2本の直線で編まれた曲面：2次曲面とセグレ埋め込み

この記事の要点

セグレ埋め込み: 点の組 $([a_0:a_1],[b_0:b_1])$ を、行列 $a\,{}^t b$ の成分 $[a_0b_0:a_0b_1:a_1b_0:a_1b_1]$ に送ります。これで $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ が $\mathbb{P}^3$ の2次曲面 $Q\colon z_{00}z_{11}=z_{01}z_{10}$ と1対1に対応します。 $Q$ は階数1の $2\times2$ 行列の集まりです。
2つの直線の族: $a$ を止めてできる直線 $L_\alpha$ と、 $b$ を止めてできる直線 $M_\beta$ が $Q$ を覆い、 $Q$ に含まれる直線はこれで全部です。同じ族の2本は交わらず、違う族の2本はちょうど1点で交わります。
一葉双曲面: 実数で座標を取り替えると、 $Q$ は $x^2+y^2-z^2=1$ になります。曲がった曲面ですが、2通りの直線の族で覆われています。標数が2でない代数閉体の上では、非退化な2次曲面はすべて $Q$ に移ります。
曲線の型: $Q$ の上の曲線は、双斉次式の2つの次数 $(a,b)$ で分けられ、2曲線の交点の数は $ab'+a'b$ です。ねじれ3次曲線は型 $(1,2)$ で、因子類群は $\operatorname{Cl}(Q)\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ です。

証明は、ステップの流れだけを短く書いています。「詳しく」の付いた行をクリックすると、そのステップの詳しい説明が開きます。説明の中にも開ける行があります。
定義・命題・定理には、記事全体で通し番号を振っています。
もう少し詳しくは補足、専門的な話は先の回につながる話題です。どちらも開かずに読み進められます。
各ブロックの「AIに質問」を押すと、その部分の内容を入れた質問文で、お使いのAIを開けます。

前回まで

第16回までは、曲線を調べてきました。第5回で射影平面 $\mathbb{P}^2$ を作り、平面曲線を射影閉包（第5回の定義7）で無限遠まで延ばしました。そのあと交点・因子・微分形式と進み、第16回で曲線の種数にたどり着きました。

第17回からの4回は、射影空間の中の多様体、とくに曲面を見ます。今回は $\mathbb{P}^3$ の2次曲面、つまり2次の斉次式1つで定まる曲面です。2次曲面は2つの射影直線の積 $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ と同じものだ、というのがこの記事の中心です。

積はこれまでにも出てきました。第7回のブローアップは $\mathbb{A}^2\times\mathbb{P}^1$ の中に作り、閉集合を「 $\mathbb{P}^1$ の座標について斉次な式」で定めました（第7回の定義1）。第8回では、第8回の定義6の後の補足で、スキームの積にあたるファイバー積に触れました。すべてアフィンなら、ファイバー積は環のテンソル積の Spec です。

この記事では、まず $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ を $\mathbb{P}^3$ の中に置くセグレ埋め込みを作り、像が2次曲面になることを示します。次に、その曲面に乗っている2つの直線の族を調べ、実数の点で一葉双曲面として眺めます。最後に、2次曲面の上の曲線を2つの次数 $(a,b)$ で分け、交点の数と因子類群を求めます。

$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ を $\mathbb{P}^3$ に入れる：セグレ埋め込み

この記事では $k$ を代数閉体とし、ハーツホーンの第 I 章と同じく、多様体の点は $k$ の点で考えます。標数は任意で、標数2を除く箇所はそのつど断ります。ハーツホーンの第 I 章は零点集合を $Z$ と書きますが、この連載では $V$ 、射影空間では $V_+$ と書きます。

$\mathbb{P}^3$ の点を $[z_{00}:z_{01}:z_{10}:z_{11}]$ と書きます。添字が2つあるのは、4つの座標を $2\times2$ 行列に並べたいからです。

\begin{aligned} Z&=\begin{pmatrix}z_{00}&z_{01}\\ z_{10}&z_{11}\end{pmatrix},{}\\[4pt] Q&=V_+(z_{00}z_{11}-z_{01}z_{10})\\ &=\{\,[Z]\in\mathbb{P}^3\mid\det Z=0\,\}\end{aligned}

$Z$ を0でない定数倍しても $\det Z=0$ かどうかは変わらないので、 $Q$ は $\mathbb{P}^3$ の閉集合です。この記事で調べるのは、この2次曲面です。ハーツホーンの演習は同じ曲面を $xy=zw$ と書いています[1, 演習2.15, p.18]。

定義1 セグレ写像 [1, 演習2.14, p.18; 1, 演習2.15, p.18]

$a=(a_0,a_1)$ 、 $b=(b_0,b_1)$ を縦ベクトルとみて、

\begin{aligned} &\sigma\colon\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1\to\mathbb{P}^3,{}\\ &\bigl([a_0:a_1],[b_0:b_1]\bigr)\\ &\quad\longmapsto[a_0b_0:a_0b_1:a_1b_0:a_1b_1] \end{aligned}

と定める。行列で書くと、 $\sigma(a,b)$ は行列 $a\,{}^t b=\begin{pmatrix}a_0b_0&a_0b_1\\ a_1b_0&a_1b_1\end{pmatrix}$ の表す点である。 $\sigma$ をセグレ写像と呼ぶ。

代表の取り方によらないことを確かめます。 $a$ を $\lambda a$ に替えると4つの成分がすべて $\lambda$ 倍になるので、同じ点です。 $a_i\neq0$ 、 $b_j\neq0$ となる $i,j$ があるので $a_ib_j\neq0$ で、成分がすべて0になることもありません。

例2 セグレ写像で点を送る

どんな体でも次が成り立つ。

(1)　 $\sigma([1:2],[3:1])=[1\cdot3:1\cdot1:2\cdot3:2\cdot1]=[3:1:6:2]$ 。 $3\cdot2=1\cdot6$ なので $Q$ の上にある。
(2)　 $\sigma([1:0],[1:0])=[1:0:0:0]$ 、 $\sigma([0:1],[0:1])=[0:0:0:1]$ 。
(3)　 $\sigma([1:s],[1:t])=[1:t:s:st]$ 。

命題3 セグレ写像の像は $Q$ [1, 演習2.14, p.18; 1, 演習2.15(a), p.18]

(1)　 $\sigma$ の像は $Q$ に一致する。
(2)　 $\sigma$ は単射である。

したがって $\sigma$ は $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ から $Q$ への全単射で、逆写像は $Z$ を「0でない列 $a$ 」と「0でない行 $b$ 」の組 $([a],[b])$ に送る。

証明

像が $Q$ に入ること： $\det(a\,{}^t b)=a_0b_0\cdot a_1b_1-a_0b_1\cdot a_1b_0=0$ 。
$Q$ の点が像に入ること： $\det Z=0$ で $z_{ij}\neq0$ なら、 $z_{ij}$ を含む列 $a$ と行 $b$ について $a\,{}^t b=z_{ij}Z$ となる。

例えば $z_{00}\neq0$ なら $a=(z_{00},z_{10})$ 、 $b=(z_{00},z_{01})$ で、
$\begin{aligned} a\,{}^t b&=\begin{pmatrix}z_{00}^2&z_{00}z_{01}\\ z_{10}z_{00}&z_{10}z_{01}\end{pmatrix}\\ &=z_{00}\begin{pmatrix}z_{00}&z_{01}\\ z_{10}&z_{11}\end{pmatrix}\end{aligned}$
右下の成分では $z_{10}z_{01}=z_{00}z_{11}$ （ $\det Z=0$ ）を使った。ほかの $z_{ij}$ でも同じで、 $z_{ij}$ と同じ行・同じ列にない成分だけ $\det Z=0$ を使う。
単射であること： $a\,{}^t b$ の各列は $a$ の定数倍で、0でない列がある。よって $a\,{}^t b=\lambda\,a'\,{}^t b'$ なら $[a]=[a']$ 。行を見れば $[b]=[b']$ 。

行列の言葉で言い直します。0でない $2\times2$ 行列 $Z$ について、 $\det Z=0$ は階数が1であることと同じです。階数1の行列は、縦ベクトルと横ベクトルの積 $a\,{}^t b$ に書け、 $a$ と $b$ は定数倍を除いて決まります。つまり、 $Q$ の点を $\mathbb{P}^1$ の点2つに分ける操作が $\sigma^{-1}$ です。

例2(1) の点 $[3:1:6:2]$ では、列 $(3,6)$ と $(1,2)$ はどちらも $(1,2)$ の定数倍、行 $(3,1)$ と $(6,2)$ はどちらも $(3,1)$ の定数倍です。こうして $([1:2],[3:1])$ が読み取れます。

次に、 $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ の閉集合を決めます。第7回の $\mathbb{A}^2\times\mathbb{P}^1$ と同じく、それぞれの $\mathbb{P}^1$ の座標について斉次な式を使います。

定義4 双斉次式と $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ の閉集合

$F\in k[a_0,a_1,b_0,b_1]$ が $a_0,a_1$ について $d$ 次、 $b_0,b_1$ について $e$ 次の斉次式であるとき、 $F$ を双次数 $(d,e)$ の双斉次式と呼ぶ。このとき

F(\lambda a,\mu b)=\lambda^d\mu^eF(a,b)\qquad(\lambda,\mu\in k^\times)

\begin{gathered}F(\lambda a,\mu b)=\lambda^d\mu^eF(a,b)\\(\lambda,\mu\in k^\times)\end{gathered}

\begin{aligned}F(\lambda a,\mu b) &= \lambda^d\mu^eF(a,b)\\[4pt]&(\lambda,\mu\in k^\times)\end{aligned}

なので、 $F=0$ かどうかは点 $([a],[b])$ だけで決まる。双斉次式の集合 $S$ の共通の零点集合 $V(S)$ の形の集合を、 $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ の閉集合と呼ぶ。

例えば $a_0b_1-a_1b_0$ は双次数 $(1,1)$ で、その零点集合は対角線 $\Delta=\{([a],[a])\}$ です。 $a_0b_1^2-a_1b_0^2$ は双次数 $(1,2)$ です。

命題5 $\sigma$ は閉集合を閉集合に移す [1, 演習2.15(a), p.18]

$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ の閉集合の $\sigma$ による像は $Q$ の閉集合で、 $Q$ の閉集合の逆像は $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ の閉集合である。したがって $\sigma$ は $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ と $Q$ の同相写像である。

証明

$z$ の $m$ 次の斉次式 $G$ に $z_{ij}=a_ib_j$ を代入すると、双次数 $(m,m)$ の双斉次式になる。よって $Q$ の閉集合 $Q\cap V_+(G)$ の逆像は閉集合である。
逆に、双次数 $(d,e)$ の $F$ の零点集合は、 $m=\max(d,e)$ として、双次数 $(m,m)$ の式 $a_i^{m-d}b_j^{m-e}F$ （ $i,j=0,1$ ）の共通の零点集合に等しい。

各点で $a_i\neq0$ となる $i$ と $b_j\neq0$ となる $j$ があるので、 $F=0$ と「4つの $a_i^{m-d}b_j^{m-e}F$ がすべて0」は同値である。
双次数 $(m,m)$ の単項式 $a_{i_1}\cdots a_{i_m}b_{j_1}\cdots b_{j_m}$ は $z_{i_1j_1}\cdots z_{i_mj_m}$ の値に等しい。よって双次数 $(m,m)$ の双斉次式は、 $z$ の $m$ 次の斉次式 $G$ を使って $G(\sigma(a,b))$ と書け、閉集合の像は $Q$ の閉集合になる。

この命題から、以後は $\sigma$ で $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ と $Q$ を同一視します。スキームとしても、ファイバー積 $\mathbb{P}^1\times_k\mathbb{P}^1$ は $\sigma$ で $Q$ と同型になり、ハーツホーンは $Q\cong\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ をこの形で使っています[1, 例6.6.1, p.184]。

この位相は、2つの $\mathbb{P}^1$ の位相の積位相とは違います[1, 演習2.15(c), p.18]。積位相の閉集合は、全体を除くと、有限個の点と有限本の $\{\alpha\}\times\mathbb{P}^1$ 、 $\mathbb{P}^1\times\{\beta\}$ の和集合です。対角線 $\Delta$ は $Q$ の閉集合（平面 $z_{01}=z_{10}$ との交わり）ですが、そのどれでもありません。

$Q$ の $z_{00}\neq0$ の部分を見ておきます。アフィン座標 $x=z_{01}/z_{00}$ 、 $y=z_{10}/z_{00}$ 、 $z=z_{11}/z_{00}$ では $Q$ の式は $z=xy$ です。例2(3) から、点 $([1:s],[1:t])$ は $(x,y,z)=(t,s,st)$ に写ります。

\begin{aligned} &\mathbb{A}^1\times\mathbb{A}^1\\ &\xrightarrow{\ \sim\ }\ Q\cap\{z_{00}\neq0\}=\{z=xy\},{}\\[4pt] &(s,t)\longmapsto(t,\ s,\ st)\end{aligned}

$Q$ のこの部分は、 $xy$ 平面の上の鞍形の曲面 $z=xy$ のグラフです。真上から見た影 $(x,y)=(t,s)$ は、 $\mathbb{A}^1\times\mathbb{A}^1$ の点そのものです。

定義6 一般のセグレ埋め込み [1, 演習2.14, p.18]

$N=(m+1)(n+1)-1$ とし、 $\mathbb{P}^N$ の斉次座標を $z_{ij}$ （ $0\leq i\leq m$ 、 $0\leq j\leq n$ ）とする。

\begin{aligned} &\mathbb{P}^m\times\mathbb{P}^n\to\mathbb{P}^N,{}\\ &\bigl([a_0:\dots:a_m],[b_0:\dots:b_n]\bigr)\\ &\quad\longmapsto[\,a_ib_j\,]_{i,j} \end{aligned}

をセグレ埋め込みと呼ぶ。像は、 $(m+1)\times(n+1)$ 行列 $(z_{ij})$ の $2\times2$ 小行列式がすべて0になる点、つまり階数1の行列の集合 $V_+\bigl(z_{ij}z_{kl}-z_{il}z_{kj}\bigr)$ である。

$m=n=1$ なら小行列式は $\det Z$ の1つだけで、 $Q$ に戻ります。 $m=1$ 、 $n=2$ なら $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^2\to\mathbb{P}^5$ で、 $2\times3$ 行列の3つの小行列式 $z_{00}z_{11}-z_{01}z_{10}$ 、 $z_{00}z_{12}-z_{02}z_{10}$ 、 $z_{01}z_{12}-z_{02}z_{11}$ が像を定めます。この記事では $m=n=1$ だけを扱います。

2つの直線の族

$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ には、一方の成分を止めてできる曲線が2種類あります。これを $\sigma$ で $Q$ に送ります。

定義7 2つの直線の族 [1, 演習2.15(b), p.18]

$\alpha,\beta\in\mathbb{P}^1$ について

L_\alpha=\sigma\bigl(\{\alpha\}\times\mathbb{P}^1\bigr)\qquad M_\beta=\sigma\bigl(\mathbb{P}^1\times\{\beta\}\bigr)

\begin{gathered}L_\alpha=\sigma\bigl(\{\alpha\}\times\mathbb{P}^1\bigr)\\M_\beta=\sigma\bigl(\mathbb{P}^1\times\{\beta\}\bigr)\end{gathered}

\begin{aligned}L_\alpha &= \sigma\bigl(\{\alpha\}\times\mathbb{P}^1\bigr)\\[4pt]M_\beta &= \sigma\bigl(\mathbb{P}^1\times\{\beta\}\bigr)\end{aligned}

とおく。 $L_\alpha$ は $b\mapsto\alpha\,{}^t b$ という単射な線形写像 $k^2\to k^4$ の像なので、 $\mathbb{P}^3$ の直線である。 $M_\beta$ も同様である。式で書くと、列が $\alpha$ に比例する、行が $\beta$ に比例するという条件になる。

\begin{aligned} L_\alpha&=V_+\bigl(\alpha_1z_{00}-\alpha_0z_{10},{}\\ &\phantom{{}=V_+\bigl(}\alpha_1z_{01}-\alpha_0z_{11}\bigr),{}\\[4pt] M_\beta&=V_+\bigl(\beta_1z_{00}-\beta_0z_{01},{}\\ &\phantom{{}=V_+\bigl(}\beta_1z_{10}-\beta_0z_{11}\bigr)\end{aligned}

例2(1) で確かめます。 $L_{[1:2]}$ は $2z_{00}-z_{10}=0$ 、 $2z_{01}-z_{11}=0$ で、 $[3:1:6:2]$ を代入すると $6-6=0$ 、 $2-2=0$ です。 $M_{[3:1]}$ は $z_{00}-3z_{01}=0$ 、 $z_{10}-3z_{11}=0$ で、 $3-3=0$ 、 $6-6=0$ です。

鞍形の曲面 $z=xy$ では、 $L_{[1:s]}$ は「 $y=s$ 、 $z=sx$ 」、 $M_{[1:t]}$ は「 $x=t$ 、 $z=ty$ 」という直線です。真上から見ると、横の線 $y=s$ と縦の線 $x=t$ の格子になります。

命題8 $Q$ の上の直線 [1, 演習2.15(b), p.18; 2, 例1.4.3, p.96]

(1)　 $\alpha\neq\alpha'$ なら $L_\alpha\cap L_{\alpha'}=\varnothing$ 、 $\beta\neq\beta'$ なら $M_\beta\cap M_{\beta'}=\varnothing$ 。
(2)　 $L_\alpha\cap M_\beta=\{\sigma(\alpha,\beta)\}$ 。
(3)　 $Q$ に含まれる直線は、ある $L_\alpha$ かある $M_\beta$ である。
(4)　 $Q$ の各点 $\sigma(\alpha,\beta)$ を通り $Q$ に含まれる直線は、 $L_\alpha$ と $M_\beta$ の2本だけである。

証明

(1)(2) は $\sigma$ が単射であることから従う。例えば $L_\alpha\cap M_\beta=\sigma\bigl((\{\alpha\}\times\mathbb{P}^1)\cap(\mathbb{P}^1\times\{\beta\})\bigr)=\{\sigma(\alpha,\beta)\}$ 。
(3) 直線 $\ell\subseteq Q$ の相異なる2点 $p=\sigma(\alpha,\beta)$ 、 $q=\sigma(\alpha',\beta')$ をとる。行列として $\det(p+q)=\det(\alpha\ \alpha')\det(\beta\ \beta')$ である。

$(\alpha\ \alpha')$ は $\alpha,\alpha'$ を並べた $2\times2$ 行列である。次の分解から、行列式の積の公式で従う。
$\begin{aligned} &s\,\alpha\,{}^t\beta+t\,\alpha'\,{}^t\beta'\\ &=\begin{pmatrix}\alpha&\alpha'\end{pmatrix}\begin{pmatrix}s&0\\0&t\end{pmatrix}{}^t\!\begin{pmatrix}\beta&\beta'\end{pmatrix},{}\\[4pt] &\det=\det(\alpha\ \alpha')\cdot st\cdot\det(\beta\ \beta')\end{aligned}$
$s=t=1$ とおけばよい。
$p\neq q$ なので $p+q$ は0でないベクトルで、 $\ell$ の点を表す。 $\ell\subseteq Q$ から $\det(p+q)=0$ で、 $\det(\alpha\ \alpha')=0$ か $\det(\beta\ \beta')=0$ 。
$\det(\alpha\ \alpha')=0$ なら $[\alpha]=[\alpha']$ で、 $p,q$ はどちらも直線 $L_\alpha$ に乗る。2点を通る直線は1本なので $\ell=L_\alpha$ 。もう一方の場合は $\ell=M_\beta$ 。
(4) $\sigma(\alpha,\beta)$ を通る $L_{\alpha'}$ は $\alpha'=\alpha$ のものだけで、 $M_{\beta'}$ も $\beta'=\beta$ だけである。(2) から $L_\alpha\neq M_\beta$ 。

$\mathbb{P}^3$ の2本の直線が交わらないとき、2本はねじれの位置にあると言います。 $\mathbb{P}^3$ では、同じ平面に乗る2本の直線は必ず交わるので、ねじれの位置の2本は同じ平面に乗りません。 $Q$ には、互いにねじれの位置にある直線の族が2つあることになります。

例9 接平面で切ると2本の直線

どんな体でも、 $f=z_{00}z_{11}-z_{01}z_{10}$ の偏微分は $(z_{11},\ -z_{10},\ -z_{01},\ z_{00})$ で、すべてが0になるのは $z=0$ のときだけである。よって $Q$ のどの点でも接平面が1つに決まる。

$p=[1:0:0:0]=\sigma([1:0],[1:0])$ では偏微分は $(0,0,0,1)$ で、接平面は $z_{11}=0$ である。これと $Q$ の交わりは

\begin{aligned} &Q\cap\{z_{11}=0\}\\ &=\{z_{11}=z_{01}z_{10}=0\}\\ &=\{z_{10}=z_{11}=0\}\\ &\qquad\cup\{z_{01}=z_{11}=0\}\\ &=L_{[1:0]}\cup M_{[1:0]} \end{aligned}

で、 $p$ を通る2本の直線である。

ほかの点でも同じです。正則な $2\times2$ 行列 $A,B$ について $Z\mapsto AZ\,{}^tB$ は $\mathbb{P}^3$ の射影変換で、 $\det(AZ\,{}^tB)=\det A\det Z\det B$ なので $Q$ を $Q$ に移します。 $\sigma(\alpha,\beta)$ は $\sigma(A\alpha,B\beta)$ に移るので、 $A,B$ を選べばどの点も $p$ に移せます。

ドラッグで回せます

青い曲面は鞍形の曲面 $z=xy$ で、2次曲面 $Q$ のうち $z_{00}\neq0$ の部分です。オレンジは $y$ が一定の直線（族 $L$ ）、緑は $x$ が一定の直線（族 $M$ ）です。「真上」から見ると $\mathbb{A}^1\times\mathbb{A}^1$ の正方形の格子に見えますが、回すと、格子の線がどれも曲面に乗った空間の直線だと分かります。

原点での接平面 $z=0$ （灰色）と曲面の交わりは、 $xy=0$ 、つまり原点を通る2本の直線 $y=0$ （族 $L$ ）と $x=0$ （族 $M$ ）です。回すと、接平面が曲面を2本の直線に沿って切っているのが見えます。

型 $(1,1)$ の曲線の例です。青は平面 $x=y$ との交わりで放物線 $(t,t,t^2)$ 、紫は平面 $z=1$ との交わりで双曲線 $xy=1$ です。「真上」から見ると、青は格子の対角線、紫は $xy=1$ のグラフです。どちらも、縦の線・横の線の1本1本とちょうど1点で交わります。紫と $x=0$ 、 $y=0$ の線の交点は無限遠にあり、図の外で交わる線もあります。

赤は第1回のねじれ3次曲線 $(t,t^2,t^3)$ で、 $t\cdot t^2=t^3$ なので曲面 $z=xy$ に乗っています。「真上」から見ると放物線 $y=x^2$ で、横の線 $y=0.64$ （濃いオレンジ）とは2点、縦の線とは1点で交わります。これが型 $(1,2)$ です。

図1具体例

Q

の

z_{00}\neq0

の部分、鞍形の曲面

z=xy

です（

k=\mathbb{R}

）。最初の段階は定義7の2つの族で、オレンジが

L

（

y

が一定）、緑が

M

（

x

が一定）です。「真上」から見ると

\mathbb{A}^1\times\mathbb{A}^1

の正方形の格子に見え、回すと格子の線がどれも曲面に乗った空間の直線だと分かります。2つ目の段階は例9の接平面です。3つ目と4つ目の段階は、後の節で扱う型

(1,1)

と

(1,2)

の曲線です。

実数の点で見る：一葉双曲面

鞍形の曲面に見えるのは、 $Q$ の一部だけです。 $Q$ のほぼ全体を目で見るために、実数の範囲で座標を取り替えます。

命題10 $Q$ を一葉双曲面の形にする

$k$ を標数が2でない体とする。 $\mathbb{P}^3$ の座標を

z_{00}=w+x\qquad z_{11}=w-x\qquad z_{01}=y+z\qquad z_{10}=y-z

\begin{gathered}z_{00}=w+x\\z_{11}=w-x\\z_{01}=y+z\\z_{10}=y-z\end{gathered}

\begin{aligned}z_{00} &= w+x\\[4pt]z_{11} &= w-x\\[4pt]z_{01} &= y+z\\[4pt]z_{10} &= y-z\end{aligned}

で取り替えると、 $Q$ の式は $x^2+y^2-z^2=w^2$ になる。 $k=\mathbb{R}$ で $w=1$ の部分を見ると、一葉双曲面 $x^2+y^2-z^2=1$ である。

証明

$z_{00}z_{11}-z_{01}z_{10}=(w+x)(w-x)-(y+z)(y-z)=w^2-x^2-y^2+z^2$ 。
この取り替えは正則である。逆は $w=(z_{00}+z_{11})/2$ 、 $x=(z_{00}-z_{11})/2$ 、 $y=(z_{01}+z_{10})/2$ 、 $z=(z_{01}-z_{10})/2$ で、2で割るので標数 $\neq2$ を使う。

$(x,y,z,w)$ から $(z_{00},z_{01},z_{10},z_{11})$ への行列の行列式は $-4$ で、標数が2でなければ0でない。

一葉双曲面には、次の2つの族の直線が乗っています。 $\theta$ を実数とし、 $t$ を動かします。

\ell_\theta\colon\ (\cos\theta-t\sin\theta,\ \ \sin\theta+t\cos\theta,\ \ t)\qquad m_\theta\colon\ (\cos\theta+t\sin\theta,\ \ \sin\theta-t\cos\theta,\ \ t)

\begin{gathered}\ell_\theta\colon\ (\cos\theta-t\sin\theta,\ \ \sin\theta+t\cos\theta,\ \ t)\\m_\theta\colon\ (\cos\theta+t\sin\theta,\ \ \sin\theta-t\cos\theta,\ \ t)\end{gathered}

どちらも $x^2+y^2=(\cos\theta\mp t\sin\theta)^2+(\sin\theta\pm t\cos\theta)^2=1+t^2=1+z^2$ をみたします。 $t=0$ では、どちらもくびれの円 $x^2+y^2=1$ の点 $(\cos\theta,\sin\theta)$ を通ります。

例11 一葉双曲面の直線は $L_\alpha$ と $M_\beta$

$k=\mathbb{R}$ 、 $c=\cos(\theta/2)$ 、 $s=\sin(\theta/2)$ とする。命題10の座標で、

\ell_\theta=L_{[c:s]}\qquad m_\theta=M_{[c:s]}

\begin{gathered}\ell_\theta=L_{[c:s]}\\m_\theta=M_{[c:s]}\end{gathered}

\begin{aligned}\ell_\theta &= L_{[c:s]}\\[4pt]m_\theta &= M_{[c:s]}\end{aligned}

$\theta$ が $0$ から $2\pi$ まで動くと $[c:s]$ は $\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ をちょうど1周するので、2つの族は $\{L_\alpha\}$ と $\{M_\beta\}$ の実数の直線をすべて尽くす。

証明

$\ell_\theta$ の点で $z_{00}=1+x$ 、 $z_{10}=y-z$ を半角の公式で書くと、 $(z_{00},z_{10})=2(c-ts)(c,s)$ 。

$1+\cos\theta=2c^2$ 、 $1-\cos\theta=2s^2$ 、 $\sin\theta=2sc$ を使う。
$z_{00}=2c^2-2tsc=2c(c-ts)\qquad z_{10}=2sc+t(\cos\theta-1)=2sc-2ts^2=2s(c-ts)$ $\begin{gathered}z_{00}=2c^2-2tsc=2c(c-ts)\\z_{10}=2sc+t(\cos\theta-1)=2sc-2ts^2=2s(c-ts)\end{gathered}$ $\begin{aligned}z_{00} &= 2c^2-2tsc\\&= 2c(c-ts)\\[4pt]z_{10} &= 2sc+t(\cos\theta-1)\\&= 2sc-2ts^2\\&= 2s(c-ts)\end{aligned}$
同じく $(z_{01},z_{11})=(y+z,\ 1-x)=2(s+tc)(c,s)$ 。2つの列が $(c,s)$ に比例するので、 $\ell_\theta$ の点は $L_{[c:s]}$ に乗る。

$z_{01}=2sc+t(\cos\theta+1)=2c(s+tc)$ 、 $z_{11}=2s^2+2tsc=2s(s+tc)$ 。点は $\sigma\bigl([c:s],[c-ts:s+tc]\bigr)$ である。
$m_\theta$ では2つの行が $(c,s)$ に比例し、 $m_\theta\subseteq M_{[c:s]}$ となる。どちらも直線なので等しい。

$(z_{00},z_{01})=(1+x,\ y+z)=2(c+ts)(c,s)$ 、 $(z_{10},z_{11})=(y-z,\ 1-x)=2(s-tc)(c,s)$ である。

違う族の2本の交点を計算します。 $\ell_{\theta_1}$ と $m_{\theta_2}$ の点の $z$ 座標がそろうのは同じ $t$ のときで、残りの2つの座標の式を解くと $t=-\tan\bigl((\theta_1-\theta_2)/2\bigr)$ です。例えば $\ell_{\pi/2}$ と $m_\pi$ は $t=-\tan(-\pi/4)=1$ で、点 $(-1,1,1)$ で交わります。

$\theta_2=\theta_1+\pi$ のときは $\tan$ が定義されず、2本は平行です。例えば $\ell_0$ と $m_\pi$ の向きはどちらも $(0,1,1)$ です。射影空間では、平行な2本は無限遠で交わります（第5回の第5回の例6と同じです）。どちらも $[x:y:z:w]=[0:1:1:0]$ を通り、命題8(2) のとおり1点で交わっています。

ドラッグで回せます

一葉双曲面 $x^2+y^2-z^2=1$ です。黒い円は高さ $0$ の切り口（くびれの円） $x^2+y^2=1$ です。曲面は曲がっていますが、次の段階で見るように、直線だけでできています。

1つ目の族（オレンジ）：直線 $(\cos\theta-t\sin\theta,\ \sin\theta+t\cos\theta,\ t)$ です。「真上」から見ると、どの直線もくびれの円の接線に見えます。回すと、どれも反時計回りに傾いて上っていきます。同じ族の2本は、どこでも交わりません（ねじれの位置）。

2つ目の族（緑）：直線 $(\cos\theta+t\sin\theta,\ \sin\theta-t\cos\theta,\ t)$ です。「真上」から見ると1つ目の族とまったく同じ接線に見えますが、回すと逆向きに傾いていて、別の直線だと分かります。

違う族の2本は1点で交わります。緑の直線（ $\theta=\pi$ ）は、オレンジの $\theta=\pi/2$ の直線と点 $(-1,1,1)$ で交わります。オレンジの $\theta=0$ の直線とは平行で、この図の中では交わりませんが、射影空間では無限遠の1点で交わります。

図2具体例一葉双曲面

x^2+y^2-z^2=1

と、その上の2つの族

\ell_\theta

（オレンジ）と

m_\theta

（緑）です。

\theta

は

30^\circ

ずつ動かしています。「真上」から見ると、どちらの族の直線もくびれの円の接線で、2つの族はまったく同じ線に重なります。回すと、オレンジは反時計回り、緑は時計回りに傾いて上っていて、曲がった曲面が2通りの直線の族で覆われていると分かります。最後の段階で、違う族の2本の交わり方を見ます。

「真上」で2つの族が重なるのは、 $\ell_\theta$ と $m_\theta$ の $(x,y)$ 座標が、 $t$ の符号を変えただけの同じ直線を描くからです。高さ $z=t$ を見れば、2本は逆向きに上っています。

もう少し詳しく実数の点の全体はトーラス

$\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ は円なので、 $Q$ の実数の点 $\mathbb{P}^1(\mathbb{R})\times\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ は円と円の積、つまりトーラスです。一葉双曲面は、そこから無限遠の部分 $w=0$ を除いたものです。

無限遠の部分は $x^2+y^2=z^2$ （ $w=0$ ）で、平面 $w=0$ との交わりなので、次の節の言葉では型 $(1,1)$ の曲線です。 $w=(z_{00}+z_{11})/2$ なので、式は $a_0b_0+a_1b_1=0$ です。

トーラスから、両方の向きに1周する円を1本除くと、筒（円柱）が残ります。一葉双曲面が筒の形をしているのはこのためです。

非退化な2次曲面は1種類

$Q$ は特別な2次曲面に見えますが、標数が2でない代数閉体の上では、非退化な2次曲面はすべて $Q$ に移ります。 $\mathbb{P}^3$ の2次曲面とは、0でない2次の斉次式 $f\in k[x_0,x_1,x_2,x_3]$ の零点集合 $V_+(f)$ のことです。

標数が2でないとき、 $f$ は対称行列 $A$ を使って $f(x)={}^t\!x\,Ax$ と書けます。対角成分は $x_i^2$ の係数、 $(i,j)$ 成分（ $i\neq j$ ）は $x_ix_j$ の係数の半分です。 $\det A\neq0$ のとき $f$ は非退化であると言います。

$Q$ の式 $z_{00}z_{11}-z_{01}z_{10}$ の行列は、成分が $\pm1/2$ の反対角の行列で、行列式は $1/16\neq0$ です。

座標の取り替えは、第5回と同じく正則行列 $g$ で $[x]\mapsto[gx]$ と移す射影変換です（今は $4\times4$ 行列）。

定理12 非退化な2次曲面は $Q$ に移る [1, 演習5.12, p.52]

$k$ を標数が2でない代数閉体とし、 $f$ を4変数の非退化な2次形式とする。このとき、射影変換で $V_+(f)$ を $Q=V_+(z_{00}z_{11}-z_{01}z_{10})$ に移せる。

証明

変数を線形に取り替えて、 $f=c_0y_0^2+c_1y_1^2+c_2y_2^2+c_3y_3^2$ （ $c_i\neq0$ ）の形にする。

$B(u,v)=\bigl(f(u+v)-f(u)-f(v)\bigr)/2={}^t\!u\,Av$ とおく。 $f\neq0$ なので $f(v)\neq0$ となる $v$ がある（すべての $v$ で $f(v)=0$ なら $B=0$ で $A=0$ ）。

$W=\{u\mid B(v,u)=0\}$ は3次元で、 $B(v,v)=f(v)\neq0$ から $v\notin W$ 。 $v$ と $W$ の基底 $w_1,w_2,w_3$ を新しい基底にすると、 $B(v,w_j)=0$ なので $f=f(v)y_0^2+f_W(y_1,y_2,y_3)$ の形になる。 $f_W$ は $f$ を $W$ に制限した2次形式で、 $W$ の上で同じことをくり返す（ $f_W=0$ になったら、残りの係数を0として止める）。

取り替えの行列を $g$ とすると、新しい行列は ${}^t\!g\,Ag$ で、行列式は $\det A\cdot(\det g)^2\neq0$ 。対角行列の行列式は $c_0c_1c_2c_3$ なので、どの $c_i$ も0でない。
$k$ は代数閉体なので $\sqrt{c_i}$ がある。 $y_i$ を $y_i/\sqrt{c_i}$ に替えると $f=y_0^2+y_1^2+y_2^2+y_3^2$ 。
$i^2=-1$ となる $i\in k$ をとり、 $z_{00}=y_0+iy_1$ 、 $z_{11}=y_0-iy_1$ 、 $z_{01}=y_2+iy_3$ 、 $z_{10}=-(y_2-iy_3)$ とおくと、 $z_{00}z_{11}-z_{01}z_{10}=y_0^2+y_1^2+y_2^2+y_3^2$ 。

$(y_0+iy_1)(y_0-iy_1)=y_0^2+y_1^2$ 、 $(y_2+iy_3)(y_2-iy_3)=y_2^2+y_3^2$ である。この取り替えの行列式は $4$ で、標数が2でなければ0でない。

ハーツホーンの演習5.12 は、同じ対角化から、2次超曲面が非特異であることと $f$ が非退化であることが同値だと示させています。第5回の補足で見た「非退化な円錐曲線は1種類」と同じ議論を、変数を1つ増やして行ったことになります。

証明の2つ目と3つ目のステップは、実数では使えません。 $\sqrt{c_i}$ や $i$ がないからです。実数では、正の $c_i$ と負の $c_i$ の個数で形が分かれます（シルベスターの慣性法則）。

符号	式（ $w=1$ で見る）	実数の点	実数の直線
$+\,+\,+\,+$	$x^2+y^2+z^2=-1$	なし	なし
$+\,+\,+\,-$	$x^2+y^2+z^2=1$	球面	なし
$+\,+\,-\,-$	$x^2+y^2-z^2=1$	一葉双曲面（ $Q$ ）	2つの族

符号を全部入れ替えても同じ曲面なので、これで全部です。二葉双曲面 $x^2-y^2-z^2=1$ は、 $w$ と $x$ の役割を入れ替えると球面と同じ式になり、射影空間では球面と同じ種類です。

例13 球面の上の直線

球面 $S\colon x^2+y^2+z^2=w^2$ を考える。

(1)　 $S$ の実数の点は、実数の直線を含まない。
(2)　 $k=\mathbb{C}$ では、 $S$ は直線 $(1,\ it,\ t)$ と $(1,\ -it,\ t)$ （ $w=1$ 、 $t\in\mathbb{C}$ ）を含む。どちらも点 $(1,0,0)$ を通り、実数の点はこの1点だけである。

証明

(1) 実数の直線は、実数の2点 $p,q$ で $sp+tq$ と書ける。 $w(sp+tq)=s\,w(p)+t\,w(q)=0$ は0でない実数の解 $(s,t)$ をもつので、直線は平面 $w=0$ と実数の点で交わる。
ところが $S$ の実数の点で $w=0$ なら $x^2+y^2+z^2=0$ で $x=y=z=0$ となり、点にならない。よって $S$ に実数の直線は乗らない。
(2) $1^2+(it)^2+t^2=1-t^2+t^2=1$ 。実数の点になるには $t$ と $it$ がともに実数でなければならず、 $t=0$ 。

(2) は (1) と矛盾しません。実数の点を2つ含む直線は、その2点を通る実数の直線になります。だから、実数でない直線が含む実数の点は高々1つです。球面の各点には、互いに複素共役な2本の直線が通っていて、実数の図には点としてしか見えません。

(2) の2本は平面 $x=1$ に乗っています。これは点 $(1,0,0)$ での $S$ の接平面で、例9のとおり、接平面との交わりが2本の直線になっています。実数の図では、接平面は球面に1点で触れているだけに見えます。

2次曲面の上の曲線の型

$\mathbb{P}^2$ の曲線は、次数1つで大まかに分けられました。 $Q=\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ の上の曲線には、次数が2つあります。

定義14 曲線の型 [1, 例6.6.1, p.184; 1, 例6.6.2, p.185]

$F$ を双次数 $(a,b)$ の既約な双斉次式とする。 $Q$ の上の曲線 $C=\sigma(V(F))$ を型 $(a,b)$ の曲線と呼ぶ。

$Q$ の上の既約な曲線はどれも、既約な双斉次式 $F$ の零点集合として書け、 $F$ は定数倍を除いて決まります（この記事では証明しません）。ハーツホーンは型を因子類群 $\operatorname{Cl}(Q)\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ を使って定めていて、 $\{\alpha\}\times\mathbb{P}^1$ が型 $(1,0)$ です。この記事の約束と一致します。

例15 型の計算

(1)　直線 $L_\alpha=\sigma(V(\alpha_1a_0-\alpha_0a_1))$ は型 $(1,0)$ 、 $M_\beta$ は型 $(0,1)$ 。
(2)　平面 $\sum c_{ij}z_{ij}=0$ との交わりは、 $\sum c_{ij}a_ib_j=0$ なので双次数 $(1,1)$ 。例えば平面 $z_{01}=z_{10}$ との交わりは対角線 $a_0b_1-a_1b_0=0$ 、平面 $z_{00}=z_{11}$ との交わりは $a_0b_0-a_1b_1=0$ 。
(3)　ねじれ3次曲線 $C=\{[s^3:s^2t:st^2:t^3]\}$ は $Q$ に乗り、 $C=\sigma\bigl(V(a_0b_1^2-a_1b_0^2)\bigr)$ で型 $(1,2)$ 。

証明

(2) 逆に、双次数 $(1,1)$ の式 $\sum c_{ij}a_ib_j$ は $z$ の1次式 $\sum c_{ij}z_{ij}$ から来る。よって型 $(1,1)$ の曲線は、平面との交わりとして書ける。
(3) $s^3\cdot t^3=s^2t\cdot st^2$ なので $C\subseteq Q$ 。 $[s^3:s^2t:st^2:t^3]$ の列は $(s^2,t^2)$ に、行は $(s,t)$ に比例するので、この点は $\sigma([s^2:t^2],[s:t])$ である。
$\bigl([s^2:t^2],[s:t]\bigr)$ は $a_0b_1^2=a_1b_0^2$ をみたす。逆にこの式をみたす $(a,b)$ は、 $b=[s:t]$ とおくと $a_0t^2=a_1s^2$ から $a=[s^2:t^2]$ 。
$a_0b_1^2-a_1b_0^2$ は $a$ について1次なので、因数分解するなら $b$ だけの式で $b_1^2$ と $b_0^2$ をともに割るものが要るが、それは定数だけである。よって既約。

(3) のねじれ3次曲線は、鞍形の曲面 $z=xy$ では $(t,t^2,t^3)$ です（ $s=1$ ）。第1回の図6や第6回の例9で扱った曲線そのもので、 $t\cdot t^2=t^3$ なので確かに $z=xy$ に乗っています。図1の4つ目の段階がこの曲線です。

平面との交わりで見ると、 $\mathbb{P}^3$ の中の曲線の次数も型から読めます。型 $(a,b)$ の曲線と一般の平面（型 $(1,1)$ ）の交点は、次の定理から $a+b$ 個です。ねじれ3次曲線なら $1+2=3$ です。

定理16 $Q$ の上の交点の数 [2, 例1.4.3, p.96]

$C,D$ を $Q$ の上の型 $(a,b)$ 、 $(a',b')$ の曲線で、共通の成分をもたないとする。交点を重複度こみで数えると、ちょうど

C\cdot D=ab'+a'b

\begin{aligned}C\cdot D &= ab'+a'b\end{aligned}

個である。

交点重複度は第9回と同じく、点のまわりの座標で $\dim_k\mathcal{O}_p/(f,g)$ として数えます（第9回の定義1）。特別な場合として、同じ族の2本の直線は $(1,0)\cdot(1,0)=0$ 、違う族の2本は $(1,0)\cdot(0,1)=1$ で、命題8の (1)(2) と一致します。

一般の場合の証明はハーツホーンに任せ、直線との交点だけ確かめます。

命題17 直線との交点

$D$ を型 $(a',b')$ の曲線で、 $L_\alpha$ を含まないものとする。 $L_\alpha\cap D$ は重複度こみで $b'$ 個である。

証明

$D=V(F)$ とする。 $F(\alpha,b)$ は $b_0,b_1$ の $b'$ 次の斉次式で、 $L_\alpha\not\subseteq D$ なので0でない。
$k$ は代数閉体なので、 $F(\alpha,b)$ は $b'$ 個の1次式の積に分かれる。その根が $L_\alpha\cap D$ の点 $\sigma(\alpha,\beta)$ で、根の重複度が交点重複度である。

点のまわりで、 $a$ の座標を $u$ （ $\alpha$ で $u=0$ ）、 $b$ の座標を $v$ とすると、 $L_\alpha$ は $u=0$ である。交点重複度は $\dim_k k[u,v]_{(u,v)}/(u,f)=\dim_kk[v]_{(v)}/(f(0,v))$ で、 $f(0,v)$ の根 $v=0$ の重複度に等しい。

$(1,0)\cdot(a',b')=1\cdot b'+a'\cdot0=b'$ なので、定理と合っています。

例18 交点を数える

$k=\mathbb{C}$ とし、 $C$ を鞍形の曲面の上のねじれ3次曲線 $(t,t^2,t^3)$ （型 $(1,2)$ ）とする。

(1)　直線 $y=c$ （ $L$ の1本、 $c\neq0$ ）とは $t=\pm\sqrt c$ の2点、直線 $x=c$ （ $M$ の1本）とは $t=c$ の1点。 $(1,2)\cdot(1,0)=2$ 、 $(1,2)\cdot(0,1)=1$ 。
(2)　平面 $z_{00}=z_{11}$ （鞍形の曲面では $z=1$ ）とは $t^3=1$ の3点 $t=1,\ \omega,\ \omega^2$ （ $\omega=e^{2\pi i/3}$ ）。 $(1,2)\cdot(1,1)=3$ 。
(3)　平面 $z_{01}=z_{10}$ （鞍形の曲面では $x=y$ ）とは、 $t=t^2$ の2点 $t=0,1$ と、無限遠の点 $[0:0:0:1]$ の3点。
(4)　 $C$ と型 $(1,2)$ の曲線 $C'\colon a_1b_0^2=a_0(2b_0^2-b_1^2)$ （ $a=2-b^2$ ）は、 $(a,b)=(1,\pm1)$ の2点と、 $(\infty,\infty)$ で重複度2の点で交わり、合計 $4=(1,2)\cdot(1,2)$ 。

証明

(1)(2) は代入するだけである。(2) の3点は $t^3-1$ の相異なる根で、実数の点は $t=1$ だけである。
(3) $t=\infty$ の点は $[s^3:s^2t:st^2:t^3]$ の $s=0$ 、つまり $[0:0:0:1]$ で、 $z_{01}=z_{10}=0$ をみたす。
(4) $a$ と $b$ が有限の所では $b^2=2-b^2$ から $b=\pm1$ 。無限遠では $a_0=0$ か $b_0=0$ で、どちらの式からも $a_0=b_0=0$ 、つまり点 $(\infty,\infty)$ だけ。

$C$ は $a_1b_0^2=a_0b_1^2$ である。 $b_0=0$ なら $a_0b_1^2=0$ で $a_0=0$ 。 $a_0=0$ なら $a_1b_0^2=0$ で $b_0=0$ 。 $C'$ も同じである。
$(\infty,\infty)$ のまわりの座標 $u=a_0/a_1$ 、 $v=b_0/b_1$ では、 $C$ は $u=v^2$ 、 $C'$ は $v^2=u(2v^2-1)$ 。 $u=v^2$ を代入すると $2v^2(v^2-1)$ で、 $v=0$ は2重根である。

$(1,\pm1)$ では $C$ の傾き $da/db=2b$ と $C'$ の傾き $-2b$ が違う（標数 $\neq2$ ）ので、重複度は1である。合計は $1+1+2=4$ 。

(2) で、実数の図（図1）に見える交点は $t=1$ の1点だけです。残りの2点は複素数の点です。(3) と (4) では、無限遠の点まで数えて初めて $ab'+a'b$ に届きます。第9回のベズーの定理で見たことが、 $Q$ の上でも起きています。

b

a

\infty

0

b

a

\infty

0

(\alpha,\beta)

横の線

\{\alpha\}\times\mathbb{P}^1

：型

(1,0)

縦の線

\mathbb{P}^1\times\{\beta\}

：型

(0,1)

(\infty,\infty)

a=b

：型

(1,1)

a=b^2

：型

(1,2)

図3概念図

\mathbb{P}^1(\mathbb{R})\times\mathbb{P}^1(\mathbb{R})

を正方形で描いた図です。横に

b

、縦に

a

をとり、

\pm\infty

を正方形の辺に置いています（目盛りは

\arctan

で縮めています）。向かい合う辺は同じ

\infty

なので貼り合わせて考え、四隅はすべて同じ点

(\infty,\infty)

です。左は2つの族で、横の線が

L_\alpha

（型

(1,0)

）、縦の線が

M_\beta

（型

(0,1)

）です。右は対角線

a=b

（型

(1,1)

）と放物線

a=b^2

（型

(1,2)

、ねじれ3次曲線）です。放物線は横の線と2点、縦の線と1点で交わります。対角線との交点は

0

、

1

と隅の

(\infty,\infty)

の3点で、

(1,1)\cdot(1,2)=3

です。

交点の数が $ab'+a'b$ という双線形の式になるのは、型が因子類群の元を表しているからです。

定理19 $Q$ の因子類群 [1, 例6.6.1, p.184; 1, 例6.6.2, p.185]

$\operatorname{Cl}(Q)\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ で、型 $(a,b)$ の曲線の類は $(a,b)$ に対応する。平面との交わりの類は $(1,1)$ である。

$\mathbb{P}^1$ では次数が同型 $\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^1)\cong\mathbb{Z}$ を与えました（第10回の系15）。 $Q$ では「 $a$ についての次数」と「 $b$ についての次数」の2つが独立に残ります。同じ双次数の $F,G$ の比 $F/G$ は $Q$ の有理関数で、その因子の類は $(0,0)$ です。

例20 ねじれ3次曲線は1つの曲面では切り出せない [1, 例6.6.3, p.185]

$\mathbb{P}^3$ のどんな曲面 $Y$ についても、 $Y\cap Q$ はねじれ3次曲線 $C$ と集合として一致しない。一方、2次の錐 $Y_0\colon z_{01}^2=z_{00}z_{10}$ との交わりは $Y_0\cap Q=C\cup L_{[0:1]}$ である。

証明

$Y\supseteq Q$ なら $Y\cap Q=Q$ で、 $C$ とは違う。 $Y$ を $Q$ を含まない $d$ 次の曲面とすると、 $Y\cap Q$ は因子として型 $(d,d)$ の類をもつ（平面との交わりの $d$ 倍と同じ類）。
$Y\cap Q=C$ が集合として成り立つなら、因子として $Y\cap Q=rC$ （ $r>0$ ）で、型は $(r,2r)$ 。 $(d,d)=(r,2r)$ から $r=0$ となり矛盾。
$Y_0\cap Q$ ： $z_{00}\neq0$ の所では $z_{10}=z_{01}^2$ 、 $z_{11}=z_{01}z_{10}=z_{01}^3$ で $C$ の点。 $z_{00}=0$ の所では $z_{01}=0$ で、 $\{z_{00}=z_{01}=0\}=L_{[0:1]}$ 。型は $(2,2)=(1,2)+(1,0)$ で合っている。

同じ議論で、型 $(a,b)$ が $a\neq b$ の既約な曲線は、 $Q$ と別の曲面1つの交わりとしては書けません。ねじれ3次曲線を式で切り出すには、 $Q$ と $Y_0$ の交わりから余分な直線 $L_{[0:1]}$ を除くか、2次曲面 $z_{10}^2=z_{01}z_{11}$ を加えて3つの2次曲面の交わりにします。

型から曲線の種数も読めます。型 $(a,b)$ （ $a,b\geq1$ ）の非特異な曲線の種数は $(a-1)(b-1)$ です[2, 例1.5.2, p.97]。

型	$(1,1)$	$(1,2)$	$(2,2)$	$(2,3)$	$(3,3)$
$\mathbb{P}^3$ での次数 $a+b$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
種数 $(a-1)(b-1)$	$0$	$0$	$1$	$2$	$4$
例	円錐曲線	ねじれ3次曲線	2次曲面2つの交わり	平面曲線にない種数	3次曲面との交わり

型 $(2,2)$ の曲線は $Q$ ともう1つの2次曲面の交わりで、非特異なら種数1の曲線（楕円4次曲線）です[1, 演習5.11, p.51–52]。型 $(2,3)$ の種数2の曲線は、第16回で非特異な平面曲線には現れないと見た種数です。平面曲線の種数 $(d-1)(d-2)/2$ （第16回の命題5）と比べると、 $Q$ の上では種数の現れ方が違います。

専門的な話型

(a,b)

の直線束と埋め込み

第11回の $\mathcal{O}(n)$ の類似として、 $Q$ には型 $(a,b)$ の可逆層 $\mathcal{O}(a,b)$ があります。 $a,b\geq0$ なら、大域切断は双次数 $(a,b)$ の双斉次式で、次元は $(a+1)(b+1)$ です。 $\mathcal{O}(1,1)$ の切断 $a_ib_j$ を並べたものがセグレ埋め込みです。

ハーツホーンは、 $a,b>0$ なら $\mathcal{O}(a,b)$ が非常に豊富であることを、2つの $\mathbb{P}^1$ をそれぞれ次数 $a$ 、 $b$ の単項式で埋め込み、その積をセグレ埋め込みで送って示しています[1, 例7.6.2, p.211–212]。次数の高い単項式で埋め込む方法は、次回のヴェロネーゼ埋め込みです。

2次曲面と射影平面

$Q$ と $\mathbb{P}^2$ は、どちらも「 $\mathbb{A}^2$ に無限遠の部分を足した曲面」です。違うのは足し方です。

命題21 $Q$ から2本の直線を除くと平面

$p=[0:0:0:1]=\sigma([0:1],[0:1])$ を通る2本の直線を $L=L_{[0:1]}=\{z_{00}=z_{01}=0\}$ 、 $M=M_{[0:1]}=\{z_{00}=z_{10}=0\}$ とする。

Q\cap\{z_{00}=0\}=L\cup M\qquad Q\setminus(L\cup M)\ \cong\ \mathbb{A}^2\ \cong\ \mathbb{P}^2\setminus V_+(u_0)

\begin{gathered}Q\cap\{z_{00}=0\}=L\cup M\\Q\setminus(L\cup M)\ \cong\ \mathbb{A}^2\ \cong\ \mathbb{P}^2\setminus V_+(u_0)\end{gathered}

\begin{aligned}Q\cap\{z_{00}=0\} &= L\cup M\\[4pt]Q\setminus(L\cup M) &\cong \mathbb{A}^2\\&\cong \mathbb{P}^2\setminus V_+(u_0)\end{aligned}

証明

$z_{00}=0$ なら $Q$ の式は $z_{01}z_{10}=0$ で、 $z_{01}=0$ か $z_{10}=0$ 。それぞれ $L$ と $M$ である。
$z_{00}\neq0$ の部分は鞍形の曲面 $z=xy$ で、 $(x,y,z)\mapsto(x,y)$ とその逆 $(x,y)\mapsto(x,y,xy)$ で $\mathbb{A}^2$ と同型である。

この同型は、点 $p$ から平面への射影 $[z_{00}:z_{01}:z_{10}:z_{11}]\mapsto[z_{00}:z_{01}:z_{10}]$ で書けます。逆向きは、 $\mathbb{P}^2$ の座標 $[u_0:u_1:u_2]$ で

\begin{aligned} &[u_0:u_1:u_2]\\ &\longmapsto[u_0^2:u_0u_1:u_0u_2:u_1u_2] \end{aligned}

です。右辺は $u_0^2\cdot u_1u_2=u_0u_1\cdot u_0u_2$ なので $Q$ に乗ります。

ただし、どちらの写像も全体では定義されません。射影は $p$ で定義されず、 $L$ を点 $[0:0:1]$ に、 $M$ を点 $[0:1:0]$ に潰します。逆向きの写像は、右辺がすべて0になる2点 $[0:1:0]$ 、 $[0:0:1]$ で定義されず、直線 $u_0=0$ を点 $p$ に潰します。

$Q$ と $\mathbb{P}^2$ は同型ではありません。 $\mathbb{P}^2$ では、ベズーの定理（第5回の定理12）により、どの2曲線も交わります。一方、 $Q$ には交わらない2本の直線 $L_\alpha$ 、 $L_{\alpha'}$ があります。

因子類群も $\mathbb{Z}$ と $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$ で違います。

専門的な話ブローアップで見た

Q

と

\mathbb{P}^2

潰される曲線と定義されない点は、ブローアップで整理できます。第7回で扱ったのは平面の原点でのブローアップ（第7回の定義2）ですが、曲面の点でも同じように定義できます[1, §II.7, p.221–222]。

$Q$ を点 $p$ でブローアップした曲面と、 $\mathbb{P}^2$ を2点 $[0:1:0]$ 、 $[0:0:1]$ でブローアップした曲面は同型です[2, 演習4.1, p.161]。

$Q$ の側では $p$ が例外曲線に替わり、 $\mathbb{P}^2$ の側では2点がそれぞれ例外曲線に替わります。 $Q$ の $L,M$ が $\mathbb{P}^2$ の側の2本の例外曲線に、 $\mathbb{P}^2$ の直線 $u_0=0$ が $Q$ の側の例外曲線に対応します。

逆向きの写像の成分 $u_0^2,\ u_0u_1,\ u_0u_2,\ u_1u_2$ は、2点 $[0:1:0]$ 、 $[0:0:1]$ を通る円錐曲線の式の基底です。ハーツホーンの演習は、この「2点を通る円錐曲線の線形系」で写像を作っています。

まとめ：2次曲面の表

見方	式・対応	例
セグレ埋め込み	$([a],[b])\mapsto[a\,{}^t b]$ 、像は $\det Z=0$	$([1:2],[3:1])\mapsto[3:1:6:2]$
2つの直線の族	$L_\alpha$ （列が $\alpha$ に比例）、 $M_\beta$ （行が $\beta$ に比例）	接平面 $z_{11}=0$ で切ると $L_{[1:0]}\cup M_{[1:0]}$
アフィンの部分	$z_{00}\neq0$ で $z=xy$	格子 $x=t$ 、 $y=s$
実数の点	$x^2+y^2-z^2=1$ （標数 $\neq2$ の取り替え）	$\ell_\theta=L_{[c:s]}$ 、 $m_\theta=M_{[c:s]}$
分類	代数閉体・標数 $\neq2$ で非退化なら $Q$ に移る	球面は実数の直線をもたず、複素数の直線 $(1,\pm it,t)$ をもつ
曲線の型	双次数 $(a,b)$ 、 $C\cdot D=ab'+a'b$	ねじれ3次曲線 $(1,2)$ 、平面切断 $(1,1)$
因子類群	$\operatorname{Cl}(Q)\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$	ねじれ3次曲線は1つの曲面では切り出せない

2次曲面 $Q$ は、行列式が0の $2\times2$ 行列の集まりで、行列を縦と横のベクトルに分けることが $Q=\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ という同一視でした。2つの直線の族は2つの成分の座標の線で、曲線の型や因子類群も「2つの次数」として現れました。

次回：次数を上げて埋め込む

今回のセグレ埋め込みは、2つの $\mathbb{P}^1$ の座標の積を並べて $\mathbb{P}^3$ に入れました。次回は、1つの $\mathbb{P}^1$ の座標の $d$ 次の単項式を並べる写像 $[s:t]\mapsto[s^d:s^{d-1}t:\cdots:t^d]$ を考えます。

$d=2$ なら円錐曲線、 $d=3$ なら今回 $Q$ の上で型 $(1,2)$ として見たねじれ3次曲線になります。こうしてできる曲線を有理正規曲線と呼びます。 $\mathbb{P}^2$ を2次の単項式で $\mathbb{P}^5$ に埋め込むヴェロネーゼ曲面も扱います。

第5回の定義7 斉次化と射影閉包

$k$ を体、 $f\in k[x,y]$ を次数 $d\geq1$ の多項式とする。

F(x_0,x_1,x_2)=x_0^d\,f\Bigl(\frac{x_1}{x_0},\ \frac{x_2}{x_0}\Bigr)

\begin{aligned}F(x_0,x_1,x_2) &= x_0^d\,f\Bigl(\frac{x_1}{x_0},\ \frac{x_2}{x_0}\Bigr)\end{aligned}

を $f$ の斉次化と呼ぶ。 $F$ は次数 $d$ の斉次多項式である。 $F=0$ をみたす点 $[x_0:x_1:x_2]$ の全体を、曲線 $f=0$ の射影閉包と呼ぶ。

第7回の定義1 $\mathbb{A}^2\times\mathbb{P}^1$ の閉集合

多項式 $F\in k[x,y,u_0,u_1]$ が $u_0,u_1$ について $d$ 次の斉次式であるとは、各項の $u_0,u_1$ の次数の和がすべて $d$ であることをいう。このとき $\lambda\in k$ について

\begin{aligned} &F(x,y,\lambda u_0,\lambda u_1)\\ &\quad=\lambda^dF(x,y,u_0,u_1) \end{aligned}

なので、 $F$ が0になるかどうかは斉次座標の取り方によらない。そのような斉次式の集合 $S$ について、

\begin{aligned} &V(S)\\ &=\bigl\{\,\bigl((a,b),[c_0:c_1]\bigr)\in\mathbb{A}^2\times\mathbb{P}^1\\ &\quad\bigm|F(a,b,c_0,c_1)=0\ (F\in S)\,\bigr\} \end{aligned}

の形の集合を $\mathbb{A}^2\times\mathbb{P}^1$ の閉集合と呼ぶ。

第8回の定義6 ファイバー

$\varphi\colon B\to A$ を環の準同型、 $f\colon\operatorname{Spec}A\to\operatorname{Spec}B$ を対応する射とする。 $P\in\operatorname{Spec}B$ について、 $B\to\kappa(P)$ を値をとる写像とし、

X_P=\operatorname{Spec}\bigl(A\otimes_B\kappa(P)\bigr)

\begin{aligned}X_P &= \operatorname{Spec}\bigl(A\otimes_B\kappa(P)\bigr)\end{aligned}

を $f$ の点 $P$ の上のファイバーと呼ぶ。 $P$ が $\operatorname{Spec}B$ の生成点のとき（例えば $B$ が整域で $P=(0)$ のとき）、 $X_P$ を生成ファイバーと呼ぶ。

第5回の例6 交点の計算

(1)　 $k=\mathbb{R}$ 。平行な2直線 $y=2x+1$ 、 $y=2x-3$ は $\alpha=(1,2,-1)$ 、 $\beta=(-3,2,-1)$ で、

\begin{aligned} \alpha\times\beta&=\bigl(2\cdot(-1)-(-1)\cdot2,{}\\ &\qquad(-1)(-3)-1\cdot(-1),{}\\ &\qquad1\cdot2-2\cdot(-3)\bigr)\\ &=(0,4,8) \end{aligned}

なので、交点は $[0:4:8]=[0:1:2]$ である。

(2)　 $k$ を任意の体、 $b_1\neq b_2$ とする。 $y=mx+b_1$ と $y=mx+b_2$ は

\begin{aligned} &(-b_1,-m,1)\times(-b_2,-m,1)\\ &\quad=\bigl(0,\ b_1-b_2,\ m(b_1-b_2)\bigr) \end{aligned}

より、無限遠点 $[0:1:m]$ で交わる。

(3)　 $k=\mathbb{R}$ 。縦の2直線 $x=1$ 、 $x=3$ は $(-1,1,0)\times(-3,1,0)=(0,0,2)$ より $[0:0:1]$ で交わる。平行でない $y=x$ と $y=-x+2$ は $(0,-1,1)\times(-2,1,1)=(-2,-2,-2)$ より $[1:1:1]$ 、つまり平面の点 $(1,1)$ で交わる。

(4)　 $k=\mathbb{F}_5$ 。 $y=2x+1$ と $y=2x+3$ は (2) より $[0:1:2]$ で交わる。 $y=x+1$ と $y=3x$ は

\begin{aligned} &(-1,-1,1)\times(0,-3,1)\\ &\quad=(2,1,3)\\[4pt] &[2:1:3]=[3\cdot2:3\cdot1:3\cdot3]\\ &\quad=[1:3:4] \end{aligned}

より、平面の点 $(3,4)$ で交わる（ $2^{-1}=3$ を掛けた）。実際 $4=3+1$ 、 $4\equiv3\cdot3\pmod5$ である。

第6回の例9 ねじれ3次曲線とその影

ねじれ3次曲線 $C=V(y-x^2,\ z-x^3)\subseteq\mathbb{A}^3$ は1次元で、ヤコビ行列は

J(p)=\begin{pmatrix}-2x&1&0\\-3x^2&0&1\end{pmatrix}

である。右の2列から階数はどの点でも $2=3-1$ で、 $C$ は非特異である。原点での接空間は $T_0C=\operatorname{Ker}J(0)=\{(v_1,0,0)\}$ 、つまり $x$ 軸の方向である。

一方、影 $D=V(y^3-z^2)\subseteq\mathbb{A}^2$ （座標 $y,z$ ）では、偏微分 $(3y^2,\ -2z)$ が原点で0になる。よって原点は $D$ の特異点で、例4(2) と同じく、どの標数でもこれが唯一の特異点である。

第9回の定義1 交点重複度

$f,g\in k[x,y]$ を、共通の因子（定数でない共通の約数）をもたない多項式とする。点 $p\in\mathbb{A}^2$ について

I_p(f,g)=\dim_k\ \mathcal{O}_p/(f,g)\mathcal{O}_p

\begin{aligned}I_p(f,g) &= \dim_k\ \mathcal{O}_p/(f,g)\mathcal{O}_p\end{aligned}

を、曲線 $V(f)$ と $V(g)$ の $p$ での交点重複度と呼ぶ。

第10回の系15

次数は同型 $\deg\colon\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^1)\to\mathbb{Z}$ を引き起こす。とくに、どの因子 $D$ も $(\deg D)\{\infty\}$ と線形同値である。

第16回の命題5 平面曲線の種数

$k$ を代数閉体（標数は任意）とし、 $C\subseteq\mathbb{P}^2$ を非特異な $d$ 次曲線とする。 $C$ の種数は

g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}

\begin{aligned}g &= \frac{(d-1)(d-2)}{2}\end{aligned}

である。

第5回の定理12 ベズーの定理

$k$ を代数閉体とし、 $Y,Z$ を $\mathbb{P}^2$ の相異なる既約な曲線で、次数がそれぞれ $d,e$ とする。交点を重複度こみで数えると、ちょうど $de$ 個である。

第7回の定義2 原点でのブローアップ

$\mathbb{A}^2\times\mathbb{P}^1$ の閉集合

\begin{aligned} \widetilde{\mathbb{A}}^2&=V(xu_1-yu_0)\\ &=\bigl\{\,\bigl((x,y),[u_0:u_1]\bigr)\\ &\qquad\quad\bigm|xu_1=yu_0\,\bigr\} \end{aligned}

を、 $\mathbb{A}^2$ の原点 $O=(0,0)$ でのブローアップと呼ぶ。第1成分への写像を $\pi\colon\widetilde{\mathbb{A}}^2\to\mathbb{A}^2$ 、 $\bigl((x,y),[u_0:u_1]\bigr)\mapsto(x,y)$ と書き、 $E=\pi^{-1}(O)$ を例外曲線と呼ぶ。

定数でない1変数多項式が、必ずその体の中に根をもつ体。例： $\mathbb{C}$ 。 $\mathbb{R}$ は代数閉体ではない（ $x^2+1$ に根がない）。代数閉体は必ず無限体である。

体 $k$ で $1+1+\dots+1$ （ $p$ 個） $=0$ となる最小の正の整数 $p$ 。そのような $p$ がなければ標数0と言う。標数は0か素数で、 $\mathbb{F}_p$ の標数は $p$ 、 $\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ の標数は0。体でない環でも同じように定める（ $\mathbb{Z}$ の標数は0、 $\mathbb{Z}/6$ の標数は6）。0か素数になるのは体や整域の場合。

どの点のまわりも、ある環 $A$ の $\operatorname{Spec}A$ （素イデアル全体に位相と構造層を載せた空間）と同じ形をしている空間。 $\operatorname{Spec}A$ を貼り合わせて作れる。零点集合では区別できない $x=0$ と $x^2=0$ の違いも扱える。連載第4回で定義している。

環の準同型 $B\to A$ 、 $B\to C$ から作る環 $A\otimes_BC$ 。 $a\otimes c$ の形の元の和からなり、 $b\in B$ について $(ba)\otimes c=a\otimes(bc)$ とみなす。例： $B[x]\otimes_BC\cong C[x]$ 、 $A\otimes_B(B/J)\cong A/JA$ 。加群 $M,N$ についても同じように $M\otimes_BN$ を作る。

位相空間の間の全単射 $f$ で、 $f$ も逆写像も連続なもの。開集合を開集合にちょうど移すので、位相空間として同じものとみなせる。

行列から行と列を同じ数ずつ選び、その交わりの成分でできる正方行列の行列式。例えば $2\times4$ 行列の第 $i,j$ 列からなる $2\times2$ 小行列式は $u_iv_j-u_jv_i$ 。行列の階数は、0でない小行列式の最大のサイズに等しい。

アフィン空間 $\mathbb{A}^n$ （や射影空間）の中で、定数でない1つの多項式 $f$ の零点 $V(f)$ として表される集合。単項イデアル定理から、各既約成分の次元は $n-1$ である。例： $\mathbb{A}^3$ の錐面 $xy=z^2$ 。

既約な閉集合 $Z$ に対して、閉包がちょうど $Z$ になる点を $Z$ の生成点と呼ぶ。 $\operatorname{Spec}k[x,y]$ では、素イデアル $(0)$ に対応する点が平面全体の生成点になる。

0 でない元どうしの積が0にならない可換環（ $ab=0$ なら $a=0$ または $b=0$ ）。例： $\mathbb{Z}$ 、体上の多項式環。 $A/P$ が整域であることと、 $P$ が素イデアルであることは同値。

参考文献

R. ハーツホーン（高橋宣能・松下大介訳）, 『代数幾何学 1』, 丸善出版, 2013.
R. ハーツホーン（高橋宣能・松下大介訳）, 『代数幾何学 3』, 丸善出版, 2012.