貼り合わせの食い違いを測る：層のコホモロジー

この記事の要点

食い違いを測る: 2枚の開集合 $U_0,U_1$ の上の切断から、重なりの上の差 $s_0-s_1$ を作る写像を $\delta$ とします。 $\delta$ の核が全体の切断 $\check{H}^0$ 、差で書けない重なりの切断を集めたもの（余核）が $\check{H}^1$ です。
円の例: 円を2つの弧で覆うと、重なりは2か所に分かれます。整数値の局所定数関数では、2か所の差が必ず等しくなるので、「片方で1、もう片方で0」は差で書けず、 $\check{H}^1\cong\mathbb{Z}$ になります。
$\mathbb{P}^1$ の $\mathcal{O}(n)$: 重なりの上の切断はローラン多項式です。 $U_0$ の側から $t^m$ （ $m\geq0$ ）、 $U_1$ の側から $t^m$ （ $m\leq n$ ）が作れ、両方で作れる分が $H^0$ 、どちらでも作れない分が $H^1$ です。 $h^0-h^1$ はいつも $n+1$ です。
被覆によらない: ネーターで分離的なスキームの準連接層では、アフィンの開集合で覆って計算した $\check{H}^i$ は被覆によらず、層のコホモロジー $H^i$ に一致します。ネーター環の Spec の上の準連接層では $H^1=0$ で、アフィン直線ではこれが部分分数分解の言い換えになります。

証明は、ステップの流れだけを短く書いています。「詳しく」の付いた行をクリックすると、そのステップの詳しい説明が開きます。説明の中にも開ける行があります。
定義・命題・定理には、記事全体で通し番号を振っています。
もう少し詳しくは補足、専門的な話は先の回につながる話題です。どちらも開かずに読み進められます。
各ブロックの「AIに質問」を押すと、その部分の内容を入れた質問文で、お使いのAIを開けます。

前回の宿題

第13回では、曲線の上の微分形式と標準因子 $K$ を調べました。射影直線 $\mathbb{P}^1$ では $dt$ が無限遠点で2位の極をもち $\deg K=-2$ 、楕円曲線では $dx/2y$ が零点も極ももたず $K=0$ でした。

第13回の最後には、貼り合わせられない食い違いを層のコホモロジーで測る、と予告しました。出発点は第3回の層の条件 (4) です（第3回の定義4）。開集合 $U_0,U_1$ の上の切断が重なりの上で一致すれば、全体の切断に貼り合わせられる、という条件でした。

この記事では逆向きの問いを考えます。重なり $U_0\cap U_1$ の上の切断 $h$ が与えられたとき、 $h$ を2枚の切断の差 $s_0|-s_1|$ と書けるでしょうか。書けないものを集めて測るのが $H^1$ です。

まず2枚の開被覆についてチェック・コホモロジー $\check{H}^0,\check{H}^1$ を定義し、円の例で「差で書けない」様子を見ます。次に $\mathbb{P}^1$ の上の $\mathcal{O}(n)$ について、第4回のローラン多項式の図を使って $\check{H}^0,\check{H}^1$ を全部計算します。次元の差 $h^0-h^1$ が $n+1$ になることが、第15回のリーマン・ロッホの定理の入口です。

重なりの上の切断は差で書けるか

この記事の層はアーベル群（足し算の群）の層とし、制限写像は足し算を保つものとします。第3回の構造層や、値が $k$ 上のベクトル空間になる層はどれもこの形です。開集合 $U_0,U_1$ の重なりを $U_{01}=U_0\cap U_1$ と書きます。

定義1 2枚の開被覆のチェック・コホモロジー [1, §III.4 定義, p.24–25]

$X$ を位相空間、 $\mathcal{F}$ を $X$ 上のアーベル群の層、 $\mathcal{U}=\{U_0,U_1\}$ を $X$ の開被覆（ $X=U_0\cup U_1$ ）とする。準同型

\delta\colon\mathcal{F}(U_0)\times\mathcal{F}(U_1)\to\mathcal{F}(U_{01})\qquad \delta(s_0,s_1)=s_0|_{U_{01}}-s_1|_{U_{01}}

\begin{gathered}\delta\colon\mathcal{F}(U_0)\times\mathcal{F}(U_1)\to\mathcal{F}(U_{01})\\\delta(s_0,s_1)=s_0|_{U_{01}}-s_1|_{U_{01}}\end{gathered}

\begin{aligned}\delta\colon\mathcal{F}(U_0)\times\mathcal{F}(U_1) &\to \mathcal{F}(U_{01})\\[4pt]\delta(s_0,s_1) &= s_0|_{U_{01}}-s_1|_{U_{01}}\end{aligned}

について、核と余核を

\check{H}^0(\mathcal{U},\mathcal{F})=\operatorname{Ker}\delta\qquad \check{H}^1(\mathcal{U},\mathcal{F})=\operatorname{Coker}\delta=\mathcal{F}(U_{01})/\operatorname{Im}\delta

\begin{gathered}\check{H}^0(\mathcal{U},\mathcal{F})=\operatorname{Ker}\delta\\\check{H}^1(\mathcal{U},\mathcal{F})=\operatorname{Coker}\delta=\mathcal{F}(U_{01})/\operatorname{Im}\delta\end{gathered}

\begin{aligned}\check{H}^0(\mathcal{U},\mathcal{F}) &= \operatorname{Ker}\delta\\[4pt]\check{H}^1(\mathcal{U},\mathcal{F}) &= \operatorname{Coker}\delta\\&= \mathcal{F}(U_{01})/\operatorname{Im}\delta\end{aligned}

と定め、 $\mathcal{F}$ の被覆 $\mathcal{U}$ に関する第0・第1チェック・コホモロジーと呼ぶ。

余核は、行き先 $\mathcal{F}(U_{01})$ を像 $\operatorname{Im}\delta$ で割った商です。 $h\in\mathcal{F}(U_{01})$ の類を $[h]$ と書くと、次のようになります。

\begin{aligned} &[h]=0\iff h=s_0|_{U_{01}}-s_1|_{U_{01}}\\ &\qquad\bigl((s_0,s_1)\in\mathcal{F}(U_0)\times\mathcal{F}(U_1)\bigr)\\[4pt] &[h]=[h']\iff h-h'\in\operatorname{Im}\delta \end{aligned}

つまり $\check{H}^1$ は、重なりの上の切断を「差で書けるものは0とみなす」と約束して集めたものです。 $\check{H}^1=0$ は、重なりの上のどの切断も差で書けることを意味します。

核と余核をまとめると、次の完全列になります。完全とは、各所で、入ってくる写像の像と出ていく写像の核が等しいことです。

0\longrightarrow\check{H}^0(\mathcal{U},\mathcal{F})\longrightarrow\mathcal{F}(U_0)\times\mathcal{F}(U_1)\xrightarrow{\ \delta\ }\mathcal{F}(U_{01})\longrightarrow\check{H}^1(\mathcal{U},\mathcal{F})\longrightarrow0

\begin{aligned}0 &\longrightarrow \check{H}^0(\mathcal{U},\mathcal{F})\\&\longrightarrow \mathcal{F}(U_0)\times\mathcal{F}(U_1)\xrightarrow{\ \delta\ }\mathcal{F}(U_{01})\\&\longrightarrow \check{H}^1(\mathcal{U},\mathcal{F})\\&\longrightarrow 0\end{aligned}

図式で書くと、 $\delta$ は $\mathcal{F}(U_0)$ から右へ制限した元と、 $\mathcal{F}(U_1)$ から下へ制限した元の差です。矢印 $\rho$ は制限写像です。

\begin{aligned} &\begin{CD} @. \mathcal{F}(U_1) \\ @. @VV{\rho}V \\ \mathcal{F}(U_0) @>>{\rho}> \mathcal{F}(U_{01}) \end{CD}\\ &\delta(s_0,s_1)=\rho(s_0)-\rho(s_1) \end{aligned}

ハーツホーンは、被覆の開集合がいくつあっても使える形で定義していて、2枚のときの写像は $(s_0,s_1)\mapsto s_1-s_0$ です。符号が逆でも核と像は変わらないので、 $\check{H}^0,\check{H}^1$ は同じものになります。一般の形は記事の最後の補足で扱います。

$\check{H}^0$ は、全体の切断と同じものです。

命題2 [1, 補題4.1, p.27]

記号を定義1のとおりとする。写像 $\mathcal{F}(X)\to\check{H}^0(\mathcal{U},\mathcal{F})$ 、 $s\mapsto(s|_{U_0},s|_{U_1})$ は同型である。

証明

写像が $\operatorname{Ker}\delta$ に入ることを示す。制限を続けて行うと1回の制限に等しいので、 $\delta(s|_{U_0},s|_{U_1})=s|_{U_{01}}-s|_{U_{01}}=0$ である。
単射であることを示す。 $s|_{U_0}=0$ 、 $s|_{U_1}=0$ なら、層の条件 (3) から $s=0$ である。
全射であることを示す。 $(s_0,s_1)\in\operatorname{Ker}\delta$ は重なりの上で $s_0=s_1$ ということなので、層の条件 (4) から $s|_{U_0}=s_0$ 、 $s|_{U_1}=s_1$ となる $s\in\mathcal{F}(X)$ がある。

(4) を開被覆 $\{U_0,U_1\}$ に使う。条件は $i,j\in\{0,1\}$ のすべての組で $s_i|_{U_i\cap U_j}=s_j|_{U_i\cap U_j}$ だが、 $i=j$ のときは自明で、 $(0,1)$ と $(1,0)$ はどちらも $\delta(s_0,s_1)=0$ と同じ条件である。

第3回では、層の条件 (3)(4) を写像の列 $\mathcal{F}(U)\to\prod_i\mathcal{F}(V_i)\rightrightarrows\prod_{i,j}\mathcal{F}(V_i\cap V_j)$ で書きました。2枚の被覆で2本の矢印の差をとったものが $\delta$ で、(3)(4) はまとめて「 $\check{H}^0=\mathcal{F}(X)$ 」と言えます。

層の条件で $\delta$ の核は決まりますが、像については何も分かりません。 $\delta$ が全射かどうか、つまり $\check{H}^1$ が0かどうかは、空間と層によって変わります。

円の例：重なりが2か所に分かれるとき

最初の例は、代数幾何ではなく普通の位相空間です。 $\check{H}^1$ が0でない理由が、図で一番よく見える例です。

例3 円と整数値の局所定数関数 [1, 例4.0.4, p.26]

$X=\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ （実数の点 $t\in\mathbb{R}$ と $\infty$ ）に普通の位相を入れる。 $X$ は円と同相である。 $U_0=X\setminus\{\infty\}$ 、 $U_1=X\setminus\{0\}$ とし、 $\mathcal{F}=\underline{\mathbb{Z}}$ を整数値の局所定数関数の層（ $\underline{\mathbb{Z}}(V)$ は $V$ から $\mathbb{Z}$ への局所定数関数の全体）とする。このとき

\underline{\mathbb{Z}}(U_0)=\mathbb{Z}\qquad \underline{\mathbb{Z}}(U_1)=\mathbb{Z}\qquad \underline{\mathbb{Z}}(U_{01})=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\qquad \delta(a,b)=(a-b,\ a-b)

\begin{gathered}\underline{\mathbb{Z}}(U_0)=\mathbb{Z}\\\underline{\mathbb{Z}}(U_1)=\mathbb{Z}\\\underline{\mathbb{Z}}(U_{01})=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\\\delta(a,b)=(a-b,\ a-b)\end{gathered}

\begin{aligned}\underline{\mathbb{Z}}(U_0) &= \mathbb{Z}\\[4pt]\underline{\mathbb{Z}}(U_1) &= \mathbb{Z}\\[4pt]\underline{\mathbb{Z}}(U_{01}) &= \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\\[4pt]\delta(a,b) &= (a-b,\ a-b)\end{aligned}

で、 $\check{H}^0(\mathcal{U},\underline{\mathbb{Z}})\cong\mathbb{Z}$ 、 $\check{H}^1(\mathcal{U},\underline{\mathbb{Z}})\cong\mathbb{Z}$ である。 $\underline{\mathbb{Z}}(U_{01})$ の2つの成分は $t>0$ の部分と $t<0$ の部分の値で、 $\check{H}^1$ は $(1,0)$ の類で生成される。

証明

$U_0$ （座標 $t$ ）と $U_1$ （座標 $s$ ）は実数直線と同相で連結なので、その上の局所定数関数は定数である。
重なり $U_{01}=\{t\neq0,\infty\}$ は $\{t>0\}$ と $\{t<0\}$ の2つの連結成分に分かれるので、局所定数関数は成分ごとの値の組 $(p,q)\in\mathbb{Z}^2$ で決まる。定数 $a,b$ の差は両方の成分で $a-b$ である。
$\operatorname{Ker}\delta=\{(a,a)\}\cong\mathbb{Z}$ で、これは命題2のとおり $X$ 全体の定数関数に当たる。
$\operatorname{Im}\delta=\{(c,c)\mid c\in\mathbb{Z}\}$ なので、 $(p,q)\mapsto p-q$ が同型 $\mathbb{Z}^2/\operatorname{Im}\delta\cong\mathbb{Z}$ を与え、 $(1,0)$ は $1$ に移る。

$(p,q)\mapsto p-q$ は全射で、核は $p=q$ となる組、つまり $\operatorname{Im}\delta$ そのものである。準同型定理から同型が従う。

数で確かめます。 $h=(5,2)$ （ $t>0$ で5、 $t<0$ で2）なら $5-2=3$ で、 $[h]=3\,[(1,0)]$ です。実際 $(5,2)-3\cdot(1,0)=(2,2)=\delta(2,0)$ と差で書けます。一方 $(1,0)$ が差で書けるには $a-b=1$ と $a-b=0$ が同時に要るので、書けません。

ハーツホーンの例は、円を2つの開いた半円より少し大きい弧で覆っています。重なりが2か所に分かれる点は同じなので、計算も同じになります。

ドラッグで回せます

実数の射影直線 $\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ を円として描いています。右の点が $t=0$ 、左の点が $t=\infty$ です。青い弧が $U_0$ （ $\infty$ を除いた部分）、緑の弧が $U_1$ （ $0$ を除いた部分）で、2つが重なるのは上半分（ $t>0$ ）と下半分（ $t<0$ ）の2か所です。

整数値の局所定数関数の層 $\underline{\mathbb{Z}}$ の切断 $a$ を $U_0$ の上に、 $b$ を $U_1$ の上に、高さで描きました（図は $a=1,\ b=-1$ ）。弧はつながっているので、切断は定数です。重なりの上での差 $\delta(a,b)$ はオレンジの縦線で、上半分でも下半分でも同じ $a-b$ です。「真横」から見ると、左右（ $t<0$ と $t>0$ ）の縦線の長さがそろっています。

重なりの上の切断 $h$ を、上半分で $1$ 、下半分で $0$ とします。どんな $a,b$ をとっても $\delta(a,b)$ の2つの値は等しいので、この $h$ は差では書けません。 $h$ の類が $\check{H}^1\cong\mathbb{Z}$ の生成元です。

$h$ が自然に現れる例です。各弧の上で角度 $\theta$ の $1/2\pi$ 倍（青と緑）を高さにすると、どちらも弧の上では連続です。「真上」から見ると円の弧にしか見えませんが、横から見ると、下半分では2本が重なり、上半分ではちょうど $1$ ずれています。一周すると高さが $1$ 変わり、らせんが閉じません。青の関数を $s_0$ 、緑の関数を $s_1$ とすると、差 $s_0-s_1$ は上半分で $1$ 、下半分で $0$ で、これは $h$ そのものです。実数値の連続関数の層なら $h$ はこの差として書けますが、局所定数関数の層では書けません。

図1具体例例3を描いた図です。円の上の関数の値を、円の上に立てた高さで表すので、立体で描いています。「真上」から見るとどの関数も円の弧に重なって被覆の形しか見えず、「真横」から見ると、重なりの2か所（左右）での高さの差が比べられます。「らせん」の段階では、各弧の上で角度を高さにした連続関数が、一周すると

1

だけずれて閉じないことが見えます。

図1の「らせん」では、同じ $h$ を2つの層で比べています。実数値の連続関数の層では $h$ は差で書けますが、整数値の局所定数関数の層では書けません。 $\check{H}^1$ は空間だけでなく、どの層で考えるかによっても変わります。

同じことを、代数幾何のザリスキー位相で試すと、結果が変わります。

例4 ザリスキー位相の $\mathbb{P}^1$ と局所定数関数

$k$ を体とし、 $\mathbb{P}^1$ をザリスキー位相で考える。 $\underline{\mathbb{Z}}$ を整数値の局所定数関数の層とし、 $U_0=\operatorname{Spec}k[t]$ 、 $U_1=\operatorname{Spec}k[s]$ とする。重なり $U_{01}\cong\operatorname{Spec}k[t,1/t]$ は連結なので $\underline{\mathbb{Z}}(U_{01})=\mathbb{Z}$ 、 $\delta(a,b)=a-b$ は全射で、 $\check{H}^1(\mathcal{U},\underline{\mathbb{Z}})=0$ である。

証明

整域の Spec では、空でない開集合はどれも生成点 $(0)$ を含むので、空でない開集合どうしは必ず交わる。

$A$ を整域とする。空でない開集合は $D(f)$ （ $f\neq0$ ）の和集合で、 $f\notin(0)$ なので $(0)\in D(f)$ である。
よって $U_0,U_1,U_{01}$ は、どれも交わらない2つの空でない開集合に分かれず、連結である。局所定数関数は定数になる。
$\delta(a,0)=a$ なので $\delta$ は全射で、 $\check{H}^1=0$ 。

ザリスキー位相では開集合がとても大きく、重なりが2か所に分かれることがありません。そのため局所定数関数の層では「穴」が見えません。代数幾何では、代わりに構造層 $\mathcal{O}$ や、次の節の $\mathcal{O}(n)$ のコホモロジーを使います。

射影直線の上の $\mathcal{O}(n)$

ここから代数幾何に戻ります。 $k$ を体とし、 $\mathbb{P}^1$ を第4回のとおり $\operatorname{Spec}k[t]$ と $\operatorname{Spec}k[s]$ を $s=1/t$ で貼り合わせたものとします（第4回の例10）。第4回の $X_1,X_2$ を、この記事では斉次座標 $x_0,x_1$ の添字に合わせて $U_0,U_1$ と書きます。

U_0=\operatorname{Spec}k[t]=\{x_0\neq0\}\qquad U_1=\operatorname{Spec}k[s]=\{x_1\neq0\}\qquad U_{01}=D(t)\cong\operatorname{Spec}k[t,1/t]

\begin{gathered}U_0=\operatorname{Spec}k[t]=\{x_0\neq0\}\\U_1=\operatorname{Spec}k[s]=\{x_1\neq0\}\\U_{01}=D(t)\cong\operatorname{Spec}k[t,1/t]\end{gathered}

\begin{aligned}U_0 &= \operatorname{Spec}k[t]\\&= \{x_0\neq0\}\\[4pt]U_1 &= \operatorname{Spec}k[s]\\&= \{x_1\neq0\}\\[4pt]U_{01} &= D(t)\\&\cong \operatorname{Spec}k[t,1/t]\end{aligned}

$t=x_1/x_0$ 、 $s=x_0/x_1$ です。重なりの関数の環がローラン多項式環 $k[t,1/t]$ になることは、第4回の命題6で確かめました。

第11回の定義6では、2枚の上の関数を変換関数 $t^n$ でつないで、可逆層 $\mathcal{O}(n)$ を作りました。大域切断は $n$ 次斉次式で、 $n\geq0$ なら次元は $n+1$ でした（第11回の定理7）。変換関数の向きは本によって流儀が分かれますが、この記事では第11回と同じ向きを使います。

定義5 $\mathbb{P}^1$ の上の $\mathcal{O}(n)$

$n\in\mathbb{Z}$ とする。 $\mathbb{P}^1$ の開集合 $V$ について、 $\mathcal{O}(n)(V)$ を、組 $(f,g)$ （ $f\in\mathcal{O}(V\cap U_0)$ 、 $g\in\mathcal{O}(V\cap U_1)$ ）で、 $V\cap U_{01}$ の上で

f=t^n\,g

\begin{aligned}f &= t^n\,g\end{aligned}

をみたすものの全体とする（ $g$ は $s=1/t$ で $t$ の式とみなす）。制限は成分ごとに行う。

$n=0$ なら条件は $f=g$ で、 $\mathcal{O}(0)$ は第4回の定義8の構造層 $\mathcal{O}$ そのものです。

この向きは、大域切断が $n$ 次斉次式になるように選んだものです。 $n$ 次斉次式 $F(x_0,x_1)$ から、次のように組 $(f,g)$ が作れます。

f(t)=\frac{F(x_0,x_1)}{x_0^{\,n}}=F(1,t)\qquad g(s)=\frac{F(x_0,x_1)}{x_1^{\,n}}=F(s,1)\qquad \frac{f}{g}=\Bigl(\frac{x_1}{x_0}\Bigr)^n=t^n

\begin{gathered}f(t)=\frac{F(x_0,x_1)}{x_0^{\,n}}=F(1,t)\\g(s)=\frac{F(x_0,x_1)}{x_1^{\,n}}=F(s,1)\\\frac{f}{g}=\Bigl(\frac{x_1}{x_0}\Bigr)^n=t^n\end{gathered}

\begin{aligned}f(t) &= \frac{F(x_0,x_1)}{x_0^{\,n}}\\&= F(1,t)\\[4pt]g(s) &= \frac{F(x_0,x_1)}{x_1^{\,n}}\\&= F(s,1)\\[4pt]\frac{f}{g} &= \Bigl(\frac{x_1}{x_0}\Bigr)^n\\&= t^n\end{aligned}

例えば $n=2$ 、 $F=x_0^2+3x_0x_1-x_1^2$ なら $f=1+3t-t^2$ 、 $g=s^2+3s-1$ で、確かに次が成り立ちます。

t^2g(1/t)=t^2\bigl(t^{-2}+3t^{-1}-1\bigr)=1+3t-t^2=f

\begin{aligned}t^2g(1/t) &= t^2\bigl(t^{-2}+3t^{-1}-1\bigr)\\&= 1+3t-t^2\\&= f\end{aligned}

$U_0$ の上では $g$ が $g=t^{-n}f$ で決まるので、 $\mathcal{O}(n)(U_0)\cong k[t]$ （ $(f,g)\mapsto f$ ）です。同じように $\mathcal{O}(n)(U_1)\cong k[s]$ （ $\mapsto g$ ）、 $\mathcal{O}(n)(U_{01})\cong k[t,1/t]$ （ $\mapsto f$ ）となります。

この同一視で定義1の $\delta$ を書きます。 $f\in k[t]$ は $U_0$ の切断 $(f,\,t^{-n}f)$ 、 $g\in k[s]$ は $U_1$ の切断 $(t^ng,\,g)$ で、重なりに制限して1つめの成分を読むと、次のようになります。

\delta\colon k[t]\times k[s]\to k[t,1/t]\qquad \delta(f,g)=f(t)-t^n\,g(1/t)

\begin{gathered}\delta\colon k[t]\times k[s]\to k[t,1/t]\\\delta(f,g)=f(t)-t^n\,g(1/t)\end{gathered}

\begin{aligned}\delta\colon k[t]\times k[s] &\to k[t,1/t]\\[4pt]\delta(f,g) &= f(t)-t^n\,g(1/t)\end{aligned}

基底の行き先は $\delta(t^m,0)=t^m$ （ $m\geq0$ ）と $\delta(0,s^j)=-t^{n-j}$ （ $j\geq0$ ）です。したがって像は、2つの部分空間の和になります。

\operatorname{Im}\delta=\underbrace{\operatorname{span}\{t^m\mid m\geq0\}}_{\delta(f,\,0)}+\underbrace{\operatorname{span}\{t^m\mid m\leq n\}}_{\delta(0,\,g)}

\begin{aligned}\operatorname{Im}\delta &= \underbrace{\operatorname{span}\{t^m\mid m\geq0\}}_{\delta(f,\,0)}+\underbrace{\operatorname{span}\{t^m\mid m\leq n\}}_{\delta(0,\,g)}\end{aligned}

\begin{aligned}\operatorname{Im}\delta &= \underbrace{\operatorname{span}\{t^m\mid m\geq0\}}_{\delta(f,\,0)}\\&\phantom{=}{} +\underbrace{\operatorname{span}\{t^m\mid m\leq n\}}_{\delta(0,\,g)}\end{aligned}

$n=0$ では、これは第4回の定理14の証明で使った $k[t]$ と $k[1/t]$ です。第4回は2つの共通部分（ $=k$ ）を求めましたが、この記事では和が全体になるかどうかも問います。

定理6 $\mathbb{P}^1$ の $\mathcal{O}(n)$ のコホモロジー [1, 定理5.1, p.33–34]

$k$ を体、 $n\in\mathbb{Z}$ 、 $\mathcal{U}=\{U_0,U_1\}$ とする。

(1)　 $\check{H}^0(\mathcal{U},\mathcal{O}(n))$ は $(t^m,s^{n-m})$ （ $0\leq m\leq n$ ）を基底とし、次元は $n\geq0$ なら $n+1$ 、 $n<0$ なら $0$ である。 $(t^m,s^{n-m})$ は斉次式 $x_0^{\,n-m}x_1^{\,m}$ に当たる。
(2)　 $\check{H}^1(\mathcal{U},\mathcal{O}(n))$ は類 $[t^m]$ （ $n<m<0$ ）を基底とし、次元は $n\leq-2$ なら $-n-1$ 、 $n\geq-1$ なら $0$ である。
(3)　どの $n$ についても $\dim\check{H}^0-\dim\check{H}^1=n+1$ である。

証明

$\delta$ は $t$ の指数を保つ。各 $m\in\mathbb{Z}$ について、 $t^m$ に行く基底だけを集めた部分 $\delta_m$ に分かれ、核と余核も $m$ ごとの和になる。

$C^0_m$ を、 $(t^m,0)$ （ $m\geq0$ のとき）と $(0,s^{n-m})$ （ $n-m\geq0$ のとき）で張られる部分空間とし、 $C^1_m=k\,t^m$ とする。 $\delta(0,s^{n-m})=-t^{n-(n-m)}=-t^m$ なので、 $\delta$ は $C^0_m$ を $C^1_m$ に移す。

$k[t]\times k[s]=\bigoplus_mC^0_m$ 、 $k[t,1/t]=\bigoplus_mC^1_m$ で、 $t^m$ たちは1次独立だから、 $\delta(\sum_mc_m)=0$ なら各 $\delta(c_m)=0$ である。よって $\operatorname{Ker}\delta=\bigoplus_m\operatorname{Ker}\delta_m$ 、 $\operatorname{Coker}\delta=\bigoplus_m\operatorname{Coker}\delta_m$ 。
$m$ ごとに3通りに分かれる。 $0\leq m\leq n$ なら $\delta_m$ は2次元から1次元への全射で、核は $(t^m,s^{n-m})$ で張られる。どちらか一方だけなら同型。 $n<m<0$ なら $C^0_m=0$ で、余核は $k\,t^m$ 。

$0\leq m\leq n$ のとき、 $\delta_m(a\,t^m,\,b\,s^{n-m})=(a-b)\,t^m$ なので、核は $a=b$ の直線である。

$m\geq0$ と $m\leq n$ のちょうど一方だけが成り立つとき、 $C^0_m$ は1次元で、 $\delta_m$ は $\pm1$ 倍の同型である。
(1)(2) は、数えると従う。 $0\leq m\leq n$ となる $m$ は $n\geq0$ なら $n+1$ 個、 $n<m<0$ となる $m$ は $n\leq-2$ なら $-n-1$ 個で、それ以外では0個。
(1) の斉次式との対応は、 $F=x_0^{\,n-m}x_1^{\,m}$ について $F(1,t)=t^m$ 、 $F(s,1)=s^{n-m}$ となることから。
(3) は場合分けで確かめる。 $n\geq0$ なら $(n+1)-0$ 、 $n=-1$ なら $0-0$ 、 $n\leq-2$ なら $0-(-n-1)$ で、どれも $n+1$ 。

この定理は体 $k$ の標数にも、代数閉体かどうかにもよりません。係数 $\pm1$ の比較だけで計算が済むからです。

$\check{H}^1$ の基底 $t^m$ （ $n<m<0$ ）を斉次座標で書くと、重なりの上の切断 $t^m x_0^{\,n}=x_0^{\,n-m}x_1^{\,m}$ で、 $x_0$ と $x_1$ の指数がどちらも負になります。つまり $\check{H}^1(\mathcal{U},\mathcal{O}(n))$ の基底は、次の類です。

\Bigl[\frac{1}{x_0^{\,a}x_1^{\,b}}\Bigr]\qquad(a,b\geq1,\ a+b=-n)

\begin{gathered}\Bigl[\frac{1}{x_0^{\,a}x_1^{\,b}}\Bigr]\\(a,b\geq1,\ a+b=-n)\end{gathered}

ハーツホーンが $\mathbb{P}^r$ で使う「負べきの単項式」の基底を、 $r=1$ で見たものです。

例えば $n=-2$ では $1/(x_0x_1)$ だけ、 $n=-4$ では $1/(x_0^3x_1)$ 、 $1/(x_0^2x_1^2)$ 、 $1/(x_0x_1^3)$ の3つです。

例7 差で書く・書けない

$k$ を体とする。

(1)　 $n=0$ 。第4回で例に使った $h=2t^{-2}+5+t^3$ は、次のように差で書ける。

h=\delta\bigl(5+t^3,\ -2s^2\bigr)=(5+t^3)-\bigl(-2t^{-2}\bigr)

\begin{aligned}h &= \delta\bigl(5+t^3,\ -2s^2\bigr)\\&= (5+t^3)-\bigl(-2t^{-2}\bigr)\end{aligned}

\begin{aligned}h &= \delta\bigl(5+t^3,\ -2s^2\bigr)\\&= (5+t^3)\\&\phantom{=}{} -\bigl(-2t^{-2}\bigr)\end{aligned}

定数 $5$ を $g$ の側に回して $\delta(t^3,\,-5-2s^2)$ としてもよい。2つの書き方の差 $(5,5)$ は $\operatorname{Ker}\delta$ の元で、 $\check{H}^0=k$ （定数）に当たる。

(2)　 $n=2$ 。 $h=t^{-3}+5+2t^4$ は $\delta(5+2t^4,\,-s^5)$ である。 $-t^2\cdot(-t^{-5})=t^{-3}$ となるからである。核は $(1,s^2)$ 、 $(t,s)$ 、 $(t^2,1)$ で張られ、斉次式 $x_0^2$ 、 $x_0x_1$ 、 $x_1^2$ に当たる。

(3)　 $n=-2$ 。 $\delta(f,g)=f(t)-t^{-2}g(1/t)$ の像には $t^{-1}$ の項が現れない。 $h=3t^{-2}+t^{-1}+t$ なら

h-\delta(t,\,-3)=\bigl(3t^{-2}+t^{-1}+t\bigr)-\bigl(t+3t^{-2}\bigr)=t^{-1}

\begin{aligned}h-\delta(t,\,-3) &= \bigl(3t^{-2}+t^{-1}+t\bigr)-\bigl(t+3t^{-2}\bigr)\\&= t^{-1}\end{aligned}

\begin{aligned}h-\delta(t,\,-3) &= \bigl(3t^{-2}+t^{-1}+t\bigr)\\&\phantom{=}{} -\bigl(t+3t^{-2}\bigr)\\&= t^{-1}\end{aligned}

なので $[h]=[t^{-1}]\neq0$ で、 $h$ は差で書けない。

(4)　 $n=-3$ 。像に入らないのは $t^{-2}$ と $t^{-1}$ である。 $h=t^{-4}+2t^{-2}-t^{-1}$ なら、 $t^{-4}=\delta(0,-s)$ なので $[h]=2[t^{-2}]-[t^{-1}]\neq0$ である。

(1)(2) で差の書き方が1通りに決まらないのは、核があるからです。差で書ける $h$ の書き方は、核の元を足す分だけずれます。 $\check{H}^0$ が大きいほど書き方の自由度が大きくなり、 $\check{H}^1$ が大きいほど差で書けない $h$ が増えます。

\mathcal{O}(0)=\mathcal{O}

t^{-5}

t^{-4}

t^{-3}

t^{-2}

t^{-1}

1

t

t^{2}

t^{3}

t^{4}

青：

f(t)

から（

m\geq0

）

緑：

t^{0}g(1/t)

から（

m\leq0

）

\check{H}^0

：

1

（紫）

\mathcal{O}(-2)

t^{-5}

t^{-4}

t^{-3}

t^{-2}

t^{-1}

1

t

t^{2}

t^{3}

t^{4}

青：

f(t)

から（

m\geq0

）

緑：

t^{-2}g(1/t)

から（

m\leq-2

）

\check{H}^1

：

t^{-1}

（オレンジ）

図2概念図

k[t,1/t]

の基底

t^m

を並べ、

\delta

の像を2本の帯で描いています。青の帯は

U_0

の側の

f(t)

で作れる

t^m

（

m\geq0

）、緑の帯は

U_1

の側の

t^ng(1/t)

で作れる

t^m

（

m\leq n

）です。上の段

\mathcal{O}(0)

は第4回の図と同じで、全部の

t^m

が覆われ、両方の帯に入る

1

（紫）が

\check{H}^0=k

です。下の段

\mathcal{O}(-2)

では緑の帯が

m\leq-2

に縮み、

t^{-1}

（オレンジの輪）がどちらの帯にも入りません。これが

\check{H}^1

の基底です。

$n$ を動かすと、緑の帯の右端が動きます。どの帯がどこを覆うかを表にまとめます。

例8 $n=-4,\dots,3$ の表

定理6から、次の表を得る。 $h^i=\dim\check{H}^i(\mathcal{U},\mathcal{O}(n))$ とする。

$n$	$\check{H}^0$ の基底（斉次式）	$h^0$	$\check{H}^1$ の基底	$h^1$	$h^0-h^1$
$3$	$x_0^3,\ x_0^2x_1,\ x_0x_1^2,\ x_1^3$	$4$	なし	$0$	$4$
$2$	$x_0^2,\ x_0x_1,\ x_1^2$	$3$	なし	$0$	$3$
$1$	$x_0,\ x_1$	$2$	なし	$0$	$2$
$0$	$1$	$1$	なし	$0$	$1$
$-1$	なし	$0$	なし	$0$	$0$
$-2$	なし	$0$	$[t^{-1}]$	$1$	$-1$
$-3$	なし	$0$	$[t^{-2}],\ [t^{-1}]$	$2$	$-2$
$-4$	なし	$0$	$[t^{-3}],\ [t^{-2}],\ [t^{-1}]$	$3$	$-3$

t^{-5}

t^{-4}

t^{-3}

t^{-2}

t^{-1}

1

t

t^{2}

t^{3}

t^{4}

n

h^0

h^1

h^0-h^1

-4

0

3

-3

-3

0

2

-2

-2

0

1

-1

-1

0

0

0

0

1

0

1

1

2

0

2

2

3

0

3

3

4

0

4

青：

m\geq0

　緑：

m\leq n

　紫：両方（

\check{H}^0

）　オレンジの輪：どちらでもない（

\check{H}^1

）

図3概念図例8を図2の形で並べたものです。1行が1つの

n

で、紫の点（両方の帯）の数が

h^0

、オレンジの輪（どちらの帯もない）の数が

h^1

です。

n

を1つ増やすと緑の帯が右に1つ延び、輪が1つ埋まるか、紫の点が1つ増えます。どちらでも

h^0-h^1

は1だけ増えます（図を作るプログラムで、

\delta

を行列にして階数から検算しています）。

次元の差はいつも $n+1$

表の右端の列 $h^0-h^1$ は、 $n$ の1次式 $n+1$ です。 $h^0$ と $h^1$ はそれぞれ $n=-1$ を境に式が変わりますが、差は1つの式 $n+1$ で書けます。

系9

$k$ を体とする。すべての $n\in\mathbb{Z}$ について $h^0(\mathcal{O}(n))-h^1(\mathcal{O}(n))=n+1$ である。さらに $h^1(\mathcal{O}(n))=h^0(\mathcal{O}(-2-n))$ が成り立つ。

証明

1つめは定理6(3) である。
2つめは場合分けで確かめる。 $n\leq-2$ なら $-2-n\geq0$ で、両辺とも $-n-1$ 。 $n\geq-1$ なら $-2-n<0$ で、両辺とも $0$ 。

差 $h^0-h^1$ を、層のオイラー標数 $\chi(\mathcal{O}(n))$ と呼びます。図3では、 $n$ が1つ増えるたびに緑の帯が $t^{n+1}$ まで延びます。 $n+1<0$ ならそこは輪（ $h^1$ の基底）だったので $h^1$ が1減り、 $n+1\geq0$ ならそこは青の帯の中なので $h^0$ が1増えます。

\chi(\mathcal{O}(n+1))-\chi(\mathcal{O}(n))=1\qquad \chi(\mathcal{O}(0))=1-0=1\qquad\Longrightarrow\qquad \chi(\mathcal{O}(n))=n+1

\begin{gathered}\chi(\mathcal{O}(n+1))-\chi(\mathcal{O}(n))=1\\\chi(\mathcal{O}(0))=1-0=1\\\Longrightarrow \chi(\mathcal{O}(n))=n+1\end{gathered}

\begin{aligned}\chi(\mathcal{O}(n+1))-\chi(\mathcal{O}(n)) &= 1\\[4pt]\chi(\mathcal{O}(0)) &= 1-0\\&= 1\\[4pt]&\Longrightarrow \chi(\mathcal{O}(n))=n+1\end{aligned}

第11回の言葉では、 $\mathcal{O}(n)$ は次数 $n$ の因子（例えば $n\cdot\infty$ ）に対応する直線束でした（第11回の命題13）。すると系の1つめは、次の形に書けます。

h^0(\mathcal{O}(D))-h^1(\mathcal{O}(D))=\deg D+1\qquad(D=n\cdot\infty,\ \deg D=n)

\begin{gathered}h^0(\mathcal{O}(D))-h^1(\mathcal{O}(D))=\deg D+1\\(D=n\cdot\infty,\ \deg D=n)\end{gathered}

\begin{aligned}h^0(\mathcal{O}(D))-h^1(\mathcal{O}(D)) &= \deg D+1\\[4pt]&(D=n\cdot\infty,\ \deg D=n)\end{aligned}

系の2つめに出てくる $-2$ は、第13回の $\deg K=-2$ です。 $\mathcal{O}(-2-n)$ は因子 $K-D$ に対応するので、 $h^1(\mathcal{O}(D))=h^0(\mathcal{O}(K-D))$ と書けます。

\begin{aligned} &h^0(\mathcal{O}(D))-h^0(\mathcal{O}(K-D))\\ &\quad=\deg D+1-g\qquad(g=0) \end{aligned}

これが $\mathbb{P}^1$ のリーマン・ロッホの定理です。 $g$ は曲線の種数で、 $\mathbb{P}^1$ では $0$ です。第15回では、一般の曲線で同じ形の式を確かめます。

専門的な話

h^1(\mathcal{O}(n))=h^0(\mathcal{O}(-2-n))

の理由：セールの双対性

系の2つめの等式には理由があります。大域切断と $\check{H}^1$ の類の積で、次の双一次形式が作れるからです。

\begin{aligned} &\check{H}^0(\mathcal{O}(n))\times\check{H}^1(\mathcal{O}(-2-n))\\ &\quad\to\check{H}^1(\mathcal{O}(-2))\cong k\\[4pt] &\bigl((t^a,s^{n-a}),\ [h]\bigr)\longmapsto[t^ah] \end{aligned}

$\delta$ と両立することを確かめます。 $\mathcal{O}(-2-n)$ の $(f,g)$ について、積 $(t^af,\ s^{n-a}g)$ は $\mathcal{O}(-2)$ の切断の組で、

\begin{aligned} &\delta(t^af,\ s^{n-a}g)\\ &\quad=t^af-t^{-2}\,t^{a-n}g(1/t)\\ &\quad=t^a\bigl(f-t^{-2-n}g(1/t)\bigr)\\ &\quad=t^a\,\delta(f,g) \end{aligned}

となります。よって差で書ける $h$ には、差で書ける $t^ah$ が対応し、積は類の上で矛盾なく決まります。

基底で書くと、 $t^a$ （ $0\leq a\leq n$ ）と $[t^b]$ （ $-n-1\leq b\leq-1$ ）の積 $[t^{a+b}]$ が $\check{H}^1(\mathcal{O}(-2))=k\,[t^{-1}]$ で0でないのは、 $a+b=-1$ のときだけです。 $a$ と $b=-1-a$ が1対1に組になるので、この双一次形式は非退化で、両辺の次元が等しくなります。

ハーツホーンは $\mathbb{P}^r$ の $\mathcal{O}(n)$ について同じ形の非退化性を示しています[1, 定理5.1(d), p.34]。一般の非特異射影曲線では、これがセールの双対性 $H^1(\mathcal{O}(D))\cong H^0(\mathcal{O}(K-D))^\vee$ になり、リーマン・ロッホの定理の証明に使われます。

被覆によらない：層のコホモロジー

ここまでの $\check{H}^i$ は、被覆 $\mathcal{U}$ を1つ決めて定義しました。別の被覆を選べば、答えが変わるかもしれません。実はスキームの準連接層では、アフィンの開集合で覆う限り答えは変わりません。しかも、被覆を使わずに定義したコホモロジー $H^i(X,\mathcal{F})$ と一致します。

ハーツホーンは $H^i(X,-)$ を、大域切断をとる関手 $\mathcal{F}\mapsto\mathcal{F}(X)$ の右導来関手として定義しています[1, §III.2 定義, p.9]。この定義は連載の範囲を超えるので、ここでは結果だけを引用します。ネータースキームとは、ネーター環の Spec の有限個で覆えるスキームのことです。

定理10 [1, 定理4.5, p.29]

$X$ をネーターで分離的なスキーム、 $\mathcal{U}$ をアフィンの開集合からなる $X$ の開被覆、 $\mathcal{F}$ を $X$ 上の準連接層とする。このとき、すべての $p\geq0$ について自然な同型 $\check{H}^p(\mathcal{U},\mathcal{F})\cong H^p(X,\mathcal{F})$ がある。

$\mathbb{P}^1$ はネーターで分離的なスキームで、 $U_0,U_1$ はアフィン、 $\mathcal{O}(n)$ は準連接層です。よって定理6は、そのまま $H^0(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(n))$ と $H^1(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(n))$ の計算になります。2枚の被覆には3枚の重なりがないので、 $p\geq2$ では $H^p(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(n))=0$ です（最後の補足を見てください）。

H^0(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(n))\cong k[x_0,x_1]_n\qquad H^1(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(-2))\cong k

\begin{gathered}H^0(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(n))\cong k[x_0,x_1]_n\\H^1(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(-2))\cong k\end{gathered}

\begin{aligned}H^0(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(n)) &\cong k[x_0,x_1]_n\\[4pt]H^1(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(-2)) &\cong k\end{aligned}

$k[x_0,x_1]_n$ は $n$ 次斉次式の空間（ $n<0$ なら $0$ ）です。ハーツホーンは $\mathbb{P}^r$ の場合を、同じ形の被覆で計算しています（[1, 定理5.1, p.33–34]。 $H^0$ については[2, 命題5.13, p.160]）。

アフィンスキームでは、 $H^1$ 以上がすべて消えます。

定理11 [1, 定理3.5, p.20; 1, 定理3.7, p.21]

(1)　 $A$ をネーター環、 $X=\operatorname{Spec}A$ とする。 $X$ 上のすべての準連接層 $\mathcal{F}$ とすべての $i>0$ について $H^i(X,\mathcal{F})=0$ である。
(2)（セール）逆に、ネータースキーム $X$ で、すべての準連接層 $\mathcal{F}$ とすべての $i>0$ について $H^i(X,\mathcal{F})=0$ なら、 $X$ はアフィンである。

(2) を使うと、 $\mathbb{P}^1$ がアフィンでないことがもう一度分かります。準連接層 $\mathcal{O}(-2)$ で $H^1(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(-2))\cong k\neq0$ だからです。第4回は大域関数が定数だけであること（第4回の定理14）から示しましたが、こちらは $H^1$ が0でないことから示しています。

(1) を、アフィン直線を2枚で覆って確かめてみます。

例12 部分分数分解

$k$ を体、 $X=\operatorname{Spec}k[t]$ とし、 $V_0=D(t)$ 、 $V_1=D(t-1)$ で覆う。重なりは $D(t(t-1))$ で、

\delta\colon k[t]_t\times k[t]_{t-1}\to k[t]_{t(t-1)}\qquad \delta(s_0,s_1)=s_0-s_1

\begin{gathered}\delta\colon k[t]_t\times k[t]_{t-1}\to k[t]_{t(t-1)}\\\delta(s_0,s_1)=s_0-s_1\end{gathered}

\begin{aligned}\delta\colon k[t]_t\times k[t]_{t-1} &\to k[t]_{t(t-1)}\\[4pt]\delta(s_0,s_1) &= s_0-s_1\end{aligned}

は全射である。つまり $\check{H}^1=0$ で、これは分母が $t^a(t-1)^b$ の分数が、分母 $t^a$ の分数と分母 $(t-1)^b$ の分数の和に分かれる（部分分数分解）ことと同じである。例えば

\begin{aligned} \frac{1}{t(t-1)}&=\delta\Bigl(-\frac1t,\ -\frac{1}{t-1}\Bigr)\\[4pt] \frac{t+1}{t^2(t-1)}&=\delta\Bigl(-\frac2t-\frac1{t^2},{}\\ &\qquad\quad -\frac{2}{t-1}\Bigr) \end{aligned}

である。 $\check{H}^0=\operatorname{Ker}\delta$ は $k[t]_t\cap k[t]_{t-1}=k[t]$ で、 $X$ 全体の関数に一致する。

証明

第3回の系16(1) から、3つの開集合の上の関数の環は $k[t]_t$ 、 $k[t]_{t-1}$ 、 $k[t]_{t(t-1)}$ で、 $\delta$ はそれらの中の引き算である。
$k[t]_{t(t-1)}$ の元は $p/(t^a(t-1)^b)$ （ $p\in k[t]$ ）と書ける。 $t^a$ と $(t-1)^b$ は共通の因子をもたないので、 $ut^a+v(t-1)^b=1$ となる $u,v\in k[t]$ がある。
両辺に $p/(t^a(t-1)^b)$ を掛けると $p/(t^a(t-1)^b)=pv/t^a+pu/(t-1)^b=\delta\bigl(pv/t^a,\,-pu/(t-1)^b\bigr)$ で、全射が分かる。
例の2つめは、恒等式 $-2t(t-1)-(t-1)+2t^2=t+1$ を $t^2(t-1)$ で割ったものである。

係数はどれも整数なので、この恒等式はどの体でも成り立つ。標数2では $2=0$ で、式は $(t+1)/(t^2(t-1))=-1/t^2$ になる。このとき $t+1=t-1$ なので、確かに両辺は等しい。

$\mathbb{P}^1$ の $n=0$ の行も、同じ形の主張でした。どのローラン多項式も「 $t$ の多項式」と「 $1/t$ の多項式」の差に分かれるので、 $H^1(\mathbb{P}^1,\mathcal{O})=0$ です。 $n=-2$ では、 $t^{-1}$ の項だけがこの形に分けられません。

最後に、第13回の微分形式に戻ります。

例13 $\mathbb{P}^1$ の微分形式の層 [1, 例4.0.3, p.25–26; 2, 例8.20.1, p.248]

$k$ を体とし、 $\Omega$ を $\mathbb{P}^1$ の微分形式の層とする。 $\Omega(U_0)=k[t]\,dt$ 、 $\Omega(U_1)=k[s]\,ds$ 、 $\Omega(U_{01})=k[t,1/t]\,dt$ で、重なりの上では $ds=-t^{-2}dt$ である。このとき

\begin{aligned} &\delta\bigl(f\,dt,\ g\,ds\bigr)\\ &\quad=\bigl(f(t)+t^{-2}g(1/t)\bigr)\,dt \end{aligned}

で、像は $t^m\,dt$ （ $m\geq0$ または $m\leq-2$ ）で張られる。よって $H^0(\mathbb{P}^1,\Omega)=0$ 、 $H^1(\mathbb{P}^1,\Omega)=k\cdot[t^{-1}dt]$ である。対応 $(f\,dt,\,g\,ds)\mapsto(f,\,-g)$ は同型 $\Omega\cong\mathcal{O}(-2)$ を与える。

証明

$s=1/t$ を微分すると $ds=-t^{-2}dt$ なので、 $g(s)\,ds=-t^{-2}g(1/t)\,dt$ となり、 $\delta$ の式を得る。
$\delta(t^m\,dt,0)=t^m\,dt$ （ $m\geq0$ ）、 $\delta(0,s^j\,ds)=t^{-2-j}\,dt$ （ $j\geq0$ ）なので、定理6の $n=-2$ と同じ計算になる。
$\Omega(V)$ の元は、重なりの上で $f\,dt=g\,ds$ 、つまり $f=t^{-2}\cdot(-g)$ をみたす組である。これは $(f,-g)$ が定義5の $n=-2$ の条件をみたすことと同じである。

$H^1(\mathbb{P}^1,\Omega)$ の生成元は $dt$ ではなく $dt/t$ の類です。 $dt$ 自身は $U_0$ の上の微分形式なので、 $dt=\delta(dt,0)$ と差で書けてしまいます。 $dt/t$ は $t=0$ と $t=\infty$ の両方に1位の極をもち、重なりの上でしか定義されません。

$H^0(\mathbb{P}^1,\Omega)=0$ は、 $\mathbb{P}^1$ 全体で正則な微分形式がないということです。第13回で見たとおり、 $dt$ は $\infty$ で2位の極をもち、 $\deg K=-2<0$ でした。次数が負の因子には、0でない大域切断がありません。

もう少し詳しく位相空間のコホモロジーとの関係

例3の $\check{H}^1(\mathcal{U},\underline{\mathbb{Z}})\cong\mathbb{Z}$ は、被覆によらない層のコホモロジー $H^1(S^1,\underline{\mathbb{Z}})$ と一致し、円の穴1つを数えています[1, 演習2.7, p.17; 1, 例4.0.4, p.26]。多様体では、定数層 $\underline{\mathbb{Z}}$ のコホモロジーは位相幾何の特異コホモロジーと一致します。ハーツホーンは、この一致を示した文献を第III章2節の歴史覚え書きで挙げています[1, §III.2 歴史覚え書き, p.15]。例えば穴が $g$ 個の向き付けられた閉曲面では $H^1\cong\mathbb{Z}^{2g}$ です[3, 付録B §5, p.215]。

しかし、ザリスキー位相の定数層のコホモロジーは、これとはまったく別物です。既約な空間の上の定数層は、どの制限写像も全射（脆弱）になり[2, 演習1.16(a), p.92]、脆弱な層の $H^i$ （ $i>0$ ）は0です[1, 命題2.5, p.10]。 $\mathbb{P}^1$ は既約なので $H^1(\mathbb{P}^1,\underline{\mathbb{Z}})=0$ で、例4と合っています。

代数幾何で穴の数に当たるものは、構造層のコホモロジーに現れます。代数閉体の上の非特異射影曲線 $X$ では、正則な微分形式の空間の次元（種数 $g$ ）が $\dim H^1(X,\mathcal{O}_X)$ に等しくなります[3, 命題1.1, p.2]。複素数の上では、 $X$ の複素数の点はコンパクトなリーマン面になり、穴が $g$ 個の閉曲面と同相です[3, 付録B §5, p.215]。 $\mathbb{P}^1$ （球面）では $g=0$ で、確かに $H^1(\mathbb{P}^1,\mathcal{O})=0$ でした。楕円曲線（トーラス）では $g=1$ です。種数と穴の数の関係は第16回で扱います。

$H^1(\mathbb{P}^1,\Omega)\cong k$ も、円で測れます。 $k=\mathbb{C}$ のとき、類 $[h\,dt]$ に $h$ の $t^{-1}$ の係数（ $t=0$ での留数）を対応させると、像の元 $t^m\,dt$ （ $m\neq-1$ ）は0に移るので、同型 $H^1(\mathbb{P}^1,\Omega)\cong\mathbb{C}$ が得られます。この係数は、重なり $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ の中の円 $|t|=1$ に沿った積分 $\frac{1}{2\pi i}\oint h\,dt$ に等しく、図1のらせんと同じように「一周して測る」量です。

専門的な話一般の被覆、高次のコホモロジーと長完全列

開被覆 $\mathcal{U}=\{U_i\}_{i\in I}$ （ $I$ は全順序集合）について、 $U_{i_0\cdots i_p}=U_{i_0}\cap\cdots\cap U_{i_p}$ とし、チェック複体を次のように定めます[1, §III.4, p.24–25]。

\begin{aligned} &\check{C}^p(\mathcal{U},\mathcal{F})=\prod_{i_0<\cdots<i_p}\mathcal{F}(U_{i_0\cdots i_p})\\[4pt] &(d\alpha)_{i_0\cdots i_{p+1}}\\ &\quad=\sum_{k=0}^{p+1}(-1)^k\,\alpha_{i_0\cdots\widehat{i_k}\cdots i_{p+1}}\big|_{U_{i_0\cdots i_{p+1}}} \end{aligned}

$\widehat{i_k}$ は $i_k$ を除くという意味です。 $d\circ d=0$ で、 $\check{H}^p(\mathcal{U},\mathcal{F})=\operatorname{Ker}d/\operatorname{Im}d$ （ $\check{C}^p$ の部分）と定めます。2枚の被覆では $\check{C}^0=\mathcal{F}(U_0)\times\mathcal{F}(U_1)$ 、 $\check{C}^1=\mathcal{F}(U_{01})$ 、 $p\geq2$ で $\check{C}^p=0$ となり、 $d=-\delta$ です。

導来関手のコホモロジーには、層の短完全列 $0\to\mathcal{F}'\to\mathcal{F}\to\mathcal{F}''\to0$ から長完全列が得られるという大事な性質があります[1, p.9]。被覆を1つ固定したチェック・コホモロジーには、一般にはこの性質がありません[1, 警告4.0.2, p.25]。定理10が成り立つ場合に、チェック・コホモロジーでも長完全列が使えるようになります。

例えば $\mathbb{P}^1$ で、 $x_0$ を掛ける写像 $\mathcal{O}(n-1)\to\mathcal{O}(n)$ （チャートでは $(f,g)\mapsto(f,\,sg)$ ）は単射で、余核は点 $\infty$ にだけ $k$ がある層 $k_\infty$ です。 $H^0(k_\infty)=k$ 、 $H^1(k_\infty)=0$ なので、長完全列

0\to H^0(\mathcal{O}(n-1))\to H^0(\mathcal{O}(n))\to k\to H^1(\mathcal{O}(n-1))\to H^1(\mathcal{O}(n))\to0

\begin{aligned}0 &\to H^0(\mathcal{O}(n-1))\\&\to H^0(\mathcal{O}(n))\\&\to k\\&\to H^1(\mathcal{O}(n-1))\\&\to H^1(\mathcal{O}(n))\\&\to 0\end{aligned}

から $\chi(\mathcal{O}(n))=\chi(\mathcal{O}(n-1))+1$ が出ます。図3で帯が1つ延びることの、層の言葉での言い換えです。

また、グロタンディークの消滅定理により、 $n$ 次元のネーター位相空間では $i>n$ の $H^i$ はすべて0です[1, 定理2.7, p.11]。曲線では $H^0$ と $H^1$ だけを考えれば足ります。

まとめ：被覆と層ごとの $H^0,H^1$

空間と被覆	層	$H^0$	$H^1$	理由
円（普通の位相）、2つの弧	$\underline{\mathbb{Z}}$	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Z}$	重なりが2か所に分かれる
$\mathbb{P}^1$ （ザリスキー位相）	$\underline{\mathbb{Z}}$	$\mathbb{Z}$	$0$	重なりが連結
$\mathbb{P}^1$ 、 $U_0,U_1$	$\mathcal{O}(n)$ 、 $n\geq0$	$n$ 次斉次式（ $n+1$ 次元）	$0$	2本の帯が重なる
$\mathbb{P}^1$ 、 $U_0,U_1$	$\mathcal{O}(-1)$	$0$	$0$	帯がちょうど接する
$\mathbb{P}^1$ 、 $U_0,U_1$	$\mathcal{O}(n)$ 、 $n\leq-2$	$0$	$-n-1$ 次元	帯の間に隙間
$\mathbb{P}^1$ 、 $U_0,U_1$	$\Omega\cong\mathcal{O}(-2)$	$0$	$k\cdot[dt/t]$	$t^{-1}\,dt$ が作れない
$\mathbb{A}^1$ 、 $D(t),D(t-1)$	$\mathcal{O}$	$k[t]$	$0$	部分分数分解

$H^0$ は「重なりで一致する切断の組」、 $H^1$ は「重なりの切断のうち、差で書けないもの」でした。層の条件から $H^0$ は全体の切断に一致し、 $H^1$ は貼り合わせと逆向きの問い（差で書けるか）に答えます。

$\mathbb{P}^1$ の $\mathcal{O}(n)$ では、2つの像を $t^m$ の格子の上の帯として描くと、重なりが $H^0$ 、隙間が $H^1$ になりました。帯の重なりと隙間の差はいつも $n+1$ で、 $n$ とともに1ずつ増えます。

次回：リーマン・ロッホの定理

$\mathbb{P}^1$ では $h^0-h^1=\deg D+1$ で、 $h^1$ は $K-D$ の大域切断の次元に等しくなりました。

次回は、この $H^0$ と $H^1$ の次元の差を、一般の曲線のリーマン・ロッホの定理 $\ell(D)-\ell(K-D)=\deg D+1-g$ として述べます。 $\mathbb{P}^1$ （ $g=0$ ）と楕円曲線（ $g=1$ ）で、具体的な因子について両辺を計算して確かめます。

第3回の定義4 層

位相空間 $X$ 上の前層 $\mathcal{F}$ が層であるとは、任意の開集合 $U$ と、 $U$ の任意の開被覆 $\{V_i\}$ について、次の2つが成り立つことをいう。

(3)　 $s\in\mathcal{F}(U)$ が、すべての $i$ について $s|_{V_i}=0$ をみたすなら、 $s=0$ 。
(4)　 $s_i\in\mathcal{F}(V_i)$ が、すべての $i,j$ について $s_i|_{V_i\cap V_j}=s_j|_{V_i\cap V_j}$ をみたすなら、すべての $i$ について $s|_{V_i}=s_i$ となる $s\in\mathcal{F}(U)$ がある。

第4回の例10 射影直線

$k$ を体とする。 $X_1=\operatorname{Spec}k[t]$ 、 $X_2=\operatorname{Spec}k[s]$ とし、開集合 $U_1=D(t)\cong\operatorname{Spec}k[t,1/t]$ 、 $U_2=D(s)\cong\operatorname{Spec}k[s,1/s]$ を、環の同型

k[s,1/s]\to k[t,1/t]\qquad s\mapsto 1/t

\begin{gathered}k[s,1/s]\to k[t,1/t]\\s\mapsto 1/t\end{gathered}

\begin{aligned}k[s,1/s] &\to k[t,1/t]\\[4pt]s &\mapsto 1/t\end{aligned}

が引き起こす同型 $\varphi\colon U_1\to U_2$ で貼り合わせる。こうしてできるスキームを、 $k$ 上の射影直線と呼び、 $\mathbb{P}^1$ と書く。

第4回の命題6

$A$ を環、 $f\in A$ とする。局所環付き空間 $(D(f),\mathcal{O}|_{D(f)})$ は $\operatorname{Spec}A_f$ と同型である。点の対応は、 $A_f$ の素イデアル $Q$ を $Q\cap A=\{\,a\in A\mid a/1\in Q\,\}$ に送るものである。

第11回の定義6 $\mathcal{O}(n)$

$k$ を体、 $n$ を整数とする。 $\mathbb{P}^1$ の被覆 $\{U_0,U_1\}$ と変換関数 $g_{01}=t^n\in k[t,1/t]^\times$ から定義4で作った可逆層を $\mathcal{O}(n)$ と書く。開集合 $V$ の上の切断は、組

(f_0,f_1)\qquad f_0\in\mathcal{O}(V\cap U_0)\quad f_1\in\mathcal{O}(V\cap U_1)\qquad f_0=t^n\,f_1\in\mathcal{O}(V\cap U_0\cap U_1)

\begin{gathered}(f_0,f_1)\\f_0\in\mathcal{O}(V\cap U_0)\\f_1\in\mathcal{O}(V\cap U_1)\\f_0=t^n\,f_1\in\mathcal{O}(V\cap U_0\cap U_1)\end{gathered}

\begin{aligned}&(f_0,f_1)\\[4pt]&f_0\in\mathcal{O}(V\cap U_0)\\[4pt]&f_1\in\mathcal{O}(V\cap U_1)\\[4pt]f_0 &= t^n\,f_1\in\mathcal{O}(V\cap U_0\cap U_1)\end{aligned}

である。

第11回の定理7

$k$ を体、 $n$ を整数とし、 $k[x_0,x_1]_n$ を $n$ 次斉次式（と0）のなすベクトル空間とする。写像

k[x_0,x_1]_n\longrightarrow\Gamma(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(n))\qquad F\longmapsto\bigl(F(1,t),\ F(s,1)\bigr)

\begin{gathered}k[x_0,x_1]_n\longrightarrow\Gamma(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(n))\\F\longmapsto\bigl(F(1,t),\ F(s,1)\bigr)\end{gathered}

\begin{aligned}k[x_0,x_1]_n &\longrightarrow \Gamma(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(n))\\[4pt]&F\longmapsto\bigl(F(1,t),\ F(s,1)\bigr)\end{aligned}

は $k$ 線形な同型である。とくに $n\geq0$ なら $\dim_k\Gamma(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(n))=n+1$ 、 $n<0$ なら $\Gamma(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(n))=0$ である。

第4回の定義8 貼り合わせ

$X_1,X_2$ を環付き空間、 $U_1\subseteq X_1$ 、 $U_2\subseteq X_2$ を開集合とし、 $\varphi\colon(U_1,\mathcal{O}_{X_1}|_{U_1})\to(U_2,\mathcal{O}_{X_2}|_{U_2})$ を同型とする。

集合 $X$ は、 $X_1$ と $X_2$ の交わらない和で、 $x\in U_1$ と $\varphi(x)\in U_2$ を同じ点とみなしたもの。 $X_1,X_2$ は $X$ の部分集合とみなす。
$V\subseteq X$ が開集合であるのは、 $V\cap X_1$ と $V\cap X_2$ がそれぞれ開集合であるとき。
$X$ の開集合 $V$ について、 $\mathcal{O}_X(V)$ は、組 $(s_1,s_2)$ （ $s_i\in\mathcal{O}_{X_i}(V\cap X_i)$ ）で、重なりの上で $\varphi^\#(s_2|_{V\cap U_2})=s_1|_{V\cap U_1}$ となるものの全体。

$(X,\mathcal{O}_X)$ を、 $X_1$ と $X_2$ を $\varphi$ で貼り合わせた環付き空間と呼ぶ。

第4回の定理14

$k$ を体とする。 $\mathcal{O}(\mathbb{P}^1)=k$ （定数だけ）である。とくに $\mathbb{P}^1$ はアフィンスキームではない。

第11回の命題13

$k$ を代数閉体とする。

(1)　 $(f_0,f_1)\mapsto f_0$ は、 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}$ 加群の同型 $\mathcal{O}(n)\to\mathcal{O}(n\cdot\infty)$ を与える。
(2)　 $D'=D+\operatorname{div}(h)$ （ $h\in k(t)^\times$ ）なら、 $f\mapsto fh$ は同型 $\mathcal{O}(D')\to\mathcal{O}(D)$ を与える。
(3)　どの因子 $D$ についても $\mathcal{O}(D)\cong\mathcal{O}(\deg D)$ である。

第3回の系16 定理14の整域の場合

$A$ を整域とする。 $K$ の中で、次が成り立つ。

(1)　 $f\neq0$ なら $\mathcal{O}(D(f))=A_f$ 。
(2)　 $\mathcal{O}(\operatorname{Spec}A)=A$ 。
(3)　 $\mathcal{O}_P=A_P$ 。

どの点のまわりも、ある環 $A$ の $\operatorname{Spec}A$ （素イデアル全体に位相と構造層を載せた空間）と同じ形をしている空間。 $\operatorname{Spec}A$ を貼り合わせて作れる。零点集合では区別できない $x=0$ と $x^2=0$ の違いも扱える。連載第4回で定義している。

スキーム $X$ 上の $\mathcal{O}_X$ 加群の層で、各アフィン開集合 $\operatorname{Spec}A$ の上では、ある $A$ 加群 $M$ から局所化で作った層 $\widetilde{M}$ （ $D(f)$ の上の切断が $M_f$ ）と同型になるもの。構造層、可逆層 $\mathcal{O}(n)$ 、微分形式の層はどれも準連接層である。

すべてのイデアルが有限個の元で生成される可換環。イデアルの増大列 $J_1\subseteq J_2\subseteq\cdots$ が必ずどこかで止まる、と言っても同じ。

開集合 $U$ に対して、和集合がちょうど $U$ になる開集合の族 $\{V_i\}$ 。

演算が可換（ $a+b=b+a$ ）な群。演算を足し算で書くことが多い。例： $\mathbb{Z}^d$ 、 $\mathbb{Z}/q$ 、それらの直積。

加群（ベクトル空間でもよい）の準同型の列 $0\to U\xrightarrow{\alpha}V\xrightarrow{\beta}W\to0$ で、 $\alpha$ が単射、 $\beta$ が全射、 $\operatorname{Im}\alpha=\operatorname{Ker}\beta$ となるもの。このとき $W\cong V/U$ で、長さ（有限次元なら次元）について $\ell(V)=\ell(U)+\ell(W)$ 。

0 でない元どうしの積が0にならない可換環（ $ab=0$ なら $a=0$ または $b=0$ ）。例： $\mathbb{Z}$ 、体上の多項式環。 $A/P$ が整域であることと、 $P$ が素イデアルであることは同値。

既約な閉集合 $Z$ に対して、閉包がちょうど $Z$ になる点を $Z$ の生成点と呼ぶ。 $\operatorname{Spec}k[x,y]$ では、素イデアル $(0)$ に対応する点が平面全体の生成点になる。

体 $k$ で $1+1+\dots+1$ （ $p$ 個） $=0$ となる最小の正の整数 $p$ 。そのような $p$ がなければ標数0と言う。標数は0か素数で、 $\mathbb{F}_p$ の標数は $p$ 、 $\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ の標数は0。体でない環でも同じように定める（ $\mathbb{Z}$ の標数は0、 $\mathbb{Z}/6$ の標数は6）。0か素数になるのは体や整域の場合。

定数でない1変数多項式が、必ずその体の中に根をもつ体。例： $\mathbb{C}$ 。 $\mathbb{R}$ は代数閉体ではない（ $x^2+1$ に根がない）。代数閉体は必ず無限体である。

各点の上に1次元のファイバー（直線）が乗り、局所的には直積 $U\times\mathbb{A}^1$ の形をした空間。その切断の層が可逆層（局所的に $\mathcal{O}_X$ と同型な $\mathcal{O}_X$ 加群）で、2つはよく同じものとして扱われる。連載第11回で扱う。

大域切断 $\mathcal{F}\mapsto\mathcal{F}(X)$ のように完全性を一部しか保たない関手 $F$ から作る関手の列 $R^iF$ 。対象を入射的な対象の列で置き換えてから $F$ を施し、そのコホモロジーをとる。層のコホモロジー $H^i(X,-)$ は大域切断の右導来関手として定義される。逆に、射影的（自由）な分解を使うと左導来関手ができ、テンソル積の左導来関手が $\operatorname{Tor}_i$ である。

位相空間 $X$ のどんな開被覆からも、有限個を選んで $X$ を覆えること。 $\mathbb{R}^n$ の部分集合では、有界な閉集合であることと同値。例：球面はコンパクト、平面はコンパクトでない。

連結な複素1次元の多様体。各点のまわりが複素平面の円板と同じに見え、座標の取り替えが正則関数になっている。 $\mathbb{C}$ 上の非特異な射影曲線の複素数の点はコンパクトなリーマン面で、リーマン球面 $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ はその例。

極大イデアルがただ1つの可換環。極大イデアルに入らない元はすべて単元になる。例：素イデアル $P$ での局所化 $A_P$ （極大イデアルは $a/s$ （ $a\in P$ ）の全体）、 $k[x]/(x^2)$ 、 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 。

環 $A$ の上の加群（ $A$ 加群）とは、足し算について可換群で、 $A$ の元を掛けられ、分配法則などベクトル空間と同じ規則をみたすもの。体の上の加群はベクトル空間で、 $A$ のイデアルも $A$ 加群。

参考文献

R. ハーツホーン（高橋宣能・松下大介訳）, 『代数幾何学 2』, 丸善出版, 2012.
R. ハーツホーン（高橋宣能・松下大介訳）, 『代数幾何学 1』, 丸善出版, 2013.
R. ハーツホーン（高橋宣能・松下大介訳）, 『代数幾何学 3』, 丸善出版, 2012.