関数のかわりに切断を：直線束と O(n)

前回の宿題

第10回では、曲線の上の有理関数 $f$ の零点と極を、点ごとの位数 $\operatorname{ord}_P(f)$ で数えました。形式的な和 $D=\sum n_PP$ を因子と呼び、$f$ の因子を $\operatorname{div}(f)=\sum_P\operatorname{ord}_P(f)P$ と書きます。射影直線 $\mathbb{P}^1$ では、因子をその次数 $\deg D=\sum n_P$ で分類でき、$\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^1)\cong\mathbb{Z}$ でした。

一方、第4回で見たとおり、$\mathbb{P}^1$ 全体の上の関数は定数だけです（第4回の定理14）。$\mathbb{P}^1$ の幾何を調べるには、関数だけでは材料が足りません。

ここで斉次座標の $x_0$ を考えます。$x_0$ は $\mathbb{P}^1$ の上の関数ではありません。点 $[1:2]=[2:4]$ での「値」が、代表の取り方で $1$ にも $2$ にもなるからです。それでも、$x_0=0$ となる点（$\infty=[0:1]$）は代表によらず決まり、比 $x_0/x_1=s$ は $x_1\neq0$ の部分の関数になります。

$n$ 次の斉次式 $F$ も同じです。地図ごとに $x_0^n$ や $x_1^n$ で割れば関数になり、2枚の地図の関数は $t^n$ 倍だけずれます。このずれを貼り合わせのデータとして持つのが直線束 $\mathcal{O}(n)$ で、$F$ はその切断です。

この記事では、まず可逆層（直線束）を定義し、変換関数で貼り合わせて作る方法を説明します。次に $\mathbb{P}^1$ の上の $\mathcal{O}(n)$ の大域切断が $n$ 次斉次式であることを示し、因子との対応から $\operatorname{Pic}\mathbb{P}^1\cong\mathbb{Z}$ を導きます。最後に $\mathcal{O}(-1)$ の全空間が第7回のブローアップと同じ貼り合わせでできていることを確かめ、実数の点をメビウスの帯として立体図で見ます。

加群の層と可逆層

環付き空間 $(X,\mathcal{O}_X)$ の上で、「関数を掛けられるもの」の層を考えます。

$\mathcal{O}_X$ 自身が $\mathcal{O}_X$ 加群です。各 $\mathcal{O}_X(U)$ を、掛け算で自分自身の上の加群とみればよいからです。

ハーツホーンは、$\mathcal{O}_X$ のいくつかの直和と同型な加群を自由、局所的に自由な加群を局所自由と呼び、可逆層を「階数1の局所自由層」として定義しています。上の定義はこれを言い直したものです。

可逆層は直線束とも呼ばれます。各点の上に1本の直線（ファイバー）が乗った空間として見たときの呼び方で、その空間は後の節で作ります。

可逆層は、各点の近くでは関数の層と区別がつきません。違いが出るのは、局所的な同型をつなげて全体に広げようとするときです。メビウスの帯が、どの小さな部分も細い長方形なのに、全体では長方形をただ丸めた輪にならないのと同じです。

(2) の $\mathcal{J}$ は、原点で0になる関数の層です。加群としては $\mathcal{O}_X$ と同型ですが、$\mathcal{O}_X$ の部分層としては $\mathcal{O}_X$ 全体より小さく、原点での値が0という条件が付いています。後で、因子 $D$ から作る $\mathcal{O}(D)$ も、有理関数の中の部分層として定義します。

変換関数で貼り合わせる

可逆層を具体的に作る方法を与えます。各 $U_i$ の上では $\mathcal{O}_X$ を使い、重なりでの読み替えを単元で指定します。

$\sigma_i$ は「地図 $U_i$ で読んだ切断」で、$g_{ij}$ は地図 $U_j$ の読みを地図 $U_i$ の読みに直す係数です。コサイクル条件で $k=i$ とすると $g_{ij}g_{ji}=1$ なので、$g_{ji}=g_{ij}^{-1}$ です。

逆に、可逆層 $\mathcal{L}$ と同型 $\varphi_i\colon\mathcal{L}|_{U_i}\to\mathcal{O}_X|_{U_i}$ が与えられれば、$g_{ij}=\varphi_i\bigl(\varphi_j^{-1}(1)\bigr)$ とおくことで、$\mathcal{L}$ はこの変換関数から作った層と同型になります。$\sigma\in\mathcal{L}(V)$ に組 $\sigma_i=\varphi_i(\sigma|_{V\cap U_i})$ を対応させればよく、$\varphi_i\circ\varphi_j^{-1}$ は $\mathcal{O}_X$ 線形なので、$\sigma_i=\varphi_i\varphi_j^{-1}(\sigma_j)=g_{ij}\,\sigma_j$ となるからです。可逆層は、どれも変換関数で作れるということです。

被覆が2つの開集合 $U_0,U_1$ だけなら、データは単元 $g_{01}\in\mathcal{O}_X(U_0\cap U_1)^\times$ が1つだけです（$g_{10}=g_{01}^{-1}$）。$V=X$ とすると、大域切断は次の四角形の左上に入る組 $(\sigma_0,\sigma_1)$ です。

$g_{01}=1$ なら $\mathcal{L}=\mathcal{O}_X$ で、これは第4回の定義8の四角形（全体の関数の計算）と同じ形です。右の縦の矢印に単元 $g_{01}$ を掛ける操作を挟んだことだけが違います。

2つの可逆層 $\mathcal{L},\mathcal{M}$ が同じ被覆の変換関数 $g_{ij},h_{ij}$ で与えられているとき、テンソル積 $\mathcal{L}\otimes\mathcal{M}$ は変換関数 $g_{ij}h_{ij}$ で、逆元 $\mathcal{L}^{-1}$ は $g_{ij}^{-1}$ で与えられます[1, 命題6.12, p.195]。切断の積 $(\sigma_i\tau_i)$ が $\sigma_i\tau_i=(g_{ij}h_{ij})\,\sigma_j\tau_j$ をみたすことから、この変換関数が出てきます。

可逆層の同型類の全体は、テンソル積を演算として群になります。これを $X$ のピカール群と呼び、$\operatorname{Pic}X$ と書きます[1, §II.6 定義, p.196]。単位元は $\mathcal{O}_X$ です。

射影直線の上の $\mathcal{O}(n)$

以下、$\mathbb{P}^1$ は第4回の例10のとおり、2本の直線を $s=1/t$ で貼り合わせたものです。第4回の $X_1,X_2$ を、斉次座標に合わせて $U_0,U_1$ と書きます。

変換関数 $t^n$ は、$n$ 次斉次式 $F$ を2通りに割った商の比です。$F$ を $x_0^n$ で割ると $U_0$ の関数、$x_1^n$ で割ると $U_1$ の関数になり、

例えば $F=x_0$ なら $(f_0,f_1)=(1,s)$ で、確かに $1=t\cdot s$ です。向きを逆にして $f_1=t^nf_0$ とすると、できるのは $\mathcal{O}(-n)$ です。この記事では、つねに $f_0=t^nf_1$ の向きを使います。

$\mathcal{O}(0)$ は変換関数が $1$ なので $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}$ です。ハーツホーンは $\mathcal{O}(1)$ を Serre のねじり層と呼び、次数付き環から直接定義しています（下の「専門的な話」で触れます）。

$n=0$ の場合が第4回の定理14（全体の関数は定数だけ）です。第4回では $k[t]$ と $k[1/t]$ の共通部分が定数だけでしたが、$\mathcal{O}(n)$ では $1/t$ の側を $t^n$ 倍だけずらすので、共通部分が $t^0,\dots,t^n$ の $n+1$ 個に広がります。

零点の列は、$f_0$ と $f_1$ の零点を、それぞれの地図の点として読んだものです。$f_0$ の零点 $t=a$ は点 $[1:a]$、$f_1$ の零点 $s=0$ は無限遠点 $\infty=[0:1]$ です。重なりの点では $f_0$ と $f_1$ が単元 $t^2$ の違いしかないので、どちらで読んでも同じ点が零点になります。

切断どうしは掛け算できます。$\mathcal{O}(n)$ の切断 $(f_0,f_1)$ と $\mathcal{O}(m)$ の切断 $(g_0,g_1)$ について、

なので、$(f_0g_0,\ f_1g_1)$ は $\mathcal{O}(n+m)$ の切断です。斉次式では積 $FG$ に当たります。変換関数が $t^nt^m=t^{n+m}$ になることから $\mathcal{O}(n)\otimes\mathcal{O}(m)\cong\mathcal{O}(n+m)$ で、とくに $\mathcal{O}(n)^{-1}\cong\mathcal{O}(-n)$ です[1, 命題5.12 (b), p.159]。