曲面の上にちょうど27本：3次曲面の直線

この記事の要点

直線が乗る条件: $d$ 次の曲面に直線が乗る条件は $d+1$ 個の式です。直線全体は4次元なので、3次曲面に乗る直線は有限個と見込めます。
27本: 非特異な3次曲面の上には、ちょうど27本の直線があります。各直線は、ほかのちょうど10本と交わります。フェルマー3次曲面 $x_0^3+x_1^3+x_2^3+x_3^3=0$ では、27本を式で書き出せます。
6点のブローアップ: $\mathbb{P}^2$ を一般の位置の6点でブローアップすると3次曲面になります。27本の内訳は、例外曲線6本、2点を通る直線15本、5点を通る円錐曲線6本です。
27本がすべて実数: クレブシュの3次曲面では27本がすべて実数で、回せる立体図に全部描けます。回すと、どの組が本当に交わり、どの組がすれ違うだけかが分かります。

証明は、ステップの流れだけを短く書いています。「詳しく」の付いた行をクリックすると、そのステップの詳しい説明が開きます。説明の中にも開ける行があります。
定義・命題・定理には、記事全体で通し番号を振っています。
もう少し詳しくは補足、専門的な話は先の回につながる話題です。どちらも開かずに読み進められます。
各ブロックの「AIに質問」を押すと、その部分の内容を入れた質問文で、お使いのAIを開けます。

前回の宿題

第19回では、 $\mathbb{P}^3$ の直線全体を1つの空間 $G(2,4)$ とみなしました（第19回の定義8）。直線はプリュッカー座標で $\mathbb{P}^5$ の点になり、その点全体は $\mathbb{P}^5$ の2次超曲面で、次元は4でした。

次元が4なので、直線に1つ条件を課すごとに、動ける次元が1つずつ減ります。「与えられた直線と交わる」は1つの条件で、4本の直線と交わる直線は有限個（一般には2本）になりました（第19回の定理14）。

第19回の最後に、3次曲面の上にはちょうど27本の直線があると予告しました。

第17回の2次曲面（この記事の座標では $x_0x_3=x_1x_2$ ）は、2つの直線の族で覆われていて、直線が無限にありました（第17回の命題8）。次数を1つ上げると、直線は有限個になります。

この記事では、まず直線が曲面に乗る条件を式で書き、次元を数えて「3次曲面では有限個」と見込みます。次に27本の定理を述べ、フェルマー3次曲面で27本を全部書き出します。最後に、6点のブローアップで27本の内訳を見て、27本がすべて実数のクレブシュ曲面を立体図で回します。

直線が曲面に乗る条件

この記事では $k$ を代数閉体とし、 $\mathbb{P}^3$ の点を斉次座標 $[x_0:x_1:x_2:x_3]$ で書きます。第5回と同じく、点の代表は $k^4$ の0でないベクトルで、定数倍の違いは無視します。標数は例ごとに断ります。

定義1 $\mathbb{P}^3$ の直線と曲面

(1)　1次独立な $P,Q\in k^4$ について、点 $[sP+tQ]$ （ $[s:t]\in\mathbb{P}^1$ ）の全体を $\mathbb{P}^3$ の直線と呼ぶ。これは、1次独立な2つの1次斉次式の共通零点と同じものである。

(2)　 $F\in k[x_0,x_1,x_2,x_3]$ を、同じ既約因子を2回以上含まない $d$ 次の斉次式（ $d\geq1$ ）とする。零点集合 $S=V_+(F)$ を $d$ 次の曲面と呼ぶ。 $d=2,3$ のとき2次曲面、3次曲面と呼ぶ。

直線 $L$ が曲面 $S$ に乗るかどうかは、 $F$ に $sP+tQ$ を代入すれば分かります。代入した式は $s,t$ の $d$ 次の斉次式で、係数は $d+1$ 個あります。

命題2 直線が曲面に乗る条件

$S=V_+(F)$ を $d$ 次の曲面、 $L=\{[sP+tQ]\}$ を直線とし、 $\varphi(s,t)=F(sP+tQ)$ と書く。

\varphi(s,t)=c_0s^d+c_1s^{d-1}t+\cdots+c_dt^d

\begin{aligned}\varphi(s,t) &= c_0s^d+c_1s^{d-1}t+\cdots+c_dt^d\end{aligned}

\begin{aligned}\varphi(s,t) &= c_0s^d+c_1s^{d-1}t+\cdots\\&\phantom{=}{} +c_dt^d\end{aligned}

(1)　 $L\subseteq S$ であることと、 $c_0=c_1=\cdots=c_d=0$ であることは同値である。

(2)　 $L\not\subseteq S$ なら、 $L\cap S$ は高々 $d$ 点で、重複も込めて数えるとちょうど $d$ 点である。

証明

(1) を示す。 $L\subseteq S$ は、すべての $[s:t]$ で $\varphi(s,t)=0$ となることである。 $k$ は無限体なので、これは $\varphi$ が多項式として0であること、つまり係数がすべて0であることと同値である。

$\varphi\neq0$ とする。 $\varphi(s,1)$ は0でない高々 $d$ 次の多項式なので、根は高々 $d$ 個である。無限体 $k$ にはそれ以外の $s$ があり、そこで $\varphi(s,1)\neq0$ となる。
(2) を示す。 $\varphi\neq0$ は $d$ 次の斉次式で、 $k$ は代数閉体なので、1次式 $d$ 個の積 $\prod_{i=1}^{d}(\beta_is-\alpha_it)$ に分かれる。 $L\cap S$ の点は、根 $[\alpha_i:\beta_i]$ に当たる点 $[\alpha_iP+\beta_iQ]$ である。

(2) は、第9回の「直線と $d$ 次曲線は $d$ 点で交わる」（第9回の定理10）の、空間の曲面版です。証明はずっと簡単で、2変数の斉次式が1次式に分かれることだけを使います。

例3 代入して確かめる

標数が3でない体で、 $F=x_0^3+x_1^3+x_2^3+x_3^3$ とする。 $\omega$ を1の原始3乗根とする（ $\omega^2+\omega+1=0$ ）。

(1)　直線 $x_0=-x_1,\ x_2=-x_3$ は $P=(1,-1,0,0)$ 、 $Q=(0,0,1,-1)$ で張られ、 $\varphi=s^3-s^3+t^3-t^3=0$ 。この直線は $V_+(F)$ に乗る。

(2)　直線 $x_0=x_1=0$ は $P=(0,0,1,0)$ 、 $Q=(0,0,0,1)$ で張られ、 $\varphi=s^3+t^3=(s+t)(s+\omega t)(s+\omega^2t)$ 。この直線は乗らず、3点 $[0:0:1:-1]$ 、 $[0:0:\omega:-1]$ 、 $[0:0:\omega^2:-1]$ で $V_+(F)$ と交わる。

(3)　2次曲面 $x_0x_3-x_1x_2$ と、 $\lambda\in k$ ごとの直線 $\{[s:t:\lambda s:\lambda t]\}$ では、 $\varphi=s\cdot\lambda t-t\cdot\lambda s=0$ 。 $\lambda$ を動かすと、乗っている直線が無限にある。

(3) の直線は、第17回の定義7の $L_{[1:\lambda]}$ です（第17回の行列 $Z$ の2つの列が $(1,\lambda)$ に比例します）。 $\lambda$ が1つの数で決まるので、この族は1次元です。

次元を数えてみます。直線全体 $G(2,4)$ は4次元で、 $L\subseteq S$ は $d+1$ 個の式 $c_0=\cdots=c_d=0$ です。式が互いに独立に効くとすると、乗っている直線の全体は $4-(d+1)=3-d$ 次元になると見込めます。

次数 $d$	条件の数 $d+1$	見込み $3-d$	実際
$1$ （平面）	$2$	$2$	平面の中の直線全体（ $\mathbb{P}^2$ の直線と同じく2次元）
$2$	$3$	$1$	非特異なら、1次元の族が2つ（第17回の命題8）
$3$	$4$	$0$	非特異なら、ちょうど27本（この記事）
$d\geq4$	$d+1$	負	一般の曲面には直線がない（後の補足）

3次曲面では条件の数と直線の空間の次元がちょうど釣り合い、乗っている直線は有限個と見込めます。次の定理は、この見込みが正しいこと、しかも本数が曲面によらず同じであることを述べています。

非特異な3次曲面の27本

平面曲線と同じく、曲面にも特異点を定めます。

定義4 曲面の特異点 [1, 演習5.8, p.51]

$S=V_+(F)\subseteq\mathbb{P}^3$ を曲面とする。点 $[a]\in S$ （ $a\in k^4$ ）で

\frac{\partial F}{\partial x_0}(a)=\frac{\partial F}{\partial x_1}(a)=\frac{\partial F}{\partial x_2}(a)=\frac{\partial F}{\partial x_3}(a)=0

\begin{aligned}\frac{\partial F}{\partial x_0}(a) &= \frac{\partial F}{\partial x_1}(a)\\&= \frac{\partial F}{\partial x_2}(a)\\&= \frac{\partial F}{\partial x_3}(a)\\&= 0\end{aligned}

となるとき、 $[a]$ を $S$ の特異点と呼ぶ。特異点がないとき $S$ は非特異であるという。

偏微分は斉次式なので、0になるかどうかは代表 $a$ の取り方によりません。平面曲線のときの第6回の命題17と同じ形です。

ハーツホーンの演習5.8 は、射影多様体の点が非特異であることを、生成元の偏微分の行列の階数で言い換えています。 $F$ が既約なら $I(S)=(F)$ なので、上の定義はその特別な場合です。

非特異な曲面 $V_+(F)$ は既約です。 $F=GH$ （ $G,H$ は定数でない）と分かれたとすると、射影次元定理から $V_+(G)\cap V_+(H)$ は空でなく[1, 定理7.2, p.66]、そこでは $\partial(GH)/\partial x_i=G\,\partial H/\partial x_i+H\,\partial G/\partial x_i=0$ となって特異点ができるからです。

定理5 3次曲面の27本の直線 [2, 定理4.9, p.154–155; 2, 注意4.7.1, p.152; 2, 注意4.10.1, p.158]

$k$ を代数閉体とし、 $S\subseteq\mathbb{P}^3$ を非特異な3次曲面とする。

(1)　 $S$ の上には、ちょうど27本の直線がある。

(2)　27本のどの1本も、残りの26本のうちちょうど10本と交わる。

この記事では証明しません。ハーツホーンは、 $\mathbb{P}^2$ を6点でブローアップした曲面について (1) を証明しています（定理4.9）。(2) は、注意4.10.1 の交わり方の表から数えられます。後半の節で、その内訳を見ます。

非特異な3次曲面がどれもこの形に書けることは、注意4.7.1 に古典的な結果として述べられています。ただしハーツホーンは証明せず、マーニンの本と永田の論文を挙げています。定数を数えるもう少し弱い議論は、注意4.7.2 にあります[2, 注意4.7.2, p.152]。

1本の直線 $\ell$ を含む平面で曲面を切ると、 $\ell$ と交わる直線の並び方が分かります。(3) では、定理の (2) を使います。

命題6 直線のまわりの5枚の平面

$S=V_+(F)$ を非特異な3次曲面、 $\ell\subseteq S$ を直線とする。

(1)　 $\ell$ を含む平面 $H$ について、 $H\cap S$ は $\ell$ と、 $H$ の中の2次曲線 $C$ の和である。

(2)　 $C$ が直線を含むなら、 $C$ は、 $\ell$ とも互いにも異なる2本の直線 $m,m'$ の和である。

(3)　 $\ell$ と交わる10本の直線は5組に分かれ、各組の2本は $\ell$ と同じ平面に乗る。そのような平面はちょうど5枚ある。

証明

(1) を示す。座標を取り替えて $H=V_+(x_3)$ 、 $\ell=V_+(x_3,x_2)$ とする。 $F(x_0,x_1,x_2,0)$ は $\ell$ の上で0なので $x_2$ で割り切れ、商が $C$ の式になる。

$F(x_0,x_1,x_2,0)$ は $H\cong\mathbb{P}^2$ の3次斉次式である。 $H\not\subseteq S$ なので0ではない（ $S$ は既約で、平面ではない）。 $x_2$ で割り切れることは、 $x_2=0$ を代入した2変数の3次式が、命題2(1) より0になることから分かる。

商 $q(x_0,x_1,x_2)$ は2次の斉次式で、 $H\cap S=V_+(x_2)\cup V_+(q)$ となる。平面の中で見ると、 $H\cap S$ は平面3次曲線 $V_+(x_2q)$ である。
(2) を示す。直線が2重に現れる、つまり $F(x_0,x_1,x_2,0)$ が1次式の2乗で割り切れるとすると、その直線の上に $S$ の特異点ができる。

2重の直線を、座標を取り替えて $V_+(x_3,x_2)$ とする（ $\ell$ 自身でも、 $\ell$ と別の直線でもよい）。 $F(x_0,x_1,x_2,0)=x_2^2\,n(x_0,x_1,x_2)$ （ $n$ は1次式）と書けるので、 $F-x_2^2n$ は $x_3$ で割り切れ、
$F=x_3\,Q(x_0,x_1,x_2,x_3)+x_2^2\,n(x_0,x_1,x_2)$ $\begin{aligned}F &= x_3\,Q(x_0,x_1,x_2,x_3)+x_2^2\,n(x_0,x_1,x_2)\end{aligned}$ $\begin{aligned}F &= x_3\,Q(x_0,x_1,x_2,x_3)\\&\phantom{=}{} +x_2^2\,n(x_0,x_1,x_2)\end{aligned}$
となる（ $Q$ は2次の斉次式）。直線の点 $a=(a_0,a_1,0,0)$ では、 $x_3$ と $x_2$ が0なので
$\frac{\partial F}{\partial x_0}(a)=\frac{\partial F}{\partial x_1}(a)=\frac{\partial F}{\partial x_2}(a)=0\qquad \frac{\partial F}{\partial x_3}(a)=Q(a_0,a_1,0,0)$ $\begin{gathered}\frac{\partial F}{\partial x_0}(a)=\frac{\partial F}{\partial x_1}(a)=\frac{\partial F}{\partial x_2}(a)=0\\\frac{\partial F}{\partial x_3}(a)=Q(a_0,a_1,0,0)\end{gathered}$ $\begin{aligned}\frac{\partial F}{\partial x_0}(a) &= \frac{\partial F}{\partial x_1}(a)\\&= \frac{\partial F}{\partial x_2}(a)\\&= 0\\[4pt]\frac{\partial F}{\partial x_3}(a) &= Q(a_0,a_1,0,0)\end{aligned}$
$Q(a_0,a_1,0,0)$ は $a_0,a_1$ の2次斉次式で、代数閉体ではいつも $(a_0,a_1)\neq(0,0)$ の零点をもつ（恒等的に0の場合も含む）。そこが特異点になり、 $S$ が非特異であることに反する。
よって、 $C$ が直線 $m$ を含めば $C=m\cup m'$ で、 $m,m',\ell$ は相異なる。
(3) を示す。 $\ell$ と交わる直線 $m$ について、 $\ell$ と $m$ で張られる平面 $H$ はただ1つで、(2) から $H\cap S=\ell\cup m\cup m'$ となる。 $m'$ も $\ell$ と交わる（同じ平面の2直線だから）。

こうして、 $\ell$ と交わる直線は、平面 $H$ ごとに2本ずつの組に分かれる。2本の直線が1つの平面を決めるので、1本の直線が2つの組に入ることはない。定理5(2) から $\ell$ と交わる直線は10本なので、組は5つ、平面は5枚である。

(1) の平面3次曲線 $H\cap S$ が直線3本に分かれる平面を、3重接平面と呼びます。27本の直線はそれぞれ5枚の3重接平面に乗り、1枚には3本が乗るので、3重接平面は全部で $27\cdot5/3=45$ 枚あります。

フェルマー3次曲面の27本

定理5を、方程式が一番簡単な例で確かめます。

命題7 フェルマー3次曲面の直線 [2, 演習4.16, p.164]

$k$ を標数が3でない代数閉体とし、 $S=V_+(x_0^3+x_1^3+x_2^3+x_3^3)$ とする。 $\zeta,\zeta'$ が1の3乗根 $1,\omega,\omega^2$ を動くとき、次の $3\times3\times3=27$ 本の直線を考える。

\begin{aligned} L^{(1)}_{\zeta,\zeta'}&:\ x_0=-\zeta x_1,\ \ x_2=-\zeta' x_3\\ L^{(2)}_{\zeta,\zeta'}&:\ x_0=-\zeta x_2,\ \ x_1=-\zeta' x_3\\ L^{(3)}_{\zeta,\zeta'}&:\ x_0=-\zeta x_3,\ \ x_1=-\zeta' x_2\end{aligned}

(1)　 $S$ は非特異である。

(2)　27本はどれも $S$ に乗り、互いに異なる。

(3)　27本のどれも、ほかのちょうど10本と交わる。

(4)　 $S$ の上の直線は、この27本ですべてである。

証明

(1) を示す。偏微分は $3x_i^2$ で、標数が3でないので、4つとも0になるのは $x_0=\cdots=x_3=0$ のときだけである。これは $\mathbb{P}^3$ の点ではない。
(2) のうち、乗ることを示す。 $\zeta^3=1$ なので、 $x_0=-\zeta x_1$ なら $x_0^3=-x_1^3$ 、 $x_2=-\zeta'x_3$ なら $x_2^3=-x_3^3$ で、和は0になる。 $L^{(2)},L^{(3)}$ も、組にする座標を替えるだけで同じである。
互いに異なることを示す。 $L^{(1)}_{\zeta,\zeta'}$ は2点 $[-\zeta:1:0:0]$ 、 $[0:0:-\zeta':1]$ を通り、この2点から $\zeta,\zeta'$ が読める。 $L^{(2)}$ ・ $L^{(3)}$ も同じで、種類の違う直線は通る座標の点が違う。

例えば $L^{(1)}_{\zeta,\zeta'}$ の上では $x_0+\zeta x_1$ がいつも0である。 $L^{(2)}_{\eta,\eta'}$ は点 $[-\eta:0:1:0]$ を通り、そこで $x_0+\zeta x_1=-\eta\neq0$ なので、 $L^{(1)}$ のどれとも異なる。ほかの組み合わせも同じように確かめられる。
(3) を示す。同じ種類の2本 $L^{(1)}_{\zeta,\zeta'}$ 、 $L^{(1)}_{\eta,\eta'}$ が交わるのは、 $\zeta=\eta$ か $\zeta'=\eta'$ のちょうど一方が成り立つときである。そういう直線は $2+2=4$ 本ある。

$\zeta=\eta$ なら、2本はどちらも平面 $x_0=-\zeta x_1$ に乗るので交わる。 $\zeta\neq\eta$ かつ $\zeta'\neq\eta'$ なら、共通の点は $x_0=x_1=0$ かつ $x_2=x_3=0$ となって、 $\mathbb{P}^3$ の点がない。
違う種類の2本 $L^{(1)}_{\zeta,\zeta'}$ 、 $L^{(2)}_{\eta,\eta'}$ が交わるのは $\eta\zeta'=\zeta\eta'$ のときで、 $\eta$ を決めると $\eta'$ が1つに決まる。 $L^{(2)}$ から3本、 $L^{(3)}$ からも同じく3本で、合計 $4+3+3=10$ 本である。

共通の点では $x_0=-\eta x_2$ 、 $x_1=-\eta'x_3$ 、 $x_0=-\zeta x_1$ 、 $x_2=-\zeta'x_3$ が成り立つ。 $x_3=0$ なら順に $x_2=x_1=x_0=0$ となるので、 $x_3=1$ としてよい。すると $x_2=-\zeta'$ 、 $x_1=-\eta'$ で、
$x_0=-\eta x_2=\eta\zeta'\qquad x_0=-\zeta x_1=\zeta\eta'$ $\begin{gathered}x_0=-\eta x_2=\eta\zeta'\\x_0=-\zeta x_1=\zeta\eta'\end{gathered}$ $\begin{aligned}x_0 &= -\eta x_2\\&= \eta\zeta'\\[4pt]x_0 &= -\zeta x_1\\&= \zeta\eta'\end{aligned}$
から $\eta\zeta'=\zeta\eta'$ を得る。逆にこれが成り立てば、点 $[\eta\zeta':-\eta':-\zeta':1]$ が両方に乗る。 $L^{(3)}_{\eta,\eta'}$ （ $x_0=-\eta x_3$ 、 $x_1=-\eta'x_2$ ）でも同じ計算で、条件は $\eta=\zeta\zeta'\eta'$ になる。
(4) は、(2) で異なる27本が見つかったことと定理5(1) から従う。

(3) は定理5(2) と一致します。(4) は定理に頼らなくても、計算機で $S$ の上の直線をすべて求めると、ちょうどこの27本になります（ $k=\mathbb{C}$ で、直線全体の空間のチャートごとに連立方程式を解いて確かめました）。

標数3では、 $x_0^3+x_1^3+x_2^3+x_3^3=(x_0+x_1+x_2+x_3)^3$ となり、曲面は平面 $x_0+x_1+x_2+x_3=0$ を3重にしたものになります。標数3を除いたのはこのためです。

L^{(1)}_{\zeta,\zeta'}

x_0=-\zeta x_1,\ x_2=-\zeta' x_3

\zeta'

\zeta

1

\omega

\omega^2

1

\omega

\omega^2

L^{(2)}_{\zeta,\zeta'}

x_0=-\zeta x_2,\ x_1=-\zeta' x_3

\zeta'

\zeta

1

\omega

\omega^2

1

\omega

\omega^2

L^{(3)}_{\zeta,\zeta'}

x_0=-\zeta x_3,\ x_1=-\zeta' x_2

\zeta'

\zeta

1

\omega

\omega^2

1

\omega

\omega^2

直線

L^{(1)}_{1,1}\colon x_0=-x_1,\ x_2=-x_3

それと交わる10本

実数の直線（3本）

図1具体例フェルマー3次曲面の27本を、式の種類

L^{(1)},L^{(2)},L^{(3)}

ごとに3×3のマス目に並べました（行が

\zeta

、列が

\zeta'

）。黒が

L^{(1)}_{1,1}

、オレンジがそれと交わる10本です。同じマス目では同じ行と同じ列の4本、ほかの2つのマス目では対角線の3本ずつになります（交わるかどうかは、図を作るプログラムで直線の式から計算しています）。破線の丸は

\zeta=\zeta'=1

の3本で、

k=\mathbb{C}

のとき実数の点からなる直線はこの3本だけです。

例8 $L^{(1)}_{1,1}$ のまわりの5枚の平面

$\ell=L^{(1)}_{1,1}\colon x_0+x_1=x_2+x_3=0$ を含む平面のうち、次の5枚が命題6の平面である。

\begin{aligned} &x_0+x_1=0\qquad x_2+x_3=0\\ &x_0+x_1+\zeta(x_2+x_3)=0\\ &\qquad(\zeta=1,\omega,\omega^2)\end{aligned}

(1)　平面 $x_0+x_1=0$ には $L^{(1)}_{1,\omega}$ 、 $L^{(1)}_{1,\omega^2}$ が乗る。この平面では $x_0^3+x_1^3=0$ なので、切り口は $x_2^3+x_3^3=(x_2+x_3)(x_2+\omega x_3)(x_2+\omega^2x_3)=0$ の3本である。

(2)　平面 $x_2+x_3=0$ には $L^{(1)}_{\omega,1}$ 、 $L^{(1)}_{\omega^2,1}$ が乗る。

(3)　平面 $x_0+x_1+\zeta(x_2+x_3)=0$ には $L^{(2)}_{\zeta,\zeta}$ と $L^{(3)}_{\zeta,\zeta}$ が乗る。例えば $L^{(2)}_{\zeta,\zeta}$ の上では $x_0+x_1=-\zeta x_2-\zeta x_3$ である。

(1) の3本は、どれも点 $[1:-1:0:0]$ を通ります。このように曲面の上の3本の直線が通る点を、エッカルト点と呼びます。図1では、(1)(2) の組がマス目の行と列に、(3) の組が対角線に当たります。

フェルマー3次曲面では、 $k=\mathbb{C}$ のとき実数の直線が3本しかありません。27本をすべて実数の直線として描くには、別の曲面が要ります。

クレブシュの曲面：27本がすべて実数

この節では、標数0の体（例えば $k=\mathbb{C}$ ）で考えます。 $\mathbb{P}^4$ の中で2つの式

x_0+x_1+x_2+x_3+x_4=0\qquad x_0^3+x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3=0

\begin{gathered}x_0+x_1+x_2+x_3+x_4=0\\x_0^3+x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3=0\end{gathered}

\begin{aligned}x_0+x_1+x_2+x_3+x_4 &= 0\\[4pt]x_0^3+x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3 &= 0\end{aligned}

が定める集合を考えます。1つ目の式は超平面 $\mathbb{P}^3$ を定め、 $x_4=-(x_0+x_1+x_2+x_3)$ を2つ目に代入すると、 $\mathbb{P}^3$ の3次曲面

\begin{aligned} &x_0^3+x_1^3+x_2^3+x_3^3\\ &\quad-(x_0+x_1+x_2+x_3)^3=0 \end{aligned}

になります。これをクレブシュの3次曲面（クレブシュの対角曲面）と呼びます。5つの座標の入れ替えで式が変わらないので、5個の文字の置換が曲面の対称性になります。

命題9 クレブシュ曲面の27本

$k$ を標数0の代数閉体、 $\phi=(1+\sqrt5)/2$ （ $\phi^2=\phi+1$ ）とする。

(1)　クレブシュの3次曲面は非特異である。

(2)　 $\{a,b,c,d,e\}=\{0,1,2,3,4\}$ について、直線 $x_a+x_b=x_c+x_d=x_e=0$ は曲面に乗る。このような直線は15本ある。

(3)　直線 $x_0+x_1+\phi x_4=x_3+x_4+\phi x_1=0$ （と $\sum x_i=0$ ）は曲面に乗る。その座標を入れ替えると、(2) と異なる12本の直線が得られる。

(4)　(2)(3) の27本が、曲面の上の直線のすべてである。どれも有理数と $\sqrt5$ で書けるので、 $k=\mathbb{C}$ のとき27本すべてが実数の直線である。

証明

(1) を示す。 $\mathbb{P}^3$ の式 $F=x_0^3+x_1^3+x_2^3+x_3^3-(x_0+x_1+x_2+x_3)^3$ の偏微分がすべて0になる点は、 $x_4=-(x_0+x_1+x_2+x_3)$ とおくと $x_0^2=x_1^2=\cdots=x_4^2$ をみたす。そういう点は $\sum x_i=0$ と両立しない。

$i=0,1,2,3$ について、偏微分は次のとおりである。
$\frac{\partial F}{\partial x_i}=3x_i^2-3(x_0+x_1+x_2+x_3)^2=3\bigl(x_i^2-x_4^2\bigr)$ $\begin{aligned}\frac{\partial F}{\partial x_i} &= 3x_i^2-3(x_0+x_1+x_2+x_3)^2\\&= 3\bigl(x_i^2-x_4^2\bigr)\end{aligned}$ $\begin{aligned}\frac{\partial F}{\partial x_i} &= 3x_i^2\\&\phantom{=}{} -3(x_0+x_1+x_2+x_3)^2\\&= 3\bigl(x_i^2-x_4^2\bigr)\end{aligned}$
標数0なので $3\neq0$ で、4つとも0なら $x_0^2=\cdots=x_4^2=\lambda$ となる。 $\lambda=0$ なら $x_0=\cdots=x_3=0$ で、 $\mathbb{P}^3$ の点ではない。 $\lambda\neq0$ なら各 $x_i$ は $\pm\mu$ （ $\mu^2=\lambda$ ）である。

このとき $x_0+\cdots+x_4=\mu\cdot(\pm1\pm1\pm1\pm1\pm1)$ で、5個の $\pm1$ の和は奇数なので0にならない。これは $x_4$ の決め方 $x_0+\cdots+x_4=0$ に反する。よって特異点はない。
(2) を示す。 $x_b=-x_a$ 、 $x_d=-x_c$ 、 $x_e=0$ なら、和も3乗の和も打ち消し合って0になる。 $e$ の選び方が5通り、残りの4つを2組に分ける分け方が3通りで、 $5\cdot3=15$ 本である。
(3) を示す。 $\alpha=1/\phi$ とおくと $\alpha^2+\alpha=1$ で、直線の点は $x=(s,\ t,\ -s+\alpha t,\ \alpha s-t,\ -\alpha(s+t))$ と書ける。3乗の和の $s^3,t^3$ の係数は打ち消し合い、 $s^2t,st^2$ の係数は $3\alpha(1-\alpha-\alpha^2)=0$ になる。

点が2つの式と $\sum x_i=0$ をみたすことは、代入すれば分かる（ $x_3+x_4+\phi x_1=\alpha s-t-\alpha s-\alpha t+\phi t=(\phi-1-\alpha)t=0$ 。 $\phi-1=1/\phi=\alpha$ による）。3乗の和を展開すると
$\begin{aligned} &s^3+t^3+(-s+\alpha t)^3\\ &\quad+(\alpha s-t)^3-\alpha^3(s+t)^3\\ &=(1-1+\alpha^3-\alpha^3)s^3\\ &\quad+3\alpha(1-\alpha-\alpha^2)s^2t\\ &\quad+3\alpha(1-\alpha-\alpha^2)st^2\\ &\quad+(1+\alpha^3-1-\alpha^3)t^3=0\end{aligned}$
座標を入れ替えた直線も、式の対称性から曲面に乗る。入れ替えで得られる直線がちょうど12本で、(2) の15本と重ならないことは、図を作るプログラムで確かめた。
(4) は、異なる27本が見つかったことと定理5(1) から従う。

(3) の直線の上には、例えば $s=1,\ t=0$ の点 $(1,0,-1,\alpha,-\alpha)$ があります。 $\alpha=1/\phi\approx0.618$ で、 $1+0-1+\alpha^3-\alpha^3=0$ と確かめられます。

クレブシュ曲面は、 $\mathbb{P}^2$ をうまく選んだ6点でブローアップした曲面でもあります。27本に名前を付けるため、先にブローアップの話をします。立体図は、その後の節で回します。

平面の6点のブローアップ

第7回では、平面の原点を、原点を通る直線の向き全体 $\mathbb{P}^1$ に取り替えました（第7回の定義2）。 $\mathbb{P}^2$ の点 $P_1,\dots,P_6$ のそれぞれで同じ操作をした曲面を $X$ とし、 $P_i$ の上の例外曲線を $E_i$ と書きます。

曲線 $C\subseteq\mathbb{P}^2$ については、 $P_i$ 以外の部分を持ち上げて閉包をとったものを、第7回と同じく狭義変換と呼びます（第7回の定義8）。

定義10 一般の位置にある6点 [2, 記法4.7.3, p.152–153]

$\mathbb{P}^2$ の相異なる6点 $P_1,\dots,P_6$ が一般の位置にあるとは、どの3点も1本の直線に乗らず、6点すべてが1つの2次曲線（円錐曲線）に乗ることもないことをいう。

3次の斉次式 $G(x_0,x_1,x_2)$ の係数は、単項式 $x_0^ax_1^bx_2^c$ （ $a+b+c=3$ ）の数だけあり、 $\binom{5}{2}=10$ 個です。「 $G$ が点 $P_i$ を通る」は係数の1次式1つなので、6点を通る3次式は、少なくとも $10-6=4$ 次元の空間をなします。

定理11 6点のブローアップは3次曲面 [2, 定理4.6, p.151; 2, 系4.7, p.151–152]

$k$ を代数閉体、 $P_1,\dots,P_6\in\mathbb{P}^2$ を一般の位置にある6点とする。6点を通る3次式の空間はちょうど4次元で、その基底 $G_0,\dots,G_3$ による写像

\begin{aligned} &\mathbb{P}^2\setminus\{P_1,\dots,P_6\}\longrightarrow\mathbb{P}^3\\ &p\longmapsto[G_0(p):G_1(p):{}\\ &\phantom{p\longmapsto[}G_2(p):G_3(p)] \end{aligned}

は、6点でのブローアップ $X$ から $\mathbb{P}^3$ への埋め込みに延び、像は非特異な3次曲面である。

ハーツホーンは、定理4.6 で $r\leq6$ 点の場合を扱い、系4.7 で $X$ が $\mathbb{P}^{9-r}$ の $9-r$ 次の曲面になることを示しています。 $r=6$ が3次曲面です。

この埋め込みで、平面の曲線がどんな次数の曲線に移るかは、ベズーの定理（第9回の定理12）で見当がつきます。 $\mathbb{P}^3$ の平面 $\sum a_jy_j=0$ を引き戻すと、6点を通る3次曲線 $\sum a_jG_j=0$ になります。 $a$ 次の平面曲線がこれと交わる $3a$ 点のうち、 $P_i$ で交わる分はブローアップで離れて数えなくなります。

ハーツホーンの命題4.8(e) と注意4.8.1 は、これを次の式にまとめています[2, 命題4.8, p.153; 2, 注意4.8.1, p.154]。 $P_i$ で重複度 $b_i$ の点をもつ既約な $a$ 次曲線の狭義変換は、 $\mathbb{P}^3$ の曲線として次数

3a-\sum_{i=1}^{6}b_i

をもちます。次数1の曲線が直線です。例えば、 $P_i,P_j$ を通る直線は $3\cdot1-1-1=1$ 、5点を通る円錐曲線は $3\cdot2-5=1$ で、どちらも直線に移ります。

定理12 27本の内訳 [2, 定理4.9, p.154–155]

定理11の3次曲面 $X$ の上の直線は、次の27本である。

(a)　例外曲線 $E_i$ （ $i=1,\dots,6$ ）：6本。

(b)　 $P_i$ と $P_j$ を通る直線の狭義変換 $F_{ij}$ （ $1\leq i<j\leq6$ ）： $\binom62=15$ 本。

$6+15+6=27$ です。(c) の円錐曲線は、5点を通る2次曲線がただ1つに決まることから決まります。5点のうち3点が1直線に乗らないので、その2次曲線は2本の直線に分かれません。

具体例として、正五角形の頂点 $P_1,\dots,P_5$ と中心 $P_6$ を取ります。座標は $P_{k+1}=(\cos(90^\circ+72^\circ k),\ \sin(90^\circ+72^\circ k))$ （ $k=0,\dots,4$ ）、 $P_6=(0,0)$ です（ $\mathbb{P}^2$ のアフィン部分 $U_0$ の座標）。

五角形のどの3頂点も1直線に乗らず、中心と2頂点が1直線に乗るのは向かい合う2頂点のときだけで、正五角形にはそういう組がありません。5頂点は円 $x^2+y^2=1$ に乗りますが、中心は乗らないので、6点は一般の位置にあります。

P_1

P_2

P_3

P_4

P_5

P_6

P_1

P_2

P_3

P_4

P_5

P_6

15本の直線

P_iP_j

5点を通る6つの円錐曲線

緑：

P_6

を通る5本　青：頂点どうしの10本

オレンジ：円

G_6

　紫：

G_1

　灰：

G_2,\dots,G_5

図2具体例正五角形の頂点

P_1,\dots,P_5

と中心

P_6

。左は2点を通る15本の直線で、狭義変換が

F_{ij}

になります。右は5点を通る6つの円錐曲線で、狭義変換が

G_j

になります。

G_6

（

P_6

を通らない）は外接円で、

G_1,\dots,G_5

（中心と4頂点を通る）はどれも双曲線です。図を作るプログラムで、各円錐曲線がちょうど5点を通ること、6点が一般の位置にあることを確かめています。

27本の交わり方は、名前から読めます。ハーツホーンの注意4.10.1 の表を書き写します（ $i,j,k,l$ は相異なる番号）。

命題13 27本の交わり方 [2, 注意4.10.1, p.158]

組	交わる条件	1本から見た相手
$E_i$ と $E_j$	交わらない	$0$
$E_i$ と $F_{jk}$	$i\in\{j,k\}$	$E_i$ に5本
$E_i$ と $G_j$	$i\neq j$	$E_i$ に5本
$F_{ij}$ と $F_{kl}$	$\{i,j\}\cap\{k,l\}=\varnothing$	$F_{ij}$ に $\binom42=6$ 本
$F_{ij}$ と $G_k$	$k\in\{i,j\}$	$F_{ij}$ に2本（ $G_i,G_j$ ）
$G_j$ と $G_k$	交わらない	$0$

合計すると、 $E_i$ は $5+5=10$ 本、 $F_{ij}$ は $E_i,E_j,G_i,G_j$ と6本の $F_{kl}$ で $10$ 本、 $G_j$ は $5+5=10$ 本と交わる。

平面の図で読むと、例えば $F_{ij}$ と $F_{kl}$ は、平面では直線 $P_iP_j$ と $P_kP_l$ の交点で交わります。番号が1つ共通なら、平面での交点は $P_i$ そのもので、ブローアップで向きの違う2点に分かれて交わらなくなります。

命題6の5枚の平面も名前で書けます。 $E_1$ と交わるのは $F_{1j}$ と $G_j$ （ $j=2,\dots,6$ ）で、 $F_{1j}$ と $G_j$ は互いに交わるので、 $\{F_{1j},G_j\}$ が5つの組です。

定義14 二重6 [2, 注意4.9.1, p.155–156]

$\mathbb{P}^3$ の12本の直線 $E_1,\dots,E_6,G_1,\dots,G_6$ が次をみたすとき、二重6（シュレーフリの二重6）と呼ぶ。 $E_i$ どうしは交わらず、 $G_j$ どうしも交わらず、 $E_i$ と $G_j$ は $i\neq j$ のとき、またそのときに限り交わる。

命題13の表から、27本のうちの $E_1,\dots,E_6,G_1,\dots,G_6$ は二重6です。ハーツホーンは、二重6はちょうど1つの非特異3次曲面に含まれることにも触れています。

E_1

G_1

E_2

G_2

E_3

G_3

E_4

G_4

E_5

G_5

E_6

G_6

交わらない

図3概念図二重6の交わり方です。点が直線を表し、線で結んだ2本だけが交わります（位置に意味はなく、結び方だけが意味をもちます）。上の

E_i

と下の

G_j

は、

i\neq j

なら交わり、真下の

G_i

とだけ交わりません。結び方は、次の節のクレブシュ曲面の直線の式から計算して確かめています。

専門的な話27本の対称性

27本のうち、互いに交わらない6本をどう選んでも、それを $E_1,\dots,E_6$ とする別のブローアップ $X\to\mathbb{P}^2$ があります[2, 命題4.10, p.156]。つまり $E_i$ という名前に特別な意味はなく、6本を選び直すと $F_{ij},G_j$ の名前も付け直されます。

交わり方を保つ27本の並べ替えの群の位数は、互いに交わらない6本を順に選ぶ数として $27\cdot16\cdot10\cdot6\cdot2\cdot1=51840$ になります[2, 注意4.10.1, p.158–159]。ハーツホーンは、この群がワイル群 $W(E_6)$ と同型で、位数25920の単純群を指数2の正規部分群として含むことに触れています。

27本を回して見る

図2の6点（正五角形の頂点と中心）でブローアップした3次曲面は、クレブシュ曲面と同型になります。図を作るプログラムでは、6点を通る3次式の基底で $\mathbb{P}^2$ を $\mathbb{P}^3$ に写し、射影変換でクレブシュ曲面に重ねています。

射影変換は、図2の平面で3本の直線 $P_iP_j$ が1点で交わる10か所（例えば $P_1P_6$ 、 $P_2P_3$ 、 $P_4P_5$ ）のうち5か所の行き先で決めました。像がクレブシュ曲面の方程式をみたすこと、27本が名前どおりに命題9の直線に移ること、交わり方が命題13の表と一致することを、数値計算で確かめています。

計算すると、二重6の $E_i,G_j$ が $\phi$ を含む12本に、 $F_{ij}$ が $x_a+x_b=x_c+x_d=x_e=0$ の15本に当たります。平面で3本の直線が1点で交わる10か所は、曲面の上の10個のエッカルト点になります。

立体図には、 $x_3\neq x_4$ の部分を、次の座標で描きます。

\begin{aligned} &(x,y,z)\\ &=\frac{0.55}{x_3-x_4}\Bigl(x_0-x_1,\ \frac{x_0+x_1-2x_2}{\sqrt3},{}\\ &\qquad\qquad x_3+x_4\Bigr)\end{aligned}

この座標では、 $x_0,x_1,x_2$ の巡回的な入れ替えが $z$ 軸のまわりの $120^\circ$ の回転に、 $x_3$ と $x_4$ の入れ替えが原点に関する点対称になります。曲面の対称性の一部が、図の対称性として見えます。

平面 $x_3=x_4$ が無限遠になるので、そこで交わる2本は平行に描かれます（第5回の例6と同じことです）。27本の中には、この平面に含まれる直線はありません。

ドラッグで回せます

クレブシュの3次曲面の上の27本の直線を、すべて描いています（曲面そのものは描いていません）。「真上」から見ると、120°回しても同じ形です。1枚の絵では多くの直線が交わって見えますが、回すと、本当に交わる組と、すれ違うだけの組（ねじれの位置）が見分けられます。

黒い直線 $F_{23}$ （ $x$ 軸）と交わる直線は、ちょうど10本です。同じ色の2本と $F_{23}$ は1枚の平面に乗っていて、その平面で曲面を切った切り口がこの3本です。「 $F_{23}$ に沿って」見ると、5枚の平面が原点を通る5本の直線に見えます。赤の2本 $F_{16},F_{45}$ は $x$ 軸と平行に描かれ、無限遠で $F_{23}$ と交わります。黒い点は残り8本との交点です（ $F_{15}$ と $F_{46}$ の交点は、どちらも原点で重なります）。

二重6です。青の6本 $E_1,\dots,E_6$ どうし、オレンジの6本 $G_1,\dots,G_6$ どうしは、どれも交わりません。 $E_i$ と $G_j$ は $i\neq j$ のときだけ交わります。その30個の交点のうち24個を黒い点で示しました。残りの6個は無限遠にあり、その組の2本は平行に描かれます。ラベルの $E_1$ と $G_1$ は、交わらない組です。

緑の15本 $F_{ij}$ は、 $x_a+x_b=x_c+x_d=x_e=0$ の形の直線です。黒い点では、3本が1点で交わります。そういう点は全部で10個あり、図の7個のほかに、無限遠に3個あります。

図4具体例クレブシュ曲面の上の27本の直線を、半径1.5の球の中の部分だけ描いた立体図です（曲面は描いていません）。各直線の点が曲面の方程式をみたすことを、生成時に確かめています。1つの向きから見ると多くの組が交わって見えますが、回すと、本当に交わる組とすれ違うだけの組が分かれます。「

F_{23}

に沿って」は直線

F_{23}

（

x

軸）の方向から見る視点で、

F_{23}

を含む5枚の平面がそれぞれ原点を通る直線に見えます。

段階「1本と交わる10本」の黒い直線 $F_{23}$ は、 $x_0+x_1=x_3+x_4=x_2=0$ で、図の $x$ 軸です。交わる10本は、表から $E_2,E_3,G_2,G_3$ と $F_{14},F_{15},F_{16},F_{45},F_{46},F_{56}$ で、5枚の平面の組は次のとおりです。

\{E_2,G_3\}\quad \{E_3,G_2\}\quad \{F_{14},F_{56}\}\quad \{F_{15},F_{46}\}\quad \{F_{16},F_{45}\}

\begin{gathered}\{E_2,G_3\}\\\{E_3,G_2\}\\\{F_{14},F_{56}\}\\\{F_{15},F_{46}\}\\\{F_{16},F_{45}\}\end{gathered}

同じ組の2本は同じ色で描きました。「 $F_{23}$ に沿って」を押すと、 $x$ 軸に沿って見ることになり、 $x$ 軸を含む平面はどれも原点を通る直線に重なります。5色がそれぞれ1本の直線の上に並ぶのが、命題6(3) の5枚の平面です。

$\{F_{15},F_{46}\}$ の平面は $z=0$ で、 $F_{15}$ 、 $F_{46}$ 、 $F_{23}$ の3本は原点で交わります。原点はエッカルト点の1つで、真上から見ると、3本は $120^\circ$ の回転で互いに移り合います。

段階「二重6」では、青の $E_i$ どうし、オレンジの $G_j$ どうしが、回すとどれもすれ違っていることが分かります。段階「15本の $F_{ij}$ 」では、10個のエッカルト点のそれぞれを15本のうち3本が通ります。10個のうち7個が図の中に見え、残りの3個は無限遠にあります。

特異な3次曲面と4次以上の曲面

定理5の「非特異」は外せません。特異点のある3次曲面では、直線が無限にあることも、27本より少ないこともあります。

例15 特異点のある3次曲面

(1)　標数が3でない体で、 $S=V_+(x_0^3+x_1^3+x_2^3)\subseteq\mathbb{P}^3$ とする（ $x_3$ を含まない）。 $S$ は、平面曲線 $x_0^3+x_1^3+x_2^3=0$ の上の錐で、頂点 $[0:0:0:1]$ で偏微分がすべて0になる。頂点と、平面曲線の各点 $[a_0:a_1:a_2:0]$ を結ぶ直線は $S$ に乗るので、直線は無限にある。

(2)　ケーリーの3次曲面 $S=V_+(x_1x_2x_3+x_0x_2x_3+x_0x_1x_3+x_0x_1x_2)$ は、4つの座標の点 $[1:0:0:0],\dots,[0:0:0:1]$ を特異点にもつ。 $S$ の上の直線は、6本の $x_i=x_j=0$ と、3本の $x_0+x_1=x_2+x_3=0$ 、 $x_0+x_2=x_1+x_3=0$ 、 $x_0+x_3=x_1+x_2=0$ の、合わせて9本である。

(1) の直線が乗ることは、点 $[sa_0:sa_1:sa_2:t]$ を代入すると $s^3(a_0^3+a_1^3+a_2^3)=0$ となることから分かります。(2) の9本が乗ることは代入で確かめられ、これ以外にないことと特異点が4つだけであることは、計算機で連立方程式を解いて確かめました。

次数を4以上に上げると、ふつうは直線がなくなります。最初の節の数え上げでは、 $d\geq4$ で見込みの次元が負でした。

専門的な話一般の4次以上の曲面には直線がない

$d$ 次の斉次式は $\binom{d+3}{3}$ 個の係数をもつので、 $d$ 次の曲面全体は $N=\binom{d+3}{3}-1$ 次元の射影空間 $\mathbb{P}^N$ の点とみなせます。 $d=3$ なら $N=19$ で、ハーツホーンの注意4.7.2 の定数の数え上げに出てくる数です[2, 注意4.7.2, p.152]。

直線と曲面の組で、直線が曲面に乗るものの集合 $\Sigma\subseteq G(2,4)\times\mathbb{P}^N$ を考えます。直線 $L$ を1つ決めると、 $L$ を含む曲面の式は、命題2の $d+1$ 個の1次式で決まる部分空間です。この $d+1$ 個は独立です（ $L=V_+(x_2,x_3)$ なら、式を $x_2=x_3=0$ に制限する写像が全射）。 $\Sigma$ は $G(2,4)$ の上に同じ次元の射影空間が並んだものなので既約で、次元を足して次のようになります[1, 演習3.22, p.130]。

\dim\Sigma=4+\bigl(N-(d+1)\bigr)=N+3-d

\begin{aligned}\dim\Sigma &= 4+\bigl(N-(d+1)\bigr)\\&= N+3-d\end{aligned}

\begin{aligned}\dim\Sigma &= 4\\&\phantom{=}{} +\bigl(N-(d+1)\bigr)\\&= N+3-d\end{aligned}

$d\geq4$ なら $\dim\Sigma<N$ なので、 $\Sigma$ を $\mathbb{P}^N$ に射影した像、つまり直線を含む曲面の全体は、 $\mathbb{P}^N$ 全体になりません。 $G(2,4)$ は射影多様体なので像は閉集合で[1, 定理4.9, p.141]、その外にある「一般の」曲面は直線を含みません。

「すべての」4次曲面ではありません。標数が2でない体では、フェルマー4次曲面 $x_0^4+x_1^4+x_2^4+x_3^4=0$ は、 $\varepsilon^4=\varepsilon'^4=-1$ について直線 $x_0=\varepsilon x_1,\ x_2=\varepsilon'x_3$ を含みます。 $d=3$ では $\dim\Sigma=N$ となり、非特異な3次曲面がどれも直線を含むこと（定理5）と釣り合っています。

27本の直線は、1849年にケーリーとサーモンが見つけました。ケーリーの論文の題は「3次曲面の3重接平面について」です^[3]。クレブシュの曲面は、その後1871年にクレブシュが調べた例です。

まとめ：曲面の上の直線

曲面	乗っている直線	この記事の例
非特異な2次曲面	1次元の族が2つ	$x_0x_3=x_1x_2$ の $\{[s:t:\lambda s:\lambda t]\}$ （第17回の定義7）
非特異な3次曲面	ちょうど27本、各1本が10本と交わる	フェルマー（実数は3本）、クレブシュ（27本とも実数）
6点のブローアップ	$E_i$ 6本、 $F_{ij}$ 15本、 $G_j$ 6本	正五角形の頂点と中心（クレブシュ曲面と同型）
特異点のある3次曲面	無限にあることも、少ないこともある	錐（無限）、ケーリーの曲面（9本）
一般の4次以上の曲面	ない	フェルマー4次曲面のような例外はある

3次曲面では、直線が乗る4つの条件と直線全体の4次元がちょうど釣り合い、本数は有限で、しかも曲面によらず27本でした。27本は、平面の6点、15本の直線、6つの円錐曲線から生まれ、その交わり方は名前だけで決まります。

第17回から第20回まで：射影空間の中の多様体

第17回からの4回は、射影空間の中に置いた多様体を見てきました。

第17回：セグレ埋め込みで $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ を2次曲面にし、2つの直線の族を見ました。
第18回：ヴェロネーゼ埋め込みで次数を上げ、有理正規曲線やヴェロネーゼ曲面を作りました。
第19回： $\mathbb{P}^3$ の直線全体を、プリュッカー座標で $\mathbb{P}^5$ の2次超曲面 $G(2,4)$ にしました。
第20回（この記事）：3次曲面の上の27本の直線を、 $G(2,4)$ の次元とブローアップで数えました。

2次曲面では直線が無限にあり、3次曲面では27本、一般の4次以上の曲面では0本です。どれも「直線全体の空間の中で、曲面に乗る直線がどれだけあるか」という1つの問いの答えでした。

この先に何を扱うかは、まだ決めていません。曲面の上の曲線の交点数（第7回のブローアップの例外曲線の自己交点数 $-1$ など）は自然な続きですが、予定は変わることがあります。

第19回の定義8 グラスマン多様体 $G(2,4)$

$\mathbb{P}^5$ の斉次座標を $[p_{01}:p_{02}:p_{03}:p_{12}:p_{13}:p_{23}]$ とする。

\begin{aligned} G(2,4)=V_+\bigl(&p_{01}p_{23}-p_{02}p_{13}\\ &+p_{03}p_{12}\bigr)\subseteq\mathbb{P}^5 \end{aligned}

をグラスマン多様体と呼ぶ。定理7により、 $G(2,4)$ の点は $\mathbb{P}^3$ の直線、つまり $k^4$ の2次元部分空間と1対1に対応する。

第19回の定理14 4本の直線と交わる直線

$k$ を代数閉体とし、 $L_1,L_2,L_3$ をどの2本もねじれの位置にある直線とする。命題13(1) により座標を取り替え、 $L_1,L_2,L_3$ を上の3本、 $Q$ を2次曲面 $x_0x_3=x_1x_2$ とする。 $L_4$ を $Q$ に含まれない直線とする。

(1)　 $L_1,\dots,L_4$ のすべてと交わる直線は、 $L_4\cap Q$ の点と1対1に対応する。
(2)　 $L_4\cap Q$ は1点か2点である。 $F=x_0x_3-x_1x_2$ を $L_4$ の点 $[\lambda u+\mu v]$ に制限した $\lambda,\mu$ の2次式が重根をもたなければ2点で、そのとき答えはちょうど2本である。

第17回の命題8 $Q$ の上の直線

(1)　 $\alpha\neq\alpha'$ なら $L_\alpha\cap L_{\alpha'}=\varnothing$ 、 $\beta\neq\beta'$ なら $M_\beta\cap M_{\beta'}=\varnothing$ 。
(2)　 $L_\alpha\cap M_\beta=\{\sigma(\alpha,\beta)\}$ 。
(3)　 $Q$ に含まれる直線は、ある $L_\alpha$ かある $M_\beta$ である。
(4)　 $Q$ の各点 $\sigma(\alpha,\beta)$ を通り $Q$ に含まれる直線は、 $L_\alpha$ と $M_\beta$ の2本だけである。

第9回の定理10 直線と曲線のベズーの定理

$k$ を代数閉体、 $F$ を次数 $d\geq1$ の斉次多項式、 $\ell$ を1次の斉次式とし、 $\ell$ は $F$ を割り切らないとする。直線 $L=V_+(\ell)$ について

\sum_{p\in L\cap V_+(F)}I_p(F,\ell)=d

\begin{aligned}\sum_{p\in L\cap V_+(F)}I_p(F,\ell) &= d\end{aligned}

第17回の定義7 2つの直線の族

$\alpha,\beta\in\mathbb{P}^1$ について

L_\alpha=\sigma\bigl(\{\alpha\}\times\mathbb{P}^1\bigr)\qquad M_\beta=\sigma\bigl(\mathbb{P}^1\times\{\beta\}\bigr)

\begin{gathered}L_\alpha=\sigma\bigl(\{\alpha\}\times\mathbb{P}^1\bigr)\\M_\beta=\sigma\bigl(\mathbb{P}^1\times\{\beta\}\bigr)\end{gathered}

\begin{aligned}L_\alpha &= \sigma\bigl(\{\alpha\}\times\mathbb{P}^1\bigr)\\[4pt]M_\beta &= \sigma\bigl(\mathbb{P}^1\times\{\beta\}\bigr)\end{aligned}

とおく。 $L_\alpha$ は $b\mapsto\alpha\,{}^t b$ という単射な線形写像 $k^2\to k^4$ の像なので、 $\mathbb{P}^3$ の直線である。 $M_\beta$ も同様である。式で書くと、列が $\alpha$ に比例する、行が $\beta$ に比例するという条件になる。

\begin{aligned} L_\alpha&=V_+\bigl(\alpha_1z_{00}-\alpha_0z_{10},{}\\ &\phantom{{}=V_+\bigl(}\alpha_1z_{01}-\alpha_0z_{11}\bigr),{}\\[4pt] M_\beta&=V_+\bigl(\beta_1z_{00}-\beta_0z_{01},{}\\ &\phantom{{}=V_+\bigl(}\beta_1z_{10}-\beta_0z_{11}\bigr)\end{aligned}

第6回の命題17

$F\in k[x_0,x_1,x_2]$ を $d$ 次の既約な斉次式、 $C=V_+(F)\subseteq\mathbb{P}^2$ とする。点 $P=[a_0:a_1:a_2]\in C$ が $C$ の特異点であることは、

\frac{\partial F}{\partial x_0}(a)=\frac{\partial F}{\partial x_1}(a)=\frac{\partial F}{\partial x_2}(a)=0\qquad(a=(a_0,a_1,a_2))

\begin{gathered}\frac{\partial F}{\partial x_0}(a)=\frac{\partial F}{\partial x_1}(a)=\frac{\partial F}{\partial x_2}(a)=0\\(a=(a_0,a_1,a_2))\end{gathered}

\begin{aligned}\frac{\partial F}{\partial x_0}(a) &= \frac{\partial F}{\partial x_1}(a)\\&= \frac{\partial F}{\partial x_2}(a)\\&= 0\\[4pt]&(a=(a_0,a_1,a_2))\end{aligned}

と同値である。さらに標数が $d$ を割り切らなければ、3つの偏微分が0になる点は自動的に $C$ の上にある。

第7回の定義2 原点でのブローアップ

$\mathbb{A}^2\times\mathbb{P}^1$ の閉集合

\begin{aligned} \widetilde{\mathbb{A}}^2&=V(xu_1-yu_0)\\ &=\bigl\{\,\bigl((x,y),[u_0:u_1]\bigr)\\ &\qquad\quad\bigm|xu_1=yu_0\,\bigr\} \end{aligned}

を、 $\mathbb{A}^2$ の原点 $O=(0,0)$ でのブローアップと呼ぶ。第1成分への写像を $\pi\colon\widetilde{\mathbb{A}}^2\to\mathbb{A}^2$ 、 $\bigl((x,y),[u_0:u_1]\bigr)\mapsto(x,y)$ と書き、 $E=\pi^{-1}(O)$ を例外曲線と呼ぶ。

第7回の定義8 全変換と狭義変換

$C\subseteq\mathbb{A}^2$ を原点 $O$ を通る閉集合とする。 $\pi^{-1}(C)$ を $C$ の全変換と呼ぶ。 $\pi^{-1}(C\setminus\{O\})$ の $\widetilde{\mathbb{A}}^2$ での閉包

\widetilde C=\overline{\pi^{-1}(C\setminus\{O\})}

\begin{aligned}\widetilde C &= \overline{\pi^{-1}(C\setminus\{O\})}\end{aligned}

を $C$ の狭義変換と呼ぶ。

第9回の定理12 ベズーの定理

$k$ を代数閉体とし、 $F,G$ を共通の因子をもたない、次数 $d,e$ の斉次多項式とする。 $V_+(F)\cap V_+(G)$ は有限集合で、

\sum_{p\in V_+(F)\cap V_+(G)}I_p(F,G)=de

\begin{aligned}\sum_{p\in V_+(F)\cap V_+(G)}I_p(F,G) &= de\end{aligned}

第5回の例6 交点の計算

(1)　 $k=\mathbb{R}$ 。平行な2直線 $y=2x+1$ 、 $y=2x-3$ は $\alpha=(1,2,-1)$ 、 $\beta=(-3,2,-1)$ で、

\begin{aligned} \alpha\times\beta&=\bigl(2\cdot(-1)-(-1)\cdot2,{}\\ &\qquad(-1)(-3)-1\cdot(-1),{}\\ &\qquad1\cdot2-2\cdot(-3)\bigr)\\ &=(0,4,8) \end{aligned}

なので、交点は $[0:4:8]=[0:1:2]$ である。

(2)　 $k$ を任意の体、 $b_1\neq b_2$ とする。 $y=mx+b_1$ と $y=mx+b_2$ は

\begin{aligned} &(-b_1,-m,1)\times(-b_2,-m,1)\\ &\quad=\bigl(0,\ b_1-b_2,\ m(b_1-b_2)\bigr) \end{aligned}

より、無限遠点 $[0:1:m]$ で交わる。

(3)　 $k=\mathbb{R}$ 。縦の2直線 $x=1$ 、 $x=3$ は $(-1,1,0)\times(-3,1,0)=(0,0,2)$ より $[0:0:1]$ で交わる。平行でない $y=x$ と $y=-x+2$ は $(0,-1,1)\times(-2,1,1)=(-2,-2,-2)$ より $[1:1:1]$ 、つまり平面の点 $(1,1)$ で交わる。

(4)　 $k=\mathbb{F}_5$ 。 $y=2x+1$ と $y=2x+3$ は (2) より $[0:1:2]$ で交わる。 $y=x+1$ と $y=3x$ は

\begin{aligned} &(-1,-1,1)\times(0,-3,1)\\ &\quad=(2,1,3)\\[4pt] &[2:1:3]=[3\cdot2:3\cdot1:3\cdot3]\\ &\quad=[1:3:4] \end{aligned}

より、平面の点 $(3,4)$ で交わる（ $2^{-1}=3$ を掛けた）。実際 $4=3+1$ 、 $4\equiv3\cdot3\pmod5$ である。

参考文献

R. ハーツホーン（高橋宣能・松下大介訳）, 『代数幾何学 1』, 丸善出版, 2013.
R. ハーツホーン（高橋宣能・松下大介訳）, 『代数幾何学 3』, 丸善出版, 2012.
A. Cayley, On the triple tangent planes of surfaces of the third order, The Cambridge and Dublin Mathematical Journal 4, 1849, pp. 118–132.