特異点をほどく：ブローアップ｜数学ビジュアライズ

この記事の要点

ブローアップ: 平面の原点を、原点を通る直線の向き全体 $\mathbb{P}^1$ に取り替えた曲面です。 $\mathbb{A}^2\times\mathbb{P}^1$ の中で、式 $xu_1=yu_0$ で定まります。
例外曲線: 原点の上には $\mathbb{P}^1$ がまるごと乗り、これを例外曲線 $E$ と呼びます。原点以外の点の上には点が1つだけで、そこはもとの平面と同じです。
狭義変換: 曲線の原点以外の部分を持ち上げ、閉包をとったものです。チャートで $y=mx$ を代入し、 $x$ のべきで割れば求まります。例外曲線とは、原点での接線の向きに当たる点で交わります。
特異点をほどく: 結節点の2本の枝は、例外曲線の別々の点 $m=\pm1$ に分かれます。尖点は滑らかな曲線になります。真上から見た影と持ち上げた曲線を、回せる立体図で比べます。

証明は、ステップの流れだけを短く書いています。「詳しく」の付いた行をクリックすると、そのステップの詳しい説明が開きます。説明の中にも開ける行があります。
定義・命題・定理には、記事全体で通し番号を振っています。
もう少し詳しくは補足、専門的な話は先の回につながる話題です。どちらも開かずに読み進められます。
各ブロックの「AIに質問」を押すと、その部分の内容を入れた質問文で、お使いのAIを開けます。

前回の宿題

第6回では、平面曲線 $C=V(f)$ の特異点、つまり $f=\partial f/\partial x=\partial f/\partial y=0$ となる点を調べました（第6回の定義2）。代表的な例が、原点で自分自身と交わる結節点 $y^2=x^2(x+1)$ と、原点で尖る尖点 $y^2=x^3$ です。

原点のまわりの形は、 $f$ を斉次式の和 $f=f_r+f_{r+1}+\cdots$ （ $f_i$ は $i$ 次の斉次式、 $f_r\neq0$ ）に分けたときの、最低次の部分 $f_r$ に表れます。 $f_r=0$ が定める原点を通る直線の和集合が接錐でした（第6回の定義14）。

\begin{aligned} y^2-x^2(x+1)&=\underbrace{(y-x)(y+x)}_{f_2}-x^3\\ y^2-x^3&=\underbrace{y^2}_{f_2}-x^3\end{aligned}

結節点の接錐は2本の直線 $y=\pm x$ で、尖点の接錐は直線 $y=0$ を2重に数えたものです。

結節点の2本の枝は、原点で違う向きに進んでいます。それでも平面の中では同じ点を通るので、交わってしまいます。そこで、点に「向き」の情報を足して、向きが違えば別の点とみなす空間を作ります。これがブローアップです。

この記事では、まず平面の原点でのブローアップを定義し、原点だけが射影直線 $\mathbb{P}^1$ に置き換わることを示します。次に、ブローアップが2枚の平面を貼り合わせたもので、その貼り合わせ方が第4回の $\mathbb{P}^1$ と同じ形であることを確かめます。最後に曲線の狭義変換を計算し、結節点の枝が分かれ、尖点が滑らかになる様子を、数式と立体図で見ます。

原点でのブローアップ

この記事では $k$ を代数閉体とし、ハーツホーンの第 I 章と同じく、多様体を点の集合として扱います。ハーツホーンの第 I 章は零点集合を $V$ ではなく $Z$ と書きますが、この連載では $V$ のままにします。数を使った例は、標数0の体（例えば $k=\mathbb{C}$ ）で計算します。

射影直線 $\mathbb{P}^1$ の点は、第4回の例10のあとで見た斉次座標で書きます。ただし平面の座標に $x,y$ を使うので、斉次座標の文字は $[u_0:u_1]$ に変えます。 $u_0\neq0$ の点では $u_1/u_0$ （第4回の $t$ ）、 $u_1\neq0$ の点では $u_0/u_1$ （第4回の $s$ ）が座標です。

まず、平面と射影直線の積 $\mathbb{A}^2\times\mathbb{P}^1$ の閉集合を決めます。点は組 $\bigl((x,y),[u_0:u_1]\bigr)$ です。

定義1 $\mathbb{A}^2\times\mathbb{P}^1$ の閉集合 [1, §I.4, p.38]

多項式 $F\in k[x,y,u_0,u_1]$ が $u_0,u_1$ について $d$ 次の斉次式であるとは、各項の $u_0,u_1$ の次数の和がすべて $d$ であることをいう。このとき $\lambda\in k$ について

\begin{aligned} &F(x,y,\lambda u_0,\lambda u_1)\\ &\quad=\lambda^dF(x,y,u_0,u_1) \end{aligned}

なので、 $F$ が0になるかどうかは斉次座標の取り方によらない。そのような斉次式の集合 $S$ について、

\begin{aligned} &V(S)\\ &=\bigl\{\,\bigl((a,b),[c_0:c_1]\bigr)\in\mathbb{A}^2\times\mathbb{P}^1\\ &\quad\bigm|F(a,b,c_0,c_1)=0\ (F\in S)\,\bigr\} \end{aligned}

の形の集合を $\mathbb{A}^2\times\mathbb{P}^1$ の閉集合と呼ぶ。

例えば $V(u_0)$ は $\mathbb{A}^2\times\{[0:1]\}$ で、 $V(x,y)$ は $\{O\}\times\mathbb{P}^1$ です。 $u_0+x$ は斉次式ではないので、これだけでは閉集合を定めません。点 $\bigl((1,0),[1:1]\bigr)=\bigl((1,0),[-1:-1]\bigr)$ で、代入した値が $2$ と $0$ に分かれてしまうからです。

定義2 原点でのブローアップ [1, §I.4, p.38]

$\mathbb{A}^2\times\mathbb{P}^1$ の閉集合

\begin{aligned} \widetilde{\mathbb{A}}^2&=V(xu_1-yu_0)\\ &=\bigl\{\,\bigl((x,y),[u_0:u_1]\bigr)\\ &\qquad\quad\bigm|xu_1=yu_0\,\bigr\} \end{aligned}

を、 $\mathbb{A}^2$ の原点 $O=(0,0)$ でのブローアップと呼ぶ。第1成分への写像を $\pi\colon\widetilde{\mathbb{A}}^2\to\mathbb{A}^2$ 、 $\bigl((x,y),[u_0:u_1]\bigr)\mapsto(x,y)$ と書き、 $E=\pi^{-1}(O)$ を例外曲線と呼ぶ。

ハーツホーンはブローアップを $X$ 、写像を $\varphi$ と書いています。 $\mathbb{A}^n$ の原点でのブローアップも同じ形の式 $x_iy_j=x_jy_i$ で定義していて、 $n=2$ としたものがこの定義です。

式 $xu_1=yu_0$ は、2つのベクトル $(x,y)$ と $(u_0,u_1)$ が平行であること、つまり行列式が0であることを表しています。

xu_1-yu_0=\det\begin{pmatrix}x&y\\u_0&u_1\end{pmatrix}=0

$[u_0:u_1]$ を「原点を通り、 $(u_0,u_1)$ の向きに進む直線 $L$ 」と読めば、 $\widetilde{\mathbb{A}}^2$ の点は「平面の点 $P$ と、 $P$ を含み原点を通る直線 $L$ の組」です。

\widetilde{\mathbb{A}}^2=\{\,(P,L)\mid P\in L\,\}\qquad L=\{\,(\lambda u_0,\lambda u_1)\mid\lambda\in k\,\}

\begin{gathered}\widetilde{\mathbb{A}}^2=\{\,(P,L)\mid P\in L\,\}\\L=\{\,(\lambda u_0,\lambda u_1)\mid\lambda\in k\,\}\end{gathered}

\begin{aligned}\widetilde{\mathbb{A}}^2 &= \{\,(P,L)\mid P\in L\,\}\\[4pt]L &= \{\,(\lambda u_0,\lambda u_1)\mid\lambda\in k\,\}\end{aligned}

例3 点の上にある点

(1)　 $P=(2,6)$ の上の点は、 $2u_1=6u_0$ から $u_1=3u_0$ なので $\bigl((2,6),[1:3]\bigr)$ だけである。 $[1:3]$ は傾き $3$ の直線 $y=3x$ で、確かに $P$ を通る。

(2)　 $P=(-1,2)$ の上の点は、 $-u_1=2u_0$ から $\bigl((-1,2),[1:-2]\bigr)$ だけである。

(3)　 $P=(0,5)$ の上の点は、 $0\cdot u_1=5u_0$ から $u_0=0$ なので $\bigl((0,5),[0:1]\bigr)$ だけである。 $[0:1]$ は縦の直線 $x=0$ で、傾きをもたない。

(4)　 $P=O$ の上では、式は $0=0$ になり、すべての $[u_0:u_1]$ について $\bigl(O,[u_0:u_1]\bigr)\in\widetilde{\mathbb{A}}^2$ である。

例の (1)〜(3) では点がちょうど1つ、(4) では $\mathbb{P}^1$ がまるごと乗っています。一般に次が成り立ちます。

命題4 [1, §I.4 (1)(2)(3), p.38–39]

(1)　 $P=(a,b)\neq O$ なら、 $\pi^{-1}(P)=\bigl\{\bigl((a,b),[a:b]\bigr)\bigr\}$ はただ1点である。

(2)　 $E=\pi^{-1}(O)=\{O\}\times\mathbb{P}^1$ である。

(3)　 $\pi$ は $\widetilde{\mathbb{A}}^2\setminus E$ から $\mathbb{A}^2\setminus\{O\}$ への全単射で、逆写像は $(a,b)\mapsto\bigl((a,b),[a:b]\bigr)$ である。

証明

(1) を示す。 $\bigl((a,b),[u_0:u_1]\bigr)\in\widetilde{\mathbb{A}}^2$ は $au_1=bu_0$ と同値で、これは $(u_0,u_1)$ が $(a,b)$ の定数倍であることと同値である。

$a\neq0$ とする。 $u_1=(b/a)u_0$ となる。 $u_0=0$ なら $u_1=0$ で斉次座標にならないので $u_0\neq0$ で、
$[u_0:u_1]=[u_0:(b/a)u_0]=[1:b/a]=[a:b]$ $\begin{aligned}[u_0:u_1] &= [u_0:(b/a)u_0]\\&= [1:b/a]\\&= [a:b]\end{aligned}$
$b\neq0$ のときも、 $a$ と $b$ の役割を入れ替えて同じように $[u_0:u_1]=[a:b]$ となる。逆に $[a:b]$ は $ab=ba$ なので式をみたす。
(2) を示す。 $a=b=0$ なら式は $0=0$ で、どの $[u_0:u_1]$ でも成り立つ。
(3) は (1) から従う。 $\mathbb{A}^2\setminus\{O\}$ の各点の上に、 $\widetilde{\mathbb{A}}^2\setminus E$ の点がちょうど1つある。

(2) の $E$ の点 $[u_0:u_1]$ は、原点を通る直線と1対1に対応しています。ハーツホーンは、原点を通る直線 $L$ について、 $L\setminus\{O\}$ の逆像の閉包が $E$ とちょうど点 $[u_0:u_1]$ で交わることを示しています[1, §I.4 (3), p.38–39]。これは後の例10で計算します。

y=2x

y=x

y=0

y=-x

x=0

O

平面

\mathbb{A}^2

の、原点を通る直線

m=2

：

[1:2]

m=1

：

[1:1]

m=0

：

[1:0]

m=-1

：

[1:-1]

[0:1]

例外曲線

E\cong\mathbb{P}^1

傾き

図1具体例左は平面の、原点を通る直線です。直線

y=ax

は例外曲線

E

の点

[1:a]

（傾き

m=a

）に、縦の直線

x=0

は点

[0:1]

に対応します。右の縦の線が

E

で、同じ色の点が同じ直線を表します。破線は結節点

y^2=x^2(x+1)

で、原点での2本の枝はオレンジの

y=x

と緑の

y=-x

に接しています。ブローアップすると、この2本の枝は

E

の点

m=1

と

m=-1

を通るようになります。

2枚の平面を貼り合わせた曲面

$\widetilde{\mathbb{A}}^2$ を、 $\mathbb{P}^1$ の2つの座標に合わせて2つに分けます。

W_0=\widetilde{\mathbb{A}}^2\cap\{u_0\neq0\}\qquad W_1=\widetilde{\mathbb{A}}^2\cap\{u_1\neq0\}\qquad \widetilde{\mathbb{A}}^2=W_0\cup W_1

\begin{gathered}W_0=\widetilde{\mathbb{A}}^2\cap\{u_0\neq0\}\\W_1=\widetilde{\mathbb{A}}^2\cap\{u_1\neq0\}\\\widetilde{\mathbb{A}}^2=W_0\cup W_1\end{gathered}

\begin{aligned}W_0 &= \widetilde{\mathbb{A}}^2\cap\{u_0\neq0\}\\[4pt]W_1 &= \widetilde{\mathbb{A}}^2\cap\{u_1\neq0\}\\[4pt]\widetilde{\mathbb{A}}^2 &= W_0\cup W_1\end{aligned}

$W_0$ では $m=u_1/u_0$ が決まり、式 $xu_1=yu_0$ を $u_0$ で割ると $y=mx$ になります。 $m$ は、点 $P$ と原点を結ぶ直線の傾きです。同じように $W_1$ では $n=u_0/u_1$ が決まり、式は $x=ny$ になります。

命題5 ブローアップのチャート

(1)　 $W_0\to\mathbb{A}^2$ 、 $\bigl((x,y),[u_0:u_1]\bigr)\mapsto(x,m)$ （ $m=u_1/u_0$ ）は全単射で、逆写像は $(x,m)\mapsto\bigl((x,mx),[1:m]\bigr)$ である。同じく $W_1\to\mathbb{A}^2$ 、 $\bigl((x,y),[u_0:u_1]\bigr)\mapsto(n,y)$ （ $n=u_0/u_1$ ）は全単射で、逆写像は $(n,y)\mapsto\bigl((ny,y),[n:1]\bigr)$ である。

(2)　この座標で、 $\pi$ は $(x,m)\mapsto(x,mx)$ 、 $(n,y)\mapsto(ny,y)$ と書け、 $E$ は $W_0$ では $x=0$ 、 $W_1$ では $y=0$ で定まる。

(3)　重なり $W_0\cap W_1$ は、 $W_0$ では $m\neq0$ 、 $W_1$ では $n\neq0$ の部分で、座標は次のように移り合う。

n=\frac1m\qquad y=mx

\begin{gathered}n=\frac1m\\y=mx\end{gathered}

\begin{aligned}n &= \frac1m\\[4pt]y &= mx\end{aligned}

逆向きは $m=1/n$ 、 $x=ny$ である。

証明

(1) を $W_0$ について示す。 $u_0\neq0$ なら $[u_0:u_1]=[1:m]$ で、式 $xu_1=yu_0$ は $y=mx$ になる。よって点は $(x,m)$ で決まり、どの $(x,m)$ にも点 $\bigl((x,mx),[1:m]\bigr)$ がある。 $W_1$ も同じ。
(2) は (1) の逆写像の第1成分を読めばよい。 $E$ は $(x,y)=(0,0)$ の部分で、 $W_0$ では $y=mx$ なので $x=0$ だけで決まる。
(3) を示す。 $u_0u_1\neq0$ の点では $n=u_0/u_1=1/m$ で、 $y=mx$ と $x=ny$ は同じ式である。

$W_0$ と $W_1$ はどちらも平面 $\mathbb{A}^2$ と同じ形で、 $\widetilde{\mathbb{A}}^2$ はこの2枚の平面を貼り合わせたものです。点の座標を両方のチャートで並べてみます。

例6 2つのチャートの座標

$\widetilde{\mathbb{A}}^2$ の点	$W_0$ の座標 $(x,m)$	$W_1$ の座標 $(n,y)$
$\bigl((2,6),[1:3]\bigr)$	$(2,3)$	$(1/3,6)$
$\bigl((-1,2),[1:-2]\bigr)$	$(-1,-2)$	$(-1/2,2)$
$\bigl((3,0),[1:0]\bigr)$	$(3,0)$	なし
$\bigl((0,5),[0:1]\bigr)$	なし	$(0,5)$
$\bigl(O,[1:1]\bigr)$	$(0,1)$	$(1,0)$
$\bigl(O,[2:1]\bigr)$	$(0,1/2)$	$(2,0)$

両方の座標がある行では $n=1/m$ 、 $x=ny$ が成り立つ（例えば1行目は $1/3=1/3$ 、 $2=(1/3)\cdot6$ ）。下の2行は $E$ の点で、 $W_0$ では $x=0$ 、 $W_1$ では $y=0$ である。

この貼り合わせを環で書くと、第4回の例10の $\mathbb{P}^1$ の貼り合わせと同じ形をしています。 $W_0$ の関数の環を $k[x,m]$ 、 $W_1$ の関数の環を $k[n,y]$ とすると、重なりの部分は $D(m)$ と $D(n)$ で、(3) の座標の移り方は次の環の同型で表されます。

k[n,y,1/n]\xrightarrow{\ \cong\ }k[x,m,1/m]\qquad n\longmapsto\frac1m\quad y\longmapsto mx

\begin{gathered}k[n,y,1/n]\xrightarrow{\ \cong\ }k[x,m,1/m]\\n\longmapsto\frac1m\\y\longmapsto mx\end{gathered}

逆向きは $m\mapsto1/n$ 、 $x\mapsto ny$ です。 $y\mapsto mx\mapsto(1/n)(ny)=y$ と戻るので、確かに互いに逆です。

$\mathbb{P}^1$ の貼り合わせ $s\mapsto1/t$ と並べると、次の図式が可換になります。縦の矢印は $t\mapsto m$ 、 $s\mapsto n$ です。

\begin{CD} k[s,1/s] @>{s\mapsto1/t}>> k[t,1/t] \\ @V{s\mapsto n}VV @VV{t\mapsto m}V \\ k[n,y,1/n] @>>{n\mapsto1/m,\ y\mapsto mx}> k[x,m,1/m] \end{CD}

$s$ を右上から回すと $s\mapsto1/t\mapsto1/m$ 、左下から回すと $s\mapsto n\mapsto1/m$ で一致します。

この図式は、 $\widetilde{\mathbb{A}}^2$ から $\mathbb{P}^1$ への写像 $\bigl((x,y),[u_0:u_1]\bigr)\mapsto[u_0:u_1]$ が、チャートでは $m$ （ $=t$ ）と $n$ （ $=s$ ）を読む写像になることを表しています。 $\widetilde{\mathbb{A}}^2$ は、 $\mathbb{P}^1$ の各点 $[u_0:u_1]$ の上に、その向きの直線 $L$ を1本ずつ立てたものだと言えます。

もう少し詳しくチャートの閉集合は平面の閉集合

$\widetilde{\mathbb{A}}^2$ には $\mathbb{A}^2\times\mathbb{P}^1$ の閉集合から位相が入ります（閉集合は、 $\mathbb{A}^2\times\mathbb{P}^1$ の閉集合と $\widetilde{\mathbb{A}}^2$ の共通部分）。 $W_0=\widetilde{\mathbb{A}}^2\setminus V(u_0)$ なので、 $W_0$ は開集合です。

命題5の座標 $(x,m)$ で、 $W_0$ の閉集合は平面 $\mathbb{A}^2$ の閉集合とちょうど対応します。斉次式 $F$ に $u_0=1$ 、 $u_1=m$ 、 $y=mx$ を代入すると $(x,m)$ の多項式になり、逆に $(x,m)$ の多項式 $g$ は、 $e$ を $g$ の $m$ についての次数として次の斉次式で表せるからです。

F\longmapsto F(x,mx,1,m)\qquad g(x,m)\longmapsto u_0^{\,e}\,g\bigl(x,u_1/u_0\bigr)

\begin{gathered}F\longmapsto F(x,mx,1,m)\\g(x,m)\longmapsto u_0^{\,e}\,g\bigl(x,u_1/u_0\bigr)\end{gathered}

例えば $g=m^2-x-1$ は $u_1^2-xu_0^2-u_0^2$ になり、 $u_0=1$ 、 $u_1=m$ で $g$ に戻ります。

命題7 [1, §I.4 (1)(4), p.38–39]

(1)　 $\pi$ は $\widetilde{\mathbb{A}}^2\setminus E$ から $\mathbb{A}^2\setminus\{O\}$ への同型である。チャートでは、 $D(x)$ の上の逆写像が $(x,y)\mapsto(x,\,y/x)$ 、 $D(y)$ の上の逆写像が $(x,y)\mapsto(x/y,\,y)$ で与えられる。

(2)　 $\widetilde{\mathbb{A}}^2$ は既約で、次元は $2$ である。

証明

(1) を示す。まず $W_0$ は $(x,m)$ の平面 $\mathbb{A}^2$ と同型である。 $\mathbb{A}^2\times\mathbb{P}^1$ の開集合 $u_0\neq0$ を、 $m=u_1/u_0$ を加えた座標 $(x,y,m)$ の空間 $\mathbb{A}^3$ と見ると、 $W_0$ はその中の曲面 $y=mx$ で、 $(x,y,m)\mapsto(x,m)$ とその逆 $(x,m)\mapsto(x,mx,m)$ はどちらも多項式で書けるからである。

$\{u_0\neq0\}\subseteq\mathbb{P}^1$ は座標 $m$ で $\mathbb{A}^1$ と同型なので、 $\mathbb{A}^2\times\{u_0\neq0\}$ は $\mathbb{A}^2\times\mathbb{A}^1=\mathbb{A}^3$ と同じものになる。この見方は図2でも使っている。

2つの写像は互いに逆である。 $(x,m)\mapsto(x,mx,m)\mapsto(x,m)$ で、曲面 $y=mx$ の上では $(x,y,m)\mapsto(x,m)\mapsto(x,mx,m)=(x,y,m)$ となる。
この座標で $W_0\setminus E$ は $D(x)$ で、 $\pi$ は $(x,m)\mapsto(x,mx)$ と書ける。これは $(x,y)$ の平面の $D(x)$ への写像で、逆写像 $(x,y)\mapsto(x,y/x)$ の成分も $D(x)$ の上の正則関数なので、 $\pi$ は $W_0\setminus E$ から $D(x)$ への同型である。

互いに逆であることは、 $(x,m)\mapsto(x,mx)\mapsto(x,mx/x)=(x,m)$ 、 $(x,y)\mapsto(x,y/x)\mapsto\bigl(x,(y/x)x\bigr)=(x,y)$ から分かる。関数の環で見ると、 $k[x,y]_x$ と $k[x,m]_x$ が $y\mapsto mx$ 、 $m\mapsto y/x$ で同型になることに当たる。

$W_1\setminus E$ と $D(y)$ も同じで、 $D(x)\cup D(y)=\mathbb{A}^2\setminus\{O\}$ である。2つの逆写像は $D(xy)$ の上で一致する（どちらも点 $P$ を $\bigl(P,[x:y]\bigr)$ に送る）ので、貼り合わせると $\mathbb{A}^2\setminus\{O\}$ 全体での逆写像になる。
(2) の既約性を示す。 $W_0,W_1$ は、(1) の証明で見たとおり既約な $\mathbb{A}^2$ と同型な開集合で、共通部分 $W_0\cap W_1$ は空でない。このとき $\widetilde{\mathbb{A}}^2=Z_1\cup Z_2$ （ $Z_i$ は閉集合）なら、どちらかが全体になる。

ここで位相空間が既約であるとは、空でなく、2つの閉集合の和に書けば必ずどちらかが全体になることをいう（第1回の定義13と同じ形）。 $\mathbb{A}^2=V(0)$ は $(0)$ が素イデアルなので既約である（第1回の命題14）。

$W_0=(Z_1\cap W_0)\cup(Z_2\cap W_0)$ で $W_0$ は既約なので、例えば $W_0\subseteq Z_1$ となる。すると $Z_1\cap W_1$ は $W_1$ の閉集合で、空でない開集合 $W_0\cap W_1$ を含む。

既約な空間の空でない開集合は、閉包が全体になる（そうでないと、閉包と開集合の補集合で2つに分かれる）。よって $Z_1\cap W_1=W_1$ で、 $Z_1=\widetilde{\mathbb{A}}^2$ である。
次元は、開被覆 $\{W_0,W_1\}$ について $\dim\widetilde{\mathbb{A}}^2=\max(\dim W_0,\dim W_1)=\dim\mathbb{A}^2=2$ となる [1, 演習1.10 (b), p.11; 1, 命題1.9, p.8]。

ハーツホーン自身は、(2) を「 $E$ の各点が $\widetilde{\mathbb{A}}^2\setminus E$ の部分集合（直線 $L$ の逆像）の閉包に入る」ことから示しています[1, §I.4 (4), p.39]。

チャート $W_0$ は、座標 $(x,y,m)$ の空間の曲面 $y=mx$ として描けます。 $\pi$ は $(x,y,m)\mapsto(x,y)$ で、高さ $m$ を忘れる写像です。真上から見た影が、そのまま $\pi$ による像になります。

ドラッグで回せます

青い曲面が、ブローアップ $\widetilde{\mathbb{A}}^2$ のチャート $W_0$ （ $u_0\neq0$ ）です。座標 $(x,y,m)$ の空間の曲面 $y=mx$ で、黒い縦の線（ $m$ 軸）が例外曲線 $E$ です。高さ $m=c$ で切ると、切り口は直線 $y=cx$ になります。床の影では原点で交わっていた直線が、高さ $c$ ごとに分かれて、 $E$ の点 $m=c$ を通ります。

結節点 $y^2=x^2(x+1)$ の点 $(x,y)$ を、高さ $m=y/x$ まで持ち上げた曲線（オレンジ）です。「真上」から見ると床の影と重なって自分と交わりますが、回すと、原点を通る2本の枝が高さ $m=1$ と $m=-1$ に分かれ、 $E$ と別々の点で交わります。「正面」から見ると $(x,m)$ の平面の放物線 $m^2=x+1$ です。

尖点 $y^2=x^3$ を持ち上げた曲線（緑）は、点 $(m^2,m^3,m)$ の軌跡です。「真上」から見ると尖っていますが、「正面」から見ると放物線 $x=m^2$ で、尖りがありません。 $E$ とは $m=0$ の1点だけで、 $E$ に接して交わります。

タクノード $y^2=x^4$ の2本の枝 $y=x^2$ （紫）と $y=-x^2$ （緑）は、 $m=x$ と $m=-x$ に持ち上がります。どちらも原点での接線が $y=0$ なので、同じ点 $m=0$ で $E$ と交わり、まだ交わったままです。「正面」から見ると2本の直線が交わる結節点です。

図2具体例チャート

W_0

を、座標

(x,y,m)

の空間の曲面

y=mx

（青）として描いた図です。黒い縦の線（

m

軸）が例外曲線

E

の

W_0

の部分、床は平面

\mathbb{A}^2

です。カメラは正射影なので、「真上」から見ると高さ

m

が消え、曲面の上の曲線はちょうど床の影（

\pi

による像）に重なります。「正面」から見ると

y

が消え、チャートの座標

(x,m)

の平面になります。回すと、真上からは1点に重なって見える点が、高さ

m

で分かれます。ボタンで、曲線を持ち上げた様子を切り替えられます（ハーツホーンの図3（p.40）と同じ曲面です）。

もう一つの射 $\widetilde{\mathbb{A}}^2\to\mathbb{P}^1$ 、 $((x,y),[u_0:u_1])\mapsto[u_0:u_1]$ を考えると、点 $[u_0:u_1]$ の上には、その方向の原点を通る直線 $xu_1=yu_0$ がまるごと乗ります。 $\widetilde{\mathbb{A}}^2$ は、 $\mathbb{P}^1$ の各点にその点が表す直線を乗せた空間で、第11回ではこれを直線束 $\mathcal{O}(-1)$ の全空間として見直します（第11回の命題17）。

全変換と狭義変換

平面曲線をブローアップの中へ持ち上げます。原点以外では $\pi$ が同型なので、曲線の原点以外の部分はそのまま持ち上がります。問題は、原点の上にどの点を足すかです。

定義8 全変換と狭義変換 [1, §I.4 定義, p.39; 1, 例4.9.1, p.40]

$C\subseteq\mathbb{A}^2$ を原点 $O$ を通る閉集合とする。 $\pi^{-1}(C)$ を $C$ の全変換と呼ぶ。 $\pi^{-1}(C\setminus\{O\})$ の $\widetilde{\mathbb{A}}^2$ での閉包

\widetilde C=\overline{\pi^{-1}(C\setminus\{O\})}

\begin{aligned}\widetilde C &= \overline{\pi^{-1}(C\setminus\{O\})}\end{aligned}

を $C$ の狭義変換と呼ぶ。

ハーツホーンの和訳は、全変換を「全逆像」、狭義変換を「強変換」と呼んでいます。 $C$ が多様体のとき、ハーツホーンは $\widetilde C$ を「 $C$ の $O$ でのブローアップ」と呼んでいます。

全変換には $E$ がまるごと含まれます。 $C$ が $O$ を通るので、 $\pi^{-1}(C)\supseteq\pi^{-1}(O)=E$ だからです。狭義変換は、全変換から $E$ を取り除き、 $E$ のうち曲線が近づいてくる点だけを戻したものです。

命題9 狭義変換の求め方

0でない $f\in k[x,y]$ が $f(O)=0$ をみたすとし、 $f=f_r+f_{r+1}+\cdots+f_d$ （ $f_i$ は $i$ 次の斉次式、 $f_r\neq0$ 、 $r\geq1$ ）と書く。 $C=V(f)$ とする。

(1)　チャートで $y=mx$ 、 $x=ny$ を代入すると、次のように書ける。

f(x,mx)=x^r\,g_0(x,m)\qquad f(ny,y)=y^r\,g_1(n,y)

\begin{gathered}f(x,mx)=x^r\,g_0(x,m)\\f(ny,y)=y^r\,g_1(n,y)\end{gathered}

\begin{aligned}f(x,mx) &= x^r\,g_0(x,m)\\[4pt]f(ny,y) &= y^r\,g_1(n,y)\end{aligned}

g_0=\sum_{i=r}^{d}x^{i-r}f_i(1,m)\qquad g_1=\sum_{i=r}^{d}y^{i-r}f_i(n,1)

\begin{gathered}g_0=\sum_{i=r}^{d}x^{i-r}f_i(1,m)\\g_1=\sum_{i=r}^{d}y^{i-r}f_i(n,1)\end{gathered}

\begin{aligned}g_0 &= \sum_{i=r}^{d}x^{i-r}f_i(1,m)\\[4pt]g_1 &= \sum_{i=r}^{d}y^{i-r}f_i(n,1)\end{aligned}

(2)　 $\widetilde C\cap W_0=V(g_0)$ 、 $\widetilde C\cap W_1=V(g_1)$ で、全変換は $\pi^{-1}(C)=E\cup\widetilde C$ である。

(3)　 $\widetilde C\cap E=\bigl\{\,\bigl(O,[u_0:u_1]\bigr)\bigm|f_r(u_0,u_1)=0\,\bigr\}$ 。つまり $\widetilde C$ は、接錐 $V(f_r)$ の直線の向きの点で $E$ と交わる。

証明

(1) を示す。 $f_i$ は $i$ 次の斉次式なので $f_i(x,mx)=x^if_i(1,m)$ で、和をとって $x^r$ でくくればよい。 $W_1$ も同じ。
$g_0$ は $x$ で割り切れない。 $g_0(0,m)=f_r(1,m)$ で、 $f_r\neq0$ なのでこれは0でない多項式である。

$f_r=\sum_jc_jx^{r-j}y^j$ と書くと $f_r(1,m)=\sum_jc_jm^j$ で、係数 $c_j$ がすべて0でない限り0にならない。 $g_1$ も同じで、 $g_1(n,0)=f_r(n,1)\neq0$ である。
(2) の $W_0$ の部分を示す。 $W_0$ の点 $(x,m)$ で $\pi(x,m)\neq O$ となるのは $x\neq0$ のときなので、 $\pi^{-1}(C\setminus\{O\})\cap W_0=V(g_0)\setminus V(x)$ である。その閉包は $V(g_0)$ になる。

$x\neq0$ では $f(x,mx)=0\iff g_0(x,m)=0$ なので、最初の等式が成り立つ。

$g_0$ を既約多項式の積 $h_1\cdots h_s$ に分けると $V(g_0)=V(h_1)\cup\cdots\cup V(h_s)$ で、各 $V(h_j)$ は既約である（第1回の命題14）。 $x\nmid g_0$ なので $h_j$ は $x$ の定数倍でなく、零点定理から $V(h_j)\not\subseteq V(x)$ となる。

よって $V(h_j)\setminus V(x)$ は既約な $V(h_j)$ の空でない開集合で、閉包は $V(h_j)$ 全体である。和をとって、 $V(g_0)\setminus V(x)$ の閉包は $V(g_0)$ 。開集合 $W_0$ の中の閉包は、 $\widetilde{\mathbb{A}}^2$ での閉包と $W_0$ の共通部分に等しい。
全変換は、 $W_0$ では $V(x^rg_0)=V(x)\cup V(g_0)=(E\cap W_0)\cup(\widetilde C\cap W_0)$ 。 $W_1$ も同じなので $\pi^{-1}(C)=E\cup\widetilde C$ 。
(3) を示す。 $E\cap W_0$ は $x=0$ の部分なので、 $\widetilde C\cap E\cap W_0$ は $g_0(0,m)=f_r(1,m)=0$ となる点 $[1:m]$ である。 $W_1$ では $f_r(n,1)=0$ となる点 $[n:1]$ で、 $f_r$ が斉次式なので、まとめて $f_r(u_0,u_1)=0$ と書ける。

$u_0\neq0$ なら $f_r(u_0,u_1)=u_0^{\,r}f_r(1,u_1/u_0)=u_0^{\,r}f_r(1,m)$ なので、 $f_r(u_0,u_1)=0\iff f_r(1,m)=0$ である。

直線 $\{(\lambda u_0,\lambda u_1)\}$ が $V(f_r)$ に含まれることは、 $f_r(\lambda u_0,\lambda u_1)=\lambda^rf_r(u_0,u_1)=0$ がすべての $\lambda$ で成り立つこと、つまり $f_r(u_0,u_1)=0$ と同値である。

$f$ が同じ既約因子を2回以上含まないとき、 $r$ は原点での $C$ の重複度と呼ばれる数です[1, 演習5.3, p.49]。 $k$ は代数閉体なので、 $f_r$ は1次式 $r$ 個の積に分かれます。ハーツホーンは、その1次式を $O$ での接方向と呼んでいます。(3) は「狭義変換は、接方向に当たる $E$ の点を通る」と言い換えられます。

計算の手順をまとめると、 $y=mx$ を代入し、 $x$ のべきを最大限くくり出して、残った因子 $g_0$ を見ます。 $x^r$ の部分が $E$ に、 $g_0$ の部分が狭義変換に当たります。

f(x,mx)=\underbrace{x^r}_{E}\cdot\underbrace{g_0(x,m)}_{\widetilde C}

\begin{aligned}f(x,mx) &= \underbrace{x^r}_{E}\cdot\underbrace{g_0(x,m)}_{\widetilde C}\end{aligned}

例10 原点を通る直線

(1)　直線 $y=2x$ ： $f(x,mx)=mx-2x=x(m-2)$ なので、 $\widetilde C\cap W_0$ は $m=2$ である。 $W_1$ では $f(ny,y)=y(1-2n)$ で、 $n=1/2$ （ $=1/m$ ）の同じ点になる。 $\widetilde C$ は $E$ と点 $[1:2]$ で交わる。

(2)　直線 $y=ax$ ：同じ計算で $\widetilde C$ は $m=a$ で、 $E$ と点 $[1:a]$ で交わる。例えば $y=2x$ の点 $(1,2)$ と $(-3,-6)$ は、 $W_0$ の点 $(1,2)$ と $(-3,2)$ に持ち上がり、どちらも高さ $m=2$ にある。

(3)　直線 $x=0$ ： $f(x,mx)=x=x\cdot1$ なので $g_0=1$ で、 $\widetilde C\cap W_0=\varnothing$ 。 $W_1$ では $f(ny,y)=ny=y\cdot n$ なので $\widetilde C$ は $n=0$ で、 $E$ と点 $[0:1]$ で交わる。

原点を通る2本の直線 $y=ax$ 、 $y=bx$ （ $a\neq b$ ）は原点で交わります。ところが狭義変換は $m=a$ と $m=b$ で、もう交わりません。図2の最初の段階で、高さ $m=c$ で曲面を切った灰色の直線がこれです。

結節点の枝が分かれる

例11 結節点のブローアップ [1, 例4.9.1, p.39–41]

$k$ を標数が2でない代数閉体とし、 $C=V(f)$ 、 $f=y^2-x^2(x+1)$ とする。

(1)　 $f(x,mx)=x^2(m^2-x-1)$ で、狭義変換は $\widetilde C=V(m^2-x-1)\subseteq W_0$ である。

(2)　 $\widetilde C\cap E$ は2点 $m=1$ と $m=-1$ で、接線 $y=x$ 、 $y=-x$ の傾きに当たる。

(3)　 $\widetilde C$ は非特異で、 $m\mapsto(m^2-1,m)$ によって直線 $\mathbb{A}^1$ と同型である。 $\pi$ を $\widetilde C$ に制限すると

m\longmapsto(m^2-1,\ m^3-m)

となり、 $m=\pm1$ の2点がともに $O$ に移る以外は1対1である。

証明

(1) を示す。 $W_0$ では $(mx)^2-x^2(x+1)=x^2(m^2-x-1)$ 。 $W_1$ では $f(ny,y)=y^2(1-n^2-n^3y)$ で、 $n=0$ を代入すると $1\neq0$ なので、 $\widetilde C$ は $W_1\setminus W_0$ （ $n=0$ の部分）の点を含まない。
(2) を示す。 $E\cap W_0$ は $x=0$ なので $m^2=1$ 、つまり $m=\pm1$ 。標数が2でないので $1\neq-1$ で、2点は異なる。
(3) の非特異性を示す。 $g=m^2-x-1$ とすると $\partial g/\partial x=-1$ はどこでも0でないので、ヤコビの判定から $\widetilde C$ のどの点も非特異である [1, §I.5 定義, p.42–43]。

平面曲線 $V(g)$ （ $g$ は既約）の点 $p$ が非特異であるとは、 $\bigl(\partial g/\partial x(p),\,\partial g/\partial m(p)\bigr)\neq(0,0)$ であることだった。ハーツホーンの定義では、ヤコビ行列の階数が $2-1=1$ であることに当たる。 $g$ は $x$ について1次なので既約である。
$g=0$ は $x=m^2-1$ と同値なので、 $\widetilde C$ は $m$ を座標とする直線と同型である。 $\pi(x,m)=(x,mx)$ に代入すると $(m^2-1,\ m^3-m)$ を得る。

$\pi(m)=\pi(m')$ とすると $m^2=m'^2$ で、 $m(m^2-1)=m'(m'^2-1)$ 。 $m^2\neq1$ なら両辺を $m^2-1=m'^2-1$ で割って $m=m'$ 。 $m^2=1$ なら像は $(0,0)=O$ である。

ハーツホーンの例4.9.1 は、 $\mathbb{P}^1$ の斉次座標を $t,u$ と書き、ブローアップを $xu=ty$ で定めています。そのため、本の $t=1$ のチャートがこの記事の $W_0$ に、本の $u$ が $m$ に当たり、本の「 $u=\pm1$ 」はこの記事の $m=\pm1$ です。

持ち上げた点を、いくつか数で確かめます。 $C$ の点 $(x,y)$ は、高さ $m=y/x$ の点に移ります。

$m$	$\widetilde C$ の点 $(x,y,m)$	$C$ の点 $(x,y)$	$m^2=x+1$ の検算
$2$	$(3,6,2)$	$(3,6)$	$4=3+1$
$-2$	$(3,-6,-2)$	$(3,-6)$	$4=3+1$
$1/2$	$(-3/4,-3/8,1/2)$	$(-3/4,-3/8)$	$1/4=-3/4+1$
$0$	$(-1,0,0)$	$(-1,0)$	$0=-1+1$
$\pm1$	$(0,0,\pm1)$	$(0,0)$	$1=0+1$

例えば $(3,6)$ は $6^2=36=3^2\cdot4$ をみたす $C$ の点で、 $m=6/3=2$ です。最後の行の2点は $E$ の上にあり、どちらも $O$ に移ります。

第1回の例16では、この曲線の点を $(t^2-1,\ t^3-t)$ と書きました。 $y/x=(t^3-t)/(t^2-1)=t$ なので、その媒介変数 $t$ は傾き $m$ そのものです。狭義変換 $\widetilde C$ は、この $t$ を座標とする直線でした。

図2の「結節点」のボタンを押すと、 $\widetilde C$ の実数の点（オレンジ）と床の影 $C$ が出ます。「真上」から見ると $\widetilde C$ は影と重なり、原点で自分と交わって見えます。回すと、原点を通る2本の枝は高さ $m=1$ と $m=-1$ に分かれていて、 $E$ と別々の点で交わっています。

もう少し詳しく標数2では枝が分かれない

標数2では $-1=1$ なので、接錐は $y^2-x^2=(y+x)^2$ となり、接方向は1つしかありません。この曲線は標数2では結節点ではなくなります。

ブローアップの計算はそのまま通り、 $\widetilde C=V(m^2-x-1)$ は非特異です（ $\partial/\partial x=-1$ ）。ただし $E$ との交わりは $m^2-1=(m+1)^2=0$ で、1点 $m=1$ だけになり、 $\widetilde C$ はそこで $E$ に接します。

尖点が滑らかになる

例12 尖点のブローアップ [1, 演習4.10, p.42]

$k$ を代数閉体とし（標数は何でもよい）、 $C=V(f)$ 、 $f=y^2-x^3$ とする。

(1)　 $f(x,mx)=x^2(m^2-x)$ で、狭義変換は $\widetilde C=V(x-m^2)\subseteq W_0$ である。 $\widetilde C$ は非特異で、 $m$ を座標とする直線と同型である。

(2)　 $\widetilde C\cap E$ は1点 $m=0$ で、 $\widetilde C$ はそこで $E$ に接する。

(3)　 $\pi$ を $\widetilde C$ に制限すると $m\mapsto(m^2,m^3)$ で、これは $\widetilde C$ から $C$ への全単射である。

証明

(1) を示す。 $W_0$ では $m^2x^2-x^3=x^2(m^2-x)$ 。 $W_1$ では $f(ny,y)=y^2(1-n^3y)$ で、 $n=0$ で $1\neq0$ なので $\widetilde C\subseteq W_0$ 。 $g=x-m^2$ は $\partial g/\partial x=1\neq0$ なので非特異で、 $x=m^2$ と解ける。
(2) を示す。 $E\cap W_0$ は $x=0$ で、 $g$ に代入すると $-m^2$ 。これは $m=0$ を2重根にもつので、交わりは1点で、そこで接する。
(3) を示す。 $\pi(x,m)=(x,mx)$ に $x=m^2$ を代入して $(m^2,m^3)$ 。全単射であることは第1回の命題17と同じ計算（ $b\neq0$ なら $m=c/b$ ）で分かる。

$\widetilde C$ を空間 $(x,y,m)$ の曲線として書くと、 $\{(m^2,m^3,m)\}$ です。座標の順番を入れ替えれば、これは第1回のねじれ3次曲線 $(t,t^2,t^3)$ です。 $\pi$ は高さ $m$ を忘れる写像なので、第1回の命題17の、ねじれ3次曲線の影が尖った曲線になるという話と同じことを見ています。

\widetilde C=\{(m^2,\ m^3,\ m)\}\ \xrightarrow{\ \pi\ }\ C=\{(m^2,\ m^3)\}=V(y^2-x^3)\qquad m=2:\ (4,8,2)\mapsto(4,8)

\begin{gathered}\widetilde C=\{(m^2,\ m^3,\ m)\}\ \xrightarrow{\ \pi\ }\ C=\{(m^2,\ m^3)\}=V(y^2-x^3)\\m=2:\ (4,8,2)\mapsto(4,8)\end{gathered}

\begin{aligned}\widetilde C &= \{(m^2,\ m^3,\ m)\}\ \xrightarrow{\ \pi\ }\ C\\&= \{(m^2,\ m^3)\}\\&= V(y^2-x^3)\\[4pt]m &= 2:\ (4,8,2)\\&\mapsto (4,8)\end{aligned}

$(4,8)$ は $8^2=64=4^3$ をみたす $C$ の点で、 $m=8/4=2$ です。

図2の「尖点」のボタンを押すと、 $\widetilde C$ （緑）が出ます。「真上」から見ると尖った影と重なりますが、「正面」から見ると放物線 $x=m^2$ で、尖りはありません。尖点の尖りは、滑らかな曲線を真上から見たときに、影にできるものです。

(3) の $\pi\colon\widetilde C\to C$ は全単射ですが、同型ではありません[1, 演習4.10, p.42]。関数の環で見ると、 $C$ の関数 $x,y$ は $m^2,m^3$ に移り、 $\widetilde C$ の関数 $m$ は、 $C$ の関数の引き戻しとしては得られないからです。

\pi^\#\colon k[x,y]/(y^2-x^3)\longrightarrow k[m]\qquad x\mapsto m^2,\ \ y\mapsto m^3\qquad \pi^\#\bigl(k[x,y]/(y^2-x^3)\bigr)=k[m^2,m^3]\neq k[m]

\begin{gathered}\pi^\#\colon k[x,y]/(y^2-x^3)\longrightarrow k[m]\\x\mapsto m^2,\ \ y\mapsto m^3\\\pi^\#\bigl(k[x,y]/(y^2-x^3)\bigr)=k[m^2,m^3]\neq k[m]\end{gathered}

\begin{aligned}\pi^\#\colon k[x,y]/(y^2-x^3) &\longrightarrow k[m]\\[4pt]x &\mapsto m^2,\ \ y\\&\mapsto m^3\\[4pt]\pi^\#\bigl(k[x,y]/(y^2-x^3)\bigr) &= k[m^2,m^3]\\&\neq k[m]\end{aligned}

$m=y/x$ は、 $C$ の上では原点で定義できない関数です。ブローアップは、この関数 $y/x$ を座標に加える操作だと言えます。

タクノードは2回で分かれる

接線が重なっている特異点では、1回のブローアップでは足りないことがあります。

例13 タクノードのブローアップ [1, 演習5.6 (c), p.50–51]

$k$ を標数が2でない代数閉体とし、 $C=V(y^2-x^4)$ とする。 $C$ は2本の放物線 $y=x^2$ と $y=-x^2$ の和で、原点で同じ接線 $y=0$ をもつ。

(1)　 $f(x,mx)=x^2(m^2-x^2)$ で、狭義変換は $\widetilde C=V(m^2-x^2)\subseteq W_0$ 、つまり $(x,m)$ の平面の2直線 $m=x$ 、 $m=-x$ である。 $\widetilde C\cap E$ は1点 $m=0$ で、 $\widetilde C$ はそこに結節点をもつ。

(2)　 $W_0$ （座標 $(x,m)$ の平面）の原点をもう一度ブローアップし、チャートで $m=m'x$ とおくと、 $\widetilde C$ の狭義変換は $V(m'^2-1)$ 、つまり交わらない2直線 $m'=1$ 、 $m'=-1$ である。これらは新しい例外曲線 $E'$ と別々の点で交わる。

証明

(1) を示す。 $m^2x^2-x^4=x^2(m^2-x^2)$ 。 $W_1$ では $f(ny,y)=y^2(1-n^4y^2)$ で、 $n=0$ で $1$ なので $\widetilde C\subseteq W_0$ 。 $E$ との交わりは $x=0$ を代入して $m^2=0$ 。
$m^2-x^2$ の最低次の部分は $(m-x)(m+x)$ で、標数が2でないので2つの因子は異なる。よって $\widetilde C$ の原点は、接線が2本ある特異点（結節点）である。
(2) を示す。 $m=m'x$ を代入すると $m'^2x^2-x^2=x^2(m'^2-1)$ 。もう一方のチャート $x=n'm$ では $m^2(1-n'^2)$ で、 $n'=0$ で $1$ なので新しい点はない。 $m'=\pm1$ は、標数が2でないので異なる。

枝ごとに追うと、 $y=x^2$ は $m=y/x=x$ に、さらに $m'=m/x=1$ に移ります。 $y=-x^2$ は $m=-x$ を経て $m'=-1$ に移ります。2本の枝は、1回目のブローアップでは接線の向き（どちらも傾き0）が同じなので分かれず、2回目で「曲がり方」の違い $\pm1$ によって分かれます。

y=\pm x^2\ \xleftarrow{\ \ \pi\ \ }\ m=\pm x\ \xleftarrow{\ \ \pi'\ \ }\ m'=\pm1

\begin{aligned}y &= \pm x^2\ \xleftarrow{\ \ \pi\ \ }\ m\\&= \pm x\ \xleftarrow{\ \ \pi'\ \ }\ m'\\&= \pm1\end{aligned}

\mathbb{A}^2

：

y^2=x^4

x

y

y=mx

：

m^2=x^2

x

m

m=m'x

：

m'^2=1

x

m'

E

E'

\pi

\pi'

図3具体例タクノード

y^2=x^4

の2本の枝

y=x^2

（紫）と

y=-x^2

（緑）を、2回ブローアップした様子です。各段階は

(x,s)\mapsto(x,sx)

で左の段階に移ります（図を作るプログラムで、各点が左の曲線に移ることを検算しています）。真ん中では2本はまだ原点（

E

の点

m=0

）で交わっていて、右では平行な2直線になって、新しい例外曲線

E'

と別々の点

m'=\pm1

で交わります。

図2の「タクノード」のボタンでは、1回目の持ち上げを立体で見られます。2本の枝は $E$ の同じ点 $m=0$ を通り、回してもまだ交わったままです。

ハーツホーンの演習5.6 (c) は、別の式で書かれたタクノード（和訳では「接触節点」）について、同じことを問うています。

ブローアップと特異点の解消

結節点・尖点は1回、タクノードは2回のブローアップで、狭義変換が非特異になりました。ハーツホーンの演習5.6 (a) は、演習5.1 の結節点と尖点の狭義変換が非特異になることを問うています。(b) は一般の結節点について、その上の点が狭義変換の異なる2つの非特異点になることを問うています[1, 演習5.6, p.50]。

平面曲線の特異点は、点でのブローアップを有限回くり返せば、いつでも解消できることが知られています[1, 演習5.6 の注意, p.51]。

専門的な話イデアルによるブローアップと普遍性

ハーツホーンは第 II 章で、スキーム $X$ とイデアル層 $\mathcal{J}$ について、次数付き環の層 $\bigoplus_{d\geq0}\mathcal{J}^d$ の Proj として、一般のブローアップを定義しています[1, §II.7 定義, p.221–222]。

$X=\mathbb{A}^2$ 、 $\mathcal{J}$ を原点のイデアル $J=(x,y)$ とすると、次数付き環の全射 $k[x,y][u_0,u_1]\to\bigoplus_dJ^d$ （ $u_0\mapsto x$ 、 $u_1\mapsto y$ 、次数1の元）の核は $xu_1-yu_0$ で生成されます（核に入ることは、 $xu_1-yu_0$ が $xy-yx=0$ に移ることから分かります）。こうして Proj は、この記事の定義と同じものになります[1, 例7.12.1, p.222]。

ブローアップの上では、原点のイデアルが局所的に1つの元で生成されます。

W_0:\ (x,\ y)=(x,\ mx)=(x)\qquad W_1:\ (x,\ y)=(ny,\ y)=(y)

\begin{gathered}W_0:\ (x,\ y)=(x,\ mx)=(x)\\W_1:\ (x,\ y)=(ny,\ y)=(y)\end{gathered}

\begin{aligned}W_0:\ (x,\ y) &= (x,\ mx)\\&= (x)\\[4pt]W_1:\ (x,\ y) &= (ny,\ y)\\&= (y)\end{aligned}

例外曲線 $E$ が、チャートごとに1つの式 $x=0$ 、 $y=0$ で定まるということです。ブローアップは、この性質をもつ射のうちで最も普遍的なものです。射 $f\colon Z\to X$ で、 $\mathcal{J}$ の引き戻しが生成するイデアル層が可逆層になるものは、すべて $\pi$ を一意的に経由します[1, 命題7.14, p.223]。

狭義変換も同じ枠組みで定義され、点でのブローアップが $\mathbb{A}^n$ への埋め込み方によらないことが分かります[1, 定義と例7.15.1, p.225]。

専門的な話高い次元の特異点の解消

曲面の特異点も、ブローアップでほどけることがあります。例えば、非特異な平面曲線 $Y\subseteq\mathbb{P}^2$ （次数 $>1$ ）の上の錐を頂点でブローアップすると非特異になり、頂点の上には $Y$ と同型な曲線が乗ります[1, 演習5.7, p.51]。

一般の次元では、広中平祐が、標数0の体の上の多様体の特異点が、非特異な部分多様体に沿ったブローアップをくり返して解消できることを証明しました^[2]。ハーツホーンも、この論文で使われるのが特別な部分多様体に沿ったブローアップだけであることに触れています[1, 注意7.17.2, p.228]。

まとめ：狭義変換の表

曲線 $C$	接錐 $f_r$	$f(x,mx)$	$\widetilde C\cap E$	$\widetilde C$
直線 $y=2x$	$y-2x$	$x(m-2)$	1点 $m=2$	直線 $m=2$
結節点 $y^2=x^2(x+1)$	$(y-x)(y+x)$	$x^2(m^2-x-1)$	2点 $m=\pm1$	非特異（ $\cong\mathbb{A}^1$ ）
尖点 $y^2=x^3$	$y^2$	$x^2(m^2-x)$	1点 $m=0$ （接する）	非特異（ $\cong\mathbb{A}^1$ ）
タクノード $y^2=x^4$	$y^2$	$x^2(m^2-x^2)$	1点 $m=0$	結節点が残る（もう1回で2直線）

$x$ のべき $r$ は原点での重複度で、 $\widetilde C$ と $E$ の交わりは接錐の向きの点です。結節点とタクノードの行は標数2でない体での値で、尖点の行はどの標数でも成り立ちます。

ブローアップは、原点だけを、原点を通る直線の向き全体 $\mathbb{P}^1$ に取り替える操作でした。向きの違う枝は $E$ の別の点を通るので分かれ、尖点の尖りは、滑らかな曲線を真上から見た影だったことが分かります。

次回：族とファイバー

$\pi\colon\widetilde{\mathbb{A}}^2\to\mathbb{A}^2$ の、点ごとの逆像 $\pi^{-1}(P)$ を思い出してください。 $P\neq O$ では1点で、 $P=O$ では $\mathbb{P}^1$ がまるごと乗っていました。射の点ごとの逆像をファイバーと呼び、点 $P$ を動かしたファイバーの集まりを「族」として見ることができます。

次回は、スキームの射とファイバーを定義し、方程式のパラメータ $t$ を動かすと形が変わる族（ $xy=t$ など）を見ます。

第6回の定義2 平面曲線の特異点

$f\in k[x,y]$ を既約多項式とし、 $C=V(f)\subseteq\mathbb{A}^2$ とする。点 $p\in C$ で $f_x(p)=f_y(p)=0$ となるとき、 $p$ を $C$ の特異点と呼ぶ。そうでない点を非特異点と呼び、非特異点 $p=(a,b)$ で直線

f_x(p)\,(x-a)+f_y(p)\,(y-b)=0

\begin{aligned}f_x(p)\,(x-a)+f_y(p)\,(y-b) &= 0\end{aligned}

を $p$ での $C$ の接線と呼ぶ。

第6回の定義14 重複度と接錐

$f\in k[x,y]$ が $f(0,0)=0$ をみたすとし、 $i$ 次の斉次式 $f_i$ を使って

f=f_m+f_{m+1}+\cdots+f_d\qquad(f_m\neq0)

\begin{gathered}f=f_m+f_{m+1}+\cdots+f_d\\(f_m\neq0)\end{gathered}

\begin{aligned}f &= f_m+f_{m+1}+\cdots+f_d\\[4pt]&(f_m\neq0)\end{aligned}

と書く。 $m$ を $C=V(f)$ の原点での重複度と呼び、 $\mu_0(C)$ と書く。 $V(f_m)$ を原点での接錐と呼ぶ。ほかの点では、平行移動でその点を原点に移して同じように定める。

第4回の例10 射影直線

$k$ を体とする。 $X_1=\operatorname{Spec}k[t]$ 、 $X_2=\operatorname{Spec}k[s]$ とし、開集合 $U_1=D(t)\cong\operatorname{Spec}k[t,1/t]$ 、 $U_2=D(s)\cong\operatorname{Spec}k[s,1/s]$ を、環の同型

k[s,1/s]\to k[t,1/t]\qquad s\mapsto 1/t

\begin{gathered}k[s,1/s]\to k[t,1/t]\\s\mapsto 1/t\end{gathered}

\begin{aligned}k[s,1/s] &\to k[t,1/t]\\[4pt]s &\mapsto 1/t\end{aligned}

が引き起こす同型 $\varphi\colon U_1\to U_2$ で貼り合わせる。こうしてできるスキームを、 $k$ 上の射影直線と呼び、 $\mathbb{P}^1$ と書く。

第1回の定義13 既約

空でないアフィン代数的集合 $X$ が既約であるとは、 $X=X_1\cup X_2$ （ $X_1,X_2$ はアフィン代数的集合）と書けば必ず $X=X_1$ または $X=X_2$ となることをいう。既約なアフィン代数的集合をアフィン多様体と呼ぶ。

第1回の命題14

アフィン代数的集合 $X$ が既約であることと、 $I(X)$ が素イデアルであることは同値である。

第11回の命題17

$k$ を代数閉体とし、 $\widetilde{\mathbb{A}}^2$ を平面の原点でのブローアップとする（第7回の定義2）。チャート $W_0$ （関数の環 $k[x,m]$ ）と $W_1$ （関数の環 $k[n,y]$ ）の座標を

(x,m)\longmapsto(t,v_0)=(m,\ x)\qquad (n,y)\longmapsto(s,v_1)=(n,\ y)

\begin{gathered}(x,m)\longmapsto(t,v_0)=(m,\ x)\\(n,y)\longmapsto(s,v_1)=(n,\ y)\end{gathered}

\begin{aligned}(x,m)\longmapsto(t,v_0) &= (m,\ x)\\[4pt](n,y)\longmapsto(s,v_1) &= (n,\ y)\end{aligned}

で読み替える。

(1)　第7回の重なりの環の同型 $k[n,y,1/n]\to k[x,m,1/m]$ （ $n\mapsto1/m$ 、 $y\mapsto mx$ ）は、 $\mathbb{V}(\mathcal{O}(-1))$ の貼り合わせ $k[s,1/s,v_1]\to k[t,1/t,v_0]$ （ $s\mapsto1/t$ 、 $v_1\mapsto tv_0$ ）と一致する。つまり $\mathbb{V}(\mathcal{O}(-1))$ は、 $\widetilde{\mathbb{A}}^2$ のチャートの関数の環を第7回と同じ式で貼り合わせたスキームである。

(2)　 $\mathbb{V}(\mathcal{O}(-1))$ の閉点は $\widetilde{\mathbb{A}}^2$ の点と1対1に対応する。この対応で、射 $\widetilde{\mathbb{A}}^2\to\mathbb{P}^1$ 、 $\bigl((x,y),[u_0:u_1]\bigr)\mapsto[u_0:u_1]$ は $p$ に、例外曲線 $E$ は零切断に対応し、閉点 $[u_0:u_1]$ の上のファイバーの閉点は、原点を通る直線 $L=\{(x,y)\mid xu_1=yu_0\}$ の点になる。

第1回の例16 自分と交わる曲線

$k$ を代数閉体とする。 $f=y^2-x^2(x+1)$ は既約多項式で、 $V(f)\subseteq\mathbb{A}^2$ は既約である。

第1回の命題17

どんな体 $k$ でも、 $\pi_{yz}(C)=V(y^3-z^2)\subseteq\mathbb{A}^2$ 。

参考文献

R. ハーツホーン（高橋宣能・松下大介訳）, 『代数幾何学 1』, 丸善出版, 2013.
H. Hironaka, Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero. I, II, Annals of Mathematics 79, 1964.