曲線の上の dx：微分形式と標準因子

この記事の要点

微分形式: 曲線の関数体の元 $f,g$ から作る式 $f\,dg$ の和です。規則は $d(f+g)=df+dg$ 、 $d(fg)=f\,dg+g\,df$ 、定数 $c$ について $dc=0$ の3つだけで、極限は使いません。
位数: 点 $P$ の一意化元 $t$ を使うと、微分形式は $\omega=h\,dt$ とただ1通りに書けます。 $\operatorname{ord}_P(\omega)=\operatorname{ord}_P(h)$ と定め、これは $t$ の選び方によりません。
標準因子: $\omega$ の零点と極を数えた因子 $\operatorname{div}(\omega)$ です。2つの微分形式の比は有理関数なので、標準因子の線形同値類と次数は曲線だけで決まります。
例: 射影直線では $\operatorname{div}(dt)=-2\infty$ で、次数は $-2$ です。楕円曲線の $dx/2y$ は零点も極ももたず、次数は $0$ です。平面4次曲線では次数が $4$ になります。

証明は、ステップの流れだけを短く書いています。「詳しく」の付いた行をクリックすると、そのステップの詳しい説明が開きます。説明の中にも開ける行があります。
定義・命題・定理には、記事全体で通し番号を振っています。
もう少し詳しくは補足、専門的な話は先の回につながる話題です。どちらも開かずに読み進められます。
各ブロックの「AIに質問」を押すと、その部分の内容を入れた質問文で、お使いのAIを開けます。

前回までの話

第12回では、楕円曲線 $y^2=x^3+ax+b$ の点を足し算しました。その最後に、曲線の種数とリーマン・ロッホの定理に向かうと予告しました。この記事はその準備で、曲線の上の微分 $dx$ を扱います。

使うのは第10回の言葉です。短く言い直しておきます。この記事では、 $k$ は代数閉体、曲線は $k$ 上の非特異な射影曲線 $C$ とし、その関数体（有理関数の全体）を $k(C)$ と書きます。

$C$ の点 $P$ での局所環 $\mathcal{O}_P$ は離散付値環です。その極大イデアル $M_P$ は1つの元 $t$ で生成され、この $t$ を $P$ での一意化元と呼びます（第10回の定義6。ハーツホーン和訳では局所パラメータ）。0でない有理関数 $f$ は、単元 $u\in\mathcal{O}_P$ と整数 $n$ を使って

f=t^n\,u\qquad(u\in\mathcal{O}_P^\times,\ n\in\mathbb{Z})

\begin{gathered}f=t^n\,u\\(u\in\mathcal{O}_P^\times,\ n\in\mathbb{Z})\end{gathered}

\begin{aligned}f &= t^n\,u\\[4pt]&(u\in\mathcal{O}_P^\times,\ n\in\mathbb{Z})\end{aligned}

とただ1通りに書けます。この $n$ が位数 $\operatorname{ord}_P(f)$ です。 $n>0$ なら $P$ は $n$ 位の零点、 $n<0$ なら $-n$ 位の極です。

位数を係数にして点を形式的に足したものが主因子です。0でない $f$ の零点と極は有限個で、主因子の次数は必ず0になります（第10回の定理17）[1, 系6.10, p.188]。

\operatorname{div}(f)=\sum_{P\in C}\operatorname{ord}_P(f)\,P\qquad \deg\operatorname{div}(f)=0

\begin{gathered}\operatorname{div}(f)=\sum_{P\in C}\operatorname{ord}_P(f)\,P\\\deg\operatorname{div}(f)=0\end{gathered}

\begin{aligned}\operatorname{div}(f) &= \sum_{P\in C}\operatorname{ord}_P(f)\,P\\[4pt]\deg\operatorname{div}(f) &= 0\end{aligned}

例えば第10回の例19では、 $y^2=x^3-x$ の無限遠点を $O$ として次のように求めました。

\operatorname{div}(x)=2(0,0)-2O\qquad \operatorname{div}(y)=(0,0)+(1,0)+(-1,0)-3O

\begin{gathered}\operatorname{div}(x)=2(0,0)-2O\\\operatorname{div}(y)=(0,0)+(1,0)+(-1,0)-3O\end{gathered}

\begin{aligned}\operatorname{div}(x) &= 2(0,0)-2O\\[4pt]\operatorname{div}(y) &= (0,0)+(1,0)+(-1,0)-3O\end{aligned}

\begin{aligned}\operatorname{div}(x) &= 2(0,0)-2O\\[4pt]\operatorname{div}(y) &= (0,0)+(1,0)+(-1,0)\\&\phantom{=}{} -3O\end{aligned}

\begin{aligned}\operatorname{div}(x) &= 2(0,0)-2O\\[4pt]\operatorname{div}(y) &= (0,0)+(1,0)\\&\phantom{=}{} +(-1,0)-3O\end{aligned}

主因子はどれも次数0で、曲線ごとの違いは見えません。この記事では、関数 $f$ の代わりに微分形式 $f\,dx$ の零点と極を数えます。こちらの因子は曲線ごとに決まった線形同値類に入り、その次数は射影直線で $-2$ 、楕円曲線で $0$ 、平面4次曲線で $4$ と、曲線によって変わります。

微分形式の定義

微分は、極限を使わずに計算規則だけで定義します。第6回の形式的な偏微分（第6回の定義1）と同じ考え方です。

定義1 ケーラー微分 [1, §II.8 定義, p.234]

$A$ を $k$ 上の環（ $k$ を含む環）とする。記号 $da$ （ $a\in A$ ）が生成する自由 $A$ 加群を、次の形の元で割った $A$ 加群を $\Omega_{A/k}$ と書き、 $A$ の $k$ 上の微分加群と呼ぶ。

d(a+b)-da-db\qquad d(ab)-a\,db-b\,da\qquad dc\quad(a,b\in A,\ c\in k)

\begin{gathered}d(a+b)-da-db\\d(ab)-a\,db-b\,da\\dc\\(a,b\in A,\ c\in k)\end{gathered}

写像 $d\colon A\to\Omega_{A/k}$ 、 $a\mapsto da$ も微分と呼ぶ。

3つの関係式は、和の微分、積の微分（ライプニッツ則）、定数の微分が0、という規則です。規則から、べきと逆数の微分の公式が出てきます。

d(a^n)=n\,a^{n-1}\,da\qquad d\Bigl(\frac1a\Bigr)=-\frac{da}{a^2}

\begin{gathered}d(a^n)=n\,a^{n-1}\,da\\d\Bigl(\frac1a\Bigr)=-\frac{da}{a^2}\end{gathered}

\begin{aligned}d(a^n) &= n\,a^{n-1}\,da\\[4pt]d\Bigl(\frac1a\Bigr) &= -\frac{da}{a^2}\end{aligned}

後の式は $a$ が単元のときの式で、 $0=d(1)=d\bigl(a\cdot a^{-1}\bigr)=a\,d(a^{-1})+a^{-1}\,da$ を $a$ で割れば出ます。ハーツホーンは $\Omega_{A/k}$ を普遍性で定義し、上の作り方をその存在の証明に使っています。

例2 多項式環と平面曲線 [1, 例8.2.1, p.235; 1, 命題8.4A, p.235]

(1)　 $A=k[x]$ なら $\Omega_{A/k}=A\,dx$ は $dx$ を基底とする自由加群で、 $f\in k[x]$ について $df=f'(x)\,dx$ （ $f'$ は形式的な微分）。

(2)　 $A=k[x,y]$ なら $\Omega_{A/k}=A\,dx\oplus A\,dy$ で、 $dF=F_x\,dx+F_y\,dy$ 。

(3)　 $F\in k[x,y]$ 、 $A=k[x,y]/(F)$ なら、 $\Omega_{A/k}$ は $dx,dy$ で生成され、関係式は $F_x\,dx+F_y\,dy=0$ だけである。

\begin{aligned} \Omega_{A/k}&=\bigl(A\,dx\oplus A\,dy\bigr)\\ &\quad\big/\bigl(F_x\,dx+F_y\,dy\bigr)\end{aligned}

例えば $y^2=x^3+ax+b$ の座標環では $2y\,dy=(3x^2+a)\,dx$ 、 $x^4+y^4=1$ の座標環では $4x^3\,dx+4y^3\,dy=0$ である。

証明

(1) 積の規則を繰り返すと $d(x^n)=nx^{n-1}dx$ で、和の規則から $df=f'(x)\,dx$ 。よって $dx$ が生成する。

$dx$ が自由な基底であることは、形式的な微分 $f\mapsto f'$ が $d$ の3つの規則をみたすことから分かる。 $g\,dx\mapsto g$ を送る写像 $\Omega_{A/k}\to A$ が矛盾なく定まり、 $dx$ の行き先が $1\neq0$ だからである。
(2) も同じで、 $F$ の単項式ごとに積の規則を使うと $dF=F_x\,dx+F_y\,dy$ 。
(3) $A$ では $F=0$ なので $dF=0$ 。これ以外の関係がないことは、ハーツホーンの命題8.4A（第二完全列）から従う。

(3) の関係式 $F_x\,dx+F_y\,dy=0$ は、第6回の接線の式 $F_x(p)(x-a)+F_y(p)(y-b)=0$ と同じ形です。微分 $dx,dy$ は、点を動かしたときの $x,y$ の1次の変化を表しています。

曲線の上の微分形式は、関数体で考えます。

定義3 有理微分形式

曲線 $C$ の関数体 $k(C)$ について、 $\Omega_{k(C)/k}$ の元を $C$ の有理微分形式（または単に微分形式）と呼ぶ。有理関数 $f_i,g_i$ を使って $\sum_if_i\,dg_i$ と書ける元である。

この記事の計算は、すべて次の命題をもとにしています。一意化元 $t$ の微分 $dt$ が、点のまわりの微分形式の基底になります。

命題4 [1, 命題8.7, p.236; 1, 定理8.8, p.237; 2, §IV.2, p.11]

$P$ を曲線 $C$ の点、 $t$ を $P$ での一意化元とする。

(1)　 $\Omega_{\mathcal{O}_P/k}$ は $dt$ を基底とする階数1の自由 $\mathcal{O}_P$ 加群である。とくに $g\in\mathcal{O}_P$ なら、 $dg=g'\,dt$ となる $g'\in\mathcal{O}_P$ がただ1つある。

(2)　 $\Omega_{k(C)/k}$ は $dt$ を基底とする1次元の $k(C)$ ベクトル空間である。よって0でない微分形式 $\omega$ は、0でない有理関数 $h$ を使って $\omega=h\,dt$ とただ1通りに書ける。

証明

$M_P/M_P^2$ から $\Omega_{\mathcal{O}_P/k}\otimes k$ への写像 $\bar g\mapsto dg\otimes1$ は同型である（ハーツホーンの命題8.7）。 $M_P/M_P^2$ は $\bar t$ で張られるので、右辺は $dt\otimes1$ で張られる。
$\Omega_{\mathcal{O}_P/k}$ は有限生成なので（系8.5）、中山の補題から $dt$ だけで生成される。
$\mathcal{O}_P$ は1次元の正則局所環なので、 $\Omega_{\mathcal{O}_P/k}$ は階数1の自由加群である（定理8.8。この定理は $k$ が完全体であることを仮定するが、代数閉体は完全体である）。1つの元で生成される階数1の自由加群なので、 $dt$ が基底になる。
(2) 微分加群は局所化と交換する（命題8.2A）。 $k(C)$ は $\mathcal{O}_P$ の商体なので $\Omega_{k(C)/k}=\Omega_{\mathcal{O}_P/k}\otimes k(C)=k(C)\,dt$ となる。

$g'$ を $dg/dt$ とも書きます。例えば射影直線の点 $a\in k$ では $t-a$ が一意化元で、 $d(t-a)=dt$ なので、 $dg/d(t-a)$ は普通の形式的な微分 $g'(t)$ です。

専門的な話第6回のザリスキー接空間とのつながり

証明の1つめのステップで使った同型 $M_P/M_P^2\cong\Omega_{\mathcal{O}_P/k}\otimes k$ は、第6回の定理12と同じものです。第6回では、関数 $g\in M_p$ に偏微分の値の組 $\bigl(\partial g/\partial x_j(p)\bigr)_j$ を対応させ、 $M/M^2$ を計算しました。

ここでの写像 $\bar g\mapsto dg\otimes1$ は、それを座標によらない形に書き直したものです。 $dg=\sum_j(\partial g/\partial x_j)\,dx_j$ の係数を点 $p$ で評価すると、第6回の $\theta(g)$ になります。

M/M^2\ \xrightarrow{\ \cong\ }\ \Omega_{\mathcal{O}_P/k}\otimes k(P)\qquad \bar g\longmapsto dg\otimes1\qquad (M/M^2)^\vee\cong T_P

\begin{gathered}M/M^2\ \xrightarrow{\ \cong\ }\ \Omega_{\mathcal{O}_P/k}\otimes k(P)\\\bar g\longmapsto dg\otimes1\\(M/M^2)^\vee\cong T_P\end{gathered}

\begin{aligned}&M/M^2\ \xrightarrow{\ \cong\ }\ \Omega_{\mathcal{O}_P/k}\otimes k(P)\\[4pt]&\bar g\longmapsto dg\otimes1\\[4pt](M/M^2)^\vee &\cong T_P\end{aligned}

つまり $\Omega$ の点 $P$ での「値」は、ザリスキー接空間の双対（余接空間）です。微分形式は、各点の接空間の上の1次関数を、点を動かしてつないだものだと言えます。曲線が非特異であることは、この空間がどの点でも1次元であること、つまり $\Omega_C$ が直線束であることと同じです[1, 定理8.15, p.241]。

微分形式の位数と因子

命題4(2) で、0でない微分形式は点ごとに $\omega=h\,dt$ と書けました。係数 $h$ の位数を $\omega$ の位数とします。

定義5 微分形式の位数

$\omega\neq0$ を曲線 $C$ の微分形式、 $P\in C$ 、 $t$ を $P$ での一意化元とし、 $\omega=h\,dt$ と書く。 $\operatorname{ord}_P(\omega)=\operatorname{ord}_P(h)$ と定め、 $\omega$ の $P$ での位数と呼ぶ。

命題6

$\operatorname{ord}_P(\omega)$ は一意化元 $t$ の選び方によらない。

証明

別の一意化元 $t_1$ をとる。 $t_1$ と $t$ はどちらも $M_P$ の生成元なので、単元 $u\in\mathcal{O}_P^\times$ を使って $t_1=u\,t$ と書ける。
$dt_1=e\,dt$ とすると $e$ は $\mathcal{O}_P$ の単元である。

積の規則と命題4(1) から、 $du=u'\,dt$ （ $u'\in\mathcal{O}_P$ ）として
$dt_1=d(ut)=u\,dt+t\,du=(u+t\,u')\,dt$ $\begin{aligned}dt_1 &= d(ut)\\&= u\,dt+t\,du\\&= (u+t\,u')\,dt\end{aligned}$
$e=u+t\,u'$ の点 $P$ での値は $u(P)\neq0$ なので、 $e$ は単元である。
$\omega=h\,dt=h_1\,dt_1$ なら $h=h_1e$ で、 $\operatorname{ord}_P(h)=\operatorname{ord}_P(h_1)+\operatorname{ord}_P(e)=\operatorname{ord}_P(h_1)$ 。

一意化元を取り替えても、係数は単元倍しか変わりません。単元の位数は0なので、位数は変わりません。

関数の位数と、その微分の位数の関係も見ておきます。 $t^n$ を微分すると $nt^{n-1}\,dt$ なので、位数がちょうど1下がります。ただし、標数が $n$ を割り切ると係数 $n$ が0になってしまいます。

補題7

$f$ を0でない有理関数とし、 $n=\operatorname{ord}_P(f)$ とする。 $n$ が $k$ の中で0でなければ（標数 $p>0$ なら $p\nmid n$ ）、 $\operatorname{ord}_P(df)=n-1$ である。

証明

$f=t^nu$ （ $u$ は単元）と書き、 $du=u'\,dt$ とすると、 $df=t^{n-1}(nu+t\,u')\,dt$ 。
$df=d(t^n)\,u+t^n\,du=n\,t^{n-1}u\,dt+t^nu'\,dt=t^{n-1}\bigl(n\,u+t\,u'\bigr)\,dt$ $\begin{aligned}df &= d(t^n)\,u+t^n\,du\\&= n\,t^{n-1}u\,dt+t^nu'\,dt\\&= t^{n-1}\bigl(n\,u+t\,u'\bigr)\,dt\end{aligned}$ $\begin{aligned}df &= d(t^n)\,u+t^n\,du\\&= n\,t^{n-1}u\,dt\\&\phantom{=}{} +t^nu'\,dt\\&= t^{n-1}\bigl(n\,u+t\,u'\bigr)\,dt\end{aligned}$
$n<0$ のときも、 $d(t^n)=nt^{n-1}dt$ は逆数の微分の公式から従う。
$nu+t\,u'$ の $P$ での値は $n\,u(P)\neq0$ なので単元で、位数は $n-1$ 。

例えば $\operatorname{ord}_P(f)=-1$ （1位の極）なら $df$ は2位の極、 $\operatorname{ord}_P(f)=-2$ なら（標数が2でなければ） $df$ は3位の極です。標数 $p$ の体では $d(t^p)=p\,t^{p-1}\,dt=0$ となり、補題の仮定が要ることが分かります。

定義8 微分形式の因子と標準因子 [2, §IV.1, p.4]

0でない微分形式 $\omega$ の因子を次で定める。

\operatorname{div}(\omega)=\sum_{P\in C}\operatorname{ord}_P(\omega)\,P

\begin{aligned}\operatorname{div}(\omega) &= \sum_{P\in C}\operatorname{ord}_P(\omega)\,P\end{aligned}

この形の因子を $C$ の標準因子と呼び、 $K$ （または $K_C$ ）と書く。 $\operatorname{div}(\omega)\geq0$ （すべての位数が0以上）のとき、 $\omega$ を正則な微分形式と呼ぶ。

命題9

$\omega\neq0$ を微分形式とする。

(1)　 $\operatorname{ord}_P(\omega)\neq0$ となる点 $P$ は有限個で、 $\operatorname{div}(\omega)$ は因子である。

(2)　0でない有理関数 $f$ について $\operatorname{div}(f\omega)=\operatorname{div}(f)+\operatorname{div}(\omega)$ 。

(3)　0でない微分形式 $\omega'$ をもう1つとると、 $\operatorname{div}(\omega')$ と $\operatorname{div}(\omega)$ は線形同値で、 $\deg\operatorname{div}(\omega')=\deg\operatorname{div}(\omega)$ である。

証明

(1) $\Omega_C$ は直線束なので、 $C$ は有限個の開集合 $U_i$ で覆われ、各 $U_i$ の上で $\Omega_C$ は1つの元 $\eta_i$ で生成される[1, 定理8.15, p.241]。

ハーツホーンの定理8.15は、非特異な多様体の $\Omega$ が、次元と同じ階数の局所自由層であることを述べている。曲線では階数1である。 $C$ は有限個のアフィン開集合で覆えるので、開集合 $U_i$ は有限個にとれる。
$\omega=h_i\,\eta_i$ （ $h_i\in k(C)$ ）と書くと、 $P\in U_i$ で $\operatorname{ord}_P(\omega)=\operatorname{ord}_P(h_i)$ である。0でない $h_i$ の零点と極は有限個なので、(1) が従う。

$\eta_i$ も $dt$ も、 $\Omega_{\mathcal{O}_P/k}$ の生成元である。生成元どうしの比は単元なので、 $\eta_i=e\,dt$ （ $e$ は単元）で、 $\omega=h_ie\,dt$ の位数は $\operatorname{ord}_P(h_i)$ である。
(2) $\omega=h\,dt$ なら $f\omega=fh\,dt$ で、 $\operatorname{ord}_P(fh)=\operatorname{ord}_P(f)+\operatorname{ord}_P(h)$ 。
(3) $\Omega_{k(C)/k}$ は1次元なので、 $\omega'=f\omega$ となる0でない有理関数 $f$ がある。(2) から $\operatorname{div}(\omega')-\operatorname{div}(\omega)=\operatorname{div}(f)$ で、主因子の次数は0である。

(3) から、標準因子は1つには決まりませんが、線形同値類としてはただ1つに決まります。とくに次数 $\deg K$ は曲線だけで決まる数です。

\omega'=f\,\omega\quad\Longrightarrow\quad\operatorname{div}(\omega')=\operatorname{div}(\omega)+\operatorname{div}(f)\qquad\deg\operatorname{div}(\omega')=\deg\operatorname{div}(\omega)

\begin{gathered}\omega'=f\,\omega\\\Longrightarrow \operatorname{div}(\omega')=\operatorname{div}(\omega)+\operatorname{div}(f)\\\deg\operatorname{div}(\omega')=\deg\operatorname{div}(\omega)\end{gathered}

\begin{aligned}\omega' &= f\,\omega\\[4pt]&\Longrightarrow \operatorname{div}(\omega')=\operatorname{div}(\omega)+\operatorname{div}(f)\\[4pt]\deg\operatorname{div}(\omega') &= \deg\operatorname{div}(\omega)\end{aligned}

関数の主因子は、どの曲線でも0と線形同値でした。標準因子は、曲線ごとに決まった別の類を指します。ここが関数との違いです。

射影直線の上の $dt$

射影直線 $\mathbb{P}^1$ は、 $t$ の直線と $s$ の直線を $s=1/t$ で貼り合わせたものでした（第4回の例10）。関数体は $k(t)$ で、点 $a\in k$ での一意化元は $t-a$ 、無限遠点 $\infty$ での一意化元は $s=1/t$ です。

$\infty$ で位数を計算するには、 $dt$ を $s$ で書き直します。逆数の微分の公式から次のようになります。

t=\frac1s\qquad dt=d\Bigl(\frac1s\Bigr)=-\frac{1}{s^2}\,ds

\begin{gathered}t=\frac1s\\dt=d\Bigl(\frac1s\Bigr)=-\frac{1}{s^2}\,ds\end{gathered}

\begin{aligned}t &= \frac1s\\[4pt]dt &= d\Bigl(\frac1s\Bigr)\\&= -\frac{1}{s^2}\,ds\end{aligned}

例10 $\mathbb{P}^1$ の微分形式

$k$ を代数閉体とする。 $\omega=h(t)\,dt$ を $s$ で書くと $\omega=-h(1/s)\,s^{-2}\,ds$ で、いくつかの $\omega$ の因子は次のようになる（最後の行は標数が2でないとする）。

$\omega$	$t$ の側	$s$ の側	$\operatorname{div}(\omega)$	次数
$dt$	零点も極もない	$-s^{-2}\,ds$	$-2\infty$	$-2$
$dt/t$	$0$ で1位の極	$-s^{-1}\,ds$	$-0-\infty$	$-2$
$t\,dt$	$0$ で1位の零点	$-s^{-3}\,ds$	$0-3\infty$	$-2$
$dt/(t^2-1)$	$\pm1$ で1位の極	$-ds/(1-s^2)$	$-(1)-(-1)$	$-2$

表の $0$ 、 $\infty$ 、 $(1)$ 、 $(-1)$ は点を表す（ $0-3\infty$ は「点 $0$ の1倍から点 $\infty$ の3倍を引いた因子」）。

証明

$t$ の側：点 $a$ では $d(t-a)=dt$ なので、 $h(t)\,dt$ の位数は $\operatorname{ord}_a(h)$ 。 $1,\ 1/t,\ t,\ 1/(t^2-1)$ の零点と極を読めばよい。
$s$ の側： $dt=-s^{-2}ds$ を代入する。 $\infty$ での位数は $s$ の何乗が残るかで読める。
$\frac{dt}{t}=s\cdot\Bigl(-\frac{ds}{s^2}\Bigr)=-\frac{ds}{s}\qquad t\,dt=\frac1s\cdot\Bigl(-\frac{ds}{s^2}\Bigr)=-\frac{ds}{s^3}$ $\begin{gathered}\frac{dt}{t}=s\cdot\Bigl(-\frac{ds}{s^2}\Bigr)=-\frac{ds}{s}\\t\,dt=\frac1s\cdot\Bigl(-\frac{ds}{s^2}\Bigr)=-\frac{ds}{s^3}\end{gathered}$ $\begin{aligned}\frac{dt}{t} &= s\cdot\Bigl(-\frac{ds}{s^2}\Bigr)\\&= -\frac{ds}{s}\\[4pt]t\,dt &= \frac1s\cdot\Bigl(-\frac{ds}{s^2}\Bigr)\\&= -\frac{ds}{s^3}\end{aligned}$ $\frac{dt}{t^2-1}=\frac{s^2}{1-s^2}\cdot\Bigl(-\frac{ds}{s^2}\Bigr)=-\frac{ds}{1-s^2}$ $\begin{aligned}\frac{dt}{t^2-1} &= \frac{s^2}{1-s^2}\cdot\Bigl(-\frac{ds}{s^2}\Bigr)\\&= -\frac{ds}{1-s^2}\end{aligned}$
最後の式の $1/(1-s^2)$ は $s=0$ で値1をとる単元なので、 $\infty$ での位数は0である。

4つとも、次数は $-2$ になりました。 $dt$ の $\infty$ での位数は、補題7からもすぐ分かります。 $\operatorname{ord}_\infty(t)=-1$ なので、 $\operatorname{ord}_\infty(dt)=-1-1=-2$ です。

数で見ると、 $t=100$ （ $s=0.01$ ）の近くで $t$ を $0.01$ 動かしても、 $s$ は約 $-0.000001$ しか動きません（ $ds=-s^2\,dt$ ）。逆に $s$ を基準にすると、 $dt=-s^{-2}\,ds$ の係数の大きさ $1/s^2=10000$ は、 $\infty$ に近づくほど大きくなります。これが $\infty$ での極です。

表の4つで次数がそろったのは偶然ではありません。

定理11 [1, 例8.20.1, p.248; 1, 例8.20.3, p.249]

$k$ を代数閉体とする。 $\mathbb{P}^1$ の0でない微分形式 $\omega$ について $\deg\operatorname{div}(\omega)=-2$ である。標準因子は $K=-2\infty$ にとれ、 $\mathbb{P}^1$ には0でない正則な微分形式がない。

証明

$\Omega_{k(t)/k}=k(t)\,dt$ なので、 $\omega=f\,dt$ （ $f\in k(t)$ 、 $f\neq0$ ）と書ける。

例2(1) から $\Omega_{k[t]/k}=k[t]\,dt$ で、局所化して $\Omega_{k(t)/k}=k(t)\,dt$ となる（命題4の証明の最後のステップと同じ）。 $dt\neq0$ である。
命題9(2) から $\operatorname{div}(\omega)=\operatorname{div}(f)+\operatorname{div}(dt)=\operatorname{div}(f)-2\infty$ 。
$\deg\operatorname{div}(f)=0$ なので、 $\deg\operatorname{div}(\omega)=-2$ 。

$\mathbb{P}^1$ ではこれを直接確かめられる。 $f=c\prod_i(t-a_i)^{n_i}$ （ $c\neq0$ 、 $a_i$ は相異なる）と分解すると、 $t$ の側の位数は $\operatorname{ord}_{a_i}(f)=n_i$ で、ほかの点では0である。

$\infty$ では、 $t-a_i=(1-a_is)/s$ で $1-a_is$ は単元なので、 $\operatorname{ord}_\infty(f)=-\sum_in_i$ となる（第4回の例16と同じ計算）。合計は $\sum_in_i-\sum_in_i=0$ 。
正則な $\omega\neq0$ があれば $\operatorname{div}(\omega)\geq0$ で次数が0以上になり、 $-2$ に反する。

もう少し詳しく標数

p

の注意

$k$ の標数が $p>0$ のとき、 $d(t^p)=p\,t^{p-1}\,dt=0$ です。 $t^p$ は定数でない関数なのに、微分が0になります。

このため、「 $dx$ を基準にとる」ときは、 $dx\neq0$ となる $x$ を選ぶ必要があります。射影直線なら $t$ で十分で、 $t^p$ は使えません。命題4が保証しているのは、一意化元 $t$ なら $dt\neq0$ だということです。

定理11はどの標数でも成り立ちます。証明に使ったのは $dt$ と $-s^{-2}ds$ の書き換えだけで、標数で割る操作がないからです。

$k=\mathbb{C}$ で見る：矢印が回る回数

$k=\mathbb{C}$ のとき、微分形式を矢印の場として描けます。点 $t$ での接ベクトルを、 $t$ から進む向きの複素数 $c$ で表します。微分形式 $\omega=h\,dt$ は、この接ベクトルに数 $h(t)\,c$ を返す「1次の物差し」です。

そこで、 $\omega$ で測ってちょうど1になる接ベクトル $v$ を各点に描きます。式で書くと次のとおりで、 $\omega$ の $n$ 位の極は $v$ の $n$ 位の零点に、 $\omega$ の零点は $v$ の極になります。

\omega(v)=1\qquad v=\frac{1}{h(t)}\,\frac{\partial}{\partial t}

\begin{gathered}\omega(v)=1\\v=\frac{1}{h(t)}\,\frac{\partial}{\partial t}\end{gathered}

\begin{aligned}\omega(v) &= 1\\[4pt]v &= \frac{1}{h(t)}\,\frac{\partial}{\partial t}\end{aligned}

$\omega=dt$ なら $v=\partial/\partial t$ で、 $t$ の地図ではどこでも同じ向き（実軸の正の向き）の矢印です。 $s$ の地図では $dt=-s^{-2}\,ds$ なので、同じ $v$ が $v=-s^2\,\partial/\partial s$ になります。

\operatorname{Re}t

\operatorname{Im}t

\operatorname{Re}s

\operatorname{Im}s

t

の地図：

\omega=1\cdot dt

s

の地図：

\omega=-s^{-2}\,ds

v=\partial/\partial t

：どこでも同じ向き

v=-s^2\,\partial/\partial s

：

s=0

で2回まわる

s=1/t

図1具体例射影直線の2枚の地図で、

\omega=dt

に対応する矢印

v

（

\omega(v)=1

）を描いた図です。矢印の長さはそろえ、向きだけを描いています。左の

t

の地図では矢印はすべて平行です。右の

s

の地図では、矢印の向きは複素数

-s^2

の向きで、原点

s=0

（点

\infty

）のまわりを1周する間に2回まわります。これが

\infty

での2位の極です。

2回まわる理由は、 $-s^2$ の偏角が $\pi+2\arg s$ だからです。一般に、 $v$ が $n$ 位の零点をもつ点のまわりでは、矢印は $n$ 回まわります。 $v$ が極をもつ点（ $\omega$ の零点）のまわりでは、逆向きにまわります。

2枚の地図を貼り合わせると、第4回のリーマン球面になります（第4回の例12）。球面の上に矢印を描くと、2枚の地図の見え方が1つの図にまとまります。

ドラッグで回せます

$\omega=dt$ 。矢印は $\omega(v)=1$ となるベクトル場 $v=\partial/\partial t$ の向きで、オレンジの線はその流れの線（ $t$ の地図で $\operatorname{Im}t$ が一定の直線を球面に移したもの）です。南極 $0$ のあたりでは矢印がそろって平行です。「北極の真上」から見ると、どの線も $\infty$ を通ってそこで接し、 $\infty$ のまわりを1周する間に矢印が2回まわります。これが $\infty$ での2位の極です。

$\omega=dt/t$ 。 $v=t\,\partial/\partial t$ は $0$ から湧き出して経線に沿って $\infty$ に流れ込みます。 $0$ と $\infty$ のまわりでは、矢印はそれぞれ1回ずつまわります（1位の極が2つ）。

$\omega=dt/(t^2-1)$ 。 $v=(t^2-1)\,\partial/\partial t$ は $1$ と $-1$ で0になり、流れの線は2点を通る大円です。 $\infty$ では矢印は止まらずに通り過ぎます。2つの極を $\infty$ に寄せていくと、 $dt$ の図になります（本文を参照）。

図2具体例リーマン球面（第4回の図2と同じ球面。南極が

t=0

、北極が

\infty

）の上に、

\omega(v)=1

となる矢印

v

の向きを描いた図です。線は

v

の流れの線です。「

dt

」で北極の真上から見ると、流れの線はすべて北極を通ってそこで接し、矢印は北極のまわりで2回まわります。「南極の真下」から見ると、

t

の地図の平行な矢印です。ほかの段階では、

dt/t

と

dt/(t^2-1)

の1位の極が2つずつ見えます。矢印の向きと流れの線が

v

と一致することは、図を作るプログラムで確かめています。

$dt/(t^2-1)$ の段階と見比べると、 $dt$ の2位の極は、1位の極が2つ寄り集まったものだと分かります。 $\omega_\varepsilon=dt/(1-\varepsilon^2t^2)$ は $t=\pm1/\varepsilon$ に1位の極をもち、 $\varepsilon\to0$ で2つの極が $\infty$ に寄って $\omega_0=dt$ になります（ $\varepsilon=1$ のときは $dt/(t^2-1)$ の $-1$ 倍です）。

定理11を図の言葉で言い直すと、どの微分形式でも、 $v$ の零点と極のまわりで矢印が回る回数（極では逆向きなので負に数える）を合計すると2になります。例えば $t\,dt$ では、 $v=t^{-1}\,\partial/\partial t$ が $0$ で極（ $-1$ 回）、 $\infty$ で3位の零点（3回）をもち、合計は2です。

専門的な話回る回数の合計と球面の形

図2の矢印の向きは、 $v$ の零点と極を除いた球面の上の連続な向きの場です。ポアンカレ・ホップの定理によると、閉じた曲面の上の向きの場では、向きが定まらない孤立した点のまわりで矢印が回る回数の合計は、曲面のオイラー標数に等しくなります。球面のオイラー標数は2です。

$\omega$ の $n$ 位の極では矢印が $n$ 回、 $n$ 位の零点では $-n$ 回まわるので、回る回数の合計は $-\deg\operatorname{div}(\omega)$ です。 $-\deg\operatorname{div}(\omega)=2$ は、この定理の特別な場合と見られます。穴が $g$ 個ある曲面のオイラー標数は $2-2g$ です。代数の側でも $\deg K=2g-2$ が成り立つことを、第16回で扱います。

楕円曲線の $dx/2y$

楕円曲線では、 $\deg K=0$ となる微分形式を具体的に書けます。その前に、平面曲線のどの点で $x$ が一意化元に使えるかを調べます。

命題12 平面曲線の一意化元

$f\in k[x,y]$ を既約多項式、 $C=V(f)$ とし、 $P=(x_0,y_0)$ を $C$ の非特異点とする。

(1)　 $f_y(P)\neq0$ なら、 $x-x_0$ は $P$ での一意化元である。

(2)　 $f_y(P)=0$ なら $f_x(P)\neq0$ で、 $y-y_0$ は $P$ での一意化元であり、 $\operatorname{ord}_P(x-x_0)\geq2$ である。

証明

$M_P/M_P^2$ は1次元で、 $\overline{x-x_0}$ と $\overline{y-y_0}$ で張られ、その間に関係 $f_x(P)\,\overline{x-x_0}+f_y(P)\,\overline{y-y_0}=0$ がある。

第6回の定理12の証明と第6回の例13(2) の計算である。 $f$ を $P$ のまわりで展開すると、 $f\equiv f_x(P)(x-x_0)+f_y(P)(y-y_0)\pmod{M^2}$ で、 $C$ の上では $f=0$ である。 $P$ は非特異なので $\dim M_P/M_P^2=1$ 。
(1) $f_y(P)\neq0$ なら $\overline{y-y_0}$ は $\overline{x-x_0}$ の定数倍なので、 $\overline{x-x_0}$ が $M_P/M_P^2$ を張る。とくに $x-x_0\in M_P\setminus M_P^2$ で、位数は1である。

離散付値環では $M_P^n$ は位数 $n$ 以上の元の全体なので、 $M_P\setminus M_P^2$ の元は位数がちょうど1で、一意化元である。
(2) $f_y(P)=0$ なら、非特異なので $f_x(P)\neq0$ 。(1) の $x$ と $y$ を入れ替えて $y-y_0$ が一意化元で、関係式から $\overline{x-x_0}=0$ 、つまり $x-x_0\in M_P^2$ 。

この命題は、第10回の命題9で直線の式を $x-x_0$ と $y-y_0$ にとった場合です。

図で言えば、 $f_y(P)=0$ は接線が縦になる点です。縦の接線をもつ点では、 $x$ は曲線に沿って2次以上でしか変わらないので、 $x-x_0$ は2位以上の零点になります。

以下、楕円曲線は $k$ の標数が2でも3でもないとして、次の形で考えます。

E\colon\ y^2=x^3+ax+b\qquad \Delta=-16(4a^3+27b^2)\neq0

\begin{gathered}E\colon\ y^2=x^3+ax+b\\\Delta=-16(4a^3+27b^2)\neq0\end{gathered}

\begin{aligned}E\colon\ y^2 &= x^3+ax+b\\[4pt]\Delta &= -16(4a^3+27b^2)\\&\neq 0\end{aligned}

斉次座標 $[X:Y:Z]$ （ $x=X/Z,\ y=Y/Z$ ）で書くと $Y^2Z=X^3+aXZ^2+bZ^3$ で、無限遠点は $O=[0:1:0]$ の1つだけです。座標の書き方は第10回と同じで、第5回・第9回の $[x_0:x_1:x_2]$ とは $x_0=Z$ 、 $x_1=X$ 、 $x_2=Y$ で対応します。第5回の座標では $O=[0:0:1]$ です（第12回は同じ座標を小文字で $[x:y:z]$ と書きました）。

$\Delta\neq0$ は、3次式 $x^3+ax+b$ が重根をもたないことと同じで、 $E$ が非特異であることを表します。

$y^2=x^3+ax+b$ を微分すると、例2(3) のとおり $2y\,dy=(3x^2+a)\,dx$ です。両辺を $2y(3x^2+a)$ で割ると、同じ微分形式の2通りの書き方が得られます。

\omega=\frac{dx}{2y}=\frac{dy}{3x^2+a}

\begin{aligned}\omega &= \frac{dx}{2y}\\&= \frac{dy}{3x^2+a}\end{aligned}

定理13 [2, 例1.3.6, p.6]

$k$ を標数が2でも3でもない代数閉体、 $E$ を上の楕円曲線とする。 $\omega=dx/2y$ はどの点でも零点も極ももたない。つまり $\operatorname{div}(\omega)=0$ で、 $E$ の標準因子は $K=0$ 、 $\deg K=0$ である。

証明

$y_0\neq0$ の点 $P=(x_0,y_0)$ ： $f=y^2-x^3-ax-b$ について $f_y(P)=2y_0\neq0$ なので、 $x-x_0$ が一意化元で、 $\omega=\tfrac1{2y}\,d(x-x_0)$ 。 $1/2y$ は $P$ で単元なので、位数は0。
$y_0=0$ の点： $f_x(P)=-(3x_0^2+a)\neq0$ なので $y$ が一意化元で、 $\omega=\tfrac1{3x^2+a}\,dy$ 。 $1/(3x^2+a)$ は $P$ で単元なので、位数は0。

$3x_0^2+a=0$ なら、 $x_0$ は $x^3+ax+b$ （ $y_0=0$ なので $x_0$ はその根）とその微分 $3x^2+a$ の共通の根で、重根になる。これは $\Delta\neq0$ に反する。
無限遠点 $O$ ： $u=x/y$ が一意化元で、 $\operatorname{ord}_O(x)=-2$ 、 $\operatorname{ord}_O(y)=-3$ である。

$Y\neq0$ の地図の座標 $u=X/Y$ 、 $w=Z/Y$ では、式は $w=u^3+auw^2+bw^3$ で、 $O$ は原点である。 $G=w-u^3-auw^2-bw^3$ の $w$ での偏微分は原点で1なので、命題12(1) から $u$ が一意化元である。

式を $w(1-auw-bw^2)=u^3$ と書き直す。 $1-auw-bw^2$ は原点で値1の単元なので、 $\operatorname{ord}_O(w)=3$ 。よって $y=1/w$ の位数は $-3$ 、 $x=u/w$ の位数は $1-3=-2$ 。
標数は2でないので、補題7から $\operatorname{ord}_O(dx)=-2-1=-3$ 。 $\operatorname{ord}_O(2y)=-3$ なので、 $\operatorname{ord}_O(\omega)=-3-(-3)=0$ 。

証明の3つの場合は、使う一意化元で分かれています。縦の接線をもつ $y=0$ の点では $x$ が使えず $y$ を使い、無限遠点では $x/y$ を使います。どの場合も、 $\omega$ の係数は単元でした。

$\Delta\neq0$ （非特異）が効いているのは2つめの場合です。 $y=0$ の点で $3x^2+a$ が0にならないので、 $dy/(3x^2+a)$ の分母が消えません。

例14 $y^2=x^3-x$ での検算

$k=\mathbb{C}$ とし、 $E\colon y^2=x^3-x$ （ $a=-1,\ b=0,\ \Delta=64$ ）の点で $\omega=h\,dt$ の係数を求めると、次のようになる。

点 $P$	一意化元 $t$	$h$	$h(P)$
$(0,0)$	$y$	$1/(3x^2-1)=-1-3y^4-\cdots$	$-1$
$(\pm1,0)$	$y$	$1/(3x^2-1)$	$1/2$
$(2,\sqrt6)$	$x-2$	$1/2y$	$1/(2\sqrt6)$
$\bigl(-\tfrac1{\sqrt3},y_1\bigr)$	$x+\tfrac1{\sqrt3}$	$1/2y$	$1/(2y_1)$
$O$	$u=x/y$	$-1+2u^4+\cdots$	$-1$

ここで $y_1^2=\tfrac{2}{3\sqrt3}$ である。 $h(P)$ はどれも0でも $\infty$ でもない。

証明

$(0,0)$ の近くでは $x=x^3-y^2$ を繰り返し代入して $x=-y^2-y^6-\cdots$ 、 $3x^2-1=-1+3y^4+\cdots$ 。逆数をとって $h=-1-3y^4-\cdots$ 。
$x=-1/\sqrt3$ の点では $f_x=-(3x^2-1)=0$ である。命題12(2) で $x$ と $y$ を入れ替えた形から、 $x+1/\sqrt3$ が一意化元で、 $y-y_1$ は一意化元にならない。
$O$ の近くでは $w=u^3-uw^2$ を繰り返し代入して $w=u^3-u^7+\cdots$ 。これから $x=u/w=u^{-2}+u^2+\cdots$ 、 $y=1/w=u^{-3}+u+\cdots$ で、 $dx/2y=(-1+2u^4+\cdots)\,du$ 。
$dx=\bigl(-2u^{-3}+2u+\cdots\bigr)du\qquad 2y=2u^{-3}+2u+\cdots\qquad \frac{dx}{2y}=\frac{-1+u^4+\cdots}{1+u^4+\cdots}\,du=(-1+2u^4+\cdots)\,du$ $\begin{gathered}dx=\bigl(-2u^{-3}+2u+\cdots\bigr)du\\2y=2u^{-3}+2u+\cdots\\\frac{dx}{2y}=\frac{-1+u^4+\cdots}{1+u^4+\cdots}\,du=(-1+2u^4+\cdots)\,du\end{gathered}$ $\begin{aligned}dx &= \bigl(-2u^{-3}+2u+\cdots\bigr)du\\[4pt]2y &= 2u^{-3}+2u+\cdots\\[4pt]\frac{dx}{2y} &= \frac{-1+u^4+\cdots}{1+u^4+\cdots}\,du\\&= (-1+2u^4+\cdots)\,du\end{aligned}$
級数の計算は計算機でも確かめた（一般の $a,b$ では $x=u^{-2}-au^2-bu^4-\cdots$ 、 $dx/2y=(-1-2au^4+\cdots)\,du$ ）。

第10回の例19の $\operatorname{div}(y)$ とも合います。 $dx=2y\,\omega$ なので、 $\operatorname{div}(dx)=\operatorname{div}(y)+\operatorname{div}(\omega)=\operatorname{div}(y)$ です。

\operatorname{div}(dx)=(0,0)+(1,0)+(-1,0)-3O

\begin{aligned}\operatorname{div}(dx) &= (0,0)+(1,0)+(-1,0)-3O\end{aligned}

\begin{aligned}\operatorname{div}(dx) &= (0,0)+(1,0)+(-1,0)\\&\phantom{=}{} -3O\end{aligned}

\begin{aligned}\operatorname{div}(dx) &= (0,0)+(1,0)\\&\phantom{=}{} +(-1,0)-3O\end{aligned}

$y=0$ の3点 $(x_0,0)$ では、 $x-x_0$ が2位の零点をもちます（第10回の表の $\operatorname{ord}(x)$ と $\operatorname{ord}(x\mp1)$ ）。 $d(x-x_0)=dx$ なので、補題7から $dx$ はそこで1位の零点です。 $O$ では $x$ が2位の極なので、 $dx$ は3位の極です。どちらの計算も上の式と合っています。

$k=\mathbb{C}$ として実数の点だけを取り出し、 $\omega(v)=1$ となる接ベクトル $v$ を描いてみます。 $f=y^2-x^3-ax-b$ について、次の $v$ は曲線に接し、 $\omega(v)=dx(v)/2y=1$ をみたします。

v=2y\,\frac{\partial}{\partial x}+(3x^2+a)\,\frac{\partial}{\partial y}=f_y\,\frac{\partial}{\partial x}-f_x\,\frac{\partial}{\partial y}

\begin{aligned}v &= 2y\,\frac{\partial}{\partial x}+(3x^2+a)\,\frac{\partial}{\partial y}\\&= f_y\,\frac{\partial}{\partial x}-f_x\,\frac{\partial}{\partial y}\end{aligned}

\begin{aligned}v &= 2y\,\frac{\partial}{\partial x}\\&\phantom{=}{} +(3x^2+a)\,\frac{\partial}{\partial y}\\&= f_y\,\frac{\partial}{\partial x}-f_x\,\frac{\partial}{\partial y}\end{aligned}

$v=0$ となるのは $f_x=f_y=0$ の点、つまり特異点だけです。 $E$ は非特異なので、 $v$ は曲線のどこでも0になりません。

(0,0)

(-1,0)

(1,0)

x=-1/\sqrt3

O

へ（

x/y

が一意化元）

y^2=x^3-x

と

v=2y\,\partial_x+(3x^2-1)\,\partial_y

（

\omega(v)=1

）

y=0

の点：

y

が一意化元

3x^2-1=0

の点：

x+1/\sqrt3

が一意化元

図3具体例

y^2=x^3-x

の実数の点（黒）と、

\omega=dx/2y

に対して

\omega(v)=1

となる接ベクトル

v

（青い矢印。長さはそろえ、向きだけ）。オレンジの3点は

y=0

の点で、接線が縦なので

x

は一意化元にならず、

y

を使います。緑の2点は

3x^2-1=0

の点で、接線が横なので

y-y_0

が一意化元にならず、

x-x_0

を使います。そのほかの点ではどちらも使えます。矢印はどこでも0にならず、曲線を一定の向きにたどります。図を作るプログラムで、

v

が接していて0でないこと、

dx/2y=dy/(3x^2-1)

を確かめています。

零点も極もない微分形式があると、正則な微分形式がすべて分かります。

系15

$E$ の正則な微分形式は、 $\omega=dx/2y$ の定数倍 $c\,\omega$ （ $c\in k$ ）だけである。

証明

正則な $\omega'\neq0$ を $\omega'=f\omega$ と書くと、 $\operatorname{div}(f)=\operatorname{div}(\omega')\geq0$ で、 $f$ には極がない。
極のない有理関数は定数である。

点 $P$ をとり $c=f(P)$ とおく。 $g=f-c$ にも極がなく、 $g\neq0$ なら $P$ が零点なので $\deg\operatorname{div}(g)\geq1$ となり、主因子の次数が0であることに反する。よって $g=0$ 、 $f=c$ 。

射影直線では正則な微分形式が0だけ、楕円曲線では1次元でした。この次元が種数 $g$ で、射影直線は $g=0$ 、楕円曲線は $g=1$ です[2, 命題1.1, p.2]。

専門的な話複素数では

dx/2y=dz

$k=\mathbb{C}$ のとき、楕円曲線は複素平面を格子 $\Lambda$ で割ったトーラス $\mathbb{C}/\Lambda$ と同じものです。座標は、ワイエルシュトラスの $\wp$ 関数で $x=\wp(z)$ 、 $y=\wp'(z)/2$ と書けます（ $\wp'^2=4\wp^3-g_2\wp-g_3$ で、 $a=-g_2/4$ 、 $b=-g_3/4$ ）。

このとき $dx=\wp'(z)\,dz=2y\,dz$ なので、 $\omega=dx/2y=dz$ です。 $dz$ はトーラスのどこでも同じ形で、零点も極もありません。平行移動 $z\mapsto z+c$ で変わらないことも分かります。

トーラスの平行移動は、第12回の定義6の足し算を使った写像 $P\mapsto P+Q$ に当たります。 $\omega$ は、足し算で動かしても変わらない微分形式です（不変微分と呼ばれます）。

平面4次曲線：標準因子は直線との交点

次数が4の平面曲線では、標準因子の次数は正になります。フェルマー曲線で計算します。

例16 フェルマー4次曲線

$k$ を標数が2でない代数閉体とし、 $C\colon X^4+Y^4=Z^4$ （アフィン部分は $x^4+y^4=1$ ）、 $\omega=dx/y^3$ とする。無限遠の4点を $P_\zeta=[1:\zeta:0]$ （ $\zeta^4=-1$ ）と書くと、次が成り立つ。

\operatorname{div}(\omega)=\sum_{\zeta^4=-1}P_\zeta\qquad \deg K=4

\begin{gathered}\operatorname{div}(\omega)=\sum_{\zeta^4=-1}P_\zeta\\\deg K=4\end{gathered}

\begin{aligned}\operatorname{div}(\omega) &= \sum_{\zeta^4=-1}P_\zeta\\[4pt]\deg K &= 4\end{aligned}

さらに $i^2=-1$ として $\operatorname{div}(x\,\omega)=(0,1)+(0,-1)+(0,i)+(0,-i)$ で、これは $C$ と直線 $x=0$ の4つの交点である。

証明

$C$ は非特異である。 $f=x^4+y^4-1$ の偏微分 $4x^3,\ 4y^3$ が両方0になるのは原点だけで、原点は $C$ にない。無限遠の点は3つめのステップで調べる。

非特異な平面曲線は既約である。既約成分が2つあれば、ベズーの定理（第5回の定理12）から2つは交わり、交点では定義式の偏微分がすべて0になり、特異点になるからである（ $F=GH$ なら $\partial F=G\,\partial H+H\,\partial G$ ）。
アフィン部分では零点も極もない。 $4x^3dx+4y^3dy=0$ から $\omega=dx/y^3=-dy/x^3$ で、 $y\neq0$ の点では $x-x_0$ が、 $y=0$ の点（ $x^4=1$ ）では $y$ が一意化元になり、係数 $1/y^3$ か $-1/x^3$ が単元である。
無限遠点 $P_\zeta$ では位数1である。 $X\neq0$ の地図の座標 $z=Z/X$ 、 $w=Y/X$ で式は $1+w^4=z^4$ 、 $P_\zeta$ は $(z,w)=(0,\zeta)$ で、 $z$ が一意化元になる。

$1+w^4-z^4$ の $w$ での偏微分は $4\zeta^3\neq0$ なので、命題12(1) から $z$ が一意化元である（この点が非特異であることも分かる）。 $x=1/z$ 、 $y=w/z$ を代入すると
$\omega=\frac{dx}{y^3}=-\frac{dz}{z^2}\cdot\frac{z^3}{w^3}=-\frac{z}{w^3}\,dz$ $\begin{aligned}\omega &= \frac{dx}{y^3}\\&= -\frac{dz}{z^2}\cdot\frac{z^3}{w^3}\\&= -\frac{z}{w^3}\,dz\end{aligned}$
$w$ は $P_\zeta$ で値 $\zeta\neq0$ をとるので、位数は $\operatorname{ord}(z)=1$ 。
$x\,\omega$ ： $x=1/z$ は $P_\zeta$ で1位の極なので、 $x\omega$ の $P_\zeta$ での位数は $-1+1=0$ 。アフィン部分では $x$ の零点 $(0,\pm1)$ 、 $(0,\pm i)$ で位数1である。

$x$ の極は無限遠の4点の1位の極だけなので、 $\deg\operatorname{div}(x)=0$ から零点の位数の合計は4である。零点は相異なる4点 $(0,y)$ （ $y^4=1$ ）なので、どれも位数1になる。

同じ計算で、別の直線を使っても標準因子が作れます。 $k=\mathbb{C}$ で $\ell=x+y-1$ とすると、 $C$ との交点は次の4点で、 $\operatorname{div}(\ell\,\omega)$ はこの4点の和です。

\begin{aligned} &x^4+(1-x)^4-1\\ &\quad=2x(x-1)(x^2-x+2)\\[4pt] &x=0,\ 1,\ \frac{1\pm\sqrt{-7}}{2}\end{aligned}

$\ell=(1+w-z)/z$ は $P_\zeta$ で1位の極をもち（ $1+\zeta\neq0$ ）、 $\omega$ の1位の零点と打ち消し合います。4つの交点はどれも1位の零点です。 $x$ のときと同じく、 $\ell$ の極は無限遠の4点の1位の極だけなので、零点の位数の合計は4で、相異なる4点に1ずつ配られます。

2つの標準因子の差は、主因子 $\operatorname{div}(x/\ell)$ です。

\operatorname{div}(x\,\omega)-\operatorname{div}(\ell\,\omega)=\operatorname{div}\Bigl(\frac{x}{x+y-1}\Bigr)

\begin{aligned}\operatorname{div}(x\,\omega)-\operatorname{div}(\ell\,\omega) &= \operatorname{div}\Bigl(\frac{x}{x+y-1}\Bigr)\end{aligned}

x=0

x+y=1

(0,1)

(1,0)

(0,-1)

x^4+y^4=1

、

\omega=dx/y^3

\operatorname{div}(x\,\omega)

：

(0,\pm1)

と

(0,\pm i)

\operatorname{div}((x+y-1)\,\omega)

：

(1,0),\ (0,1)

と虚数の2点

図4具体例

x^4+y^4=1

の実数の点（黒）と、2本の直線

x=0

（青）、

x+y=1

（オレンジ）。

\operatorname{div}(x\,\omega)

は直線

x=0

との交点

(0,\pm1),(0,\pm i)

、

\operatorname{div}((x+y-1)\,\omega)

は直線

x+y=1

との交点

(1,0),(0,1)

と虚数の2点です。実数の点として見えるのは、どちらも4点のうち2点だけです。直線を動かすと標準因子が線形同値類の中で動きます。交点の座標と、交わりが接していないことは、図を作るプログラムで確かめています。

$\omega=dx/y^3$ 自身の因子 $\sum P_\zeta$ も、無限遠直線 $Z=0$ と $C$ の交点です。 $\ell$ を1次式とすると $\ell\,\omega$ は正則で、因子は直線 $\ell=0$ との交点（重複度こみ）になります。 $1,x,y$ は1次独立なので、正則な微分形式は少なくとも3次元あります。ちょうど3次元であること（ $\omega,\ x\,\omega,\ y\,\omega$ の1次結合で尽きること）は、第15回のリーマン・ロッホの定理で分かります。

4次曲線で起きたことは、一般の次数でも起きます。

定理17 [1, 例8.20.3, p.249]

$C\subseteq\mathbb{P}^2$ を次数 $d$ の非特異な平面曲線とする。標準因子は、 $C$ と直線の交点（重複度こみ、 $d$ 個）の $d-3$ 倍と線形同値で、 $\deg K=d(d-3)$ である。

$d=1,2$ では $C\cong\mathbb{P}^1$ で $\deg K=-2$ 、 $d=3$ では楕円曲線で $\deg K=0$ 、 $d=4$ では $\deg K=4$ です。どれもこの記事の計算と合います。

次数 $d$	例	$\deg K=d(d-3)$	正則な微分形式の次元
$1,\ 2$	直線、円錐曲線（ $\cong\mathbb{P}^1$ ）	$-2$	$0$
$3$	楕円曲線 $y^2=x^3+ax+b$	$0$	$1$
$4$	$x^4+y^4=1$	$4$	$3$
$5$	$x^5+y^5=1$	$10$	$6$

表の右の2列には $\deg K=2g-2$ の関係があります（ $g$ は最後の列の次元）[2, 例1.3.3, p.6]。これを使うと、平面曲線の種数は $g=(d-1)(d-2)/2$ になります。この式は第16回で扱います。

専門的な話一般の次数での計算の流れ

$C\colon F(X,Y,Z)=0$ を次数 $d$ の非特異曲線とし、 $f(x,y)=F(x,y,1)$ とします。アフィン部分では、楕円曲線と同じ議論で $\omega_0=dx/f_y=-dy/f_x$ に零点も極もありません。

無限遠の点 $P$ は、例えば $X\neq0$ の地図 $z=Z/X$ 、 $w=Y/X$ に入ります。 $g(w,z)=F(1,w,z)$ とおくと、 $x=1/z$ 、 $y=w/z$ で次のように書き直せます。

f_y(x,y)=z^{1-d}\,g_w(w,z)\qquad \omega_0=\frac{dx}{f_y}=-z^{d-3}\,\frac{dz}{g_w}

\begin{gathered}f_y(x,y)=z^{1-d}\,g_w(w,z)\\\omega_0=\frac{dx}{f_y}=-z^{d-3}\,\frac{dz}{g_w}\end{gathered}

\begin{aligned}f_y(x,y) &= z^{1-d}\,g_w(w,z)\\[4pt]\omega_0 &= \frac{dx}{f_y}\\&= -z^{d-3}\,\frac{dz}{g_w}\end{aligned}

$dz/g_w$ はこの地図の中で零点も極もないので、 $\operatorname{ord}_P(\omega_0)=(d-3)\operatorname{ord}_P(z)$ です。 $z$ は無限遠直線の式なので、 $\operatorname{ord}_P(z)$ は $P$ での $C$ と無限遠直線の交点重複度になり、ベズーの定理（第5回の定理12）から合計は $d$ です。

フェルマー曲線では $f_y=4y^3$ なので $dx/y^3=4\omega_0$ で、 $d-3=1$ です。層の言葉では $\Omega_C\cong\mathcal{O}_C(d-3)$ と書けます[1, 例8.20.3, p.249]。

標準層と直線束

ここまでは1つの微分形式 $\omega$ の因子を見てきました。微分形式を開集合ごとに集めると層になります。

開集合 $U$ の上で正則な微分形式（ $U$ の点で位数が0以上のもの）の全体を $\Omega_C(U)$ とすると、 $\Omega_C$ は直線束（階数1の局所自由層）です[1, 定理8.15, p.241]。曲線では、これがハーツホーンの標準層 $\omega_C$ です[1, §II.8 定義, p.246]。全体の切断 $\Gamma(C,\Omega_C)$ は、正則な微分形式の全体です。

第11回の定義12では、 $\mathbb{P}^1$ の因子 $D$ から直線束 $\mathcal{O}(D)$ を作りました。同じ式で、どの曲線の因子からも直線束が作れます。 $K=\operatorname{div}(\omega)$ のとき、 $f\mapsto f\omega$ が同型を与えます。

\mathcal{O}(K)\ \xrightarrow{\ \cong\ }\ \Omega_C\qquad f\longmapsto f\,\omega\qquad\bigl(\operatorname{div}(f)+K\geq0\iff\operatorname{div}(f\omega)\geq0\bigr)

\begin{gathered}\mathcal{O}(K)\ \xrightarrow{\ \cong\ }\ \Omega_C\\f\longmapsto f\,\omega\\\bigl(\operatorname{div}(f)+K\geq0\iff\operatorname{div}(f\omega)\geq0\bigr)\end{gathered}

射影直線では $K=-2\infty$ なので $\Omega_{\mathbb{P}^1}\cong\mathcal{O}(-2)$ で、第11回の定義6の $\mathcal{O}(n)$ で $n=-2$ としたものです[1, 例8.20.1, p.248]。 $\mathcal{O}(-2)$ に0でない大域切断がないこと（第11回の定理7）は、定理11の「正則な微分形式がない」と同じ内容です。

貼り合わせの式で確かめます。微分形式を $t$ の地図で $f\,dt$ 、 $s$ の地図で $g\,ds$ と書くと、 $dt=-t^2\,ds$ なので、重なりでは $f=-t^{-2}g$ です。第11回の $\mathcal{O}(-2)$ の貼り合わせ $f=t^{-2}g$ とは符号だけが違い、 $s$ の側で $g$ を $-g$ に取り替えれば一致します。図1の2枚の地図の矢印の違いは、この貼り合わせ方を表しています。

まとめ：微分形式で曲線を見分ける

曲線	微分形式 $\omega$	$\operatorname{div}(\omega)$	$\deg K$	正則な微分形式
$\mathbb{P}^1$	$dt$	$-2\infty$	$-2$	$0$ だけ
楕円曲線	$dx/2y$	$0$	$0$	$c\,dx/2y$ （1次元）
$x^4+y^4=1$	$dx/y^3$	無限遠の4点	$4$	$(\alpha x+\beta y+\gamma)\,dx/y^3$ （3次元）
$d$ 次の平面曲線	$dx/f_y$	無限遠直線との交点の $d-3$ 倍	$d(d-3)$	$(d-1)(d-2)/2$ 次元

微分形式は、一意化元 $t$ を使えば各点で $h\,dt$ と書け、 $h$ の位数がその点での位数でした。地図を取り替えると $dt=-s^{-2}\,ds$ のように係数が変わり、そこから零点と極が生まれます。

2つの微分形式の比は有理関数なので、標準因子は線形同値類として1つに決まり、次数は曲線の不変量になります。関数の主因子がどの曲線でも次数0だったのに対し、標準因子の次数は $-2,\ 0,\ 4,\dots$ と曲線ごとに違います。

次回：層のコホモロジー

正則な微分形式の次元は、射影直線で0、楕円曲線で1、平面4次曲線で3でした。この数（種数）を、微分形式を使わずに、構造層 $\mathcal{O}_C$ だけから求める方法があります。

手がかりは、第4回の貼り合わせです。2枚の地図の上の関数を、重なりで食い違わないように貼り合わせられるかを考えます。貼り合わせられない食い違いを集めたものが $H^1(C,\mathcal{O}_C)$ で、その次元が種数に等しくなります。

次回は、2枚の開集合による被覆から層のコホモロジー $H^0$ と $H^1$ を定義し、射影直線の上の $\mathcal{O}(n)$ で計算します。この記事の $\Omega_{\mathbb{P}^1}\cong\mathcal{O}(-2)$ も、そこで別の顔を見せます。

第10回の定義6 一意化元と位数

$C$ を曲線、 $P$ を非特異点、 $v_P$ を離散付値環 $\mathcal{O}_P$ の離散付値とする。 $v_P(t)=1$ となる $t\in\mathcal{O}_P$ を $P$ での一意化元（局所パラメーター）と呼ぶ。0でない $f\in k(C)$ について $\operatorname{ord}_P(f)=v_P(f)$ を、 $f$ の $P$ での位数と呼ぶ。 $\operatorname{ord}_P(f)=n>0$ なら $f$ は $P$ で $n$ 位の零点をもち、 $n<0$ なら $-n$ 位の極をもつという。

第10回の定理17

$C$ を射影的な非特異曲線とする。0でない $f\in k(C)$ について $\deg\operatorname{div}(f)=0$ である。とくに次数は全射準同型 $\deg\colon\operatorname{Cl}(C)\to\mathbb{Z}$ を引き起こす。

第10回の例19 $x$ と $y$ の因子

$\bar E$ の上で、関数 $x,\ y$ の位数と主因子は次のようになる。

{}\begin{gathered} \begin{array}{c|cc} & (0,0) & (1,0) \\ \hline \operatorname{ord}(x) & 2 & 0 \\ \operatorname{ord}(x-1) & 0 & 2 \\ \operatorname{ord}(x+1) & 0 & 0 \\ \operatorname{ord}(y) & 1 & 1 \end{array}\\[8pt] \begin{array}{c|cc} & (-1,0) & O \\ \hline \operatorname{ord}(x) & 0 & -2 \\ \operatorname{ord}(x-1) & 0 & -2 \\ \operatorname{ord}(x+1) & 2 & -2 \\ \operatorname{ord}(y) & 1 & -3 \end{array} \end{gathered}

\operatorname{div}(x)=2(0,0)-2O\qquad \operatorname{div}(y)=(0,0)+(1,0)+(-1,0)-3O

\begin{gathered}\operatorname{div}(x)=2(0,0)-2O\\\operatorname{div}(y)=(0,0)+(1,0)+(-1,0)-3O\end{gathered}

\begin{aligned}\operatorname{div}(x) &= 2(0,0)-2O\\[4pt]\operatorname{div}(y) &= (0,0)+(1,0)+(-1,0)-3O\end{aligned}

\begin{aligned}\operatorname{div}(x) &= 2(0,0)-2O\\[4pt]\operatorname{div}(y) &= (0,0)+(1,0)+(-1,0)\\&\phantom{=}{} -3O\end{aligned}

\begin{aligned}\operatorname{div}(x) &= 2(0,0)-2O\\[4pt]\operatorname{div}(y) &= (0,0)+(1,0)\\&\phantom{=}{} +(-1,0)-3O\end{aligned}

表にない点では、4つの関数の位数はすべて0である。

第6回の定義1 形式的な偏微分

$k$ を体とする。 $f=\sum_{i,j}c_{ij}x^iy^j\in k[x,y]$ に対して

\frac{\partial f}{\partial x}=\sum_{i,j}i\,c_{ij}x^{i-1}y^j\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\sum_{i,j}j\,c_{ij}x^iy^{j-1}

\begin{gathered}\frac{\partial f}{\partial x}=\sum_{i,j}i\,c_{ij}x^{i-1}y^j\\\frac{\partial f}{\partial y}=\sum_{i,j}j\,c_{ij}x^iy^{j-1}\end{gathered}

\begin{aligned}\frac{\partial f}{\partial x} &= \sum_{i,j}i\,c_{ij}x^{i-1}y^j\\[4pt]\frac{\partial f}{\partial y} &= \sum_{i,j}j\,c_{ij}x^iy^{j-1}\end{aligned}

を $f$ の偏微分と呼び、 $f_x,\ f_y$ とも書く。 $n$ 変数の多項式でも同じように定める。

第6回の定理12

$Y\subseteq\mathbb{A}^n$ をアフィン多様体、 $p\in Y$ とし、 $\mathcal{O}_p$ の極大イデアルを $M$ とする。

(1)　 $\dim_kM/M^2+\operatorname{rank}J(p)=n$ で、 $(M/M^2)^\vee\cong T_pY$ である。

(2)　 $\dim_kM/M^2\geq\dim Y$ である。等号が成り立つことと、 $Y$ が $p$ で非特異であることと、 $\mathcal{O}_p$ が正則局所環であることは同値である。

第4回の例10 射影直線

$k$ を体とする。 $X_1=\operatorname{Spec}k[t]$ 、 $X_2=\operatorname{Spec}k[s]$ とし、開集合 $U_1=D(t)\cong\operatorname{Spec}k[t,1/t]$ 、 $U_2=D(s)\cong\operatorname{Spec}k[s,1/s]$ を、環の同型

k[s,1/s]\to k[t,1/t]\qquad s\mapsto 1/t

\begin{gathered}k[s,1/s]\to k[t,1/t]\\s\mapsto 1/t\end{gathered}

\begin{aligned}k[s,1/s] &\to k[t,1/t]\\[4pt]s &\mapsto 1/t\end{aligned}

が引き起こす同型 $\varphi\colon U_1\to U_2$ で貼り合わせる。こうしてできるスキームを、 $k$ 上の射影直線と呼び、 $\mathbb{P}^1$ と書く。

第4回の例16 無限遠点で正則な有理関数

$k$ を体とし、 $s=1/t$ で $k(s)=k(t)$ とみなす。無限遠点 $\infty=(s)$ での茎は $k[s]_{(s)}$ である。0でない多項式 $p,q\in k[t]$ について、

\frac{p(t)}{q(t)}\in k[s]_{(s)}\iff\deg p\leq\deg q

\begin{aligned}\frac{p(t)}{q(t)}\in k[s]_{(s)} &\iff \deg p\\&\leq \deg q\end{aligned}

が成り立つ。このとき $\infty$ での値（ $s=0$ を代入した値）は、 $\deg p<\deg q$ なら $0$ 、 $\deg p=\deg q$ なら最高次の係数の比である。例えば次のようになる（矢印の先は $\infty$ での値）。

t\notin k[s]_{(s)}\qquad \frac{1}{t-1}\mapsto0\qquad \frac{t}{t-1}\mapsto1\qquad \frac{2t^2+1}{t^2+3}=\frac{2+s^2}{1+3s^2}\mapsto2

\begin{gathered}t\notin k[s]_{(s)}\\\frac{1}{t-1}\mapsto0\\\frac{t}{t-1}\mapsto1\\\frac{2t^2+1}{t^2+3}=\frac{2+s^2}{1+3s^2}\mapsto2\end{gathered}

\begin{aligned}&t\notin k[s]_{(s)}\\[4pt]\frac{1}{t-1} &\mapsto 0\\[4pt]\frac{t}{t-1} &\mapsto 1\\[4pt]\frac{2t^2+1}{t^2+3} &= \frac{2+s^2}{1+3s^2}\\&\mapsto 2\end{aligned}

第4回の例12 $\mathbb{P}^1$ の複素数の点

$k=\mathbb{C}$ とする。点 $t\in\mathbb{C}$ に対応する球面の点は、北極からの射影を逆にたどって

t=u+iv\ \longmapsto\ (x,y,z)=\Bigl(\frac{2u}{|t|^2+1},\ \frac{2v}{|t|^2+1},\ \frac{|t|^2-1}{|t|^2+1}\Bigr)

\begin{aligned}t &= u+iv\ \longmapsto\ (x,y,z)\\&= \Bigl(\frac{2u}{|t|^2+1},\ \frac{2v}{|t|^2+1},\ \frac{|t|^2-1}{|t|^2+1}\Bigr)\end{aligned}

で求まる。いくつかの点で、斉次座標、2つの座標 $t,s$ 、球面の点を並べると次のようになる（「なし」はその座標が使えないことを表す）。

点	斉次座標	$t$	$s$	球面の点
$0$	$[1:0]$	$0$	なし	$(0,0,-1)=S$
$1$	$[1:1]$	$1$	$1$	$(1,0,0)$
$-1$	$[1:-1]$	$-1$	$-1$	$(-1,0,0)$
$i$	$[1:i]$	$i$	$-i$	$(0,1,0)$
$3$	$[2:6]=[1:3]$	$3$	$1/3$	$(3/5,0,4/5)$
$1+i$	$[1:1+i]$	$1+i$	$(1-i)/2$	$(2/3,2/3,1/3)$
$\infty$	$[0:1]$	なし	$0$	$(0,0,1)=N$

両方の座標がある行では $st=1$ である（例えば $i\cdot(-i)=1$ 、 $(1+i)(1-i)/2=1$ ）。

第6回の例13 $M/M^2$ の計算

(1)　結節点・尖点の原点。 $f=y^2-x^2-x^3$ も $f=y^2-x^3$ も $(x,y)^2$ に入るので、 $I+M_p^2=M_p^2$ となる。よって

M/M^2\cong(x,y)/(x,y)^2=k\,\bar x\oplus k\,\bar y

\begin{aligned}M/M^2 &\cong (x,y)/(x,y)^2\\&= k\,\bar x\oplus k\,\bar y\end{aligned}

は2次元で、曲線の次元1より大きい。

(2)　円 $x^2+y^2=1$ の点 $p=(3/5,4/5)$ （標数は2, 5でない）。 $u=x-3/5$ 、 $v=y-4/5$ とおくと $M_p=(u,v)$ で、

f=x^2+y^2-1=u^2+v^2+\frac65u+\frac85v\equiv\frac65u+\frac85v\pmod{M_p^2}

\begin{aligned}f &= x^2+y^2-1\\&= u^2+v^2+\frac65u+\frac85v\\&\equiv \frac65u+\frac85v\pmod{M_p^2}\end{aligned}

よって $M/M^2$ では $6\bar u+8\bar v=0$ 、つまり $\bar v=-\tfrac34\bar u$ で、 $M/M^2=k\,\bar u$ は1次元である。

(3)　ねじれ3次曲線の原点。 $y-x^2,\ z-x^3\in I$ で $x^2,x^3\in M_p^2$ なので $\bar y=\bar z=0$ となり、 $M/M^2=k\,\bar x$ は1次元である。

第10回の命題9 直線の式の位数

$F\in k[x,y]$ を既約多項式、 $C=V(F)$ 、 $P=(a,b)$ を $C$ の非特異点とする。 $(\alpha,\beta)\neq(0,0)$ について $\ell=\alpha(x-a)+\beta(y-b)$ とおく。 $\ell$ が $P$ での接線の式 $F_x(P)(x-a)+F_y(P)(y-b)$ の定数倍でなければ $\operatorname{ord}_P(\ell)=1$ 、定数倍なら $\operatorname{ord}_P(\ell)\geq2$ である。

第12回の定義6 足し算

$E$ の点 $P,Q$ に対して、 $P+Q=O\ast(P\ast Q)$ と定める。

第5回の定理12 ベズーの定理

$k$ を代数閉体とし、 $Y,Z$ を $\mathbb{P}^2$ の相異なる既約な曲線で、次数がそれぞれ $d,e$ とする。交点を重複度こみで数えると、ちょうど $de$ 個である。

第11回の定義12 因子の可逆層

$k$ を代数閉体、 $D=\sum_Pn_PP$ を $\mathbb{P}^1$ の因子とする。開集合 $V$ について

\begin{aligned} \mathcal{O}(D)(V)={}&\{0\}\cup\bigl\{\,f\in k(t)^\times\bigm|{}\\ &\operatorname{ord}_P(f)+n_P\geq0\\ &\quad(P\in V)\,\bigr\} \end{aligned}

とおく（ $P$ は $V$ の閉点を動く）。これは $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}$ 加群である。

第11回の定義6 $\mathcal{O}(n)$

$k$ を体、 $n$ を整数とする。 $\mathbb{P}^1$ の被覆 $\{U_0,U_1\}$ と変換関数 $g_{01}=t^n\in k[t,1/t]^\times$ から定義4で作った可逆層を $\mathcal{O}(n)$ と書く。開集合 $V$ の上の切断は、組

(f_0,f_1)\qquad f_0\in\mathcal{O}(V\cap U_0)\quad f_1\in\mathcal{O}(V\cap U_1)\qquad f_0=t^n\,f_1\in\mathcal{O}(V\cap U_0\cap U_1)

\begin{gathered}(f_0,f_1)\\f_0\in\mathcal{O}(V\cap U_0)\\f_1\in\mathcal{O}(V\cap U_1)\\f_0=t^n\,f_1\in\mathcal{O}(V\cap U_0\cap U_1)\end{gathered}

\begin{aligned}&(f_0,f_1)\\[4pt]&f_0\in\mathcal{O}(V\cap U_0)\\[4pt]&f_1\in\mathcal{O}(V\cap U_1)\\[4pt]f_0 &= t^n\,f_1\in\mathcal{O}(V\cap U_0\cap U_1)\end{aligned}

である。

第11回の定理7

$k$ を体、 $n$ を整数とし、 $k[x_0,x_1]_n$ を $n$ 次斉次式（と0）のなすベクトル空間とする。写像

k[x_0,x_1]_n\longrightarrow\Gamma(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(n))\qquad F\longmapsto\bigl(F(1,t),\ F(s,1)\bigr)

\begin{gathered}k[x_0,x_1]_n\longrightarrow\Gamma(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(n))\\F\longmapsto\bigl(F(1,t),\ F(s,1)\bigr)\end{gathered}

\begin{aligned}k[x_0,x_1]_n &\longrightarrow \Gamma(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(n))\\[4pt]&F\longmapsto\bigl(F(1,t),\ F(s,1)\bigr)\end{aligned}

は $k$ 線形な同型である。とくに $n\geq0$ なら $\dim_k\Gamma(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(n))=n+1$ 、 $n<0$ なら $\Gamma(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(n))=0$ である。

局所環 $A$ の極大イデアルを $M$ 、有限生成 $A$ 加群を $N$ とする。 $MN=N$ なら $N=0$ 。とくに部分加群 $N'$ について $N=N'+MN$ なら $N=N'$ で、 $N/MN$ を張る元は $N$ を生成する。

多様体 $X$ の上の有理関数（空でない開集合の上の正則関数を、重なりで一致するものどうし同じとみなしたもの）全体の体 $k(X)$ 。アフィン多様体なら座標環の商体に等しい。例： $k(\mathbb{A}^1)=k(t)$ 。

定数でない1変数多項式が、必ずその体の中に根をもつ体。例： $\mathbb{C}$ 。 $\mathbb{R}$ は代数閉体ではない（ $x^2+1$ に根がない）。代数閉体は必ず無限体である。

極大イデアルがただ1つの可換環。極大イデアルに入らない元はすべて単元になる。例：素イデアル $P$ での局所化 $A_P$ （極大イデアルは $a/s$ （ $a\in P$ ）の全体）、 $k[x]/(x^2)$ 、 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 。

素イデアルがちょうど2つ（ $(0)$ と極大イデアル）の単項イデアル整域。例： $\mathbb{Z}_{(p)}$ 、 $k[x]_{(x)}$ 。0でない元は $\pi^n u$ （ $\pi$ は極大イデアルの生成元、 $u$ は単元）と一通りに書け、 $n$ が「その点で何位の零点か」を表す。

掛けて1になる相手（逆元）をもつ環の元。例： $\mathbb{Z}$ の単元は $\pm1$ 、体では0以外のすべての元。

環 $A$ の上の加群（ $A$ 加群）とは、足し算について可換群で、 $A$ の元を掛けられ、分配法則などベクトル空間と同じ規則をみたすもの。体の上の加群はベクトル空間で、 $A$ のイデアルも $A$ 加群。

加群（ベクトル空間でもよい）の準同型の列 $0\to U\xrightarrow{\alpha}V\xrightarrow{\beta}W\to0$ で、 $\alpha$ が単射、 $\beta$ が全射、 $\operatorname{Im}\alpha=\operatorname{Ker}\beta$ となるもの。このとき $W\cong V/U$ で、長さ（有限次元なら次元）について $\ell(V)=\ell(U)+\ell(W)$ 。

整域 $A$ の元の分数 $a/b$ （ $b\neq0$ ）全体がなす体。 $\operatorname{Frac}A$ と書く。例： $\mathbb{Z}$ の商体は $\mathbb{Q}$ 、 $k[x]$ の商体は有理関数体 $k(x)$ 。

各点の上に1次元のファイバー（直線）が乗り、局所的には直積 $U\times\mathbb{A}^1$ の形をした空間。その切断の層が可逆層（局所的に $\mathcal{O}_X$ と同型な $\mathcal{O}_X$ 加群）で、2つはよく同じものとして扱われる。連載第11回で扱う。

体 $k$ で $1+1+\dots+1$ （ $p$ 個） $=0$ となる最小の正の整数 $p$ 。そのような $p$ がなければ標数0と言う。標数は0か素数で、 $\mathbb{F}_p$ の標数は $p$ 、 $\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ の標数は0。体でない環でも同じように定める（ $\mathbb{Z}$ の標数は0、 $\mathbb{Z}/6$ の標数は6）。0か素数になるのは体や整域の場合。

定数でなく、定数でない2つの多項式の積に分解できない多項式。例： $\mathbb{R}[x]$ の $x^2+1$ 。 $\mathbb{C}[x]$ では $(x+i)(x-i)$ と分解するので既約ではない。

どの点のまわりも、ある環 $A$ の $\operatorname{Spec}A$ （素イデアル全体に位相と構造層を載せた空間）と同じ形をしている空間。 $\operatorname{Spec}A$ を貼り合わせて作れる。零点集合では区別できない $x=0$ と $x^2=0$ の違いも扱える。連載第4回で定義している。

参考文献

R. ハーツホーン（高橋宣能・松下大介訳）, 『代数幾何学 1』, 丸善出版, 2013.
R. ハーツホーン（高橋宣能・松下大介訳）, 『代数幾何学 3』, 丸善出版, 2012.