $[0:0:1]$ です。

例18 $\bar E$ は非特異

$\bar E$ の無限遠点は $O=[0:1:0]$ だけで、 $\bar E$ は非特異である。 $O$ のまわりの座標 $u=X/Y$ 、 $w=Z/Y$ では、 $\bar E$ の式は $w=u^3-uw^2$ になる。

証明

$F=y^2-x^3+x$ は既約である。 $y$ の2次式として分解すれば $x^3-x$ が多項式の平方になるが、次数3は奇数である。
$E$ に特異点はない。 $F_x=1-3x^2$ 、 $F_y=2y$ で、特異点では $y=0$ 、 $x^3=x$ 、 $3x^2=1$ となる。

$x=0$ なら $3x^2=1$ から $0=1$ で矛盾。 $x^2=1$ なら $3=1$ 、つまり $2=0$ で、標数2でないことに反する。
無限遠では $Z=0$ から $X^3=0$ で、点は $O=[0:1:0]$ だけ。 $Y=1$ とおくと式は $w=u^3-uw^2$ で、 $G=w-u^3+uw^2$ の $w$ での偏微分は $O$ （ $u=w=0$ ）で $1\neq0$ なので、 $O$ は非特異点。

無限遠直線 $Z=0$ と $\bar E$ の交わりは $X^3=0$ で、 $O$ で3重に交わります。 $O$ は $\bar E$ の変曲点で、無限遠直線はそこでの接線です（この交点重複度が3であることは、第9回の例11(4) でも計算しました）。

例19 $x$ と $y$ の因子 [2, 例6.10.2, p.189]

$\bar E$ の上で、関数 $x,\ y$ の位数と主因子は次のようになる。

{}\begin{gathered} \begin{array}{c|cc} & (0,0) & (1,0) \\ \hline \operatorname{ord}(x) & 2 & 0 \\ \operatorname{ord}(x-1) & 0 & 2 \\ \operatorname{ord}(x+1) & 0 & 0 \\ \operatorname{ord}(y) & 1 & 1 \end{array}\\[8pt] \begin{array}{c|cc} & (-1,0) & O \\ \hline \operatorname{ord}(x) & 0 & -2 \\ \operatorname{ord}(x-1) & 0 & -2 \\ \operatorname{ord}(x+1) & 2 & -2 \\ \operatorname{ord}(y) & 1 & -3 \end{array} \end{gathered}

\operatorname{div}(x)=2(0,0)-2O\qquad \operatorname{div}(y)=(0,0)+(1,0)+(-1,0)-3O

\begin{gathered}\operatorname{div}(x)=2(0,0)-2O\\\operatorname{div}(y)=(0,0)+(1,0)+(-1,0)-3O\end{gathered}

\begin{aligned}\operatorname{div}(x) &= 2(0,0)-2O\\[4pt]\operatorname{div}(y) &= (0,0)+(1,0)+(-1,0)-3O\end{aligned}

\begin{aligned}\operatorname{div}(x) &= 2(0,0)-2O\\[4pt]\operatorname{div}(y) &= (0,0)+(1,0)+(-1,0)\\&\phantom{=}{} -3O\end{aligned}

\begin{aligned}\operatorname{div}(x) &= 2(0,0)-2O\\[4pt]\operatorname{div}(y) &= (0,0)+(1,0)\\&\phantom{=}{} +(-1,0)-3O\end{aligned}

表にない点では、4つの関数の位数はすべて0である。

証明

$O$ では $u$ が一意化元で、 $\operatorname{ord}_O(w)=3$ 、 $\operatorname{ord}_O(x)=-2$ 、 $\operatorname{ord}_O(y)=-3$ 。

式を $w(1+uw)=u^3$ と書くと、 $1+uw$ は $O$ で値1の単元なので、 $w=u^3(1+uw)^{-1}\in(u^3)$ 。よって極大イデアル $(u,w)$ は $(u)$ に等しく、 $u$ は一意化元で、 $\operatorname{ord}_O(w)=3\operatorname{ord}_O(u)=3$ 。

$x=X/Z=u/w$ 、 $y=Y/Z=1/w$ なので、位数は $1-3=-2$ と $-3$ 。
$(0,0)$ では $y$ が一意化元で、 $\operatorname{ord}(x)=2$ 。

$(F_x,F_y)=(1,0)$ で接線は $x=0$ なので、命題9から $y$ は一意化元。 $x(x-1)(x+1)=y^2$ で、 $(x-1)(x+1)$ は値 $-1$ の単元なので、 $x=y^2/(x^2-1)$ の位数は2。
$(\pm1,0)$ でも $y$ が一意化元で、 $\operatorname{ord}(x\mp1)=2$ 。

$(1,0)$ では $F_x=-2\neq0$ で接線は $x=1$ 。 $x-1=y^2/\bigl(x(x+1)\bigr)$ で、 $x(x+1)$ の値は $2\neq0$ 。 $(-1,0)$ でも $x+1=y^2/\bigl(x(x-1)\bigr)$ 、値は $(-1)(-2)=2$ 。
ほかの点では、4つの関数は正則で値が0でないので、位数は0である。 $E$ の点で $x=0$ となるのは $(0,0)$ だけ、 $y=0$ となるのは3点だけである。

どの行も、位数の和は0です（ $2-2=0$ 、 $1+1+1-3=0$ ）。定理17のとおりです。

関係式 $y^2=x(x-1)(x+1)$ とも合っています。両辺の主因子を比べると、どちらも $2(0,0)+2(1,0)+2(-1,0)-6O$ です。

2\operatorname{div}(y)=\operatorname{div}(x)+\operatorname{div}(x-1)+\operatorname{div}(x+1)

\begin{aligned}2\operatorname{div}(y) &= \operatorname{div}(x)+\operatorname{div}(x-1)+\operatorname{div}(x+1)\end{aligned}

\begin{aligned}2\operatorname{div}(y) &= \operatorname{div}(x)+\operatorname{div}(x-1)\\&\phantom{=}{} +\operatorname{div}(x+1)\end{aligned}

\begin{aligned}2\operatorname{div}(y) &= \operatorname{div}(x)\\&\phantom{=}{} +\operatorname{div}(x-1)\\&\phantom{=}{} +\operatorname{div}(x+1)\end{aligned}

$O$ での計算は、べき級数で見ることもできます。 $w=u^3-uw^2$ に右辺を繰り返し代入すると、 $w$ が $u$ のべき級数として求まります（標数0で計算機で確かめました）。

w=u^3-u^7+2u^{11}-5u^{15}+\cdots\qquad x=\frac uw=u^{-2}\bigl(1+u^4+\cdots\bigr)\qquad y=\frac1w=u^{-3}\bigl(1+u^4+\cdots\bigr)

\begin{gathered}w=u^3-u^7+2u^{11}-5u^{15}+\cdots\\x=\frac uw=u^{-2}\bigl(1+u^4+\cdots\bigr)\\y=\frac1w=u^{-3}\bigl(1+u^4+\cdots\bigr)\end{gathered}

\begin{aligned}w &= u^3-u^7+2u^{11}-5u^{15}+\cdots\\[4pt]x &= \frac uw\\&= u^{-2}\bigl(1+u^4+\cdots\bigr)\\[4pt]y &= \frac1w\\&= u^{-3}\bigl(1+u^4+\cdots\bigr)\end{aligned}

\begin{aligned}w &= u^3-u^7+2u^{11}-5u^{15}\\&\phantom{=}{} +\cdots\\[4pt]x &= \frac uw\\&= u^{-2}\bigl(1+u^4+\cdots\bigr)\\[4pt]y &= \frac1w\\&= u^{-3}\bigl(1+u^4+\cdots\bigr)\end{aligned}

最低次の項が $u^{-2}$ と $u^{-3}$ で、位数 $-2$ と $-3$ に当たります。

$x=X/Z$ と $y=Y/Z$ は、どちらも直線の式を無限遠直線の式で割った関数です。射影平面で見ると、主因子は「分子の直線と $\bar E$ の交点」から「分母の直線と $\bar E$ の交点」を引いたものになっています。

直線 $X=0$ と $\bar E$ の交わりは、接する点 $(0,0)$ （2重）と $O$ です。 $Z=0$ との交わりは $O$ の3重なので、次のようになります。

\operatorname{div}(x)=\operatorname{div}\Bigl(\frac XZ\Bigr)=\bigl(2(0,0)+O\bigr)-3O=2(0,0)-2O

\begin{aligned}\operatorname{div}(x) &= \operatorname{div}\Bigl(\frac XZ\Bigr)\\&= \bigl(2(0,0)+O\bigr)-3O\\&= 2(0,0)-2O\end{aligned}

\begin{aligned}\operatorname{div}(x) &= \operatorname{div}\Bigl(\frac XZ\Bigr)\\&= \bigl(2(0,0)+O\bigr)\\&\phantom{=}{} -3O\\&= 2(0,0)-2O\end{aligned}

直線 $Y=0$ との交わりは、 $X(X-Z)(X+Z)=0$ の3点 $(0,0),(1,0),(-1,0)$ です。

\operatorname{div}(y)=\operatorname{div}\Bigl(\frac YZ\Bigr)=\bigl((0,0)+(1,0)+(-1,0)\bigr)-3O

\begin{aligned}\operatorname{div}(y) &= \operatorname{div}\Bigl(\frac YZ\Bigr)\\&= \bigl((0,0)+(1,0)+(-1,0)\bigr)-3O\end{aligned}

\begin{aligned}\operatorname{div}(y) &= \operatorname{div}\Bigl(\frac YZ\Bigr)\\&= \bigl((0,0)+(1,0)+(-1,0)\bigr)\\&\phantom{=}{} -3O\end{aligned}

どの直線も、 $\bar E$ と重複度こみで3点で交わっています。

一般の直線でも同じです。 $\ell=\alpha x+\beta y+\gamma$ （ $\beta\neq0$ ）とすると、 $\operatorname{ord}_O(\beta y)=-3$ は $\operatorname{ord}_O(\alpha x+\gamma)\geq-2$ より小さいので、命題2(4) から $\operatorname{ord}_O(\ell)=-3$ です。定理17から、 $E$ の点での零点の位数の合計は3になります。

命題10から、この合計は直線と $E$ の交点重複度の合計です。 $\beta\neq0$ の直線は $O$ を通らないので、交点はすべて $E$ の上にあります。こうして、縦でない直線と $\bar E$ が重複度こみで3点で交わること（第9回の定理10の特別な場合）が、主因子の次数が0であることから従います。

例20 直線 $y=x$

$k=\mathbb{C}$ とする。 $\bar E$ の上で

{}\begin{gathered} \begin{aligned} \operatorname{div}(y-x)={}&(0,0)+P_++P_-\\ &-3O,\end{aligned}\\[4pt] P_\pm=\Bigl(\frac{1\pm\sqrt5}2,\ \frac{1\pm\sqrt5}2\Bigr)\end{gathered}

証明

$y=x$ を代入すると $x^2=x^3-x$ 、つまり $x(x^2-x-1)=0$ で、根は $0,\ (1\pm\sqrt5)/2$ の3つ。どれも重根でない。
命題10から、各交点での $y-x$ の位数は $\dim_k\mathcal{O}_{\mathbb{A}^2,P}/(F,\,y-x)$ で、これは $x(x^2-x-1)$ の根 $x(P)$ の重複度1に等しい。

$y-x$ で割ると $y$ を $x$ に置き換えられるので、 $\mathcal{O}_{\mathbb{A}^2,P}/(F,y-x)\cong k[x]_{(x-x(P))}/\bigl(x(x^2-x-1)\bigr)$ で、単根なら次元1。
$O$ での位数は、上の段落から $-3$ 。

$P_+\approx(1.618,\,1.618)$ は右の枝、 $P_-\approx(-0.618,\,-0.618)$ は左の閉じた輪の部分にあります。例えば $P_-$ では $x^3-x=x(x^2-1)=x\cdot x=x^2$ です（ $x^2=x+1$ を使いました）。

\uparrow O

\times2

\operatorname{div}(x)=2(0,0)-2O

\uparrow O

\times2

\operatorname{div}(x-1)=2(1,0)-2O

\operatorname{div}(y)=(0,0)+(1,0)+(-1,0)-3O

\operatorname{div}(y-x)=(0,0)+P_+ +P_- -3O

P_\pm=\Bigl(\dfrac{1\pm\sqrt5}{2},\ \dfrac{1\pm\sqrt5}{2}\Bigr)

　実数の点だけを描いています

図4具体例3次曲線

y^2=x^3-x

（青、実数の点）と、4本の直線（オレンジの破線）。各関数の主因子は、直線と曲線の交点（黒い点、

\times2

は重複度）から、無限遠点

O

の極を引いたものです。縦の直線は

O

も通るので（矢印）、極の位数は3から1を引いた2になります。交点が曲線の上にあることと重複度は、図を作るプログラムで、直線に制限した式の根の重複度から確かめています。

主因子から、線形同値な因子の組が読み取れます。

2(0,0)\sim2O\qquad 2(1,0)\sim2O\qquad (0,0)+(1,0)+(-1,0)\sim3O\qquad (0,0)+P_++P_-\sim3O

\begin{gathered}2(0,0)\sim2O\\2(1,0)\sim2O\\(0,0)+(1,0)+(-1,0)\sim3O\\(0,0)+P_++P_-\sim3O\end{gathered}

\begin{aligned}2(0,0) &\sim 2O\\[4pt]2(1,0) &\sim 2O\\[4pt](0,0)+(1,0)+(-1,0) &\sim 3O\\[4pt](0,0)+P_++P_- &\sim 3O\end{aligned}

一般に、直線 $L$ と $\bar E$ の交点を $P,Q,R$ （重複度こみ）とすると、 $P+Q+R\sim3O$ です。これはハーツホーンが例6.10.2で使っている関係です。

一方、 $(0,0)\sim O$ にはなりません。もし $(0,0)-O$ が主因子なら $\bar E$ は $\mathbb{P}^1$ と同型になってしまいますが、そうではないことが知られています[2, 例6.10.1, p.189; 2, 例6.10.2, p.189]。射影直線では $\deg$ が $\operatorname{Cl}$ の同型でしたが、 $\bar E$ では次数0の因子類の群 $\operatorname{Cl}^0(\bar E)$ が0になりません。

$(0,0)-O$ の類は $\operatorname{Cl}^0(\bar E)$ の0でない元で、2倍すると $\operatorname{div}(x)$ なので0になります。ハーツホーンは、 $\bar E$ の点 $P$ と類 $P-O$ の対応で、点の全体と $\operatorname{Cl}^0(\bar E)$ が1対1に対応することを示しています。この対応で点の足し算が定まることは、第12回で扱います。

特異点では局所環が離散付値環にならない

定理5は非特異点の定理でした。特異点では、局所環が離散付値環にならず、位数を1つに決められなくなります。

例21 尖点と結節点

(1)　 $C\colon y^2=x^3$ の原点での局所環 $\mathcal{O}_0$ は離散付値環でない。関数体の元 $y/x$ は $(y/x)^2=x\in\mathcal{O}_0$ をみたすが、 $y/x\notin\mathcal{O}_0$ である。

(2)　 $k$ の標数は2でないとし、 $C\colon y^2=x^2(x+1)$ を $(t^2-1,\ t^3-t)$ と表す。原点での局所環も離散付値環でない。原点は $t=1$ と $t=-1$ の2か所に当たり、関数 $y-x$ は $t=1$ の側では2重に、 $t=-1$ の側では1重に0になる。

証明

尖点でも結節点でも、原点では $\dim_kM/M^2=2$ （第6回の例13(1)）なので、定理4から離散付値環でない。
(1) の後半： $t=y/x$ とおくと $x=t^2$ 、 $y=t^3$ で、 $\mathcal{O}_0$ の0でない元は、 $t$ についての最低次が1にならない。最低次が1の $t$ は $\mathcal{O}_0$ に入らない。

座標環は $k[x,y]/(y^2-x^3)\cong k[t^2,t^3]$ で、 $\mathcal{O}_0$ の元は $g/h$ （ $g,h\in k[t^2,t^3]$ 、 $h(0)\neq0$ ）と書ける。 $k[t^2,t^3]$ の元には $t$ の1次の項がなく、 $h$ で割っても $g$ の最低次は変わらないので、0でない元の $t$ での最低次は $0,2,3,4,\dots$ のどれかで、1にならない。
(2) $y-x=t^3-t-t^2+1=(t-1)^2(t+1)$ である。

尖点では、 $t$ についての最低次を読む付値はありますが、局所環 $\mathcal{O}_0$ がその付値環 $k[t]_{(t)}$ より小さく、位数1の元がありません。 $x,y$ は位数 $2,3$ の元で、極大イデアルは1つの元では生成できません。

結節点では、原点を通る枝が2本あり、枝ごとに別の付値があります。 $y-x$ は一方の枝では位数2、もう一方では位数1で、「原点での位数」を1つに決められません。

ハーツホーンのヴェイユ因子は、余次元1の点の局所環が正則（曲線なら非特異）であることを仮定して定義されています[2, p.177]。特異点のある曲線には、このままでは使えません。

専門的な話カルティエ因子

特異点のある曲線では、因子を「局所的な方程式のデータ」として定義し直します。開被覆 $\{U_i\}$ と、各 $U_i$ の上の0でない有理関数 $f_i$ の組で、重なりの上で $f_i/f_j$ が単元（零点も極もない関数）になっているものをカルティエ因子と呼びます[2, p.191–192]。

非特異な曲線では、カルティエ因子とヴェイユ因子は同じものになります[2, 命題6.11, p.192]。 $f_i$ の位数を点ごとに読めば、ヴェイユ因子に戻ります。

ハーツホーンの例6.11.4は、標数2でない体の上の尖点をもつ3次曲線 $y^2z=x^3$ で、カルティエ因子の類の群の次数0の部分が、 $k$ の加法群と同型になることを示しています[2, 例6.11.4, p.194–195]。局所的な方程式 $f_i$ を変換関数とみる見方は、第11回の直線束につながります。

専門的な話リーマン・ロッホの定理への入り口

因子 $D$ について、「極が $D$ で許される範囲に収まる関数」の空間を考えます。

\begin{aligned} L(D)={}&\{\,f\in k(C)^\times\mid{}\\ &\operatorname{div}(f)+D\geq0\,\}\cup\{0\}\end{aligned}

位数の性質 $\operatorname{ord}_P(f+g)\geq\min$ から、 $L(D)$ は $k$ 上のベクトル空間です。

$\mathbb{P}^1$ で $D=n\{\infty\}$ とすると、 $L(D)$ は $\mathbb{A}^1$ に極をもたない関数、つまり多項式のうち、 $\operatorname{ord}_\infty=-\deg\geq-n$ のものです。次数 $n$ 以下の多項式の空間なので、次元は $n+1$ です。

$\bar E$ で $D=nO$ とすると、 $1,\ x,\ y,\ x^2,\ xy,\ x^3,\dots$ の $O$ での極の位数は $0,2,3,4,5,6,\dots$ で、すべて違います。位数の違う関数は一次独立なので（命題2(4)）、 $n\geq1$ なら $\dim L(nO)\geq n$ です。例えば $L(3O)$ は $1,x,y$ を含みます。

リーマン・ロッホの定理は、 $\deg D$ が大きいとき $\dim L(D)=\deg D+1-g$ を示します。 $g$ は曲線の種数で、 $\mathbb{P}^1$ では $g=0$ 、 $\bar E$ では $g=1$ です。上の2つの計算は、この式の $g=0$ と $g=1$ の場合です（ $\bar E$ では不等式が等式になります）。

まとめ：関数の零点と極を数える

曲線	関数	主因子	次数
$\mathbb{P}^1$	$t$	$\{0\}-\{\infty\}$	$0$
$\mathbb{P}^1$	$(t-1)^2/(t+1)^3$	$2\{1\}-3\{-1\}+\{\infty\}$	$0$
$\mathbb{A}^1$	$t$	$\{0\}$	$1$
$y^2=x^3-x$	$x$	$2(0,0)-2O$	$0$
$y^2=x^3-x$	$y$	$(0,0)+(1,0)+(-1,0)-3O$	$0$
$y^2=x^3-x$	$y-x$	$(0,0)+P_++P_--3O$	$0$

非特異な曲線の点の局所環は離散付値環で、関数を $t^nu$ と書いたときの $n$ が位数です。位数を点ごとに集めたものが主因子で、射影的な曲線では次数が0、つまり零点と極の数が重複度こみで等しくなります。

因子類群は、射影直線では次数だけで決まり（ $\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^1)\cong\mathbb{Z}$ ）、アフィン直線では0です。3次曲線 $y^2=x^3-x$ では、次数0の因子類の群が0にならず、この群から曲線の点の足し算が定まります。

次回：因子から直線束を作る

因子 $D$ に対して、開集合 $U$ ごとに「 $U$ の上で $\operatorname{div}(f)+D\geq0$ となる関数」を集めると、層 $\mathcal{O}(D)$ ができます。全体の上の切断は、上で見た $L(D)$ です。

$\mathbb{P}^1$ で $D=n\{\infty\}$ とすると、 $\mathcal{O}(D)$ は2枚の直線の上の自明な層を、変換関数 $t^n$ で貼り合わせたものになります。これが $\mathcal{O}(n)$ です。

次回は、関数の代わりに切断を考える可逆層（直線束）を定義し、 $\mathcal{O}(n)$ の大域切断が $n$ 次の斉次式になることと、 $\operatorname{Pic}(\mathbb{P}^1)\cong\mathbb{Z}$ を確かめます。

第9回の定義1 交点重複度

$f,g\in k[x,y]$ を、共通の因子（定数でない共通の約数）をもたない多項式とする。点 $p\in\mathbb{A}^2$ について

I_p(f,g)=\dim_k\ \mathcal{O}_p/(f,g)\mathcal{O}_p

\begin{aligned}I_p(f,g) &= \dim_k\ \mathcal{O}_p/(f,g)\mathcal{O}_p\end{aligned}

を、曲線 $V(f)$ と $V(g)$ の $p$ での交点重複度と呼ぶ。

第4回の例16 無限遠点で正則な有理関数

$k$ を体とし、 $s=1/t$ で $k(s)=k(t)$ とみなす。無限遠点 $\infty=(s)$ での茎は $k[s]_{(s)}$ である。0でない多項式 $p,q\in k[t]$ について、

\frac{p(t)}{q(t)}\in k[s]_{(s)}\iff\deg p\leq\deg q

\begin{aligned}\frac{p(t)}{q(t)}\in k[s]_{(s)} &\iff \deg p\\&\leq \deg q\end{aligned}

が成り立つ。このとき $\infty$ での値（ $s=0$ を代入した値）は、 $\deg p<\deg q$ なら $0$ 、 $\deg p=\deg q$ なら最高次の係数の比である。例えば次のようになる（矢印の先は $\infty$ での値）。

t\notin k[s]_{(s)}\qquad \frac{1}{t-1}\mapsto0\qquad \frac{t}{t-1}\mapsto1\qquad \frac{2t^2+1}{t^2+3}=\frac{2+s^2}{1+3s^2}\mapsto2

\begin{gathered}t\notin k[s]_{(s)}\\\frac{1}{t-1}\mapsto0\\\frac{t}{t-1}\mapsto1\\\frac{2t^2+1}{t^2+3}=\frac{2+s^2}{1+3s^2}\mapsto2\end{gathered}

\begin{aligned}&t\notin k[s]_{(s)}\\[4pt]\frac{1}{t-1} &\mapsto 0\\[4pt]\frac{t}{t-1} &\mapsto 1\\[4pt]\frac{2t^2+1}{t^2+3} &= \frac{2+s^2}{1+3s^2}\\&\mapsto 2\end{aligned}

第2回の例11 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{(5)}$

$\mathbb{Z}_{(5)}=\{\,a/b\in\mathbb{Q}\mid 5\nmid b\,\}$ とする。 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}_{(5)}$ は2点 $(0)$ と $(5)$ からなる。 $\{(5)\}$ は閉集合で、 $\{(0)\}$ は開集合であり、その閉包は全体である。

第6回の定義10 ザリスキー接空間

局所環 $\mathcal{O}_p$ の極大イデアルを $M$ とする。 $M/M^2$ は $\mathcal{O}_p/M\cong k$ 上のベクトル空間で、その双対空間

(M/M^2)^\vee=\operatorname{Hom}_k(M/M^2,\ k)

\begin{aligned}(M/M^2)^\vee &= \operatorname{Hom}_k(M/M^2,\ k)\end{aligned}

を、 $Y$ の $p$ でのザリスキー接空間と呼ぶ。

第6回の定理12

$Y\subseteq\mathbb{A}^n$ をアフィン多様体、 $p\in Y$ とし、 $\mathcal{O}_p$ の極大イデアルを $M$ とする。

(1)　 $\dim_kM/M^2+\operatorname{rank}J(p)=n$ で、 $(M/M^2)^\vee\cong T_pY$ である。

(2)　 $\dim_kM/M^2\geq\dim Y$ である。等号が成り立つことと、 $Y$ が $p$ で非特異であることと、 $\mathcal{O}_p$ が正則局所環であることは同値である。

第4回の例10 射影直線

$k$ を体とする。 $X_1=\operatorname{Spec}k[t]$ 、 $X_2=\operatorname{Spec}k[s]$ とし、開集合 $U_1=D(t)\cong\operatorname{Spec}k[t,1/t]$ 、 $U_2=D(s)\cong\operatorname{Spec}k[s,1/s]$ を、環の同型

k[s,1/s]\to k[t,1/t]\qquad s\mapsto 1/t

\begin{gathered}k[s,1/s]\to k[t,1/t]\\s\mapsto 1/t\end{gathered}

\begin{aligned}k[s,1/s] &\to k[t,1/t]\\[4pt]s &\mapsto 1/t\end{aligned}

が引き起こす同型 $\varphi\colon U_1\to U_2$ で貼り合わせる。こうしてできるスキームを、 $k$ 上の射影直線と呼び、 $\mathbb{P}^1$ と書く。

第4回の例13 代数閉体でない体の上の $\mathbb{P}^1$

$k$ を体とする。 $X_1=\operatorname{Spec}k[t]$ の閉点は、最高次の係数が1の既約多項式 $h(t)$ が生成する $(h)$ である。 $h\neq t$ なら、 $d=\deg h$ として

h^*(s)=s^d\,h(1/s)

\begin{aligned}h^*(s) &= s^d\,h(1/s)\end{aligned}

とおくと、点 $(h)$ は $X_2$ の点 $(h^*)$ と同じ点である。 $\mathbb{P}^1$ の点は、 $X_1$ の点と無限遠点 $\infty=(s)$ からなる。

(1)　 $k=\mathbb{R}$ 。 $(t^2+1)$ は $\mathbb{R}$ 上の1点で、 $s$ の側では $(s^2+1)$ になる。 $(t^2-2t+2)$ は $(2s^2-2s+1)$ になる。イデアルは定数倍で変わらないので、 $(s^2-s+\tfrac12)$ と書いても同じ点である。

\begin{aligned} &s^2\bigl((1/s)^2+1\bigr)=1+s^2\\[4pt] &s^2\bigl((1/s)^2-2/s+2\bigr)\\ &\quad=1-2s+2s^2 \end{aligned}

複素数で見ると、 $t^2-2t+2=(t-1-i)(t-1+i)$ なので、この点は $t=1\pm i$ の2点をまとめたものである。 $s$ の側の根 $(1\mp i)/2$ は $1/(1\pm i)$ に等しい。

(2)　 $k=\mathbb{F}_p$ 。1次式の点 $t=a$ （ $a\in\mathbb{F}_p$ ）が $p$ 個と $\infty$ で、合わせて $p+1$ 個の点が斉次座標 $[1:a]$ 、 $[0:1]$ で書ける。斉次座標を直接数えても同じ数になる。

\frac{\#(\mathbb{F}_p^2\setminus\{0\})}{\#\mathbb{F}_p^\times}=\frac{p^2-1}{p-1}=p+1

\begin{aligned}\frac{\#(\mathbb{F}_p^2\setminus\{0\})}{\#\mathbb{F}_p^\times} &= \frac{p^2-1}{p-1}\\&= p+1\end{aligned}

$p=2,3,5,7$ なら $3,4,6,8$ 個である。例えば $\mathbb{F}_2$ では $[1:0],[1:1],[0:1]$ の3点で、 $t=0,1,\infty$ に当たる。

ほかに2次の既約多項式の点が $(p^2-p)/2$ 個ある。例えば $\mathbb{F}_3$ では $t^2+1,\ t^2+t+2,\ t^2+2t+2$ の3つで、 $s$ の側ではそれぞれ $s^2+1,\ s^2+2s+2,\ s^2+s+2$ になる（係数を $\mathbb{F}_3$ で計算し、最高次の係数を1にそろえた）。

第9回の例11 直線との交点を数える

(1)　放物線の閉包 $F=x_0x_2-x_1^2$ と縦の直線 $x_1=cx_0$ ： $P=(1,c,0)$ 、 $Q=(0,0,1)$ とすると

F(sP+tQ)=st-c^2s^2=s\,(t-c^2s)

\begin{aligned}F(sP+tQ) &= st-c^2s^2\\&= s\,(t-c^2s)\end{aligned}

根は $[s:t]=[1:c^2]$ と $[0:1]$ で、交点 $[1:c:c^2]$ と $[0:0:1]$ で $I=1$ ずつ、合計2（第5回の例13）。

(2)　同じ放物線と無限遠直線 $x_0=0$ ： $P=(0,1,0)$ 、 $Q=(0,0,1)$ とすると $F(sP+tQ)=-s^2$ で、 $[0:0:1]$ で $I=2$ 。

(3)　 $y=x^3$ の閉包 $x_0^2x_2-x_1^3$ と無限遠直線： $F(sP+tQ)=-s^3$ で、 $[0:0:1]$ で $I=3$ 。

(4)　3次曲線 $y^2=x^3-x$ の閉包 $F=x_0x_2^2-x_1^3+x_0^2x_1$ と、縦の直線 $x_1=cx_0$ ： $P=(1,c,0)$ 、 $Q=(0,0,1)$ とすると

F(sP+tQ)=s\,\bigl(t^2-(c^3-c)\,s^2\bigr)

\begin{aligned}F(sP+tQ) &= s\,\bigl(t^2-(c^3-c)\,s^2\bigr)\end{aligned}

$c^3\neq c$ なら、平面の2点 $(c,\pm\sqrt{c^3-c})$ と無限遠点 $[0:0:1]$ で $I=1$ ずつ、合計3。例えば $c=2$ なら $(2,\pm\sqrt6)$ と $[0:0:1]$ 。同じ曲線と無限遠直線は、 $F(0,s,t)=-s^3$ から $[0:0:1]$ で $I=3$ 。

第9回の定理10 直線と曲線のベズーの定理

$k$ を代数閉体、 $F$ を次数 $d\geq1$ の斉次多項式、 $\ell$ を1次の斉次式とし、 $\ell$ は $F$ を割り切らないとする。直線 $L=V_+(\ell)$ について

\sum_{p\in L\cap V_+(F)}I_p(F,\ell)=d

\begin{aligned}\sum_{p\in L\cap V_+(F)}I_p(F,\ell) &= d\end{aligned}

第6回の例13 $M/M^2$ の計算

(1)　結節点・尖点の原点。 $f=y^2-x^2-x^3$ も $f=y^2-x^3$ も $(x,y)^2$ に入るので、 $I+M_p^2=M_p^2$ となる。よって

M/M^2\cong(x,y)/(x,y)^2=k\,\bar x\oplus k\,\bar y

\begin{aligned}M/M^2 &\cong (x,y)/(x,y)^2\\&= k\,\bar x\oplus k\,\bar y\end{aligned}

は2次元で、曲線の次元1より大きい。

(2)　円 $x^2+y^2=1$ の点 $p=(3/5,4/5)$ （標数は2, 5でない）。 $u=x-3/5$ 、 $v=y-4/5$ とおくと $M_p=(u,v)$ で、

f=x^2+y^2-1=u^2+v^2+\frac65u+\frac85v\equiv\frac65u+\frac85v\pmod{M_p^2}

\begin{aligned}f &= x^2+y^2-1\\&= u^2+v^2+\frac65u+\frac85v\\&\equiv \frac65u+\frac85v\pmod{M_p^2}\end{aligned}

よって $M/M^2$ では $6\bar u+8\bar v=0$ 、つまり $\bar v=-\tfrac34\bar u$ で、 $M/M^2=k\,\bar u$ は1次元である。

(3)　ねじれ3次曲線の原点。 $y-x^2,\ z-x^3\in I$ で $x^2,x^3\in M_p^2$ なので $\bar y=\bar z=0$ となり、 $M/M^2=k\,\bar x$ は1次元である。

局所環 $A$ の極大イデアルを $M$ 、有限生成 $A$ 加群を $N$ とする。 $MN=N$ なら $N=0$ 。とくに部分加群 $N'$ について $N=N'+MN$ なら $N=N'$ で、 $N/MN$ を張る元は $N$ を生成する。

整域 $A$ が整閉とは、商体の元 $x$ が $A$ 係数の最高次の係数1の多項式の根になるなら $x\in A$ となること。例： $\mathbb{Z}$ や $k[t]$ は整閉。 $k[t^2,t^3]$ は、 $t$ が $x^2-t^2$ の根なのに $t$ を含まないので整閉でない。

0 でも単元でもない元が、既約元の積に、順番と単元倍を除いて一通りに分解できる整域。例： $\mathbb{Z}$ 、体上の多項式環 $k[x_1,\dots,x_n]$ 。ここでは既約元が生成するイデアルは素イデアルになる。

素イデアルがちょうど2つ（ $(0)$ と極大イデアル）の単項イデアル整域。例： $\mathbb{Z}_{(p)}$ 、 $k[x]_{(x)}$ 。0でない元は $\pi^n u$ （ $\pi$ は極大イデアルの生成元、 $u$ は単元）と一通りに書け、 $n$ が「その点で何位の零点か」を表す。

掛けて1になる相手（逆元）をもつ環の元。例： $\mathbb{Z}$ の単元は $\pm1$ 、体では0以外のすべての元。

0 でない元どうしの積が0にならない可換環（ $ab=0$ なら $a=0$ または $b=0$ ）。例： $\mathbb{Z}$ 、体上の多項式環。 $A/P$ が整域であることと、 $P$ が素イデアルであることは同値。

極大イデアルがただ1つの可換環。極大イデアルに入らない元はすべて単元になる。例：素イデアル $P$ での局所化 $A_P$ （極大イデアルは $a/s$ （ $a\in P$ ）の全体）、 $k[x]/(x^2)$ 、 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 。

定数でない1変数多項式が、必ずその体の中に根をもつ体。例： $\mathbb{C}$ 。 $\mathbb{R}$ は代数閉体ではない（ $x^2+1$ に根がない）。代数閉体は必ず無限体である。

体 $k$ で $1+1+\dots+1$ （ $p$ 個） $=0$ となる最小の正の整数 $p$ 。そのような $p$ がなければ標数0と言う。標数は0か素数で、 $\mathbb{F}_p$ の標数は $p$ 、 $\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ の標数は0。体でない環でも同じように定める（ $\mathbb{Z}$ の標数は0、 $\mathbb{Z}/6$ の標数は6）。0か素数になるのは体や整域の場合。

整域 $A$ の元の分数 $a/b$ （ $b\neq0$ ）全体がなす体。 $\operatorname{Frac}A$ と書く。例： $\mathbb{Z}$ の商体は $\mathbb{Q}$ 、 $k[x]$ の商体は有理関数体 $k(x)$ 。

整域 $V$ で、商体の0でない元 $h$ について $h\in V$ か $1/h\in V$ のどちらかが成り立つもの。局所環である。ネーター環である付値環は体か離散付値環で、それ以外の付値環は単項イデアル定理が成り立たない例になる。

多様体 $X$ の上の有理関数（空でない開集合の上の正則関数を、重なりで一致するものどうし同じとみなしたもの）全体の体 $k(X)$ 。アフィン多様体なら座標環の商体に等しい。例： $k(\mathbb{A}^1)=k(t)$ 。

すべてのイデアルが有限個の元で生成される可換環。イデアルの増大列 $J_1\subseteq J_2\subseteq\cdots$ が必ずどこかで止まる、と言っても同じ。

定数でなく、定数でない2つの多項式の積に分解できない多項式。例： $\mathbb{R}[x]$ の $x^2+1$ 。 $\mathbb{C}[x]$ では $(x+i)(x-i)$ と分解するので既約ではない。

環 $A$ をイデアル $J$ で割った環 $A/J$ 。差が $J$ に入る元どうしを同じとみなす。例： $k[x,y]/(y)\cong k[x]$ 。

演算が可換（ $a+b=b+a$ ）な群。演算を足し算で書くことが多い。例： $\mathbb{Z}^d$ 、 $\mathbb{Z}/q$ 、それらの直積。

加群（ベクトル空間でもよい）の準同型の列 $0\to U\xrightarrow{\alpha}V\xrightarrow{\beta}W\to0$ で、 $\alpha$ が単射、 $\beta$ が全射、 $\operatorname{Im}\alpha=\operatorname{Ker}\beta$ となるもの。このとき $W\cong V/U$ で、長さ（有限次元なら次元）について $\ell(V)=\ell(U)+\ell(W)$ 。

アフィン空間 $\mathbb{A}^n$ （や射影空間）の中で、定数でない1つの多項式 $f$ の零点 $V(f)$ として表される集合。単項イデアル定理から、各既約成分の次元は $n-1$ である。例： $\mathbb{A}^3$ の錐面 $xy=z^2$ 。

開集合 $U$ に対して、和集合がちょうど $U$ になる開集合の族 $\{V_i\}$ 。

各点の上に1次元のファイバー（直線）が乗り、局所的には直積 $U\times\mathbb{A}^1$ の形をした空間。その切断の層が可逆層（局所的に $\mathcal{O}_X$ と同型な $\mathcal{O}_X$ 加群）で、2つはよく同じものとして扱われる。連載第11回で扱う。

体 $k$ 上のベクトル空間 $W$ から $k$ への線形写像の全体 $W^\vee=\operatorname{Hom}_k(W,k)$ 。 $W$ が有限次元なら $\dim W^\vee=\dim W$ で、 $W$ の基底に対して双対基底がとれる。

どの点のまわりも、ある環 $A$ の $\operatorname{Spec}A$ （素イデアル全体に位相と構造層を載せた空間）と同じ形をしている空間。 $\operatorname{Spec}A$ を貼り合わせて作れる。零点集合では区別できない $x=0$ と $x^2=0$ の違いも扱える。連載第4回で定義している。

参考文献

M. F. アティヤ, I. G. マクドナルド（新妻弘訳）, 『可換代数入門』, 共立出版, 2006.
R. ハーツホーン（高橋宣能・松下大介訳）, 『代数幾何学 1』, 丸善出版, 2013.