穴の数を方程式から読む：曲線の種数

この記事の要点

種数: 非特異な射影曲線の種数 $g$ は、正則な微分形式の空間の次元 $\ell(K)$ です。標準因子の次数は $2g-2$ で、複素数の点がなす曲面では穴の数になります。
平面曲線: 非特異な $d$ 次の平面曲線の種数は $(d-1)(d-2)/2$ です。 $d=1,2,3,4,5$ で $0,0,1,3,6$ になり、種数2の曲線は現れません。
特異点で減る: 特異点があると、種数は特異点ごとに $\delta_P$ だけ減ります。結節点と尖点では $\delta_P=1$ 、タクノードでは $2$ です。特異点をもつ既約な3次曲線は幾何種数0で、 $\mathbb{P}^1$ で媒介変数表示できます。
リーマン・フルヴィッツ: $n$ 次の射 $X\to Y$ では $2g_X-2=n(2g_Y-2)+\sum(e_P-1)$ です。 $y^2=x^3-x$ の $x$ 座標では $0=2\cdot(-2)+4$ となり、重根のない $f$ なら $y^2=f(x)$ の種数は $f$ の次数で決まります。

証明は、ステップの流れだけを短く書いています。「詳しく」の付いた行をクリックすると、そのステップの詳しい説明が開きます。説明の中にも開ける行があります。
定義・命題・定理には、記事全体で通し番号を振っています。
もう少し詳しくは補足、専門的な話は先の回につながる話題です。どちらも開かずに読み進められます。
各ブロックの「AIに質問」を押すと、その部分の内容を入れた質問文で、お使いのAIを開けます。

前回の宿題

第15回では、曲線 $X$ の上の因子 $D$ について、関数の空間 $L(D)$ の次元 $\ell(D)$ を数えるリーマン・ロッホの定理を見ました。

\ell(D)-\ell(K-D)=\deg D+1-g\qquad g=\ell(K)

\begin{gathered}\ell(D)-\ell(K-D)=\deg D+1-g\\g=\ell(K)\end{gathered}

\begin{aligned}\ell(D)-\ell(K-D) &= \deg D+1-g\\[4pt]g &= \ell(K)\end{aligned}

ここで $K$ は標準因子、 $g$ は種数です。 $\mathbb{P}^1$ では $g=0$ 、楕円曲線では $g=1$ でした。

第15回の最後に、種数を方程式から読むと予告しました。平面の $d$ 次曲線の種数は $(d-1)(d-2)/2$ で、複素数の点で見ると穴の数になる、という話です。

この記事では、まず種数の3つの見方（ $\ell(K)$ 、 $\deg K$ 、穴の数）を並べます。次に、平面曲線の種数の公式を導き、特異点があると種数が減ることを例で確かめます。最後に、射の分岐から種数を数えるリーマン・フルヴィッツの公式を使い、 $y^2=f(x)$ の形の曲線の種数を求めます。

種数の3つの見方

この記事では $k$ を代数閉体とします。ハーツホーンの第 IV 章にならい、曲線と言えば $k$ 上の完備な非特異曲線、つまり非特異な射影曲線を指し、点は閉点を指します[1, §IV.1, p.2]。

特異点をもつ曲線や平面の中の曲線は、そのつど断ります。標数も、例ごとに断ります。

正則な微分形式と標準因子は第13回で扱いました。曲線 $X$ の0でない有理微分形式 $\omega$ の因子 $\operatorname{div}(\omega)$ の線形同値類が $K$ で、正則な微分形式の空間は、 $\omega$ を1つ決めると $h\mapsto h\,\omega$ で $L(K)$ と同型になります。

定義1 種数 [1, 命題1.1, p.2]

$X$ を曲線とする。 $X$ の上の正則な微分形式の空間 $\Gamma(X,\Omega_X)$ は $k$ 上有限次元である。その次元

g(X)=\dim_k\Gamma(X,\Omega_X)=\ell(K)

\begin{aligned}g(X) &= \dim_k\Gamma(X,\Omega_X)\\&= \ell(K)\end{aligned}

を $X$ の種数と呼ぶ。

ハーツホーンは、この数が $\dim_kH^1(X,\mathcal{O}_X)$ （第14回のコホモロジー）とも、ヒルベルト多項式で定める算術種数とも一致することを示し、それをまとめて種数と呼んでいます。算術種数の話は、記事の後半の補足で触れます。

命題2 [1, 例1.3.3, p.6]

種数 $g$ の曲線 $X$ の標準因子の次数は $\deg K=2g-2$ である。

証明

リーマン・ロッホの定理で $D=K$ とおくと、 $\ell(K)-\ell(0)=\deg K+1-g$ 。
$\ell(K)=g$ 、 $\ell(0)=1$ を代入すると $g-1=\deg K+1-g$ で、 $\deg K=2g-2$ 。

$L(0)$ は $X$ 全体で正則な関数の空間で、射影的な多様体の上では定数だけなので $\ell(0)=1$ である[2, 定理3.4(a), p.24]。

逆に $\deg K$ が分かれば、 $g=(\deg K)/2+1$ で種数が決まります。この記事で種数を計算するときは、ほとんどこの形を使います。

例3 $\mathbb{P}^1$ と楕円曲線

(1)　 $X=\mathbb{P}^1$ 。座標を $t$ 、無限遠点のまわりの座標を $s=1/t$ とする。 $dt$ は $t$ が有限の点では零点も極ももたず、無限遠点では

dt=d\Bigl(\frac1s\Bigr)=-\frac{1}{s^2}\,ds

\begin{aligned}dt &= d\Bigl(\frac1s\Bigr)\\&= -\frac{1}{s^2}\,ds\end{aligned}

なので2位の極をもつ（第13回の定理11）。よって $K=-2\cdot\infty$ 、 $\deg K=-2$ で、 $g=-2/2+1=0$ である。

(2)　 $k$ の標数は2でも3でもないとし、 $X$ を楕円曲線 $y^2=x^3-x$ とする。微分形式 $dx/2y$ は零点も極ももたない（第13回の定理13）。よって $K=0$ 、 $\deg K=0$ で、 $g=0/2+1=1$ である。

(1) で $\deg K<0$ なので、 $\mathbb{P}^1$ には0でない正則な微分形式がありません。 $\ell(K)=0$ で、定義どおり $g=0$ です。(2) では $\ell(K)=\ell(0)=1$ で、正則な微分形式は $dx/2y$ の定数倍だけです。

3つ目の見方は位相です。 $k=\mathbb{C}$ のとき、曲線の複素数の点は複素1次元、実2次元の空間です。それがどんな曲面かは、種数だけで決まります。

定理4 複素数の点の形 [1, 付録B §5, p.215]

$X$ を $\mathbb{C}$ 上の種数 $g$ の曲線とする。 $X$ の複素数の点の全体 $X(\mathbb{C})$ はコンパクトなリーマン面で、位相空間としては、球面に $g$ 個の取っ手を付けた曲面（穴が $g$ 個の閉じた曲面）と同相である。

この定理の証明には複素解析が要るので、この記事では引用にとどめます。逆に、コンパクトなリーマン面はすべて射影的な代数曲線から来ることも知られています[1, 付録B 定理3.1, p.207]。

穴が $g$ 個の閉じた曲面のオイラー標数（頂点の数 − 辺の数 + 面の数）は $2-2g$ です。球面は $2$ 、トーラスは $0$ 、穴が2つの曲面は $-2$ です。これは $\deg K=2g-2$ の符号を変えたものになっています。

\chi\bigl(X(\mathbb{C})\bigr)=2-2g=-\deg K

\begin{aligned}\chi\bigl(X(\mathbb{C})\bigr) &= 2-2g\\&= -\deg K\end{aligned}

ドラッグで回せます

種数0：球面です。射影直線 $\mathbb{P}^1$ と、平面の円錐曲線（例えば $x_0x_2=x_1^2$ ）の複素数の点がこの形です。

種数1：トーラスです。「真上」から見ると穴の開いた円板に見えますが、回すと中が空洞の管だと分かります。楕円曲線 $y^2=x^3-x$ や、非特異な平面3次曲線の複素数の点がこの形です。

種数2：穴が2つの曲面です。 $y^2=x^5-x$ や $y^2=x^6-1$ の曲線がこの形です。2つのトーラスを少し重ねて描いた模式図で、外側の面だけが見えています。

種数3：穴が3つの曲面です。非特異な平面4次曲線（例えば $x^4+y^4=z^4$ ）がこの形です。3つのトーラスを重ねた模式図です。

図1概念図定理4の、種数0〜3の曲面です。段階のボタンで種数を切り替えます。「真上」から見ると穴の開いた平らな図形に見えますが、回すと中が空洞の閉じた曲面で、穴の数が種数だと分かります。位相の形を表した模式図で、曲線の複素数の点を空間に置いたものではありません。種数2と3は、トーラスを少しずつ重ねて描いています。

平面曲線の種数

射影平面 $\mathbb{P}^2$ （斉次座標 $[x_0:x_1:x_2]$ ）の非特異な曲線 $C=V_+(F)$ を考えます。 $F$ は $d$ 次の既約な斉次式で、 $U_0$ の座標 $x=x_1/x_0$ 、 $y=x_2/x_0$ では $f(x,y)=F(1,x,y)$ です。非特異の判定は第6回の命題17のとおり、3つの偏微分で行います。

$C$ の標準因子は、第13回の定理17とその後の補足で、次のように求めました。 $U_0$ の上の微分形式

\omega=\frac{dx}{f_y}=-\frac{dy}{f_x}

\begin{aligned}\omega &= \frac{dx}{f_y}\\&= -\frac{dy}{f_x}\end{aligned}

は、 $U_0$ の中では零点も極ももちません（標数 $p$ では $f_y$ が多項式として0になる座標もありますが、そのときは $x$ と $y$ を入れ替えます）。零点と極は無限遠直線 $L_\infty=V_+(x_0)$ との交点にだけ現れ、その因子は、 $C$ と $L_\infty$ の交わりの因子 $H$ （交点に交点重複度を付けたもの）の $d-3$ 倍です（ $d<3$ なら極）。

\operatorname{div}(\omega)=(d-3)\,H\qquad \deg H=d

\begin{gathered}\operatorname{div}(\omega)=(d-3)\,H\\\deg H=d\end{gathered}

\begin{aligned}\operatorname{div}(\omega) &= (d-3)\,H\\[4pt]\deg H &= d\end{aligned}

$\deg H=d$ は、第9回のベズーの定理（第5回の定理12）で、直線と $d$ 次曲線の交点を重複度こみで数えたものです。したがって $\deg K=d(d-3)$ です。

命題5 平面曲線の種数 [2, 演習7.2(b), p.74; 1, 例1.5.1, p.96–97]

$k$ を代数閉体（標数は任意）とし、 $C\subseteq\mathbb{P}^2$ を非特異な $d$ 次曲線とする。 $C$ の種数は

g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}

\begin{aligned}g &= \frac{(d-1)(d-2)}{2}\end{aligned}

である。

証明

第13回の結果から $\deg K=d(d-3)$ 。

上で述べたとおり、 $\operatorname{div}(dx/f_y)=(d-3)H$ で $\deg H=d$ である。ここは第13回の計算をそのまま使う。
命題2から $2g-2=d(d-3)$ 。よって $g=(d^2-3d+2)/2=(d-1)(d-2)/2$ 。

ハーツホーンは、同じ公式を2通りに導いています。第 I 章ではヒルベルト多項式で定めた算術種数として、第 V 章では曲面の上の曲線の種数を求める随伴公式 $2g-2=C\cdot(C+K)$ から求めています。

次数 $d$	1	2	3	4	5	6
$\deg K=d(d-3)$	$-2$	$-2$	$0$	$4$	$10$	$18$
種数 $g$	$0$	$0$	$1$	$3$	$6$	$10$
例	直線	円錐曲線	楕円曲線	$x^4+y^4=1$	$x^5+y^5=1$	$x^6+y^6=1$

$d=1,2$ では $g=0$ です。直線は $\mathbb{P}^1$ そのもので、円錐曲線も $\mathbb{P}^1$ と同型でした（第5回の例19）。 $d=3$ の $g=1$ は、非特異な平面3次曲線が楕円曲線であることと合っています。

種数は $0,0,1,3,6,10,\dots$ と飛び飛びで、種数2の曲線は非特異な平面曲線として現れません。種数2の曲線は、特異点をもつ平面曲線か、記事の後半の $y^2=f(x)$ の形で表します。

種数を $\ell(K)$ として直接確かめることもできます。 $p(x,y)$ を $d-3$ 次以下の多項式とすると、 $p\,\omega$ は正則な微分形式です。そのような $p$ の空間の次元は、ちょうど $(d-1)(d-2)/2$ です。

\begin{aligned} &\#\{\,x^iy^j\mid i+j\leq d-3\,\}\\ &\quad=1+2+\cdots+(d-2)\\ &\quad=\frac{(d-1)(d-2)}{2}\end{aligned}

例えば $d=4$ なら $\omega,\ x\omega,\ y\omega$ の3つで、 $g=3$ に合います。 $p\,\omega$ が正則なのは、 $p$ の無限遠での極が高々 $(d-3)H$ で、 $\omega$ の零点 $(d-3)H$ で打ち消されるからです。

0でない $p$ は $d$ 次の既約な $f$ で割り切れないので、 $C$ の上で0になりません。よって $x^iy^j\omega$ （ $i+j\leq d-3$ ）は1次独立で $\ell(K)\geq(d-1)(d-2)/2$ です。命題と合わせると、正則な微分形式はこれで尽きています。

例6 フェルマー曲線

$k$ の標数は $d$ を割り切らないとし、 $C=V_+(x_1^d+x_2^d-x_0^d)$ （ $U_0$ では $x^d+y^d=1$ ）とする。 $C$ は非特異で、種数は $(d-1)(d-2)/2$ である。 $d=3,4,5$ では $g=1,3,6$ になる。

証明

$F=x_1^d+x_2^d-x_0^d$ の偏微分は $-dx_0^{d-1}$ 、 $dx_1^{d-1}$ 、 $dx_2^{d-1}$ である。標数が $d$ を割り切らないので $d\neq0$ で、3つがすべて0になるのは $x_0=x_1=x_2=0$ のときだけである。
$F$ は既約である。

$F=GH$ （ $G,H$ は次数1以上の斉次式）とする。 $G$ と $H$ の既約因子 $G_1,H_1$ をとると、 $V_+(G_1)$ と $V_+(H_1)$ は共通の点 $P$ をもつ。2つが違う曲線ならベズーの定理（第5回の定理12）により、同じ曲線なら明らかである。

$P$ では $G=H=0$ なので、 $\partial F/\partial x_i=G\,\partial H/\partial x_i+H\,\partial G/\partial x_i$ はすべて0になり、前のステップに反する。
よって第6回の命題17が使え、偏微分が同時に0になる点はないので $C$ は非特異である。
種数は命題5による。

標数が $d$ を割り切ると、話が変わります。標数 $p$ で $d=p$ なら $x^p+y^p-1=(x+y-1)^p$ なので、 $C$ は直線を $p$ 重に数えたもので、すべての点が特異点です。

公式 $(d-1)(d-2)/2$ の形は、次のように見当を付けることもできます。証明ではなく、直観のための話です。

一般の位置にある $d$ 本の直線の和集合は、 $d$ 次の平面曲線です。直線は $\mathbb{P}^1$ で、複素数の点では球面なので、 $d$ 個の球面が $\binom{d}{2}$ 個の交点でくっついた形です。

方程式を少し動かして非特異にすると、各交点が細い管に変わります。球面を頂点、管を辺とするグラフの「輪の数」が、できた曲面の穴の数です。

\binom{d}{2}-d+1=\frac{d(d-1)}{2}-d+1=\frac{(d-1)(d-2)}{2}

\begin{aligned}\binom{d}{2}-d+1 &= \frac{d(d-1)}{2}-d+1\\&= \frac{(d-1)(d-2)}{2}\end{aligned}

d=3

：直線 3 本、交点 3 個

穴

3-3+1=1

d=4

：直線 4 本、交点 6 個

穴

6-4+1=3

交点ごとに管でつなぐ

図2概念図上は一般の位置にある3本と4本の直線、下は直線ごとの球面（丸）を交点ごとに管（灰色の帯）でつないだ図です。下の図の穴の数は、辺 − 頂点 + 1 で

3-3+1=1

、

6-4+1=3

になり、3次・4次曲線の種数と一致します。直線の位置には意味がなく、どの直線どうしが交わるかだけを描いています。

特異点で種数が減る

特異点のある平面曲線では、公式 $(d-1)(d-2)/2$ はそのままでは成り立ちません。結節点をもつ3次曲線 $y^2=x^2(x+1)$ を見ます。この曲線の点は $(t^2-1,\ t^3-t)$ と書けました（第1回の例16）。

この媒介変数表示は、 $t=\pm1$ の2点を原点に重ねるだけで、ほかでは1対1です。つまり、この曲線は $\mathbb{P}^1$ （穴なし）の2点を貼り合わせたものです。穴の数を数えるなら、貼り合わせる前の $\mathbb{P}^1$ の種数0を使うのが自然です。

そこで、特異点をもつ曲線には、関数体が同じ非特異な曲線を対応させます。

定義7 幾何種数 [2, 系6.12, p.62]

$C$ を $k$ 上の既約な射影曲線（特異点があってもよい）とする。関数体が $C$ と同じ非特異な射影曲線 $\widetilde C$ が同型を除いてただ1つあり、双有理な射 $\widetilde C\to C$ がある。 $\widetilde C$ の種数を $C$ の幾何種数と呼ぶ。

$\widetilde C\to C$ を $C$ の正規化と呼びます。 $C$ が非特異なら $\widetilde C=C$ です。結節点の3次曲線では、 $t=y/x$ が $C$ の関数で、関数体は $k(t)$ なので、 $\widetilde C=\mathbb{P}^1$ です。

定理8 特異点による種数の減り方 [1, 演習1.8, p.8; 1, 例3.9.2–3.9.3, p.140–141; 1, 注意3.11.1, p.31]

$C\subseteq\mathbb{P}^2$ を $d$ 次の既約な曲線、 $\widetilde C\to C$ を正規化とする。 $C$ の各特異点 $P$ に正の整数 $\delta_P$ が決まり、

g(\widetilde C)=\frac{(d-1)(d-2)}{2}-\sum_{P\in\operatorname{Sing}C}\delta_P

\begin{aligned}g(\widetilde C) &= \frac{(d-1)(d-2)}{2}-\sum_{P\in\operatorname{Sing}C}\delta_P\end{aligned}

\begin{aligned}g(\widetilde C) &= \frac{(d-1)(d-2)}{2}\\&\phantom{=}{} -\sum_{P\in\operatorname{Sing}C}\delta_P\end{aligned}

が成り立つ。 $\delta_P$ は、 $P$ 自身と、ブローアップを繰り返したとき狭義変換に現れる $P$ の上の特異点（ $P$ に無限に近い特異点） $Q$ のすべてにわたる和 $\delta_P=\sum_Qr_Q(r_Q-1)/2$ である。 $r_Q$ は $Q$ での重複度である。

和の取り方を、第7回の例で確かめます。重複度は第6回の定義14のもので、2重点では $r=2$ 、 $r(r-1)/2=1$ です。

結節点 $y^2=x^2(x+1)$ （標数 $\neq2$ ）：重複度2で、1回のブローアップで枝が分かれ、狭義変換は非特異になります（第7回の例11）。 $\delta=1$ 。
尖点 $y^2=x^3$ ：重複度2で、1回のブローアップで滑らかになります（第7回の例12）。 $\delta=1$ 。
タクノード $y^2=x^4$ （標数 $\neq2$ ）：1回目の狭義変換 $m^2=x^2$ にまだ2重点が残り、2回目で分かれます（第7回の例13）。 $\delta=1+1=2$ 。
$r$ 本の枝が違う向きで交わる通常 $r$ 重点：1回で分かれるので $\delta=r(r-1)/2$ 。 $r=3$ なら $3$ 。

証明はハーツホーンに任せます。第 V 章では、ブローアップで重複度 $r$ の点をほどくと算術種数が $r(r-1)/2$ 減ることを、曲面の上の交点数で示しています[1, 系3.7, p.136]。

例9 特異点を1つもつ3次曲線は幾何種数0

次の3つはどれも、特異点が原点の1つだけの既約な3次曲線で、 $\delta=1$ である。定理の右辺は $1-1=0$ で、実際どれも $\mathbb{P}^1$ で媒介変数表示できる。

(1)　結節点 $y^2=x^2(x+1)$ （標数 $\neq2$ ）： $t\mapsto(t^2-1,\ t^3-t)$ 。
(2)　尖点 $y^2=x^3$ ： $t\mapsto(t^2,\ t^3)$ 。
(3)　デカルトの葉線 $x^3+y^3=3xy$ （標数 $\neq3$ ）： $t\mapsto\bigl(3t/(1+t^3),\ 3t^2/(1+t^3)\bigr)$ 。

証明

媒介変数表示は、原点を通る直線 $y=tx$ と曲線のもう1つの交点として求まる。

2重点を通る直線は、そこで曲線と2重以上に交わる。3次曲線と直線の交点は重複度こみで3個なので、残りはちょうど1点で、その座標は $t$ の有理式になる。

(1) $y=tx$ を代入すると $t^2x^2=x^2(x+1)$ で、 $x^2$ で割って $x=t^2-1$ 、 $y=t^3-t$ 。(3) は $x^3(1+t^3)=3tx^2$ から $x=3t/(1+t^3)$ 、 $y=3t^2/(1+t^3)$ 。(2) は $t^2x^2=x^3$ から $x=t^2$ 、 $y=t^3$ 。
$x,y$ は $t$ の有理式で、 $t=y/x$ は曲線の関数なので、関数体は $k(t)$ である。よって正規化は $\mathbb{P}^1$ で、幾何種数は0である。
特異点が原点だけであること：(1)(2) は第6回の例4、(3) は第6回の例5(2) で平面の中を調べた。無限遠点も非特異である。

既約であること：(1)(2) は $y$ の2次式で、 $x^2(x+1)$ 、 $x^3$ が $k[x]$ の平方でないので既約である。(3) の既約性も第6回の例5で示した。

(1) の射影閉包 $x_0x_2^2=x_1^2(x_1+x_0)$ の無限遠点は $x_1^3=0$ から $[0:0:1]$ だけで、そこで $\partial/\partial x_0$ は $x_2^2-x_1^2=1\neq0$ 。(2) の射影閉包 $x_0x_2^2=x_1^3$ の無限遠点も $[0:0:1]$ だけで、 $\partial/\partial x_0=x_2^2=1\neq0$ （第5回の例11(2)）。

(3) の無限遠点は $x_1^3+x_2^3=0$ をみたし、 $x_1x_2\neq0$ である。そこで $\partial(x_1^3+x_2^3-3x_0x_1x_2)/\partial x_0=-3x_1x_2\neq0$ （標数 $\neq3$ ）。

$k=\mathbb{Q}$ で数を入れると、(1) の $t=2$ は $(3,6)$ （ $36=9\cdot4$ ）、(3) の $t=2$ は $(2/3,\ 4/3)$ です。 $8/27+64/27=72/27=8/3$ と $3\cdot(2/3)(4/3)=8/3$ が一致します。

種数は負にならないので、定理から $\sum\delta_P\leq(d-1)(d-2)/2$ です。3次曲線なら右辺は1なので、既約な3次曲線の特異点は高々1つです。

これはベズーの定理からも分かります。2つの特異点 $P,Q$ を通る直線は、 $P$ と $Q$ でそれぞれ2重以上に交わり、交点の合計が $4>3$ になります。すると直線が曲線の成分になり、既約性に反します。

例10 タクノードをもつ4次曲線

$k$ の標数は2でないとし、 $C:\ y^2=x^4+y^4$ （射影閉包は $x_0^2x_2^2=x_1^4+x_2^4$ ）とする。 $C$ は既約で、特異点は原点のタクノードだけで、 $\delta=2$ である。よって幾何種数は $3-2=1$ である。

証明

$f=x^4+y^4-y^2$ の平面の特異点は原点だけである。

$f_x=4x^3=0$ から $x=0$ 。すると $f=y^2(y^2-1)=0$ と $f_y=2y(2y^2-1)=0$ から $y=0$ （ $y^2=1$ なら $2y^2-1=1\neq0$ ）。
無限遠点は $x_1^4+x_2^4=0$ 、 $x_1\neq0$ で、 $\partial/\partial x_1=4x_1^3\neq0$ なので非特異である。
原点は重複度2で、1回ブローアップすると狭義変換 $m^2=x^2(1+m^4)$ に結節点が残り、2回目で非特異になる。よって $\delta=1+1=2$ 。

$f(x,mx)=x^2\bigl(x^2+m^4x^2-m^2\bigr)$ で、狭義変換の原点での最低次の部分は $x^2-m^2$ （重複度2、接方向は2つ）。 $m=m'x$ とおくと $x^2(1+m'^4x^4-m'^2)$ で、狭義変換 $m'^2=1+m'^4x^4$ は $x=0$ の2点 $m'=\pm1$ で非特異である。
既約である。 $f=x^4-y^2(1-y)(1+y)$ は、 $k[y]$ の素元 $1-y$ についてのアイゼンシュタインの判定法をみたす。

$x$ の多項式として最高次の係数は1、途中の係数は0、定数項 $-y^2(1-y)(1+y)$ は $1-y$ で割り切れ、 $(1-y)^2$ では割り切れない。よって $k[y][x]=k[x,y]$ で既約である。

実数の点では、 $y^2(1-y^2)=x^4\geq0$ から $|y|\leq1$ で、上と下の2つの輪が原点で接した形です。幾何種数1の検算は、次の節のリーマン・フルヴィッツの公式でもできます。

専門的な話算術種数とヒルベルト多項式

特異点をもつ曲線にも、方程式だけから決まる種数があります。 $Y\subseteq\mathbb{P}^n$ を $r$ 次元の射影多様体、 $S(Y)$ をその斉次座標環とします。 $l$ 次の部分の次元 $\dim_kS(Y)_l$ は、 $l$ が十分大きいと $l$ の多項式 $P_Y(l)$ に一致します。これをヒルベルト多項式と呼びます[2, 定理7.5, p.70; 2, 定義, p.71]。

$p_a(Y)=(-1)^r\bigl(P_Y(0)-1\bigr)$ を算術種数と呼びます[2, 演習7.2, p.74]。 $d$ 次の平面曲線では、 $S(Y)=k[x_0,x_1,x_2]/(F)$ の $l$ 次の部分の次元は、 $l$ 次の斉次式の空間の次元から、 $F$ の倍数（ $l-d$ 次の斉次式に $F$ を掛けたもの）の空間の次元を引いたものです。よって $l\geq d$ で

P_Y(l)=\binom{l+2}{2}-\binom{l-d+2}{2}=dl-\frac{d(d-3)}{2}\qquad p_a=1-P_Y(0)=\frac{(d-1)(d-2)}{2}

\begin{gathered}P_Y(l)=\binom{l+2}{2}-\binom{l-d+2}{2}=dl-\frac{d(d-3)}{2}\\p_a=1-P_Y(0)=\frac{(d-1)(d-2)}{2}\end{gathered}

\begin{aligned}P_Y(l) &= \binom{l+2}{2}-\binom{l-d+2}{2}\\&= dl-\frac{d(d-3)}{2}\\[4pt]p_a &= 1-P_Y(0)\\&= \frac{(d-1)(d-2)}{2}\end{aligned}

\begin{aligned}P_Y(l) &= \binom{l+2}{2}\\&\phantom{=}{} -\binom{l-d+2}{2}\\&= dl-\frac{d(d-3)}{2}\\[4pt]p_a &= 1-P_Y(0)\\&= \frac{(d-1)(d-2)}{2}\end{aligned}

です。例えば $d=3$ なら $P_Y(l)=3l$ 、 $p_a=1$ 、 $d=4$ なら $P_Y(l)=4l-2$ 、 $p_a=3$ です。

この計算は $F$ が特異点をもつかどうかによりません。結節点の3次曲線でも $p_a=1$ です。一方、幾何種数は0でした。2つの種数の差が $\delta_P$ の和で、ハーツホーンは $\delta_P$ を、局所環 $\mathcal{O}_P$ とその整閉包 $\widetilde{\mathcal{O}}_P$ の差の長さとして定義しています[1, 演習1.8, p.8]。

p_a(C)=g(\widetilde C)+\sum_P\delta_P\qquad \delta_P=\operatorname{length}\bigl(\widetilde{\mathcal{O}}_P/\mathcal{O}_P\bigr)

\begin{gathered}p_a(C)=g(\widetilde C)+\sum_P\delta_P\\\delta_P=\operatorname{length}\bigl(\widetilde{\mathcal{O}}_P/\mathcal{O}_P\bigr)\end{gathered}

\begin{aligned}p_a(C) &= g(\widetilde C)+\sum_P\delta_P\\[4pt]\delta_P &= \operatorname{length}\bigl(\widetilde{\mathcal{O}}_P/\mathcal{O}_P\bigr)\end{aligned}

非特異な曲線では $p_a=g$ です[1, 命題1.1, p.2]。結節点 $y^2=x^2(x+1)$ では、 $\widetilde{\mathcal{O}}_P$ は $t=y/x$ を加えた環で、 $\widetilde{\mathcal{O}}_P/\mathcal{O}_P$ は $t$ の類で張られる1次元の空間です。

分岐から種数を数える：リーマン・フルヴィッツの公式

楕円曲線 $y^2=x^3-x$ の点 $(x,y)$ に $x$ を対応させる写像を考えます。ほとんどの $x$ の上には2点 $(x,\pm y)$ がありますが、 $y=0$ になる $x=0,1,-1$ の上には1点しかありません。このように点が重なる場所を数えると、種数が分かります。

曲線の間の定数でない射 $f\colon X\to Y$ は有限射で、その次数は関数体の拡大次数 $n=[K(X):K(Y)]$ です[2, §II.6, p.187]。 $K(X)$ が $K(Y)$ の分離拡大のとき、 $f$ は分離的であると言います。標数0ならいつも分離的です。

定義11 分岐指数 [1, §IV.2, p.9]

$f\colon X\to Y$ を曲線の間の有限射、 $P\in X$ 、 $Q=f(P)$ とする。 $t$ を $Q$ での局所パラメータ（ $\operatorname{ord}_Q(t)=1$ となる関数）とし、

e_P=\operatorname{ord}_P(t\circ f)

\begin{aligned}e_P &= \operatorname{ord}_P(t\circ f)\end{aligned}

を $P$ での分岐指数と呼ぶ。 $e_P>1$ のとき $f$ は $P$ で分岐していると言い、 $Q$ を分岐点と呼ぶ。標数が0か、標数が $e_P$ を割り切らないとき、分岐は馴（tame）であると言う。

各点 $Q\in Y$ の上の分岐指数の和は、次数に等しくなります[2, 命題6.9, p.187–188]。

\sum_{f(P)=Q}e_P=n

\begin{aligned}\sum_{f(P)=Q}e_P &= n\end{aligned}

$n$ 個の点のうちいくつかが重なって、重なった点に重さ $e_P$ を付けたもの、と考えられます。第8回の $x^2=t$ の族の $t=0$ で見た「重なった点」（第8回の例11）と同じ現象です。

定理12 リーマン・フルヴィッツの公式 [1, 系2.4, p.12]

$f\colon X\to Y$ を曲線の間の有限で分離的な $n$ 次の射とし、分岐はすべて馴であるとする。このとき

2g(X)-2=n\bigl(2g(Y)-2\bigr)+\sum_{P\in X}(e_P-1)

\begin{aligned}2g(X)-2 &= n\bigl(2g(Y)-2\bigr)+\sum_{P\in X}(e_P-1)\end{aligned}

\begin{aligned}2g(X)-2 &= n\bigl(2g(Y)-2\bigr)\\&\phantom{=}{} +\sum_{P\in X}(e_P-1)\end{aligned}

が成り立つ。右辺の和は、分岐している有限個の点だけが寄与する。

証明

$Y$ の0でない有理微分形式 $\omega$ をとる。 $f$ が分離的なので、引き戻し $f^*\omega$ も0でない有理微分形式である。
$P\in X$ 、 $Q=f(P)$ で、 $\operatorname{ord}_P(f^*\omega)=e_P\operatorname{ord}_Q(\omega)+(e_P-1)$ である。

$Q$ での局所パラメータを $t$ 、 $P$ での局所パラメータを $u$ とすると、 $t\circ f=a\,u^{e}$ （ $e=e_P$ 、 $a$ は $P$ で値が0でない関数）と書ける。 $\omega=h\,dt$ と書くと
$f^*\omega=(h\circ f)\,d(a\,u^e)=(h\circ f)\Bigl(e\,a\,u^{e-1}+u^e\frac{da}{du}\Bigr)du$ $\begin{aligned}f^*\omega &= (h\circ f)\,d(a\,u^e)\\&= (h\circ f)\Bigl(e\,a\,u^{e-1}+u^e\frac{da}{du}\Bigr)du\end{aligned}$
$\operatorname{ord}_P(h\circ f)=e\operatorname{ord}_Q(h)$ である。馴なので $k$ の中で $e\neq0$ で、括弧の中の位数は $e-1$ になる。
次数をとると $\deg\operatorname{div}(f^*\omega)=n\deg\operatorname{div}(\omega)+\sum(e_P-1)$ 。

$\sum_P e_P\operatorname{ord}_{f(P)}(\omega)=\sum_Q\operatorname{ord}_Q(\omega)\sum_{f(P)=Q}e_P=n\sum_Q\operatorname{ord}_Q(\omega)$ である。
両辺の因子は $K_X$ と $K_Y$ を表すので、命題2から $2g(X)-2=n(2g(Y)-2)+\sum(e_P-1)$ 。

分岐が馴でないときも、 $\sum(e_P-1)$ をもっと大きい数に取り替えれば、同じ形の式が成り立ちます[1, 命題2.2, p.11]。分離的でないときは $f^*\omega=0$ となり、この証明は使えません。

例13 楕円曲線の $x$ 座標

$k$ の標数は2でないとし、 $E$ を $y^2=x^3-x$ の非特異な射影曲線、 $O$ を無限遠点とする。 $x$ 座標の射 $x\colon E\to\mathbb{P}^1$ は2次で分離的である。

(1)　 $a\notin\{0,1,-1\}$ の上には2点 $(a,\pm b)$ （ $b^2=a^3-a\neq0$ ）があり、どちらも $e=1$ 。
(2)　 $0,1,-1$ の上にはそれぞれ1点 $(0,0)$ 、 $(1,0)$ 、 $(-1,0)$ があり、 $e=2$ 。
(3)　 $\infty$ の上には1点 $O$ があり、 $e=2$ 。

$\sum(e_P-1)=4$ で、リーマン・フルヴィッツの公式は $2\cdot1-2=2\cdot(0-2)+4$ 、つまり $0=0$ となる。

証明

$x^3-x$ は $k(x)$ で平方でないので $[k(x,y):k(x)]=2$ 。 $T^2-(x^3-x)$ の根 $\pm y$ は異なる（標数 $\neq2$ ）ので分離的である。
(1) 2点あり、分岐指数の和が2なので、どちらも $e=1$ 。
(2)(3) 第10回の例19の $\operatorname{div}(x)=2(0,0)-2O$ から、 $\operatorname{ord}_{(0,0)}(x)=2$ 、 $\operatorname{ord}_O(1/x)=2$ 。 $x$ 、 $1/x$ はそれぞれ $0$ 、 $\infty$ での局所パラメータなので $e=2$ 。 $x\mp1$ も同様である。

$x-1$ については、 $y^2=(x-1)\cdot x(x+1)$ で、 $x(x+1)$ は $(1,0)$ で値 $2\neq0$ をとる。よって $\operatorname{ord}_{(1,0)}(x-1)=2\operatorname{ord}_{(1,0)}(y)$ は偶数で、分岐指数は2以下なので2である。 $x+1$ も同じ。

$k=\mathbb{C}$ で数を入れると、 $x=2$ の上には $(2,\pm\sqrt6)$ の2点、 $x=i$ の上には $y^2=i^3-i=-2i$ から $(i,\pm(1-i))$ の2点があります。 $(1-i)^2=-2i$ です。 $x$ が $0$ に近づくと2点の距離が縮み、 $x=0$ で1点に重なります。

ドラッグで回せます

図3具体例例13を

k=\mathbb{C}

で描いた図です。床の平面は

x

の複素平面（横が

\operatorname{Re}x

、奥が

\operatorname{Im}x

）で、各

x

の上に

y

と

-y

の2点を、高さ

0.5\,\operatorname{Re}y

と

-0.5\,\operatorname{Re}y

に置いています（青と緑）。「真上」から見ると2枚が重なり、これが2対1の射

x

です。回すと2枚は上下に分かれ、分岐点

x=0,\pm1

（黒）で1枚につながります。もう1つの分岐点

\infty

は図の外です。オレンジは実数の点で、「正面」から見ると第12回の図1の

y^2=x^3-x

を縦に半分に縮めた形です。

\operatorname{Im}y

を捨てているので、

\operatorname{Re}y=0

となる曲線（

x^3-x

が負の実数になる所）でも2枚が交わって見えますが、そこでは

\operatorname{Im}y

が違い、本当は離れています。

同じ計算で、 $y^2=f(x)$ の形の曲線の種数がすべて求まります。 $f$ の次数が4以上だと、平面の射影閉包は無限遠点で特異になります[1, 演習3.5, p.143]。そこで、射影閉包の正規化（定義7）、つまり関数体が $k(x)[y]/(y^2-f)$ の非特異な射影曲線を考えます。

例14 $y^2=f(x)$ の種数 [1, 演習2.2, p.16]

$k$ の標数は2でないとし、 $f\in k[x]$ を重根をもたない $m$ 次式（ $m\geq1$ ）、 $X$ を $y^2=f(x)$ の非特異な射影曲線とする。 $x\colon X\to\mathbb{P}^1$ は2次で、分岐点は

(1)　 $f$ の $m$ 個の根（それぞれ1点、 $e=2$ ）と、
(2)　 $m$ が奇数のときの $\infty$ （1点、 $e=2$ ）。 $m$ が偶数なら $\infty$ の上は2点で分岐しない。

よって分岐点は $m$ が奇数なら $m+1$ 個、偶数なら $m$ 個で、

g(X)=\Bigl\lceil\frac m2\Bigr\rceil-1

\begin{aligned}g(X) &= \Bigl\lceil\frac m2\Bigr\rceil-1\end{aligned}

である。言い換えると、 $m=2g+1$ または $m=2g+2$ である。

証明

$f$ は重根をもたない1次以上の式なので $k[x]$ で平方でなく、 $k(x)$ でも平方でない。よって $T^2-f$ は $k(x)$ 上既約で、 $x$ は2次の射である。根 $\pm y$ は異なる（標数 $\neq2$ ）ので分離的である。
$X$ のうち $x\neq\infty$ の部分は、平面曲線 $y^2=f(x)$ そのものである。 $f$ が重根をもたないので、この平面曲線は非特異である。

特異点では $2y=0$ かつ $f'(x)=0$ かつ $y^2=f(x)$ なので、 $f(x)=f'(x)=0$ となり、 $x$ が $f$ の重根になる。
根 $a$ の上の点 $P=(a,0)$ では $e_P=2$ 。

$f=(x-a)h(x)$ 、 $h(a)\neq0$ と書くと $y^2=(x-a)h$ で、 $h$ は $P$ で値が0でない。よって $e_P=\operatorname{ord}_P(x-a)=2\operatorname{ord}_P(y)$ は偶数で、 $1\leq e_P\leq2$ から $e_P=2$ 。
$f(a)\neq0$ なら、 $a$ の上には $y=\pm\sqrt{f(a)}$ の異なる2点があり、分岐しない。
$\infty$ では $s=1/x$ 、 $w=y/x^{\lceil m/2\rceil}$ とおくと $w^2=s^{2\lceil m/2\rceil-m}\,\tilde h(s)$ 、 $\tilde h(0)\neq0$ 。 $m$ が偶数なら $w=\pm\sqrt{\tilde h(0)}$ の2点、奇数なら $w^2=s\,\tilde h(s)$ で、根の上の点と同じく $e=2$ 。

$f=c_mx^m+\cdots+c_0$ なら $f/x^{2\lceil m/2\rceil}=s^{2\lceil m/2\rceil-m}(c_m+c_{m-1}s+\cdots+c_0s^m)$ で、 $\tilde h(0)=c_m\neq0$ である。
リーマン・フルヴィッツの公式に代入して $2g-2=2\cdot(-2)+2\lceil m/2\rceil$ 、つまり $g=\lceil m/2\rceil-1$ 。

数を入れます。 $y^2=x^3-x$ は $m=3$ で $g=1$ です。 $y^2=x^5-x$ と $y^2=x^6-1$ （標数3では $x^6-1=(x^2-1)^3$ が重根をもつので除く）は $m=5,6$ で $g=2$ 、 $m=7,8$ なら $g=3$ です。非特異な平面曲線には現れなかった種数2の曲線も、この形なら作れます。どの $g$ についても、 $\mathbb{P}^1$ の $2g+2$ 点で分岐する2重被覆として、種数 $g$ の曲線が作れます。ただし、種数3以上の曲線がすべてこの形になるわけではありません。例えば非特異な平面4次曲線は、 $\mathbb{P}^1$ への2次の射をもちません[1, 演習3.2, p.32]。

定理8とも比べられます。 $y^2=x^5-x$ の射影閉包は5次曲線で、 $(5-1)(5-2)/2=6$ です。無限遠点 $[0:0:1]$ は重複度3の特異点で、ブローアップすると重複度2の点が1つ現れるので、 $\delta=3+1=4$ です。 $6-4=2$ となり、分岐から求めた種数と一致します。

-3

-2

-1

1

2

3

(x,\ y)

(x,-y)

\mathbb{P}^1

（

x

座標）

y^2=-(x^2-1)(x^2-4)(x^2-9)

図4具体例種数2の曲線

y^2=-(x^2-1)(x^2-4)(x^2-9)

（

m=6

）の実数の点です。右辺が0以上になるのは

x

が

[-3,-2]

、

[-1,1]

、

[2,3]

にあるときで、実数の点はその上の3つの輪になります。下の線は

x

座標の

\mathbb{P}^1

で、オレンジの6点

\pm1,\pm2,\pm3

が分岐点です。

x=0.5

の上には2点

(x,\pm y)

、分岐点の上には1点があります。

2\cdot2-2=2\cdot(-2)+6

です。

例15 フェルマー曲線を $\mathbb{P}^1$ に写す

$k$ の標数は $d$ を割り切らないとし、 $C$ を例6のフェルマー曲線 $x_1^d+x_2^d=x_0^d$ とする。 $[x_0:x_1:x_2]\mapsto[x_0:x_1]$ は $d$ 次の射 $C\to\mathbb{P}^1$ で、 $x^d=1$ となる $d$ 個の点の上ではそれぞれ1点（ $e=d$ ）、ほかでは分岐しない。

2g-2=d\cdot(-2)+d(d-1)=d(d-3)\qquad g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}

\begin{gathered}2g-2=d\cdot(-2)+d(d-1)=d(d-3)\\g=\frac{(d-1)(d-2)}{2}\end{gathered}

\begin{aligned}2g-2 &= d\cdot(-2)+d(d-1)\\&= d(d-3)\\[4pt]g &= \frac{(d-1)(d-2)}{2}\end{aligned}

\begin{aligned}2g-2 &= d\cdot(-2)\\&\phantom{=}{} +d(d-1)\\&= d(d-3)\\[4pt]g &= \frac{(d-1)(d-2)}{2}\end{aligned}

証明

点 $[0:0:1]$ は $C$ の上にないので、この射影は $C$ 全体で定義される。 $x=x_1/x_0$ の上の点は $y^d=1-x^d$ の解である。
$1-x^d$ は $x=1$ で1位の零点をもつので、 $T^d-(1-x^d)$ は $k(x)$ 上アイゼンシュタインで既約、次数は $d$ 。標数が $d$ を割り切らないので分離的である。
$x^d\neq1$ の上には $y$ が $d$ 個、無限遠 $x_0=0$ の上には $x_2^d=-x_1^d$ の $d$ 点がある。 $x^d=1$ の上は $y=0$ の1点で、分岐指数の和から $e=d$ （馴）。

命題5は第13回の $\deg K=d(d-3)$ から導きましたが、フェルマー曲線ではリーマン・フルヴィッツの公式から同じ値が出ました。2つの計算は独立なので、検算になります。

例10の4次曲線 $y^2=x^4+y^4$ も、正規化 $\widetilde C$ を $y$ 座標で $\mathbb{P}^1$ に写して確かめられます。 $x^4=y^2(1-y^2)$ なので4次の射で、 $y=\pm1$ の上は1点ずつ（ $e=4$ ）です。 $y=0$ の上は、タクノードの2本の枝にあたる2点で、どちらも $e=2$ です。 $\sum(e_P-1)=3+3+1+1=8$ で、 $2g-2=4\cdot(-2)+8=0$ 、 $g=1$ です。

もう少し詳しく位相で見たリーマン・フルヴィッツの公式

$k=\mathbb{C}$ なら、公式はオイラー標数の数え上げとして読めます。 $Y(\mathbb{C})$ を三角形に分け、分岐点が頂点に来るようにします。各三角形と各辺は、 $X(\mathbb{C})$ の中に $n$ 個ずつの逆像をもちます。

頂点 $Q$ の逆像は $n$ 個ではなく、 $n-\sum_{f(P)=Q}(e_P-1)$ 個です。よって

\chi\bigl(X(\mathbb{C})\bigr)=n\,\chi\bigl(Y(\mathbb{C})\bigr)-\sum_P(e_P-1)

\begin{aligned}\chi\bigl(X(\mathbb{C})\bigr) &= n\,\chi\bigl(Y(\mathbb{C})\bigr)-\sum_P(e_P-1)\end{aligned}

\begin{aligned}\chi\bigl(X(\mathbb{C})\bigr) &= n\,\chi\bigl(Y(\mathbb{C})\bigr)\\&\phantom{=}{} -\sum_P(e_P-1)\end{aligned}

$\chi=2-2g$ を代入し、符号を変えると、リーマン・フルヴィッツの公式になります。

$y^2=x^3-x$ では、球面（ $\chi=2$ ）の2枚分 $4$ から、4つの分岐点の分 $4$ を引いて $\chi=0$ 、つまりトーラスです。図3の青と緑の2枚の面に、図の外の部分と $\infty$ の上の点 $O$ を加えた全体が、このトーラスにあたります。ただし2枚は分岐点だけでつながっているのではありません。 $\operatorname{Re}y=0$ の曲線を横切るように $x$ を動かすと、 $y$ は青の面から緑の面へ連続に移ります。

まとめ：種数の求め方

求め方	式	例
正則な微分形式	$g=\ell(K)$	4次曲線で $\omega,\ x\omega,\ y\omega$ ： $g=3$
標準因子の次数	$\deg K=2g-2$	$\mathbb{P}^1$ で $-2$ 、楕円曲線で $0$
複素数の点	穴の数、 $\chi=2-2g$	球面、トーラス、穴2つの曲面
非特異な平面曲線	$(d-1)(d-2)/2$	$d=1,\dots,5$ で $0,0,1,3,6$
特異点のある平面曲線	$(d-1)(d-2)/2-\sum\delta_P$	結節点・尖点の3次曲線で $0$ 、タクノードの4次曲線で $1$
射の分岐	$2g_X-2=n(2g_Y-2)+\sum(e_P-1)$	$y^2=f(x)$ 、 $\deg f=2g+1,\,2g+2$

種数は、正則な微分形式の数、標準因子の次数、複素数の点の穴の数という3通りに見ることができました。平面曲線では次数から決まり、特異点があるとその分だけ減ります。射で別の曲線に写すと、分岐の数から種数が分かります。

同じ曲線の種数を、違う方法で求めて一致を確かめる場面が何度もありました。フェルマー曲線は標準因子とリーマン・フルヴィッツの公式で、 $y^2=x^5-x$ は特異点の $\delta$ と分岐で、タクノードの4次曲線は $\delta$ と分岐で計算しました。

第1回から第16回までを振り返る

連載はここで一区切りです。これまでの回で扱ったことを並べます。

第1回：零点集合 $V$ とイデアル $I$ の対応と零点定理。
第2回：素イデアルを点にした $\operatorname{Spec}A$ と生成点。
第3回：層・茎・芽と構造層。
第4回：スキームと貼り合わせ、射影直線。
第5回：射影平面と Proj、平行線が無限遠で交わること。
第6回：接空間と特異点、接錐。
第7回：ブローアップで特異点をほどく。
第8回：射とファイバー、族。
第9回：交点重複度とベズーの定理。
第10回：離散付値環、因子と主因子。
第11回：直線束（可逆層）と $\mathcal{O}(n)$ 。
第12回：楕円曲線と弦と接線の足し算。
第13回：微分形式と標準因子。
第14回：チェック・コホモロジー。
第15回：リーマン・ロッホの定理。
第16回（この記事）：種数を方程式と分岐から読む。

第1回の零点集合から始めて、曲線の種数という1つの数にたどり着きました。種数は、微分形式、因子、コホモロジー、位相のどれから求めても同じ数になり、この連載で扱った道具がすべて関わってきます。

次回からは曲線を離れ、射影空間の中の曲面や多様体を見ます。最初は、2方向の直線で編まれた2次曲面と、2つの射影直線の積を射影空間に入れるセグレ埋め込みです。

第13回の定理11

$k$ を代数閉体とする。 $\mathbb{P}^1$ の0でない微分形式 $\omega$ について $\deg\operatorname{div}(\omega)=-2$ である。標準因子は $K=-2\infty$ にとれ、 $\mathbb{P}^1$ には0でない正則な微分形式がない。

第13回の定理13

$k$ を標数が2でも3でもない代数閉体、 $E$ を上の楕円曲線とする。 $\omega=dx/2y$ はどの点でも零点も極ももたない。つまり $\operatorname{div}(\omega)=0$ で、 $E$ の標準因子は $K=0$ 、 $\deg K=0$ である。

第6回の命題17

$F\in k[x_0,x_1,x_2]$ を $d$ 次の既約な斉次式、 $C=V_+(F)\subseteq\mathbb{P}^2$ とする。点 $P=[a_0:a_1:a_2]\in C$ が $C$ の特異点であることは、

\frac{\partial F}{\partial x_0}(a)=\frac{\partial F}{\partial x_1}(a)=\frac{\partial F}{\partial x_2}(a)=0\qquad(a=(a_0,a_1,a_2))

\begin{gathered}\frac{\partial F}{\partial x_0}(a)=\frac{\partial F}{\partial x_1}(a)=\frac{\partial F}{\partial x_2}(a)=0\\(a=(a_0,a_1,a_2))\end{gathered}

\begin{aligned}\frac{\partial F}{\partial x_0}(a) &= \frac{\partial F}{\partial x_1}(a)\\&= \frac{\partial F}{\partial x_2}(a)\\&= 0\\[4pt]&(a=(a_0,a_1,a_2))\end{aligned}

と同値である。さらに標数が $d$ を割り切らなければ、3つの偏微分が0になる点は自動的に $C$ の上にある。

第13回の定理17

$C\subseteq\mathbb{P}^2$ を次数 $d$ の非特異な平面曲線とする。標準因子は、 $C$ と直線の交点（重複度こみ、 $d$ 個）の $d-3$ 倍と線形同値で、 $\deg K=d(d-3)$ である。

第5回の定理12 ベズーの定理

$k$ を代数閉体とし、 $Y,Z$ を $\mathbb{P}^2$ の相異なる既約な曲線で、次数がそれぞれ $d,e$ とする。交点を重複度こみで数えると、ちょうど $de$ 個である。

第5回の例19 放物線の射影閉包は $\mathbb{P}^1$

$k$ を体とし、 $T=k[x_0,x_1,x_2]/(x_0x_2-x_1^2)$ とする。 $\operatorname{Proj}T$ は $D_+(x_0)$ と $D_+(x_2)$ で覆われ、

T_{(x_0)}=k[x,y]/(y-x^2)\cong k[x]\qquad T_{(x_2)}=k[a,b]/(a-b^2)\cong k[b]

\begin{gathered}T_{(x_0)}=k[x,y]/(y-x^2)\cong k[x]\\T_{(x_2)}=k[a,b]/(a-b^2)\cong k[b]\end{gathered}

\begin{aligned}T_{(x_0)} &= k[x,y]/(y-x^2)\\&\cong k[x]\\[4pt]T_{(x_2)} &= k[a,b]/(a-b^2)\\&\cong k[b]\end{aligned}

である。重なりでは $b=1/x$ となり、 $\operatorname{Proj}T$ は $t=x$ 、 $s=b$ とした $\mathbb{P}^1$ と同型である。

第1回の例16 自分と交わる曲線

$k$ を代数閉体とする。 $f=y^2-x^2(x+1)$ は既約多項式で、 $V(f)\subseteq\mathbb{A}^2$ は既約である。

第6回の定義14 重複度と接錐

$f\in k[x,y]$ が $f(0,0)=0$ をみたすとし、 $i$ 次の斉次式 $f_i$ を使って

f=f_m+f_{m+1}+\cdots+f_d\qquad(f_m\neq0)

\begin{gathered}f=f_m+f_{m+1}+\cdots+f_d\\(f_m\neq0)\end{gathered}

\begin{aligned}f &= f_m+f_{m+1}+\cdots+f_d\\[4pt]&(f_m\neq0)\end{aligned}

と書く。 $m$ を $C=V(f)$ の原点での重複度と呼び、 $\mu_0(C)$ と書く。 $V(f_m)$ を原点での接錐と呼ぶ。ほかの点では、平行移動でその点を原点に移して同じように定める。

第7回の例11 結節点のブローアップ

$k$ を標数が2でない代数閉体とし、 $C=V(f)$ 、 $f=y^2-x^2(x+1)$ とする。

(1)　 $f(x,mx)=x^2(m^2-x-1)$ で、狭義変換は $\widetilde C=V(m^2-x-1)\subseteq W_0$ である。

(2)　 $\widetilde C\cap E$ は2点 $m=1$ と $m=-1$ で、接線 $y=x$ 、 $y=-x$ の傾きに当たる。

(3)　 $\widetilde C$ は非特異で、 $m\mapsto(m^2-1,m)$ によって直線 $\mathbb{A}^1$ と同型である。 $\pi$ を $\widetilde C$ に制限すると

m\longmapsto(m^2-1,\ m^3-m)

となり、 $m=\pm1$ の2点がともに $O$ に移る以外は1対1である。

第7回の例12 尖点のブローアップ

$k$ を代数閉体とし（標数は何でもよい）、 $C=V(f)$ 、 $f=y^2-x^3$ とする。

(1)　 $f(x,mx)=x^2(m^2-x)$ で、狭義変換は $\widetilde C=V(x-m^2)\subseteq W_0$ である。 $\widetilde C$ は非特異で、 $m$ を座標とする直線と同型である。

(2)　 $\widetilde C\cap E$ は1点 $m=0$ で、 $\widetilde C$ はそこで $E$ に接する。

(3)　 $\pi$ を $\widetilde C$ に制限すると $m\mapsto(m^2,m^3)$ で、これは $\widetilde C$ から $C$ への全単射である。

第7回の例13 タクノードのブローアップ

$k$ を標数が2でない代数閉体とし、 $C=V(y^2-x^4)$ とする。 $C$ は2本の放物線 $y=x^2$ と $y=-x^2$ の和で、原点で同じ接線 $y=0$ をもつ。

(1)　 $f(x,mx)=x^2(m^2-x^2)$ で、狭義変換は $\widetilde C=V(m^2-x^2)\subseteq W_0$ 、つまり $(x,m)$ の平面の2直線 $m=x$ 、 $m=-x$ である。 $\widetilde C\cap E$ は1点 $m=0$ で、 $\widetilde C$ はそこに結節点をもつ。

(2)　 $W_0$ （座標 $(x,m)$ の平面）の原点をもう一度ブローアップし、チャートで $m=m'x$ とおくと、 $\widetilde C$ の狭義変換は $V(m'^2-1)$ 、つまり交わらない2直線 $m'=1$ 、 $m'=-1$ である。これらは新しい例外曲線 $E'$ と別々の点で交わる。

第6回の例4 結節点と尖点

(1)　 $k$ の標数は2でないとし、 $f=y^2-x^2(x+1)=y^2-x^3-x^2$ とする。

f_x=-3x^2-2x=-x(3x+2)\qquad f_y=2y

\begin{gathered}f_x=-3x^2-2x=-x(3x+2)\\f_y=2y\end{gathered}

\begin{aligned}f_x &= -3x^2-2x\\&= -x(3x+2)\\[4pt]f_y &= 2y\end{aligned}

特異点では $y=0$ かつ $x(3x+2)=0$ である。 $x=0$ なら原点で、 $f(0,0)=0$ なので $C$ の上にある。 $x=-2/3$ （標数が3でないとき）では $f(-2/3,0)=-\tfrac49\cdot\tfrac13=-\tfrac4{27}\neq0$ で、 $C$ の上にない。よって特異点は原点だけである。この原点を結節点と呼ぶ。

(2)　 $f=y^2-x^3$ とする。 $f_x=-3x^2$ 、 $f_y=2y$ で、特異点は原点だけである。この原点を尖点と呼ぶ。

(1)(2) の $f$ はどちらも既約である。 $y$ の2次式 $y^2-g(x)$ が分解するのは $g$ が多項式の平方のときだけで、 $x^2(x+1)$ も $x^3$ も平方ではない。

(3)　標数が3でもないとき、(1) の点 $q=(3,6)$ は $C$ の上にあり（ $36=9\cdot4$ ）、 $f_x(q)=-33$ 、 $f_y(q)=12$ なので非特異点で、接線は $11x-4y=9$ である。

第6回の例5 タクノードと葉線

(1)　 $k$ の標数は2でないとし、 $f=y^2-x^4+x^6=y^2-x^4(1-x^2)$ とする。 $f_x=-4x^3+6x^5=2x^3(3x^2-2)$ 、 $f_y=2y$ で、特異点は原点だけである。この原点をタクノード（ハーツホーン和訳では接触節点）と呼ぶ。

(2)　 $k$ の標数は3でないとし、 $f=x^3+y^3-3xy$ （デカルトの葉線）とする。 $f_x=3(x^2-y)$ 、 $f_y=3(y^2-x)$ で、特異点は原点だけである。

第5回の例11 $y=x^3$ と $y^2=x^3$ の無限遠点

$k$ を体とし、 $U_2$ の座標を $a=x_0/x_2=1/y$ 、 $b=x_1/x_2=x/y$ とする。

(1)　 $y=x^3$ の射影閉包は $x_0^2x_2=x_1^3$ で、無限遠点は $x_1^3=0$ から $[0:0:1]$ だけである。 $x_2=1$ とおくと、 $U_2$ の中では

a^2=b^3

\begin{aligned}a^2 &= b^3\end{aligned}

となる。曲線の点 $(t,t^3)$ （ $t\neq0$ ）は $(b,a)=(t^{-2},\ t^{-3})$ に移る。

(2)　 $y^2=x^3$ の射影閉包は $x_0x_2^2=x_1^3$ で、無限遠点はやはり $[0:0:1]$ だけである。 $U_2$ の中では $a=b^3$ となり、点 $(t^2,t^3)$ は $(b,a)=(t^{-1},\ t^{-3})$ に移る。

第8回の例11 $x^2=t$

$k$ を標数が2でない代数閉体とし、 $\varphi\colon k[t]\to k[x]$ 、 $t\mapsto x^2$ が引き起こす射 $f\colon\operatorname{Spec}k[x]\to\operatorname{Spec}k[t]$ を考える。ファイバーの環は $k[x]\otimes_{k[t]}\kappa(P)\cong\kappa(P)[x]/(x^2-t)$ で、

(1)　 $c\neq0$ の上では $k[x]/(x^2-c)\cong k\times k$ ：2点 $x=\pm\sqrt c$ 。
(2)　 $c=0$ の上では $k[x]/(x^2)$ ：重なった1点。
(3)　生成点の上では $k(t)[x]/(x^2-t)$ ：これは $k(t)$ の2次の拡大体で、ファイバーは剰余体が2次に広がった1点。

第10回の例19 $x$ と $y$ の因子

$\bar E$ の上で、関数 $x,\ y$ の位数と主因子は次のようになる。

{}\begin{gathered} \begin{array}{c|cc} & (0,0) & (1,0) \\ \hline \operatorname{ord}(x) & 2 & 0 \\ \operatorname{ord}(x-1) & 0 & 2 \\ \operatorname{ord}(x+1) & 0 & 0 \\ \operatorname{ord}(y) & 1 & 1 \end{array}\\[8pt] \begin{array}{c|cc} & (-1,0) & O \\ \hline \operatorname{ord}(x) & 0 & -2 \\ \operatorname{ord}(x-1) & 0 & -2 \\ \operatorname{ord}(x+1) & 2 & -2 \\ \operatorname{ord}(y) & 1 & -3 \end{array} \end{gathered}

\operatorname{div}(x)=2(0,0)-2O\qquad \operatorname{div}(y)=(0,0)+(1,0)+(-1,0)-3O

\begin{gathered}\operatorname{div}(x)=2(0,0)-2O\\\operatorname{div}(y)=(0,0)+(1,0)+(-1,0)-3O\end{gathered}

\begin{aligned}\operatorname{div}(x) &= 2(0,0)-2O\\[4pt]\operatorname{div}(y) &= (0,0)+(1,0)+(-1,0)-3O\end{aligned}

\begin{aligned}\operatorname{div}(x) &= 2(0,0)-2O\\[4pt]\operatorname{div}(y) &= (0,0)+(1,0)+(-1,0)\\&\phantom{=}{} -3O\end{aligned}

\begin{aligned}\operatorname{div}(x) &= 2(0,0)-2O\\[4pt]\operatorname{div}(y) &= (0,0)+(1,0)\\&\phantom{=}{} +(-1,0)-3O\end{aligned}

表にない点では、4つの関数の位数はすべて0である。

定数でない1変数多項式が、必ずその体の中に根をもつ体。例： $\mathbb{C}$ 。 $\mathbb{R}$ は代数閉体ではない（ $x^2+1$ に根がない）。代数閉体は必ず無限体である。

連結な複素1次元の多様体。各点のまわりが複素平面の円板と同じに見え、座標の取り替えが正則関数になっている。 $\mathbb{C}$ 上の非特異な射影曲線の複素数の点はコンパクトなリーマン面で、リーマン球面 $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ はその例。

体の拡大 $L/K$ が分離拡大とは、 $L$ の各元の $K$ 上の最小多項式が重根をもたないこと。標数0ならいつも分離拡大。標数 $p$ では、例えば $\mathbb{F}_p(t^{1/p})/\mathbb{F}_p(t)$ は分離拡大でない。

体 $k$ で $1+1+\dots+1$ （ $p$ 個） $=0$ となる最小の正の整数 $p$ 。そのような $p$ がなければ標数0と言う。標数は0か素数で、 $\mathbb{F}_p$ の標数は $p$ 、 $\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ の標数は0。体でない環でも同じように定める（ $\mathbb{Z}$ の標数は0、 $\mathbb{Z}/6$ の標数は6）。0か素数になるのは体や整域の場合。

次数1の元で生成される次数付き環 $A$ （ $A_0$ はアルティン環）上の有限生成次数付き加群 $M$ について、十分大きい $n$ で $M_n$ の長さに一致する $n$ の多項式。例： $k[x,y]$ では $n+1$ 、 $k[x,y,z]/(F)$ （ $F$ は $e$ 次の斉次式）では $en-e(e-3)/2$ 。

位相空間 $X$ のどんな開被覆からも、有限個を選んで $X$ を覆えること。 $\mathbb{R}^n$ の部分集合では、有界な閉集合であることと同値。例：球面はコンパクト、平面はコンパクトでない。

多様体 $X$ の上の有理関数（空でない開集合の上の正則関数を、重なりで一致するものどうし同じとみなしたもの）全体の体 $k(X)$ 。アフィン多様体なら座標環の商体に等しい。例： $k(\mathbb{A}^1)=k(t)$ 。

極大イデアルがただ1つの可換環。極大イデアルに入らない元はすべて単元になる。例：素イデアル $P$ での局所化 $A_P$ （極大イデアルは $a/s$ （ $a\in P$ ）の全体）、 $k[x]/(x^2)$ 、 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 。

整域 $A$ が整閉とは、商体の元 $x$ が $A$ 係数の最高次の係数1の多項式の根になるなら $x\in A$ となること。例： $\mathbb{Z}$ や $k[t]$ は整閉。 $k[t^2,t^3]$ は、 $t$ が $x^2-t^2$ の根なのに $t$ を含まないので整閉でない。

既約な閉集合 $Z$ に対して、閉包がちょうど $Z$ になる点を $Z$ の生成点と呼ぶ。 $\operatorname{Spec}k[x,y]$ では、素イデアル $(0)$ に対応する点が平面全体の生成点になる。

どの点のまわりも、ある環 $A$ の $\operatorname{Spec}A$ （素イデアル全体に位相と構造層を載せた空間）と同じ形をしている空間。 $\operatorname{Spec}A$ を貼り合わせて作れる。零点集合では区別できない $x=0$ と $x^2=0$ の違いも扱える。連載第4回で定義している。

素イデアルがちょうど2つ（ $(0)$ と極大イデアル）の単項イデアル整域。例： $\mathbb{Z}_{(p)}$ 、 $k[x]_{(x)}$ 。0でない元は $\pi^n u$ （ $\pi$ は極大イデアルの生成元、 $u$ は単元）と一通りに書け、 $n$ が「その点で何位の零点か」を表す。

各点の上に1次元のファイバー（直線）が乗り、局所的には直積 $U\times\mathbb{A}^1$ の形をした空間。その切断の層が可逆層（局所的に $\mathcal{O}_X$ と同型な $\mathcal{O}_X$ 加群）で、2つはよく同じものとして扱われる。連載第11回で扱う。

定数でなく、定数でない2つの多項式の積に分解できない多項式。例： $\mathbb{R}[x]$ の $x^2+1$ 。 $\mathbb{C}[x]$ では $(x+i)(x-i)$ と分解するので既約ではない。

参考文献

R. ハーツホーン（高橋宣能・松下大介訳）, 『代数幾何学 3』, 丸善出版, 2012.
R. ハーツホーン（高橋宣能・松下大介訳）, 『代数幾何学 1』, 丸善出版, 2013.